Mga equation ng Pythagorean teorem. Mga pamamaraan para sa pagpapatunay ng teorema ng Pythagorean. Ang magkatulad na geometric na hugis sa tatlong panig

Siguraduhin na ang tatsulok na ibinigay sa iyo ay naaangkop sa kanan, dahil ang teorem ng Pythagorean ay nalalapat lamang sa mga tamang tatsulok na anggulo. Sa tamang-anggulo na mga tatsulok, ang isa sa tatlong mga anggulo ay palaging 90 degree.

Ang isang tamang anggulo sa isang tamang tatsulok ay ipinahiwatig ng isang parisukat na icon, hindi isang curve, na isang pahilig na anggulo.

Magdagdag ng mga patnubay para sa mga gilid ng tatsulok. Lagyan ng label ang mga binti bilang "a" at "b" (mga binti - mga gilid sa pagitan ng tamang mga anggulo), at ang hypotenuse bilang "c" (hypotenuse - ang pinakamalaking bahagi kanang tatsuloknakahiga sa tapat tamang anggulo).

Alamin kung aling bahagi ng tatsulok na nais mong hanapin. Ang Pythagorean teorem ay nagbibigay-daan sa iyo upang makahanap ng anumang panig ng isang tamang tatsulok (kung ang iba pang dalawang panig ay kilala). Alamin kung aling panig (a, b, c) ang kailangan mong hanapin.

Halimbawa, binigyan ng isang hypotenuse na katumbas ng 5, at binigyan ng isang binti na katumbas ng 3. Sa kasong ito, hanapin ang pangalawang binti. Babalik tayo sa halimbawang ito mamaya.
Kung ang iba pang dalawang panig ay hindi alam, kinakailangan upang mahanap ang haba ng isa sa mga hindi kilalang panig upang mag-aplay ang teythika Pythagorean. Upang gawin ito, gamitin ang pangunahing mga pag-andar ng trigonometriko (kung bibigyan ka ng halaga ng isa sa mga pahilig na anggulo).

Kahalili sa pormula ng isang 2 + b 2 \u003d c 2 ang mga halagang ibinibigay mo (o mga halagang natagpuan mo). Tandaan na ang a at b ay mga binti at c ay hypotenuse.

Sa aming halimbawa, isulat: 3² + b² \u003d 5².

Square sa bawat panig na alam mo. O iwanan ang mga degree - maaari mong parisukat ang mga numero sa ibang pagkakataon.

Sa aming halimbawa, isulat: 9 + b² \u003d 25.

Ihiwalay ang hindi kilalang panig sa isang panig ng equation. Upang gawin ito, ilipat ang kilalang mga halaga sa kabilang panig ng equation. Kung nahanap mo ang hypotenuse, pagkatapos ay sa teorema ng Pythagorean ito ay nakahiwalay na sa isang panig ng equation (kaya walang kailangang gawin).

Sa aming halimbawa, ilipat ang 9 sa kanang bahagi ng equation upang ibukod ang hindi kilalang b². Makakakuha ka ng b² \u003d 16.

I-extract ang ugat ng square mula sa magkabilang panig ng equation. Sa yugtong ito, sa isang bahagi ng ekwasyon mayroong isang hindi kilalang (parisukat), at sa kabilang panig ay mayroong isang libreng term (numero).

Sa aming halimbawa, b² \u003d 16. Kunin ang parisukat na ugat ng magkabilang panig ng equation at kumuha ng b \u003d 4. Kaya ang pangalawang leg ay 4 .

Gumamit ng teyema ng Pythagorean sa iyong pang-araw-araw na buhay, dahil maaari itong ilapat sa isang malawak na iba't ibang mga praktikal na sitwasyon. Upang gawin ito, alamin na kilalanin ang mga anggulo na may anggulo sa pang-araw-araw na buhay - sa anumang sitwasyon kung saan magkakaugnay ang dalawang bagay (o linya) sa tamang mga anggulo, at isang pangatlong bagay (o linya) na nagkokonekta (pahilis) sa mga tuktok ng unang dalawang bagay (o linya), maaari mong gamitin ang Pythagorean theorem upang mahanap ang hindi kilalang panig (kung ang iba pang dalawang panig ay kilala).

Halimbawa: binigyan ng isang hagdanan na nakasandal sa isang gusali. Ang ilalim ng hagdan ay 5 metro mula sa base ng dingding. Ang tuktok ng hagdan ay 20 metro mula sa lupa (hanggang sa dingding). Gaano katagal ang mga hagdan?
- "5 metro mula sa base ng pader" ay nangangahulugang isang \u003d 5; "Ay 20 metro mula sa lupa" ay nangangahulugan na ang b \u003d 20 (iyon ay, bibigyan ka ng dalawang mga paa ng isang kanang tatsulok, dahil ang pader ng gusali at ang ibabaw ng Earth ay bumalandra sa tamang mga anggulo). Ang haba ng hagdan ay ang haba ng hypotenuse, na hindi alam.
  - a² + b² \u003d c²
  - (5) ² + (20) ² \u003d c²
  - 25 + 400 \u003d c²
  - 425 \u003d c²
  - c \u003d √425
  - c \u003d 20.6. Kaya ang tinatayang haba ng hagdan ay 20.6 metro.

