Bumuo ng kahulugan ng ugat ng isang quadratic equation. Ang mga ugat ng isang quadratic equation. Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Basta. Ayon sa mga formula at malinaw na simpleng panuntunan. Sa unang yugto

kailangan nating dalhin ang ibinigay na equation sa karaniwang view, ibig sabihin. sa view:

Kung ang equation ay ibinigay na sa iyo sa form na ito, hindi mo kailangang gawin ang unang yugto. Ang pinakamahalagang bagay ay tama

tukuyin ang lahat ng mga coefficient a, b at c.

Formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation.

Ang expression sa ilalim ng root sign ay tinatawag may diskriminasyon . Tulad ng nakikita mo, upang mahanap ang x, kami

gamitin lamang a, b at c. Yung. mga posibilidad mula sa quadratic equation. Maingat lang ipasok

mga halaga a, b at c sa formula na ito at bilangin. Palitan ng kanilang palatandaan!

halimbawa, sa equation:

a =1; b = 3; c = -4.

Palitan ang mga halaga at isulat:

Halimbawa halos malutas:

Ito ang sagot.

Ang pinakakaraniwang pagkakamali ay pagkalito sa mga palatandaan ng mga halaga a, b at Sa. Sa halip, may kapalit

negatibong mga halaga sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat. Dito nagse-save ang detalyadong formula

na may mga tiyak na numero. Kung may mga problema sa mga kalkulasyon, gawin ito!

Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang sumusunod na halimbawa:

Dito a = -6; b = -5; c = -1

Ipininta namin ang lahat nang detalyado, maingat, nang walang nawawalang anuman sa lahat ng mga palatandaan at bracket:

Kadalasan ang mga quadratic equation ay bahagyang naiiba. Halimbawa, tulad nito:

Ngayon tandaan ang mga praktikal na pamamaraan na kapansin-pansing binabawasan ang bilang ng mga pagkakamali.

Unang pagtanggap. Wag kang tamad dati paglutas ng isang quadratic equation dalhin ito sa karaniwang anyo.

Ano ang ibig sabihin nito?

Ipagpalagay, pagkatapos ng anumang mga pagbabagong-anyo, makukuha mo ang sumusunod na equation:

Huwag magmadali upang isulat ang pormula ng mga ugat! Halos tiyak na paghaluin mo ang mga posibilidad a, b at c.

Buuin nang tama ang halimbawa. Una, x squared, pagkatapos ay walang square, pagkatapos ay isang libreng miyembro. Ganito:

Tanggalin ang minus. paano? Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa -1. Nakukuha namin:

At ngayon maaari mong ligtas na isulat ang formula para sa mga ugat, kalkulahin ang discriminant at kumpletuhin ang halimbawa.

Magpasya sa iyong sarili. Dapat kang magtapos sa mga ugat 2 at -1.

Pangalawang pagtanggap. Suriin ang iyong mga ugat! Sa pamamagitan ng Ang teorama ni Vieta.

Upang malutas ang ibinigay na quadratic equation, i.e. kung ang coefficient

x2+bx+c=0,

pagkataposx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Para sa isang kumpletong quadratic equation kung saan a≠1:

x 2 +bx+c=0,

hatiin ang buong equation sa pamamagitan ng a:

→ →

saan x 1 at x 2 - mga ugat ng equation.

Pangatlo ang reception. Kung ang iyong equation ay may fractional coefficients, alisin ang mga fraction! Paramihin

equation para sa isang common denominator.

Konklusyon. Mga Praktikal na Tip:

1. Bago malutas, dinadala namin ang quadratic equation sa karaniwang anyo, itayo ito tama.

2. Kung mayroong negatibong koepisyent sa harap ng x sa parisukat, inaalis namin ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng lahat

mga equation para sa -1.

3. Kung fractional ang mga coefficient, inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa katumbas na

salik.

4. Kung ang x squared ay dalisay, ang coefficient para dito ay katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling masuri ng

Video aralin 2: Paglutas ng mga quadratic equation

Lecture: Quadratic equation

Ang equation

Ang equation- ito ay isang uri ng pagkakapantay-pantay, sa mga expression kung saan mayroong isang variable.

lutasin ang equation- nangangahulugan ng paghahanap ng ganoong numero sa halip na isang variable na magdadala dito sa tamang pagkakapantay-pantay.

Ang isang equation ay maaaring may isang solusyon, o marami, o wala sa lahat.

Upang malutas ang anumang equation, dapat itong gawing simple hangga't maaari sa anyo:

Linear: a*x = b;

parisukat: a*x 2 + b*x + c = 0.

Iyon ay, ang anumang equation bago ang paglutas ay dapat ma-convert sa isang karaniwang anyo.

Ang anumang equation ay maaaring malutas sa dalawang paraan: analytical at graphical.

Sa graph, ang solusyon sa equation ay itinuturing na mga punto kung saan ang graph ay nag-intersect sa x-axis.

Quadratic equation

Ang isang equation ay maaaring tawaging quadratic kung, kapag pinasimple, ito ay kukuha ng anyo:

a*x 2 + b*x + c = 0.

Kung saan a, b, c ay mga coefficient ng equation na naiiba sa zero. A "X"- ugat ng equation. Ito ay pinaniniwalaan na ang isang quadratic equation ay may dalawang ugat o maaaring walang solusyon. Ang mga resultang ugat ay maaaring pareho.

"a"- ang koepisyent na nakatayo sa harap ng ugat sa parisukat.

"b"- nakatayo sa harap ng hindi alam sa unang antas.

"Kasama"- libreng termino ng equation.

Kung, halimbawa, mayroon tayong equation ng form:

2x 2 -5x+3=0

Sa loob nito, ang "2" ay ang koepisyent sa pinakamataas na termino ng equation, "-5" ang pangalawang koepisyent, at ang "3" ay ang libreng termino.

Paglutas ng isang quadratic equation

Mayroong maraming mga paraan upang malutas ang isang quadratic equation. Gayunpaman, sa kursong matematika ng paaralan, ang solusyon ay pinag-aaralan gamit ang Vieta theorem, pati na rin ang paggamit ng discriminant.

Discriminant na solusyon:

Kapag nilutas gamit ang pamamaraang ito, kinakailangan upang kalkulahin ang discriminant gamit ang formula:

Kung sa panahon ng mga kalkulasyon nakuha mo na ang discriminant ay mas mababa sa zero, nangangahulugan ito na ang equation na ito ay walang mga solusyon.

Kung ang discriminant ay zero, ang equation ay may dalawang magkaparehong solusyon. Sa kasong ito, ang polynomial ay maaaring i-collapse ayon sa pinaikling formula ng multiplikasyon sa parisukat ng kabuuan o pagkakaiba. Pagkatapos ay lutasin ito tulad ng isang linear equation. O gamitin ang formula:

Kung mas malaki sa zero ang discriminant, dapat gamitin ang sumusunod na paraan:

Ang teorama ni Vieta

Kung ang equation ay nabawasan, iyon ay, ang koepisyent sa pinakamataas na termino ay katumbas ng isa, pagkatapos ay maaari mong gamitin Ang teorama ni Vieta.

Kaya sabihin natin ang equation ay:

Ang mga ugat ng equation ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

Hindi kumpletong quadratic equation

Mayroong ilang mga pagpipilian para sa pagkuha ng isang hindi kumpletong quadratic equation, ang anyo nito ay nakasalalay sa pagkakaroon ng mga coefficient.

1. Kung ang pangalawa at pangatlong coefficient ay katumbas ng zero (b=0, c=0), ang parisukat na equation ay magiging ganito:

Ang equation na ito ay magkakaroon ng kakaibang solusyon. Magiging totoo lamang ang pagkakapantay-pantay kung ang solusyon sa equation ay zero.

Ipinaaalala namin sa iyo na ang kumpletong quadratic equation ay isang equation ng form:

Ang paglutas ng buong quadratic equation ay medyo mas kumplikado (medyo lang) kaysa sa ibinigay.

Tandaan, anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang discriminant!

Kahit hindi kumpleto.

Ang natitirang mga pamamaraan ay makakatulong sa iyo na gawin ito nang mas mabilis, ngunit kung mayroon kang mga problema sa quadratic equation, master muna ang solusyon gamit ang discriminant.

1. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang discriminant.

Ang paglutas ng mga quadratic equation sa ganitong paraan ay napaka-simple, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula.

Kung, kung gayon ang equation ay may 2 ugat. Bigyang-pansin ang hakbang 2.

Sinasabi sa atin ng discriminant D ang bilang ng mga ugat ng equation.

• Kung, ang formula sa hakbang ay mababawasan sa. Kaya, ang equation ay magkakaroon lamang ng ugat.
• Kung, kung gayon, hindi namin ma-extract ang ugat ng discriminant sa hakbang. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.

Bumaling tayo sa geometric na kahulugan ng quadratic equation.

Ang graph ng function ay isang parabola:

Bumalik tayo sa ating mga equation at tumingin sa ilang mga halimbawa.

Halimbawa 9

Lutasin ang Equation

Hakbang 1 laktawan.

Hakbang 2

Paghahanap ng discriminant:

Kaya ang equation ay may dalawang ugat.

Hakbang 3

Sagot:

Halimbawa 10

Lutasin ang Equation

Ang equation ay nasa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan.

Hakbang 2

Paghahanap ng discriminant:

Kaya ang equation ay may isang ugat.

Sagot:

Halimbawa 11

Lutasin ang Equation

Ang equation ay nasa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan.

Hakbang 2

Paghahanap ng discriminant:

Nangangahulugan ito na hindi namin makukuha ang ugat mula sa discriminant. Walang mga ugat ng equation.

Ngayon alam na natin kung paano isulat nang tama ang mga ganoong sagot.

Sagot: walang ugat

2. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang Vieta theorem

Kung naaalala mo, mayroong isang uri ng mga equation na tinatawag na nabawasan (kapag ang coefficient a ay katumbas ng):

Ang ganitong mga equation ay napakadaling lutasin gamit ang teorem ng Vieta:

Ang kabuuan ng mga ugat binigay ang quadratic equation ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay.

Kailangan mo lamang pumili ng isang pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas ng libreng termino ng equation, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda.

Halimbawa 12

Lutasin ang Equation

Ang equation na ito ay angkop para sa solusyon gamit ang Vieta's theorem, dahil .

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay, i.e. makuha namin ang unang equation:

At ang produkto ay:

Gawin at lutasin natin ang system:

• at. Ang kabuuan ay;
• at. Ang kabuuan ay;
• at. Ang halaga ay katumbas.

at ang solusyon ng system:

Sagot: ; .

Halimbawa 13

Lutasin ang Equation

Sagot:

Halimbawa 14

Lutasin ang Equation

Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:

Sagot:

QUADRATIC EQUATIONS. AVERAGE LEVEL

Ano ang isang quadratic equation?

Sa madaling salita, ang isang quadratic equation ay isang equation ng form, kung saan - hindi kilala, - ilang mga numero, bukod pa rito.

Ang bilang ay tinatawag na pinakamataas o unang koepisyent quadratic equation, - pangalawang koepisyent, isang - libreng miyembro.

Dahil kung, ang equation ay magiging linear kaagad, dahil mawawala.

Sa kasong ito, at maaaring katumbas ng zero. Sa upuan na ito equation ay tinatawag hindi kumpleto.

Kung ang lahat ng mga termino ay nasa lugar, iyon ay, ang equation - kumpleto.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Upang magsimula, susuriin namin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito.

Ang mga sumusunod na uri ng mga equation ay maaaring makilala:

I. , sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.

II. , sa equation na ito ang coefficient ay pantay.

III. , sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.

Ngayon isaalang-alang ang solusyon ng bawat isa sa mga subtype na ito.

Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:

Ang isang numerong squared ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nagpaparami ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging isang positibong numero. Kaya:

kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon;

kung mayroon tayong dalawang ugat

Ang mga formula na ito ay hindi kailangang isaulo. Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay hindi ito maaaring mas mababa.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation

Halimbawa 15

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong palatandaan!

Halimbawa 16

Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation

walang ugat.

Upang maikling isulat na ang problema ay walang solusyon, ginagamit namin ang walang laman na icon ng set.

Sagot:

Halimbawa 17

Kaya, ang equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Sagot:

Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:

Ang produkto ay katumbas ng zero kung ang isa man lang sa mga salik ay katumbas ng zero. Nangangahulugan ito na ang equation ay may solusyon kapag:

Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Halimbawa:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Isinasaalang-alang namin ang kaliwang bahagi ng equation at hanapin ang mga ugat:

Sagot:

Mga pamamaraan para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation

1. Diskriminasyon

Ang paglutas ng mga quadratic equation sa ganitong paraan ay madali, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula. Tandaan, anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang discriminant! Kahit hindi kumpleto.

Napansin mo ba ang ugat ng discriminant sa root formula?

Ngunit ang discriminant ay maaaring negatibo.

Anong gagawin?

Kailangan nating bigyan ng espesyal na pansin ang hakbang 2. Sinasabi sa atin ng discriminant ang bilang ng mga ugat ng equation.

• Kung, kung gayon ang equation ay may ugat:
• Kung, kung gayon ang equation ay may parehong ugat, ngunit sa katunayan, isang ugat:

  Ang ganitong mga ugat ay tinatawag na dobleng ugat.

• Kung, kung gayon ang ugat ng discriminant ay hindi nakuha. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.

Bakit may iba't ibang bilang ng mga ugat?

Bumaling tayo sa geometric na kahulugan ng quadratic equation. Ang graph ng function ay isang parabola:

Sa isang partikular na kaso, na isang quadratic equation, .

At nangangahulugan ito na ang mga ugat ng quadratic equation ay ang mga punto ng intersection sa x-axis (axis).

Ang parabola ay maaaring hindi tumawid sa axis, o maaari itong mag-intersect sa isa (kapag ang tuktok ng parabola ay nasa axis) o dalawang punto.

Bilang karagdagan, ang koepisyent ay responsable para sa direksyon ng mga sanga ng parabola. Kung, kung gayon ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pataas, at kung - pagkatapos ay pababa.

4 na halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation

Halimbawa 18

Sagot:

Halimbawa 19

Sagot: .

Halimbawa 20

Sagot:

Halimbawa 21

Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Sagot: .

2. Vieta's theorem

Ang paggamit ng teorama ni Vieta ay napakadali.

Ang kailangan mo lang pulutin tulad ng isang pares ng mga numero, ang produkto kung saan ay katumbas ng libreng termino ng equation, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda.

Mahalagang tandaan na ang teorama ni Vieta ay maaari lamang ilapat sa ibinigay na mga quadratic equation ().

Tingnan natin ang ilang halimbawa:

Halimbawa 22

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation na ito ay angkop para sa solusyon gamit ang Vieta's theorem, dahil . Iba pang mga coefficient: ; .

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay:

At ang produkto ay:

Piliin natin ang mga pares ng mga numero, ang produkto kung saan ay pantay, at suriin kung ang kanilang kabuuan ay pantay:

• at. Ang kabuuan ay;
• at. Ang kabuuan ay;
• at. Ang halaga ay katumbas.

at ang solusyon ng system:

Kaya, at ang mga ugat ng aming equation.

Sagot: ; .

Halimbawa 23

Solusyon:

Pinipili namin ang mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at pagkatapos ay suriin kung pantay ang kanilang kabuuan:

at: magbigay ng kabuuan.

at: magbigay ng kabuuan. Upang makuha ito, kailangan mo lamang baguhin ang mga palatandaan ng mga pinaghihinalaang ugat: at, pagkatapos ng lahat, ang produkto.

Sagot:

Halimbawa 24

Solusyon:

Ang libreng termino ng equation ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay isang negatibong numero. Ito ay posible lamang kung ang isa sa mga ugat ay negatibo at ang isa ay positibo. Kaya ang kabuuan ng mga ugat ay pagkakaiba ng kanilang mga module.

Pinipili namin ang mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at ang pagkakaiba nito ay katumbas ng:

at: ang kanilang pagkakaiba ay - hindi angkop;

at: - hindi angkop;

at: - hindi angkop;

at: - angkop. Nananatili lamang na tandaan na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Dahil ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, kung gayon ang ugat, na mas maliit sa ganap na halaga, ay dapat na negatibo: . Sinusuri namin:

Sagot:

Halimbawa 25

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:

Ang libreng termino ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay negatibo. At ito ay posible lamang kapag ang isang ugat ng equation ay negatibo at ang isa ay positibo.

Pinipili namin ang mga pares ng mga numero na ang produkto ay pantay, at pagkatapos ay tinutukoy kung aling mga ugat ang dapat magkaroon ng negatibong tanda:

Malinaw, ang mga ugat lamang at angkop para sa unang kondisyon:

Sagot:

Halimbawa 26

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:

Ang kabuuan ng mga ugat ay negatibo, na nangangahulugan na kahit isa sa mga ugat ay negatibo. Ngunit dahil positibo ang kanilang produkto, nangangahulugan ito na ang parehong mga ugat ay minus.

Pinipili namin ang mga pares ng mga numero, ang produkto kung saan ay katumbas ng:

Malinaw, ang mga ugat ay ang mga numero at.

Sagot:

Sumang-ayon, ito ay napaka-maginhawa - upang mag-imbento ng mga ugat nang pasalita, sa halip na bilangin ang pangit na diskriminasyong ito.

Subukang gamitin ang theorem ni Vieta nang madalas hangga't maaari!

Ngunit ang Vieta theorem ay kailangan upang mapadali at mapabilis ang paghahanap ng mga ugat.

Upang maging kapaki-pakinabang para sa iyo na gamitin ito, dapat mong dalhin ang mga aksyon sa automatism. At para dito, lutasin ang limang higit pang mga halimbawa.

Ngunit huwag mandaya: hindi mo magagamit ang discriminant! Tanging ang teorem ni Vieta!

5 halimbawa ng teorama ni Vieta para sa sariling pag-aaral

Halimbawa 27

Gawain 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Ayon sa teorama ni Vieta:

Gaya ng dati, sinisimulan namin ang pagpili sa produkto:

Hindi angkop dahil ang dami;

: ang dami mo kailangan.

Sagot: ; .

Halimbawa 28

Gawain 2.

At muli, ang aming paboritong Vieta theorem: ang kabuuan ay dapat gumana, ngunit ang produkto ay pantay.

Ngunit dahil hindi ito dapat, ngunit, binabago natin ang mga palatandaan ng mga ugat: at (sa kabuuan).

Sagot: ; .

Halimbawa 29

Gawain 3.

Hmm... Nasaan na?

Kinakailangang ilipat ang lahat ng mga tuntunin sa isang bahagi:

Ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng produkto.

Oo, tumigil ka! Ang equation ay hindi ibinigay.

Ngunit ang teorama ni Vieta ay naaangkop lamang sa mga ibinigay na equation.

Kaya kailangan mo munang dalhin ang equation.

Kung hindi mo ito masabi, i-drop ang ideyang ito at lutasin ito sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng discriminant).

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang pagdadala ng isang quadratic equation ay nangangahulugan na gawing katumbas ang nangungunang coefficient sa:

Pagkatapos ang kabuuan ng mga ugat ay pantay, at ang produkto.

Mas madaling kunin dito: pagkatapos ng lahat - isang pangunahing numero (paumanhin para sa tautolohiya).

Sagot: ; .

Halimbawa 30

Gawain 4.

Ang libreng termino ay negatibo.

Ano ang espesyal dito?

At ang katotohanan na ang mga ugat ay magkakaroon ng iba't ibang mga palatandaan.

At ngayon, sa panahon ng pagpili, hindi namin sinusuri ang kabuuan ng mga ugat, ngunit ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga module: ang pagkakaiba na ito ay pantay, ngunit ang produkto.

Kaya, ang mga ugat ay pantay at, ngunit ang isa sa mga ito ay may minus.

Sinasabi sa atin ng teorama ni Vieta na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, iyon ay.

Nangangahulugan ito na ang mas maliit na ugat ay magkakaroon ng minus: at, dahil.

Sagot: ; .

Halimbawa 31

Gawain 5.

Ano ang kailangang gawin muna?

Tama iyon, ibigay ang equation:

Muli: pinipili namin ang mga salik ng numero, at ang kanilang pagkakaiba ay dapat na katumbas ng:

Ang mga ugat ay pantay at, ngunit ang isa sa kanila ay minus. alin? Ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, na nangangahulugan na sa isang minus magkakaroon ng isang mas malaking ugat.

Sagot: ; .

Ibuod

1. Ang teorem ni Vieta ay ginagamit lamang sa ibinigay na mga equation na parisukat.
2. Gamit ang Vieta theorem, mahahanap mo ang mga ugat sa pamamagitan ng pagpili, pasalita.
3. Kung hindi ibinigay ang equation o walang nakitang angkop na pares ng mga salik ng libreng termino, walang mga integer na ugat, at kailangan mo itong lutasin sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng discriminant).

3. Buong parisukat na paraan ng pagpili

Kung ang lahat ng mga terminong naglalaman ng hindi alam ay kinakatawan bilang mga termino mula sa mga formula ng pinaikling multiplikasyon - ang parisukat ng kabuuan o pagkakaiba - pagkatapos ay pagkatapos ng pagbabago ng mga variable, ang equation ay maaaring katawanin bilang isang hindi kumpletong quadratic equation ng uri.

Halimbawa:

Halimbawa 32

Lutasin ang equation: .

Solusyon:

Sagot:

Halimbawa 33

Lutasin ang equation: .

Solusyon:

Sagot:

Sa pangkalahatan, ang pagbabago ay magiging ganito:

Ito ay nagpapahiwatig: .

Hindi ba ito nagpapaalala sa iyo ng kahit ano?

Ito ang discriminant! Ganyan talaga nakuha ang discriminant formula.

QUADRATIC EQUATIONS. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

Quadratic equation ay isang equation ng anyo, kung saan ang hindi alam, ay ang mga coefficient ng quadratic equation, ay ang libreng termino.

Kumpletuhin ang quadratic equation- isang equation kung saan ang mga coefficient ay hindi katumbas ng zero.

Pinababang quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient, iyon ay: .

Hindi kumpletong quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient at o libreng term c ay katumbas ng zero:

• kung ang coefficient, ang equation ay may anyo: ,
• kung isang libreng termino, ang equation ay may anyo: ,
• kung at, ang equation ay may anyo: .

1. Algorithm para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

1.1. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :

1) Ipahayag ang hindi alam: ,

2) Suriin ang tanda ng expression:

• kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon,
• kung, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat.

1.2. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :

1) Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket: ,

2) Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang equation ay may dalawang ugat:

1.3. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan:

Ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang: .

2. Algorithm para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation ng form kung saan

2.1. Solusyon gamit ang discriminant

1) Dalhin natin ang equation sa karaniwang anyo: ,

2) Kalkulahin ang discriminant gamit ang formula: , na nagsasaad ng bilang ng mga ugat ng equation:

3) Hanapin ang mga ugat ng equation:

• kung, kung gayon ang equation ay may ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
• kung, kung gayon ang equation ay may ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
• kung, kung gayon ang equation ay walang mga ugat.

2.2. Solusyon gamit ang teorama ni Vieta

Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation (isang equation ng form, kung saan) ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay, i.e. , a.

2.3. Buong parisukat na solusyon

Mga formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation. Ang mga kaso ng tunay, maramihang at kumplikadong mga ugat ay isinasaalang-alang. Factorization ng isang square trinomial. Geometric na interpretasyon. Mga halimbawa ng pagtukoy ng mga ugat at factorization.

Nilalaman

Tingnan din: Paglutas ng mga quadratic equation online

Mga Pangunahing Formula

Isaalang-alang ang quadratic equation:
(1) .
Ang mga ugat ng isang quadratic equation(1) ay tinutukoy ng mga formula:
; .
Ang mga formula na ito ay maaaring pagsamahin tulad nito:
.
Kapag ang mga ugat ng quadratic equation ay kilala, ang polynomial ng pangalawang degree ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga kadahilanan (factored):
.

Dagdag pa, ipinapalagay namin na iyon ay mga tunay na numero.
Isipin mo discriminant ng isang quadratic equation:
.
Kung positibo ang discriminant, ang quadratic equation (1) ay may dalawang magkaibang tunay na ugat:
; .
Pagkatapos ang factorization ng square trinomial ay may anyo:
.
Kung ang discriminant ay zero, kung gayon ang quadratic equation (1) ay mayroong dalawang maramihang (equal) real roots:
.
Factorization:
.
Kung negatibo ang discriminant, ang quadratic equation (1) ay may dalawang kumplikadong conjugate roots:
;
.
Narito ang haka-haka na yunit, ;
at ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng mga ugat:
; .
Pagkatapos

.

Graphic na interpretasyon

Kung bumuo function graph
,
na isang parabola, kung gayon ang mga punto ng intersection ng graph na may axis ay magiging mga ugat ng equation
.
Kapag , ang graph ay tumatawid sa abscissa axis (axis) sa dalawang puntos ().
Kapag , hinawakan ng graph ang x-axis sa isang punto ().
Kapag , ang graph ay hindi tumatawid sa x-axis ().

Mga Kapaki-pakinabang na Formula na May Kaugnayan sa Quadratic Equation

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivation ng formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Nagsasagawa kami ng mga pagbabagong-anyo at naglalapat ng mga formula (f.1) at (f.3):




,
saan
; .

Kaya, nakuha namin ang formula para sa polynomial ng pangalawang degree sa form:
.
Mula dito makikita na ang equation

ginanap sa
at .
Iyon ay, at ang mga ugat ng quadratic equation
.

Mga halimbawa ng pagtukoy sa mga ugat ng isang quadratic equation

Halimbawa 1

(1.1) .

.
Ang paghahambing sa aming equation (1.1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Paghahanap ng discriminant:
.
Dahil ang discriminant ay positibo, ang equation ay may dalawang tunay na ugat:
;
;
.

Mula dito nakuha namin ang agnas ng square trinomial sa mga kadahilanan:

.

Graph ng function na y = 2 x 2 + 7 x + 3 tumatawid sa x-axis sa dalawang punto.

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Tinatawid nito ang x-axis (axis) sa dalawang punto:
at .
Ang mga puntong ito ay ang mga ugat ng orihinal na equation (1.1).

;
;
.

Halimbawa 2

Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation:
(2.1) .

Isinulat namin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo:
.
Ang paghahambing sa orihinal na equation (2.1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Paghahanap ng discriminant:
.
Dahil ang discriminant ay zero, ang equation ay may dalawang maramihang (pantay) na ugat:
;
.

Pagkatapos ang factorization ng trinomial ay may anyo:
.

Graph ng function na y = x 2 - 4 x + 4 hinawakan ang x-axis sa isang punto.

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Hinahawakan nito ang x-axis (axis) sa isang punto:
.
Ang puntong ito ay ang ugat ng orihinal na equation (2.1). Dahil ang ugat na ito ay naka-factor nang dalawang beses:
,
kung gayon ang gayong ugat ay tinatawag na maramihan. Iyon ay, isinasaalang-alang nila na mayroong dalawang pantay na ugat:
.

;
.

Halimbawa 3

Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation:
(3.1) .

Isinulat namin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo:
(1) .
Isulat muli natin ang orihinal na equation (3.1):
.
Ang paghahambing sa (1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Paghahanap ng discriminant:
.
Ang discriminant ay negatibo, . Samakatuwid, walang tunay na mga ugat.

Makakahanap ka ng mga kumplikadong ugat:
;
;
.

Pagkatapos


.

Ang graph ng function ay hindi tumatawid sa x-axis. Walang tunay na ugat.

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Hindi ito tumatawid sa abscissa (axis). Samakatuwid, walang tunay na mga ugat.

Walang tunay na ugat. Mga kumplikadong ugat:
;
;
.

Tingnan din:

”, iyon ay, mga equation ng unang antas. Sa araling ito, tutuklasin natin ano ang isang quadratic equation at kung paano ito lutasin.

Ano ang isang quadratic equation

Mahalaga!

Ang antas ng isang equation ay tinutukoy ng pinakamataas na antas kung saan ang hindi alam ay nakatayo.

Kung ang pinakamataas na antas kung saan ang hindi alam ay nakatayo ay "2", kung gayon mayroon kang isang quadratic equation.

Mga halimbawa ng quadratic equation

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Mahalaga! Ang pangkalahatang anyo ng quadratic equation ay ganito ang hitsura:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" at "c" - ibinigay na mga numero.

• "a" - ang una o senior coefficient;
• "b" - ang pangalawang koepisyent;
• Ang "c" ay isang libreng miyembro.

Upang mahanap ang "a", "b" at "c" Kailangan mong ihambing ang iyong equation sa pangkalahatang anyo ng quadratic equation na "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Magsanay tayo sa pagtukoy ng mga coefficient na "a", "b" at "c" sa mga quadratic equation.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Ang equation	Odds
a=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Paano malutas ang mga quadratic equation

Unlike linear na equation upang malutas ang mga quadratic equation, isang espesyal pormula para sa paghahanap ng mga ugat.

Tandaan!

Upang malutas ang isang quadratic equation kailangan mo:

• dalhin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo na "ax 2 + bx + c \u003d 0". Iyon ay, "0" lamang ang dapat manatili sa kanang bahagi;
• gamitin ang formula para sa mga ugat:

Gumamit tayo ng isang halimbawa upang malaman kung paano ilapat ang formula upang mahanap ang mga ugat ng isang quadratic equation. Lutasin natin ang quadratic equation.

X 2 - 3x - 4 = 0

Ang equation na "x 2 - 3x - 4 = 0" ay nabawasan na sa pangkalahatang anyo na "ax 2 + bx + c = 0" at hindi nangangailangan ng karagdagang pagpapasimple. Upang malutas ito, kailangan lang nating mag-apply formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation.

Tukuyin natin ang mga coefficient na "a", "b" at "c" para sa equation na ito.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Sa tulong nito, malulutas ang anumang quadratic equation.

Sa formula na "x 1; 2 \u003d" ang root expression ay madalas na pinapalitan
"b 2 − 4ac" sa letrang "D" at tinatawag na discriminant. Ang konsepto ng discriminant ay tinalakay nang mas detalyado sa aralin na "Ano ang discriminant".

Isaalang-alang ang isa pang halimbawa ng isang quadratic equation.

x 2 + 9 + x = 7x

Sa form na ito, medyo mahirap matukoy ang mga coefficient na "a", "b", at "c". Dalhin muna natin ang equation sa pangkalahatang anyo na "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Ngayon ay maaari mong gamitin ang formula para sa mga ugat.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Sagot: x = 3

May mga pagkakataon na walang mga ugat sa quadratic equation. Nangyayari ang sitwasyong ito kapag may lumabas na negatibong numero sa formula sa ilalim ng ugat.