Paano malaya mula sa irrationality sa denominator ng isang fraction. Exemption mula sa irrationality ng denominator ng isang fraction. Pag-extract ng square root na may partikular na antas ng katumpakan. Mga pangunahing hakbang upang maalis ang irrationality sa denominator ng isang fraction

Kapag binabago ang isang fractional algebraic expression, sa denominator kung saan nakasulat ang isang hindi makatwiran na expression, kadalasang sinusubukan ng isa na katawanin ang fraction sa paraang ang denominator nito ay makatwiran. Kung ang A,B,C,D,... ay ilang mga algebraic na expression, kung gayon posible na ipahiwatig ang mga panuntunan kung saan maaaring alisin ng isa ang mga radikal na palatandaan sa denominator ng mga expression ng form

Sa lahat ng mga kasong ito, ang irrationality ay inaalis sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator ng fraction sa isang salik na pinili upang ang produkto nito sa denominator ng fraction ay makatwiran.

1) Upang mapupuksa ang irrationality sa denominator ng isang fraction ng form . I-multiply ang numerator at denominator sa

Halimbawa 1. .

2) Sa kaso ng mga fraction ng form . I-multiply ang numerator at denominator sa isang hindi makatwirang salik

ayon sa pagkakabanggit, ibig sabihin, sa conjugate irrational expression.

Ang kahulugan ng huling aksyon ay na sa denominator ang produkto ng kabuuan at ang pagkakaiba ay na-convert sa pagkakaiba ng mga parisukat, na magiging isang nakapangangatwiran na pagpapahayag.

Halimbawa 2. Alisin ang irrationality sa denominator ng expression:

Solusyon, a) Pina-multiply natin ang numerator at denominator ng fraction sa expression. Nakukuha namin (sa kondisyon na)

3) Sa kaso ng mga expression tulad ng

ang denominator ay tinatrato bilang kabuuan (difference) at i-multiply sa hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba (sum) upang makuha ang kabuuan (difference) ng mga cube ((20.11), (20.12)). Ang numerator ay pinarami rin ng parehong salik.

Halimbawa 3. Alisin ang irrationality sa denominator ng mga expression:

Solusyon, a) Isinasaalang-alang ang denominator ng isang binigay na fraction bilang kabuuan ng mga numero at 1, pinaparami natin ang numerator at denominator sa hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba sa pagitan ng mga numerong ito:

o sa wakas:

Sa ilang mga kaso, kinakailangan na magsagawa ng isang pagbabagong-anyo ng kabaligtaran na kalikasan: upang palayain ang fraction mula sa irrationality sa numerator. Ito ay isinasagawa sa eksaktong parehong paraan.

Halimbawa 4. Alisin ang irrationality sa numerator ng isang fraction.

Exemption mula sa irrationality sa denominator ng isang fraction

2015-06-13

Conjugate irrational expression

Kapag binabago ang isang fractional algebraic expression, sa denominator kung saan nakasulat ang isang hindi makatwiran na expression, kadalasang sinusubukan ng isa na katawanin ang fraction sa paraang ang denominator nito ay makatwiran. Kung ang $A, B, C, D, \cdots$ ay ilang mga algebraic na expression, posible na ipahiwatig ang mga patakaran kung saan maaaring alisin ng isa ang mga radikal na palatandaan sa denominator ng mga expression ng form

$\frac(A)(\sqrt[n](B)), \frac(A)(B+C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D )), \frac(A)( \sqrt(B) \pm \sqrt(C))$ atbp.

Sa lahat ng mga kasong ito, ang irrationality ay inaalis sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator ng fraction sa isang salik na pinili upang ang produkto nito sa denominator ng fraction ay makatwiran.

1) Upang maalis ang irrationality sa denominator ng isang fraction ng anyong $A/ \sqrt[n](B)$, i-multiply ang numerator at denominator sa $\sqrt[n](B^(n-1)) $.
$\frac(A)(\sqrt[n](B)) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1)))(\sqrt[n](B) \sqrt[n] (B^(n-1))) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1)))(B)$.

Halimbawa 1. $\frac(4a^(2)b)(\sqrt(2ac)) = \frac(4a^(2)b \sqrt(4a^(2)c^(2)))(2ac) = \frac(2ab)(c) \sqrt(4a^(2)c^(2))$.