Ang teyema ng Pythagorean:

Sa isang patong na anggulo ng kanan, ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse:

isang 2 + b 2 \u003d c 2,

a at b - mga binti na bumubuo ng isang tamang anggulo.
mula sa - ang hypotenuse ng tatsulok.

Ang mga pormula ng teorema ng Pythagorean

isang \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
b \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
c \u003d \\ sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))

Patunay ng teorema ng Pythagorean

Ang lugar ng isang kanang-anggulo na tatsulok ay kinakalkula ng pormula:

S \u003d \\ frac (1) (2) ab

Upang makalkula ang lugar ng isang di-makatwirang tatsulok, ang formula ng lugar ay:

p - semi-perimeter. p \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c),
r Ay ang radius ng inskripsyon na bilog. Para sa rektanggulo r \u003d \\ frac (1) (2) (a + b-c).

Pagkatapos ay pinagsama namin ang mga kanang panig ng parehong mga formula para sa lugar ng isang tatsulok:

\\ frac (1) (2) ab \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c) \\ frac (1) (2) (a + b-c)

2 ab \u003d (a + b + c) (a + b-c)

2 ab \u003d \\ kaliwa ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) \\ kanan)

2 ab \u003d a ^ (2) + 2ab + b ^ (2) -c ^ (2)

0 \u003d a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)

c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)

Ang reverse Pythagorean teorema:

Kung ang parisukat ng isang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig, kung gayon ang tatsulok ay hugis-parihaba. Iyon ay, para sa anumang triple ng mga positibong numero a, b at cganyan

isang 2 + b 2 \u003d c 2,

mayroong isang tamang-anggulo na tatsulok na may mga binti a at b at hypotenuse c.

Teyema ng Pythagorean - isa sa mga pangunahing theorems ng Euclidean geometry, na nagtatag ng ugnayan sa pagitan ng mga panig ng isang kanang-anggulo na tatsulok. Ito ay napatunayan ng siyentipiko sa matematika at pilosopo na si Pythagoras.

Ang kahulugan ng teorema sa maaari itong magamit upang mapatunayan ang iba pang mga teorema at malutas ang mga problema.

Karagdagang materyal:

Teyema ng Pythagorean: Ang kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na nakapatong sa mga binti ( a at b), ay katumbas ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ( c).

Geometric formulate:

Sa una, ang teorema ay nabalangkas tulad ng sumusunod:

Algebraic pagbabalangkas:

Iyon ay, na nagsasaad ng haba ng hypotenuse ng isang tatsulok sa pamamagitan ng c , at ang haba ng mga binti a at b :

a 2 + b 2 = c 2

Ang parehong mga pahayag ng teorema ay katumbas, ngunit ang pangalawang pahayag ay mas elementarya, hindi ito nangangailangan ng konsepto ng lugar. Iyon ay, ang pangalawang pahayag ay maaaring suriin nang hindi nalalaman ang anumang bagay tungkol sa lugar at pagsukat lamang ng mga haba ng mga gilid ng isang kanan na anggulo.

Ang reverse Pythagorean teorema:

Katibayan

Siyempre, sa konsepto ang lahat ng mga ito ay maaaring nahahati sa isang maliit na bilang ng mga klase. Ang pinakasikat sa kanila: mga patunay sa pamamagitan ng pamamaraan ng lugar, axiomatic at exotic proof (halimbawa, gamit ang mga kaugalian na equation).

Sa pamamagitan ng magkakatulad na mga tatsulok

Hayaan ABC mayroong isang tamang-anggulo na tatsulok C... Iguhit natin ang taas mula C at ipahiwatig ang base nito sa pamamagitan ng H... Triangle ACH tulad ng isang tatsulok ABC sa dalawang sulok. Katulad nito, tatsulok CBH ay katulad ABC... Ipinapakilala ang notasyon

nakukuha namin

Ano ang katumbas

Pagdaragdag, makakakuha kami

Patunay ng mga lugar

Ang mga patunay na ibinigay sa ibaba, sa kabila ng kanilang maliwanag na pagiging simple, ay hindi gaanong simple. Ang lahat ng mga ito ay gumagamit ng mga katangian ng lugar, ang patunay na kung saan ay mas mahirap kaysa sa patunay ng Pythagorean theorem mismo.

