SAÇILMA ÖZELLİKLERİ

Konumun özelliklerinden - matematiksel beklenti, medyan, mod - rastgele bir değişkenin yayılmasının özelliklerine geçelim x. dağılım D(X)= a 2 , standart sapma a ve varyasyon katsayısı v. Kesikli rastgele değişkenler için varyansın tanımı ve özellikleri önceki bölümde ele alınmıştı. Sürekli rastgele değişkenler için

Standart sapma, varyansın karekökünün negatif olmayan değeridir:

Varyasyon katsayısı, standart sapmanın matematiksel beklentiye oranıdır:

Varyasyon katsayısı - uygulandığında M(X)> O - yayılımı göreceli birimlerde ölçerken standart sapma - mutlak olarak.

Örnek 6. Düzgün dağılmış bir rastgele değişken için x varyansı, standart sapmayı ve varyasyon katsayısını bulun. Dağılım:

Değişken ikame yazmayı mümkün kılar:

nerede İle = f - aU2.

Bu nedenle, standart sapma ve varyasyon katsayısı:

RASTGELE DEĞERLERİN DÖNÜŞÜMLERİ

Her rastgele değişken için xüç miktar daha tanımla - merkezli Y, normalleştirilmiş V ve verilen Ü. Merkezli rastgele değişken Y verilen rastgele değişken arasındaki farktır x ve matematiksel beklentisi M(X),şunlar. Y=X - M(X). Merkezlenmiş bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi Y 0'a eşittir ve varyans, verilen rastgele değişkenin varyansıdır:

dağıtım işlevi Bilgi(x) merkezli rastgele değişken Y dağıtım fonksiyonu ile ilgili F(x) orijinal rastgele değişkenin x oran:

Bu rastgele değişkenlerin yoğunlukları için eşitlik

Normalleştirilmiş rastgele değişken V verilen rastgele değişkenin oranıdır x standart sapması a'ya, yani V = XIo. Normalleştirilmiş bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı Vözellikler aracılığıyla ifade edilir x Böyle:

burada v, orijinal rastgele değişkenin varyasyon katsayısıdır x. dağıtım işlevi için Fv(x) ve yoğunluk fv(x) normalleştirilmiş rastgele değişken V sahibiz:

nerede f(x)- orijinal rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu x; düzeltmek) olasılık yoğunluğudur.

Azaltılmış rastgele değişken sen merkezli ve normalleştirilmiş bir rastgele değişkendir:

Azaltılmış bir rastgele değişken için

Normalleştirilmiş, ortalanmış ve indirgenmiş rasgele değişkenler hem teorik araştırmalarda hem de algoritmalarda, yazılım ürünlerinde, düzenleyici ve teknik ve öğretici ve metodolojik dokümantasyonda sürekli olarak kullanılmaktadır. Özellikle, çünkü eşitlikler M(U) = 0, D(lf) = 1 yöntemlerin, teorem formülasyonlarının ve hesaplama formüllerinin doğrulanmasını basitleştirmeyi mümkün kılar.

Rastgele değişkenlerin dönüşümleri ve daha genel plan kullanılır. Yani, eğer U = aX + B, nerede a ve B o zaman bazı sayılar

Örnek 7. Eğer a= 1/G, B = -M(X)/G, o zaman Y indirgenmiş bir rasgele değişkendir ve formüller (8) formüllere (7) dönüştürülür.

Her rastgele değişkenle x Y = formülüyle verilen Y rastgele değişkenler kümesini bağlamak mümkündür. Ey + Bçeşitli bir > 0 ve B. Bu kümeye denir ölçek kesme ailesi, rastgele bir değişken tarafından üretilen x. dağıtım fonksiyonları Fy(x) dağıtım işlevi tarafından oluşturulan bir ölçek kaydırmalı dağılım ailesi oluşturur F(x). Y= yerine aX + b sık kullanılan gösterim

Numara İle shift parametresi olarak adlandırılır ve sayı D- ölçek parametresi. Formül (9) şunu gösterir: x- belirli bir değerin ölçülmesinin sonucu - K'ye gider - ölçümün başlangıcı bir noktaya taşınırsa aynı değeri ölçmenin sonucu İle, ve ardından yeni ölçü birimini kullanın, D eskisinden kat kat daha büyük.

Ölçek kaydırma ailesi (9) için, dağılım x standart denir. Olasılıksal-istatistiksel karar verme yöntemlerinde ve diğer uygulamalı araştırmalarda standart normal dağılım, standart Weibull-Gnedenko dağılımı, standart gama dağılımı kullanılır.

dağıtım vb. (aşağıya bakın).

