GIA. Quadratic function. Aralin “Function y=ax2, ang graph nito at mga katangian Graph ng function na y ax2 bx

Paglalarawan ng aralin sa video

Isaalang-alang natin ang ilang mga espesyal na kaso ng quadratic function.

Unang kaso. Alamin natin kung ano ang kinakatawan ng graph ng function na ig sa one third x square plus four.

Upang gawin ito, sa isang coordinate system, gumawa tayo ng mga graph ng mga function na yrek ay katumbas ng isang ikatlong x square... at ang yrek ay katumbas ng isang third x square at apat.

Gumawa tayo ng talahanayan ng mga halaga ng function na yrek na katumbas ng isang ikatlong x square. Bumuo tayo ayon sa binigay na puntos function graph.

Upang makakuha ng isang talahanayan ng mga halaga ng function na igrek ay katumbas ng isang ikatlong x square kasama ang apat na may parehong mga halaga ng argumento, dapat kang magdagdag ng apat sa mga nahanap na halaga ng function na igrek ay katumbas ng isang ikatlong x square.. .

Gumawa tayo ng talahanayan ng mga halaga para sa graph ng function na igreq ay katumbas ng isang ikatlong x square plus apat. Bumuo tayo ng mga punto gamit ang tinukoy na mga coordinate at ikonekta ang mga ito sa isang makinis na linya. Nakukuha namin ang graph ng function na igreq ay katumbas ng isang ikatlong x square plus apat.

Madaling maunawaan na ang graph ng function na yrek ay katumbas ng isang ikatlong x square at apat ay maaaring makuha mula sa graph ng function na yrek ay katumbas ng isang third x square sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin apat na yunit sa kahabaan ng y axis.

Kaya, ang graph ng function na ygr ay katumbas ng isang x square plus en ay isang parabola, na nakuha mula sa graph ng function ygr ay katumbas ng isang x square sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin kasama ang y axis sa pamamagitan ng modulus en units pataas kung ang en ay mas malaki kaysa sa zero o pababa. kung ang en ay mas mababa sa zero.

Pangalawang kaso. Isaalang-alang natin ang function na igrek ay katumbas ng isang katlo ng parisukat ng pagkakaiba sa pagitan ng mga numero x at anim at bumuo ng graph nito.

Bumuo tayo ng isang talahanayan ng mga halaga ng function na i ay katumbas ng isang ikatlong x square, ipahiwatig ang nakuha na mga puntos sa coordinate plane at kumonekta sa isang makinis na linya.

Ngayon mag-compile tayo ng isang talahanayan ng mga halaga para sa function na i ay katumbas ng isang-katlo ng parisukat ng pagkakaiba sa pagitan ng mga numero x at anim. Gamit ang ipinahiwatig na mga punto, gagawa kami ng isang graph ng function.

Kapansin-pansin na ang bawat punto ng pangalawang graph ay nakuha mula sa kaukulang punto ng unang graph gamit ang isang parallel na pagsasalin ng anim na yunit sa kahabaan ng x-axis.

Ang graph ng function na ygr ay katumbas ng isang pinarami ng parisukat ng pagkakaiba ng x at em... ay isang parabola na maaaring makuha mula sa graph ng function na ygr ay katumbas ng isang x square sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin kasama ang x axis ng ang modulus em units sa kaliwa, kung ang em ay mas malaki sa zero o ng modulus em units sa kanan kung um ay mas mababa sa zero.

Isaalang-alang natin ngayon ang graph ng function na igreq ay katumbas ng isang ikatlong beses ng parisukat ng pagkakaiba ng x at dalawa kasama ang lima. Ang graph nito ay maaaring makuha mula sa graph ng function na igreq ay katumbas ng isang third x squared gamit ang dalawang parallel na pagsasalin - paglilipat ng parabola sa kanan ng dalawang unit at pataas ng limang unit.

Sa kasong ito, ang mga parallel na paglipat ay maaaring gawin sa anumang pagkakasunud-sunod: una sa kahabaan ng x-axis, at pagkatapos ay sa kahabaan ng y-axis, o vice versa.

Ngunit bakit, kapag idinaragdag ang numerong en sa isang function, ang graph nito ay gumagalaw pataas sa pamamagitan ng modulus ng mga en unit, kung ang en ay mas malaki kaysa sa zero o pababa, kung ang en ay mas mababa sa zero, at kapag idinaragdag ang numero em sa isang argumento, ang Ang function ay gumagalaw sa pamamagitan ng isang modulus ng em units sa kanan, kung em ay mas mababa sa zero o sa kaliwa kung um ay mas malaki kaysa sa zero?

Isaalang-alang natin unang kaso. Hayaang kailanganin na bumuo ng isang graph ng function na yrek ay katumbas ng ef mula sa x.. plus en. Tandaan na ang mga ordinate ng graph na ito para sa lahat ng value ng argument ay en unit na mas malaki kaysa sa katumbas na ordinates ng graph yrek na katumbas ng eff ng x para sa positive en at en unit na mas mababa para sa negatibong en. Dahil dito, ang graph ng function ygr ay katumbas ng ef ng x...plus en ay maaaring makuha sa pamamagitan ng parallel translation kasama ang ordinate axis ng graph ng function ygr ay katumbas ng ef ng x sa pamamagitan ng modulus ng en units paitaas, kung ang en ay mas malaki sa zero, at sa pamamagitan ng modulus ng en units pababa, kung en ay mas mababa sa zero.

Isaalang-alang natin pangalawang kaso. Hayaang kailanganin na bumuo ng isang graph ng function na yreq ay katumbas ng ef mula sa kabuuan ng x at em. Isaalang-alang natin ang function na yrek ay katumbas ng ef mula sa x, na sa isang punto x katumbas ng x ang unang kumukuha sa halagang yk muna ay katumbas ng ef mula sa x muna. Malinaw, ang function na ygr ay katumbas ng ef mula sa kabuuan ng x at em ay kukuha ng parehong halaga sa puntong x-segundo, ang coordinate nito ay tinutukoy mula sa pagkakapantay-pantay na x-segundo plus em ay katumbas ng x-first, na ay, ang x-first ay katumbas ng x-first minus em. Bukod dito, ang pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ay wasto para sa lahat ng mga halaga ng x mula sa domain ng kahulugan ng function. Dahil dito, ang graph ng function ay maaaring makuha sa pamamagitan ng parallel na paglipat ng graph ng function na igreq equals ef mula sa x kasama ang abscissa axis sa kaliwa ng module em units sa kaliwa, kung ang em ay mas malaki sa zero, at ng module em sa kanan, kung ang em ay mas mababa sa zero. Ang parallel na paggalaw ng graph ng isang function sa kahabaan ng x-axis ng mga em unit ay katumbas ng paglipat ng y-axis ng parehong bilang ng mga unit, ngunit sa kabaligtaran ng direksyon.

Kapag ang isang parabola ay umiikot sa paligid ng axis nito, ang isang figure ay nakuha na tinatawag na isang paraboloid. Kung ang panloob na ibabaw ng paraboloid ay ginawang salamin at ang isang sinag ng mga sinag na kahanay sa axis ng simetrya ng parabola ay nakadirekta dito, kung gayon ang mga sinasalamin na sinag ay magtatagpo sa isang puntong tinatawag na pokus. Kasabay nito, kung ang pinagmumulan ng ilaw ay nakalagay sa pokus, kung gayon ang mga sinag na makikita mula sa ibabaw ng salamin ng paraboloid ay magiging magkatulad at hindi nakakalat.

Ginagawang posible ng unang ari-arian na makakuha ng mataas na temperatura sa pokus ng paraboloid. Ayon sa alamat, ang ari-arian na ito ay ginamit ng sinaunang Greek scientist na si Archimedes. Habang ipinagtatanggol ang Syracuse sa digmaan laban sa mga Romano, nagtayo siya ng isang sistema ng mga parabolic mirror na nagpapahintulot sa sinasalamin na sinag ng araw na nakatuon sa mga barkong Romano. Bilang isang resulta, ang temperatura sa foci ng mga parabolic mirror ay naging napakataas na isang apoy ang sumiklab sa mga barko at sila ay nasunog. Ginagamit din ang ari-arian na ito sa paggawa ng mga parabolic antenna.

Ang pangalawang ari-arian ay ginagamit sa paggawa ng mga spotlight at headlight ng kotse.

Ang presentasyon na "Function y=ax 2, its graph and properties" ay isang visual aid na ginawa upang sabayan ang paliwanag ng guro sa paksang ito. Detalyadong tinatalakay ng presentasyong ito ang quadratic function, ang mga katangian nito, mga tampok ng plotting, at ang praktikal na aplikasyon ng mga pamamaraan na ginagamit para sa paglutas ng mga problema sa pisika.