Katumbas na patunay na pandagdag

Ayusin ang apat na pantay na patong na may anggulo na naaangkop tulad ng ipinapakita sa Larawan 1.
Quadrilateral na may mga panig c ay isang parisukat, dahil ang kabuuan ng dalawang talamak na anggulo ay 90 °, at ang hindi nabuksan na anggulo ay 180 °.
Ang lugar ng buong pigura ay, sa isang banda, ang lugar ng isang parisukat na may mga panig (a + b), at sa kabilang banda, ang kabuuan ng mga lugar ng apat na tatsulok at dalawang panloob na mga parisukat.

Q.E.D.

Katibayan sa pamamagitan ng scaling

Elegant na patunay sa pamamagitan ng permutation

Ang isang halimbawa ng isa sa mga naturang patunay ay ipinapakita sa pagguhit sa kanan, kung saan ang isang parisukat na itinayo sa hypotenuse ay binago ng permutasyon sa dalawang parisukat na itinayo sa mga binti.

Ang patunay ni Euclid

Pagguhit para sa patunay ni Euclid

Ang paglalarawan para sa patunay ni Euclid

Isaalang-alang ang pagguhit sa kaliwa. Dito, nagtayo kami ng mga parisukat sa mga gilid ng isang kanang-anggulo na tatsulok at iginuhit ang isang ray s mula sa tuktok ng tamang anggulo C patayo sa hypotenuse AB, pinuputol nito ang parisukat na ABIK, na binuo sa hypotenuse, sa dalawang parihaba - BHJI at HAKJ, ayon sa pagkakabanggit. Ito ay lumiliko na ang mga lugar ng mga parihaba na ito ay eksaktong pantay sa mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa kaukulang mga binti.

Subukan nating patunayan na ang lugar ng square DECA ay pantay sa lugar ng isang rektanggulo AHJK Para sa mga ito gumagamit kami ng isang pandiwang pantulong na obserbasyon: Ang lugar ng isang tatsulok na may parehong taas at base dahil ang parihaba na ito ay katumbas sa kalahati ng lugar ng ibinigay na rektanggulo. Ito ay isang kinahinatnan ng pagtukoy sa lugar ng isang tatsulok bilang kalahati ng produkto ng base at taas. Mula sa pagmamasid na ito ay sumusunod na ang lugar ng tatsulok na ACK ay katumbas ng lugar ng tatsulok na AHK (hindi ipinakita sa figure), na, sa turn, ay katumbas sa kalahati ng lugar ng rektanggulo na AHJK.

Patunayan natin ngayon na ang lugar ng tatsulok na ACK ay katumbas din sa kalahati ng lugar ng square DECA. Ang tanging bagay na kailangang gawin para dito ay upang patunayan na ang mga tatsulok na ACK at BDA ay pantay (dahil ang lugar ng tatsulok na BDA ay katumbas sa kalahati ng lugar ng parisukat ayon sa nabanggit na pag-aari). Ang pagkakapantay-pantay ay halata, ang mga tatsulok ay pantay sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila. Namely - AB \u003d AK, AD \u003d AC - ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo CAK at BAD ay madaling patunayan sa pamamagitan ng pamamaraan ng paggalaw: pinaikot namin ang tatsulok na CAK sa pamamagitan ng 90 ° na counterclockwise, pagkatapos ay malinaw na ang mga kaukulang panig ng dalawang tatsulok sa ilalim ng pagsasaalang-alang ay magkakasabay (dahil ang anggulo sa tuktok ng parisukat ay 90 °).

Ang pangangatuwiran tungkol sa pagkakapantay-pantay ng mga lugar ng parisukat na BCFG at ang rektanggulo na BHJI ay ganap na magkatulad.

Kaya, napatunayan namin na ang lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay ang kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti. Ang ideya sa likod ng patunay na ito ay karagdagang isinalarawan sa animation sa itaas.

Patunay ng Leonardo da Vinci

Ang mga pangunahing elemento ng patunay ay simetrya at paggalaw.

Isaalang-alang ang pagguhit, tulad ng nakikita mula sa simetrya, ang segment CAko pinutol ang parisukat ABHJ sa dalawang magkaparehong bahagi (mula sa mga tatsulok ABC at JHAko ay pantay-pantay sa pamamagitan ng konstruksyon). Sa pamamagitan ng pag-ikot ng 90 degree counterclockwise, nakita namin na ang mga kulay na shaded ay pantay CAJAko at GDAB ... Ngayon malinaw na ang lugar ng shaded figure ay katumbas ng kabuuan ng mga halves ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti at lugar ng orihinal na tatsulok. Sa kabilang banda, ito ay pantay sa kalahati ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse, kasama ang lugar ng orihinal na tatsulok. Ang huling hakbang sa patunay ay naiwan sa mambabasa.

Patunayan sa pamamagitan ng paraan ng infinitesimal

Ang sumusunod na patunay na gumagamit ng mga equation ng kaugalian ay madalas na maiugnay sa sikat na English matematiko na Hardy, na nabuhay sa unang kalahati ng ika-20 siglo.

Tumitingin sa pagguhit na ipinakita sa figure at pagmamasid sa pagbabago sa panig a, maaari naming isulat ang sumusunod na ratio para sa walang hanggan maliit na pagtaas ng mga panig mula sa at a (gamit ang pagkakapareho sa mga tatsulok):

Patunayan sa pamamagitan ng paraan ng infinitesimal

Gamit ang paraan ng paghihiwalay ng mga variable, nahanap namin

Ang isang mas pangkalahatang expression para sa pagbabago ng hypotenuse sa kaso ng mga pagtaas ng parehong mga binti

Sa pamamagitan ng pagsasama ng ekwasyong ito at paggamit mga paunang kondisyon, nakukuha namin

c 2 = a 2 + b 2 + pare-pareho.

Sa gayon, nakarating kami sa nais na sagot

c 2 = a 2 + b 2 .

Tulad ng madaling makita, ang pag-asa sa quadratic sa pangwakas na pormula ay lilitaw dahil sa linear proportionality sa pagitan ng mga gilid ng tatsulok at mga pagtaas, habang ang kabuuan ay nauugnay sa independyenteng mga kontribusyon mula sa mga pagdaragdag ng iba't ibang mga binti.

Ang isang mas simpleng patunay ay maaaring makuha kung ipinapalagay namin na ang isa sa mga binti ay hindi nakakaranas ng isang pagtaas (sa kasong ito, ang binti b ). Pagkatapos para sa patuloy na pagsasama na nakukuha namin

Mga pagkakaiba-iba at generalizations

Kung sa halip na mga parisukat ay nagtatayo kami ng iba pang katulad na mga pigura sa mga binti, kung gayon ang sumusunod na pangkalahatang pag-uuri ng teyorya ng Pythagorean ay totoo: Sa isang patong na anggulo ng kanan, ang kabuuan ng mga lugar ng magkakatulad na mga numero na itinayo sa mga binti ay katumbas ng lugar ng figure na binuo sa hypotenuse. Sa partikular:
- Ang kabuuan ng mga lugar ng regular na tatsulok na itinayo sa mga binti ay katumbas ng lugar ng isang regular na tatsulok na itinayo sa hypotenuse.
- Ang kabuuan ng mga lugar ng semicircles na itinayo sa mga binti (tulad ng sa diameter) ay katumbas ng lugar ng kalahating bilog na itinayo sa hypotenuse. Ang halimbawang ito ay ginagamit upang patunayan ang mga katangian ng mga figure na nakatali sa pamamagitan ng mga arko ng dalawang bilog at nagdadala ng pangalan ng hippocratic lunes.

Kasaysayan

Chu-pei 500-200 BC. Kaliwa inskripsyon: ang kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng taas at base ay ang parisukat ng haba ng hypotenuse.

Ang sinaunang aklat na Tsino na Chu-Pei ay nagsasalita tungkol sa isang tatsulok na Pythagorean na may panig 3, 4 at 5: Sa parehong aklat, isang iminungkahi na iminungkahi na magkasama sa isa sa mga guhit ng geometry ng Hindu ng Bashara.

Si Cantor (ang pinakamalaking mananalaysay ng Aleman sa matematika) ay naniniwala na ang pagkakapantay-pantay na 3 ² + 4 ² \u003d 5 ² ay kilala na ng mga taga-Egypt noong 2300 BC. e., sa panahon ni Haring Amenemhat I (ayon sa papyrus 6619 ng Berlin Museum). Ayon kay Cantor, ang mga harpedonapts, o "lubid ng lubid", ay nagtayo ng mga tamang anggulo gamit ang mga kanang anggulo na may mga gilid na 3, 4, at 5.

Napakadaling muling likhain ang kanilang paraan ng pagtatayo. Kumuha ng isang lubid na 12 m ang haba at itali ito sa kahabaan ng isang kulay na guhit sa layo na 3 m. mula sa isang dulo at 4 na metro mula sa kabilang linya. Ang tamang anggulo ay mapapaloob sa pagitan ng mga gilid ng 3 at 4 metro ang haba. Ang mga Harpedonapts ay maaaring magtaltalan na ang kanilang paraan ng pagtatayo ay magiging labis, kung gumagamit ka, halimbawa, ang kahoy na parisukat na ginagamit ng lahat ng mga karpintero. Sa katunayan, ang mga guhit ng Egypt ay kilala kung saan ang nasabing tool ay natagpuan, halimbawa, mga guhit na naglalarawan sa isang pagawaan sa karpintero.

Medyo higit pa ang nalalaman tungkol sa teorema ng Babilonya na Pythagorean. Sa isang teksto simula pa noong panahon ng Hammurabi, iyon ay, hanggang 2000 BC. Ang BC, isang tinatayang pagkalkula ng hypotenuse ng isang tamang-anggulo na tatsulok ay ibinibigay. Mula dito maaari nating tapusin na sa Mesopotamia alam nila kung paano magsagawa ng mga kalkulasyon na may mga tatsulok na may kanan, hindi bababa sa ilang mga kaso. Batay, sa isang banda, sa kasalukuyang antas ng kaalaman tungkol sa matematika ng Egypt at Babilonya, at sa kabilang banda, sa isang kritikal na pag-aaral ng mga mapagkukunang Greek, ginawa ni Van der Waerden (Dutch matematika) ang sumusunod na konklusyon:

Panitikan

Sa Russian

Mga Skopets Z.A. Mga geometric na miniature. M., 1990
Yelensky Sch. Sa mga yapak ng Pythagoras. M., 1961
Van der Waerden B.L. Gising na agham. Matematika ng Sinaunang Egypt, Babilonya at Greece. M., 1959
Glazer G.I. Kasaysayan ng matematika sa paaralan. M., 1982
V. Litzman, "The Pythagorean Theorem" M., 1960.
- Ang isang site tungkol sa teorema ng Pythagorean na may isang malaking bilang ng mga patunay, ang materyal ay nakuha mula sa aklat ni V. Litzman, isang malaking bilang ng mga guhit ay iniharap sa anyo ng magkakahiwalay na mga file na graphic.
Ang teyema ng Pythagorean at Pythagorean ay nag-triplets ng isang kabanata mula sa libro ni DV Anosov "Isang Tumingin sa Matematika at Isang bagay mula rito"
Sa teorema ng Pythagorean at mga pamamaraan ng patunay nito na G. Glazer, Akademiko ng Russian Academy of Education, Moscow

Sa Ingles

Ang Pythagorean Theorem sa WolframMathWorld (eng.)
Ang cut-The-Knot, isang seksyon sa teorema ng Pythagorean, tungkol sa 70 mga patunay at isang kayamanan ng karagdagang impormasyon

Wikimedia Foundation. 2010.

Teyema ng Pythagorean Ay isa sa mga pangunahing teorem ng Euclidean geometry, na nagtatag ng kaugnayan

sa pagitan ng mga panig ng isang kanang-anggulo na tatsulok.

Ito ay pinaniniwalaan na napatunayan ng Greek matematika na Pythagoras, pagkatapos na pinangalanan ito.

Geometric formulate ng Pythagorean teorem.

Sa una, ang teorema ay nabalangkas tulad ng sumusunod:

Sa isang patong na anggulo ng kanan, ang lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat,

itinayo sa mga binti.

Algebraic formulate ng Pythagorean teorem.

Sa isang patong na anggulo ng kanan, ang parisukat ng haba ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng mga binti.

Iyon ay, na nagsasaad ng haba ng hypotenuse ng isang tatsulok sa pamamagitan ng c, at ang haba ng mga binti a at b:

Parehong mga formulations mga teoryang Pythagoreanay katumbas, ngunit ang pangalawang pagbabalangkas ay mas elementarya, hindi

nangangailangan ng konsepto ng lugar. Iyon ay, ang pangalawang pahayag ay maaaring suriin nang hindi nalalaman ang anumang bagay tungkol sa lugar at

sa pamamagitan ng pagsukat lamang ng mga haba ng mga gilid ng isang kanan na anggulo ng tatsulok.

Ang converse teorem ng Pythagoras.

Kung ang parisukat ng isang panig ng tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig, kung gayon

hugis-parihaba na tatsulok.

O, sa madaling salita:

Para sa anumang triple ng mga positibong numero a, b at cganyan

mayroong isang tamang-anggulo na tatsulok na may mga binti a at bat hypotenuse c.

Teyema ng Pythagoras para sa isang isosceles tatsulok.

Teyema ng Pythagoras para sa isang tatsulok na equilateral.

Mga patunay ng teorema ng Pythagorean.

Sa ngayon, 367 na mga patunay ng teoryang ito ay naitala sa pang-agham na panitikan. Marahil ang teorema

Ang Pythagoras ay ang teorema lamang na may tulad na isang kahanga-hangang bilang ng mga patunay. Ang ganitong pagkakaiba-iba

ay maipaliwanag lamang sa pangunahing pangunahing kahulugan ng teorema para sa geometry.

Siyempre, sa konsepto ang lahat ng mga ito ay maaaring nahahati sa isang maliit na bilang ng mga klase. Ang pinakasikat sa kanila:

katibayan paraan ng lugar, axiomatic at kakaibang katibayan (halimbawa,

sa pamamagitan ng mga equation ng pagkakaiba-iba).

