Kumplikadong derivatives. Logarithmic derivative.
Ang derivative ng exponential function

Patuloy kaming nagpapabuti sa aming pamamaraan sa pagkita ng kaibhan. Sa araling ito, isasama natin ang materyal na natatakpan, isaalang-alang ang mas kumplikadong mga derivatives, at makilala din ang mga bagong pamamaraan at trick para sa paghahanap ng derivative, partikular, kasama ang logarithmic derivative.

Ang mga mambabasa na may mababang antas ng pagsasanay ay dapat sumangguni sa artikulo Paano makahanap ng isang hinuha? Mga halimbawa ng solusyon, na itaas ang iyong mga kasanayan halos mula sa simula. Susunod, kailangan mong maingat na pag-aralan ang pahina Pinagmulan ng isang kumplikadong pag-andar, maunawaan at malutas lahat ang mga halimbawang ibinigay ko. Ang araling ito ay lohikal na pangatlo sa sunud-sunod, at pagkatapos na ma-master ito, kumpiyansa mong maiiba ang halip na kumplikadong mga pag-andar. Hindi kanais-nais na sumunod sa posisyon na "Saan pa? At sapat na iyon! ”Sapagkat ang lahat ng mga halimbawa at solusyon ay kinuha mula sa tunay na mga pagsubok at madalas na matatagpuan sa pagsasanay.

Magsimula tayo sa pag-uulit. Sa aralin Pinagmulan ng isang kumplikadong pag-andartiningnan namin ang isang bilang ng mga halimbawa na may detalyadong mga komento. Sa kurso ng pag-aaral ng calculus ng kaugalian at iba pang mga sangay ng pagtatasa ng matematika, kakailanganin mong magkakaiba nang madalas, at hindi palaging maginhawa (at hindi palaging kinakailangan) upang magsulat ng mga halimbawa nang mahusay. Samakatuwid, magsasanay kami sa paghahanap ng mga derivatives pasalita. Ang pinaka-angkop na "kandidato" para sa mga ito ay derivatives ng pinakasimpleng ng mga kumplikadong pag-andar, halimbawa:

Sa pamamagitan ng patakaran ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar :

Kapag pinag-aaralan ang iba pang mga paksa ng matan sa hinaharap, tulad ng isang detalyadong tala ay madalas na hindi kinakailangan, ipinapalagay na ang mag-aaral ay nakakahanap ng mga katulad na derivatives sa awtomatikong autopilot. Isipin na sa ganap na 3 ng umaga ay tumunog ang telepono, at isang kaaya-aya na tinig ang nagtanong: "Ano ang pinagmulan ng tangent ng dalawang Xs?" Dapat itong sundan ng halos instant at magalang na tugon: .

Ang unang halimbawa ay agad na inilaan para sa isang malayang solusyon.

Halimbawa 1

Hanapin ang mga sumusunod na derivatives pasalita, sa isang hakbang, halimbawa:. Upang makumpleto ang gawain, kailangan mo lamang gamitin talahanayan ng mga derivatives ng elementarya na pag-andar (kung hindi pa ito naaalala). Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, inirerekumenda kong basahin muli ang aralin. Pinagmulan ng isang kumplikadong pag-andar.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Mga sagot sa pagtatapos ng aralin

Kumplikadong derivatives

Matapos ang paunang paghahanda ng artilerya, ang mga halimbawa na may mga kalakip na 3-4-5 ay magiging mas nakakatakot. Marahil ang mga sumusunod na dalawang halimbawa ay tila mahirap sa ilan, ngunit kung nauunawaan mo ang mga ito (may isang tao ay magdurusa), kung gayon halos lahat ng iba pa sa calculus na kaugalian ay parang isang biro na parang bata.

Halimbawa 2

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Tulad ng nabanggit na, kapag ang paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong pag-andar, una sa lahat, kinakailangan tamaWALANG mga kalakip. Sa mga kaso kung saan may mga pag-aalinlangan, naaalala ko ang isang kapaki-pakinabang na pamamaraan: kinukuha namin ang pang-eksperimentong halaga ng "X", halimbawa, at subukan (sa isip o sa isang draft) upang mapalitan ang halagang ito sa "kakila-kilabot na expression".

1) Una kailangan nating kalkulahin ang expression, na nangangahulugang ang halaga ay ang pinakamalalim na pamumuhunan.

2) Pagkatapos ay kailangan mong kalkulahin ang logarithm:

4) Pagkatapos ay itaas ang kosine sa isang kubo:

5) Sa ikalimang hakbang, ang pagkakaiba-iba:

6) At sa wakas, ang panlabas na pag-andar ay ang square root:

Formula ng pagkita ng kaibahan ay inilalapat sa baligtad na pagkakasunud-sunod, mula sa pinakamalawak na pag-andar hanggang sa kailaliman. Nagpapasya kami:

Tila walang pagkakamali….

(1) Kunin ang derivative ng square root.

(2) Kunin ang pinagmulan ng pagkakaiba gamit ang panuntunan

(3) Ang derivative ng triple ay zero. Sa pangalawang termino, kinukuha namin ang derivative ng degree (kubo).

(4) Kunin ang derivative ng kosine.

(5) Kunin ang hinango ng logarithm.

(6) Sa wakas, kinukuha namin ang hinango ng pinakamalalim na pugad.

Maaaring mahirap itong tunog, ngunit hindi ito ang pinaka-brutal na halimbawa. Halimbawa, kunin ang koleksyon ng Kuznetsov at pahalagahan mo ang lahat ng kaakit-akit at pagiging simple ng nasuri na derivative. Napansin ko na nais nilang magbigay ng isang katulad na bagay sa pagsusulit upang suriin kung nauunawaan ng mag-aaral kung paano mahahanap ang pinagmulan ng isang kumplikadong pag-andar, o hindi maintindihan.

Ang susunod na halimbawa ay para sa isang malayang solusyon.

Halimbawa 3

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Pahiwatig: Una, ilapat ang mga patakaran sa linearidad at ang panuntunan sa pagkita ng kaibhan ng produkto

Kumpletuhin ang solusyon at sagot sa dulo ng tutorial.

Ngayon ang oras upang magpatuloy sa isang bagay na mas compact at cute.
Hindi pangkaraniwan para sa isang halimbawa na magbigay ng isang produkto ng hindi dalawa, ngunit tatlong pag-andar. Paano mahahanap ang pinagmulan ng produkto ng tatlong mga kadahilanan?

Halimbawa 4

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Una, tingnan natin kung posible na i-on ang produkto ng tatlong pag-andar sa produkto ng dalawang pag-andar? Halimbawa, kung mayroon kaming dalawang polynomial sa produkto, kung gayon maaari naming mapalawak ang mga braket. Ngunit sa halimbawang ito, ang lahat ng mga pag-andar ay magkakaiba: degree, exponent at logarithm.

Sa mga ganitong kaso, kinakailangan tuloy-tuloymag-apply ng panuntunan sa pagkita ng kaibhan dalawang beses

Ang trick ay para sa "y" na ipinapahiwatig namin ang produkto ng dalawang pag-andar :, at para sa "ve" - \u200b\u200bang logarithm:. Bakit ito magagawa? Ito ba - hindi ito produkto ng dalawang mga kadahilanan at ang patakaran ay hindi gumagana ?! Walang kumplikado:

Ngayon ay nananatiling ilapat ang panuntunan sa pangalawang pagkakataon sa panaklong:

Maaari mo pa ring baluktot at maglagay ng isang bagay sa labas ng mga bracket, ngunit sa kasong ito mas mahusay na iwanan ang sagot sa form na ito - magiging mas madali itong suriin.

Ang isinasaalang-alang na halimbawa ay maaaring malutas sa pangalawang paraan:

Ang parehong mga solusyon ay ganap na katumbas.

Halimbawa 5

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa isang malayang solusyon, sa halimbawang ito ay nalutas sa unang paraan.

Tingnan natin ang mga katulad na halimbawa na may mga praksyon.

Halimbawa 6

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Dito maaari kang pumunta sa maraming paraan:

O ganito:

Ngunit ang solusyon ay isusulat nang mas compactly kung una sa lahat ginagamit namin ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng quient , pagkuha para sa buong numerator:

Sa prinsipyo, nalulutas ang halimbawa, at kung iwanan mo ito tulad nito, hindi ito magiging isang error. Ngunit kung mayroon kang oras, palaging ipinapayong suriin ang isang draft, ngunit posible bang gawing simple ang sagot? Bawasan natin ang pagpapahayag ng numerator sa isang karaniwang denominador at mapupuksa ang maliit na bahagi na bahagi:

Ang kawalan ng karagdagang mga pagpapagaan ay may panganib na gumawa ng isang pagkakamali hindi sa paghahanap ng derivative, ngunit sa mga pagbabagong-anyo ng banal na paaralan. Sa kabilang banda, ang mga guro ay madalas na tumatanggi sa isang atas at hiniling na "isipin" ang hinango.

Isang mas simpleng halimbawa para sa isang do-it-yourself solution:

Halimbawa 7

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga pamamaraan ng paghahanap ng derivative, at ngayon isasaalang-alang namin ang isang tipikal na kaso kapag ang "kakila-kilabot" logarithm ay iminungkahi para sa pagkita

Halimbawa 8

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Dito maaari kang pumunta ng isang mahabang paraan, gamit ang patakaran ng pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong pag-andar:

Ngunit ang pinakaunang hakbang ay agad na sumuko sa kawalang-pag-asa - kailangan mong kumuha ng isang hindi kasiya-siyang hinango mula sa isang fractional power, at pagkatapos din mula sa isang bahagi.

samakatuwid bago kung paano kunin ang derivative ng "magarbong" logarithm, ito ay paunang pinasimple gamit ang mga kilalang katangian ng paaralan:

! Kung mayroon kang isang praktikal na notebook sa kamay, kopyahin ang mga formula na ito doon. Kung wala kang isang kuwaderno, muling isulat ang mga ito sa isang piraso ng papel, dahil ang natitirang mga halimbawa ng aralin ay babaligid sa mga formula na ito.

Ang solusyon mismo ay maaaring nakabalangkas tulad nito:

Ibahin ang anyo ang pagpapaandar:

Hanapin ang derivative:

Ang pag-configure ng pag-andar mismo ay naging mas madali ang solusyon. Kaya, kapag ang nasabing isang logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibahan, palaging ipinapayong "masira" ito.

At ngayon ng ilang mga simpleng halimbawa para sa isang malayang solusyon:

Halimbawa 9

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Halimbawa 10

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Lahat ng mga pagbabagong-anyo at mga sagot sa pagtatapos ng aralin.

Logarithmic derivative

Kung ang hinango ng mga logarithms ay tulad ng matamis na musika, kung gayon ang tanong ay lumitaw, posible bang sa ilang mga kaso upang ayusin ang logarithm artipisyal? Pwede! At kinakailangan.

Halimbawa 11

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Nakita natin ang mga katulad na halimbawa kamakailan. Anong gagawin? Maaari mong patuloy na ilapat ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng kusina, at pagkatapos ay ang panuntunan para sa pagkakaiba sa gawain. Ang kawalan ng pamamaraang ito ay nakakakuha ka ng isang malaking bahagi ng tatlong-kwentong, na hindi mo nais na harapin ang lahat.

Ngunit sa teorya at kasanayan, mayroong tulad na isang kamangha-manghang bagay tulad ng deraratibong logarithmic. Ang Logarithms ay maaaring isinaayos ng artipisyal sa pamamagitan ng "pabitin" ang mga ito sa magkabilang panig:

Tandaan : mula pa ang function ay maaaring tumagal ng mga negatibong halaga, kung gayon, sa pangkalahatan ay nagsasalita, kailangan mong gumamit ng mga module: mawawala iyon bilang isang resulta ng pagkita ng kaibahan. Gayunpaman, ang kasalukuyang disenyo ay katanggap-tanggap din, kung saan ang mga pagkukulang ay isinasaalang-alang kumplikado mga halaga. Ngunit kung sa lahat ng kalubhaan, kung gayon sa parehong mga kaso, dapat gawin ang isang reserbasyon.

Ngayon ay kailangan mong i-maximize ang "putulin" ang logarithm ng kanang bahagi (mga pormula bago ang iyong mga mata?). Ilalarawan ko nang maayos ang prosesong ito:

Sa totoo lang, nagpapatuloy kami sa pagkita ng kaibahan.
Isinama namin ang parehong mga bahagi sa ilalim ng stroke:

Ang derivative ng kanang kamay ay medyo simple, hindi ako magkomento dito, dahil kung binabasa mo ang tekstong ito, dapat mong kumpiyansa na makayanan ito.

Kumusta naman ang kaliwang bahagi?

Sa kaliwa mayroon kami kumplikadong pag-andar... Nahulaan ko ang tanong: "Bakit, mayroon ding isang titik na" igrek "sa ilalim ng logarithm?"

Ang katotohanan ay ang "isang titik na igrek" - ANG ITSELF AY ISANG PAGSUSURI (kung hindi masyadong malinaw, sumangguni sa artikulong Nagmula sa isang Implicit Function). Samakatuwid, ang logarithm ay isang panlabas na pag-andar, at ang "laro" ay isang panloob na pag-andar. At ginagamit namin ang patakaran ng pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong pag-andar :

Sa kaliwang bahagi, na parang sa pamamagitan ng mahika, mayroon kaming isang hinango. Bukod dito, ayon sa patakaran ng proporsyon, itinatapon namin ang "laro" mula sa denominador ng kaliwang bahagi hanggang sa tuktok ng kanang bahagi:

At ngayon naaalala natin kung anong uri ng "laro" -function na tinalakay natin sa pagkita ng kaibahan? Tinitingnan namin ang kondisyon:

Pangwakas na sagot:

Halimbawa 12

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa isang solusyon sa do-it-yourself. Isang halimbawa ng disenyo ng isang halimbawa ng ganitong uri sa pagtatapos ng aralin.

Sa tulong ng logarithmic derivative posible na malutas ang alinman sa mga halimbawa Hindi. 4-7, ang isa pang bagay ay ang mga pag-andar doon ay mas simple, at, marahil, ang paggamit ng logarithmic derivative ay hindi masyadong nabigyang katwiran.

Ang derivative ng exponential function

Hindi pa namin isinasaalang-alang ang pagpapaandar na ito. Ang isang pagpapaunlad na pagpapaandar ay isang pag-andar kung saan at ang degree at base ay nakasalalay sa "x"... Isang klasikong halimbawa na ibibigay sa iyo sa anumang aklat-aralin o sa anumang lektura:

Paano mahahanap ang derivative ng isang exponential function?

Kinakailangan na gamitin ang pamamaraan na isinasaalang-alang lamang - ang logarithmic derivative. Nag-hang kami ng mga logarithms sa magkabilang panig:

Bilang isang patakaran, ang degree ay kinuha mula sa ilalim ng logarithm sa kanang bahagi:

Bilang isang resulta, sa kanang bahagi ay mayroon kaming isang produkto ng dalawang pag-andar, na magkakaiba ayon sa karaniwang pormula .

Hanapin ang derivative, para dito isinama namin ang parehong mga bahagi sa ilalim ng mga stroke:

Ang mga karagdagang pagkilos ay simple:

Sa wakas:

Kung ang anumang pagbabago ay hindi lubos na malinaw, mangyaring maingat na basahin muli ang mga paliwanag ng Halimbawa # 11.

Sa mga praktikal na gawain, ang pagpapaunlad na pag-andar ay palaging magiging mas kumplikado kaysa sa itinuturing na halimbawa ng panayam.

Halimbawa 13

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Ginagamit namin ang logarithmic derivative.

Sa kanang bahagi mayroon kaming pare-pareho at isang produkto ng dalawang mga kadahilanan - "x" at "logarithm ng logarithm ng x" (isa pang logarithm ay naka-embed sa ilalim ng logarithm). Kapag naiiba ang pare-pareho, tulad ng naaalala natin, mas mahusay na agad na magawa ang tanda ng derivative upang hindi ito makuha sa paraang hindi natatabaan; at syempre ilapat ang pamilyar na panuntunan :

Kung ang g(x) at f(u) Ay magkakaibang mga pag-andar ng kanilang mga argumento, ayon sa pagkakabanggit, sa mga punto x at u= g(x), kung gayon ang kumplikadong pag-andar ay naiiba din sa puntong xat matatagpuan sa pamamagitan ng pormula

Ang isang tipikal na pagkakamali kapag ang paglutas ng mga problema ng derivative ay ang awtomatikong paglipat ng mga patakaran para sa pag-iba ng mga simpleng pag-andar sa mga kumplikadong pag-andar. Matuto tayong maiwasan ang pagkakamaling ito.

Halimbawa 2.Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Maling solusyon: kalkulahin ang natural na logarithm ng bawat term sa panaklong at hanapin ang kabuuan ng mga derivatives:

Tamang solusyon: muli naming tinukoy kung saan ang "mansanas" at nasaan ang "tinadtad na karne". Narito ang likas na logarithm ng expression sa mga panaklong ay "apple", iyon ay, isang function ng isang intermediate argument u, at ang expression sa panaklong ay "mince", iyon ay, isang intermediate na argumento u sa pamamagitan ng malayang variable x.

Pagkatapos (gamit ang formula 14 mula sa talahanayan ng mga derivatives)

Sa maraming mga problema sa buhay na buhay, ang ekspresyon na may logarithm ay medyo mas kumplikado, kaya mayroong isang aralin

Halimbawa 3.Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Maling solusyon:

Tamang solusyon. Muli, natutukoy namin kung saan "apple" at kung saan ang "tinadtad na karne". Dito, ang kosine ng expression sa mga bracket (formula 7 sa talahanayan ng mga derivatives) ay "apple", inihanda ito sa mode 1, na nakakaapekto lamang sa ito, at ang expression sa mga panaklong (ang hinuha ng kapangyarihan ay bilang 3 sa talahanayan ng mga derivatives) ay "tinadtad na karne". naghahanda ito sa mode 2, na nakakaapekto lamang dito. At, tulad ng nakasanayan, ikinonekta namin ang dalawang derivatives na may isang sign sign sa trabaho. Resulta:

Ang hinango ng isang kumplikadong pag-andar ng logarithmic ay isang madalas na pagtatalaga sa mga papeles sa pagsubok, kaya't masidhi naming inirerekumenda na bisitahin mo ang aralin na "Derivative of a logarithmic function".

Ang mga unang halimbawa ay para sa mga kumplikadong pag-andar kung saan ang intermediate na argumento sa independyenteng variable ay isang simpleng pag-andar. Ngunit sa mga praktikal na gawain madalas na kinakailangan upang hanapin ang pinagmulan ng isang kumplikadong pag-andar, kung saan ang intermediate na argumento ay alinman sa isang kumplikadong pagpapaandar mismo o naglalaman ng gayong pag-andar. Ano ang dapat gawin sa mga ganitong kaso? Maghanap ng mga derivatives ng naturang pag-andar gamit ang mga talahanayan at mga patakaran sa pagkita ng kaibhan. Kapag natagpuan ang hinango ng intermediate na argumento, ito ay simpleng nahalili sa tamang lugar sa pormula. Nasa ibaba ang dalawang halimbawa kung paano ito isinasagawa.

Makatutulong din na malaman ang sumusunod. Kung ang isang kumplikadong pag-andar ay maaaring kinakatawan bilang isang kadena ng tatlong mga pag-andar

pagkatapos ay ang nahanap na ito ay dapat na matagpuan bilang produkto ng mga derivatives ng bawat isa sa mga function na ito:

Marami sa iyong mga takdang aralin ay maaaring mangailangan ng pagbubukas ng mga tutorial sa mga bagong window Mga aksyon na may kapangyarihan at ugat at Mga pagkilos ng fraction .

Halimbawa 4.Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Inilapat namin ang patakaran ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar, hindi nakakalimutan na sa mga nagresultang produkto ng mga derivatives, ang intermediate na argumento na may paggalang sa independyenteng variable x hindi nagbabago:

Inihahanda namin ang pangalawang kadahilanan ng produkto at inilalapat ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng kabuuan:

Ang pangalawang termino ay isang ugat, samakatuwid

Kaya, natamo namin na ang intermediate na argumento, na kung saan ay isang kabuuan, ay naglalaman ng isang kumplikadong pagpapaandar bilang isa sa mga termino: ang pagtaas sa isang kapangyarihan ay isang kumplikadong pag-andar, at kung ano ang nakataas sa isang kapangyarihan ay isang intermediate na argumento na may paggalang sa independyenteng variable x.

Samakatuwid, muling inilalapat namin ang patakaran ng pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong pag-andar:

Binago namin ang antas ng unang kadahilanan sa isang ugat, at pagkakaiba sa pangalawang kadahilanan, huwag kalimutan na ang hinango ng pare-pareho ay pantay sa zero:

Ngayon ay matatagpuan namin ang derivative ng intermediate argument na kinakailangan upang makalkula ang derivative ng isang kumplikadong function na kinakailangan sa kondisyon ng problema y:

Halimbawa 5.Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Una, gamitin natin ang panuntunan sa pagkita ng kabuuan:

Natanggap ang kabuuan ng mga derivatives ng dalawang kumplikadong pag-andar. Nahanap namin ang una sa kanila:

Narito ang pagtataas ng sine sa isang kapangyarihan ay isang kumplikadong pag-andar, at ang sine mismo ay isang intermediate na argumento na may paggalang sa independyenteng variable x... Samakatuwid, gagamitin namin ang patakaran ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar, kasama ang paraan napagtibay ang kadahilanan :

Ngayon matatagpuan namin ang pangalawang termino mula sa mga generator ng derivative ng pag-andar y:

Narito ang pagpapataas ng kosina sa isang kapangyarihan ay isang kumplikadong pagpapaandar f, at ang kosine mismo ay isang intermediate na argumento na may paggalang sa independyenteng variable x... Gagamitin natin ang patakaran ng pagkita ng pagkita ng isang kumplikadong pag-andar:

Ang resulta ay ang hinihiling derivative:

Mga talahanayan ng derektibong ilang mga kumplikadong pag-andar

Para sa mga kumplikadong pag-andar, batay sa panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong pag-andar, ang pormula para sa hinango ng isang simpleng pag-andar ay tumatagal ng ibang anyo.

1. Pinagmulan ng isang compound ng lakas ng compound, kung saan u x
2. Nagmula ng ugat ng pagpapahayag
3. Pinagmulan ng pag-andar ng pagpaparami
4. Isang espesyal na kaso ng pag-andar ng pagpaparami
5. Pinagmulan ng isang logarithmic function na may isang di-makatwirang positibong batayan at
6. Pinagmulan ng isang kumplikadong pag-andar ng logarithmic, kung saan u - naiibang pag-andar ng argumento x
7. Pinagmulan ng sine
8. Pagganyak ng kosinilya
9. Pinagmulan ng tangent
10. Pinagmulan ng cotangent
11. Pinagmulan ng arcsine
12. Pinagmulan ng arccosine
13. Pinagmulan ng arctangent
14. Nagmula ng arko cotangent

Kung susundin natin ang kahulugan, kung gayon ang hinalaw ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng ratio ng pagdaragdag ng function Δ y sa pagdaragdag ng argumento Δ x:

Ang lahat ay tila malinaw. Ngunit subukang kalkulahin ang paggamit ng pormula na ito, sabihin mo, ang hinango ng isang function f(x) = x 2 + (2x + 3) e x Kasalanan x... Kung gagawin mo ang lahat sa pamamagitan ng kahulugan, pagkatapos pagkatapos ng ilang mga pahina ng mga kalkulasyon ay makatulog ka na lamang. Samakatuwid, mayroong mas simple at mas epektibong paraan.

Upang magsimula sa, tandaan namin na ang tinatawag na elementarya na mga pag-andar ay maaaring makilala mula sa buong iba't ibang mga pag-andar. Ang mga ito ay medyo simpleng expression, ang mga derivatives na kung saan ay matagal nang kinakalkula at ipinasok sa talahanayan. Ang ganitong mga pag-andar ay madaling matandaan - kasama ang kanilang mga derivatibo.

Mga derivatives ng elementarya

Ang mga elemento ng elementarya ay lahat ng nakalista sa ibaba. Ang mga derivatives ng mga pagpapaandar na ito ay dapat malaman ng puso. Bukod dito, ang pagsasaulo sa kanila ay hindi mahirap sa lahat - na ang dahilan kung bakit sila ay elementarya.

Kaya, ang mga derivatives ng elementarya function:

Pangalan	Pag-andar	Nagganyak
Patuloy	f(x) = C, C ∈ R	0 (oo, zero!)
Rational grade	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) \u003d kasalanan x	kos x
Cosine	f(x) \u003d kos x	- kasalanan x (minus sine)
Tangent	f(x) \u003d tg x	1 / cos 2 x
Cotangent	f(x) \u003d ctg x	- 1 / kasalanan 2 x
Likas na logarithm	f(x) \u003d ln x	1/x
Arbitrary logarithm	f(x) \u003d log a x	1/(x Ln a)
Pag-andar ng pagpapaunlad	f(x) = e x	e x (walang nagbago)

Kung ang pag-andar sa elementarya ay pinarami ng isang di-makatarungang pare-pareho, kung gayon ang hinango ng bagong pag-andar ay madali ring kinakalkula:

(C · f)’ = C · f ’.

Sa pangkalahatan, ang mga constants ay maaaring ilipat sa labas ng derivative sign. Halimbawa:

(2x 3) '\u003d 2 · ( x 3) '\u003d 2 3 x 2 = 6x 2 .

Malinaw, ang mga pangunahing pag-andar ay maaaring maidagdag sa bawat isa, dumami, nahati - at marami pa. Kaya lilitaw ang mga bagong pag-andar, na hindi na partikular na elementarya, ngunit naiiba din ayon sa ilang mga patakaran. Ang mga patakarang ito ay tinalakay sa ibaba.

Pinagmulan ng kabuuan at pagkakaiba

Hayaan ang mga pag-andar f(x) at g(x), ang mga derivatives na kung saan ay kilala sa amin. Halimbawa, maaari mong gawin ang mga pangunahing pag-andar na tinalakay sa itaas. Pagkatapos ay mahahanap mo ang pinagmulan ng kabuuan at pagkakaiba ng mga pagpapaandar na ito:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Kaya, ang hinuha ng kabuuan (pagkakaiba) ng dalawang pag-andar ay katumbas ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga derivatibo. Maaaring may maraming mga term. Halimbawa, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Mahigpit na pagsasalita, walang konsepto ng "pagbabawas" sa algebra. Mayroong konsepto ng "negatibong elemento". Samakatuwid ang pagkakaiba f − g maaaring maisulat bilang kabuuan f + (−1) g, at pagkatapos ay iisa lamang ang pormula - ang pinagmulan ng kabuuan.

f(x) = x 2 + kasalanan x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Pag-andar f(x) Ay ang kabuuan ng dalawang pangunahing pag-andar, samakatuwid:

f ’(x) = (x 2 + kasalanan x)’ = (x 2) '+ (kasalanan x)’ = 2x + kos x;

Nangangatuwiran kami ng katulad para sa pagpapaandar g(x). Mayroon na lamang tatlong mga termino (mula sa punto ng view ng algebra):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Sagot:
f ’(x) = 2x + kos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Pinagmulan ng isang gawain

Ang matematika ay isang lohikal na agham, kaya marami ang naniniwala na kung ang derivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives, kung gayon ang derivative ng produkto welga"\u003e ay pantay-pantay sa produkto ng mga derivatibo. Ngunit igos ka! Ang pagkakaugnay ng produkto ay kinakalkula gamit ang isang ganap na magkakaibang formula. Namely:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Ang formula ay simple, ngunit madalas na hindi mapapansin. At hindi lamang mga mag-aaral, kundi pati na rin mga mag-aaral. Ang resulta ay hindi malulutas ng mga problema.

Isang gawain. Maghanap ng mga derivatives ng pag-andar: f(x) = x 3 kos x; g(x) = (x 2 + 7x - 7) e x .

Pag-andar f(x) ay ang produkto ng dalawang pangunahing pag-andar, kaya ang lahat ay simple:

f ’(x) = (x 3 kos x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (kos x)’ = 3x 2 kos x + x 3 (- kasalanan x) = x 2 (3cos x − x Kasalanan x)

Ang pagpapaandar g(x) ang unang kadahilanan ay medyo mas kumplikado, ngunit ang pangkalahatang pamamaraan ay hindi nagbabago mula rito. Malinaw, ang unang kadahilanan ng pag-andar g(x) ay isang polynomial, at ang derivative nito ay ang derivative ng sum. Meron kami:

g ’(x) = ((x 2 + 7x - 7) e x)’ = (x 2 + 7x - 7) ' e x + (x 2 + 7x - 7) ( e x)’ = (2x + 7) e x + (x 2 + 7x - 7) e x = e x · (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x + 9) e x .

Sagot:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x Kasalanan x);
g ’(x) = x(x + 9) e x .

Tandaan na sa huling hakbang, ang pinagmulan ay salungguhitan. Pormal, hindi ito kinakailangan, ngunit ang karamihan sa mga derivatives ay hindi kinakalkula ng kanilang sarili, ngunit upang siyasatin ang pagpapaandar. Nangangahulugan ito na ang karagdagang derivative ay magiging pantay sa zero, ang mga palatandaan ay linawin, at iba pa. Para sa naturang kaso mas mahusay na magkaroon ng isang factor na expression.

Kung mayroong dalawang pag-andar f(x) at g(x), at g(x) 0 sa hanay ng interes sa amin, maaari naming tukuyin ang isang bagong pag-andar h(x) = f(x)/g(x). Para sa isang pag-andar, maaari ka ring makahanap ng isang hinalaw:

Hindi mahina, ha? Saan nagmula ang minus? Bakit g 2? At tulad nito! Ito ay isa sa mga pinakamahirap na formula - hindi mo ito malalaman nang walang isang bote. Samakatuwid, mas mahusay na pag-aralan ito ng mga tiyak na halimbawa.

Isang gawain. Maghanap ng mga derivatives ng pag-andar:

Ang numumer at denominator ng bawat maliit na bahagi ay naglalaman ng mga elementarya na pag-andar, kaya ang kailangan lamang natin ay ang pormula para sa hinango ng taglay:

Sa pamamagitan ng tradisyon, ang pagpapatibay sa numero sa mga kadahilanan ay lubos na gawing simple ang sagot:

Ang isang kumplikadong pag-andar ay hindi kinakailangan isang kalahating kilometro na formula. Halimbawa, sapat na upang gawin ang pagpapaandar f(x) \u003d kasalanan x at palitan ang variable xsabihin natin sa x 2 + ln x... Ito ay lumiliko f(x) \u003d kasalanan ( x 2 + ln x) Ay isang kumplikadong pag-andar. Mayroon din itong isang hinango, ngunit hindi ito gagana upang mahanap ito ayon sa mga patakaran na tinalakay sa itaas.

Paano maging? Sa ganitong mga kaso, variable kapalit at ang formula para sa hinango ng isang kumplikadong tulong ng function:

f ’(x) = f ’(t) · t ', kung ang x pinalitan ng t(x).

Bilang isang panuntunan, sa pag-unawa sa pormula na ito, ang sitwasyon ay mas malungkot kaysa sa mga hinango ng quient. Samakatuwid, mas mahusay na ipaliwanag ito sa mga tukoy na halimbawa, na may isang detalyadong paglalarawan ng bawat hakbang.

Isang gawain. Maghanap ng mga derivatives ng pag-andar: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) \u003d kasalanan ( x 2 + ln x)

Tandaan na kung ang pagpapaandar f(x) sa halip na expression 2 x Ang 3 ay magiging madali x, pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang elementarya f(x) = e x ... Samakatuwid, gumawa kami ng isang kapalit: hayaan ang 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t ... Kami ay naghahanap para sa hinango ng isang kumplikadong function ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

At ngayon - pansin! Isinasagawa namin ang reverse kapalit: t = 2x + 3. Nakukuha namin:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x + 3 (2 x + 3)’ = e 2x + 3 2 \u003d 2 e 2x + 3

Ngayon ay haharapin natin ang pagpapaandar g(x). Malinaw, kailangan mong palitan x 2 + ln x = t... Meron kami:

g ’(x) = g ’(t) · t '\u003d (Kasalanan t)’ · t '\u003d Cos t · t ’

Kabaligtaran kapalit: t = x 2 + ln x... Pagkatapos:

g ’(x) \u003d kos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x) '\u003d Cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Iyon lang! Tulad ng makikita mula sa huling expression, ang buong problema ay nabawasan sa pagkalkula ng nakuha na kabuuan.

Sagot:
f ’(x) \u003d 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) Cos ( x 2 + ln x).

Kadalasan sa aking mga aralin ginagamit ko ang salitang "stroke" sa halip na ang salitang "derivative". Halimbawa, ang isang punong-guro mula sa isang kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga stroke. Malinaw ba iyon? Well, mabuti iyon.

Kaya, ang pagkalkula ng derivative ay nabawasan sa pag-alis ng mga parehong stroke ayon sa mga patakaran na tinalakay sa itaas. Bilang isang pangwakas na halimbawa, bumalik tayo sa derivative ng exponent na may makatwirang exponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Ilang alam kung ano ang papel n ay maaaring maging isang fractional number. Halimbawa, ang ugat ay x 0.5. Paano kung mayroong isang magarbong sa ilalim ng ugat? Muli, ang isang kumplikadong pag-andar ay magpapasara - nais nilang magbigay ng gayong mga konstruksyon sa mga pagsubok at pagsusulit.

Isang gawain. Hanapin ang pinagmulan ng isang function:

Una, muling isulat ang ugat bilang isang kapangyarihan na may makatwirang exponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Ngayon gumawa kami ng isang kapalit: hayaan x 2 + 8x − 7 = t... Natagpuan namin ang pinagmulan ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5) ' t '\u003d 0.5 t −0.5 t ’.

Ginagawa namin ang reverse kapalit: t = x 2 + 8x - 7. Mayroon kaming:

f ’(x) \u003d 0.5 ( x 2 + 8x - 7) −0.5 ( x 2 + 8x - 7) '\u003d 0.5 · (2 x + 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Sa wakas, bumalik sa mga ugat:

Ang mga kumplikadong pag-andar ay hindi palaging umaangkop sa kahulugan ng isang kumplikadong pag-andar. Kung mayroong isang function ng form y \u003d kasalanan x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, kung gayon hindi ito maituturing na kumplikado, hindi katulad ng y \u003d kasalanan 2 x.

Ipapakita ng artikulong ito ang konsepto ng isang kumplikadong pagpapaandar at pagkakakilanlan nito. Makipagtulungan tayo sa mga formula para sa paghahanap ng derivative na may mga halimbawa ng mga solusyon sa konklusyon. Ang paggamit ng talahanayan ng mga derivatives at ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan makabuluhang binabawasan ang oras upang mahanap ang derivative.

Pangunahing kahulugan

Kahulugan 1

Ang isang kumplikadong pag-andar ay isang function na ang argumento ay isang function din.

Ito ay ipinapahiwatig sa ganitong paraan: f (g (x)). Mayroon kaming ang function g (x) ay itinuturing na isang argument sa f (g (x)).

Kahulugan 2

Kung mayroong isang function f at isang cotangent function, kung gayon g (x) \u003d ln x ay isang function ng natural logarithm. Nakukuha namin na ang kumplikadong function f (g (x)) ay isusulat bilang arctan (lnx). O isang function f, na kung saan ay isang function na nakataas sa ika-4 na kapangyarihan, kung saan g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 ay itinuturing na isang buong katuwiran na pag-andar, nakuha namin na f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 ...

Malinaw na g (x) ay maaaring maging nakakalito. Mula sa halimbawa y \u003d kasalanan 2 x + 1 x 3 - 5, makikita mo na ang halaga ng g ay may isang cube root na may isang maliit na bahagi. Ang pagpapahayag na ito ay pinapayagan na maihatid bilang y \u003d f (f 1 (f 2 (x)). Kung saan mayroon tayo na f ay isang function ng sine, at ang f 1 ay isang function na matatagpuan sa ilalim square root, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 ay isang fractional rational function.

Kahulugan 3

Ang antas ng pugad ay tinutukoy ng anuman natural na numero at nakasulat bilang y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))).

Kahulugan 4

Ang konsepto ng komposisyon ng pag-andar ay tumutukoy sa bilang ng mga nested function ng kondisyon ng problema. Para sa solusyon, isang formula para sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong pag-andar ng form

(f (g (x))) "\u003d f" (g (x)) g "(x)

Mga halimbawa ng

Halimbawa 1

Hanapin ang pinagmulan ng isang kumplikadong pag-andar ng form y \u003d (2 x + 1) 2.

Desisyon

Sa pamamagitan ng kundisyon, makikita mo na ang f ay isang pag-andar sa pag-squaring, at g (x) \u003d 2 x + 1 ay itinuturing na isang linear function.

Ilapat natin ang derivative formula para sa isang kumplikadong pag-andar at isulat:

f "(g (x)) \u003d ((g (x)) 2)" \u003d 2 * (g (x)) 2 - 1 \u003d 2 * g (x) \u003d 2 * (2 x + 1); g "(x) \u003d (2 x + 1)" \u003d (2 x) "+ 1" \u003d 2 x "+ 0 \u003d 2 1 x 1 - 1 \u003d 2 ⇒ (f (g (x)) "\u003d f" (g (x)) g "(x) \u003d 2 (2 x + 1) 2 \u003d 8 x + 4

Kinakailangan upang makahanap ng isang hinuha na may pinasimple na orihinal na anyo ng pag-andar. Nakukuha namin:

y \u003d (2 x + 1) 2 \u003d 4 x 2 + 4 x + 1

Samakatuwid mayroon kami nito

y "\u003d (4 x 2 + 4 x + 1)" \u003d (4 x 2) "+ (4 x)" + 1 "\u003d 4 · (x 2)" + 4 · (x) "+ 0 \u003d \u003d 4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 \u003d 8 x + 4

Nakatugma ang mga resulta.

Kapag nalutas ang mga problema sa ganitong uri, mahalagang maunawaan kung saan matatagpuan ang pag-andar ng form f at g (x).

Halimbawa 2

Dapat mong mahanap ang mga derivatives ng mga kumplikadong pag-andar ng form y \u003d kasalanan 2 x at y \u003d kasalanan x 2.

Desisyon

Ang unang notasyon ng pag-andar ay nagsasabi na ang f ay isang squaring function at g (x) ay isang function ng sine. Pagkatapos makuha namin iyon

y "\u003d (kasalanan 2 x)" \u003d 2 kasalanan 2 - 1 x (kasalanan x) "\u003d 2 kasalanan x kos x

Ang ikalawang entry ay nagpapakita na ang f ay isang sine function, at g (x) \u003d x 2 ay nagpapahiwatig kami ng isang function ng lakas. Samakatuwid sumusunod ito na ang produkto ng isang kumplikadong pag-andar ay maaaring isulat bilang

y "\u003d (kasalanan x 2)" \u003d kos (x 2) (x 2) "\u003d kos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Ang pormula para sa derivative y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (Fn (x)))))) ay maaaring isulat bilang y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (..) fn (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (fn (x))))) f 2" (f 3 (.. (fn (x)) )) ·. ... ... · F n "(x)

Halimbawa 3

Hanapin ang pinagmulan ng pagpapaandar y \u003d kasalanan (ln 3 a r c t g (2 x)).

Desisyon

Ipinapakita ng halimbawang ito ang pagiging kumplikado ng mga pag-andar sa pagsulat at paghahanap. Pagkatapos y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ipinapahiwatig, kung saan f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) ay isang function ng sine, isang function ng pagpapalaki sa 3 degree, function na may logarithm at base e, arctangent function at linear.

Mula sa formula para sa kahulugan ng isang kumplikadong pag-andar na mayroon tayo

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Nakukuha namin kung ano ang hahanapin

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) bilang ang sine derivative ayon sa talahanayan ng mga derivatives, pagkatapos f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ) \u003d kos (ln 3 arctan (2 x)).
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) bilang pinagmulan ng pagpapaandar ng lakas, pagkatapos f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) \u003d 3 ln 3 - 1 arctan (2 x) \u003d 3 ln 2 arctan (2 x).
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) bilang pinagmulan ng logarithmic, pagkatapos f 2" (f 3 (f 4 (x))) \u003d 1 a r c t g (2 x).
4. f 3 "(f 4 (x)) bilang pinagmulan ng arctangent, pagkatapos f 3" (f 4 (x)) \u003d 1 1 + (2 x) 2 \u003d 1 1 + 4 x 2.
5. Kapag natagpuan ang derivative f 4 (x) \u003d 2 x, ibawas ang 2 sa labas ng senyas ng derivative gamit ang formula para sa derivative ng isang function ng kapangyarihan na may exponent na katumbas ng 1, pagkatapos f 4 "(x) \u003d (2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 1 x 1 - 1 \u003d 2.

Pinagsasama namin ang mga intermediate na resulta at nakuha iyon

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) \u003d \u003d kos (ln 3 arctan (2 x)) 3 ln 2 arctan (2 x) 1 arctan (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 \u003d \u003d 6 kos (ln 3 arctan (2 x)) ln 2 arctan (2 x) arctan (2 x) (1 + 4 x 2)

Ang pag-iingat ng mga naturang pag-andar ay katulad ng mga pugad ng mga manika. Ang mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan ay hindi palaging maaaring mailalapat nang malinaw na gamit ang isang talahanayan ng mga derivatives. Kadalasan kinakailangan na gumamit ng isang pormula para sa paghahanap ng mga derivatives ng mga kumplikadong pag-andar.

Mayroong ilang mga pagkakaiba-iba sa pagitan ng mga kumplikado at kumplikadong pag-andar. Sa isang malinaw na kakayahan upang makilala ito, ang paghahanap ng mga derivatives ay lalong madali.

Halimbawa 4

Kinakailangan na isaalang-alang ang pagbibigay ng isang katulad na halimbawa. Kung mayroong isang function ng form y \u003d t g 2 x + 3 t g x + 1, kung gayon maaari itong isaalang-alang bilang isang kumplikadong form g (x) \u003d t g x, f (g) \u003d g 2 + 3 g + 1. Malinaw, kinakailangan na mag-aplay ng isang pormula para sa isang kumplikadong derivative:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" \u003d (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 "\u003d \u003d 2 · g 2 - 1 (x) + 3 · g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 · 1 · g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 tgx + 3; g "(x) \u003d (tgx)" \u003d 1 kos 2 x ⇒ y "\u003d (f (g (x)))" \u003d f "(g (x)) g" (x) \u003d (2 tgx + 3 ) 1 kos 2 x \u003d 2 tgx + 3 kos 2 x

Ang isang function ng form y \u003d t g x 2 + 3 t g x + 1 ay hindi itinuturing na mahirap, dahil mayroon itong kabuuan ng t g x 2, 3 t g x at 1. Gayunpaman, ang t g x 2 ay itinuturing na isang komplikadong pag-andar, pagkatapos ay nakakakuha tayo ng isang function ng lakas ng form g (x) \u003d x 2 at f, na kung saan ay isang function ng tangent. Upang gawin ito, dapat mong pag-iba-ibahin ang halaga. Nakukuha namin iyon

y "\u003d (tgx 2 + 3 tgx + 1)" \u003d (tgx 2) "+ (3 tgx)" + 1 "\u003d \u003d (tgx 2)" + 3 · (tgx) "+ 0 \u003d (tgx 2)" + 3 kos 2 x

Nagpapatuloy kami sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong pag-andar (t g x 2) ":

f "(g (x)) \u003d (tg (g (x)))" \u003d 1 kos 2 g (x) \u003d 1 kos 2 (x 2) g "(x) \u003d (x 2)" \u003d 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (tgx 2) "\u003d f" (g (x)) g "(x) \u003d 2 x kos 2 (x 2)

Nakukuha namin iyan y "\u003d (t g x 2 + 3 t g x + 1)" \u003d (t g x 2) "+ 3 kos 2 x \u003d 2 x cos 2 (x 2) + 3 kos 2 x

Maaaring isama ang mga kumplikadong pag-andar sa mga kumplikadong pag-andar, at ang mga kumplikadong pag-andar mismo ay maaaring maging mga kumplikadong pag-andar.

Halimbawa 5

Halimbawa, isaalang-alang ang isang kumplikadong pag-andar ng form y \u003d log 3 x 2 + 3 kos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Ang pagpapaandar na ito ay maaaring kinakatawan bilang y \u003d f (g (x)), kung saan ang halaga ng f ay isang function ng logarithm hanggang base 3, at g (x) ay itinuturing na kabuuan ng dalawang pag-andar ng form h (x) \u003d x 2 + 3 kos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 at k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1). Malinaw, y \u003d f (h (x) + k (x)).

Isaalang-alang ang pagpapaandar h (x). Ito ang ratio l (x) \u003d x 2 + 3 kos 3 (2 x + 1) + 7 hanggang m (x) \u003d e x 2 + 3 3

Mayroon kaming l (x) \u003d x 2 + 3 kos 2 (2 x + 1) + 7 \u003d n (x) + p (x) ang kabuuan ng dalawang pag-andar n (x) \u003d x 2 + 7 at p (x) \u003d 3 kos 3 (2 x + 1), kung saan p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) ay isang kumplikadong pagpapaandar na may isang numerong koepisyent 3, at ang p 1 ay isang cubing function, p 2 bilang isang pag-andar ng kosine, p 3 (x) \u003d 2 x + 1 - isang linear function.

Namin nakuha na m (x) \u003d ex 2 + 3 3 \u003d q (x) + r (x) ay ang kabuuan ng dalawang pag-andar q (x) \u003d ex 2 at r (x) \u003d 3 3, kung saan q (x) \u003d q Ang 1 (q 2 (x)) ay isang kumplikadong pag-andar, ang q 1 ay isang function na may exponential function, q 2 (x) \u003d x 2 ay isang function ng lakas.

Ipinapakita nito na h (x) \u003d l (x) m (x) \u003d n (x) + p (x) q (x) + r (x) \u003d n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Kapag pumasa sa isang expression ng form k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), makikita na ang pag-andar ay kinakatawan bilang isang kumplikadong function s (x) \u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) na may makatwirang integer t (x) \u003d x 2 + 1, kung saan ang s 1 ay ang squaring function at s 2 (x) \u003d ln x ay logarithmic na may base e.

Samakatuwid sumusunod na ang expression ay tumatagal ng form k (x) \u003d s (x) t (x) \u003d s 1 (s 2 (x)) t (x).

Pagkatapos makuha namin iyon

y \u003d log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) \u003d \u003d fn (x) + 3 p 1 (p 2 (p) 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) \u003d r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Sa pamamagitan ng mga istruktura ng pag-andar, naging malinaw kung paano at kung ano ang mga formula ay dapat gamitin upang gawing simple ang isang expression kapag naiiba ito. Upang ma-pamilyar ang iyong mga problema sa gayong mga problema at para sa konsepto ng kanilang solusyon, kinakailangan upang lumiko sa punto ng pagkakaiba-iba ng isang pag-andar, iyon ay, ang paghahanap ng nagmula.

Kung napansin mo ang isang error sa teksto, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

Kung saan sinuri namin ang pinakasimpleng derivatives, at nakilala din ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ilang mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga derivatives. Kaya, kung hindi ka masyadong mahusay sa mga derivatives ng pag-andar, o ilang mga punto ng artikulong ito ay hindi ganap na malinaw, pagkatapos basahin muna ang aralin sa itaas. Mangyaring, mag-tune sa isang malubhang kalooban - ang materyal ay hindi isang madali, ngunit susubukan kong ipakita ito nang simple at madali.

Sa pagsasagawa, ang isang tao ay kailangang harapin ang derivative ng isang kumplikadong pag-andar nang madalas, nais ko ring sabihin, halos palaging, kapag binigyan ka ng mga gawain upang makahanap ng mga derivatives.

Tumitingin kami sa talahanayan sa panuntunan (Hindi. 5) para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong pagpapaandar:

Pag-unawa. Una sa lahat, bigyang pansin natin ang pag-record. Narito mayroon kaming dalawang pag-andar - at, bukod dito, ang pag-andar, figuratively pagsasalita, ay naka-embed sa function. Ang isang pag-andar ng ganitong uri (kung ang isang pag-andar ay nested sa loob ng isa pa) ay tinatawag na isang kumplikadong function.

Tatawagan ko ang function panlabas na pag-andarat ang pagpapaandar - isang function na panloob (o nested).

! Ang mga kahulugan na ito ay hindi teoretikal at hindi dapat lumitaw sa pagtatapos ng mga takdang-aralin. Gumagamit ako ng mga impormal na expression na "external function", "internal" function lamang upang mas madaling maunawaan mo ang materyal.

Upang linawin ang sitwasyon, isaalang-alang ang:

Halimbawa 1

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Sa ilalim ng sine, hindi lamang namin ang titik na "X", ngunit isang expression na integer, kaya hindi ito gagana upang mahanap ang derivative kaagad mula sa talahanayan. Napansin din namin na imposible na ilapat ang unang apat na patakaran dito, tila may pagkakaiba, ngunit ang katotohanan ay hindi ka maaaring "maghiwalay" ng isang sine:

Sa halimbawang ito, mula sa aking mga paliwanag, intuitively malinaw na ang isang function ay isang kumplikadong function, at ang polynomial ay isang panloob na pag-andar (kalakip), at isang panlabas na pagpapaandar.

Unang hakbang, na dapat isagawa kapag hinahanap ang pinagmulan ng isang kumplikadong pag-andar ay malaman kung anong function ang panloob at alin ang panlabas.

Kailan mga simpleng halimbawa tila malinaw na ang isang polynomial ay nested sa ilalim ng sine. Ngunit paano kung ang lahat ay hindi halata? Paano matukoy nang eksakto kung aling pag-andar ang panlabas at alin ang panloob? Upang gawin ito, iminumungkahi ko ang paggamit ng sumusunod na pamamaraan, na maaaring gawin sa pag-iisip o sa isang draft.

Isipin na kailangan nating kalkulahin ang halaga ng isang expression sa isang calculator (sa halip ng isa, maaaring mayroong anumang numero).

Ano ang ating makakalkula? Una kakailanganin mong gawin ang sumusunod na pagkilos :, kaya ang polynomial ay magiging isang panloob na pagpapaandar:

Pangalawa Kailangang matagpuan, kaya ang sine ay isang panlabas na pag-andar:

Pagkatapos nating Napagtanto na may panloob at panlabas na pag-andar, oras na upang ilapat ang patakaran ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function .

Nagsisimula kaming magpasya. Mula sa aralin Paano makahanap ng isang hinuha? natatandaan namin na ang disenyo ng solusyon ng anumang dermatatibong laging nagsisimula tulad nito - isinasama namin ang expression sa mga panaklong at naglalagay ng isang stroke sa kanang tuktok:

Una nahanap namin ang derivative ng panlabas na pag-andar (sine), tingnan ang talahanayan ng mga derivatives ng elementarya na pag-andar at napansin iyon. Ang lahat ng mga pormula ng tabular ay naaangkop din kung ang "x" ay pinalitan ng isang kumplikadong expression, sa kasong ito:

Mangyaring tandaan na ang panloob na pag-andar ay hindi nagbago, hindi natin ito hinawakan.

Kumbaga, medyo halata iyon

Ang resulta ng paglalapat ng pormula sa panghuling disenyo ay ganito ang hitsura:

Ang isang palaging kadahilanan ay karaniwang inilalagay sa simula ng isang expression:

Kung mayroong anumang hindi pagkakaunawaan, isulat ang solusyon at basahin muli ang mga paliwanag.

Halimbawa 2

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Halimbawa 3

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Tulad ng dati, isusulat namin:

Alamin natin kung saan mayroon kaming isang panlabas na pagpapaandar, at kung saan ay panloob. Upang gawin ito, subukan (itak o sa isang draft) upang makalkula ang halaga ng expression sa. Ano ang dapat gawin muna? Una sa lahat, kailangan mong kalkulahin kung ano ang pantay na pantay sa: na nangangahulugang ang polynomial ay ang panloob na pag-andar:

At, pagkatapos lamang ang exponentiation ay ginanap, samakatuwid, ang function ng kapangyarihan ay isang panlabas na pag-andar:

Ayon sa pormula , una kailangan mong hanapin ang derivative ng panlabas na pag-andar, sa kasong ito, ang degree. Naghahanap kami ng kinakailangang pormula sa talahanayan:. Muli naming ulitin: ang anumang tabular formula ay may bisa hindi lamang para sa "x", kundi pati na rin para sa isang kumplikadong expression... Kaya, ang resulta ng paglalapat ng patakaran ng pagkita ng pagkita ng isang kumplikadong pag-andar sumusunod:

Binibigyang-diin ko muli na kapag kinuha namin ang derivative ng panlabas na pag-andar, ang panloob na pag-andar ay hindi nagbabago:

Ngayon ay nananatili itong makahanap ng isang napaka-simpleng turo ng panloob na pag-andar at "magsuklay" ng resulta ng kaunti:

Halimbawa 4

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon (sagot sa dulo ng tutorial).

Upang pagsamahin ang pag-unawa sa derivative ng isang kumplikadong pag-andar, magbibigay ako ng isang halimbawa nang walang mga puna, subukang malaman ito sa iyong sarili, isipin kung saan ang panlabas at kung saan ang panloob na pag-andar, bakit nalutas ang mga gawain sa ganitong paraan?

Halimbawa 5

a) Hanapin ang pinagmulan ng pag-andar

b) Hanapin ang pinagmulan ng pag-andar

Halimbawa 6

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Narito mayroon kaming isang ugat, at upang makilala ang pagkakaiba-iba ng ugat, dapat itong kinakatawan bilang isang degree. Kaya, una nating dinala ang pagpapaandar sa isang form na angkop para sa pagkita ng kaibahan:

Sinusuri ang pagpapaandar, nakarating kami sa konklusyon na ang kabuuan ng tatlong termino ay isang panloob na function, at ang exponentiation ay isang panlabas na pag-andar. Inilapat namin ang patakaran ng pagkita ng pagkita ng isang kumplikadong pag-andar :

Ang degree ay muling kinakatawan bilang isang radikal (ugat), at para sa hinango ng panloob na pag-andar inilalapat namin ang isang simpleng patakaran para sa pagkakaiba-iba ng kabuuan:

Tapos na. Maaari mo ring dalhin ang ekspresyon sa isang karaniwang denominador sa mga bracket at isulat ang lahat sa isang bahagi. Nice, siyempre, ngunit kapag nakakuha ng masalimuot na mahuhusay na derivatives, mas mahusay na huwag gawin ito (madali itong malito, gumawa ng isang hindi kinakailangang pagkakamali, at magiging hindi kasiya-siya upang suriin ng guro).

Halimbawa 7

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon (sagot sa dulo ng tutorial).

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung minsan, sa halip na panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng isang kumplikadong pag-andar, maaaring magamit ng isang tao ang panuntunan para sa pagkakaiba sa quiento , ngunit ang gayong solusyon ay magmukhang hindi pangkaraniwang bilang isang pag-agaw. Narito ang isang tipikal na halimbawa:

Halimbawa 8

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Dito maaari mong gamitin ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng quient , ngunit mas kapaki-pakinabang na hanapin ang derivative sa pamamagitan ng patakaran ng pagkita ng pagkita ng isang kumplikadong function:

Inihahanda namin ang pag-andar para sa pagkita ng kaibahan - inilalagay namin ang minus sa likod ng pag-sign ng derivative, at pinataas ang kosine sa numerator:

Ang kosine ay isang panloob na pag-andar, ang exponentiation ay isang panlabas na pag-andar.
Ginagamit namin ang aming panuntunan :

Hanapin ang derivative ng panloob na pag-andar, i-reset ang pabalik sa kosina:

Tapos na. Sa isinasaalang-alang na halimbawa, mahalaga na hindi malito sa mga palatandaan. Sa pamamagitan ng paraan, subukang malutas ito sa panuntunan , dapat tumugma ang mga sagot.

Halimbawa 9

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon (sagot sa dulo ng tutorial).

Sa ngayon, tiningnan namin ang mga kaso kung saan mayroon lamang kaming isang attachment sa isang kumplikadong function. Sa mga praktikal na gawain, madalas kang makahanap ng mga derivatives, kung saan, tulad ng mga pugad ng mga manika, ang isa sa isa pa, 3 o kahit 4-5 na mga pag-andar ay nested nang sabay-sabay.

Halimbawa 10

Hanapin ang pinagmulan ng isang function

Unawain natin ang mga kalakip ng pagpapaandar na ito. Sinusubukang suriin ang expression gamit ang halaga ng pagsubok. Paano kami makakaasa sa isang calculator?

Una kailangan mong hanapin, na nangangahulugang ang arcsine ay ang pinakamalalim na pugad:

Pagkatapos ang arcsine ng isa ay dapat na parisukat:

At sa wakas, itaas ang 7 sa kapangyarihan:

Iyon ay, sa halimbawang ito mayroon kaming tatlong magkakaibang mga pag-andar at dalawang mga kalakip, habang ang panloob na pag-andar ay ang arcsine, at ang pinakamalawak na pag-andar ay ang exponential function.

Nagsisimula kaming malutas

Ayon sa panuntunan una kailangan mong kunin ang derivative ng panlabas na pag-andar. Tinitingnan namin ang talahanayan ng mga derivatives at nahanap ang pinagmulan ng exponential function: Ang tanging pagkakaiba ay na sa halip na "x" mayroon kaming isang kumplikadong expression, na hindi binabalewala ang bisa ng formula. Kaya, ang resulta ng paglalapat ng patakaran ng pagkita ng pagkita ng isang kumplikadong pag-andar sumusunod.