Ang square root ng 2,100. Paano mahanap ang square root ng isang numero nang manu-mano. Mga Halimbawa ng Pagkalkula ng Root

Kaya, dahil ang mismong square root na ito ay produkto ng parehong numero (iyon ay, b \u003d a), kung gayon ang square root ng isang daan ay magiging 10 (100 \u003d 10).

Dapat pansinin na ang bilang na 100 ay maaaring katawanin bilang produkto ng 25 at 4. At pagkatapos ay kalkulahin ang square root ng parehong 25 at 4. 5 at 2. Nag-multiply tayo at nakakakuha din tayo ng 10.

Noong nasa paaralan kami ay nagsimulang pag-aralan ang paksang ito, square root ng 100, ay marahil ang isa sa pinakamadaling maunawaan at mga kalkulasyon. Karaniwan akong tumingin sa isang pantay na (!) na bilang ng mga zero at agad na kinakalkula kung aling numero, na pinarami ng sarili nito, ay nagbibigay ng figure sa ilalim ng square root. Halimbawa, kung ito ay 10000, kung gayon ang square root ng numerong iyon ay magiging isang daan (100x100 = 10000). Kung sa bilang sa ilalim ng sq. ang ugat ay anim na zero, pagkatapos ang sagot ay maglalaman ng tatlong zero. atbp.

Sa kasong ito, mayroon lamang dalawang zero sa figure, na nangangahulugan na mayroong dalawang sampu. Kaya, ang square root ng 100 ay 10. Sinusuri namin: 10x10 = 100

Upang makalkula parisukat na ugat maaaring gamitin sa maraming paraan.

1) Kumuha ng calculator o isang smartphone/tablet/computer na may naka-install na programa sa pagkalkula, ilagay ang numero 100 at mag-click sa icon ng square root, na ganito ang hitsura:

2) Alamin ang talahanayan ng mga parisukat ng mga numero hanggang 100=25*4.

3) Sa pamamagitan ng paraan ng paghahati.

4) Sa pamamagitan ng paraan ng agnas sa pangunahing mga kadahilanan 100=10*10.

Sa teorya, kung gagawin mo ang lahat ng tama, makakakuha ka ng isang resulta ng 10.

Ang icon para sa square root ay tinatawag na radical at ganito ang hitsura.

At ang square root ng 100 ay madaling makuha kung alam mo ang mga parisukat ng mga numero. 10 x 10 = 100. Kaya ang square root ng 100, kasunod ng kahulugan ng square root, ay 10.

Marahil alam ng bawat mag-aaral na ang bilang na 100 ay produkto ng 10 sa 10.

Dahil ang square root ay isang numero na, kapag pinarami sa sarili nito, ang mga petsa ay isang radikal na expression, kung gayon ang square root ng isang daan ay magiging katumbas ng numero 10.

Kung nakalimutan mo na 100=10*10, maaari mong gamitin ang mga katangian ng mga ugat:

square root ng 100 = square root ng (25*4) = square root ng 25 * square root ng 4.

Alam ng lahat na 5 * 5 = 25, at 2 * 2 = 4. Samakatuwid, ang square root ng 100 = 5 * 2 = 10.

Well, kung hindi mo rin alam ito, maaari kang gumamit ng calculator o Excel table, mayroon silang espesyal na formula na tinatawag UGAT. Narito kung paano nakikita ang lahat ng ito:



Ngayon sa tulong ng isang calculator napakadaling kalkulahin ang square root ng anumang numero.

Maaari mong kunin ang parisukat na ugat ng numerong 100 nang pasalita. Pagkatapos ng lahat, ito ay kilala na ang pagdadala ng numerong x sa parisukat ay ang numerong x na pinarami ng numerong x.

Kung 10 10 = 100, kung gayon ang square root ng 100 ay 10.

Sagot sa tanong: 10 .

Ang parisukat na ugat sa matematika ay tinutukoy ng isang karaniwang simbolo.

Ang square root ng a ay isang di-negatibong numero na ang parisukat ay a. Dahil 10^2=100, ang square root ng 100 ay 10.

May mga numero na ang ugat ay napakadaling matandaan. Para sa akin, halimbawa, 25 - ang ugat ay magiging 5, dahil 5 * 5 = 25, 625 - ang ugat ng 25, dahil 25 * 25 = 625.

Isinangguni ko rin ang numero 100 sa mga naturang numero - ang ugat ay magiging 10, sinusuri namin ang 10 * 10 = 100. Tamang-tama.

Ang square root ng isang daan? mukhang mag 10 na

Halos hindi ko maisip na ang isang tao ay mag-o-online para sa sagot na ito, ngunit kung akala natin na siya ay ganap na hindi nakolekta at hindi nag-iingat, pagkatapos ay magbibigay ako ng sagot. Ang square root ng 100 ay 10, pati na rin -10. Sa maraming mga mapagkukunan ito ay nakasulat tulad nito.



Ang square root ng 100 ay may dalawang halaga 10 at -10. Ang mga hindi naniniwala ay mapapatunayan sa pamamagitan ng pagpaparami.

Upang ma-extract ang square root nang walang calculator, kailangan mong i-decomposing ang numero sa ilalim ng root sa pinakamaliit na mga kadahilanan at magsimula mula dito. Kaya para sa bilang isang daan:

At ayon dito, mula dito ay agad na nagiging malinaw na ang square root ng isang daan ay magiging eksaktong 10 para sa amin.

Kailangan kong tandaan ang panuntunan na naalala ko mula sa paaralan:

Kahit na ang pagkuha ng ugat ng 100 ay ang pinakasimpleng bagay na hindi nangangailangan ng paggamit ng mga calculator, dahil ito ay nakatanim sa memorya para sa buhay. Ang bilang na 100 ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng 10 sa 10, at samakatuwid ay ang bilang 10 at magiging ugat ng isang daan.

Kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema mula sa kurso ng matematika at pisika, ang mga mag-aaral at mga mag-aaral ay madalas na nahaharap sa pangangailangan na kunin ang mga ugat ng ikalawa, ikatlo o ika-1 na antas. Siyempre, sa siglo teknolohiya ng impormasyon Hindi magiging mahirap na lutasin ang gayong problema gamit ang isang calculator. Gayunpaman, may mga sitwasyon kung kailan imposibleng gumamit ng electronic assistant.

Halimbawa, ipinagbabawal na magdala ng electronics sa maraming pagsusulit. Bilang karagdagan, ang calculator ay maaaring wala sa kamay. Sa ganitong mga kaso, kapaki-pakinabang na malaman ang hindi bababa sa ilang mga pamamaraan para sa manu-manong pagkalkula ng mga radikal.

I-extract ang square root gamit ang table of squares

Ang isa sa mga pinakasimpleng paraan upang makalkula ang mga ugat ay ang gamit ang isang espesyal na talahanayan. Ano ito at paano gamitin ito ng tama?

Gamit ang talahanayan, mahahanap mo ang parisukat ng anumang numero mula 10 hanggang 99. Kasabay nito, ang mga hilera ng talahanayan ay naglalaman ng sampung halaga, at ang mga column ay naglalaman ng mga halaga ng yunit. Ang cell sa intersection ng isang row at isang column ay naglalaman ng parisukat ng isang dalawang-digit na numero. Upang makalkula ang parisukat ng 63, kailangan mong makahanap ng isang hilera na may halaga na 6 at isang haligi na may halaga na 3. Sa intersection, nakakita kami ng isang cell na may numerong 3969.

Dahil ang pag-extract ng ugat ay ang kabaligtaran na operasyon ng squaring, upang maisagawa ang pagkilos na ito, dapat mong gawin ang kabaligtaran: hanapin muna ang cell na may numero na ang radikal na gusto mong kalkulahin, pagkatapos ay tukuyin ang sagot mula sa mga halaga ng hanay at hilera. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang pagkalkula ng square root ng 169.

Nakahanap kami ng isang cell na may ganitong numero sa talahanayan, pahalang na tinutukoy namin ang sampu - 1, patayo na hinahanap namin ang mga - 3. Sagot: √169 = 13.

Katulad nito, maaari mong kalkulahin ang mga ugat ng kubiko at n-th degree, gamit ang naaangkop na mga talahanayan.

Ang bentahe ng pamamaraan ay ang pagiging simple nito at ang kawalan ng karagdagang mga kalkulasyon. Ang mga kawalan ay halata: ang pamamaraan ay maaari lamang gamitin para sa isang limitadong hanay ng mga numero (ang numero kung saan ang ugat ay matatagpuan ay dapat nasa pagitan ng 100 at 9801). Bilang karagdagan, hindi ito gagana kung ang ibinigay na numero ay wala sa talahanayan.

Prime factorization

Kung ang talahanayan ng mga parisukat ay wala sa kamay o sa tulong nito imposibleng mahanap ang ugat, maaari mong subukan mabulok ang bilang sa ilalim ng ugat sa prime factor. Ang mga pangunahing kadahilanan ay ang mga maaaring ganap (nang walang natitira) na hinati lamang ng sarili o ng isa. Ang mga halimbawa ay 2, 3, 5, 7, 11, 13, atbp.

Isaalang-alang ang pagkalkula ng ugat gamit ang halimbawang √576. I-decompose natin ito sa mga simpleng salik. Nakukuha namin ang sumusunod na resulta: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Gamit ang pangunahing pag-aari ng mga ugat √a² = a, inaalis namin ang mga ugat at mga parisukat, pagkatapos ay kinakalkula namin ang sagot: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Ano ang gagawin kung ang alinman sa mga kadahilanan ay walang sariling pares? Halimbawa, isaalang-alang ang pagkalkula ng √54. Pagkatapos ng factoring, nakukuha namin ang resulta sa sumusunod na form: Ang hindi naaalis na bahagi ay maaaring iwan sa ilalim ng ugat. Para sa karamihan ng mga problema sa geometry at algebra, ang naturang sagot ay mabibilang bilang pangwakas. Ngunit kung may pangangailangan na kalkulahin ang tinatayang mga halaga, maaari mong gamitin ang mga pamamaraan na tatalakayin sa ibang pagkakataon.

Pamamaraan ni Heron

Ano ang gagawin kapag kailangan mong malaman ang hindi bababa sa humigit-kumulang kung ano ang na-extract na ugat (kung imposibleng makakuha ng halaga ng integer)? Ang isang mabilis at medyo tumpak na resulta ay nakuha sa pamamagitan ng paglalapat ng pamamaraang Heron.. Ang kakanyahan nito ay nakasalalay sa paggamit ng isang tinatayang formula:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

kung saan ang R ay ang numero kung saan ang ugat ay kakalkulahin, ang a ay ang pinakamalapit na numero na ang halaga ng ugat ay kilala.

Tingnan natin kung paano gumagana ang pamamaraan sa pagsasanay at suriin kung gaano ito katumpak. Kalkulahin natin kung ano ang katumbas ng √111. Ang pinakamalapit na numero sa 111, ang ugat kung saan ay kilala, ay 121. Kaya, R = 111, a = 121. Palitan ang mga halaga sa formula:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Ngayon suriin natin ang katumpakan ng pamamaraan:

10.55² = 111.3025.

Ang error ng pamamaraan ay humigit-kumulang 0.3. Kung ang katumpakan ng pamamaraan ay kailangang pagbutihin, maaari mong ulitin ang mga hakbang na inilarawan nang mas maaga:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Suriin natin ang katumpakan ng pagkalkula:

10.536² = 111.0073.

Matapos ang paulit-ulit na paggamit ng formula, ang error ay naging hindi gaanong mahalaga.

Pagkalkula ng ugat sa pamamagitan ng paghahati sa isang hanay

Ang pamamaraang ito ng paghahanap ng square root value ay medyo mas kumplikado kaysa sa mga nauna. Gayunpaman, ito ang pinakatumpak sa iba pang paraan ng pagkalkula nang walang calculator..

Sabihin nating kailangan mong hanapin ang square root na may katumpakan na 4 na decimal na lugar. Suriin natin ang algorithm ng pagkalkula gamit ang halimbawa ng isang di-makatwirang numero 1308.1912.

1. Hatiin ang sheet ng papel sa 2 bahagi na may patayong linya, at pagkatapos ay gumuhit ng isa pang linya mula dito sa kanan, bahagyang nasa ibaba ng tuktok na gilid. Isinulat namin ang numero sa kaliwang bahagi, hinahati ito sa mga grupo ng 2 digit, lumilipat sa kanan at kaliwa ng decimal point. Ang pinakaunang digit sa kaliwa ay maaaring walang pares. Kung nawawala ang sign sa kanang bahagi ng numero, dapat na idagdag ang 0. Sa aming kaso, makakakuha tayo ng 13 08.19 12.
2. Piliin natin ang pinakamarami malaking numero, na ang parisukat ay magiging mas mababa sa o katumbas ng unang pangkat ng mga digit. Sa aming kaso, ito ay 3. Isulat natin ito sa kanang tuktok; 3 ang unang digit ng resulta. Sa kanang ibaba, ipinapahiwatig namin ang 3 × 3 = 9; ito ay kakailanganin para sa mga susunod na kalkulasyon. Ibawas ang 9 mula sa 13 sa isang hanay, makukuha natin ang natitirang 4.
3. Idagdag natin ang susunod na pares ng mga numero sa natitirang 4; nakakakuha tayo ng 408.
4. I-multiply ang numero sa kanang itaas ng 2 at isulat ito sa kanang ibaba, idagdag ang _ x _ = dito. Nakukuha namin ang 6_ x _ =.
5. Sa halip na mga gitling, kailangan mong palitan ang parehong numero, mas mababa sa o katumbas ng 408. Nakukuha namin ang 66 × 6 \u003d 396. Sumulat tayo ng 6 sa kanang tuktok, dahil ito ang pangalawang digit ng resulta. Ibawas ang 396 sa 408, makakakuha tayo ng 12.
6. Ulitin natin ang hakbang 3-6. Dahil ang mga numerong dinala pababa ay nasa fractional na bahagi ng numero, kinakailangang maglagay ng decimal point sa kanang tuktok pagkatapos ng 6. Isulat natin ang dobleng resulta na may mga gitling: 72_ x _ =. Ang angkop na numero ay 1: 721 × 1 = 721. Isulat natin ito bilang sagot. Ibawas natin ang 1219 - 721 = 498.
7. Gawin natin ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na ibinigay sa nakaraang talata nang tatlong beses upang makuha ang kinakailangang bilang ng mga decimal na lugar. Kung walang sapat na mga palatandaan para sa karagdagang mga kalkulasyon, dalawang zero ang dapat idagdag sa kasalukuyang numero sa kaliwa.

Bilang resulta, nakuha namin ang sagot: √1308.1912 ≈ 36.1689. Kung susuriin mo ang aksyon gamit ang isang calculator, maaari mong tiyakin na ang lahat ng mga character ay natukoy nang tama.

Bitwise na pagkalkula ng square root value

Ang pamamaraan ay lubos na tumpak. Bilang karagdagan, ito ay lubos na nauunawaan at hindi nangangailangan ng pagsasaulo ng mga formula o isang kumplikadong algorithm ng mga aksyon, dahil ang kakanyahan ng pamamaraan ay upang piliin ang tamang resulta.

Kunin natin ang ugat mula sa bilang na 781. Isaalang-alang natin nang detalyado ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon.

1. Alamin kung aling digit ng square root value ang magiging pinakamataas. Upang gawin ito, parisukat natin ang 0, 10, 100, 1000, atbp. at alamin kung alin sa kanila ang root number. Nakukuha namin iyon 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Kunin natin ang halaga ng sampu. Upang gawin ito, maghahalinhinan tayong itaas sa kapangyarihan ng 10, 20, ..., 90, hanggang sa makakuha tayo ng numerong higit sa 781. Sa aming kaso, makakakuha tayo ng 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Ang halaga ng resulta n ay nasa loob ng 20< n <30.
3. Katulad ng nakaraang hakbang, ang halaga ng digit ng mga unit ay pinili. Palitan nating parisukat ang 21.22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 782.< n < 28.
4. Ang bawat kasunod na digit (sampu, daan, atbp.) ay kinakalkula sa parehong paraan tulad ng ipinapakita sa itaas. Isinasagawa ang mga kalkulasyon hanggang sa makamit ang kinakailangang katumpakan.

Video

Mula sa video matututunan mo kung paano kunin ang mga square root nang hindi gumagamit ng calculator.

Sa maraming kaalaman na tanda ng karunungang bumasa't sumulat, ang alpabeto ay nasa unang lugar. Ang susunod, ang parehong "sign" na elemento, ay ang mga kasanayan ng karagdagan-pagpaparami at, katabi ng mga ito, ngunit baligtad sa kahulugan, mga operasyon ng aritmetika ng pagbabawas-dibisyon. Ang mga kasanayang natutunan sa malayong paaralan ng pagkabata ay nagsisilbi nang tapat araw at gabi: TV, pahayagan, SMS, At saanman tayo magbasa, sumulat, magbilang, magdagdag, magbawas, magparami. At, sabihin mo sa akin, madalas ka bang mag-ugat sa buhay, maliban sa bansa? Halimbawa, tulad ng isang nakakaaliw na problema, tulad ng, ang square root ng numero 12345 ... Mayroon pa bang pulbura sa mga flasks ng pulbos? Kaya ba natin? Oo, walang mas madali! Nasaan ang aking calculator ... At kung wala ito, hand-to-hand, mahina?

Una, linawin natin kung ano ito - ang square root ng isang numero. Sa pangkalahatan, "upang mag-extract ng ugat mula sa isang numero" ay nangangahulugang gawin ang aritmetika na operasyon na kabaligtaran ng pagtaas sa isang kapangyarihan - dito mayroon kang pagkakaisa ng mga magkasalungat sa aplikasyon sa buhay. sabihin nating ang isang parisukat ay isang multiplikasyon ng isang numero sa pamamagitan ng kanyang sarili, ibig sabihin, tulad ng itinuro nila sa paaralan, X * X = A o sa ibang notasyon X2 = A, at sa mga salita - "X squared ay katumbas ng A". Kung gayon ang kabaligtaran na problema ay ganito ang tunog: ang parisukat na ugat ng numerong A, ay ang numerong X, na, kapag naka-square, ay katumbas ng A.

Pag-extract ng square root

Mula sa kurso ng aritmetika ng paaralan, ang mga paraan ng pagkalkula ng "sa isang haligi" ay kilala, na tumutulong upang maisagawa ang anumang mga kalkulasyon gamit ang unang apat na operasyon ng aritmetika. Sayang ... Para sa parisukat, at hindi lamang parisukat, ang mga ugat ng naturang mga algorithm ay hindi umiiral. At sa kasong ito, paano kunin ang square root nang walang calculator? Batay sa kahulugan ng square root, mayroon lamang isang konklusyon - ito ay kinakailangan upang piliin ang halaga ng resulta sa pamamagitan ng sequential enumeration ng mga numero, ang parisukat na kung saan ay lumalapit sa halaga ng root expression. Tanging at lahat! Bago lumipas ang isang oras o dalawa, maaari itong kalkulahin gamit ang kilalang paraan ng pagpaparami sa isang "haligi", anumang square root. Kung mayroon kang mga kasanayan, sapat na ang ilang minuto para dito. Kahit na ang isang hindi masyadong advanced na calculator o PC user ay ginagawa ito sa isang mabilis na pag-unlad - pag-unlad.

Ngunit seryoso, ang pagkalkula ng square root ay madalas na ginagawa gamit ang "artillery fork" na pamamaraan: una, kumuha sila ng isang numero na ang parisukat ay humigit-kumulang na tumutugma sa root expression. Mas mabuti kung ang "aming parisukat" ay bahagyang mas mababa kaysa sa expression na ito. Pagkatapos ay itinatama nila ang numero ayon sa kanilang sariling kasanayan sa pag-unawa, halimbawa, i-multiply sa dalawa, at ... i-square ito muli. Kung ang resulta ay mas malaki kaysa sa numero sa ilalim ng ugat, sunud-sunod na inaayos ang orihinal na numero, unti-unting lumalapit sa "kasama" nito sa ilalim ng ugat. Tulad ng nakikita mo - walang calculator, tanging ang kakayahang magbilang "sa isang hanay". Siyempre, mayroong maraming mga siyentipikong katwiran at na-optimize na mga algorithm para sa pagkalkula ng square root, ngunit para sa "paggamit sa bahay" ang pamamaraan sa itaas ay nagbibigay ng 100% kumpiyansa sa resulta.

Oo, halos nakalimutan ko, upang kumpirmahin ang aming tumaas na karunungang bumasa't sumulat, kinakalkula namin ang square root ng dating ipinahiwatig na numero 12345. Ginagawa namin ito nang sunud-sunod:

1. Kunin, puro intuitively, X=100. Kalkulahin natin: X * X = 10000. Ang intuition ay nasa itaas - ang resulta ay mas mababa sa 12345.

2. Subukan natin, din puro intuitively, X = 120. Pagkatapos: X * X = 14400. At muli, na may intuition, ang pagkakasunud-sunod - ang resulta ay higit sa 12345.

3. Sa itaas, isang "tinidor" na 100 at 120 ang nakuha. Pumili tayo ng mga bagong numero - 110 at 115. Nakukuha natin, ayon sa pagkakabanggit, 12100 at 13225 - ang tinidor ay makitid.

4. Sinusubukan namin ang "siguro" X = 111. Nakukuha namin ang X * X = 12321. Ang numerong ito ay medyo malapit na sa 12345. Alinsunod sa kinakailangang katumpakan, ang "angkop" ay maaaring ipagpatuloy o ihinto sa resulta na nakuha. Iyon lang. Tulad ng ipinangako - ang lahat ay napaka-simple at walang calculator.

Medyo may kasaysayan...

Maging ang mga Pythagorean, mga estudyante ng paaralan at mga tagasunod ng Pythagoras, ay naisipang gumamit ng square roots, 800 BC. at doon mismo, "bumangga sa" mga bagong tuklas sa larangan ng mga numero. At saan ito nanggaling?

1. Ang solusyon ng problema sa pagkuha ng ugat, ay nagbibigay ng resulta sa anyo ng mga numero ng isang bagong klase. Tinawag silang hindi makatwiran, sa madaling salita, "hindi makatwiran", dahil. hindi sila nakasulat bilang isang kumpletong numero. Ang pinaka-klasikong halimbawa ng ganitong uri ay ang square root ng 2. Ang kasong ito ay tumutugma sa pagkalkula ng dayagonal ng isang parisukat na may gilid na katumbas ng 1 - narito ito, ang impluwensya ng Pythagorean school. Ito ay lumabas na sa isang tatsulok na may isang napaka tiyak na laki ng yunit ng mga gilid, ang hypotenuse ay may sukat na ipinahayag ng isang numero na "walang katapusan." Kaya sa matematika ay lumitaw

2. Nalaman na ang mathematical operation na ito ay naglalaman ng isa pang catch - ang pagkuha ng ugat, hindi natin alam kung anong parisukat kung aling numero, positibo o negatibo, ang root expression. Ang kawalan ng katiyakan na ito, ang dobleng resulta mula sa isang operasyon, ay isinulat.

Ang pag-aaral ng mga problemang nauugnay sa hindi pangkaraniwang bagay na ito ay naging direksyon sa matematika na tinatawag na teorya ng isang kumplikadong variable, na may malaking praktikal na kahalagahan sa matematikal na pisika.

Nakapagtataka na ang pagtatalaga ng ugat - radikal - ay ginamit sa kanyang "Universal Arithmetic" ng parehong nasa lahat ng dako na I. Newton, at eksakto ang modernong anyo ng pagsulat ng ugat ay kilala mula noong 1690 mula sa aklat ng Frenchman Roll na "Algebra Manual ".

Tumingin ulit ako sa plato ... And, let's go!

Magsimula tayo sa isang simple:

Sandali lang. ito, na nangangahulugang maaari naming isulat ito tulad nito:

Nakuha ko? Narito ang susunod na para sa iyo:

Ang mga ugat ng mga nagresultang numero ay hindi eksaktong nakuha? Huwag mag-alala, narito ang ilang mga halimbawa:

Ngunit paano kung walang dalawang multiplier, ngunit higit pa? Pareho! Gumagana ang root multiplication formula sa anumang bilang ng mga salik:

Ngayon ay ganap na independyente:

Mga sagot: Magaling! Sumang-ayon, ang lahat ay napakadali, ang pangunahing bagay ay upang malaman ang talahanayan ng pagpaparami!

Dibisyon ng ugat

Nalaman namin ang pagpaparami ng mga ugat, ngayon ay magpatuloy tayo sa pag-aari ng dibisyon.

Ipaalala ko sa iyo na ang formula sa pangkalahatan ay ganito:

At ibig sabihin nun ang ugat ng quotient ay katumbas ng quotient ng mga ugat.

Well, tingnan natin ang mga halimbawa:

Science lang yan. At narito ang isang halimbawa:

Ang lahat ay hindi kasing-kinis tulad ng sa unang halimbawa, ngunit tulad ng nakikita mo, walang kumplikado.

Paano kung ganito ang ekspresyon:

Kailangan mo lamang ilapat ang formula sa kabaligtaran:

At narito ang isang halimbawa:

Maaari mo ring makita ang expression na ito:

Ang lahat ay pareho, dito lamang kailangan mong matandaan kung paano isalin ang mga fraction (kung hindi mo naaalala, tingnan ang paksa at bumalik!). Naalala? Ngayon kami ang magpapasya!

Sigurado ako na nakayanan mo ang lahat, lahat, ngayon subukan nating bumuo ng mga ugat sa isang antas.

Exponentiation

Ano ang mangyayari kung ang square root ay squared? Ito ay simple, tandaan ang kahulugan ng square root ng isang numero - ito ay isang numero na ang square root ay katumbas ng.

Kaya, kung i-square natin ang isang numero na ang square root ay katumbas, ano ang makukuha natin?

Aba, syempre,!

Tingnan natin ang mga halimbawa:

Ang lahat ay simple, tama? At kung ang ugat ay nasa ibang antas? ayos lang!

Manatili sa parehong lohika at tandaan ang mga katangian at posibleng mga aksyon na may mga kapangyarihan.

Basahin ang teorya sa paksang "" at ang lahat ay magiging malinaw sa iyo.

Halimbawa, narito ang isang expression:

Sa halimbawang ito, ang antas ay pantay, ngunit paano kung ito ay kakaiba? Muli, ilapat ang mga katangian ng kapangyarihan at salik ang lahat:

Sa pamamagitan nito, tila malinaw ang lahat, ngunit paano kunin ang ugat mula sa isang numero sa isang degree? Narito, halimbawa, ito:

Medyo simple, tama? Paano kung ang degree ay higit sa dalawa? Sinusunod namin ang parehong lohika gamit ang mga katangian ng mga degree:

Well, malinaw na ba ang lahat? Pagkatapos ay lutasin ang iyong sariling mga halimbawa:

At narito ang mga sagot:

Panimula sa ilalim ng tanda ng ugat

Ang hindi lang natin natutunang gawin sa mga ugat! Ito ay nananatiling lamang sa pagsasanay ng pagpasok ng numero sa ilalim ng root sign!

Ito ay medyo madali!

Sabihin nating mayroon tayong numero

Ano ang magagawa natin dito? Well, siyempre, itago ang triple sa ilalim ng ugat, habang inaalala na ang triple ay ang square root ng!

Bakit kailangan natin ito? Oo, para lang mapalawak ang aming mga kakayahan kapag nagresolba ng mga halimbawa:

Paano mo gusto ang pag-aari na ito ng mga ugat? Ginagawang mas madali ang buhay? Para sa akin, tama! Tanging dapat nating tandaan na maaari lamang tayong magpasok ng mga positibong numero sa ilalim ng square root sign.

Subukan ang halimbawang ito para sa iyong sarili:
Inayos mo ba? Tingnan natin kung ano ang dapat mong makuha:

Magaling! Nagawa mong magpasok ng numero sa ilalim ng root sign! Lumipat tayo sa isang bagay na pantay na mahalaga - isaalang-alang kung paano ihambing ang mga numero na naglalaman ng square root!

Paghahambing ng ugat

Bakit dapat nating matutunang ihambing ang mga numerong naglalaman ng square root?

Napakasimple. Kadalasan, sa malalaki at mahahabang ekspresyon na nakatagpo sa pagsusulit, nakakakuha tayo ng hindi makatwiran na sagot (naaalala mo ba kung ano ito? Napag-usapan na natin ito ngayon!)

Kailangan nating ilagay ang mga natanggap na sagot sa linya ng coordinate, halimbawa, upang matukoy kung aling pagitan ang angkop para sa paglutas ng equation. At dito lumitaw ang snag: walang calculator sa pagsusulit, at kung wala ito, paano isipin kung aling numero ang mas malaki at alin ang mas maliit? Ayan yun!

Halimbawa, tukuyin kung alin ang mas malaki: o?

Hindi mo sasabihin kaagad. Well, gamitin natin ang parsed property ng pagdaragdag ng numero sa ilalim ng root sign?

Pagkatapos ay pasulong:

Well, malinaw naman, mas malaki ang numero sa ilalim ng tanda ng ugat, mas malaki ang ugat mismo!

Yung. kung ibig sabihin .

Mula dito matatag nating hinuhusgahan iyon At walang sinuman ang kumbinsihin sa amin kung hindi man!

Pagkuha ng mga ugat mula sa malalaking numero

Bago iyon, ipinakilala namin ang isang kadahilanan sa ilalim ng tanda ng ugat, ngunit paano ito aalisin? Kailangan mo lang i-factor ito at i-extract ang na-extract!

Posibleng pumunta sa kabilang paraan at mabulok sa iba pang mga kadahilanan:

Hindi masama, tama ba? Ang alinman sa mga pamamaraang ito ay tama, magpasya kung paano ka komportable.

Ang pag-factor ay lubhang kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang mga hindi karaniwang gawain tulad ng isang ito:

Hindi kami natatakot, kumikilos kami! Binubulok namin ang bawat kadahilanan sa ilalim ng ugat sa magkakahiwalay na mga kadahilanan:

At ngayon subukan ito sa iyong sarili (nang walang calculator! Hindi ito makakasama sa pagsusulit):

Ito na ba ang wakas? Hindi tayo tumitigil sa kalagitnaan!

Yun nga lang, hindi naman ganun katakot diba?

Nangyari? Magaling, tama ka!

Ngayon subukan ang halimbawang ito:

At ang isang halimbawa ay isang matigas na nut na pumutok, kaya hindi mo agad maisip kung paano ito lapitan. Ngunit kami, siyempre, ay nasa ngipin.

Well, simulan na natin ang factoring, di ba? Kaagad, tandaan namin na maaari mong hatiin ang isang numero sa pamamagitan ng (tandaan ang mga palatandaan ng divisibility):

At ngayon, subukan ito sa iyong sarili (muli, nang walang calculator!):

Well, gumana ba ito? Magaling, tama ka!

Summing up

1. Ang square root (arithmetic square root) ng isang di-negatibong numero ay isang hindi-negatibong numero na ang parisukat ay katumbas.
   .
2. Kung kukunin lang natin ang square root ng isang bagay, palagi tayong nakakakuha ng isang hindi negatibong resulta.
3. Arithmetic root properties:
4. Kapag inihambing ang mga square root, dapat tandaan na mas malaki ang numero sa ilalim ng tanda ng ugat, mas malaki ang ugat mismo.

Paano mo gusto ang square root? Malinaw ang lahat?

Sinubukan naming ipaliwanag sa iyo nang walang tubig ang lahat ng kailangan mong malaman sa pagsusulit tungkol sa square root.

Ikaw na. Sumulat sa amin kung ang paksang ito ay mahirap para sa iyo o hindi.

May natutunan ka bang bago o lahat ay malinaw na.

Sumulat sa mga komento at good luck sa mga pagsusulit!

Kadalasan, kapag nilulutas ang mga problema, nahaharap tayo sa malalaking numero kung saan kailangan nating kunin Kuwadrado na ugat. Maraming mga mag-aaral ang nagpasiya na ito ay isang pagkakamali at sinimulang lutasin ang buong halimbawa. Sa anumang pagkakataon dapat itong gawin! Mayroong dalawang dahilan para dito:

1. Ang mga ugat ng malalaking numero ay nangyayari sa mga problema. Lalo na sa text;
2. Mayroong isang algorithm kung saan ang mga ugat na ito ay itinuturing na halos pasalita.

Isasaalang-alang namin ang algorithm na ito ngayon. Marahil ang ilang mga bagay ay tila hindi maintindihan sa iyo. Ngunit kung bibigyan mo ng pansin ang araling ito, makakakuha ka ng pinakamalakas na sandata laban sa square roots.

Kaya ang algorithm:

1. Limitahan ang gustong ugat sa itaas at ibaba sa multiple ng 10. Kaya, babawasan namin ang hanay ng paghahanap sa 10 numero;
2. Mula sa 10 numerong ito, alisin ang mga tiyak na hindi maaaring maging ugat. Bilang resulta, 1-2 numero ang mananatili;
3. Kuwadrado ang 1-2 numerong ito. Ang sa kanila, ang parisukat na katumbas ng orihinal na numero, ang magiging ugat.

Bago ilapat ang algorithm na ito sa pagsasanay, tingnan natin ang bawat indibidwal na hakbang.

Pinipigilan ng mga ugat

Una sa lahat, kailangan nating malaman sa pagitan ng kung aling mga numero ang matatagpuan sa ating ugat. Lubhang kanais-nais na ang mga numero ay isang maramihang ng sampu:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Kumuha kami ng isang serye ng mga numero:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ano ang ibinibigay sa atin ng mga numerong ito? Simple lang: nakakakuha tayo ng mga hangganan. Kunin, halimbawa, ang bilang na 1296. Ito ay nasa pagitan ng 900 at 1600. Samakatuwid, ang ugat nito ay hindi maaaring mas mababa sa 30 at mas malaki sa 40:

[caption ng figure]

Ang parehong ay sa anumang iba pang numero kung saan maaari mong mahanap ang square root. Halimbawa, 3364:

[caption ng figure]

Kaya, sa halip na isang hindi maintindihan na numero, nakakakuha kami ng isang napaka-espesipikong hanay kung saan namamalagi ang orihinal na ugat. Upang higit pang paliitin ang saklaw ng paghahanap, pumunta sa pangalawang hakbang.

Pag-aalis ng malinaw na labis na mga numero

Kaya, mayroon kaming 10 numero - mga kandidato para sa ugat. Natanggap namin ang mga ito nang napakabilis, nang walang kumplikadong pag-iisip at pagpaparami sa isang hanay. Oras na para magpatuloy.

Maniwala ka man o hindi, ngayon ay babawasan namin ang bilang ng mga numero ng kandidato sa dalawa - at muli nang walang anumang kumplikadong mga kalkulasyon! Sapat na malaman ang espesyal na tuntunin. Heto na:

Ang huling digit ng parisukat ay nakasalalay lamang sa huling digit orihinal na numero.

Sa madaling salita, sapat na upang tingnan ang huling digit ng parisukat - at agad nating mauunawaan kung saan nagtatapos ang orihinal na numero.

Mayroon lamang 10 digit na maaaring nasa huling lugar. Subukan nating alamin kung ano ang kanilang nagiging kapag sila ay parisukat. Tingnan ang talahanayan:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ang talahanayan na ito ay isa pang hakbang patungo sa pagkalkula ng ugat. Tulad ng nakikita mo, ang mga numero sa pangalawang linya ay naging simetriko na may paggalang sa lima. Halimbawa:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Tulad ng nakikita mo, ang huling digit ay pareho sa parehong mga kaso. At nangangahulugan ito na, halimbawa, ang ugat ng 3364 ay kinakailangang magtatapos sa 2 o 8. Sa kabilang banda, naaalala natin ang paghihigpit mula sa nakaraang talata. Nakukuha namin:

[caption ng figure]

Ang mga pulang parisukat ay nagpapakita na hindi pa natin alam ang figure na ito. Ngunit pagkatapos ng lahat, ang ugat ay nasa pagitan ng 50 at 60, kung saan mayroon lamang dalawang numero na nagtatapos sa 2 at 8:

[caption ng figure]

Iyon lang! Sa lahat ng posibleng ugat, dalawang pagpipilian lang ang iniwan namin! At ito ay nasa pinakamahirap na kaso, dahil ang huling digit ay maaaring 5 o 0. At pagkatapos ay ang tanging kandidato para sa mga ugat ay mananatili!

Panghuling Pagkalkula

Kaya, mayroon kaming 2 numero ng kandidato na natitira. Paano mo malalaman kung alin ang ugat? Ang sagot ay malinaw: parisukat ang parehong mga numero. Ang isang parisukat ay magbibigay ng orihinal na numero, at magiging ugat.

Halimbawa, para sa numerong 3364, nakakita kami ng dalawang numero ng kandidato: 52 at 58. I-square natin ang mga ito:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Iyon lang! 58 pala ang ugat! Kasabay nito, upang gawing simple ang mga kalkulasyon, ginamit ko ang formula ng mga parisukat ng kabuuan at pagkakaiba. Salamat dito, hindi mo na kinailangan pang i-multiply ang mga numero sa isang column! Ito ay isa pang antas ng pag-optimize ng mga kalkulasyon, ngunit, siyempre, ito ay ganap na opsyonal :)

Mga Halimbawa ng Pagkalkula ng Root

Mahusay ang teorya, siyempre. Ngunit subukan natin ito sa pagsasanay.

[caption ng figure]

Una, alamin natin kung aling mga numero ang nasa 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Ngayon tingnan natin ang huling numero. Ito ay katumbas ng 6. Kailan ito nangyayari? Lamang kung ang ugat ay nagtatapos sa 4 o 6. Makakakuha kami ng dalawang numero:

Ito ay nananatiling parisukat sa bawat numero at ihambing sa orihinal:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Malaki! Ang unang parisukat ay naging katumbas ng orihinal na numero. Kaya ito ang ugat.

Gawain. Kalkulahin ang square root:

[caption ng figure]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Tingnan natin ang huling numero:

1369 → 9;
33; 37.

I-square natin ito:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Narito ang sagot: 37.

Gawain. Kalkulahin ang square root:

[caption ng figure]

Nililimitahan namin ang bilang:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Tingnan natin ang huling numero:

2704 → 4;
52; 58.

I-square natin ito:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Nakuha namin ang sagot: 52. Ang pangalawang numero ay hindi na kailangang i-squad.

Gawain. Kalkulahin ang square root:

[caption ng figure]

Nililimitahan namin ang bilang:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Tingnan natin ang huling numero:

4225 → 5;
65.

Tulad ng nakikita mo, pagkatapos ng pangalawang hakbang, isang pagpipilian lamang ang natitira: 65. Ito ang nais na ugat. Ngunit i-square pa rin natin ito at suriin:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Lahat ay tama. Sinusulat namin ang sagot.

Konklusyon

Naku, walang mas mahusay. Tingnan natin ang mga dahilan. Dalawa sila:

• Ipinagbabawal na gumamit ng mga calculator sa anumang normal na pagsusulit sa matematika, maging ito ang GIA o ang Unified State Examination. At sa pagdadala ng calculator sa silid-aralan, madali silang masisipa sa pagsusulit.
• Huwag maging tulad ng mga hangal na Amerikano. Na hindi tulad ng mga ugat - hindi sila maaaring magdagdag ng dalawang pangunahing numero. At sa paningin ng mga fraction, sa pangkalahatan ay naghi-hysterical sila.