1. Patunay ng teorema ng Pythagorean sa pamamagitan ng magkatulad na mga tatsulok.

Ang sumusunod na patunay ng algebraic formulate ay ang pinakasimpleng ng mga patunay sa ilalim ng konstruksyon

direkta mula sa mga axioms. Sa partikular, hindi nito ginagamit ang konsepto ng lugar ng isang pigura.

Hayaan ABC mayroong isang tamang-anggulo na tatsulok C... Iguhit natin ang taas mula C at magpakilala

ang pundasyon nito sa pamamagitan H.

Triangle ACH tulad ng isang tatsulok ABC sa dalawang sulok. Katulad nito, tatsulok CBH ay katulad ABC.

Ipinapakilala ang notasyon:

nakukuha namin:

na tumutugma sa -

Sa pamamagitan ng pagdaragdag a 2 at b 2, nakukuha namin:

o, tulad ng kinakailangan upang patunayan.

2. Patunay ng teorema ng Pythagorean sa pamamagitan ng pamamaraan ng lugar.

Ang mga patunay na ibinigay sa ibaba, sa kabila ng kanilang maliwanag na pagiging simple, ay hindi gaanong simple. Lahat sila

gamitin ang mga pag-aari ng lugar, ang patunay na kung saan ay mas mahirap kaysa sa patunay ng Pythagorean theorem mismo.

Patunay sa pamamagitan ng pantay na pandagdag.

Ayusin ang apat na pantay na hugis-parihaba

tatsulok tulad ng ipinapakita sa figure

sa kanan.

Quadrilateral na may mga panig c - parisukat,

dahil ang kabuuan ng dalawang talamak na anggulo ay 90 °, at

pinalawak na anggulo - 180 °.

Ang lugar ng buong pigura ay, sa isang banda,

lugar ng isang parisukat na may gilid ( isang + b), at sa kabilang banda, ang kabuuan ng mga lugar ng apat na tatsulok at

Q.E.D.

3. Patunay ng teorema ng Pythagorean sa pamamagitan ng pamamaraan ng infinitesimal.

Isinasaalang-alang ang pagguhit na ipinakita sa pigura, at

nanonood ng pagbabago sa paniga, kaya natin

isulat ang sumusunod na kaugnayan nang walang hanggan

maliit mga pagtaas ng panigmula sa at a (gamit ang pagkakapareho

tatsulok):

Gamit ang variable na paraan ng paghihiwalay, nakita namin:

Ang isang mas pangkalahatang expression para sa pagbabago ng hypotenuse sa kaso ng mga pagtaas ng parehong mga binti:

Pagsasama ng ekwasyong ito at paggamit ng mga paunang kondisyon, nakukuha namin:

Sa gayon, nakarating kami sa nais na sagot:

Tulad ng madaling makita, ang quadratic dependence sa pangwakas na pormula ay lilitaw dahil sa linear

proporsyonalidad sa pagitan ng mga panig ng tatsulok at ang mga pagtaas, habang ang kabuuan ay nauugnay sa independiyenteng

mga kontribusyon mula sa pagdaragdag ng iba't ibang mga binti.

Ang isang mas simpleng patunay ay maaaring makuha kung ipinapalagay namin na ang isa sa mga binti ay hindi nakakaranas ng isang pagtaas

(sa kasong ito, ang binti b). Pagkatapos para sa patuloy na pagsasama na nakukuha namin:

Ang kapalaran ng iba pang mga teorema at problema ay kakaiba ... Paano maipaliwanag ng isa, halimbawa, tulad ng pambihirang pansin mula sa mga matematika at mga amateurs ng matematika hanggang sa teorema ng Pythagorean? Bakit marami sa kanila ang hindi nasiyahan sa mga kilalang mga katibayan, ngunit natagpuan ang kanilang mga sarili, na nagdadala ng bilang ng mga patunay sa ilang daan sa dalawampu't limang magkakaugnay na mahuhulaan na siglo?
Pagdating sa teorema ng Pythagorean, ang hindi pangkaraniwang nagsisimula sa pangalan nito. Ito ay pinaniniwalaan na ang Pythagoras ay hindi ang unang bumalangkas nito. Itinuturing din ang pagdududa na ibinigay niya sa kanya ang patunay. Kung ang Pythagoras ay isang tunay na tao (ang ilan ay nagdududa pa!), Pagkatapos ay nabuhay siya, malamang, sa mga siglo ng VI-V. BC e. Siya mismo ay hindi sumulat ng anupaman, tinawag ang kanyang sarili na isang pilosopo, na nangangahulugang, sa kanyang pag-unawa, "nagsusumikap para sa karunungan", itinatag ang Pythagorean Union, na ang mga miyembro ay nakikibahagi sa musika, gymnastics, matematika, pisika at astronomiya. Tila, siya rin ay isang mahusay na orator, tulad ng ebidensya ng sumusunod na alamat na may kaugnayan sa kanyang pananatili sa lungsod ng Crotone: "Ang unang hitsura ng Pythagoras bago ang mga tao sa Crotone ay nagsimula sa isang talumpati sa mga kabataang lalaki, kung saan siya ay mahigpit, ngunit sa parehong oras kaya kaakit-akit inilarawan ang mga responsibilidad ng mga kabataang lalaki, na hiniling ng mga matatanda sa lungsod na huwag iwanan sila nang walang tagubilin. Sa pangalawang pananalita na ito, itinuro niya ang pagkakasala at kadalisayan ng moral bilang mga pundasyon ng pamilya; sa susunod na dalawa ay lumingon siya sa mga bata at kababaihan. Ang kinahinatnan huling talumpati, kung saan lalo na niyang kinondena ang luho, na ang libu-libong mga mamahaling damit ay naihatid sa templo ng Hera, sapagkat wala pang babaeng nangahas na ipakita ang kanyang sarili sa kanila sa kalye ... "Gayunpaman, kahit na sa ikalawang siglo AD, iyon ay, Pagkaraan ng 700 taon, ang mga totoong tao ay nanirahan at nagtrabaho, ang mga natatanging siyentipiko na malinaw na nasa ilalim ng impluwensya ng unyon ng Pythagorean at may malaking paggalang sa kung ano, ayon sa alamat, nilikha ng Pythagoras.
Walang alinlangan, ang interes sa teorema ay sanhi din ng katotohanan na nasasakop nito ang isa sa mga sentral na lugar sa matematika, at sa pamamagitan ng kasiyahan ng mga may-akda ng mga patunay na nagwagi sa mga paghihirap, tungkol sa kung saan ang makatang Romano na si Quintus Horace Flaccus, na nabuhay bago ang ating panahon, ay nagsalita nang maayos: "Mahirap ipahayag ang mga kilalang katotohanan." ...
Sa una, itinatag ng teorema ang ugnayan sa pagitan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa hypotenuse at mga binti ng isang kanang tatsulok:
.
Algebraic pagbabalangkas:
Sa isang patong na anggulo ng kanan, ang parisukat ng haba ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng mga binti.
Iyon ay, na nagsasaad ng haba ng hypotenuse ng tatsulok sa pamamagitan ng c, at ang haba ng mga binti sa pamamagitan ng a at b: a 2 + b 2 \u003d c 2. Ang parehong mga pahayag ng teorema ay katumbas, ngunit ang pangalawang pahayag ay mas elementarya, hindi ito nangangailangan ng konsepto ng lugar. Iyon ay, ang pangalawang pahayag ay maaaring suriin nang hindi nalalaman ang anumang bagay tungkol sa lugar at pagsukat lamang ng mga haba ng mga gilid ng isang kanan na anggulo.
Ang converse teorem ng Pythagoras. Para sa anumang triple ng mga positibong numero a, b, at c ganyan
isang 2 + b 2 \u003d c 2, mayroong isang tamang-anggulo na may tatsulok na may mga binti a at b at hypotenuse c.

Katibayan

Sa ngayon, 367 na mga patunay ng teoryang ito ay naitala sa pang-agham na panitikan. Ang teyema ng Pythagorean ay marahil ang tanging teorema na may tulad na isang kahanga-hangang bilang ng mga patunay. Ang iba't ibang ito ay maaaring maipaliwanag lamang sa pangunahing pangunahing kahulugan ng teorya para sa geometry.
Siyempre, sa konsepto ang lahat ng mga ito ay maaaring nahahati sa isang maliit na bilang ng mga klase. Ang pinakasikat sa kanila: mga patunay sa pamamagitan ng pamamaraan ng lugar, axiomatic at exotic proof (halimbawa, gamit ang mga kaugalian na equation).

Sa pamamagitan ng magkakatulad na mga tatsulok

Ang sumusunod na patunay ng algebraic formulate ay ang pinakasimpleng ng mga patunay na itinayo nang direkta mula sa mga axioms. Sa partikular, hindi nito ginagamit ang konsepto ng lugar ng isang pigura.
Hayaan ang ABC ay isang kanang-anggulo na tatsulok na may tamang anggulo C. Iguhit ang taas mula sa C at ipahiwatig ang base nito sa pamamagitan ng H. Triangle ACH ay katulad ng tatsulok na ABC sa dalawang anggulo.
Gayundin, ang tatsulok na CBH ay katulad ng ABC. Ipinapakilala ang notasyon

nakukuha namin

Ano ang katumbas

Pagdaragdag, makakakuha kami

o

Patunay ng mga lugar

Ang mga patunay na ibinigay sa ibaba, sa kabila ng kanilang maliwanag na pagiging simple, ay hindi gaanong simple. Lahat sila ay gumagamit ng mga katangian ng lugar, ang patunay na kung saan ay mas mahirap kaysa sa patunay ng Pythagorean theorem mismo.

Katumbas na patunay na pandagdag

1. Ilagay ang apat na pantay na patong na anggulo na naaangkop tulad ng ipinapakita sa figure.
2. Ang isang quadrilateral na may mga gilid c ay isang parisukat, dahil ang kabuuan ng dalawang talamak na anggulo ay 90 °, at ang pinalawak na anggulo ay 180 °.
3. Ang lugar ng buong pigura ay, sa isang banda, ang lugar ng isang parisukat na may mga panig (a + b), at sa kabilang banda, ang kabuuan ng mga lugar ng apat na tatsulok at isang panloob na parisukat.

Q.E.D.

Katibayan sa pamamagitan ng scaling

Ang patunay ni Euclid

Ang ideya sa likod ng patunay ni Euclid ay ang mga sumusunod: subukan nating patunayan na ang kalahati ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng kalahati ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti, at pagkatapos ay ang mga lugar ng malaki at dalawang maliit na mga parisukat ay pantay. Isaalang-alang ang pagguhit sa kaliwa. Dito, nagtayo kami ng mga parisukat sa mga gilid ng isang kanang-anggulo na tatsulok at iginuhit ang isang ray s mula sa tuktok ng tamang anggulo C patayo sa hypotenuse AB, pinuputol nito ang parisukat na ABIK, na binuo sa hypotenuse, sa dalawang parihaba - BHJI at HAKJ, ayon sa pagkakabanggit. Ito ay lumiliko na ang mga lugar ng mga parihaba na ito ay eksaktong pantay sa mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa kaukulang mga binti. Subukan nating patunayan na ang lugar ng square DECA ay pantay sa lugar ng isang rektanggulo AHJK Para sa mga ito gumagamit kami ng isang pandiwang pantulong na obserbasyon: Ang lugar ng isang tatsulok na may parehong taas at base dahil ang parihaba na ito ay katumbas sa kalahati ng lugar ng ibinigay na rektanggulo. Ito ay isang kinahinatnan ng pagtukoy sa lugar ng isang tatsulok bilang kalahati ng produkto ng base at taas. Mula sa pagmamasid na ito ay sumusunod na ang lugar ng tatsulok na ACK ay katumbas ng lugar ng tatsulok na AHK (hindi ipinakita sa figure), na, sa turn, ay katumbas sa kalahati ng lugar ng rektanggulo na AHJK. Patunayan natin ngayon na ang lugar ng tatsulok na ACK ay katumbas din sa kalahati ng lugar ng square DECA. Ang tanging bagay na kailangang gawin para dito ay upang patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ACK at BDA (dahil ang lugar ng tatsulok na BDA ay katumbas sa kalahati ng lugar ng parisukat ayon sa nabanggit na pag-aari). Ang pagkakapantay-pantay ay halata, ang mga tatsulok ay pantay sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila. Namely - AB \u003d AK, AD \u003d AC - ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo CAK at BAD ay madaling patunayan sa pamamagitan ng pamamaraan ng paggalaw: pinaikot namin ang tatsulok na CAK sa pamamagitan ng 90 ° counterclockwise, pagkatapos ay malinaw na ang mga kaukulang panig ng dalawang tatsulok sa ilalim ng pagsasaalang-alang ay magkakasabay (dahil ang anggulo sa tuktok ng parisukat ay 90 °). Ang pangangatuwiran tungkol sa pagkakapantay-pantay ng mga lugar ng parisukat na BCFG at ang rektanggulo na BHJI ay ganap na magkatulad. Kaya, napatunayan namin na ang lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay ang kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti.

Patunay ng Leonardo da Vinci

Ang mga pangunahing elemento ng patunay ay simetrya at paggalaw.

Isaalang-alang ang pagguhit, tulad ng makikita mula sa simetrya, ang segment na CI ay pinutol ang parisukat na ABHJ sa dalawang magkatulad na bahagi (dahil ang mga tatsulok na ABC at JHI ay pantay sa konstruksyon). Gamit ang isang 90 degree na counterclockwise rotation, nakikita namin ang pagkakapantay-pantay ng shaded figure na CAJI at GDAB. Ngayon malinaw na ang lugar ng shaded figure ay katumbas ng kabuuan ng mga halves ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti at lugar ng orihinal na tatsulok. Sa kabilang banda, ito ay pantay sa kalahati ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse kasama ang lugar ng orihinal na tatsulok. Ang huling hakbang sa patunay ay naiwan sa mambabasa.

Mga equation ng Pythagorean teorem. Mga pamamaraan para sa pagpapatunay ng teorema ng Pythagorean. Ang magkatulad na geometric na hugis sa tatlong panig