Sa pagbibigay ng mataas na antas ng kalinawan, ang materyal na ito ay makakatulong sa guro na mapataas ang pagiging epektibo ng pagtuturo at magbigay ng pagkakataon na mas makatwiran ang pamamahagi ng oras sa aralin. Paggamit ng mga animation effect, pag-highlight ng mga konsepto at mahahalagang puntos kulay, ang atensyon ng mga mag-aaral ay nakatuon sa paksang pinag-aaralan, at mas mahusay na pagsasaulo ng mga kahulugan at ang kurso ng pangangatwiran kapag ang paglutas ng mga problema ay nakakamit.

Ang pagtatanghal ay nagsisimula sa isang panimula sa pamagat ng presentasyon at ang konsepto ng isang quadratic function. Ang kahalagahan ng paksang ito ay binibigyang-diin. Hinihiling sa mga mag-aaral na alalahanin ang kahulugan ng isang quadratic function bilang functional dependence ng form na y=ax 2 +bx+c, kung saan ay isang independent variable, at mga numero, na may a≠0. Hiwalay, sa slide 4 ito ay nabanggit para sa pag-alala na ang domain ng kahulugan ng function na ito ay ang buong axis ng mga tunay na halaga. Karaniwan, ang pahayag na ito ay tinutukoy ng D(x)=R.

Ang isang halimbawa ng isang quadratic function ay ang mahalagang aplikasyon nito sa physics - ang formula para sa pagtitiwala ng landas sa panahon ng pare-parehong pinabilis na paggalaw sa oras. Kasabay nito, sa mga aralin sa pisika, ang mga mag-aaral ay nag-aaral ng mga formula para sa iba't ibang uri ng paggalaw, kaya kakailanganin nila ang kakayahang malutas ang mga naturang problema. Sa slide 5, pinapaalalahanan ang mga mag-aaral na kapag ang isang katawan ay gumagalaw nang may pagbilis at sa simula ng oras ay binibilang ang distansya na nilakbay at ang bilis ng paggalaw ay nalalaman, kung gayon ang functional dependence na kumakatawan sa naturang paggalaw ay ipapakita ng formula S = (sa 2)/2+v 0 t+S 0 . Nasa ibaba ang isang halimbawa ng paggawa ng formula na ito sa isang ibinigay na quadratic function kung ang mga halaga ng acceleration = 8, paunang bilis = 3 at paunang landas = 18. Sa kasong ito, ang function ay kukuha ng form na S=4t 2 +3t+18.

Sinusuri ng slide 6 ang anyo ng quadratic function na y=ax 2, kung saan ito ay kinakatawan sa. Kung =1, ang quadratic function ay may anyo na y=x 2. Napansin na ang graph ng function na ito ay magiging isang parabola.

Ang susunod na bahagi ng pagtatanghal ay nakatuon sa pagbalangkas ng isang quadratic function. Iminungkahi na isaalang-alang ang pag-plot ng function y=3x 2 . Una, ang talahanayan ay nagpapahiwatig ng pagsusulatan sa pagitan ng mga halaga ng function at mga halaga ng argumento. Napansin na ang pagkakaiba sa pagitan ng nabuong graph ng function na y=3x 2 at ang graph ng function na y=x 2 ay ang bawat halaga ay magiging tatlong beses na mas malaki kaysa sa katumbas na isa. Ang pagkakaibang ito ay mahusay na sinusubaybayan sa view ng talahanayan. Sa malapit, sa graphical na representasyon, ang pagkakaiba sa pagpapaliit ng parabola ay malinaw ding nakikita.

Ang susunod na slide ay tumitingin sa pag-plot ng quadratic function na y=1/3 x 2. Upang makabuo ng isang graph, kailangan mong ipahiwatig sa talahanayan ang mga halaga ng function sa isang bilang ng mga punto nito. Napansin na ang bawat halaga ng function na y=1/3 x 2 ay 3 beses na mas mababa kaysa sa katumbas na halaga ng function na y=x 2. Ang pagkakaibang ito, bilang karagdagan sa talahanayan, ay malinaw na nakikita sa graph. Ang parabola nito ay mas pinalawak na may kaugnayan sa ordinate axis kaysa sa parabola ng function na y=x 2.

