TEXT CODE NG ARALIN:

Alam mo na ang dalawang kaso ng magkakasamang pagsasaayos ng mga tuwid na linya sa espasyo:

1. pagpasok ng mga tuwid na linya;

2. Mga linya ng paralel.

Alalahanin natin ang kanilang mga kahulugan.

Kahulugan. Ang mga linya sa kalawakan ay tinatawag na intersect kung nagsinungaling sila sa parehong eroplano at may isang pangkaraniwang punto

Kahulugan. Ang mga linya sa kalawakan ay tinatawag na kahanay kung nagsinungaling sila sa parehong eroplano at walang karaniwang mga puntos.

Karaniwan sa mga kahulugan na ito ay ang mga linya ay namamalagi sa parehong eroplano.

Hindi ito palaging nangyayari sa espasyo. Maaari kaming makitungo sa maraming mga eroplano, at hindi bawat dalawang tuwid na linya ay magsisinungaling sa parehong eroplano.

Halimbawa, ang mga gilid ng kubo ABCDA1B1C1D1

Ang AB at A1D1 ay namamalagi sa iba't ibang mga eroplano.

Kahulugan. Ang dalawang linya ay tinatawag na intersect kung walang eroplano na dumadaan sa mga linyang ito. Mula sa kahulugan ay malinaw na ang mga linyang ito ay hindi lumaliko at hindi kahanay.

Patunayan natin ang isang teorema na nagpapahayag ng kriterya para sa mga linya ng intersect.

Teorem (isang tanda ng mga linya ng intersect).

Kung ang isa sa mga linya ay namamalagi sa isang tiyak na eroplano, at ang iba pang linya ay naglalagay ng eroplano na ito sa isang puntong hindi kabilang sa linyang ito, kung gayon ang mga linya na ito ay intersect.

Ang linya ng AB ay namamalagi sa eroplano α. Ang linya ng linya ng CD ay sumasaad sa eroplano α sa puntong C, na hindi kabilang sa linya ng AB.

Patunayan na ang mga linya ng AB at DC ay tumawid.

Katibayan

Ang patunay ay isinasagawa sa pamamagitan ng salungat.

Ipagpalagay na ang AB at CD ay namamalagi sa parehong eroplano, ipinapahiwatig namin ito β.

Pagkatapos ng eroplano β ay dumaan sa linya ng AB at point C.

Sa pamamagitan ng corollary ng mga axioms, ang isang eroplano ay maaaring iguguhit sa linya ng AB at isang point C na hindi namamalagi dito, at, bukod pa, isa lamang.

Ngunit mayroon kaming tulad ng isang eroplano - ang eroplano α.

Dahil dito, magkasabay ang mga eroplano α at α.

Ngunit imposible ito, mula pa linya ng CD intersect α, ngunit hindi nagsisinungaling dito.

Nagkaroon kami ng isang pagkakasalungatan, samakatuwid, ang aming palagay ay mali. Nakasinungaling sina AB at CD

ibang eroplano at tumawid.

Ang teorya ay napatunayan.

Kaya, mayroong tatlong posibleng paraan ng magkakasamang pagsasaayos ng mga tuwid na linya sa espasyo:

A) Ang mga linya ng intersect, iyon ay, mayroon lamang silang isang pangkaraniwang punto.

B) Ang mga linya ay kahanay, i.e. namamalagi sa parehong eroplano at walang karaniwang mga puntos.

C) Ang mga tuwid na linya ay tumawid, i.e. huwag magsinungaling sa parehong eroplano.

Isaalang-alang ang isa pang intersecting line teorem

Teorya. Sa pamamagitan ng bawat isa sa dalawang linya ng pagtawid mayroong isang eroplano na kahanay sa kabilang linya, at bukod dito, isa lamang.

AB at CD - tumatawid ng mga tuwid na linya

Patunayan na mayroong isang eroplano α tulad ng linya na AB ay namamalagi sa eroplano α, at ang linya ng CD ay kahanay sa eroplano α.

Katibayan

Patunayan natin sa pagkakaroon ng naturang eroplano.

1) Sa pamamagitan ng punto A, gumuhit ng isang linya na kahanay sa CD.

2) Dahil ang mga tuwid na linya ng AE at AB ay bumalandra, ang isang eroplano ay maaaring iguguhit sa pamamagitan ng mga ito. Ipaalam natin ito sa pamamagitan ng α.

3) Dahil ang linya ng CD ay kahanay sa AE, at ang AE ay namamalagi sa eroplano α, kung gayon ang linya ng CD the ng eroplano α (sa pamamagitan ng teorema sa patayo ng linya at eroplano).

Plane α ang nais na eroplano.

Patunayan natin na ang eroplano ay isa lamang na nagbibigay kasiyahan sa kondisyon.

Ang anumang iba pang eroplano na dumadaan sa linya ng AB ay magbalangkas ng AE, at samakatuwid ay magkatulad ang linya ng CD. Iyon ay, ang anumang iba pang eroplano na dumadaan sa AB intersect na may linya ng CD, samakatuwid hindi ito kahanay dito.

Dahil dito, ang eroplano α ay natatangi. Ang teorya ay napatunayan.

Sa artikulong ito, bibigyan muna namin ang kahulugan ng anggulo sa pagitan ng mga linya ng pagtawid at bibigyan ng isang larawang graphic. Susunod, sasagutin natin ang tanong: "Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng pagtawid ng mga tuwid na linya, kung ang mga coordinate ng mga direksyon ng vectors ng mga tuwid na linya sa isang hugis-parihaba na coordinate system ay kilala?" Sa konklusyon, magsasanay tayo sa paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga linya ng pagtawid kapag paglutas ng mga halimbawa at problema.

Pag-navigate ng pahina.

Angle sa pagitan ng mga tumawid na linya - kahulugan.

Lalapit kami sa kahulugan ng anggulo sa pagitan ng mga linya ng mga dahan-dahan.

Una, alalahanin ang kahulugan ng mga linya ng intersect: ang dalawang linya sa three-dimensional space ay tinatawag pag-agawkung hindi sila nagsisinungaling sa parehong eroplano. Sinusundan ito mula sa kahulugan na ito na ang mga linya ng pagtawid ay hindi magkatugma, ay hindi kahanay, at, bukod dito, hindi nag-tutugma, kung hindi man ay pareho silang magsisinungaling sa isang tiyak na eroplano.

Narito ang ilang karagdagang mga argumento.

Hayaan ang dalawang intersect na tuwid na linya a at b ibibigay sa three-dimensional space. Gumawa tayo ng mga linya ng 1 at b 1 upang magkatulad sila sa mga linya ng a at b, ayon sa pagkakabanggit, at dumaan sa ilang mga punto ng puwang M 1. Sa gayon, nakakakuha kami ng dalawang mga linya ng intersect na 1 at b 1. Hayaan ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ng isang at 1 ay maging katumbas sa anggulo. Ngayon magtatayo kami ng mga linya ng 2 at b 2, kahanay sa mga linya ng a at b, ayon sa pagkakabanggit, na dumadaan sa point М 2, naiiba sa point М 1. Ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ng isang 2 at b 2 ay magiging pantay din sa anggulo. Ang pahayag na ito ay totoo, dahil ang mga tuwid na linya ng isang 1 at b 1 ay nag-tutugma sa mga tuwid na linya ng 2 at b 2, ayon sa pagkakabanggit, kung magsasagawa ka ng isang magkakatulad na pagsasalin, kung saan ang punto ng M 1 ay tumuturo sa M 2. Kaya, ang sukat ng anggulo sa pagitan ng dalawang mga tuwid na linya sa punto M, ayon sa pagkakabanggit ay kahanay sa ibinigay na tuwid na linya, ay hindi nakasalalay sa pagpili ng puntong punto M.

Ngayon handa na kaming tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya ng pagtawid.

Kahulugan.

Ang anggulo sa pagitan ng mga linya ng pagtawid Ay ang anggulo sa pagitan ng dalawang mga tuwid na linya, na ayon sa pagkakabanggit ay kahanay sa ibinigay na mga tuwid na linya.

Sinusundan ito mula sa kahulugan na ang anggulo sa pagitan ng mga linya ng pagtawid ay hindi rin depende sa pagpili ng point M. Samakatuwid, bilang isang point M, maaari kang kumuha ng anumang punto na kabilang sa isa sa mga linya ng intersect.

Bigyan tayo ng isang paglalarawan ng kahulugan ng anggulo sa pagitan ng mga linya ng pagtawid.

Paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga cross linya.

Dahil ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay natutukoy sa pamamagitan ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya, ang paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay nabawasan sa paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga kaukulang intersecting na mga linya sa tatlong-dimensional na puwang.

Walang alinlangan, ang mga pamamaraan na itinuro sa mga aralin sa geometry sa high school ay angkop para sa paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga cross line. Iyon ay, sa pagkumpleto ng mga kinakailangang konstruksyon, maaari mong iugnay ang nais na anggulo sa anumang anggulo na kilala mula sa kondisyon, batay sa pagkakapantay-pantay o pagkakapareho ng mga figure, sa ilang mga kaso makakatulong ito teorema ng kosine, at kung minsan ang resulta kahulugan ng sine, kosine at tangent ng isang anggulo kanang tatsulok.

Gayunpaman, napaka maginhawa upang malutas ang problema sa paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya sa pamamagitan ng paraan ng coordinate. Ito ang tatalakayin natin.

Hayaang ipakilala ang Oxyz sa three-dimensional space (gayunpaman, sa maraming mga problema na ito ay ipinasok nang nakapag-iisa).

Itakda natin sa ating sarili ang gawain: hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ng a at b, na tumutugma sa ilang mga equation ng isang tuwid na linya sa espasyo sa hugis-parihaba na coordinate system na Oxyz.

Malutas natin ito.

Kumuha ng isang di-makatwirang punto ng three-dimensional na puwang M at ipalagay na ang mga tuwid na linya ng isang 1 at b 1 ay dumaan dito, kahanay sa mga linya ng intersecting a at b, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos ang kinakailangang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ng a at b ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ng isang 1 at b 1 sa pamamagitan ng kahulugan.

Kaya, nananatili para sa amin upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ng isang at 1. Upang mailapat ang pormula para sa paghahanap ng anggulo sa pagitan ng dalawang mga tuwid na linya sa espasyo, kailangan nating malaman ang mga coordinate ng mga direksyon ng vectors ng mga tuwid na linya ng 1 at b 1.

Paano natin makuha ang mga ito? Napakasimpleng simple. Ang kahulugan ng direksyon ng vector ng isang tuwid na linya ay nagbibigay-daan sa amin na igiit na ang mga hanay ng mga vectors ng direksyon ng magkatulad na mga tuwid na linya ay nag-tutugma. Samakatuwid, bilang mga direksyon ng vectors ng mga linya ng 1 at b 1, maaari naming gawin ang mga vectors ng direksyon at mga linya a at b, ayon sa pagkakabanggit.

Kaya, ang anggulo sa pagitan ng dalawang tumawid na mga tuwid na linya a at b ay kinakalkula ng pormula
saan at - direksyon vectors ng mga tuwid na linya a at b, ayon sa pagkakabanggit.

Formula para sa paghahanap ng kosine ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya a at b ay may form .

Pinapayagan kang hanapin ang sine ng anggulo sa pagitan ng mga linya ng cross, kung ang kosine ay kilala: .

Ito ay nananatiling suriin ang mga solusyon ng mga halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng pagtawid ng mga tuwid na linya a at b, na kung saan ay tinukoy sa hugis-parihaba na coordinate system na Oxyz ng mga equation at .

Desisyon.

Ang mga canonical equation ng isang tuwid na linya sa espasyo ay nagbibigay-daan sa iyo na agad na matukoy ang mga coordinate ng direktoryo ng vector ng tuwid na linya na ito - binigyan sila ng mga numero sa mga denominador ng mga praksiyon, iyon ay, ... Ang mga parametric equation ng isang tuwid na linya sa espasyo ay ginagawang posible upang agad na isulat ang mga coordinate ng direksyon vector - sila ay pantay sa mga coefficient sa harap ng parameter, iyon ay, - pagdidirekta ng vector ng isang tuwid na linya ... Kaya, mayroon kaming lahat ng kinakailangang data upang mailapat ang pormula, ayon sa kung saan ang anggulo sa pagitan ng pagtawid ng mga tuwid na linya ay kinakalkula:

Sagot:

Ang anggulo sa pagitan ng ibinigay na mga linya ng pagtawid ay.

Halimbawa.

Hanapin ang sine at kosine ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya na kung saan ang mga gilid ng AD at BC ng kasinungalingan na ABCD kasinungalingan, kung ang mga coordinate ng mga vertice nito ay kilala:.

Desisyon.

Ang direksyon ng mga vectors ng mga crossing line AD at BC ay mga vectors at. Kinakalkula natin ang kanilang mga coordinates bilang pagkakaiba ng mga kaukulang mga coordinate ng mga punto ng pagtatapos at simula ng vector:

Ayon sa pormula maaari nating kalkulahin ang kosine ng anggulo sa pagitan ng tinukoy na mga linya ng pagtawid:

Ngayon kalkulahin natin ang sine ng anggulo sa pagitan ng mga linya ng pagtawid:

Sagot:

Sa konklusyon, isaalang-alang natin ang solusyon sa problema kung saan kinakailangan upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng pagtawid ng mga tuwid na linya, at ang rektanggulo na sistema ng coordinate ay dapat na ipasok nang nakapag-iisa.

Halimbawa.

Ibinigay ang isang hugis-parihaba na paralelepip na ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kung saan ang AB \u003d 3, AD \u003d 2 at AA 1 \u003d 7 na mga yunit. Ang point E ay nasa gilid AA 1 at hinati ito sa isang ratio na 5 hanggang 2 na pagbibilang mula sa point A. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga cross linya BE at A 1 C.

Desisyon.

Dahil ang mga gilid ng isang hugis-parihaba na parallelepiped sa isang vertex ay magkatulad na patayo, ito ay maginhawa upang magpasok ng isang hugis-parihaba na coordinate system, at matukoy ang anggulo sa pagitan ng ipinahiwatig na paraan ng pagtawid gamit ang paraan ng coordinate sa pamamagitan ng anggulo sa pagitan ng mga direksyon ng mga linya ng mga linya na ito.

Ipaalam sa amin na ipakilala ang isang hugis-parihaba na coordinate system na Oxyz tulad ng sumusunod: hayaan ang pinagmulan ng mga coordinate na nag-tutugma sa vertex A, ang axis ng Ox ay nagkakasabay sa linya ng AD, ang Oy axis na may linya ng AB, at ang axis ng Oz na may linya ng AA 1.

Kung gayon ang point B ay may mga coordinate, point E - (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo), point A1 -, at point C -. Mula sa mga coordinate ng mga puntong ito, maaari nating kalkulahin ang mga coordinate ng mga vectors at. Meron kami , .

Ito ay nananatiling ilapat ang formula upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga linya ng pagtawid kasama ang mga coordinate ng mga vectors ng direksyon:

Sagot:

Listahan ng mga sanggunian.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometry. Teksto para sa mga grade 10-11 ng pangalawang paaralan.
• Pogorelov A.V., Geometry. Teksto para sa mga grade 7-11 ng mga institusyong pang-edukasyon.
• Bugrov Y.S., Nikolsky S.M. Mas mataas na matematika. Dami ng Isa: Mga Elemento ng Linear Algebra at Analytic Geometry.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitikong geometry.

Ang mga cross na tuwid na linya ay madaling makilala ng mga tampok na ito. Mag-sign 1. Kung mayroong apat na puntos sa dalawang linya na hindi nagsisinungaling sa parehong eroplano, pagkatapos ang mga linya na ito ay magkatulad (Fig. 1.21).

Sa katunayan, kung ang mga tuwid na linya na ito ay magkakaugnay o magkakatulad, magsisinungaling sila sa isang eroplano, at pagkatapos ay ang mga puntong ito ay magsisinungaling sa isang eroplano, na sumasalungat sa kondisyon.

Mag-sign 2. Kung ang linya ng O ay namamalagi sa eroplano, at ang linya b ay lumilitaw sa eroplano sa isang punto

M, hindi nakahiga sa tuwid na linya a, kung gayon ang mga tuwid na linya a at b magkalayo (Fig. 1.22).

Sa katunayan, ang pagkuha ng anumang dalawang puntos sa linya a at anumang dalawang puntos sa linya b, nakarating kami sa criterion 1, i.e. a at b ay tumawid.

Ang mga totoong halimbawa ng intersect straight na linya ay ibinibigay ng mga pakikipagpalitan ng transportasyon (Fig. 1.23).

Sa espasyo, mayroong higit pang mga pares ng mga intersect na tuwid na linya kaysa sa mga pares ng paralel o intersect na tuwid na linya. Maaari itong maipaliwanag tulad ng mga sumusunod.

Dumaan sa espasyo ng ilang punto A at ilang tuwid na linya na hindi dumaan sa punto A. Upang gumuhit ng isang tuwid na linya sa puntong Isang kahilera sa linya ng isang, kinakailangan upang gumuhit ng eroplano ng isang punto A at tuwid na linya ng isang (Panukala 2 sa sugnay 1.1), at pagkatapos ay sa eroplano at gumuhit ng isang tuwid na linya b kahanay sa isang tuwid na linya ng (Fig. 1.24).

Mayroon lamang isang tulad na tuwid na linya b. Lahat ng mga linya na dumadaan sa point A at intersecting line O ay namamalagi din sa eroplano a at punan ang lahat ng ito maliban sa linya b. Ang lahat ng iba pang mga tuwid na linya na dumadaan sa A at pinupuno ang lahat ng puwang maliban sa eroplano ay lilitaw sa tuwid na linya a. Masasabi nating ang mga linya ng intersecting sa espasyo ay isang pangkalahatang kaso, at ang mga intersecting at parallel na linya ay mga espesyal na kaso. "Maliit na perturbations" ng mga linya ng pagtawid ay nag-iiwan sa kanila sa pagtawid. Ngunit ang mga katangian ng pagiging kahanay o intersect na may "maliit na perturbations" sa kalawakan ay hindi mapangalagaan.

Pag-aayos ng mutual dalawang tuwid na linya sa kalawakan.

Ang kamag-anak na posisyon ng dalawang linya at puwang ay nailalarawan sa pamamagitan ng sumusunod na tatlong posibilidad.

Ang mga linya ay nakahiga sa parehong eroplano at walang karaniwang mga puntos - kahanay na mga linya.

Ang mga linya ay namamalagi sa parehong eroplano at may isang pangkaraniwang punto - ang mga linya ay bumabagay.

Sa espasyo, ang dalawang tuwid na linya ay matatagpuan din upang hindi sila magsinungaling sa anumang eroplano. Ang ganitong mga tuwid na linya ay tinatawag na pagtawid (huwag lumusot at hindi magkakatulad).

HALIMBAWA:

PROBLEMA 434 Sa eroplano ay matatagpuan ang isang tatsulok na ABC, a

Ang Triangle ABC ay namamalagi sa eroplano, at ang point D ay wala sa eroplano na ito. Ang mga puntos na M, N at K, ayon sa pagkakabanggit, ay ang mga midpoints ng mga segment ng DA, DB at DC

Teorya. Kung ang isa sa dalawang tuwid na linya ay namamalagi sa isang tiyak na eroplano, at ang iba pang mga intersect na eroplano na ito at sa isang punto na hindi namamalagi sa unang tuwid na linya, pagkatapos ang mga tuwid na linya na ito ay bumabagay.