Sa kaso ng mga fraction ng anyong $\frac(A)(B+ C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D))$, i-multiply ang numerator at denominator sa pamamagitan ng hindi makatwirang salik
$B - C \sqrt(D)$ o $\sqrt(B) - c \sqrt(D)$
ayon sa pagkakabanggit, ibig sabihin, sa conjugate irrational expression.

Ang kahulugan ng huling aksyon ay na sa denominator ang produkto ng kabuuan at ang pagkakaiba ay na-convert sa pagkakaiba ng mga parisukat, na magiging isang nakapangangatwiran na pagpapahayag.

Halimbawa 2. Alisin ang irrationality sa denominator ng expression:
a) $\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x)$; b) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3))$.

Solusyon, a) I-multiply natin ang numerator at denominator ng fraction sa
expression $\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x$. Nakukuha namin (ipagpalagay na $y \neq 0$)
$\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x) = \frac(xy (\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x)) ((x^(2) + y^(2)) – x^(2)) = \frac(x)(y) (\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x)$ ;
b) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3)) = \frac(2(\sqrt(5) + \sqrt(3)))(5 - 3) = \sqrt(5 ) + \sqrt(3)$.
3) Sa kaso ng mga expression tulad ng
$\frac(A)(B \pm C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) \pm C \sqrt(D))$
ang denominator ay itinuturing bilang kabuuan (difference) at pinarami ng hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba (sum) upang makuha ang kabuuan (difference) ng mga cube. Ang numerator ay pinarami rin ng parehong salik.

Halimbawa 3. Alisin ang irrationality sa denominator ng mga expression:
a)$\frac(3)(\sqrt(5) + 1)$; b)$\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b))$

Solusyon, a) Isinasaalang-alang ang denominator ng fraction na ito bilang kabuuan ng mga numerong $\sqrt(5)$ at $1$, i-multiply namin ang numerator at denominator sa hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba ng mga numerong ito:
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3 (\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) +1))((\sqrt(5) + 1) (\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) + 1)) = \frac(3(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1))((\sqrt(5))^ (3) +1)$,
o sa wakas:
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1))(6) = \frac(\sqrt(25) - \ sqrt(5) + 1)(2)$
b) $\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b)) = \frac(\sqrt(a^(2)) + 2 \sqrt(ab) + 4 \sqrt(b^( 2)))((\sqrt(a))^(3) – (2 \sqrt(b))^(3)) = \frac( \sqrt(a^(2)) + 2 \sqrt(ab) + 4 \sqrt(b^(2)))(a-8b)$.

Sa ilang mga kaso, kinakailangan na magsagawa ng isang pagbabagong-anyo ng kabaligtaran na kalikasan: upang palayain ang fraction mula sa irrationality sa numerator. Ito ay isinasagawa sa eksaktong parehong paraan.

Halimbawa 4. Alisin ang irrationality sa numerator $\frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b)$.
Solusyon. $ \frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b) = \frac((a+b) - (a-b))(2b(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b) ))) = \frac(1)(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b))$

Pag-convert ng mga Ekspresyon na Naglalaman ng Arithmetic Square Roots

Layunin ng aralin: paglikha ng mga kondisyon para sa pagbuo ng mga kasanayan, upang gawing simple ang mga expression na naglalaman ng aritmetika square roots sa kurso ng trabaho sa mga grupo ng mga shift.

Mga layunin ng aralin: suriin teoretikal na pagsasanay mga mag-aaral, ang kakayahang kunin ang square root mula sa isang numero, upang mabuo ang mga kasanayan sa wastong pagpaparami ng kanilang kaalaman at kasanayan, upang bumuo ng mga kasanayan sa pagkalkula, upang linangin ang kakayahang magtrabaho nang magkapares at responsibilidad para sa isang karaniwang layunin.

Sa panahon ng mga klase.

ako. Oras ng pag-aayos. "TALAAN NG PAGHAHANDA»

Pag-aayos ng antas ng kahandaan para sa simula ng aralin.

25 card pula (5 puntos), dilaw (4 puntos), asul

kulay (3 puntos).

Talaan ng kahandaan

5 puntos (gustong malaman, gawin, magpasya)

4 na puntos (handa na akong umalis)

3 puntos (Masama ang pakiramdam ko, hindi ko maintindihan ang materyal, kailangan ko ng tulong)

II . Paggawa ng indibidwal na card

Card 1

Alisin ang multiplier mula sa ilalim ng root sign:

Card 2

Maglagay ng multiplier sa ilalim ng root sign:

Card 3

Pasimplehin:
A)
b)
V)

(Suriin pagkatapos suriin ang takdang-aralin)

III . Sinusuri ang takdang-aralin.

No. 166, 167 pasalita nang harapan

(self-assessment gamit ang mga signal card: berde - lahat ay tama, pula - may error)

IV . Pag-aaral ng bagong materyal. Magtrabaho sa mga pangkat ng shift.

Upang malayang pag-aralan ang materyal upang maipaliwanag ito sa mga miyembro ng grupo mamaya. Ang klase ay nahahati sa 6 na grupo ng 4 na tao.

1, 2 at 3 pangkat - mga mag-aaral na may karaniwang kakayahan

Paano mapupuksa ang irrationality sa denominator ng isang fraction? Isaalang-alang ang pangkalahatang kaso at mga partikular na halimbawa.

Kung ang numero o ekspresyon sa ilalim ng tanda parisukat na ugat sa denominator, ay isa sa mga salik upang maalis ang irrationality sa denominator at ang numerator at denominator ng fraction ay pinarami ng square root ng numero o expression na ito:

Mga halimbawa.

1) ;

2) .

Pangkat 4, 5 at 6 - mga mag-aaral na may mga kakayahan na higit sa karaniwan.

Kung ang denominator ng isang fraction ay ang kabuuan o pagkakaiba ng dalawang expression na naglalaman ng square root, upang maalis ang irrationality sa denominator, i-multiply natin ang numerator at denominator sa conjugate radical:

Mga halimbawa. Alisin ang irrationality sa denominator ng isang fraction:

Magtrabaho sa mga bagong grupo (4 na grupo ng 6 na tao, 1 tao mula sa bawat grupo).

Pagpapaliwanag ng mga natutunang materyal sa mga miyembro bagong grupo. (peer assessment - magkomento sa paliwanag ng mag-aaral sa materyal)

V . Sinusuri ang asimilasyon ng teoretikal na materyal.Ang mga tanong ay sinasagot ng mga mag-aaral na hindi nagpapaliwanag sa bahaging ito ng teoretikal na materyal.

1) Paano mapupuksa ang irrationality sa denominator ng isang fraction kung ang numero o expression sa ilalim ng square root sign sa denominator ay isa sa mga kadahilanan?

2) Paano mapupuksa ang irrationality sa denominator ng isang fraction kung ang denominator ng isang fraction ay ang kabuuan o pagkakaiba ng dalawang expression na naglalaman ng square root?

3) kung paano mapupuksa ang irrationality sa denominator ng isang fraction

4) Paano mapupuksa ang irrationality sa denominator ng isang fraction

VI . Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal. Sinusuri ang independiyenteng gawain.

No. 81 ("Algebra" grade 8, A. Abylkasymova, I. Bekboev, A. Abdiev, Z, Zhumagulova)

No. 170 (1,2,3,5,6) ("Algebra" Grade 8, A. Shynybekov)

Pamantayan sa pagsusuri:

Level A - No. 81 mga halimbawa 1-5 markahan "3"

Level B - No. 81 mga halimbawa 6-8 at No. 170 mga halimbawa 5.6 markahan ang "4"

Level C - No. 170 mga halimbawa 1-6 markahan "5"

(self-assessment, flipchart check)

VII . Takdang aralin.

№ 218

VIII. Pagninilay. "Telegrama"

Inaanyayahan ang lahat na punan ang isang telegrama na form, habang tinatanggap ang sumusunod na tagubilin: "Ano sa palagay mo ang nakaraang aralin? Ano ang mahalaga sa iyo? Ano ang iyong natutunan? Ano ang nagustuhan mo? Ano ang nananatiling hindi maliwanag? Saang direksyon tayo dapat sumulong? Mangyaring sumulat sa akin ng isang maikling mensahe tungkol dito - isang telegrama na may 11 salita. Gusto kong malaman ang iyong opinyon upang maisaalang-alang ito sa hinaharap na gawain.

Buod ng aralin.

Sa paksang ito, isasaalang-alang namin ang lahat ng tatlo sa itaas na mga pangkat ng mga limitasyon na may hindi makatwiran. Magsimula tayo sa mga limitasyon na naglalaman ng kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$.

Pagsisiwalat ng kawalan ng katiyakan $\frac(0)(0)$.

Skema ng solusyon karaniwang mga halimbawa ng ganitong uri ay karaniwang binubuo ng dalawang hakbang:

• Inaalis natin ang irrationality na naging sanhi ng kawalan ng katiyakan sa pamamagitan ng pagpaparami ng tinatawag na "adjoint" expression;
• Kung kinakailangan, nabubulok namin ang expression sa numerator o denominator (o pareho) sa mga salik;
• Binabawasan namin ang mga salik na humahantong sa kawalan ng katiyakan at kinakalkula ang nais na halaga ng limitasyon.

Ang terminong "adjoint expression" na ginamit sa itaas ay ipapaliwanag nang detalyado sa mga halimbawa. Sa ngayon, walang dahilan upang pag-isipan ito nang detalyado. Sa pangkalahatan, maaari kang pumunta sa kabilang paraan, nang hindi gumagamit ng conjugate expression. Minsan ang isang mahusay na napiling kapalit ay maaaring mapupuksa ang hindi makatwiran. Ang mga ganitong halimbawa ay bihira sa pamantayan kontrol sa trabaho, samakatuwid, isasaalang-alang lamang namin ang isang halimbawa No. 6 upang gamitin ang kapalit (tingnan ang pangalawang bahagi ng paksang ito).

Kakailanganin namin ang ilang mga formula, na isusulat ko sa ibaba:

\begin(equation) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(equation) \begin(equation) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(equation) \begin(equation) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(equation) \begin (equation) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(equation)

Bilang karagdagan, ipinapalagay namin na alam ng mambabasa ang mga formula para sa paglutas ng mga quadratic equation. Kung ang $x_1$ at $x_2$ ay ang mga ugat ng square trinomial na $ax^2+bx+c$, maaari itong i-factorize gamit ang sumusunod na formula:

\begin(equation) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(equation)

Ang mga formula (1)-(5) ay sapat na upang malutas ang mga karaniwang problema, kung saan tayo ngayon ay bumaling.

Halimbawa #1

Hanapin ang $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Dahil $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ at $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, pagkatapos ay sa ibinigay na limitasyon mayroon kaming kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$. Pinipigilan tayo ng pagkakaibang $\sqrt(7-x)-2$ na ibunyag ang kawalan ng katiyakan na ito. Upang mapupuksa ang gayong mga irrationalities, ang pagpaparami ng tinatawag na "adjoint expression" ay ginagamit. Isasaalang-alang natin ngayon kung paano gumagana ang naturang pagpaparami. I-multiply ang $\sqrt(7-x)-2$ sa $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Upang palawakin ang mga bracket, inilalapat namin ang , pinapalitan ang $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ sa kanang bahagi ng nabanggit na formula:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Tulad ng nakikita mo, kung i-multiply mo ang numerator sa $\sqrt(7-x)+2$, mawawala ang ugat (i.e. irrationality) sa numerator. Ang expression na ito ay $\sqrt(7-x)+2$ ay magiging conjugate sa expression na $\sqrt(7-x)-2$. Gayunpaman, hindi natin basta-basta kunin at i-multiply ang numerator sa $\sqrt(7-x)+2$, dahil babaguhin nito ang fraction na $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, na nasa ilalim ng limitasyon. Kailangan mong i-multiply ang numerator at ang denominator sa parehong oras:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Ngayon tandaan na $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ at palawakin ang mga bracket. At pagkatapos buksan ang mga bracket at kaunting pagbabagong $3-x=-(x-3)$, binabawasan namin ang fraction ng $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Ang kawalan ng katiyakan $\frac(0)(0)$ ay nawala. Ngayon ay madali mong makuha ang sagot sa halimbawang ito:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Pansinin ko na maaaring baguhin ng conjugate expression ang istraktura nito - depende sa kung anong uri ng hindi makatwiran ang dapat nitong alisin. Sa mga halimbawa #4 at #5 (tingnan ang ikalawang bahagi ng paksang ito), ibang uri ng conjugate expression ang gagamitin.

Sagot: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Halimbawa #2

Hanapin ang $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Dahil $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ at $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, pagkatapos ay tayo ay humaharap sa isang kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$. Alisin natin ang irrationality sa denominator ng fraction na ito. Upang gawin ito, idagdag natin pareho ang numerator at denominator ng fraction na $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ sa expression $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ conjugate sa denominator:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\kanan|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Muli, tulad ng halimbawa No. 1, kailangan mong gumamit ng mga panaklong upang mapalawak. Ang pagpapalit ng $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ sa kanang bahagi ng binanggit na formula, makukuha natin ang sumusunod na expression para sa denominator:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ kanan)=\\ =\kaliwa(\sqrt(x^2+5)\kanan)^2-\kaliwa(\sqrt(7x^2-19)\kanan)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Bumalik tayo sa ating limitasyon:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

Sa halimbawa No. 1, halos kaagad pagkatapos na i-multiply sa conjugate expression, ang fraction ay nabawasan. Dito, bago ang pagbabawas, kinakailangang i-factor ang mga expression na $3x^2-5x-2$ at $x^2-4$, at pagkatapos ay magpatuloy lamang sa pagbabawas. Upang i-factor ang expression na $3x^2-5x-2$ kailangan mong gamitin ang . Upang magsimula, magpasya tayo quadratic equation$3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(nakahanay) $$

Ang pagpapalit ng $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ sa , mayroon kaming:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\kanan)(x-2)=\kaliwa(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\kanan)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Ngayon ay oras na upang i-factor out ang expression na $x^2-4$. Gamitin natin ang , palitan ang $a=x$, $b=2$ dito:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Gamitin natin ang mga nakuhang resulta. Dahil ang $x^2-4=(x-2)(x+2)$ at $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, kung gayon:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Ang pagbabawas sa pamamagitan ng bracket na $x-2$ ay makukuha natin:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Lahat! Ang kawalan ng katiyakan ay nawala. Isa pang hakbang at makarating tayo sa sagot:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Sagot: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

Sa sumusunod na halimbawa, isaalang-alang ang kaso kapag ang irrationality ay makikita sa numerator at sa denominator ng isang fraction.

Halimbawa #3

Hanapin ang $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))$.

Dahil $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ at $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, pagkatapos ay mayroon kaming kawalan ng katiyakan sa form na $ \frac (0)(0)$. Dahil sa kasong ito ang mga ugat ay naroroon pareho sa denominator at sa numerator, upang maalis ang kawalan ng katiyakan, kailangan mong i-multiply ng dalawang bracket nang sabay-sabay. Una, sa expression na $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ conjugate sa numerator. At pangalawa, sa expression na $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ conjugate sa denominator.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\kaliwa|\frac(0)(0)\kanan|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(aligned) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Para sa expression na $x^2-8x+15$ nakukuha namin ang:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(aligned) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(aligned)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Pinapalitan ang mga nakuhang pagpapalawak na $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ at $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ sa isinasaalang-alang limitasyon, ay magkakaroon ng:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2) -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Sagot: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

Sa susunod na (pangalawang) bahagi, isasaalang-alang natin ang ilang higit pang mga halimbawa kung saan ang conjugate expression ay magkakaroon ng ibang anyo kaysa sa mga nakaraang problema. Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay ang layunin ng paggamit ng isang conjugate expression ay upang mapupuksa ang irrationality na nagdudulot ng kawalan ng katiyakan.

Isaalang-alang ang isang problema mula sa algebra ng polynomials.

Gawain 4.1

Hayaan ang isang maging ugat ng polynomial x 3 + 6x - 3. Kailangan nating alisin ang algebraic irrationality sa denominator ng fraction

Yung. kinakatawan ang fraction bilang polynomial sa isang may rational

tunay na mga coefficient.

Solusyon. Ang denominator ng isang fraction ay ang halaga mula sa A polinomyal ayusin) = x 2 + 5, at ang minimal na polynomial ng isang algebraic na elemento A ay f(x) \u003d x 3 + 6x- 3, dahil ang polynomial na ito ay hindi mababawasan sa field Q (sa pamamagitan ng Eisenstein criterion para sa prime p = 3). Hanapin natin ang NODOs 3 + 6x - 3, x 2 + 5) kasama ang gamit ang Euclid algorithm:

I-generalize natin ang sitwasyon at isaalang-alang ang pangkalahatang problema.

Ang problema sa pag-alis ng algebraic irrationality sa denominator ng isang fraction

Hayaan ang isang algebraic irrationality sa isang field P na may mi-

, . „ a k a k + a k _, a k ~ l-f-. + aia + Oo

minimal polynomial fOO at B = - - 1

b t a t +bro-ioc" 1 - 1 +... + bja +b 0

kung saan ang mga coefficient ng polynomials sa numerator at denominator ng fraction ay nabibilang sa field R. Alisin ang algebraic irrationality sa denominator ng isang fraction, i.e. kasalukuyan (3 bilang

kung saan ang mga coefficient ay nabibilang sa field R.

Solusyon. Ipahiwatig /)*) = b nl x" + b m _ 1 x nl_1 +... + b) x + b 0 at y =/(a). Since ^ 0, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pag-aari ng minimal polynomial gcd(/(x), φ(x)) = 1. Gamit ang Euclidean algorithm, makikita natin ang mga polynomial na u(x) at v(x) na ganyan f(x) at(x) + f(x)y(x) = 1. Kaya Oo) at (a) + f (a) y (a) \u003d 1, at dahil f (a) \u003d 0, pagkatapos ay Da) at (a) \u003d 1. Samakatuwid, ang pagpaparami ng numerator at denominator ng fraction na ito sa q (a), kami kumuha ng isa sa denominator, at ang gawain ay malulutas.

Tandaan na ang pangkalahatang paraan ng pag-alis ng algebraic irrationality sa denominator ng isang fraction sa kaso ng complex isang + s

mga numero - humahantong sa kilalang pamamaraan para sa pagpaparami ng mga numero -

denominator at denominator sa pamamagitan ng conjugate ng denominator.

Makasaysayang paglihis

Sa unang pagkakataon, natuklasan ni J. Liouville (1809-1882) ang pagkakaroon ng mga numerong transendente sa larangan ng Q sa kanyang mga papel noong 1844 at 1851. Isa sa mga transendental na numero ng Liouville ay ang numero

S. Ermitanyo (1822-

a = Y--. Decimal a = 0D100010..

klase 10*

1901) pinatunayan ang transcendence ng bilang e noong 1873, at pinatunayan ni K. F. Lindemann (1852-1939) noong 1882 ang transcendence ng numero P. Ang mga resultang ito ay hindi madaling nakuha. Kasabay nito, medyo pinatunayan ni G. Kantor (1845-1918) na mayroong "makabuluhang higit pa" transendental na mga numero kaysa sa mga algebraic: mayroong "parehong bilang" ng mga transendental na numero dahil mayroong lahat ng tunay na numero, habang mayroong " ang parehong bilang” ng mga algebraic na numero, ilan natural na mga numero. Mas tiyak, ang hanay ng mga algebraic na numero ay mabibilang, habang ang hanay ng mga transendental na numero ay hindi mabilang. Ang patunay ng katotohanang ito, na nagtatatag ng pagkakaroon ng mga transendental na numero, ay hindi nagbibigay ng isang recipe para sa pagkuha ng alinman sa mga ito. Ang mga teorema ng pag-iral ng ganitong uri ay lubhang mahalaga sa matematika dahil sila ay nagtataglay ng kumpiyansa sa tagumpay ng paghahanap para sa isang bagay na ang pagkakaroon ay napatunayan na. Kasabay nito, mayroong isang direksyon sa matematika, na ang mga kinatawan ay hindi kinikilala ang mga dalisay na teorema ng pag-iral, na tinatawag silang hindi nakabubuo. Ang pinakakilala sa mga kinatawan na ito ay sina L. Kronecker at J. Brouwer.

Noong 1900, sa World Congress of Mathematicians sa Paris, binuo ng German mathematician na si D. Hilbert (1862-1943) ang sumusunod na problema22: Ano ang katangian ng numerong aP, kung saan ang a at (3 ay mga algebraic na numero, a ^ 0, a ^ 1 at ang antas ng algebraic na numero (3 ay hindi bababa sa 2? A. O. Gel'fond (1906-1968) ay pinatunayan na ang mga naturang numero ay transendental. Ito ay sumusunod, sa partikular, na ang mga numero 2^, 3r ay transendental.