Inverse function 10 cells Mordkovich. Inverse function presentation para sa isang algebra lesson (grade 10) sa paksa. Sa panahon ng aralin ako ay interesado ………………………

Mga tala ng aralin sa paksang "Kabaligtaran ng isang function"

Aralin 1. Lektura sa paksa "Inverse function"

Target: Bumuo ng teoretikal na kagamitan sa paksa. Pumasok

Ang konsepto ng isang reversible function;

Ang konsepto ng isang inverse function;

Bumuo at patunayan ang isang sapat na kundisyon para sa reversibility

mga function;

Mga pangunahing katangian ng magkabaligtaran na mga pag-andar.

Lesson plan ng lecture

Oras ng pag-aayos.

Ang pag-update ng kaalaman ng mga mag-aaral na kinakailangan upang makita ang isang bagong paksa.

Pagtatanghal ng bagong materyal.

Pagbubuod ng aralin.

Pag-unlad ng lesson-lecture

1. Oras ng pag-aayos.

2. Pag-update ng kaalaman. ( Frontal survey sa paksa ng nakaraang aralin.)

Ang isang graph ng function ay ipinapakita sa interactive na whiteboard para sa mga mag-aaral (Fig. 1). Ang guro ay bumalangkas ng isang gawain - isaalang-alang ang graph ng isang function at ilista ang mga pinag-aralan na katangian ng function. Inilista ng mga mag-aaral ang mga katangian ng isang function alinsunod sa disenyo ng pananaliksik. Isusulat ng guro, sa kanan ng graph ng function, ang mga pinangalanang property na may marker sa interactive na board.

kanin. 1

Mga katangian ng function:

3. Pagtatakda ng mga layunin para sa mga mag-aaral.

Sa pagtatapos ng pag-aaral, ang guro ay nag-uulat na ngayon sa aralin ay makikilala nila ang isa pang pag-aari ng isang function - reversibility. Upang makabuluhang pag-aralan ang bagong materyal, inaanyayahan ng guro ang mga bata na kilalanin ang mga pangunahing tanong na dapat sagutin ng mga mag-aaral sa pagtatapos ng aralin. Ang bawat mag-aaral ay may mga tanong sa anyo ng mga handout (ibinahagi bago ang aralin).

Mga Tanong:

1. Aling function ang tinatawag na invertible?

2. Anong function ang tinatawag na inverse?

3. Paano nauugnay ang mga domain ng kahulugan at mga hanay ng mga halaga ng direkta at kabaligtaran na mga function sa bawat isa?

4. Bumuo ng sapat na kundisyon para sa invertibility ng isang function.

5. Bumababa o tumataas ba ang kabaligtaran ng pagtaas ng function?

6. Ang kabaligtaran ba ng isang kakaibang pag-andar ay pantay o kakaiba?

7. Paano matatagpuan ang mga graph ng mutually inverse functions?

4. Pagtatanghal ng bagong materyal.

1) Ang konsepto ng isang invertible function. Sapat na kondisyon para sa reversibility.

Sa interactive na board, inihambing ng guro ang mga graph ng dalawang function na ang mga domain ng kahulugan at hanay ng mga halaga ay pareho, ngunit ang isa sa mga function ay monotonic at ang isa ay hindi (Fig. 2). Kaya, ang function ay may property na hindi katangian ng function: kahit anong numero mula sa set ng mga value ng functionf ( x ) kahit na ano, ito ay ang halaga ng isang function sa isang punto lamang, sa gayon ang guro ay humantong sa mga mag-aaral sa konsepto ng isang invertible function.

kanin. 2

Pagkatapos ay bumalangkas ang guro ng kahulugan ng isang invertible function at nagsasagawa ng isang patunay ng invertible function theorem gamit ang graph ng isang monotonic function sa interactive na whiteboard.

Kahulugan 1. Tinatawag ang functionnababaligtad , kung kukuha ito ng alinman sa mga halaga nito sa isang punto lamang ng setX .

Teorama. Kung ang function ay monotonic sa setX , pagkatapos ito ay nababaligtad.

Patunay:

Hayaan ang function y=f(x) tumataas sa setX bumitaw X 1 ≠x 2 – dalawang puntos ng setX .

Upang maging tiyak, hayaanX 1 < X 2 . Pagkatapos mula sa katotohanan naX 1 < X 2 dahil sa pagtaas ng function na ito ay sumusunod naf(x 1 ) < f(x 2 ) .

Kaya, ang iba't ibang mga halaga ng argumento ay tumutugma sa iba't ibang mga halaga ng function, i.e. ang function ay invertible.

Ang teorama ay napatunayang katulad sa kaso ng isang bumababa na function.

(Habang ang patunay ng teorama ay umuusad, ang guro ay gumagamit ng isang marker upang gawin ang lahat ng kinakailangang mga paliwanag sa pagguhit)

Bago bumalangkas ng kahulugan ng isang inverse function, hinihiling ng guro sa mga mag-aaral na tukuyin kung alin sa mga iminungkahing function ang invertible? Ang interactive na whiteboard ay nagpapakita ng mga function graph (Fig. 3, 4) at nagsusulat ng ilang analytically tinukoy na function:

A ) b )

kanin. 3 Fig. 4

V ) y = 2x + 5; G ) y = - + 7.

Magkomento. Ang monotonicity ng function aysapat kondisyon para sa pagkakaroon ng inverse function. Ngunit itoay hindi isang kinakailangang kondisyon.

Ang guro ay nagbibigay ng mga halimbawa ng iba't ibang mga sitwasyon kapag ang isang function ay hindi monotonic ngunit nababaligtad, kapag ang isang function ay hindi monotonic at hindi nababaligtad, kapag ito ay monotonic at nababaligtad.

2) Ang konsepto ng isang inverse function. Algorithm para sa pagbuo ng isang inverse function.

Kahulugan 2. Hayaan ang invertible functiony=f(x) tinukoy sa setX at saklaw ng mga halaga nitoE(f)=Y . Pagtugmain natin ang bawat isay mula sa Y yun lang ang ibig sabihinX, Kung saan f(x)=y. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang function na tinukoy saY, A X – hanay ng mga halaga ng function. Ang function na ito ay itinalagax=f -1 (y), at tumawag reverse kaugnay ng pag-andary=f(x), .

Pagkatapos ay ipinakilala ng guro sa mga mag-aaral ang isang paraan para sa paghahanap ng isang baligtad na function na ibinigay nang analytical.

Algorithm para sa pagbuo ng kabaligtaran na function para sa isang function y = f ( x ), .

Siguraduhin ang pag-andary=f(x) nababaligtad sa pagitanX .

Express variableX sa pamamagitan ng sa mula sa Eq. y=f(x), isinasaalang-alang iyon.

Sa resultang pagkakapantay-pantay, magpalit ng mga lugarX At sa. sa halip na x=f -1 (y) magsulat y=f -1 (x).

Gamit ang mga partikular na halimbawa, ipinapakita ng guro kung paano gamitin ang algorithm na ito.

Halimbawa 1. Ipakita iyon para sa isang functiony=2x-5

Solusyon . Linear functiony=2x-5 tinutukoy sa R, tumataas ng R at ang saklaw ng mga halaga nito ayR. Nangangahulugan ito na ang inverse function ay umiiral saR . Upang mahanap ang analytical expression nito, lutasin namin ang equationy=2x-5 medyo X ; kukunin natin. Itakda nating muli ang mga variable at makuha ang nais na inverse function. Ito ay tinukoy at tumataas sa R.

Halimbawa 2. Ipakita iyon para sa isang functiony=x 2 , x ≤ 0 mayroong isang inverse function, at hanapin ang analytical expression nito.

Solusyon . Ang function ay tuloy-tuloy, monotoniko sa domain ng kahulugan nito, samakatuwid, ito ay invertible. Ang pagkakaroon ng pag-aralan ang mga domain ng kahulugan at mga hanay ng mga halaga ng function, ang isang kaukulang konklusyon ay ginawa tungkol sa analytical expression para sa inverse function, na may form.

3) Mga katangian ng magkabaligtaran na mga pag-andar.

Ari-arian 1. Kung g – function na baligtad sa f , pagkatapos f – function na baligtad sa g (ang mga pag-andar ay magkabaligtaran), habangD ( g )= E ( f ), E ( g )= D ( f ) .

Ari-arian 2. Kung ang isang function ay tumataas (bumababa) sa set X, at Y ang hanay ng mga halaga ng function, pagkatapos ay ang inverse function ay tumataas (bumababa) sa Y.

Ari-arian 3. Upang makuha ang graph ng isang function na inverse sa isang function, kailangan mong ibahin ang anyo ng graph ng function na simetriko na may kinalaman sa tuwid na linyay=x .

Ari-arian 4. Kung ang isang kakaibang function ay invertible, kung gayon ang kabaligtaran nito ay kakaiba din.

Ari-arian 5. Kung ang mga function f ( x ) At magkabaligtaran, kung gayon ito ay totoo para sa sinuman, at ito ay totoo para sa lahat.

Halimbawa 3. Gumuhit ng graph ng inverse function, kung maaari.

Solusyon. Sa buong domain ng kahulugan nito, ang function na ito ay walang kabaligtaran, dahil hindi ito monotoniko. Samakatuwid, isaalang-alang natin ang agwat kung saan ang function ay monotoniko: nangangahulugan ito na ang kabaligtaran ay umiiral. Hahanapin natinkanya . Upang gawin ito, ipinapahayag naminx sa pamamagitan ngy : . Itakda natin itong muli bilang inverse function. I-plot natin ang mga function (Larawan 5) at siguraduhing simetriko ang mga ito sa tuwid na linya.y = x .

kanin. 5

Halimbawa 4. Hanapin ang hanay ng mga halaga ng bawat isa sa mga reciprocal na function kung ito ay kilala na.

Solusyon. Ayon sa Property 1 ng mutually inverse functions, mayroon kami.

5 . Pagbubuod

Pagsasagawa ng diagnostic na gawain. Ang layunin ng gawaing ito ay upang matukoy ang antas ng karunungan ng materyal na pang-edukasyon na tinalakay sa panayam. Hinihiling sa mga mag-aaral na sagutin ang mga tanong na nabuo sa simula ng panayam.

6 . Pagtatakda ng takdang-aralin.

1. Unawain ang materyal sa panayam, alamin ang mga pangunahing kahulugan at pahayag ng mga theorems.

2. Patunayan ang mga katangian ng magkabaligtaran na mga pag-andar.

Aralin 2. Pagawaan sa paksang “Definition of an inverse function. Sapat na kondisyon para sa invertibility ng isang function"

Target: upang bumuo ng kakayahang mag-aplay ng teoretikal na kaalaman sa paksa kapag nilulutas ang mga problema, upang isaalang-alang ang mga pangunahing uri ng mga problema para sa pag-aaral ng isang function para sa reversibility, para sa pagbuo ng isang kabaligtaran na function.

Plano ng aralin sa workshop:

1. Pansamahang sandali.

2. Pag-update ng kaalaman (pangunahing gawain ng mga mag-aaral).

3. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal (paglutas ng mga problema).

4. Pagbubuod ng aralin.

5. Pagtatakda ng takdang-aralin.

Sa panahon ng mga klase.

1. Oras ng pag-aayos.

Pagbati sa guro, pagsuri sa kahandaan ng mga mag-aaral para sa aralin.

2. Pag-update ng kaalaman. ( frontal na gawain ng mga mag-aaral).

Hinihiling sa mga mag-aaral na kumpletuhin ang mga sumusunod na gawain nang pasalita:

1. Bumuo ng sapat na kundisyon para sa invertibility ng isang function.

2. Kabilang sa mga function na ang mga graph ay ipinapakita sa figure, ipahiwatig ang mga nababaligtad.

3. Bumuo ng isang algorithm para sa pagbuo ng isang function na kabaligtaran sa isang ibinigay na isa.

4. Mayroon bang data inverse functions? Kung oo ang sagot, hanapin sila:

A) ; b ) ; c ) .

5. Ang mga function ba na ang mga graph ay ipinapakita sa figure ay magkabaligtaran (Fig. 6)? Pangatwiranan ang iyong sagot.

kanin. 6

3. Pagsasama-sama ng natutunang materyal (paglutas ng problema).

Ang pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal ay binubuo ng dalawang yugto:

Indibidwal na independiyenteng gawain ng mga mag-aaral;

Pagbubuod ng mga resulta ng indibidwal na gawain.

Sa unang yugto, ang mga mag-aaral ay inaalok ng mga card na may mga gawain na kanilang kumpletuhin nang nakapag-iisa.

Ehersisyo 1.

Invertible ba ang mga function sa kanilang buong domain? Kung oo, pagkatapos ay hanapin ang kabaligtaran nito.

a) ; b); c) .

Gawain 2.

Ang mga function ba ay magkabaligtaran?

A);

b ) .

Gawain 3.

Isaalang-alang ang function sa bawat isa sa mga ipinahiwatig na agwat; kung sa pagitan na ito ang function ay invertible, pagkatapos ay tukuyin ang kabaligtaran nito nang analytical, ipahiwatig ang domain ng kahulugan at hanay ng mga halaga:

a ) R ; b ) ; d ) [-2;0].

Gawain 4.

Patunayan na ang pag-andar ay hindi maibabalik. Hanapin ang inverse function sa pagitan at i-plot ang graph nito.

Gawain 5.

I-graph ang function at tukuyin kung mayroong inverse function para dito. Kung oo, pagkatapos ay i-plot ang inverse function sa parehong pagguhit at tukuyin ito nang analytical:

a ) ; b ) .

Sa yugto ng pagbubuod ng mga resulta ng indibidwal na gawain ng mga mag-aaral, ang mga gawain ay sinusuri lamang gamit ang pagtatala ng mga intermediate na resulta. Ang mga problemang nagdulot ng pinakamaraming kahirapan ay isasaalang-alang sa pisara, alinman sa pagbubunyag ng paghahanap ng mga solusyon, o pagtatala ng buong solusyon.

4. Pagbubuod ng aralin (pagninilay).

Ang mga mag-aaral ay inaalok ng isang mini-kwestyoner:

Ano ang nagustuhan ko sa aralin?______________________________

Ano ang hindi ko nagustuhan sa aralin?______________________________

_________________________________________________________________

Pakisaad ang isang pahayag na pinakaangkop sa iyo:

1) Maaari kong independiyenteng suriin ang isang function para sa reversibility, buuin ang kabaligtaran nito, at tiwala ako sa kawastuhan ng resulta.

2) Maaari kong suriin ang isang function para sa invertibility, bumuo ng kabaligtaran nito, ngunit hindi ako palaging sigurado sa kawastuhan ng resulta, kailangan ko ng tulong ng aking mga kaibigan.

3) Halos hindi ko mapag-aralan ang function para sa reversibility, bumuo ng kabaligtaran, kailangan ko ng karagdagang payo mula sa guro.

Saan ko mailalapat ang natamo na kaalaman?____________________ ________________________________________________________________

5. Pagtatakda ng takdang-aralin.

№ 10.3, 10.6(c, d), 10.7 (c, d), 10.9(c, d), 10.13(c, d), 10.18.(Mordkovich, A.G. Algebra at simula ng mathematical analysis. Ika-10 baitang. Sa 2 p.m. Part 2. Libro ng problema para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pangkalahatang edukasyon (antas ng profile) / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - M.: Mnemosyne, 2014. - 384 p.)

Paksa: "Mutually inverse functions."

Mga layunin ng aralin:

Pang-edukasyon:

Ulitin at ibuod ang kaalaman ng mga mag-aaral sa paksang "Function" na pinag-aralan sa ika-9 na baitang. Kilalanin ang magkabilang kabaligtaran na mga pag-andar, pag-aralan ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng isang kabaligtaran na pag-andar at mga katangian nito, alamin kung paano bumuo ng mga graph ng mga kabaligtaran na pag-andar.

Pang-edukasyon:

Upang mabuo ang malikhain at mental na aktibidad ng mga mag-aaral, ang kanilang mga intelektwal na katangian: ang kakayahang "makita" ang isang problema.

Paunlarin ang kakayahang malinaw at malinaw na ipahayag ang iyong mga iniisip, magsaliksik, magsuri, maghambing, at gumawa ng mga konklusyon.

Upang mapaunlad ang interes ng mga mag-aaral sa malayang pagkamalikhain.

Paunlarin ang spatial na imahinasyon ng mga mag-aaral.

Pang-edukasyon:

Upang bumuo ng kakayahang magtrabaho kasama ang magagamit na impormasyon sa isang hindi pangkaraniwang sitwasyon.

Linangin ang katumpakan at pagiging matapat.

Magbigay ng aesthetic education.

Uri ng aralin: pinagsama-sama.

Kagamitan:

• multimedia projector;

  pandagdag sa aralin: (Presentasyon) – sa electronic media;

Paraan ng edukasyon: mga kompyuter, programaExcel, media projector, slide presentation.

Mga Demo: mga graph ng mga function na binuo sa isang coordinate system.

Mga anyo ng pag-aayos ng mga aktibidad na pang-edukasyon: indibidwal, diyalogo, nagtatrabaho sa slide text, gawaing pananaliksik sa isang kuwaderno.

Paraan: biswal, pandiwa, graphic, pananaliksik.

Sa panahon ng mga klase.

1. Panimulang talumpati ng guro. Panimulang usapan. Sikolohikal na kalagayan ng mga mag-aaral.

Sa panahon ng aralin, dapat mong ulitin at i-generalize ang kaalaman sa paksang "Function" na pinag-aralan sa grade 9, kilalanin ang magkasalungat na mga function, pag-aralan ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng isang inverse function at mga katangian nito, alamin kung paano bumuo ng mga graph. ng mga inverse function. Hangarin natin ang tagumpay at mabungang gawain ng bawat isa.

2. Pag-uulit ng materyal na sakop sa paksang "Mga Function at kanilang mga graph." Pagtatanghal.

Mga slide 2-10. Pangharap na gawain sa klase.

3. Pag-aaral ng bagong materyal. Pang-edukasyon na pag-uusap na may mga elemento ng pananaliksik at demonstrasyon (mga slide 11-24)

Isang halimbawa ng dependency. Ang bawat halaga ng function ay tumutugma sa isang halaga ng argumento.

Para sa mga naturang pag-andar, posibleng ipahayag ang kabaligtaran na pag-asa ng mga halaga ng argumento sa mga halaga ng pag-andar.

Mag-ehersisyo.

Hanapin ang domain ng kahulugan at hanay ng mga halaga ng magkabilang kabaligtaran na mga pag-andar.

4. Pagsasama-sama ng kaalaman.

Mutually inverse function at ang kanilang mga graph

(pangkalahatang pag-uulit ng materyal na sakop)

Aling graph ang tumutugma sa graph ng function y=x 3 may kabaligtaran ba ito?

Aling graph ang tumutugma sa graph ng function at mayroon ba itong kabaligtaran?

Alin sa mga graph ang tumutugma sa graph?

may inverse function ba ito?

Aling graph ang tumutugma sa function?

Pangkat 1: sagutin ang a) ipaliwanag kung bakit

Anong function ang katumbas ng graph? 1 . y = x 3 2. 3. y = x 4 4 . y = x -2 5 . 6. y = x -1

sa function graph

D(y)=(-:0) U(0;+)

Tukuyin ang saklaw ng kahulugang ito

sa function graph

Tukuyin ang hanay ng mga halaga para dito sa function graph

E (y)=(- ; 2) U(2 ;+)

Hanapin ang inverse function ng isang ibinigay na isa sa = g ( x )

Kung ang function (2) ay inverse sa function (1), kung gayon ang mga naturang function ay tinatawag na mutually inverse.

Hanapin ang domain ng kahulugan at hanay ng mga halaga para sa mga function na ito.

• D (y)= (- ∞ ;2) ∪ (2;+ ∞)
• E(y)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

• D (y)= (- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

2. E(y)= (-∞;2)∪(2;+∞)

• Domain ng inverse function g(x) tumutugma sa hanay ng mga halaga ng orihinal mga function f ( x ), at ang hanay ng mga halaga ng inverse function g(x) coincides sa domain ng kahulugan ng orihinal na function f(x) :

D( g(x) ) = E( f(x )), E( g(x )) = D( f(x )).

• Ang isang monotonic function ay invertible:

• kung function f (x) tumataas, pagkatapos ay ang kabaligtaran na pag-andar nito g (x) tumataas din;
• Kung ang function f (x) bumababa, pagkatapos ay ang kabaligtaran na pag-andar nito g (x) bumababa din.

Ibinigay: y = x 3

Bumuo ng isang graph ng isang ibinigay na function, ipahayag ang formula para sa inverse function ng isang ibinigay na isa at bumuo ng graph nito.

3. Kung ang isang function ay may inverse, ang graph ng inverse function ay simetriko sa graph ng function na ito na may kaugnayan sa tuwid na linya y = x.

Bumuo ng isang graph ng isang function na kabaligtaran sa isang ibinigay na isa.

Independiyenteng gawaing pang-edukasyon

Pagpipilian II

Pagpipilian I

• Hanapin ang kabaligtaran ng ibinigay na function:

2. Hanapin ang domain ng kahulugan at ang hanay ng mga halaga ng function na kabaligtaran sa ibinigay na isa:

3. Bumuo ng isang graph ng function na kabaligtaran sa ibinigay na isa:

Pagpipilian II

Pagpipilian I

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

Takdang aralin:

lutasin ang No. 579, No. 576(c,d

opsyonal na No. 581(1,2)

• Sa panahon ng aralin natutunan ko ………………………………….
• Sa panahon ng aralin ako ay interesado sa ……………………….
• Ito ay mahirap………………………………………….
• Nagagamit ko ang kaalamang natamo sa aralin……………………………………………………

Mga Pagninilay:

Mga layunin ng aralin:

Pang-edukasyon:

• bumuo ng kaalaman sa isang bagong paksa alinsunod sa materyal ng programa;
• pag-aralan ang property ng reversibility ng isang function at turuan kung paano hanapin ang inverse function ng isang naibigay na function;

Pag-unlad:

• bumuo ng mga kasanayan sa pagpipigil sa sarili, makabuluhang pagsasalita;
• master ang konsepto ng inverse function at alamin ang mga pamamaraan para sa paghahanap ng inverse function;

Pang-edukasyon: upang bumuo ng kakayahang makipagkomunikasyon.

Kagamitan: computer, projector, screen, interactive na whiteboard SMART Board, mga handout (independiyenteng gawain) para sa pangkatang gawain.

Sa panahon ng mga klase.

1. Pansamahang sandali.

Target – paghahanda ng mga mag-aaral para sa trabaho sa klase:

Kahulugan ng mga lumiban,

Pagkuha ng mga mag-aaral sa mood para sa trabaho, pag-aayos ng pansin;

Sabihin ang paksa at layunin ng aralin.

2. Pag-update ng mga pangunahing kaalaman ng mga mag-aaral. Pangharap na survey.

Target - itatag ang kawastuhan at kamalayan ng pinag-aralan na teoretikal na materyal, pag-uulit ng materyal na sakop.<Приложение 1 >

Ang isang graph ng isang function ay ipinapakita sa interactive na whiteboard para sa mga mag-aaral. Ang guro ay bumalangkas ng isang gawain - isaalang-alang ang graph ng isang function at ilista ang mga pinag-aralan na katangian ng function. Inilista ng mga mag-aaral ang mga katangian ng isang function alinsunod sa disenyo ng pananaliksik. Isusulat ng guro, sa kanan ng graph ng function, ang mga pinangalanang property na may marker sa interactive na board.

Mga katangian ng function:

Sa pagtatapos ng pag-aaral, ang guro ay nag-uulat na ngayon sa aralin ay makikilala nila ang isa pang pag-aari ng isang function - reversibility. Upang makabuluhang pag-aralan ang bagong materyal, inaanyayahan ng guro ang mga bata na kilalanin ang mga pangunahing tanong na dapat sagutin ng mga mag-aaral sa pagtatapos ng aralin. Ang mga tanong ay nakasulat sa isang regular na pisara at ang bawat mag-aaral ay may mga ito bilang mga handout (ibinahagi bago ang aralin)

1. Aling function ang tinatawag na invertible?
2. May invertible ba ang anumang function?
3. Anong function ang tinatawag na inverse ng isang datum?
4. Paano nauugnay ang domain ng kahulugan at ang hanay ng mga halaga ng isang function at kabaligtaran nito?
5. Kung ang isang function ay ibinigay nang analytical, paano matutukoy ng isang tao ang kabaligtaran na function sa pamamagitan ng isang formula?
6. Kung ang isang function ay ibinigay sa graphically, paano i-graph ang kabaligtaran na function nito?

3. Pagpapaliwanag ng bagong materyal.

Target - bumuo ng kaalaman sa isang bagong paksa alinsunod sa materyal ng programa; pag-aralan ang property ng reversibility ng isang function at turuan kung paano hanapin ang inverse function ng isang naibigay na function; bumuo ng matibay na pananalita.

Ilalahad ng guro ang materyal alinsunod sa materyal sa talata. Sa interactive na whiteboard, inihahambing ng guro ang mga graph ng dalawang function na ang mga domain ng kahulugan at hanay ng mga halaga ay pareho, ngunit ang isa sa mga function ay monotonic at ang isa ay hindi, sa gayon ay nagpapakilala sa mga mag-aaral sa konsepto ng isang invertible function. .

Pagkatapos ay bumalangkas ang guro ng kahulugan ng isang invertible function at nagsasagawa ng isang patunay ng invertible function theorem gamit ang graph ng isang monotonic function sa interactive na whiteboard.

Depinisyon 1: Tinatawag ang function na y=f(x), x X nababaligtad, kung kukuha ito ng alinman sa mga halaga nito sa isang punto lamang ng set X.

Theorem: Kung ang isang function na y=f(x) ay monotonic sa isang set X, kung gayon ito ay invertible.

Patunay:

1. Hayaan ang function y=f(x) tumataas ng X bumitaw x 1 ≠x 2- dalawang puntos ng set X.
2. Upang maging tiyak, hayaan x 1< x 2.
   Pagkatapos mula sa katotohanan na x 1< x 2 sinusundan iyon f(x 1) < f(x 2).
3. Kaya, ang iba't ibang mga halaga ng argumento ay tumutugma sa iba't ibang mga halaga ng function, i.e. ang function ay invertible.

(Habang ang patunay ng teorama ay umuusad, ang guro ay gumagamit ng isang marker upang gawin ang lahat ng kinakailangang mga paliwanag sa pagguhit)

Bago bumalangkas ng kahulugan ng isang inverse function, hinihiling ng guro sa mga mag-aaral na tukuyin kung alin sa mga iminungkahing function ang invertible? Ang interactive na whiteboard ay nagpapakita ng mga graph ng mga function at nagsusulat ng ilang analytically tinukoy na function:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Ipinakilala ng guro ang kahulugan ng inverse function.

Depinisyon 2: Hayaan ang invertible function y=f(x) tinukoy sa set X At E(f)=Y. Pagtugmain natin ang bawat isa y mula sa Y yun lang ang ibig sabihin X, Kung saan f(x)=y. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang function na tinukoy sa Y, A X- saklaw ng pag-andar

Ang function na ito ay itinalaga x=f -1 (y) at tinatawag na kabaligtaran ng function y=f(x).

Ang mga mag-aaral ay hinihiling na gumuhit ng isang konklusyon tungkol sa koneksyon sa pagitan ng domain ng kahulugan at ang hanay ng mga halaga ng mga kabaligtaran na pag-andar.

Upang isaalang-alang ang tanong kung paano hanapin ang kabaligtaran ng isang naibigay na function, ang guro ay nakakaakit ng dalawang mag-aaral. Noong nakaraang araw, ang mga bata ay nakatanggap ng isang takdang-aralin mula sa guro upang independiyenteng pag-aralan ang analytical at graphical na mga pamamaraan ng paghahanap ng kabaligtaran na pag-andar ng isang naibigay na function. Ang guro ay nagsilbing consultant sa paghahanda ng mga mag-aaral para sa aralin.

Mensahe ng unang estudyante.

Tandaan: ang monotonicity ng function ay sapat kondisyon para sa pagkakaroon ng inverse function. Ngunit ito ay hindi isang kinakailangang kondisyon.

Nagbigay ang mag-aaral ng mga halimbawa ng iba't ibang mga sitwasyon kapag ang isang function ay hindi monotonic ngunit invertible, kapag ang isang function ay hindi monotonic at hindi invertible, kapag ito ay monotonic at invertible

Pagkatapos ay ipinakilala ng mag-aaral ang mga mag-aaral sa isang paraan para sa paghahanap ng inverse function na ibinigay nang analytical.

Paghahanap ng algorithm

1. Tiyaking monotoniko ang function.
2. Ipahayag ang variable na x sa mga tuntunin ng y.
3. Palitan ang pangalan ng mga variable. Sa halip na x=f -1 (y) isulat ang y=f -1 (x)

Pagkatapos ay nilulutas niya ang dalawang halimbawa upang mahanap ang kabaligtaran na pag-andar ng isang naibigay na isa.

Halimbawa 1: Ipakita na para sa function na y=5x-3 mayroong isang baligtad na function at hanapin ang analytical expression nito.

Solusyon. Ang linear function na y=5x-3 ay tinukoy sa R, tumataas sa R, at ang saklaw ng mga value nito ay R. Nangangahulugan ito na ang inverse function ay umiiral sa R. Upang mahanap ang analytical expression nito, lutasin ang equation na y=5x- 3 para sa x; makuha natin Ito ang kinakailangang inverse function. Ito ay tinukoy at tumataas sa R.

Halimbawa 2: Ipakita na para sa function na y=x 2, x≤0 mayroong isang inverse function, at hanapin ang analytical expression nito.

Ang function ay tuloy-tuloy, monotoniko sa domain ng kahulugan nito, samakatuwid, ito ay invertible. Ang pagkakaroon ng pagsusuri sa mga domain ng kahulugan at mga hanay ng mga halaga ng function, isang kaukulang konklusyon ay ginawa tungkol sa analytical expression para sa inverse function.

Ang pangalawang mag-aaral ay gumagawa ng isang presentasyon tungkol sa graphic paraan ng paghahanap ng inverse function. Sa kanyang pagpapaliwanag, ginagamit ng mag-aaral ang mga kakayahan ng interactive na whiteboard.

Upang makakuha ng graph ng function na y=f -1 (x), kabaligtaran sa function na y=f(x), kinakailangan na ibahin ang anyo ng graph ng function na y=f(x) nang simetriko na may kinalaman sa tuwid na linya y=x.

Sa panahon ng pagpapaliwanag sa interactive na whiteboard, ang sumusunod na gawain ay isinasagawa:

Bumuo ng graph ng isang function at isang graph ng inverse function nito sa parehong coordinate system. Isulat ang analytical expression para sa inverse function.

4. Pangunahing pagsasama-sama ng bagong materyal.

Target - itatag ang kawastuhan at kamalayan sa pag-unawa sa pinag-aralan na materyal, tukuyin ang mga puwang sa pangunahing pag-unawa sa materyal, at iwasto ang mga ito.

Ang mga mag-aaral ay nahahati sa mga pares. Binibigyan sila ng mga sheet ng mga gawain, kung saan ginagawa nila ang gawain nang magkapares. Ang oras upang makumpleto ang gawain ay limitado (5-7 minuto). Ang isang pares ng mga mag-aaral ay gumagana sa computer, ang projector ay naka-off sa panahong ito at ang iba pang mga bata ay hindi nakikita kung paano gumagana ang mga mag-aaral sa computer.

Sa pagtatapos ng oras (pinapalagay na ang karamihan sa mga mag-aaral ay nakatapos ng gawain), ang gawain ng mga mag-aaral ay ipinapakita sa interactive na board (ang projector ay naka-on muli), kung saan ito ay tinutukoy sa panahon ng pagsusuri kung ang gawain ay natapos nang tama sa pares. Kung kinakailangan, ang guro ay nagsasagawa ng gawaing pagwawasto at pagpapaliwanag.

Malayang gawain nang magkapares<Appendix 2 >

5. Buod ng aralin. Tungkol sa mga tanong na itinanong bago ang panayam. Anunsyo ng mga marka para sa aralin.

Takdang-Aralin §10. No. 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12 (b)

Algebra at ang simula ng pagsusuri. Baitang 10 Sa 2 bahagi para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon (antas ng profile) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova, atbp.; inedit ni A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Nakumpleto ni Mohrenschildt I.K. pangkat 1.45.36 Frunzensky district School No. 314 Guro O.P. Koroleva St. Petersburg 2006 * St. Petersburg SENTRO PARA SA IMPORMASYON Mga Teknolohiya at Telekomunikasyon MUTUALLY INVERSE FUNCTIONS

Exponential at logarithmic functions Trigonometric functions

Mga pangunahing kahulugan Halimbawa ng mga equation Mga graph ng inverse function Exponential at logarithmic functions Sine at arcsine functions Cosine at arccosine functions Tangent at arctangent function Cotangent at arccotangent function Test Sources Contents Finish

Invertible function Kung ang isang function na y=f (x) ay kumukuha ng bawat isa sa mga value nito para lamang sa isang value ng x, kung gayon ang function na ito ay tinatawag na invertible. Para sa gayong pag-andar, maaaring ipahayag ng isa ang kabaligtaran na pag-asa ng mga halaga ng argumento sa mga halaga ng pag-andar.

Isang halimbawa ng pagbuo ng isang function na inverse sa isang ibinigay na isa. Special case Given a function y=3x+5 Equation for x Palitan ang x ng y Ang mga function (1) at (2) ay magkabaligtaran Pangkalahatang kaso y=f (x) ay isang invertible function Ang function na x= g (y) ay tinukoy ) Palitan ang x ng y y= g(x) Ang mga function na y=f (x) at y= g(x) ay magkabaligtaran

Mga graph ng inverse function OOF OPF OOF OOF X Y X Y

Exponential at logarithmic functions y=log a x y=a x y=x a>1

Mga function sin x at arcsin x Isaalang-alang ang function y=sin x sa segment Ang function ay tumataas nang monotonically. OPF [-1;1]. Ang function na y= arcsin x ay ang kabaligtaran ng function na y=sinx. [ -  ;  ] 2 2

Mga function cos x at arccos x Isaalang-alang ang function na y=co s x sa segment Ang function ay bumababa nang monotonically. OPF [-1;1]. Ang function na y=arccos x ay ang kabaligtaran ng function na y=co sx.

Mga function na tg x at arctg x Isaalang-alang ang function na y= tg x sa pagitan. Ang function ay tumataas nang monotonically. OZF – itakda ang R. Ang function na y= arctan x ay ang kabaligtaran ng function na y= tan x. (-  ; ) 2 2

Mga function na ctg x at arcctg x Isaalang-alang ang function na y= ctg x sa pagitan (0; ). Bumababa ang function nang monotonically. Itinakda ng OSF ang R. Ang inverse function ay y = arcctg x.

Pagsubok sa paksang "Mutually inverse functions" Tanong Blg. 1 Tanong Blg. 2 Tanong Blg. 3 Tanong Blg. 4 Tanong Blg. 5 Tapusin Tapusin

Tanong Blg. 1 Ang mga graph ng magkabaligtaran na function ay matatagpuan sa coordinate system na simetriko na may kinalaman sa: Pinagmulan ng mga coordinate Straight line y=x Axes OY Axes OX

Tanong Blg. 2 Paano nauugnay ang domain ng kahulugan ng orihinal at ang hanay ng mga halaga ng inverse function? Parehong Independent

Tanong Blg. 3 Aling function ang kabaligtaran ng logarithmic function? Power Linear Quadratic Exponential

Tanong Blg. 4 Ang function na y=arcctg x ay ang kabaligtaran ng function na y=sin x y= tg x y= ctg x y= cos x

Tanong Blg. 5 Ang paksang "Mutually inverse functions" ay Elementarya Ang paborito kong Madaling Maunawaan

Hooray! Hooray! Hooray! Magaling, siyentipiko!

Ang sagot ay hindi tama. Ulitin mula sa simula!

Mali! Naiinis ako sa sagot mo!

Mga Pinagmulan Algebra at simula ng pagsusuri: Textbook. para sa 10-11 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov et al. – ika-12 ed. – M.: Edukasyon, 2004. – 384 p. Pag-aaral ng algebra at simula ng pagsusuri sa mga baitang 10-11: Aklat. para sa mga guro / N.E. Fedorova, M.V. Tkachev. – 2nd ed. – M.: Edukasyon, 2004. – 205 p. Mga materyal na didactic sa algebra at ang simula ng pagsusuri para sa grade 10: Isang manwal para sa mga guro / B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwartzburd. – 2nd ed., binago. – M.: Edukasyon, 1998. -143 p. Mga graph ng inverse trigonometric function http://chernovskoe.narod.ru/tema13.htm