Sa fig. 26 na linya ang isang kasinungalingan sa eroplano, at ang linya c intersect sa point N. Ang mga linya a at c ay intersect.

Teorya.Isang eroplano lamang ang dumaan sa bawat isa sa dalawang mga linya ng intersecting, kahanay sa kabilang linya.

Sa fig. 26 tuwid na linya a at b krus. Itim na tuwid na linya at iginuhit na eroplano ng (alpha) || b (linya a1 || b ay ipinahiwatig sa eroplano B (beta)).

Teorya 3.2.

Ang dalawang tuwid na linya na kahanay sa pangatlo ay magkatulad.

Ang ari-arian na ito ay tinatawag transitivitypagkakatulad ng tuwid na linya.

Katibayan

Hayaan ang mga linya a at b sabay-sabay na kahanay sa linya c. Ipagpalagay na ang isang ay hindi kahanay sa b, pagkatapos ay linya ng isang intersect na may linya b sa ilang punto A na hindi namamalagi sa linya c sa pamamagitan ng hypothesis. Samakatuwid, mayroon kaming dalawang linya a at b na dumaan sa punto A, hindi namamalagi sa ibinigay na linya c, at sabay na magkakatulad dito. Taliwas ito sa Axiom 3.1. Ang teorya ay napatunayan.

Teorya 3.3.

Sa pamamagitan ng isang punto na hindi namamalagi sa isang naibigay na tuwid na linya, maaaring makuha ang isa at isang tuwid na linya na kahanay sa ibinigay na isa.

Katibayan

Hayaan (AB) maging isang linya, C maging isang puntong hindi nagsisinungaling dito. Ang linya ng AC ay naghati sa eroplano sa dalawang kalahating eroplano. Ang point B ay namamalagi sa isa sa kanila. Alinsunod sa axiom 3.2, posible na ipagpaliban ang anggulo (ACD) na katumbas ng anggulo (CAB) mula sa sinag ng C A hanggang sa isa pang kalahating eroplano. Ang ACD at CAB ay pantay na panloob na linya ng criss-cross sa ilalim ng mga linya na AB at CD at ang secant (AC) Pagkatapos ni Theorem 3.1 (AB) || (CD). Isinasaalang-alang ang axiom 3.1. Ang teorya ay napatunayan.

Ang pag-aari ng mga kahanay na linya ay ibinibigay ng mga sumusunod na teorema, na kung saan ay ang salungat sa Theorem 3.1.

Teorya 3.4.

Kung ang dalawang magkatulad na linya ay intersected ng isang ikatlong linya, kung gayon ang panloob na mga anggulo na nakahiga sa crosswise ay pantay.

Katibayan

Hayaan (AB) || (CD). Ipagpalagay na ACD ≠ BAC. Gumuhit ng isang linya ng AE sa punto A upang ang EAC \u003d ACD. Ngunit pagkatapos, sa pamamagitan ng Theorem 3.1 (AE) || (CD), at sa pamamagitan ng hypothesis - (AB) || (CD). Ayon sa Theorem 3.2 (AE) || (AB). Taliwas ito sa Theorem 3.3, ayon sa kung saan ang isang solong tuwid na linya na kahanay dito ay maaaring iguguhit sa isang puntong A na hindi nagsisinungaling sa CD. Ang teorya ay napatunayan.

Larawan 3.3.1.

Batay sa teorema na ito, ang mga sumusunod na katangian ay madaling nabigyan ng katwiran.

Kung ang dalawang magkatulad na linya ay na-cross sa pamamagitan ng isang ikatlong linya, kung gayon ang mga kaukulang mga anggulo ay pantay.

Kung ang dalawang magkatulad na linya ay intersected ng isang pangatlong linya, kung gayon ang kabuuan ng mga panloob na mga anggulo ng isang panig ay 180 °.

Corollary 3.2.

Kung ang isang linya ay patayo sa isa sa mga kahanay na linya, kung gayon ito ay patayo sa iba pa.

Ang konsepto ng paralelismo ay nagpapahintulot sa amin na ipakilala ang sumusunod na bagong konsepto, na kakailanganin sa paglaon sa Kabanata 11.

Ang dalawang beam ay tinawag pantay na nakadirektakung mayroong isang tuwid na linya tulad nito, una, sila ay patayo sa tuwid na linya na ito, at pangalawa, ang mga sinag ay namamalagi sa parehong kalahating eroplano na kamag-anak sa tuwid na linya na ito.

Ang dalawang beam ay tinawag labanang itinurokung ang bawat isa sa kanila ay pantay na nakadirekta sa isang ray na pantulong sa iba pa.

Ang pantay na itinuro na mga sinag ng AB at CD ay ipinapahiwatig: at laban sa direksyon ng AB at CD -

Larawan 3.3.2.

Isang tanda ng mga linya ng pagtawid.

Kung ang isa sa dalawang tuwid na linya ay namamalagi sa isang tiyak na eroplano, at ang iba pang mga tuwid na linya ay sumasailalim sa eroplano na ito sa isang puntong hindi nagsisinungaling sa unang tuwid na linya, kung gayon ang mga linya na ito ay nakakalusot.

Mga kaso ng magkakasamang pagsasaayos ng mga tuwid na linya sa kalawakan.

1. Mayroong apat na magkakaibang mga kaso ng dalawang tuwid na linya sa espasyo:

   
   

   - tuwid na pagtawid, i.e. huwag magsinungaling sa parehong eroplano;

   - tuwid na linya na bumalandra, i.e. namamalagi sa parehong eroplano at may isang pangkaraniwang punto;

   - tuwid na linya na kahanay, i.e. magsinungaling sa parehong eroplano at hindi magkatulad;

   - tuwid na linya magkakasabay.

   
   

   Kumuha tayo ng mga palatandaan ng mga kasong ito ng magkakasamang pagsasaayos ng mga tuwid na linya na ibinigay ng mga canonical equation

   
   
   saan - mga puntos na kabilang sa mga tuwid na linya at ayon sa pagkakabanggit, a - direksyon vectors (Larawan 4.34). Ipaalam sa amin isang vector na nagkokonekta sa mga naibigay na puntos.
   
   

   Ang mga nabanggit na kaso ng magkakasamang pag-aayos ng tuwid na linya at tumutugma sa mga sumusunod na palatandaan:

   
   

   - ang direktang at tumawid na mga vektor ay hindi coplanar;

   
   

   - Ang mga tuwid na linya at intersecting vectors ay coplanar, ngunit ang mga vectors ay hindi collinear;

   
   

   - ang mga direktang at kahanay na mga vector ay collinear, ngunit ang mga vectors ay hindi collinear;

   
   

   - ang mga straight at coincide vectors ay collinear.

   
   

   Ang mga kondisyong ito ay maaaring isulat gamit ang mga katangian ng mga halo at vector na produkto. Alalahanin na ang halo-halong produkto ng mga vectors sa isang kanang kamay na may hugis-parihaba na coordinate system ay matatagpuan sa pamamagitan ng pormula:

   
   
   at ang determinant intersect ay zero, at ang pangalawa at pangatlong linya nito ay hindi proporsyonal, i.e.
   

   - tuwid at magkatulad na pangalawa at pangatlong linya ng determinant ay proporsyonal, i.e. at ang unang dalawang linya ay hindi proporsyonal, i.e.

   
   

   - lahat ng mga linya ng determinant ay tuwid at magkakasamang proporsyonal, i.e.

Katunayan ng pag-sign ng mga linya ng tumawid.

Kung ang isa sa dalawang linya ay namamalagi sa isang eroplano, at ang iba pang mga intersect na eroplano na ito sa isang puntong hindi kabilang sa unang linya, kung gayon ang dalawang linya na ito ay magkatulad.

Katibayan

Hayaan ang isang kabilang sa α, b intersect α \u003d A, A ay hindi kabilang sa isang (pagguhit 2.1.2). Ipagpalagay na ang mga linya ng a at b ay hindi intersect, iyon ay, sila ay bumalandra. Pagkatapos ay mayroong isang eroplano β kung saan ang mga linya at a kabilang ang mga linya. Linya at isang punto Isang kasinungalingan sa eroplano na ito. Dahil ang linya at punto A sa labas nito ay nagtukoy ng isang natatanging eroplano, pagkatapos ay β \u003d α. Ngunit ang b ay humantong β at b ay hindi kabilang sa α, samakatuwid ang pagkakapantay-pantay β \u003d α ay imposible.

Wala pang isang minuto, gumawa ako ng isang bagong file ng Vord at nagpatuloy sa isang kapana-panabik na paksa. Kailangan mong mahuli ang mga sandali ng gumaganang kalagayan, kaya walang magiging panimula ng liriko. Magkakaroon ng isang prosaic whipping \u003d)

Dalawang tuwid na puwang ay maaaring:

1) interbreed;

2) bumalandra sa isang punto;

3) maging kahanay;

4) tugma.

Kaso Hindi 1 ay panimula ang naiiba sa iba pang mga kaso. Dalawang tuwid na linya ang bumabagabag kung hindi sila nagsisinungaling sa parehong eroplano... Itaas ang isang kamay, at pahabain ang kabilang kamay - narito ang isang halimbawa ng pagtawid ng mga tuwid na linya. Sa mga puntos na 2-4, ang mga tuwid na linya ay dapat magsinungaling sa isang eroplano.

Paano malalaman ang kamag-anak na posisyon ng mga tuwid na linya sa espasyo?

Isaalang-alang ang dalawang tuwid na puwang:

- tuwid, ibinigay na punto at direksyon vector;
- isang tuwid na linya na ibinigay ng isang punto at isang direksyon vector.

Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, magsagawa tayo ng isang eskematiko na pagguhit:

Ang pagguhit ay nagpapakita ng mga tuwid na linya bilang isang halimbawa.

Paano haharapin ang mga tuwid na linya na ito?

Dahil ang mga puntos ay kilala, madaling mahanap ang vector.

Kung tuwid nagkalat, pagkatapos ay ang mga vectors hindi coplanar (tingnan ang aralin Ang linear (hindi) pag-asa ng mga vectors. Batayan ng Vector), at, samakatuwid, ang determinant na binubuo ng kanilang mga coordinate ay nonzero. O, na talagang pareho, ay magiging nonzero: .

Sa mga kaso Hindi. 2-4, ang aming konstruksyon ay "bumagsak" sa isang eroplano, habang ang mga vectors coplanar, at ang halo-halong produkto ng mga linearly dependant vectors ay katumbas ng zero: .

Paikutin pa namin ang algorithm. Magpapanggap tayo na samakatuwid, ang mga linya alinman sa magkatulad, o kahanay, o magkakasabay.

Kung ang mga vectors ng direksyon collinear, kung gayon ang mga linya ay magkatulad o magkakasabay. Bilang isang pangwakas na kuko, iminumungkahi ko ang sumusunod na pamamaraan: kukuha kami ng anumang punto ng isang tuwid na linya at ihalili ang mga coordinate nito sa equation ng pangalawang tuwid na linya; kung ang mga coordinate ay "magkasya", kung gayon ang mga tuwid na linya ay magkatugma; kung sila ay "hindi magkasya," kung gayon ang mga tuwid na linya ay magkatulad.

Ang daloy ng algorithm ay simple, ngunit ang mga praktikal na halimbawa ay hindi pa rin nasasaktan:

Halimbawa 11

Alamin ang kamag-anak na posisyon ng dalawang linya

Desisyon: tulad ng sa maraming mga problema ng geometry, maginhawa upang iguhit ang solusyon ayon sa mga puntos:

1) Inalis namin ang mga puntos at mga vector ng direksyon mula sa mga equation:

2) Hanapin ang vector:

Sa gayon, ang mga vectors ay coplanar, na nangangahulugang ang mga linya ay namamalagi sa parehong eroplano at maaaring magkatulad, maging kahanay o magkakasabay.

4) Suriin ang mga direksyon ng vectors para sa collinearity.

Gumawa tayo ng isang sistema ng kaukulang mga coordinate ng mga vectors na ito:

Ng bawat isa ang equation ay nagpapahiwatig na, samakatuwid, ang sistema ay pare-pareho, ang mga kaukulang mga coordinate ng mga vectors ay proporsyonal, at ang mga vectors ay collinear.

Konklusyon: ang mga tuwid na linya ay magkatulad o magkakasabay.

5) Alamin natin kung ang mga linya ay may mga karaniwang puntos. Kumuha ng isang punto na kabilang sa unang linya at palitan ang mga coordinate nito sa mga equation ng linya:

Kaya, ang mga linya ay walang karaniwang mga puntos, at wala silang pagpipilian kundi maging kahanay.

Sagot:

Isang kagiliw-giliw na halimbawa para sa isang malayang solusyon:

Halimbawa 12

Alamin ang kamag-anak na posisyon ng mga tuwid na linya

Ito ay isang halimbawa para sa isang solusyon sa do-it-yourself. Tandaan na ang pangalawang linya ay may liham bilang isang parameter. Ito ay lohikal. Sa pangkalahatan, ang mga ito ay dalawang magkakaibang magkakaibang mga linya, kaya't ang bawat tuwid na linya ay may sariling parameter.

At muli hinihiling ko sa iyo na huwag laktawan ang mga halimbawa, sasabunutan ko ang mga problema na iminungkahi ko ay malayo sa random ;-)

Ang mga problema sa isang tuwid na linya sa kalawakan

Sa huling bahagi ng aralin, susubukan kong isaalang-alang ang maximum na bilang ng iba't ibang mga problema sa mga spatial line. Sa kasong ito, ang panimulang pagkakasunud-sunod ng pagsasalaysay ay masusunod: una naming isasaalang-alang ang mga problema sa mga intersect na tuwid na linya, pagkatapos ay sa intersecting straight line, at sa dulo ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga magkatulad na linya sa espasyo. Gayunpaman, dapat kong sabihin na ang ilang mga gawain ng araling ito ay maaaring mabuo nang sabay-sabay para sa maraming mga kaso ng pag-aayos ng mga tuwid na linya, at sa pagsasaalang-alang na ito, ang paghati ng seksyon sa mga talata ay medyo di-makatwiran. Marami pa mga simpleng halimbawa, mayroong mas kumplikadong mga halimbawa, at sana ay matagpuan ng lahat kung ano ang kailangan nila.

Tumawid ng mga tuwid na linya

Naaalala ko sa iyo na ang mga tuwid na linya ay lumaliko kung walang eroplano na kung saan pareho silang nagsisinungaling. Kapag iniisip ko ang kasanayan, isang problema ng halimaw ang sumagi sa aking isip, at ngayon natutuwa akong ipakita sa iyong pansin ang isang dragon na may apat na ulo:

Halimbawa 13

Ibinibigay ang mga tuwid na linya. Kailangan:

a) patunayan na ang mga tuwid na linya ay bumabagay;

b) hanapin ang mga equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na patayo sa mga tuwid na linya na ito;

c) isulat ang mga equation ng tuwid na linya na naglalaman karaniwang patayo pagtawid ng mga tuwid na linya;

d) hanapin ang distansya sa pagitan ng mga linya.

Desisyon: Ang daan ay pinagkadalubhasaan sa paglalakad:

a) Patunayan natin na ang mga linya ay bumabagay. Hanapin ang mga puntos at direksyon ng mga linya na ito:

Hanapin ang vector:

Kinakalkula namin halo-halong produkto ng mga vectors:

Sa gayon ang mga vectors hindi coplanar, na nangangahulugang ang mga linya ay bumabagay, na kung saan ay kinakailangan upang mapatunayan.

Marahil, napansin ng lahat na matagal na ang nakalipas na para sa mga linya ng pagtawid, ang algorithm ng pag-verify ay naging pinakamaikling.

b) Hanapin ang mga equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto at patayo sa mga tuwid na linya. Isagawa natin ang isang pagguhit ng eskematiko:

Para sa isang pagbabago, naglagay ako ng isang tuwid na linya MABUTI tuwid, tingnan kung paano ito bahagyang tinanggal sa mga punto ng pagtawid. Mga Krus sa Krus? Oo, sa pangkalahatang kaso ang tuwid na linya na "de" ay magkatugma sa orihinal na mga tuwid na linya. Bagaman hindi kami interesado sa sandaling ito, kailangan lang nating magtayo ng isang patayo na linya at iyon iyon.

Ano ang nalalaman tungkol sa direktang "de"? Ang puntong pag-aari sa kanya ay kilala. Nawawala ang Direksyon vector.

Sa pamamagitan ng kondisyon, ang tuwid na linya ay dapat na patayo sa mga tuwid na linya, na nangangahulugang ang direksyon ng vector ay magiging orthogonal sa mga direksyon ng vector. Pamilyar na mula sa Halimbawa Hindi 9 motibo, hanapin ang produkto ng krus:

Isulat natin ang mga equation ng tuwid na linya na "de" sa puntong at ang direksyon ng vector:

Tapos na. Sa prinsipyo, maaari mong baguhin ang mga palatandaan sa mga denominador at isulat ang sagot sa form , ngunit hindi na kailangan ito.

Upang suriin, kinakailangan upang kapalit ang mga coordinate ng point sa nakuha na mga equation ng tuwid na linya, pagkatapos ay gamitin dot produkto ng mga vectorssiguraduhin na ang vector ay talagang orthogonal sa mga direksyon vectors "pe one" at "pe two".

Paano mahahanap ang mga equation ng isang tuwid na linya na naglalaman ng isang karaniwang patayo?

c) Ang gawaing ito ay magiging mas mahirap. Inirerekumenda ko ang mga dummies na laktawan ang puntong ito, hindi ko nais na palamig ang iyong taimtim na pakikiramay para sa analytic geometry \u003d) Sa pamamagitan ng paraan, marahil ay mas mahusay para sa mas handa na mga mambabasa na ipagpaliban din, ang katotohanan ay, sa mga tuntunin ng pagiging kumplikado, ang halimbawa ay dapat ilagay sa huling artikulo, ngunit ayon sa lohika ng pagtatanghal dapat na matatagpuan dito.

Kaya, kinakailangan upang mahanap ang mga equation ng tuwid na linya, na naglalaman ng karaniwang patayo ng mga tuwid na linya.

Ay isang linya segment na kumokonekta sa mga linyang ito at patayo sa mga ibinigay na linya:

Narito ang aming guwapong lalaki: - ang karaniwang patayo ng mga linya ng pagtawid. Isa lang siya. Wala nang iba. Kailangan din nating isulat ang mga equation ng tuwid na linya na naglalaman ng ibinigay na segment.

Ano ang nalalaman tungkol sa tuwid na "uh"? Ang direksyon ng vector na ito, na natagpuan sa nakaraang talata, ay kilala. Ngunit, sa kasamaang palad, hindi namin alam ang isang solong punto na kabilang sa tuwid na linya na "uh", hindi namin alam ang mga dulo ng patayo - mga puntos. Saan ang patayo na linya na ito ay pumapasok sa dalawang orihinal na mga linya? Sa Africa, sa Antarctica? Mula sa paunang pagsusuri at pagsusuri ng kondisyon hindi ito malinaw sa kung paano malutas ang problema .... Ngunit mayroong isang nakakalito na galaw na nauugnay sa paggamit ng mga equation ng parametric ng isang tuwid na linya.

Maglalabas kami ng desisyon ayon sa mga puntos:

1) Isulat natin ang mga equation ng unang tuwid na linya sa form na parametric:

Isaalang-alang ang isang punto. Hindi namin alam ang mga coordinate. PERO... Kung ang isang punto ay kabilang sa isang naibigay na tuwid na linya, pagkatapos ay tumutugma ito sa mga coordinate nito, ipinapahiwatig namin ito sa pamamagitan ng. Pagkatapos ang mga coordinate ng point ay isusulat sa form:

Ang buhay ay nagiging mas mahusay, ang isang hindi kilalang - pagkatapos ng lahat, hindi tatlong hindi alam.

2) Ang parehong pagkagalit ay dapat isagawa sa pangalawang punto. Isulat natin ang mga equation ng pangalawang tuwid na linya sa form na parametric:

Kung ang isang punto ay kabilang sa isang naibigay na tuwid na linya, kung gayon na may isang napaka-tiyak na halagaang mga coordinate nito ay dapat masiyahan ang mga equation ng parametric:

O:

3) Ang vector, tulad ng nauna nang nahanap na vector, ay magiging direksyon ng vector ng tuwid na linya. Paano isulat ang isang vector sa pamamagitan ng dalawang puntos ay isinasaalang-alang sa aralin sa sinaunang panahon Mga Vector para sa mga dummies... Ngayon ang pagkakaiba ay ang mga coordinate ng mga vectors ay nakasulat na may mga hindi kilalang mga halaga ng parameter. E ano ngayon? Walang sinuman ang nagbabawal sa pagbabawas ng kaukulang mga coordinate ng vector na nagmula sa mga coordinate ng pagtatapos ng vector.

Mayroong dalawang puntos: .

Hanapin ang vector:

4) Dahil ang mga direksyon ng vectors ay collinear, kung gayon ang isang vector ay sunud-sunod na ipinahayag sa pamamagitan ng iba pa na may isang tiyak na koepisyent na proporsyonal na "lambda":

O kaya ay:

Ito ay pinaka-out, na alinman sa karaniwan system ng mga linear na equation na may tatlong hindi alam, na matutunaw sa pamantayan, halimbawa, paraan ng Cramer... Ngunit narito mayroong isang pagkakataon upang mapupuksa ang isang maliit na dugo, mula sa ikatlong equation ipinahayag namin ang "lambda" at kapalit ito sa una at pangalawang mga equation:

Kaya: , at hindi namin kailangan ng lambda. Ang katotohanan na ang mga halaga ng mga parameter ay naging pareho ay puro pagkakasabay.

5) Ang kalangitan ay ganap na malinaw, kapalit ang mga natagpuan na halaga sa aming mga puntos:

Ang direksyon ng vector ay hindi kinakailangan lalo na, dahil ang kasamahan nito ay natagpuan na.

Matapos ang isang mahabang paglalakbay, palaging masaya na suriin.

:

Ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

Palitin ang mga coordinate ng point sa mga equation :

Ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

6) Pangwakas na chord: isulat ang mga equation ng isang tuwid na linya kasama ang isang punto (maaari mong dalhin ito) at isang direksyon vector:

Sa prinsipyo, maaari kang pumili ng isang "mahusay" na point na may mga coordinate ng integer, ngunit ito ay isang kosmetiko.

Paano mahahanap ang distansya sa pagitan ng mga cross line?

d) Pinutol namin ang ikaapat na ulo ng dragon.

Paraan ng isa... Hindi kahit isang paraan, ngunit isang maliit na espesyal na kaso. Ang distansya sa pagitan ng mga linya ng pagtawid ay katumbas ng haba ng kanilang karaniwang patayo: .

Ang matinding puntos ng karaniwang patayo matatagpuan sa nakaraang talata, at ang gawain ay elementarya:

Paraan dalawa... Sa pagsasagawa, kadalasan ang mga dulo ng karaniwang patayo ay hindi alam, kaya ibang paraan ang ginagamit. Ang mga paralong eroplano ay maaaring iguguhit sa pamamagitan ng dalawang mga linya ng pagtawid, at ang distansya sa pagitan ng mga eroplano na ito ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga linyang ito. Sa partikular, isang pangkaraniwang patayo na dumidikit sa pagitan ng mga eroplano.

Sa kurso ng analitikong geometry, mula sa mga pagsasaalang-alang sa itaas, ang isang pormula para sa paghahanap ng distansya sa pagitan ng mga linya ng pagtawid.
(sa halip ng aming mga puntos na "uh one, two" maaari kang kumuha ng mga di-makatwirang puntos ng mga tuwid na linya).

Ang halo-halong produkto ng mga vectors natagpuan na sa talata "a": .

Vector produkto ng mga vectors matatagpuan sa item na "bae": , kalkulahin natin ang haba nito:

Kaya:

Ipinagmamalaki nating ilabas ang mga tropeo sa isang hilera:

Sagot:
at) , na nangangahulugang ang mga linya ay bumalandra, na kinakailangan upang patunayan;
b) ;
sa) ;
d)

Ano pa ang maaari mong sabihin sa amin tungkol sa pagtawid ng mga tuwid na linya? Ang isang anggulo ay tinukoy sa pagitan nila. Ngunit isaalang-alang ang pangkalahatang pormula ng anggulo sa susunod na talata:

Ang pagpasok sa mga tuwid na linya ng puwang ay kinakailangang namamalagi sa parehong eroplano:

Ang unang naisip ay ang pag-pounce sa intersection sa lahat ng iyong lakas. At naisip ko kaagad, bakit tanggihan ang iyong sarili ng mga tamang pagnanasa ?! Pounce tayo sa kanya ngayon!

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng mga linya ng spatial?

Halimbawa 14

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya

Desisyon: Isulat ulit natin ang mga equation ng tuwid na linya sa form na parametric:

Ang gawaing ito ay tinalakay nang detalyado sa Halimbawa Blg 7 ng araling ito (tingnan. Mga equation ng isang tuwid na linya sa espasyo). At ang mga tuwid na linya mismo, sa pamamagitan ng paraan, kinuha ko mula sa Halimbawa Hindi. Hindi ako magsisinungaling, tamad akong mag-imbento ng mga bago.

Ang solusyon ay pamantayan at naranasan na natin kapag gilingin natin ang mga equation ng karaniwang patayo ng mga intersect na linya.