Ang mga halimbawa ay makakatulong sa iyo na maunawaan pangkalahatang tuntunin, ayon sa kung saan maaari mong gawin nang mas simple at mabilis ang kaukulang mga graph. Sa slide 9, ang isang hiwalay na panuntunan ay naka-highlight na ang graph ng quadratic function na y=ax 2 ay maaaring mabuo depende sa halaga ng coefficient sa pamamagitan ng pag-stretch o pagpapaliit ng graph. Kung a>1, ang graph ay umaabot mula sa x-axis sa pamamagitan ng isang salik. Kung 0

Ang konklusyon tungkol sa symmetry ng mga graph ng mga function na y=ax 2 at y=-ax2 (sa ≠0) na may kaugnayan sa abscissa axis ay hiwalay na naka-highlight sa slide 12 para sa pagsasaulo at malinaw na ipinapakita sa kaukulang graph. Susunod, ang konsepto ng graph ng isang quadratic function na y=x 2 ay pinalawak sa mas pangkalahatang kaso ng function na y=ax 2, na nagsasaad na ang naturang graph ay tatawagin ding parabola.

Tinatalakay ng slide 14 ang mga katangian ng quadratic function na y=ax 2 kapag positibo. Napansin na ang graph nito ay dumadaan sa pinanggalingan, at ang lahat ng mga puntos maliban sa kasinungalingan ay nasa itaas na kalahating eroplano. Ang simetrya ng graph na nauugnay sa ordinate axis ay nabanggit, na tumutukoy na ang mga kabaligtaran na halaga ng argumento ay tumutugma sa parehong mga halaga ng function. Ipinapahiwatig na ang pagitan ng pagbaba ng function na ito ay (-∞;0], at ang pagtaas ng function ay ginaganap sa pagitan. Ang mga halaga ng function na ito ay sumasaklaw sa buong positibong bahagi ng tunay na axis, ito ay katumbas ng zero sa punto, at walang pinakamalaking halaga.

Inilalarawan ng slide 15 ang mga katangian ng function na y=ax 2 kung negatibo. Napansin na ang graph nito ay dumadaan din sa pinagmulan, ngunit ang lahat ng mga punto nito, maliban, ay nasa ibabang kalahating eroplano. Ang graph ay simetriko tungkol sa axis, at ang mga kabaligtaran na halaga ng argument ay tumutugma sa pantay na halaga ng function. Ang function ay tumataas sa pagitan at bumababa sa. Ang mga halaga ng function na ito ay nasa pagitan, ito ay katumbas ng zero sa isang punto, at walang pinakamababang halaga.

Ang pagbubuod ng mga katangian na isinasaalang-alang, sa slide 16 ay napagpasyahan na ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa sa, at pataas sa. Ang parabola ay simetriko tungkol sa axis, at ang vertex ng parabola ay matatagpuan sa punto ng intersection nito sa axis. Ang vertex ng parabola y=ax 2 ay ang pinagmulan.

Gayundin, ang isang mahalagang konklusyon tungkol sa mga pagbabagong parabola ay ipinapakita sa slide 17. Ito ay nagpapakita ng mga opsyon para sa pagbabago ng graph ng isang quadratic function. Napansin na ang graph ng function na y=ax 2 ay binago sa pamamagitan ng simetriko na pagpapakita ng graph na may kaugnayan sa axis. Posible ring i-compress o i-stretch ang graph na may kaugnayan sa axis.

Ang huling slide ay gumuhit ng mga pangkalahatang konklusyon tungkol sa mga pagbabago ng graph ng isang function. Ang mga konklusyon ay ipinakita na ang graph ng isang function ay nakuha sa pamamagitan ng isang simetriko pagbabagong-anyo tungkol sa axis. At ang graph ng function ay nakuha sa pamamagitan ng pag-compress o pag-stretch ng orihinal na graph mula sa axis. Sa kasong ito, ang tensile extension mula sa axis ay sinusunod sa kaso kung kailan. Sa pamamagitan ng pag-compress sa axis ng 1/a beses, ang graph ay nabuo sa case.

Ang presentasyon na “Function y=ax 2, its graph and properties” ay maaaring gamitin ng isang guro bilang visual aid sa isang algebra lesson. Gayundin, ang manwal na ito ay mahusay na sumasaklaw sa paksa, na nagbibigay ng isang malalim na pag-unawa sa paksa, upang maaari itong ialok para sa malayang pag-aaral ng mga mag-aaral. Ang materyal na ito ay makakatulong din sa guro na magbigay ng mga paliwanag sa panahon ng distance learning.

Aralin: Paano gumawa ng parabola o quadratic function?

TEORETIKAL NA BAHAGI

Ang parabola ay isang graph ng isang function na inilarawan ng formula ax 2 +bx+c=0.
Upang bumuo ng isang parabola kailangan mong sundin ang isang simpleng algorithm:

1) Parabola formula y=ax 2 +bx+c,
Kung a>0 pagkatapos ay ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pataas,
kung hindi, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.
Libreng miyembro c ang puntong ito ay nagsa-intersect sa parabola sa OY axis;

2), ito ay matatagpuan gamit ang formula x=(-b)/2a, pinapalitan namin ang natagpuang x sa parabola equation at hanapin y;

3)Mga function na zero o, sa madaling salita, ang mga punto ng intersection ng parabola sa OX axis, tinatawag din silang mga ugat ng equation. Upang mahanap ang mga ugat, itinutumbas namin ang equation sa 0 ax 2 +bx+c=0;

Mga uri ng equation:

a) Kumpleto quadratic equation parang ax 2 +bx+c=0 at nalulutas ng may diskriminasyon;
b) Hindi kumpletong quadratic equation ng form ax 2 +bx=0. Upang malutas ito, kailangan mong alisin ang x sa mga bracket, pagkatapos ay ipantay ang bawat salik sa 0:
ax 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 at ax+b=0;
c) Hindi kumpletong quadratic equation ng form ax 2 +c=0. Upang malutas ito, kailangan mong ilipat ang mga hindi alam sa isang tabi, at ang mga kilala sa isa pa. x =±√(c/a);

4) Maghanap ng ilang karagdagang mga punto upang mabuo ang function.

PRAKTIKAL NA BAHAGI

At kaya ngayon, gamit ang isang halimbawa, susuriin namin ang lahat ng hakbang-hakbang:
Halimbawa #1:
y=x 2 +4x+3
c=3 ay nangangahulugan na ang parabola ay nagsalubong sa OY sa puntong x=0 y=3. Ang mga sanga ng parabola ay tumitingin dahil a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 vertex ay nasa punto (-2;-1)
Hanapin natin ang mga ugat ng equation x 2 +4x+3=0
Gamit ang discriminant nahanap natin ang mga ugat
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Kumuha tayo ng ilang di-makatwirang punto na matatagpuan malapit sa vertex x = -2

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Palitan sa halip na x sa equation na y=x 2 +4x+3 values
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Makikita mula sa mga halaga ng pag-andar na ang parabola ay simetriko na may paggalang sa tuwid na linya x = -2

Halimbawa #2:
y=-x 2 +4x
c=0 ay nangangahulugan na ang parabola ay nagsalubong sa OY sa puntong x=0 y=0. Ang mga sanga ng parabola ay tumingin pababa dahil a=-1 -1 Hanapin natin ang mga ugat ng equation -x 2 +4x=0
Hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +bx=0. Upang malutas ito, kailangan mong alisin ang x sa mga bracket, pagkatapos ay i-equate ang bawat factor sa 0.
x(-x+4)=0, x=0 at x=4.

Kumuha tayo ng ilang di-makatwirang mga punto na matatagpuan malapit sa vertex x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Palitan sa halip na x sa equation na y=-x 2 +4x na mga halaga
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Makikita mula sa mga halaga ng function na ang parabola ay simetriko tungkol sa tuwid na linya x = 2

Halimbawa Blg. 3
y=x 2 -4
c=4 ay nangangahulugan na ang parabola ay nagsalubong sa OY sa puntong x=0 y=4. Ang mga sanga ng parabola ay tumitingin sa itaas dahil a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 ang vertex ay nasa punto (0;- 4)
Hanapin natin ang mga ugat ng equation x 2 -4=0
Hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +c=0. Upang malutas ito, kailangan mong ilipat ang mga hindi alam sa isang tabi, at ang mga kilala sa isa pa. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2

Kumuha tayo ng ilang di-makatwirang punto na matatagpuan malapit sa vertex x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Palitan sa halip na x sa equation na y= x 2 -4 na mga halaga
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Makikita mula sa mga halaga ng function na ang parabola ay simetriko tungkol sa tuwid na linya x = 0

Mag-subscribe sa channel sa YOUTUBE upang manatiling abreast sa lahat ng mga bagong produkto at maghanda kasama namin para sa mga pagsusulit.