Ang paglutas ng mga hindi pagkakapareho ng logarithmic na may isang logarithm sa base. Lahat ng tungkol sa mga hindi pagkakapantay-pantay na logarithmic. Pagtatasa ng mga halimbawa. Algorithm para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic
Kabilang sa lahat ng mga iba't-ibang hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic hindi pagkakapantay-pantay na may variable na base ay pinag-aralan nang hiwalay. Malutas nila ang paggamit ng isang espesyal na pormula, na sa ilang kadahilanan ay bihirang sabihin sa paaralan. Ang pagtatanghal ay nagtatanghal ng mga solusyon sa mga gawain C3 ng pagsusulit - 2014 sa matematika.
I-download:
Preview:
Upang magamit ang preview ng mga pagtatanghal, lumikha ng iyong sarili ng isang account sa Google (account) at mag-log in: https://accounts.google.com
Mga slide caption:
Solusyon ng mga kawalang-katumbas na logarithmic na naglalaman ng isang variable sa base ng logarithm: mga pamamaraan, pamamaraan, katumbas na paglilipat ng guro ng matematika MBOU Secondary School No. 143 Knyazkina TV
Kabilang sa lahat ng mga iba't-ibang mga kawalang-katumbas ng logarithmic, ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may variable na base ay pinag-aralan nang hiwalay. Malutas ang mga ito gamit ang isang espesyal na pormula, na sa ilang kadahilanan ay bihirang sabihin sa paaralan: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k ( x) - 1) ∨ 0 Sa halip na checkbox na "∨", maaari kang maglagay ng anumang hindi pagkakapantay-pantay na pag-sign: higit pa o mas kaunti. Ang pangunahing bagay ay na sa parehong hindi pagkakapantay-pantay ay pareho ang mga palatandaan. Kaya tinanggal namin ang mga logarithms at bawasan ang problema sa hindi makatuwiran na hindi pagkakapantay-pantay. Ang huli ay mas madaling malutas, ngunit kapag bumababa ang mga logarithms, maaaring lumitaw ang mga hindi kinakailangang mga ugat. Upang maputol ang mga ito, sapat na upang mahanap ang hanay ng mga katanggap-tanggap na mga halaga. Huwag kalimutan ang ODZ ng logarithm! Ang lahat ng nauugnay sa saklaw ng mga pinapahintulutang halaga ay dapat isulat at malutas nang hiwalay: f (x)\u003e 0; g (x)\u003e 0; k (x)\u003e 0; k (x) ≠ 1. Ang apat na hindi pagkakapantay-pantay na ito ay bumubuo ng isang sistema at dapat nasiyahan nang sabay-sabay. Kapag natagpuan ang saklaw ng mga wastong halaga, nananatili itong i-cross ito sa solusyon hindi pantay na katuwiran - at handa na ang sagot.
Malutas ang hindi pagkakapareho: Solusyon Una, isulat natin ang ODZ ng logarithm Ang unang dalawang hindi pagkakapareho ay awtomatikong natutupad, at ang huli ay kailangang isulat. Dahil ang parisukat ng isang numero ay pantay sa zero kung at kung ang bilang mismo ay pantay sa zero, mayroon kami: x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0. Ito ay lumiliko na ang ODZ ng logarithm ay lahat ng mga numero maliban sa zero: x ∈ (−∞0) ∪ (0; + ∞). Ngayon malulutas namin ang pangunahing hindi pagkakapareho: Isinasagawa namin ang paglipat mula sa hindi pagkakapareho ng logarithmic hanggang sa makatuwiran. Sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay mayroong isang "mas kaunting" sign, na nangangahulugang ang nagresultang kawalang-katarungan ay dapat ding kasama ng isang "mas" sign.
Mayroon kaming: (10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)
Pagbabago ng Mga Katangian ng Logarithmic Kadalasan ang orihinal na hindi pagkakapareho ay naiiba sa isang nasa itaas. Madaling ayusin ito sa pamamagitan ng pagsunod sa mga karaniwang patakaran para sa pagtatrabaho sa mga logarithms. Namely: Ang anumang numero ay maaaring kinakatawan bilang isang logarithm na may isang naibigay na base; Ang kabuuan at pagkakaiba ng mga logarithms na may parehong mga batayan ay maaaring mapalitan ng isang logarithm. Nais kong ipaalala sa iyo ang tungkol sa saklaw ng mga wastong halaga. Dahil ang orihinal na hindi pagkakapareho ay maaaring maglaman ng maraming mga logarithms, kinakailangan upang mahanap ang ODV para sa bawat isa sa kanila. Kaya, ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapareho ng logarithmic ay ang mga sumusunod: Hanapin ang ODV ng bawat logarithm na kasama sa hindi pagkakapareho; Bawasan ang hindi pagkakapantay-pantay sa pamantayan ayon sa mga formula para sa karagdagan at pagbabawas ng mga logarithms; Malutas ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay ayon sa pamamaraan na ibinigay sa itaas.
Malutas ang hindi pagkakapareho: Solusyon Hanapin ang domain ng kahulugan (ODD) ng unang logarithm: Malutas ang paraan ng agwat. Hanapin ang mga zero ng numerator: 3 x - 2 \u003d 0; x \u003d 2/3. Pagkatapos - mga zero ng denominador: x - 1 \u003d 0; x \u003d 1. Markahan ang mga zero at palatandaan sa linya ng coordinate:
Nakakuha kami ng x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). Ang pangalawang logarithm ng ODV ay magkapareho. Huwag paniwalaan - maaari mong suriin. Ngayon binago namin ang pangalawang logarithm upang mayroong dalawa sa base: Tulad ng nakikita mo, ang tatlo sa base at sa harap ng logarithm ay nakansela. Tumanggap ng dalawang logarithms na may parehong base. Idagdag ang mga ito: mag-log 2 (x - 1) 2
(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)
Kami ay interesado sa intersection ng mga set, kaya pinili namin ang mga agwat na napunan sa parehong mga arrow. Nakukuha namin: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) -tumatto ang mga puntos. Sagot: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3)
Ang paglutas ng mga gawain para sa uri ng pagsusulit-2014 uri C3
Malutas ang system ng inequalities Solution. ODZ: 1) 2)
Malutas ang system ng mga hindi pagkakapantay-pantay 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + - - (patuloy)
Malutas ang system ng mga hindi pagkakapantay-pantay 4) Pangkalahatang solusyon: at -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (patuloy)
Malutas ang hindi pagkakapareho (ipinagpatuloy) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4
Malutas ang Inequality Solution. ODZ:
Malutas ang kawalang-katuwiran (ipinagpatuloy)
Malutas ang Inequality Solution. ODZ: -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2
Nasa loob sila ng mga logarithms.
Mga halimbawa:
\\ (\\ log_3\u2061x≥ \\ log_3\u20619 \\)
\\ (\\ log_3\u2061 ((x ^ 2-3))< \log_3{(2x)}\)
\\ (\\ log_ (x + 1) \u2061 ((x ^ 2 + 3x-7))\u003e 2 \\)
\\ (\\ lg ^ 2\u2061 ((x + 1)) + 10≤11 \\ lg\u2061 ((x + 1)) \\)
Paano malutas ang mga hindi pagkakapareho ng logarithmic:
Anumang hindi pagkakapareho ng logarithmic ay dapat mabawasan sa form \\ (\\ log_a\u2061 (f (x)) ˅ \\ log_a (\u2061g (x)) \\) (ang simbolo \\ (˅ \\) ay nangangahulugang anuman). Pinapayagan ka ng form na ito na mapupuksa ang mga logarithms at ang kanilang mga batayan sa pamamagitan ng paggawa ng paglipat sa hindi pagkakapantay-pantay ng mga expression sa ilalim ng mga logarithms, iyon ay, sa form \\ (f (x) ˅ g (x) \\).
Ngunit mayroong isang napakahalagang kahusayan kapag isinasagawa ang paglipat na ito:
\\ (- \\) kung isang numero at ito ay higit sa 1, ang hindi pagkakapantay-pantay na tanda ay nananatiling pareho sa panahon ng paglipat,
\\ (- \\) kung ang batayan ay isang bilang na mas malaki kaysa sa 0, ngunit mas mababa sa 1 (namamalagi sa pagitan ng zero at isa), kung gayon ang pag-sign ng hindi pagkakapantay-pantay ay dapat magbago sa kabaligtaran, i.e.
|
\\ (\\ log_2\u2061 ((8-x))<1\) Desisyon: |
\\ (\\ log \\) \\ (_ (0,5\u2061) \\) \\ ((2x-4) \\) ≥ \\ (\\ log \\) \\ (_ (0,5) \\) \u2061 \\ (((x +) 1)) \\) Desisyon: |
Napaka importante! Sa anumang hindi pagkakapantay-pantay, ang paglipat mula sa form \\ (\\ log_a (\u2061f (x)) ˅ \\ log_a\u2061 (g (x)) \\) sa paghahambing ng mga expression sa ilalim ng mga logarithms ay maaaring gawin lamang kung:
Halimbawa ... Malutas ang hindi pagkakapantay-pantay: \\ (\\ log \\) \\ (≤-1 \\)
Desisyon:
|
\\ (\\ log \\) \\ (_ (\\ frac (1) (3)) \u2061 (\\ frac (3x-2) (2x-3)) \\)\(≤-1\) |
Isulat natin ang ODZ. |
|
ODZ: \\ (\\ frac (3x-2) (2x-3) \\) \\ (\u003e 0 \\) |
|
|
\\ (\u2061 \\ frac (3x-2-3 (2x-3)) (2x-3) \\)\(≥\) \(0\) |
Binubuksan namin ang mga bracket, ibinibigay namin. |
|
\\ (\u2061 \\ frac (-3x + 7) (2x-3) \\) \\ (≥ \\) \\ (0 \\) |
Pinararami namin ang hindi pagkakapareho sa pamamagitan ng \\ (- 1 \\), hindi nakakalimutan na baligtarin ang tanda ng paghahambing. |
|
\\ (\u2061 \\ frac (3x-7) (2x-3) \\) \\ (≤ \\) \\ (0 \\) |
|
|
\\ (\u2061 \\ frac (3 (x- \\ frac (7) (3))) (2 (x- \\ frac (3) (2))) \\)\(≤\) \(0\) |
Gumawa tayo ng isang numero ng axis at markahan ang mga puntos \\ (\\ frac (7) (3) \\) at \\ (\\ frac (3) (2) \\ dito. Tandaan na ang tuldok mula sa denominator ay pinarurot, kahit na ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit. Ang punto ay ang puntong ito ay hindi magiging isang solusyon, dahil kapag napalitan sa isang hindi pagkakapantay-pantay, hahantong ito sa atin sa paghahati-hati ng zero. |
|
|
Ngayon, sa parehong bilang ng axis, binabalangkas namin ang ODZ at sumulat bilang tugon ng agwat na nahuhulog sa ODZ. |
|
|
Isusulat namin ang pangwakas na sagot. |
Halimbawa ... Malutas ang hindi pagkakapareho: \\ (\\ log ^ 2_3\u2061x- \\ log_3\u2061x-2\u003e 0 \\)
Desisyon:
|
\\ (\\ log ^ 2_3\u2061x- \\ log_3\u2061x-2\u003e 0 \\) |
Isulat natin ang ODZ. |
|
ODZ: \\ (x\u003e 0 \\) |
Bumaba tayo sa solusyon. |
|
Solusyon: \\ (\\ log ^ 2_3\u2061x- \\ log_3\u2061x-2\u003e 0 \\) |
Bago sa amin ay isang tipikal na hindi pagkakapantay-pantay na square-logarithmic. Ginagawa namin ito. |
|
\\ (t \u003d \\ log_3\u2061x \\) |
Palawakin ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapareho sa. |
|
\\ (D \u003d 1 + 8 \u003d 9 \\) |
|
|
Ngayon kailangan mong bumalik sa orihinal na variable - x. Upang gawin ito, pumunta sa isa na may parehong solusyon at gumawa ng reverse kapalit. |
|
|
\\ (\\ kaliwa [\\ magsimula (natipon) t\u003e 2 \\\\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\\\ \\ log_3\u2061x<-1 \end{gathered} \right.\) |
I-convert \\ (2 \u003d \\ log_3\u20619 \\), \\ (- 1 \u003d \\ log_3\u2061 \\ frac (1) (3) \\). |
|
\\ (\\ kaliwa [\\ magsimula (natipon) \\ log_3\u2061x\u003e \\ log_39 \\\\ \\ log_3\u2061x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Ginagawa namin ang paglipat sa paghahambing ng mga argumento. Ang mga logarithms ay may mga batayang mas malaki kaysa sa \\ (1 \\), kaya ang palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago. |
|
\\ (\\ kaliwa [\\ magsimula (natipon) x\u003e 9 \\\\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Isama natin ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay at ang DHS sa isang pigura. |
|
|
Isulat natin ang sagot. |
LOGARITHMIC INEQUALITIES SA PAGGAMIT
Sechin Mikhail Alexandrovich
Maliit na Academy of Science para sa mga mag-aaral ng Republika ng Kazakhstan na "Seeker"
MBOU "Sovetskaya sekondaryong paaralan №1", grade 11, bayan. Sobiyet Sovetsky District
Gunko Lyudmila Dmitrievna, guro ng MBOU "paaralan sa Sobyet №1"
Distrito ng Sobyet
Layunin: pagsisiyasat ng mekanismo para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na logarithm C3 gamit ang mga hindi pamantayang pamamaraan, na naghahayag ng mga kagiliw-giliw na katotohanan ng logarithm.
Paksa ng pag-aaral:
3) Alamin upang malutas ang mga tiyak na kawalang-katumbas na logarithmic C3 gamit ang mga hindi pamantayan na pamamaraan.
Mga Resulta:
Nilalaman
Panimula ……………………………………………………………… .4
Kabanata 1. Background ……………………………………… ... 5
Kabanata 2. Koleksyon ng mga hindi pagkakapareho ng logarithmic ………………………… 7
2.1. Katumbas na mga paglilipat at ang pangkalahatang pamamaraan ng mga agwat …………… 7
2.2. Pamamaraan ng pangangatwiran …………………………………………… 15
2.3. Non-standard na kapalit ……………… ……………………………………. ..... 22
2.4. Mga Misyon ng Trap ……………………………………………………… 27
Konklusyon ……………………………………………… 30
Panitikan ………………………………………………. 31
Panimula
Ako ay nasa ika-11 na baitang at pinaplano kong pumasok sa isang unibersidad kung saan ang matematika ay isang dalubhasang paksa. Samakatuwid, nagtatrabaho ako nang marami sa mga problema ng bahagi C. Sa gawain C3, kailangan mong malutas ang isang hindi pamantayan na hindi pagkakapantay-pantay o isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, karaniwang nauugnay sa mga logarithms. Habang naghahanda para sa pagsusulit, nahaharap ko ang problema ng kakulangan ng mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pagsusulit na inaalok sa C3. Ang mga pamamaraan na pinag-aralan sa kurikulum ng paaralan tungkol sa paksang ito ay hindi nagbibigay ng isang batayan sa paglutas ng mga gawain ng C3. Inanyayahan ako ng guro ng matematika na magtrabaho sa mga gawaing C3 sa sarili kong nasa ilalim ng kanyang gabay. Bilang karagdagan, interesado ako sa tanong: mayroon bang mga logarithms sa ating buhay?
Sa isip nito, napili ang paksa:
"Logarithmic hindi pagkakapantay-pantay sa pagsusulit"
Layunin: pagsisiyasat ng mekanismo para sa paglutas ng mga problema sa C3 gamit ang mga hindi pamantayang pamamaraan, na naghahayag ng mga kagiliw-giliw na katotohanan ng logarithm.
Paksa ng pag-aaral:
1) Maghanap ng mga kinakailangang impormasyon tungkol sa mga hindi pamantayang pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na logarithmic.
2) Maghanap ng karagdagang impormasyon tungkol sa mga logarithms.
3) Alamin na lutasin ang mga tiyak na problema sa C3 gamit ang mga hindi pamantayang pamamaraan.
Mga Resulta:
Ang praktikal na kahalagahan ay namamalagi sa pagpapalawak ng apparatus para sa paglutas ng mga problema sa C3. Ang materyal na ito ay maaaring magamit sa ilang mga aralin, para sa mga bilog, extracurricular na gawain sa matematika.
Ang produkto ng proyekto ay ang koleksyon ng "Mga pagkakapantay-pantay ng Logarithmic C3 na may mga solusyon".
Kabanata 1. background
Sa buong ika-16 siglo, ang bilang ng tinatayang mga kalkulasyon ay tumaas nang mabilis, lalo na sa astronomiya. Ang pagpapabuti ng mga instrumento, pag-aaral ng mga paggalaw ng planeta, at iba pang trabaho ay kinakailangan ng malaking, kung minsan maraming taon, mga kalkulasyon. Ang astronomya ay nasa tunay na panganib ng pagkalunod sa hindi natapos na mga kalkulasyon. Ang mga paghihirap ay lumitaw sa iba pang mga lugar, halimbawa, sa negosyo ng seguro, ang mga talahanayan ng interes ng compound ay kinakailangan para sa iba't ibang mga halaga ng interes. Ang pangunahing kahirapan ay kinakatawan ng pagpaparami, paghahati ng mga numero ng multidigit, lalo na ang dami ng trigonometriko.
Ang pagtuklas ng mga logarithms ay batay sa mga kilalang katangian ng mga pag-unlad sa pagtatapos ng ika-16 na siglo. Nagsalita si Archimedes tungkol sa koneksyon sa pagitan ng mga miyembro ng geometric na pag-unlad q, q2, q3, ... at ang pag-unlad ng aritmetika ng kanilang mga exponents 1, 2, 3, ... sa Awit. Ang isa pang kinakailangan ay ang pagpapalawak ng konsepto ng degree sa negatibo at fractional na mga tagapagpahiwatig. Maraming mga may-akda ang nagpahiwatig na ang pagdami, dibisyon, exponentiation, at root extraction exponentially na nauugnay sa aritmetika - sa parehong pagkakasunud-sunod - sa karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati.
Ito ang ideya sa likod ng logarithm bilang isang exponent.
Maraming yugto ang lumipas sa kasaysayan ng pag-unlad ng doktrina ng logarithms.
Yugto 1
Ang mga logarithms ay naimbento nang hindi lalampas sa 1594 nang nakapag-iisa ng Scottish baron Napier (1550-1617) at sampung taon mamaya ng Swiss mekaniko na Burghi (1552-1632). Pareho ang nais na magbigay ng isang bagong maginhawang paraan ng pagkalkula ng aritmetika, bagaman nilapitan nila ang gawaing ito sa iba't ibang paraan. Ipinahayag ni Neper ang kinematically ang logarithmic function at sa gayon ay pumasok sa isang bagong larangan ng teorya ng pag-andar. Si Burghi ay nanatili sa batayan ng pagsasaalang-alang ng mga discrete na pag-unlad. Gayunpaman, ang kahulugan ng logarithm para sa pareho ay hindi kahawig ng modernong isa. Ang salitang "logarithm" (logarithmus) ay kabilang sa Napier. Lumitaw ito mula sa isang kumbinasyon ng mga salitang Greek: logo - "kaugnay" at ariqmo - "numero", na nangangahulugang "bilang ng mga relasyon". Sa una, ang Napier ay gumamit ng ibang termino: numeri artipisyal - "artipisyal na mga numero", taliwas sa mga numeri naturalts - "natural na mga numero".
Noong 1615, sa isang pakikipag-usap kay Henry Briggs (1561-1631), propesor ng matematika sa Gresch College sa London, iminungkahi ni Napier na kumuha ng zero para sa logarithm ng pagkakaisa, at 100 para sa logarithm ng sampu, o, na bumababa sa parehong bagay, sa simpleng 1. Ito ang kung paano lumitaw ang mga perpektong logarithms at ang mga unang talahanayan ng logarithmic ay nakalimbag. Nang maglaon, ang mga talahanayan ng Briggs ay pupunan ng mga Dutch bookeller at mahilig sa matematika na Andrian Flakk (1600-1667). Ang Napier at Briggs, kahit na dumating sila sa mga logarithms nang mas maaga kaysa sa sinumang iba pa, nai-publish ang kanilang mga talahanayan nang mas maaga kaysa sa iba - noong 1620. Ang mga palatandaan ng log at Log ay ipinakilala noong 1624 ni I. Kepler. Ang salitang "natural logarithm" ay ipinakilala ni Mengoli noong 1659, na sinundan ni N. Mercator noong 1668, at inilathala ng guro ng London na si John Speidel ang mga talahanayan ng natural na logarithms ng mga numero mula 1 hanggang 1000 sa ilalim ng pamagat na "Bagong Logarithms".
Ang mga unang talahanayan ng logarithmic sa Ruso ay nai-publish noong 1703. Ngunit sa lahat ng mga talahanayan ng logarithmic, ang mga pagkakamali ay ginawa sa pagkalkula. Ang mga unang talahanayan na walang error ay nai-publish sa Berlin noong 1857, na-edit ng Aleman matematiko na si K. Bremiker (1804-1877).
Yugto 2
Ang karagdagang pag-unlad ng teorya ng logarithms ay nauugnay sa isang mas malawak na aplikasyon ng analitikong geometry at infinitesimal calculus. Ang pagtatatag ng isang koneksyon sa pagitan ng quadrature ng isang equilateral hyperbola at ang natural na logarithm ay nakakabalik sa oras na iyon. Ang teorya ng mga logarithms sa panahong ito ay nauugnay sa mga pangalan ng isang bilang ng mga matematika.
Aleman matematika, astronomo at engineer na si Nikolaus Mercator sa komposisyon
Ang "Logarithmic technique" (1668) ay nagbibigay ng isang serye na nagbibigay ng pagpapalawak ng ln (x + 1) sa
mga kapangyarihan ng x:
Ang ekspresyong ito ay eksaktong tumutugma sa kurso ng kanyang pag-iisip, bagaman, siyempre, hindi niya ginamit ang mga palatandaan d, ..., ngunit mas maraming masungis na mga simbolo. Sa pagtuklas ng mga serye ng logarithmic, nagbago ang pamamaraan para sa pagkalkula ng mga logarithms: nagsimula silang matukoy gamit ang walang katapusang serye. Sa kanyang mga aralin "Elementong matematika mula sa pinakamataas na punto ng view", basahin noong 1907-1908, iminungkahi ni F. Klein na gamitin ang pormula bilang panimulang punto para sa pagtatayo ng teorya ng logarithms.
Yugto 3
Ang kahulugan ng isang logarithmic function bilang isang function ng kabaligtaran
exponential, logarithm bilang isang tagapagpahiwatig ng antas ng isang naibigay na base
ay hindi kaagad bumalangkas. Komposisyon ni Leonard Euler (1707-1783)
Isang Panimula sa Pagtatasa ng Infinitesimal (1748) na nagsilbi bilang isang karagdagang
pag-unlad ng teorya ng logarithmic function. Kaya,
lumipas ang 134 na taon mula nang unang ipinakilala ang mga logarithms
(pagbibilang mula 1614) bago dumating ang mga matematiko
ang konsepto ng logarithm, na ngayon ang batayan ng kurso ng paaralan.
Kabanata 2. Koleksyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay na logarithmic
2.1. Katumbas na paglipat at pangkalahatang pamamaraan ng agwat.
Katumbas na mga paglilipat
kung isang\u003e 1
kung 0 <
а <
1
Pamamaraan ng agwat ng pangkalahatan
Ang pamamaraang ito ay ang pinaka maraming nalalaman para sa paglutas ng mga hindi pagkakapareho ng halos anumang uri. Ang pamamaraan ng solusyon ay ganito:
1. Bawasan ang hindi pagkakapareho sa form kung saan ang pagpapaandar 
, at sa kanan 0.
2. Hanapin ang domain ng pag-andar .
3. Hanapin ang mga zero ng pag-andar , iyon ay, upang malutas ang equation 
(at ang paglutas ng isang equation ay kadalasang mas madali kaysa sa paglutas ng isang hindi pagkakapantay-pantay).
4. Iguhit ang domain at zero ng pag-andar sa linya ng numero.
5. Alamin ang mga palatandaan ng pag-andar sa mga agwat na nakuha.
6. Pumili ng mga pagitan kung saan tumatagal ang pagpapaandar ng mga kinakailangang halaga at isulat ang sagot.
Halimbawa 1.
Desisyon:
Ilapat natin ang pamamaraan ng spacing
mula saan
Para sa mga halagang ito, ang lahat ng mga expression sa ilalim ng pag-sign ng logarithms ay positibo.
Sagot:
Halimbawa 2.
Desisyon:
1st paraan . Ang ODZ ay tinutukoy ng hindi pagkakapantay-pantay x \u003e 3. Ang pagkuha ng logarithm para sa mga tulad nito x base 10, nakukuha namin
Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paglalapat ng mga panuntunan sa agnas, i.e. paghahambing ng mga kadahilanan sa zero. Gayunpaman, sa kasong ito, madaling matukoy ang mga agwat ng patuloy na pag-andar
samakatuwid, maaari mong ilapat ang paraan ng agwat.
Pag-andar f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ ay patuloy sa x \u003e 3 at mawawala sa mga punto x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 \u003d 4. Sa gayon, tinukoy namin ang mga agwat ng patuloy na pag-andar f(x):
Sagot:
2nd way . Ilapat natin ang mga ideya ng paraan ng agwat nang direkta sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.
Upang gawin ito, alalahanin na ang mga expression a b - a c at ( a - 1)(b - 1) magkaroon ng isang senyas. Pagkatapos ang aming hindi pagkakapareho para sa x Ang 3 ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay
o
Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas ng paraan ng agwat
Sagot:
Halimbawa 3.
Desisyon:
Ilapat natin ang pamamaraan ng spacing
Sagot:
Halimbawa 4.
Desisyon:
Dahil 2 x 2 - 3x + 3\u003e 0 para sa lahat ng tunay xpagkatapos
Upang malutas ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, ginagamit namin ang paraan ng agwat
Sa unang hindi pagkakapareho, ginagawa namin ang kapalit
pagkatapos ay nakarating kami sa hindi pagkakapareho 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те yna nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay -0.5< y < 1.
Saan, mula pa
nakukuha namin ang hindi pagkakapantay-pantay
na isinasagawa kasama ang mga iyon xpara saan 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Ngayon, isinasaalang-alang ang solusyon ng pangalawang hindi pagkakapareho ng system, sa wakas nakuha namin
Sagot:
Halimbawa 5.
Desisyon:
Ang kawalang katuwiran ay katumbas ng isang hanay ng mga system
o
Ilapat natin ang paraan ng agwat o
Sagot:
Halimbawa 6.
Desisyon:
Ang kawalang katuwiran ay katumbas ng sistema
Hayaan
pagkatapos y > 0,
at ang unang hindi pagkakapantay-pantay
tumatagal ng system ang form
o sa pamamagitan ng pagpapalawak
square trinomial ng mga kadahilanan,
Paglalapat ng paraan ng agwat sa huling hindi pagkakapantay-pantay,
nakikita namin na ang mga solusyon nito na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon y \u003e 0 ay magiging lahat y > 4.
Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng system:
Kaya, ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay lahat
2.2. Paraan ng pangangatwiran.
Noong nakaraan, ang paraan ng pagpangatwiran ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nalutas, hindi ito kilala. Ito ay "isang bagong modernong epektibong pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na eksponensial at logarithmic" (quote mula sa aklat ng S. I. Kolesnikova)
At kahit na kilala siya ng guro, nagkaroon ng pag-aalala - nakikilala siya ng tagasuri, at bakit hindi siya ibinigay sa paaralan? May mga sitwasyon nang sinabi ng guro sa mag-aaral: "Saan mo ito nakuha? Umupo - 2."
Ngayon ang pamamaraan ay malawak na nai-promote. At para sa mga eksperto mayroong mga patnubay na nauugnay sa pamamaraang ito, at sa "Karamihan sa mga kumpletong edisyon ng mga variant ng modelo ..." sa solusyon C3 ang pamamaraang ito ay ginagamit.
WONDERFUL METHOD!
"Mesa ng magic"
Sa iba pang mga mapagkukunan
kung ang isang\u003e 1 at b\u003e 1, pagkatapos mag-log ng b\u003e 0 at (a -1) (b -1)\u003e 0;
kung ang isang\u003e 1 at 0 kung 0<a<1 и b
>1, pagkatapos mag-log ng b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
kung 0<a<1 и 00 at (a -1) (b -1)\u003e 0. Ang pangangatuwiran sa itaas ay simple, ngunit malaki ang pinagaan nito ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay na logarithmic. Halimbawa 4.
mag-log x (x 2 -3)<0
Desisyon:
Halimbawa 5.
mag-log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤log 2 x (x 2 + x) Desisyon: Halimbawa 6.
Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay na ito, sa halip na denominator, isinulat namin (x-1-1) (x-1), at sa halip na numumerador - ang produkto (x-1) (x-3-9 + x). Halimbawa 7.
Halimbawa 8.
2.3. Ang hindi pagpapalit ng substansiya. Halimbawa 1.
Halimbawa 2.
Halimbawa 3.
Halimbawa 4.
Halimbawa 5.
Halimbawa 6.
Halimbawa 7.
mag-log 4 (3 x -1) log 0.25 Gawin natin ang kapalit y \u003d 3 x -1; pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay tumatagal ng form Mag-log 4 log 0.25 Bilang mag-log 0.25 Ginagawa namin ang pagbabago t \u003d log 4 y at nakuha ang hindi pagkakapareho t 2 -2t + ≥0, ang solusyon kung saan ang mga pagitan - Kaya, upang mahanap ang mga halaga ng y, mayroon kaming isang hanay ng dalawang pinakasimpleng kawalang-katarungan Samakatuwid, ang orihinal na hindi pagkakapareho ay katumbas ng isang hanay ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay na pagkakapantay-pantay, Ang solusyon sa unang hindi pagkakapareho ng set na ito ay ang agwat 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Halimbawa 8.
Desisyon:
Ang kawalang katuwiran ay katumbas ng sistema Ang solusyon sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, na tumutukoy sa DHS, ay ang hanay ng mga iyon x,
para kanino x > 0.
Upang malutas ang unang hindi pagkakapareho, ginagawa namin ang pagbabago Pagkatapos makuha namin ang hindi pagkakapareho o Ang hanay ng mga solusyon sa huling hindi pagkakapareho ay matatagpuan sa pamamaraan agwat: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, nakukuha namin o Marami sa mga iyon xna nagbibigay-kasiyahan sa huling hindi pagkakapantay-pantay ay kabilang sa ODZ ( x \u003e 0), samakatuwid, ay isang solusyon sa system at samakatuwid ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay. Sagot: 2.4. Trap ng mga pakikipagsapalaran. Halimbawa 1.
Desisyon. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa ODZ ay lahat x kasiya-siya ang kondisyon 0 Halimbawa 2.
mag-log 2 (2 x + 1-x 2)\u003e log 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
Sagot... (0; 0.5) U.
Sagot :
(3;6)
.
\u003d -log 4 \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2-log 4 y, pagkatapos ay muling isulat ang huling hindi pagkakapantay-pantay bilang 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Ang solusyon sa set na ito ay ang pagitan 0<у≤2 и 8≤у<+.
iyon ay, ang kabuuan 
... Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak para sa lahat ng mga halaga ng x mula sa pagitan ng 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Samakatuwid, ang lahat ng x mula sa agwat 0
Konklusyon
Hindi madaling makahanap ng mga espesyal na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa C3 mula sa malaking kasaganaan ng iba't ibang mga mapagkukunan ng pang-edukasyon. Sa kurso ng gawaing nagawa, nagawa kong pag-aralan ang mga hindi pamantayang pamamaraan para sa paglutas ng mga kumplikadong kawalang-katumbas na logarithmic. Ito ang: katumbas na mga paglilipat at ang pangkalahatang paraan ng agwat, ang paraan ng katwiran , hindi pamantayang pamalit , mga gawain na may mga traps sa ODZ. Ang mga pamamaraang ito ay wala sa kurikulum ng paaralan.
Gamit ang iba't ibang mga pamamaraan, nalutas ko ang 27 hindi pagkakapantay-pantay na iminungkahi sa pagsusulit sa bahagi C, lalo na C3. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ng mga solusyon sa pamamagitan ng mga pamamaraan ay nabuo ang batayan ng koleksyon ng "Mga pagkakapantay-pantay na Logarithmic C3 na may mga solusyon", na naging isang produkto ng proyekto ng aking trabaho. Ang hypothesis na ipinakita ko sa simula ng proyekto ay nakumpirma: ang mga gawain ng C3 ay maaaring epektibong malutas, alam ang mga pamamaraan na ito.
Bilang karagdagan, natagpuan ko ang mga kagiliw-giliw na katotohanan tungkol sa mga logarithms. Ito ay kagiliw-giliw na para sa akin na gawin ito. Ang aking mga produkto ng disenyo ay magiging kapaki-pakinabang para sa parehong mga mag-aaral at guro.
Konklusyon:
Kaya, ang nakatakdang layunin ng proyekto ay nakamit, nalutas ang problema. At nakuha ko ang pinaka kumpleto at maraming nalalaman karanasan sa mga aktibidad ng proyekto sa lahat ng mga yugto ng trabaho. Sa panahon ng trabaho sa proyekto, ang aking pangunahing pag-unlad na epekto ay sa kakayahan sa pag-iisip, mga aktibidad na nauugnay sa lohikal na operasyon ng kaisipan, ang pagbuo ng kakayahang malikhaing, personal na inisyatibo, responsibilidad, tiyaga, aktibidad.
Isang garantiya ng tagumpay kapag lumilikha ng isang proyekto ng pananaliksik para sa Ako ay naging: makabuluhang karanasan sa paaralan, ang kakayahang kunin ang impormasyon mula sa iba't ibang mga mapagkukunan, suriin ang pagiging maaasahan, ranggo ito nang kahalagahan.
Bilang karagdagan sa direktang kaalaman sa paksa sa matematika, pinalawak niya ang kanyang praktikal na kasanayan sa larangan ng agham ng computer, nagkamit ng bagong kaalaman at karanasan sa larangan ng sikolohiya, nagtatag ng mga contact sa mga kaklase, at natutong makipagtulungan sa mga matatanda. Sa kurso ng mga aktibidad ng proyekto, nabuo ang organisasyon, intelektwal at komunikasyon na pangkalahatang kasanayan at kakayahan sa edukasyon.
Panitikan
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable (karaniwang gawain C3).
2. Paghahanda ng Malkova AG para sa pagsusulit sa matematika.
3. Samarova SS Solution ng mga hindi pagkakapantay-pantay na logarithmic.
4. Matematika. Koleksyon ng mga gawaing pagsasanay na na-edit ni A.L. Semyonov at I.V. Yashchenko. -M .: MTsNMO, 2009 .-- 72 p. -
Isinasaalang-alang namin ang solusyon ng pinakasimpleng pagkakapareho ng logarithmic at hindi pagkakapantay-pantay kung saan ang batayan ng logarithm ay naayos sa huling aralin.
Ngunit paano kung mayroong isang variable sa base ng logarithm?
Pagkatapos ay makakatulong sa amin rationalization ng hindi pagkakapantay-pantay.Upang maunawaan kung paano ito gumagana, isaalang-alang natin, halimbawa, hindi pagkakapantay-pantay:
$$ \\ log_ (2x) x ^ 2\u003e \\ log_ (2x) x. $$
Tulad ng inaasahan, magsimula tayo sa ODZ.
ODZ
$$ \\ kaliwa [\\ magsimula (array) (l) x\u003e 0, \\\\ 2x ≠ 1. \\ end (array) \\ pakanan.
Solusyon ng kawalang-katarungan
Pag-isipan natin na parang nalutas natin ang isang hindi pagkakapareho sa isang nakapirming base. Kung ang batayan ay mas malaki kaysa sa isa, aalisin natin ang mga logarithms, at ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago, kung ito ay mas mababa sa isa, nagbabago ito.
Isulat natin ito bilang isang system:
$$ \\ kaliwa [\\ magsimula (array) (l) \\ kaliwa \\ (\\ magsimula (array) (l) 2x\u003e 1, \\\\ x ^ 2\u003e x; \\ end (array) \\ pakanan. \\\\ \\ left \\ Para sa karagdagang pangangatwiran, inilipat namin ang lahat ng kanang panig ng mga hindi pagkakapareho sa kaliwa.<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$
$$ \\ kaliwa [\\ magsimula (array) (l) \\ kaliwa \\ (\\ simulan (array) (l) 2x-1\u003e 0, \\\\ x ^ 2 -x\u003e 0; \\ end (array) \\ pakanan. \\ Ano ang ginawa namin? Ito ay kinakailangan na kailangan namin ang mga expression na '2x-1` at` x ^ 2 - x` upang maging positibo o negatibo sa parehong oras. Ang parehong resulta ay makuha kung malutas natin ang hindi pagkakapareho:
$$ (2x-1) (x ^ 2 - x)\u003e 0. $$<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$
Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito, tulad ng orihinal na sistema, ay totoo kung ang parehong mga kadahilanan ay positibo o negatibo. Ito ay posible na pumunta mula sa isang hindi pagkakapareho ng logarithmic sa isang makatuwiran (isinasaalang-alang ang ODZ).
Gumawa tayo
paraan ng rationalizing logarithmic inequalities
$$ \\ log_ (f (x)) g (x) \\ vee \\ log_ (f (x)) h (x) \\ Leftrightarrow (f (x) - 1) (g (x) -h (x)) \\ (Para sa pag-sign ng `\u003e`, nasuri na lamang namin ang pagiging epektibo ng formula. Para sa natitira, ipinapanukala kong suriin ito mismo sa iyong sarili - maaalala itong mas mabuti sa ganitong paraan). balikan natin ang paglutas ng ating hindi pagkakapantay-pantay. Ang pagpapalawak sa mga bracket (upang gawing mas mahusay na makita ang mga zero ng function), nakukuha namin $$ (2x-1) x (x - 1)\u003e 0. $$
Ang pamamaraan ng spacing ay magbibigay ng sumusunod na larawan:
(Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit at ang mga dulo ng mga agwat ay hindi interesado sa amin, hindi sila maiiwasan.) Tulad ng makikita, ang nakuha na mga agwat ay nagbibigay-kasiyahan sa ODZ. Natanggap ang sagot: `(0, \\ frac (1) (2)) \\ tasa (1, ∞)`.
Halimbawa ng dalawa. Ang variable na solusyon sa logarithmic hindi pagkakapantay-pantay na solusyon
$$ \\ log_ (2-x) 3 \\ leqslant \\ log_ (2-x) x. $$
$$ \\ kaliwa \\ (\\ magsimula (array) (l) 2-x\u003e 0, \\\\ 2-x ≠ 1, \\\\ x\u003e 0. \\ end (array) \\ tama.
$$ \\ kaliwa \\ (\\ magsimula (array) (l) x
ODZ
0. \\ end (array) \\ tama. $$
Sa pamamagitan ng panuntunan nakuha lang namin< 2,\\ x ≠ 1, \\ x > rationalizing logarithmic hindi pagkakapareho,
Solusyon ng kawalang-katarungan
{!LANG-08f6a1058f94f6b0d0e7061045ec3879!} {!LANG-c6ae2a46b8fce31cbb86800d68d8e5d6!} nalaman namin na ang hindi pagkakapareho na ito ay magkapareho (isinasaalang-alang ang ODD) sa mga sumusunod:
$$ (2-x -1) (3-x) \\ leqslant 0. $$
$$ (1-x) (3-x) \\ leqslant 0. $$
Ang pagsasama-sama ng solusyon na ito sa ODZ, makuha namin ang sagot: `(1,2)`.
Pangatlong halimbawa. Logarithm ng maliit na bahagi
$$ \\ log_x \\ frac (4x + 5) (6-5x) \\ leqslant -1. $$
ODZ
$$ \\ kaliwa \\ (\\ magsimula (array) (l) \\ dfrac (4x + 5) (6-5x)\u003e 0, \\\\ x\u003e 0, \\\\ x ≠ 1. \\ end (array) \\ kanan. $ $
Yamang ang sistema ay medyo kumplikado, agad nating planuhin ang solusyon sa mga hindi pagkakapareho sa bilang na axis:
Sa gayon, ODZ: `(0,1) \\ tasa \\ kaliwa (1, \\ frac (6) (5) \\ kanan)`.
Solusyon ng kawalang-katarungan
Kinakatawan natin ang `-1` bilang isang logarithm na may base` x`.
$$ \\ log_x \\ frac (4x + 5) (6-5x) \\ leqslant \\ log_x x ^ (- 1).
Sa pamamagitan ng rationalizing ang logarithmic hindi pagkakapantay-pantay nakakakuha tayo ng isang hindi makatuwiran na katuwiran:
$$ (x-1) \\ kaliwa (\\ frac (4x + 5) (6-5x) - \\ frac (1) (x) \\ kanan) \\ leqslant0, $$
$$ (x-1) \\ kaliwa (\\ frac (4x ^ 2 + 5x - 6 + 5x) (x (6-5x)) \\ kanan) \\ leqslant0, $$
$$ (x-1) \\ kaliwa (\\ frac (2x ^ 2 + 5x - 3) (x (6-5x)) \\ kanan) \\ leqslant0.