Ang punto ng intersection ng mga tuwid na linya ay kabilang sa tuwid na linya, samakatuwid ang mga coordinate nito ay masiyahan ang mga parametric equation ng ibinigay na tuwid na linya, at tumutugma sila sa medyo tiyak na halaga ng parameter:

Ngunit ang parehong punto ay kabilang sa pangalawang tuwid na linya, samakatuwid:

Pinaghahambing namin ang kaukulang mga equation at gumawa ng mga pagpapagaan:

Ang isang sistema ng tatlong linear equation na may dalawang hindi alam ay nakuha. Kung ang mga linya ay lumusot (tulad ng napatunayan sa Halimbawa 12), kung gayon ang sistema ay kinakailangang katugma at may natatanging solusyon. Maaari itong malutas paraan ng Gaussian, ngunit hindi tayo magkakasala sa gayong kindergarten fetishism, gagawin natin itong mas madali: mula sa unang equation ay ipapahayag namin ang "te zero" at ihalili ito sa pangalawa at pangatlong equation:

Ang huling dalawang equation ay naging, sa katunayan, pareho, at sumusunod ito sa kanila. Pagkatapos:

Palitin ang nahanap na halaga ng parameter sa mga equation:

Sagot:

Upang suriin, pinalitan namin ang nahanap na halaga ng parameter sa mga equation:
Ang parehong mga coordinate ay nakuha bilang kinakailangan upang mapatunayan. Ang mga mahuhusay na mambabasa ay maaaring kapalit ang mga coordinate ng isang punto sa orihinal na mga kanonikal na equation ng mga tuwid na linya.

Sa pamamagitan ng paraan, posible na gawin ang kabaligtaran: upang mahanap ang punto sa pamamagitan ng "es zero", at suriin - sa pamamagitan ng "te zero".

Sinasabi ng isang kilalang matematikong tanda: kung saan tinalakay nila ang intersection ng mga tuwid na linya, palaging nangangamoy ito tulad ng mga perpendicular.

Paano magtayo ng isang linya ng espasyo na patayo sa isang naibigay?

(mga linya ng magkatulad)

Halimbawa 15

a) Gumawa ng mga equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na patayo sa isang tuwid na linya (mga linya na bumalandra).

b) Hanapin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya.

Tandaan : sugnay na "mga linya na bumabagay" - mahalaga... Sa pamamagitan ng punto
maaari kang gumuhit ng walang hanggan maraming mga patayo na tuwid na linya na magkatugma sa tuwid na "Ale" Ang naganap na solusyon ay maganap kapag ang isang tuwid na linya ay iguguhit sa puntong ito, patayo sa dalawa ibinigay ng isang tuwid na linya (tingnan ang Halimbawa Hindi. 13, ituro ang "b").

at) Desisyon: Ang hindi kilalang linya ay ipinapahiwatig ng. Isagawa natin ang isang pagguhit ng eskematiko:

Ano ang nalalaman tungkol sa tuwid na linya? Sa pamamagitan ng kondisyon, binibigyan ang isang punto. Upang maisulat ang mga equation ng isang tuwid na linya, kinakailangan upang mahanap ang direksyon vector. Ang isang vector ay angkop na angkop tulad ng isang vector, at haharapin namin ito. Mas tiyak, kunin natin ang hindi kilalang pagtatapos ng vector ng scruff.

1) Alisin natin ang direktang vector mula sa mga equation ng tuwid na linya na "el", at muling isulat ang mga equation sa kanilang sarili sa parametric form:

Marami ang nahulaan na ngayon sa pangatlong beses sa isang aralin ay makakakuha ang salamangkero ng isang puting sisne sa kanyang sumbrero. Isaalang-alang ang isang puntong may hindi kilalang mga coordinate. Dahil sa punto, ang mga coordinate nito ay nagbibigay-kasiyahan sa parametric equation ng tuwid na linya na "el" at tumutugma sila sa isang tiyak na halaga ng parameter:

O sa isang linya:

2) Sa pamamagitan ng kondisyon, ang mga tuwid na linya ay dapat na patayo, samakatuwid, ang kanilang mga direksyon vectors ay orthogonal. At kung ang mga vectors ay orthogonal, kung gayon produkto ng scalar pantay na zero:

Anong nangyari? Ang pinakasimpleng linear equation sa isang hindi kilalang:

3) Ang halaga ng parameter ay kilala, nahanap namin ang punto:

At ang direksyon vector:
.

4) Isulat namin ang mga equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang direksyon vector:

Ang mga denominator ng proporsyon ay naging fractional, at ito mismo ang kaso kung naaangkop na mapupuksa ang mga praksiyon. Dadami ko lang sila ng -2:

Sagot:

Tandaan : isang mas mahirap na pagtatapos ng solusyon ay nabuo tulad ng sumusunod: sumulat kami ng mga equation ng isang tuwid na linya kasama ang isang punto at isang direksyon vector. Sa katunayan, kung ang isang vector ay isang direktang vector ng isang tuwid na linya, kung gayon ang isang vector collinear dito ay natural din maging isang direktang vector ng isang naibigay na tuwid na linya.

Ang tseke ay binubuo ng dalawang yugto:

1) suriin ang mga direksyon ng vectors ng mga tuwid na linya para sa orthogonality;

2) pinalitan namin ang mga coordinate ng point sa mga equation ng bawat tuwid na linya, dapat silang "magkasya" kapwa doon at doon.

Marami ang sinabi tungkol sa mga karaniwang pagkilos, kaya't nag-check ako sa isang draft.

Sa pamamagitan ng paraan, nakalimutan ko rin ang punto - upang bumuo ng isang punto "siu" simetriko hanggang sa puntong "en" na kamag-anak sa tuwid na linya na "el". Gayunpaman, mayroong isang mahusay na "flat analog", na maaaring matagpuan sa artikulo Ang pinakasimpleng mga problema sa isang tuwid na linya sa isang eroplano... Narito ang lahat ng pagkakaiba ay magiging sa karagdagang "zeta" coordinate.

Paano mahahanap ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya sa espasyo?

b) Desisyon: Hanapin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya.

Paraan ng isa... Ang distansya na ito ay eksaktong katumbas ng haba ng patayo:. Ang solusyon ay malinaw: kung ang mga puntos ay kilala , pagkatapos:

Paraan dalawa... Sa mga praktikal na gawain, ang batayan ng patayo ay madalas na lihim sa likod ng pitong mga selyo, kaya mas makatwiran na gumamit ng isang yari na pormula.

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya ay ipinahayag ng pormula:
, kung saan ang direktang vector ng tuwid na linya na "el", at - di-makatwirangpunto na kabilang sa linyang ito.

1) Mula sa mga equation ng tuwid na linya nakukuha namin ang direksyon vector at ang pinaka-naa-access na point.

2) Ang punto ay kilala mula sa kondisyon, patalasin ang vector:

3) Maghanap produkto ng krus at kalkulahin ang haba nito:

4) Kalkulahin ang haba ng vector ng direksyon:

5) Sa gayon, ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya: