Mga formula ng Arctg cast. Trigonometry. Mga kabaligtaran na pag-andar ng trigonometriko. Ang mga kabaligtaran na mga graph function ng trigonometric

Kahulugan at notasyon

Arcsine (y \u003d arcsin x) ang kabaligtaran ng sine function (x \u003d kasalanan y -1 ≤ x ≤ 1 at ang hanay ng mga halaga -π / 2 ≤ y ≤ π / 2.
kasalanan (arcsin x) \u003d x ;
arcsin (kasalanan x) \u003d x .

Minsan ipinapahiwatig ang Arcsine tulad ng mga sumusunod:
.

Ang grap ng pag-andar ng Arcsine

Function graph y \u003d arcsin x

Ang plot ng arcsine ay nakuha mula sa plot ng sine sa pamamagitan ng pagpapalit ng abscissa at mag-ordinate axes. Upang matanggal ang kalabuan, ang hanay ng mga halaga ay limitado sa pagitan ng kung saan ang pag-andar ay monotonic. Ang kahulugan na ito ay tinatawag na pangunahing halaga ng arcsine.

Arccosine, arccos

Kahulugan at notasyon

Arccosine (y \u003d mga arko x) ay ang pag-andar na kabaligtaran sa kosina (x \u003d cos y). Mayroon itong saklaw -1 ≤ x ≤ 1 at maraming kahulugan 0 ≤ y ≤ π.
kos (arccos x) \u003d x ;
arccos (cos x) \u003d x .

Ang Arccosine kung minsan ay sinasabing sumusunod:
.

Arcosine function na graph

Function graph y \u003d mga arko x

Ang plot ng arccosine ay nakuha mula sa plot ng kosine sa pamamagitan ng pagpapalit ng abscissa at mag-ordinate axes. Upang matanggal ang kalabuan, ang hanay ng mga halaga ay limitado sa pagitan ng kung saan ang pag-andar ay monotonic. Ang kahulugan na ito ay tinatawag na pangunahing halaga ng arccosine.

Pagkamaalamin

Ang function ng arcsine ay kakaiba:
arcsin (- x) \u003d arcsin (-sin arcsin x) \u003d arcsin (kasalanan (-arcsin x)) \u003d - arcsin x

Ang kabaligtaran na pag-andar ng kosine ay hindi man o kakatwa:
arccos (- x) \u003d arccos (-cos arccos x) \u003d arccos (cos (π-arccos x)) \u003d π - arccos x ≠ ± arccos x

Mga Katangian - extrema, pagtaas, pagbawas

Ang kabaligtaran na sine at kabaligtaran na pag-andar ng kosine ay patuloy sa kanilang domain ng kahulugan (tingnan ang patunay ng pagpapatuloy). Ang mga pangunahing katangian ng arcsine at arcsine ay ipinakita sa talahanayan.

	y \u003d arcsin x	y \u003d mga arko x
Saklaw at pagpapatuloy	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Saklaw ng mga halaga
Dagdagan, bawasan	pagtaas ng monotonically	bumababa ng monotonically
Mataas
Ang mga minimum
Zeros, y \u003d 0	x \u003d 0	x \u003d 1
Mga puntos ng intersection sa y-axis, x \u003d 0	y \u003d 0	y \u003d π / 2

Arcsine at Arccosine Table

Ipinapakita ng talahanayan na ito ang mga halaga ng mga arko at arccosines, sa mga degree at radian, para sa ilang mga halaga ng argumento.

x	arcsin x		mga arko x
	yelo	masaya.	yelo	masaya.
- 1	- 90 °	-	180 °	π
-	- 60 °	-	150 °
-	- 45 °	-	135 °
-	- 30 °	-	120 °
0	0°	0	90 °
	30 °		60 °
	45 °		45 °
	60 °		30 °
1	90 °		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Mga formula

Tingnan din: Pagliko ng mga formula para sa kabaligtaran ng pag-andar ng trigonometriko

Mga Pormula ng Kabuuan at Pagkakaiba

sa o

sa at

sa at

sa o

sa at

sa at

sa

sa

sa

sa

Logarithm Expressions, Mga kumplikadong Numero

Tingnan din: Nagbibigay ng mga formula

Ang mga expression sa mga tuntunin ng hyperbolic function

Mga derivatibo

;
.
Tingnan ang Derivative Arcsine at Arccosine Derivatives \u003e\u003e\u003e

Mas mataas na order derivatives:
,
saan ang isang polynomial ng degree. Natutukoy ito ng mga pormula:
;
;
.

Tingnan ang Pinagmulan ng mas mataas na order derivatives ng arcsine at arcsine \u003e\u003e\u003e

Mga integral

Pagpapalit x \u003d kasalanan t... Isinasama namin sa pamamagitan ng mga bahagi, isinasaalang-alang na -π / 2 ≤ t ≤ π / 2, kos t ≥ 0:
.

Ipaalam sa amin ang kabaligtaran kosine sa mga tuntunin ng arcsine:
.

Pagpapalawak ng serye

Para sa | x |< 1 nagaganap ang sumusunod na pagkabulok:
;
.

Mga kabaligtaran na pag-andar

Ang kabaligtaran ng kabaligtaran na sine at ang kabaligtaran ng kosine ay sine at cosine, ayon sa pagkakabanggit.

Ang sumusunod na mga formula ay may bisa sa buong domain:
kasalanan (arcsin x) \u003d x
kos (arccos x) \u003d x .

Ang mga sumusunod na formula ay may bisa para lamang sa hanay ng mga halaga ng arcsine at arcsine:
arcsin (kasalanan x) \u003d x sa
arccos (cos x) \u003d x sa.

Mga Sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Matematika para sa Mga Engineer at Estudyante ng Teknikal na mga Institusyon, "Lan", 2009.

Tingnan din:

Ang mga kabaligtaran na pag-andar ng trigonometriko ay mga pag-andar sa matematika na kabaligtaran ng mga pag-andar ng trigonometriko.

Function y \u003d arcsin (x)

Ang arcsine ng isang numero α ay isang bilang α mula sa agwat [-π / 2; π / 2], ang sine na kung saan ay katumbas ng α.
Function graph
Ang pag-andar y \u003d sin\u2061 (x) sa segment [-π / 2; π / 2] ay mahigpit na pagtaas at tuluy-tuloy; samakatuwid, mayroon itong kabaligtaran function, mahigpit na pagtaas at tuluy-tuloy.
Ang baligtad na pag-andar para sa pagpapaandar y \u003d sin\u2061 (x), kung saan x ∈ [-π / 2; π / 2], ay tinatawag na arcsine at isinailin ng y \u003d arcsin (x), kung saan x ∈ [-1; 1].
Kaya, ayon sa kahulugan ng kabaligtaran function, ang domain ng kahulugan ng arcsine ay ang segment [-1; 1], at ang hanay ng mga halaga ay ang segment [-π / 2; π / 2].
Tandaan na ang graph ng function y \u003d arcsin (x), kung saan x ∈ [-1; 1]. Ay simetriko sa grap ng pag-andar y \u003d kasalanan (\u2061x), kung saan x ∈ [-π / 2;] / 2], na nauugnay sa bisector ng mga anggulo ng coordinate. una at pangatlong quarter.

Saklaw ng pag-andar y \u003d arcsin (x).

Halimbawa # 1.

Hanapin ang arcsin (1/2)?

Dahil ang hanay ng mga halaga ng mga arcsin ng pag-andar (x) ay kabilang sa agwat [-π / 2; π / 2], ang halaga lamang ng π / 6 ang naaangkop. Dahil dito, ang arcsin (1/2) \u003d π / 6.
Sagot: π / 6

Halimbawa # 2.
Hanapin ang arcsin (- (√3) / 2)?

Dahil ang hanay ng mga halaga ng arcsin (x) х ∈ [-π / 2; π / 2], tanging ang halaga -π / 3 ang angkop.Kayunman, ang arcsin (- (√3) / 2) \u003d - π / 3.

Function y \u003d arccos (x)

Ang kabaligtaran ng kosine ng isang numero α ay isang bilang α mula sa isang agwat na ang kosina ay pantay sa α.

Function graph

Ang pag-andar y \u003d kos (\u2061x) sa isang segment ay mahigpit na bumababa at nagpapatuloy; samakatuwid, mayroon itong isang kabaligtaran function, mahigpit na pagbawas at tuluy-tuloy.
Ang baligtad na pag-andar para sa function y \u003d cos\u2061x, kung saan x x, ay tinatawag kabaligtaran kosine at isinailalim sa pamamagitan ng y \u003d arccos (x), kung saan х ∈ [-1; 1].
Kaya, ayon sa kahulugan ng kabaligtaran function, ang domain ng kahulugan ng arccosine ay ang segment [-1; 1], at ang hanay ng mga halaga ay ang segment.
Tandaan na ang graph ng function y \u003d arccos (x), kung saan x ∈ [-1; 1], ay simetriko sa graph ng function y \u003d cos (\u2061x), kung saan ang x ∈, na nauugnay sa bisector ng mga anggulo ng coordinate ng una at pangatlong quarter.

Ang domain ng pag-andar y \u003d arccos (x).

Halimbawa Hindi.

Maghanap ng mga arccos (1/2)?

Dahil ang saklaw ng mga halaga ay mga arccos (x) х∈, tanging ang halaga π / 3 ang angkop; samakatuwid, ang mga arccos (1/2) \u003d π / 3.
Halimbawa Hindi.
Maghanap ng mga arccos (- (√2) / 2)?

Dahil ang saklaw ng mga halaga ng mga arccos ng function (x) ay kabilang sa agwat, ang halaga lamang ng 3π / 4 ay angkop; samakatuwid, ang mga arccos (- (√2) / 2) \u003d 3π / 4.

Sagot: 3π / 4

Function y \u003d arctan (x)

Ang arctangent ng isang numero α ay isang bilang α mula sa agwat [-π / 2; π / 2], ang tangent na kung saan ay katumbas ng α.

Function graph

Ang pag-andar ng tangent ay patuloy at mahigpit na pagtaas sa agwat (-π / 2; π / 2); samakatuwid, mayroon itong isang kabaligtaran function, na kung saan ay patuloy at mahigpit na pagtaas.
Ang kabaligtaran ng pag-andar para sa pagpapaandar y \u003d tg\u2061 (x), kung saan х∈ (-π / 2; π / 2); ay tinawag na arctangent at sinasagisag ng y \u003d arctan (x), kung saan ang х∈R.
Kaya, ayon sa kahulugan ng kabaligtaran function, ang domain ng kahulugan ng arctangent ay ang agwat (-∞; + ∞), at ang hanay ng mga halaga ay ang agwat
(-π / 2; π / 2).
Tandaan na ang graph ng function y \u003d arctan (x), kung saan ang х∈R, ay simetriko sa grap ng pag-andar y \u003d tg\u2061x, kung saan ang х ∈ (-π / 2; π / 2), na nauugnay sa bisector ng mga anggulo ng coordinate ng una at pangatlong quarters.

Saklaw ng pag-andar y \u003d arctan (x).

Halimbawa # 5?

Hanapin ang arctan ((√3) / 3).

Dahil ang saklaw ng mga halaga ng arctan (x) х ∈ (-π / 2; π / 2), ang halaga lamang ng π / 6 ang angkop. Samakatuwid, ang arctg ((√3) / 3) \u003d π / 6.
Halimbawa # 6.
Hanapin ang arctg (-1)?

Dahil ang hanay ng mga halaga ng arctan (x) х ∈ (-π / 2; π / 2), tanging ang halaga -π / 4 ang angkop.Kapagkat, arctg (-1) \u003d - π / 4.

Function y \u003d arcctg (x)

Ang arccotangent ng isang bilang α ay isang bilang α mula sa agwat (0; π), ang cotangent na kung saan ay α.

Function graph

Sa agwat (0; π), ang pag-andar ng cotangent ay mahigpit na bumababa; bukod dito, ito ay patuloy sa bawat punto ng agwat na ito; samakatuwid, sa agwat (0; π), ang pagpapaandar na ito ay may kabaligtaran na pag-andar, na mahigpit na bumababa at nagpapatuloy.
Ang kabaligtaran na pag-andar para sa pagpapaandar y \u003d ctg (x), kung saan ang х ∈ (0; π), ay tinatawag na arc cotangent at isinailin ng y \u003d arcctg (x), kung saan ang х∈R.
Kaya, ayon sa kahulugan ng kabaligtaran na pag-andar, ang domain ng kahulugan ng arc cotangent ay R, at ang hanay ng mga halaga ay ang agwat (0; graph). Ang grap ng pagpapaandar y \u003d arcctg (x), kung saan ang х∈R ay simetriko sa grap ng pag-andar y \u003d ctg (x) х∈ (0 ; π), na nauugnay sa bisector ng mga anggulo ng coordinate ng una at pangatlong quarters.

Saklaw ng pag-andar y \u003d arcctg (x).

Halimbawa # 7.
Hanapin ang arcctg ((√3) / 3)?

Dahil ang saklaw ng mga halaga ay arcctg (x) х ∈ (0; π), tanging ang halaga π / 3 ang angkop; samakatuwid, ang mga arccos ((√3) / 3) \u003d π / 3.

Halimbawa # 8.
Hanapin ang arcctg (- (√3) / 3)?

Yamang ang saklaw ng mga halaga ay arcctg (x) х∈ (0; π), tanging ang halaga ng 2π / 3 ang angkop; samakatuwid, ang mga arccos (- (√3) / 3) \u003d 2π / 3.

Mga editor: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Sa araling ito titingnan natin ang mga tampok kabaligtaran function at ulitin kabaligtaran ng pag-andar ng trigonometriko... Ang mga katangian ng lahat ng mga pangunahing pag-andar ng trigonometric function ay isasaalang-alang nang hiwalay: arc sine, arc cosine, arc tangent at arc cotangent.

Ang araling ito ay makakatulong sa iyo na maghanda para sa isa sa mga uri ng mga takdang aralin SA 7 at C1.

Paghahanda para sa pagsusulit sa matematika

Eksperimento

Aralin 9. Mga salungat na pag-andar ng trigonometriko.

Teorya

Buod ng aralin

Tandaan natin kapag natagpuan natin ang tulad ng isang konsepto bilang isang kabaligtaran function. Halimbawa, isaalang-alang ang pag-andar ng squaring. Ipagpalagay na mayroon kaming isang parisukat na silid na may mga gilid ng 2 metro at nais naming kalkulahin ang lugar nito. Upang gawin ito, gamit ang pormula para sa parisukat ng parisukat, itinaas namin ang dalawa hanggang sa isang parisukat at bilang isang resulta nakuha namin ang 4 m 2. Ngayon isipin ang kabaligtaran na problema: alam namin ang lugar ng isang parisukat na silid at nais na mahanap ang haba ng mga panig nito. Kung alam natin na ang lugar ay pareho pa rin ng 4 m 2, pagkatapos ay isasagawa namin ang reverse action sa pag-squaring - pag-extract ng aritmetika square root, na magbibigay sa amin ng isang halaga ng 2 m.

Kaya, para sa pag-andar ng pag-squaring ng isang numero, ang kabaligtaran na pag-andar ay upang kunin ang aritmetika square root.

Partikular, sa halimbawa sa itaas, wala kaming mga problema sa pagkalkula ng gilid ng silid, mula pa nauunawaan namin na ito ay isang positibong numero. Gayunpaman, kung lumayo tayo sa kasong ito at isaalang-alang ang problema sa mas pangkalahatang paraan: "Kalkulahin ang isang numero na ang parisukat ay apat", magkakaroon tayo ng problema - mayroong dalawang ganoong numero. Ito ang 2 at -2 dahil pantay din sa apat. Ito ay lumiliko na ang kabaligtaran na problema sa pangkalahatang kaso ay nalutas nang hindi malinaw, at ang pagkilos ng pagtukoy ng bilang na parisukat ang nagbigay sa amin ng bilang na alam natin? ay may dalawang resulta. Maginhawang ipakita ito sa tsart:

At nangangahulugan ito na hindi namin maaaring tawagan ang tulad ng isang batas ng sulat sa mga numero ng isang function, dahil para sa isang function ng isang halaga ng argumento ay tumutugma mahigpit na isa halaga ng pagpapaandar.

Upang maipakilala ang eksaktong kabaligtaran na pag-andar sa pag-squaring, ang konsepto ng isang arithmetic square root ay iminungkahi, na nagbibigay lamang ng mga hindi negatibong mga halaga. Ang mga iyon. para sa isang function, isinasaalang-alang ang kabaligtaran function.

Katulad nito, may mga pag-andar na kabaligtaran sa mga function ng trigonometric, tinawag sila kabaligtaran ng pag-andar ng trigonometriko... Ang bawat isa sa mga pag-andar na tinalakay namin ay may sariling kabaligtaran, tinawag sila: arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent.

Ang mga pag-andar na ito ay lutasin ang problema sa pagkalkula ng mga anggulo mula sa kilalang halaga ng pagpapaandar ng trigonometriko. Halimbawa, gamit ang isang talahanayan ng mga halaga ng mga pangunahing pag-andar ng trigonometriko, maaari mong kalkulahin ang sine kung aling anggulo. Nalaman namin ang halagang ito sa linya ng mga kasalanan at tinukoy kung aling anggulo ang tumutugma sa ito. Ang unang bagay na nais kong sagutin ay ito ay isang anggulo o, ngunit kung mayroon kang isang talahanayan ng mga halaga bago, mapapansin mo agad ang isa pang kontra para sa isang sagot - ito ay isang anggulo o. At kung naaalala natin ang panahon ng sine, nauunawaan natin na ang mga anggulo kung saan ang pantay na pantay ay walang hanggan. At tulad ng isang hanay ng mga halaga ng anggulo na naaayon sa isang naibigay na halaga ng pag-andar ng trigonometriko ay masusunod para sa mga cosine, tangents at cotangents, mula pa lahat sila ay may periodicity.

Ang mga iyon. nahaharap kami sa parehong problema na mayroon kami para sa pagkalkula ng halaga ng argumento mula sa halaga ng pagpapaandar para sa parisukat na pagkilos. At sa kasong ito, para sa kabaligtaran ng mga pag-andar ng trigonometriko, isang paghihigpit sa hanay ng mga halaga na ibinibigay nila kapag kinakalkula ang ipinakilala. Ang ari-arian ng naturang mga kabaligtaran na pag-andar ay tinatawag pinaliit ang saklaw, at kinakailangan para sa kanila na tawaging mga function.

Para sa bawat isa sa mga kabaligtaran na pag-andar ng trigonometriko, ang hanay ng mga anggulo na ibabalik nito ay naiiba, at isasaalang-alang namin ang mga ito nang hiwalay. Halimbawa, binabalik ng arcsine ang mga halaga ng anggulo sa saklaw mula sa.

Ang kakayahang magtrabaho sa mga kabaligtaran na pag-andar ng trigonometriko ay magiging kapaki-pakinabang sa amin kapag nalutas mga equation ng trigonometric.

Iminumungkahi namin ngayon ang mga pangunahing katangian ng bawat isa sa mga kabaligtaran na pag-andar ng trigonometriko. Kung nais mong matuto nang higit pa tungkol sa mga ito, sumangguni sa kabanatang "Paglutas ng mga equation ng trigonometric" sa programa ng ika-10 baitang.

Isaalang-alang ang mga katangian ng pag-andar ng arcsine at itayo ang graph nito.

Kahulugan.Arcsine ng isang numerox

Ang mga pangunahing katangian ng arcsine:

1) sa,

2) sa.

Mga pangunahing katangian ng arcsine function:

1) Saklaw ;

2) Saklaw ng mga halaga ;

3) Ang pag-andar ay kakaiba.Ito ay kanais-nais na tandaan ang pormula na ito nang hiwalay, mula pa ito ay kapaki-pakinabang para sa mga pagbabagong-anyo. Tandaan din na ang kakatwa ay nagpapahiwatig ng simetrya ng function na graph na nauugnay sa pinagmulan;

Plano natin ang pagpapaandar:

Tandaan na wala sa mga seksyon ng graph ng pag-andar ay paulit-ulit, na nangangahulugang ang arcsine ay hindi isang panaka-nakang pag-andar, sa kaibahan sa sine. Ang parehong ay ilalapat sa lahat ng iba pang mga pag-andar sa arko.

Isaalang-alang ang mga katangian ng pag-andar ng kabaligtaran na pag-andar ng kosine at itayo ang graph nito.

Kahulugan.Numero ng arccosinex ay tinatawag na halaga ng anggulo y para saan. Bukod dito, bilang isang limitasyon sa mga halaga ng sine, ngunit bilang isang napiling hanay ng mga anggulo.

Ang mga pangunahing katangian ng arccosine:

1) sa,

2) sa.

Mga pangunahing katangian ng pag-andar ng kabaligtaran na kosine:

1) Saklaw ;

2) Saklaw ng mga halaga;

3) Ang pag-andar ay alinman o hindi rin kakatwa, i. pangkalahatang pagtingin ... Ito ay kanais-nais din na alalahanin ang pormula na ito, ito ay magiging kapaki-pakinabang sa amin sa ibang pagkakataon;

4) Ang pag-andar ay bumababa ng monotonically.

Plano natin ang pagpapaandar:

Isaalang-alang ang mga katangian ng arctangent function at bumuo ng graph nito.

Kahulugan.Arctangent ng bilangx ay tinatawag na halaga ng anggulo y para saan. Bukod dito, mula pa walang mga paghihigpit sa mga halenteng halaga, ngunit bilang napiling hanay ng mga anggulo.

Ang pangunahing katangian ng arctangent:

1) sa,

2) sa.

Ang pangunahing katangian ng arctangent function:

1) Saklaw ng kahulugan;

2) Saklaw ng mga halaga ;

3) Ang pag-andar ay kakaiba ... Ang formula na ito ay kapaki-pakinabang pati na rin ang mga katulad nito. Tulad ng sa kaso ng arcsine, ang kakatwa ay nagpapahiwatig ng simetrya ng function na graph na nauugnay sa pinagmulan;

4) Ang pagpapaandar ay nagdaragdag ng monotonically.

Plano natin ang pagpapaandar:

Mga Aralin 32-33. Mga kabaligtaran na pag-andar ng trigonometriko

09.07.2015 8936 0

Layunin: isaalang-alang ang kabaligtaran na pag-andar ng trigonometriko, ang kanilang paggamit upang magsulat ng mga solusyon ng mga equation ng trigonometriko.

I. Komunikasyon ng paksa at layunin ng mga aralin

II. Pag-aaral ng bagong materyal

1. Mga salungat na pag-andar ng trigonometriko

Simulan natin ang aming talakayan tungkol sa paksang ito sa mga sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 1

Malutas natin ang equation:a) kasalanan x \u003d 1/2; b) kasalanan x \u003d a.

a) Sa ordinaryo, ipinagpaliban natin ang halaga 1/2 at balangkas ang mga anggulox 1 at x2, para saankasalanan x \u003d 1/2. Bukod dito, x1 + x2 \u003d π, kung saan x2 \u003d π -x 1 ... Ayon sa talahanayan ng mga halaga ng mga function ng trigonometric, nahanap namin ang halaga x1 \u003d π / 6, kung gayonIsaalang-alang natin ang pagkakasunud-sunod ng function ng sine at isulat ang mga solusyon ng equation na ito:kung saan k ∈ Z.

b) Malinaw na ang algorithm para sa paglutas ng equationkasalanan x \u003d a ay katulad ng sa nakaraang talata. Siyempre, ngayon ang halaga ng isang naka-plot kasama ang ordinate. Ito ay kinakailangan upang kahit papaano italaga ang anggulo x1. Napagkasunduan naming ipahiwatig ang gayong anggulo sa pamamagitan ng simboloarcsin at. Pagkatapos ang mga solusyon ng ekwasyong ito ay maaaring isulat sa formAng dalawang formula na ito ay maaaring pagsamahin sa isa:kung saan

Ang natitirang mga salungat na pag-andar ng trigonometriko ay ipinakilala sa isang katulad na paraan.

Kadalasan kinakailangan upang matukoy ang halaga ng isang anggulo mula sa kilalang halaga ng pagpapaandar ng trigonometric nito. Ang problemang ito ay multivalued - maraming mga anggulo, ang mga function ng trigonometriko na kung saan ay katumbas ng parehong halaga. Samakatuwid, ang pagpapatuloy mula sa monotonicity ng mga pag-andar ng trigonometriko, ang mga sumusunod na kabaligtaran ng mga function ng trigonometric ay ipinakilala upang natukoy ang mga anggulo.

Arcsine ng number a (arcsin , na ang sikmura ay pantay sa isang, i.e.

Numero ng arccosinea (arccos a) ay tulad ng isang anggulo mula sa isang agwat na ang kosinita ay katumbas ng isang, i.e.

Arc tangent ng isang numeroisang (arctg a) - tulad ng isang anggulo mula sa agwatna ang tangent ay katumbas ng isang, i.e.tg a \u003d a.

Arccotangent ng bilanga (arcctg a) ay isang anggulo mula sa agwat (0; π), ang cotangent na kung saan ay katumbas ng isang, i.e.ctg a \u003d a.

Halimbawa 2

Hanapin natin:

Isinasaalang-alang ang mga kahulugan ng kabaligtaran na pag-andar ng trigonometriko, nakukuha namin:

Halimbawa 3

Kinakalkula namin

Hayaan ang anggulo ng isang \u003d arcsin 3/5, pagkatapos ng kahulugankasalanan a \u003d 3/5 at ... Samakatuwid, kinakailangang hanapinkos at. Gamit ang pangunahing identidad ng trigonometric, nakukuha namin:Ito ay isinasaalang-alang na ang kos ng isang 0. Kaya,

Mga katangian ng pag-andar	Pag-andar
	y \u003d arcsin x	y \u003d arccos x	y \u003d arctan x	y \u003d arcctg x
Domain	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	х ∈ (-∞; + ∞)	x ∈ (-∞ + ∞)
Saklaw ng mga halaga	y ∈ [-π / 2; π / 2]	y ∈	y ∈ (-π / 2; π / 2)	y ∈ (0; π)
Pagkamaalamin	Kakaiba	Ni hindi man o kakatwa	Kakaiba	Ni hindi man o kakatwa
Mga function ng zero (y \u003d 0)	Para sa x \u003d 0	Para sa x \u003d 1	Para sa x \u003d 0	y ≠ 0
Mga panloob ng pagiging matatag	y\u003e 0 para sa x ∈ (0; 1], sa< 0 при х ∈ [-1; 0)	y\u003e 0 para sa x ∈ [-1; 1)	y\u003e 0 para sa х ∈ (0; + ∞), sa< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y\u003e 0 para sa x ∈ (-∞; + ∞)
Monotone	Pagtaas	Mga pagbawas	Pagtaas	Mga pagbawas
Kaugnayan sa pagpapaandar ng trigonometriko	kasalanan y \u003d x	cos y \u003d x	tg y \u003d x	ctg y \u003d x
Iskedyul

Narito ang ilang mga mas karaniwang mga halimbawa na nauugnay sa mga kahulugan at pangunahing katangian ng mga kabaligtaran na pag-andar ng trigonometriko.

Halimbawa 4

Hanapin ang domain ng pag-andar

Para sa function y na tinukoy, ang hindi pagkakapantay-pantayna katumbas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantayAng solusyon sa unang hindi pagkakapareho ay ang pagitan x∈ (-∞; + ∞), ang pangalawa -Ang puwang na ito at ito ay isang solusyon sa sistema ng mga hindi pagkakapareho, at samakatuwid ang domain ng kahulugan ng pag-andar

Halimbawa 5

Hanapin ang lugar ng pagbabago ng pag-andar

Isaalang-alang ang pag-uugali ng pag-andarz \u003d 2x - x2 (tingnan ang figure).

Ito ay nakikita na z ∈ (-∞; 1]. Isinasaalang-alang na ang argumentoz ang arc cotangent function ay nag-iiba sa loob ng ipinahiwatig na mga limitasyon, mula sa data sa talahanayan nakuha namin iyonKaya ang lugar ng pagbabago

Halimbawa 6

Patunayan natin na ang pagpapaandar y \u003darctg x ay kakatwa. HayaanPagkatapos tan a \u003d -x o x \u003d - tan a \u003d tan (- a), at Samakatuwid, - isang \u003d arctan x o isang \u003d - arctan x. Sa gayon, nakikita natin iyoniyon ay, y (x) ay isang kakaibang pag-andar.

Halimbawa 7

Ipahayag natin sa mga tuntunin ng lahat ng mga kabaligtaran na pag-andar ng trigonometriko

Hayaan Halata na Pagkatapos Dahil

Ipakilala natin ang isang anggulo Bilang pagkatapos

Katulad nito, samakatuwid at

Kaya,

Halimbawa 8

Iplano natin ang pag-andar y \u003dkos (arcsin x).

Ipinapahiwatig namin ang isang \u003d arcsin x, kung gayon Isinasaalang-alang namin na ang x \u003d kasalanan a at y \u003d cos a, i.e. x 2 + y2 \u003d 1, at mga paghihigpit sa x (x∈ [-1; 1]) at y (y ≥ 0). Pagkatapos ang grap ng pag-andar y \u003dcos (arcsin x) ay isang kalahating bilog.

Halimbawa 9

Iplano natin ang pag-andar y \u003darccos (kos x).

Dahil ang function na cos x pagbabago sa segment [-1; 1], pagkatapos ay ang function y ay tinukoy sa buong bilang ng axis at mga pagbabago sa segment. Tandaan natin na y \u003darccos (kos x) \u003d x sa segment; ang function y ay kahit at pana-panahon na may isang panahon ng 2π. Isinasaalang-alang na ang mga pag-aari na ito ay pag-aari ng pagpapaandarcos x, ngayon madali itong magplano.

Narito ang ilang mga kapaki-pakinabang na pagkakapantay-pantay:

Halimbawa 10

Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng pag-andarNagpapakilala kami pagkatapos Nakukuha namin ang pagpapaandar Ang pagpapaandar na ito ay may isang minimum sa puntongz \u003d π / 4, at katumbas ito Ang pinakamalaking halaga ng pag-andar ay nakamit sa puntongz \u003d -π / 2, at katumbas ito Sa gayon, at

Halimbawa 11

Malutas natin ang equation

Isaalang-alang natin iyon Pagkatapos ang equation ay may form: o mula saan Sa pamamagitan ng kahulugan ng arctangent, nakukuha namin:

2. Solusyon ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometric

Katulad sa halimbawa 1, makakakuha ka ng mga solusyon sa pinakasimpleng mga equation ng trigonometric.

Ang equation	Desisyon
tgx \u003d a
ctg x \u003d a

Halimbawa 12

Malutas natin ang equation

Dahil ang pag-andar ng sinus ay kakaiba, isinusulat namin ang equation sa formMga solusyon sa equation na ito:saan tayo mahahanap

Halimbawa 13

Malutas natin ang equation

Gamit ang formula sa itaas, isusulat namin ang mga solusyon sa equation:at hanapin

Tandaan na sa mga partikular na kaso (a \u003d 0; ± 1), kapag nalutas ang mga equationkasalanan x \u003d a at cos x \u003d at ito ay madali at mas maginhawang gamitin hindi pangkalahatang mga formula, ngunit upang isulat ang mga solusyon batay sa bilog ng yunit:

para sa equation kasalanan х \u003d 1 na solusyon

para sa kasalanan ng equation х \u003d 0 na solusyon х \u003d π k;

para sa equation sin x \u003d -1 solution

para sa equation cos x \u003d 1 solusyon x \u003d 2πk;

para sa equation cos x \u003d 0 na solusyon

para sa equation cos x \u003d -1 solution

Halimbawa 14

Malutas natin ang equation

Dahil sa halimbawang ito mayroong isang espesyal na kaso ng equation, pagkatapos ay ginagamit ang kaukulang pormula isinulat namin ang solusyon:saan tayo mahahanap

III. Mga katanungan sa pagsubok (pangungunang survey)

1. Magbigay ng isang kahulugan at ilista ang mga pangunahing katangian ng mga kabaligtaran na pag-andar ng trigonometriko.

2. Bigyan ang mga graph ng mga kabaligtaran na mga function ng trigonometric.

3. Solusyon ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometric.

IV. Takdang aralin sa silid aralan

§ 15, Hindi. 3 (a, b); 4 (c, d); 7 (a); 8 (a); 12 (b); 13 (a); 15 (c); 16 (a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, Hindi. 4 (a, b); 7 (a); 8 (b); 16 (a, b); 18 (a); 19 (c, d);

§ 17, Hindi. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Takdang-aralin

§ 15, Hindi. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12 (a); 13 (b); 15 (d); 16 (b); 18 (c, d); 19 (d); 22;

§ 16, Hindi. 4 (c, d); 7 (b); 8 (a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, Hindi. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

Vi. Mga malikhaing gawain

1. Hanapin ang domain ng pag-andar:

Mga sagot:

2. Hanapin ang hanay ng mga halaga ng pagpapaandar:

Mga sagot:

3. I-plot ang pagpapaandar:

Vii. Pagbubuo ng mga aralin