Rastgele değişkenlerin diğer dönüşümleri de kullanılır. Örneğin, pozitif bir rastgele değişken için x düşünmek Y = IgX, nerede IgX- bir sayının ondalık logaritması x. eşitlikler zinciri

dağıtım fonksiyonlarını ilişkilendirir x ve Y.

Yukarıda rastgele değişkenlerin dağılım yasalarıyla tanıştık. Her dağıtım yasası, bir rastgele değişkenin olasılıklarının özelliklerini ayrıntılı olarak tanımlar ve bir rastgele değişkenle ilişkili herhangi bir olayın olasılıklarının hesaplanmasını mümkün kılar. Bununla birlikte, birçok uygulama sorununda böyle tam bir açıklamaya gerek yoktur ve genellikle dağılımın temel özelliklerini karakterize eden tek tek sayısal parametreleri belirtmek yeterlidir. Örneğin, rastgele bir değişkenin değerlerinin etrafına dağıldığı ortalama, bu yayılmanın büyüklüğünü karakterize eden bir sayıdır. Bu sayılar, dağılımın en önemli özelliklerini kısa ve öz bir biçimde ifade etmeyi amaçlar ve denir. rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri.

Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri arasında, her şeyden önce, rastgele bir değişkenin sayı eksenindeki konumunu sabitleyen özellikleri, yani. olası değerlerinin etrafında gruplandırıldığı rastgele bir değişkenin bazı ortalama değerleri. Olasılık teorisindeki konumun özelliklerinden en büyük rolü, beklenen değer, bazen basitçe rastgele değişkenin ortalama değeri olarak adlandırılır.

Ayrık SW?'nin değerleri aldığını varsayalım. x ( , x 2 ,..., xp olasılıklarla r J, p 2 ,...y Ptvşunlar. dağıtım serisi tarafından verilen

Bu deneylerde değerin x x gözlemlenen N( kez, değer x 2 - N 2 kez,..., değer x n - N n bir Zamanlar. Aynı zamanda + N2 +... + N n =N.

Gözlem sonuçlarının aritmetik ortalaması

Eğer n büyük, yani n- "o zaman

dağıtım merkezini tanımlar. Bu şekilde elde edilen bir rastgele değişkenin ortalama değeri matematiksel beklenti olarak adlandırılacaktır. Tanımın sözlü bir formülasyonunu verelim.

Tanım 3.8. matematiksel beklenti (MO) ayrık SV%, tüm olası değerlerinin çarpımlarının toplamına ve bu değerlerin olasılıklarına eşit bir sayıdır (notasyon M;):

Şimdi ayrık CV'nin olası değerlerinin sayısının sayılabilir olduğu durumu düşünün, yani. RR'miz var

Matematiksel beklenti formülü aynı kalır, sadece toplamın üst sınırında P oo ile değiştirilir, yani

Bu durumda, zaten ayrılabilecek bir dizi elde ederiz, yani. karşılık gelen CV ^ matematiksel bir beklentiye sahip olmayabilir.

Örnek 3.8. CB?, dağıtım serisi tarafından verilir

Bu SW'nin MO'sunu bulalım.

Çözüm. Tanım olarak. şunlar. dağ, mevcut değil.

Böylece, sayılabilir sayıda SW değeri olması durumunda aşağıdaki tanımı elde ederiz.

Tanım 3.9. matematiksel beklenti veya ortalama değer, ayrık yazılım, sayılabilir sayıda değere sahip olan, bir dizi ürünün tüm olası değerlerinin toplamına ve bu serinin mutlak yakınsaması şartıyla karşılık gelen olasılıklara eşit bir sayıya, yani.

Eğer bu seri koşullu olarak ayrılıyor veya yakınlaşıyorsa, o zaman CV ^'nin matematiksel bir beklentisi olmadığını söylüyoruz.

Yoğunluk ile kesikliden sürekli SW'ye geçelim p(x).

Tanım 3.10. matematiksel beklenti veya ortalama değer, sürekli yazılım eşit bir sayı denir

Bu integralin mutlak yakınsak olması şartıyla.

Bu integral koşullu olarak ayrılıyor veya yakınlaşıyorsa, sürekli CB?'nin matematiksel bir beklentisi olmadığını söylüyorlar.

Açıklama 3.8. J rastgele değişkeninin tüm olası değerleri ise;

sadece aralığa aittir ( a; B) sonra

Matematiksel beklenti, olasılık teorisinde kullanılan tek konum özelliği değildir. Bazen mod ve medyan gibi kullanılır.

Tanım 3.11. Moda CB ^ (tanımlama Mot,) en olası değeri denir, yani. olasılığı olan biri pi veya olasılık yoğunluğu p(x) en yüksek değerine ulaşır.

Tanım 3.12. medyan SV?, (belirtme tanışmak) böyle bir değer denir ki bunun için P(t> Karşılandı) = P(? > tanışmak) = 1/2.

Geometrik olarak, sürekli bir SW için medyan, eksen üzerindeki o noktanın apsisidir. Ey, solundaki ve sağındaki alanlar aynı ve 1/2'ye eşit olan.

Örnek 3.9. GBT,dağıtım numarası var

SW'nin matematiksel beklentisini, modunu ve medyanını bulalım.

Çözüm. Mb,= 0-0.1 + 1 0.3 + 2 0.5 + 3 0.1 = 1.6. L/o? = 2. Ben(?) yok.

Örnek 3.10. Sürekli CB % yoğunluğa sahiptir

Matematiksel beklentiyi, medyanı ve modu bulalım.

Çözüm.

p(x) maksimuma ulaşırsa, noktadan geçen doğrunun sağ ve sol taraflarındaki alanlar eşit olduğundan, medyan da eşittir.

Olasılık teorisinde konumun özelliklerine ek olarak, çeşitli amaçlar için bir takım sayısal özellikler de kullanılmaktadır. Bunların arasında anlar - ilk ve merkezi - özellikle önemlidir.

Tanım 3.13. k. mertebenin ilk anı SW?, matematiksel beklenti olarak adlandırılır k-th bu değerin derecesi: =M(t > k).

Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler için matematiksel beklenti tanımlarından şu sonuç çıkar:

Açıklama 3.9. Açıkçası, 1. mertebenin ilk anı matematiksel beklentidir.

Merkezi momenti tanımlamadan önce, yeni bir merkezli rasgele değişken kavramını tanıtıyoruz.

Tanım 3.14. ortalanmış CV, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasıdır, yani.

Bunu doğrulamak kolaydır

Rastgele bir değişkeni ortalamak, açıkçası, orijini M; noktasına aktarmakla eşdeğerdir. Merkezlenmiş bir rastgele değişkenin anları denir merkezi noktalar.

Tanım 3.15. k. mertebenin merkezi momenti SW % matematiksel beklenti olarak adlandırılır k-th merkezli bir rastgele değişkenin dereceleri:

Matematiksel beklentinin tanımından şu sonuç çıkar:

Açıkçası, herhangi bir rastgele değişken ^ için 1. derecenin merkezi momenti sıfıra eşittir: x ile= M(? 0) = 0.

Uygulama için özellikle önemli olan ikinci merkezi noktadır. 2'den Bunun adı dispersiyondur.

Tanım 3.16. dağılım CB?, karşılık gelen ortalanmış değerin karesinin matematiksel beklentisi olarak adlandırılır (gösterim D?)

Varyansı hesaplamak için doğrudan tanımdan aşağıdaki formüller elde edilebilir:

Formülü (3.4) dönüştürerek, hesaplamak için aşağıdaki formülü elde edebiliriz. D.L.

SW'nin dağılımı bir karakteristiktir saçılma, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafında yayılması.

Varyans, her zaman uygun olmayan rastgele bir değişkenin karesinin boyutuna sahiptir. Bu nedenle, açıklık için, dağılımın bir özelliği olarak, boyutu rastgele bir değişkeninkiyle çakışan bir sayı kullanmak uygundur. Bunu yapmak için dağılımın karekökünü alın. Ortaya çıkan değer denir standart sapma rastgele değişken. Bunu a olarak belirteceğiz: a = l/w.

Negatif olmayan bir CB? için bazen bir karakteristik olarak kullanılır. varyasyon katsayısı, standart sapmanın matematiksel beklentiye oranına eşit:

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini ve standart sapmasını bilerek, olası değerlerinin aralığı hakkında yaklaşık bir fikir edinilebilir. Çoğu durumda, % rastgele değişkenin değerlerinin yalnızca ara sıra M aralığının ötesine geçtiğini varsayabiliriz; ± İçin. Daha sonra gerekçelendireceğimiz bu normal dağılım kuralına denir. üç sigma kuralı.

Matematiksel beklenti ve varyans, rastgele bir değişkenin en sık kullanılan sayısal özellikleridir. Matematiksel beklenti ve varyansın tanımından, bu sayısal özelliklerin bazı basit ve oldukça açık özellikleri takip edilir.

protozoamatematiksel beklenti ve dağılım özellikleri.

1. Rastgele olmayan bir değişkenin matematiksel beklentisi İle c değerine eşit: M(s) = s.

Nitekim, değer olduğundan İle 1 olasılıkla yalnızca bir değer alır, ardından М(с) = İle 1 = sn.

2. Rastgele olmayan c değişkeninin varyansı sıfıra eşittir, yani. D(c) = 0.

Yok canım, Dc \u003d M (s - Ms) 2 \u003d M (s- c) 2 = M( 0) = 0.

3. Beklenti işaretinden rastgele olmayan bir çarpan alınabilir: M(c^) = c M(?,).

Bu özelliğin geçerliliğini ayrık bir RV örneği üzerinde gösterelim.

RV'nin dağıtım serisi tarafından verilmesine izin verin

O zamanlar

Buradan,

Özellik, sürekli bir rastgele değişken için benzer şekilde kanıtlanmıştır.

4. Kare varyans işaretinden rastgele olmayan bir çarpan alınabilir:

Rastgele bir değişkenin anları ne kadar çok bilinirse, dağıtım yasası hakkında o kadar ayrıntılı fikir sahibi oluruz.

Olasılık teorisi ve uygulamalarında, 3. ve 4. derecelerin merkezi momentlerine, asimetri katsayısına veya mx'e dayalı olarak bir rastgele değişkenin iki sayısal özelliği daha kullanılır.

Ayrık rastgele değişkenler için beklenen değer :

Rastgele değişkenlerin olasılığı ile karşılık gelen değerin değerlerinin toplamı.

Moda (Mod) bir rastgele değişken X'in en olası değeri olarak adlandırılır.

Ayrık bir rastgele değişken için. Sürekli bir rastgele değişken için.

tek modlu dağıtım

Çok modlu dağıtım

Genel olarak Mod ve beklenen değer olumsuzluk

eşleştir.

medyan Bir rastgele değişken X'in (Med) olasılığı, P(X) olasılığının olduğu bir değerdir. Med). Herhangi bir Med dağıtımında yalnızca bir tane olabilir.

Med, eğrinin altındaki alanı 2 eşit parçaya böler. Tek modlu ve simetrik dağılım olması durumunda

anlar.

Çoğu zaman, pratikte iki tür an kullanılır: ilk ve merkezi.

Başlangıç anı. kesikli bir rasgele değişken X'in mertebesi, formun bir toplamıdır:

Sürekli bir rasgele değişken X için, ilk derece momenti integraldir. , bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin ilk başlangıç anı olduğu açıktır.

(İşleç) M işaretini kullanarak, -th sırasının ilk anı bir mat olarak temsil edilebilir. bazı rasgele değişkenlerin inci gücünün beklentisi.

ortalanmış karşılık gelen rastgele değişken X'in rastgele değişkeni, rastgele değişken X'in matematiksel beklentisinden sapmasıdır:

Merkezlenmiş bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi 0'dır.

Kesikli rastgele değişkenler için:

Merkezlenmiş bir rastgele değişkenin anları denir Merkezi anlar

Merkezi sipariş anı rasgele değişken X, karşılık gelen merkezli rasgele değişkenin th gücünün matematiksel beklentisi olarak adlandırılır.

Ayrık rastgele değişkenler için:

Sürekli rastgele değişkenler için:

Çeşitli siparişlerin merkezi ve ilk anları arasındaki ilişki

Tüm anlardan, birinci an (matematiksel beklenti) ve ikinci merkezi an, çoğunlukla rastgele bir değişkenin özelliği olarak kullanılır.

İkinci merkezi moment denir dağılım rastgele değişken. Şu atamaya sahiptir:

Tanım olarak

Ayrık bir rastgele değişken için:

Sürekli bir rastgele değişken için:

Bir rasgele değişkenin dağılımı, X rasgele değişkenlerinin matematiksel beklentisi etrafında dağılmasının (saçılımının) bir özelliğidir.

Dağılım saçılma anlamına gelir. Varyans, rastgele bir değişkenin karesinin boyutuna sahiptir.

Dağılımın görsel bir karakterizasyonu için, rastgele değişkenin boyutuyla aynı m y değerini kullanmak daha uygundur. Bu amaçla dispersiyondan bir kök alınır ve - olarak adlandırılan bir değer elde edilir. standart sapma (RMS) rasgele değişken X, atamayı tanıtırken: