Örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi.
Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi

Bu makalede, yüksek matematik testlerinde sıklıkla karşılaşılan iki tipik göreve daha bakacağız. Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olabilmek için en azından orta düzeyde türevler bulabilmelisiniz. Türevleri pratik olarak sıfırdan bulmayı iki temel derste öğrenebilirsiniz ve Karmaşık bir fonksiyonun türevi. Eğer farklılaştırma becerileriniz iyiyse, hadi gidelim.

Örtük olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi

Veya kısacası örtülü bir fonksiyonun türevi. Örtük işlev nedir? Öncelikle tek değişkenli bir fonksiyonun tanımını hatırlayalım:

Tek değişkenli fonksiyon bağımsız değişkenin her değerinin, fonksiyonun yalnızca bir değerine karşılık geldiği bir kuraldır.

Değişken denir bağımsız değişken veya argüman.
Değişken denir bağımlı değişken veya işlev .

Şu ana kadar tanımlanan fonksiyonlara baktık. açık biçim. Bu ne anlama geliyor? Belirli örnekler kullanarak bir bilgilendirme yapalım.

İşlevi düşünün

Solda yalnız bir "oyuncumuzun" olduğunu görüyoruz ve sağda - yalnızca "X'ler". Yani, fonksiyon açıkça bağımsız değişken aracılığıyla ifade edilir.

Başka bir fonksiyona bakalım:

Değişkenlerin karıştığı yer burasıdır. Dahası hiçbir şekilde imkansız“Y”yi yalnızca “X” aracılığıyla ifade edin. Bu yöntemler nelerdir? Terimleri işaret değiştirerek parçadan parçaya aktarmak, parantezlerin dışına taşımak, orantı kuralına göre çarpanları atmak vb. Eşitliği yeniden yazın ve “y”yi açıkça ifade etmeye çalışın: . Denklemi saatlerce çarpıtıp çevirebilirsiniz ama başaramazsınız.

Sizi tanıştırayım: – örnek örtülü işlev.

Matematiksel analiz sırasında örtülü fonksiyonun olduğu kanıtlandı. var(ancak her zaman değil), bir grafiği vardır (tıpkı “normal” bir fonksiyon gibi). Örtülü işlev tamamen aynıdır var birinci türev, ikinci türev vb. Dedikleri gibi, cinsel azınlıkların tüm haklarına saygı duyulmaktadır.

Ve bu derste örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. O kadar da zor değil! Tüm türev alma kuralları ve temel fonksiyonların türev tablosu yürürlükte kalır. Aradaki fark, şu anda inceleyeceğimiz tuhaf bir andadır.

Evet, size iyi haberi vereceğim - aşağıda tartışılan görevler, üç parçanın önünde taş olmadan oldukça katı ve net bir algoritmaya göre gerçekleştirilir.

örnek 1

1) İlk aşamada her iki parçaya da vuruşlar ekliyoruz:

2) Türevin doğrusallık kurallarını kullanıyoruz (dersin ilk iki kuralı) Türevi nasıl bulunur? Çözüm örnekleri):

3) Doğrudan farklılaşma.
Nasıl ayırt edileceği tamamen açıktır. Vuruşların altında “oyunların” olduğu yerde ne yapmalı?

- utanç verici derecede, bir fonksiyonun türevi türevine eşittir: .

Nasıl ayırt edilir
İşte elimizde karmaşık fonksiyon. Neden? Görünüşe göre sinüsün altında sadece bir "Y" harfi var. Ama gerçek şu ki, yalnızca bir "y" harfi var - KENDİSİ BİR FONKSİYONDUR(Dersin başındaki tanıma bakınız). Dolayısıyla sinüs harici bir fonksiyondur ve dahili bir fonksiyondur. Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuralı kullanıyoruz :

Ürünü olağan kurala göre farklılaştırıyoruz :

Lütfen şunu unutmayın – aynı zamanda karmaşık bir fonksiyondur, herhangi bir “çın ve ıslıklı oyun” karmaşık bir işlevdir:

Çözümün kendisi şöyle görünmelidir:

Parantez varsa bunları genişletin:

4) Sol tarafta içinde asal sayı olan “Y” içeren terimleri topluyoruz. Diğer her şeyi sağ tarafa taşıyın:

5) Sol tarafta türevi parantezlerden çıkarıyoruz:

6) Ve orantı kuralına göre bu parantezleri sağ taraftaki paydaya bırakıyoruz:

Türevi bulunmuştur. Hazır.

Herhangi bir fonksiyonun örtülü olarak yeniden yazılabileceğini belirtmek ilginçtir. Örneğin, fonksiyon şu şekilde yeniden yazılabilir: . Ve az önce tartışılan algoritmayı kullanarak bunu ayırt edin. Aslında, "örtük işlev" ve "örtük işlev" ifadeleri bir anlamsal nüansta farklılık gösterir. “Örtülü olarak belirtilen işlev” ifadesi daha genel ve doğrudur, – bu işlev örtülü olarak belirtilmiştir, ancak burada “oyunu” ifade edebilir ve işlevi açıkça sunabilirsiniz. "Örtülü işlev" kelimeleri, "oyun" ifade edilemediğinde çoğunlukla "klasik" örtülü işlev anlamına gelir.

Şunu da belirtmek gerekir ki, bir "örtük denklem" aynı anda iki veya daha fazla fonksiyonu örtülü olarak belirtebilir, örneğin bir daire denklemi yarım daireleri tanımlayan fonksiyonları örtülü olarak tanımlar. terimler ve nüanslar arasında özel bir ayrım yapmayacağım, sadece genel gelişime yönelik bir bilgiydi.

İkinci çözüm

Dikkat!İkinci yönteme ancak güvenle nasıl bulacağınızı biliyorsanız alışabilirsiniz. kısmi türevler. Calculus'a yeni başlayanlar ve acemiler, lütfen okumayın ve bu noktayı atlamayın aksi takdirde kafanız tamamen karışacaktır.

İkinci yöntemi kullanarak örtülü fonksiyonun türevini bulalım.

Tüm terimleri sol tarafa taşıyoruz:

Ve iki değişkenli bir fonksiyonu düşünün:

Daha sonra türevimiz aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Kısmi türevleri bulalım:

Böylece:

İkinci çözüm, bir kontrol yapmanızı sağlar. Ancak ödevin son versiyonunu yazmaları tavsiye edilmez, çünkü kısmi türevler daha sonra öğrenilir ve "Tek değişkenli bir fonksiyonun türevi" konusunu inceleyen bir öğrencinin henüz kısmi türevleri bilmemesi gerekir.

Birkaç örneğe daha bakalım.

Örnek 2

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Her iki parçaya da kontur ekleyin:

Doğrusallık kurallarını kullanıyoruz:

Türevlerin bulunması:

Tüm parantezlerin açılması:

Tüm terimleri sol tarafa, geri kalanını sağ tarafa taşıyoruz:

Son cevap:

Örnek 3

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Dersin sonunda tam çözüm ve örnek tasarım.

Farklılaşma sonrasında kesirlerin ortaya çıkması alışılmadık bir durum değildir. Bu gibi durumlarda kesirlerden kurtulmanız gerekir. İki örneğe daha bakalım.

Örnek 4

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Her iki parçayı da konturların altına alıyoruz ve doğrusallık kuralını kullanıyoruz:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanarak türev alma ve bölümlerin farklılaşma kuralı :

Parantezleri genişletiyoruz:

Artık kesirden kurtulmamız gerekiyor. Bu daha sonra yapılabilir, ancak hemen yapmak daha mantıklıdır. Kesrin paydası içerir. Çarpmak Açık . Ayrıntılı olarak şöyle görünecek:

Bazen farklılaşmadan sonra 2-3 fraksiyon ortaya çıkar. Örneğin başka bir kesirimiz olsaydı, işlemin tekrarlanması gerekirdi - çarpma her bölümün her dönemi Açık

Sol tarafta onu parantezlerin dışına çıkardık:

Son cevap:

Örnek 5

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Tek şey, kesirden kurtulmadan önce kesirin üç katlı yapısından kurtulmanız gerekecek. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi

Vurgu yapmayalım, bu paragrafta her şey de oldukça basit. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun genel formülünü yazabilirsiniz, ancak konuyu açıklığa kavuşturmak için hemen belirli bir örneği yazacağım. Parametrik formda fonksiyon iki denklemle verilir: . Çoğu zaman denklemler küme parantezleri altında değil, sırayla yazılır: , .

Değişkene parametre denir ve “eksi sonsuz”dan “artı sonsuza” kadar değerler alabilir. Örneğin değeri düşünün ve onu her iki denklemde değiştirin: . Veya insani terimlerle: "eğer x dörde eşitse, o zaman y de bire eşittir." Koordinat düzleminde bir noktayı işaretleyebilirsiniz ve bu nokta parametrenin değerine karşılık gelecektir. Benzer şekilde “te” parametresinin herhangi bir değeri için bir nokta bulabilirsiniz. "Normal" bir fonksiyona gelince, Amerikan Kızılderilileri için parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tüm haklarına da saygı duyulur: bir grafik oluşturabilir, türevleri bulabilirsiniz vb. Bu arada, parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun grafiğini çizmeniz gerekiyorsa programımı kullanabilirsiniz.

En basit durumlarda fonksiyonu açıkça temsil etmek mümkündür. Birinci denklemdeki parametreyi ifade edelim: – ve bunu ikinci denklemde yerine koyun: . Sonuç sıradan bir kübik fonksiyondur.

Daha “ağır” vakalarda bu hile işe yaramaz. Ancak bunun önemi yok çünkü parametrik bir fonksiyonun türevini bulmanın bir formülü var:

“Te değişkenine göre oyunun” türevini buluyoruz:

Harf için doğal olarak tüm türev kuralları ve türev tablosu geçerlidir, dolayısıyla, Türev bulma sürecinde herhangi bir yenilik yok. Tablodaki tüm "X"leri zihinsel olarak "Te" harfiyle değiştirin.

“x”in te değişkenine göre türevini buluyoruz:

Şimdi geriye kalan tek şey bulunan türevleri formülümüzde yerine koymaktır:

Hazır. Fonksiyonun kendisi gibi türev de parametreye bağlıdır.

Gösterime gelince, bunu formülde yazmak yerine, alt simge olmadan basitçe yazabilirsiniz, çünkü bu "X'e göre" "düzenli" bir türevdir. Ancak literatürde her zaman bir seçenek vardır, bu yüzden standarttan sapmayacağım.

Örnek 6

Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Böylece:

Parametrik bir fonksiyonun türevini bulmanın özel bir özelliği şudur: her adımda sonucu mümkün olduğunca basitleştirmek faydalıdır. Dolayısıyla ele alınan örnekte, bulduğumda kökün altındaki parantezleri açtım (gerçi bunu yapmamış olabilirim). Formüle ikame edildiğinde birçok şeyin iyi şekilde azaltılma ihtimali yüksektir. Tabii ki, beceriksiz cevaplara sahip örnekler var.

Örnek 7

Parametrik olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Makalede Türevlerle ilgili en basit tipik problemler Bir fonksiyonun ikinci türevini bulmamız gereken örneklere baktık. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun ikinci türevini de bulabilirsiniz ve bu, aşağıdaki formül kullanılarak bulunur: . İkinci türevi bulmak için önce birinci türevi bulmanız gerektiği oldukça açıktır.

Örnek 8

Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini bulun

İlk önce birinci türevi bulalım.
Formülü kullanıyoruz

Bu durumda:

Çoğu zaman, pratik problemleri çözerken (örneğin, yüksek jeodezi veya analitik fotogrametride), birkaç değişkenin karmaşık fonksiyonları, yani argümanlar ortaya çıkar. x, y, z tek işlev f(x,y,z) ) kendileri yeni değişkenlerin fonksiyonlarıdır U, V, W ).

Bu, örneğin sabit bir koordinat sisteminden hareket ederken meydana gelir Oksiz mobil sisteme Ö 0 UVW ve geri. Aynı zamanda, "sabit" - "eski" ve "hareketli" - "yeni" değişkenlere göre tüm kısmi türevleri bilmek önemlidir, çünkü bu kısmi türevler genellikle bir nesnenin bu koordinat sistemlerindeki konumunu karakterize eder. ve özellikle hava fotoğraflarının gerçek bir nesneyle yazışmasını etkiler. Bu gibi durumlarda aşağıdaki formüller geçerlidir:

Yani karmaşık bir fonksiyon verilmiştir T üç "yeni" değişken U, V, W üç "eski" değişken aracılığıyla x, y, z, Daha sonra:

Yorum. Değişken sayısında farklılıklar olabilir. Örneğin: eğer

Özellikle eğer z = f(xy), y = y(x) , o zaman sözde "toplam türev" formülünü elde ederiz:

Aşağıdaki durumlarda "toplam türev" için aynı formül:

şu şekli alacaktır:

(1.27) - (1.32) formüllerinin başka varyasyonları da mümkündür.

Not: "Toplam türev" formülü, fizik dersinin "Hidrodinamik" bölümünde, akışkan hareketinin temel denklem sistemini türetirken kullanılır.

Örnek 1.10. Verilen:

(1.31)'e göre:

§7 Çeşitli değişkenlerin örtülü olarak verilen fonksiyonunun kısmi türevleri

Bilindiği gibi bir değişkenin örtülü olarak tanımlanmış fonksiyonu şu şekilde tanımlanır: bağımsız değişkenin fonksiyonu X göre çözülmeyen bir denklemle veriliyorsa örtülü olarak adlandırılır. sen :

Örnek 1.11.

Denklem

örtülü olarak iki işlevi belirtir:

Ve denklem

herhangi bir işlev belirtmez.

Teorem 1.2 (örtük bir fonksiyonun varlığı).

Fonksiyona izin ver z =f(x,y) ve kısmi türevleri F" X Ve F" sen bazı mahallelerde tanımlanmış ve sürekli sen M0 puan M 0 (X 0 sen 0 ) . Ayrıca, f(x 0 ey 0 )=0 Ve f"(x 0 ey 0 )≠0 , daha sonra denklem (1.33) mahalleyi tanımlar sen M0 örtülü işlev y=y(x) , sürekli ve belirli bir aralıkta türevlenebilir D bir noktada merkezlenmiş X 0 , Ve y(x 0 )=y 0 .

Kanıt yok.

Teorem 1.2'den şu sonuç çıkıyor: bu aralıkta D :

yani içinde bir kimlik var

(1.31)'e göre “toplam” türev bulunur

Yani (1.35), bir değişkenin örtülü olarak verilen bir fonksiyonunun türevini bulmak için bir formül verir. X .

İki veya daha fazla değişkenin örtülü bir fonksiyonu benzer şekilde tanımlanır.

Örneğin, eğer bazı bölgelerde V uzay Oksiz aşağıdaki denklem geçerlidir:

daha sonra fonksiyondaki bazı koşullar altında F örtülü olarak bir işlevi tanımlar

Ayrıca (1.35)'e benzetilerek kısmi türevleri şu şekilde bulunur:

Örnek 1.12. Denklemin olduğunu varsayarak

örtülü olarak bir işlevi tanımlar

bulmak z" X ,z" sen .

dolayısıyla (1.37)'ye göre cevabı elde ederiz.

§8 İkinci ve daha yüksek derecelerin kısmi türevleri

Tanım 1.9 Bir fonksiyonun ikinci dereceden kısmi türevleri z=z(x,y) aşağıdaki gibi tanımlanır:

Dört kişiydiler. Ayrıca belirli koşullar altında işlevlere ilişkin z(x,y) eşitlik geçerlidir:

Yorum. İkinci dereceden kısmi türevler ayrıca şu şekilde de gösterilebilir:

Tanım 1.10 Üçüncü dereceden kısmi türevler sekizdir (2 3).

Örtülü olarak belirtilen, yani değişkenleri birbirine bağlayan belirli denklemlerle belirtilen fonksiyonların türevlerini bulmayı öğreneceğiz. X Ve sen. Örtülü olarak belirtilen işlevlere örnekler:

Örtülü olarak belirtilen fonksiyonların türevleri veya örtülü fonksiyonların türevleri oldukça basit bir şekilde bulunur. Şimdi ilgili kurala ve örneğe bakalım ve ardından genel olarak bunun neden gerekli olduğunu öğrenelim.

Örtük olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulmak için denklemin her iki tarafının x'e göre türevini almanız gerekir. Yalnızca X'in mevcut olduğu terimler, fonksiyonun X'ten olağan türevine dönüşecektir. Ve oyun X'in bir fonksiyonu olduğundan, oyunun terimleri karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı kullanılarak türevlendirilmelidir. Oldukça basit bir şekilde ifade etmek gerekirse, terimin x ile elde edilen türevi şu sonucu vermelidir: fonksiyonun y'den türevi ile çarpı y'den türev. Örneğin bir terimin türevi olarak, bir terimin türevi olarak yazılacaktır. Daha sonra, tüm bunlardan bu "oyun vuruşunu" ifade etmeniz gerekiyor ve örtülü olarak belirtilen fonksiyonun istenen türevi elde edilecektir. Buna bir örnekle bakalım.

Örnek 1.

Çözüm. i'nin x'in bir fonksiyonu olduğunu varsayarak denklemin her iki tarafının da x'e göre türevini alıyoruz:

Buradan görevde gerekli olan türevi elde ederiz:

Şimdi örtülü olarak belirtilen fonksiyonların belirsiz özellikleri ve bunların farklılaşması için neden özel kurallara ihtiyaç duyulduğu hakkında bir şeyler konuşalım. Bazı durumlarda oyun yerine belirli bir denklemin içine x cinsinden ifadeyi koymak (yukarıdaki örneklere bakın), bu denklemin bir kimliğe dönüşmesine yol açacağından emin olabilirsiniz. Bu yüzden. Yukarıdaki denklem dolaylı olarak aşağıdaki işlevleri tanımlar:

Kareli oyunun ifadesini x'e kadar orijinal denklemde değiştirdikten sonra özdeşliği elde ederiz:

Yerine koyduğumuz ifadeler oyunun denklemi çözülerek elde edildi.

Karşılık gelen açık fonksiyonun türevini alırsak

o zaman örtülü olarak belirtilen bir fonksiyondan örnek 1'deki gibi cevabı alırız:

Ancak örtülü olarak belirtilen her işlev formda temsil edilemez. sen = F(X) . Yani, örneğin örtülü olarak belirtilen işlevler

temel fonksiyonlarla ifade edilmez, yani bu denklemler oyuna göre çözülemez. Bu nedenle, örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini almak için daha önce incelediğimiz ve diğer örneklerde tutarlı bir şekilde uygulayacağımız bir kural vardır.

Örnek 2.Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun:

Örtülü olarak belirtilen fonksiyonun asal değerini ve - çıktıda - türevini ifade ederiz:

Örnek 3.Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm. Denklemin her iki tarafını x'e göre farklılaştırıyoruz:

Örnek 4.Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm. Denklemin her iki tarafını x'e göre farklılaştırıyoruz:

Türevi ifade edip elde ediyoruz:

Örnek 5.Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm. Denklemin sağ tarafındaki terimleri sol tarafa taşıyıp sağda sıfır bırakıyoruz. Denklemin her iki tarafının da x'e göre türevini alıyoruz.

Bilindiği gibi, bir değişkenin örtülü olarak verilen bir fonksiyonu şu şekilde tanımlanır: bağımsız değişken x'in y fonksiyonu, y'ye göre çözülmeyen bir denklemle veriliyorsa örtülü olarak adlandırılır:

Örnek 1.11.

Denklem

örtülü olarak iki işlevi belirtir:

Ve denklem

herhangi bir işlev belirtmez.

Teorem 1.2 (örtük bir fonksiyonun varlığı).

Z =f(x,y) fonksiyonu ve onun kısmi türevleri f"x ve f"y M0(x0y0) noktasının bazı UM0 komşuluklarında tanımlı ve sürekli olsun. Ek olarak, f(x0,y0)=0 ve f"(x0,y0)≠0, bu durumda denklem (1.33), UM0'ın komşuluğunda, belirli bir D aralığında sürekli ve türevlenebilir bir örtülü y= y(x) fonksiyonunu tanımlar. merkezi x0 noktasında ve y(x0)=y0.

Kanıt yok.

Teorem 1.2'den bu D aralığında şu sonucu çıkar:

yani içinde bir kimlik var

(1.31)'e göre “toplam” türev bulunur

Yani (1.35), bir x değişkeninin örtülü olarak verilen bir fonksiyonunun türevini bulmak için bir formül verir.

İki veya daha fazla değişkenin örtülü bir fonksiyonu benzer şekilde tanımlanır.

Örneğin, eğer Oxyz uzayının bir V bölgesinde denklem geçerliyse:

daha sonra F fonksiyonundaki belirli koşullar altında, fonksiyonu örtülü olarak tanımlar

Ayrıca (1.35)'e benzetilerek kısmi türevleri şu şekilde bulunur:

Örnek 1.12. Denklemin olduğunu varsayarak

örtülü olarak bir işlevi tanımlar

z"x, z"y'yi bulun.

dolayısıyla (1.37)'ye göre cevabı elde ederiz.

11.Kısmi türevlerin geometride kullanımı.

12.İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumları.

İki değişkenli bir fonksiyonun maksimum, minimum ve ekstremum kavramları, tek bağımsız değişkenli bir fonksiyonun karşılık gelen kavramlarına benzer (bkz. bölüm 25.4).

z = ƒ(x;y) fonksiyonunun bir D tanım kümesinde, N(x0;y0) О D noktasında tanımlı olmasına izin verin.

Eğer (x0;y0) noktasının her (x;y) noktası için farklı olacak şekilde bir d-komşusu varsa, bir (x0;y0) noktasına z=ƒ(x;y) fonksiyonunun maksimum noktası denir. (xo;yo), bu komşuluktan itibaren ƒ(x;y) eşitsizliği geçerlidir<ƒ(хо;уо).

A Fonksiyonun minimum noktası da benzer şekilde belirlenir: (x0; y0) dışındaki tüm (x; y) noktaları için, (xo; yo) noktasının d-komşuluğundan itibaren aşağıdaki eşitsizlik sağlanır: ƒ(x) ; y)>ƒ(x0; y0).

Şekil 210'da: z=ƒ(x;y) fonksiyonunun maksimum noktası N1, minimum noktası ise N2'dir.

Fonksiyonun maksimum (minimum) noktasındaki değerine fonksiyonun maksimumu (minimum) denir. Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerine ekstremum değerleri denir.

Tanım gereği, fonksiyonun uç noktasının, fonksiyonun tanım alanı içinde yer aldığını unutmayın; maksimum ve minimum yerel (yerel) bir karaktere sahiptir: fonksiyonun (x0; y0) noktasındaki değeri, (x0; y0) noktasına yeterince yakın noktalardaki değerleriyle karşılaştırılır. D bölgesinde, bir fonksiyonun birden fazla ekstreması olabilir veya hiç olmayabilir.

46.2. Bir ekstremum için gerekli ve yeterli koşullar

Bir fonksiyonun ekstremumunun varoluş koşullarını ele alalım.

Teorem 46.1 (bir ekstremum için gerekli koşullar). N(x0;y0) noktasında diferansiyellenebilir z=ƒ(x;y) fonksiyonunun bir ekstremumu varsa, bu noktadaki kısmi türevleri sıfıra eşittir: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0.

Değişkenlerden birini düzeltelim. Örneğin y=y0'ı koyalım. Daha sonra, x = x0'da bir ekstremuma sahip olan, tek değişkenli bir ƒ(x;y0)=φ(x) fonksiyonunu elde ederiz. Bu nedenle, tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için gerekli koşula göre (bkz. bölüm 25.4), φ"(x0) = 0, yani ƒ"x(x0;y0)=0.

Benzer şekilde ƒ"y(x0;y0) = 0 olduğu da gösterilebilir.

Geometrik olarak, ƒ"x(x0;y0)=0 ve ƒ"y(x0;y0)=0 eşitlikleri, z=ƒ(x;y) fonksiyonunun uç noktasında, yüzeyi temsil eden yüzeye teğet düzlemin olduğu anlamına gelir. Teğet düzleminin denklemi z=z0 olduğundan (bkz. formül (45.2)) fonksiyonu ƒ(x;y) ), Oksi düzlemine paraleldir.

Z Not. Bir fonksiyon, kısmi türevlerinden en az birinin mevcut olmadığı noktalarda bir ekstrema sahip olabilir. Örneğin, fonksiyon O(0;0) noktasında bir maksimuma sahiptir (bkz. Şekil 211), ancak bu noktada kısmi türevleri yoktur.

z ≈ ƒ(x; y) fonksiyonunun birinci dereceden kısmi türevlerinin sıfıra eşit olduğu noktaya, yani f"x=0, f"y=0, z fonksiyonunun durağan noktası olarak adlandırılır.

Durağan noktalar ve en az bir kısmi türevinin bulunmadığı noktalara kritik noktalar denir.

Kritik noktalarda fonksiyonun bir ekstremumu olabilir veya olmayabilir. Kısmi türevlerin sıfıra eşitliği bir ekstremun varlığı için gerekli ancak yeterli olmayan bir koşuldur. Örneğin z = xy fonksiyonunu düşünün. Onun için O(0; 0) noktası kritiktir (burada z"x=y ve z"y - x yok olur). Bununla birlikte, z=xy fonksiyonunun bir ekstremumu yoktur, çünkü O(0; 0) noktasının yeterince küçük bir komşuluğunda z>0 (birinci ve üçüncü çeyreğin noktaları) ve z olan noktalar vardır.< 0 (точки II и IV четвертей).

Bu nedenle, bir fonksiyonun belirli bir alandaki ekstremumlarını bulmak için fonksiyonun her kritik noktasını ek araştırmalara tabi tutmak gerekir.

Teorem 46.2 (bir ekstremum için yeterli koşul). Durağan bir (xo; y) noktasındaki ƒ(x;y) fonksiyonunun ve bazı komşularının ikinci mertebeye kadar sürekli kısmi türevleri olsun. (x0;y0) noktasında A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) değerlerini hesaplayalım. . Haydi belirtelim

1. eğer Δ > 0 ise, (x0;y0) noktasındaki ƒ(x;y) fonksiyonunun bir ekstremumu vardır: A ise maksimum< 0; минимум, если А > 0;

2. eğer Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Δ = 0 durumunda (x0;y0) noktasında bir ekstremum olabilir veya olmayabilir. Daha fazla araştırmaya ihtiyaç var.

GÖREVLER

Örnek. Artan ve azalan fonksiyonun aralıklarını bulun. Çözüm.İlk adım bir fonksiyonun tanımının tanım kümesini bulma. Örneğimizde paydadaki ifadenin sıfıra gitmemesi gerekir, dolayısıyla . Türev fonksiyonuna geçelim: Yeterli bir kritere dayanarak bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için tanım alanındaki eşitsizlikleri çözeriz. Aralık yönteminin bir genellemesini kullanalım. Payın tek gerçek kökü x = 2 ve payda sıfıra gider x = 0. Bu noktalar tanım alanını, fonksiyonun türevinin işaretini koruduğu aralıklara böler. Bu noktaları sayı doğrusunda işaretleyelim. Türevin pozitif veya negatif olduğu aralıkları geleneksel olarak artılar ve eksilerle belirtiriz. Aşağıdaki oklar şematik olarak fonksiyonun karşılık gelen aralıktaki artışını veya azalmasını göstermektedir. Böylece, Ve . Noktada x = 2 fonksiyon tanımlı ve sürekli olduğundan hem artan hem de azalan aralıklara eklenmelidir. Noktada x = 0 fonksiyon tanımlı olmadığından bu noktayı gerekli aralıklara dahil etmiyoruz. Elde edilen sonuçları karşılaştırmak için fonksiyonun bir grafiğini sunuyoruz. Cevap: fonksiyon artar , aralıkta azalır (0; 2] .

Örnekler.

Bir eğrinin dışbükeylik ve içbükeylik aralıklarını ayarlama sen = 2 – X 2 .

Bulacağız sen"" ve ikinci türevin nerede pozitif, nerede negatif olduğunu belirleyin. sen" = –2X, sen"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

sen = e X. Çünkü sen"" = e herhangi biri için x > 0 X ise eğri her yerde içbükeydir.

sen = X 3 . Çünkü sen"" = 6X, O sen"" < 0 при X < 0 и sen"" > 0 X> 0. Bu nedenle ne zaman X < 0 кривая выпукла, а при X> 0 içbükeydir.

4. z=x^2-y^2+5x+4y fonksiyonu, l=3i-4j vektörü ve A(3,2) noktası verildiğinde. dz/dl'yi bulun (anladığım kadarıyla fonksiyonun vektör yönünde türevi), gradz(A), |gradz(A)|. Kısmi türevleri bulalım: z(x'e göre)=2x+5 z(y'ye göre)=-2y+4 A(3,2) noktasındaki türevlerin değerlerini bulalım: z(ile x'e göre)(3,2)=2*3+ 5=11 z(y'ye göre)(3,2)=-2*2+4=0 Buradan, gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 z fonksiyonunun l vektörü yönünde türevi: dz/dl=z(x'te)*cosa+z(y'de) *cosb, a, b vektörünün koordinat eksenleriyle açıları. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.

Z= f(x; y) fonksiyonu, Z'ye göre çözülmemiş F(x,y,z)=0 denklemiyle veriliyorsa örtülü fonksiyon olarak adlandırılır. Örtülü olarak verilen Z fonksiyonunun kısmi türevlerini bulalım. Bunu yapmak için denklemde Z yerine f(x;y) fonksiyonunu yerine koyarsak F(x,y, f(x,y))=0 özdeşliğini elde ederiz. Aynı şekilde sıfıra eşit olan bir fonksiyonun x ve y'ye göre kısmi türevleri de sıfıra eşittir.

F(x,y, f(x,y)) =
=0 (sabit kabul edilir)

F(x,y, f(x,y)) =
=0 (xsabit olarak kabul edilir)

Nerede
Ve

Örnek: Denklemin verdiği Z fonksiyonunun kısmi türevlerini bulun
.

Burada F(x,y,z)=
;
;
;
. Yukarıda verilen formüllere göre elimizde:

Yönlü türev

M(x,y) noktasının belirli bir komşuluğunda iki değişkenli Z= f(x; y) fonksiyonu verilsin. Birim vektör tarafından tanımlanan bazı yönleri düşünün
, Nerede
(resmi görmek).

M noktasından bu yönde geçen düz bir çizgi üzerinde M 1 noktasını alıyoruz (
) böylece uzunluk
segmentMM 1 eşittir
. f(M) fonksiyonunun artışı ilişki tarafından belirlenir;
ilişkilerle bağlanır. Oran sınırı en
fonksiyonun türevi olarak adlandırılacaktır
noktada
karşı ve atanmak .

Z fonksiyonu bu noktada türevlenebilirse
, daha sonra ilişkiler dikkate alınarak bu noktadaki artış
aşağıdaki biçimde yazılabilir.

her iki parçayı da bölerek

ve sınıra geçmek
Z= f(x; y) fonksiyonunun türevi için şu yönde bir formül elde ederiz:

Gradyan

Üç değişkenli bir fonksiyonu düşünün
bir noktada farklılaşabilir
.

Bu fonksiyonun gradyanı
M noktasında koordinatları sırasıyla kısmi türevlere eşit olan bir vektördür
Bu noktada. Bir degradeyi belirtmek için sembolünü kullanın
.
=
.

.Degrade, fonksiyonun belirli bir noktada en hızlı büyüme yönünü gösterir.

Birim vektörden beri koordinatları vardır (
), daha sonra üç değişkenli bir fonksiyon durumu için yönlü türev şu şekilde yazılır: vektörlerin skaler çarpımının formülü vardır Ve
. Son formülü şu şekilde yeniden yazalım:

, Nerede - vektör arasındaki açı Ve
. Çünkü
, bu durumda fonksiyonun yöndeki türevinin maksimum değeri aldığı sonucu çıkar. =0, yani vektörlerin yönü ne zaman Ve
eşleştir. burada
Yani aslında bir fonksiyonun gradyanı, bu fonksiyonun bir noktadaki maksimum artış hızının yönünü ve büyüklüğünü karakterize eder.

İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu

İki değişkenli bir fonksiyonun maksimum, minimum, ekstremum kavramları, tek değişkenli bir fonksiyonun karşılık gelen kavramlarına benzer. Z= f(x; y) fonksiyonunun bir D etki alanında vb. tanımlı olmasına izin verin. M
bu bölgeye aittir. M noktası
Eğer noktanın böyle bir δ-komşusu varsa, Z= f(x; y) fonksiyonunun maksimum noktası denir
, bu mahalledeki her nokta için eşitsizlik
. Min noktası da benzer şekilde belirlenir, yalnızca eşitsizlik işareti değişir
. Fonksiyonun max(min) noktasındaki değerine maksimum (minimum) denir. Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerine ekstremum denir.

Bir ekstremum için gerekli ve yeterli koşullar

Teorem:(Bir ekstremum için gerekli koşullar). M noktasında ise
türevlenebilir Z= f(x; y) fonksiyonunun bir ekstremumu varsa, bu noktadaki kısmi türevleri sıfıra eşittir:
,
.

Kanıt: X veya y değişkenlerinden birini sabitledikten sonra, Z = f(x; y)'yi, yukarıdaki koşulların karşılanması gereken ekstremum için tek değişkenli bir fonksiyona dönüştürürüz. Geometrik eşitlikler
Ve
Z= f(x; y) fonksiyonunun uç noktasında, f(x,y)=Z fonksiyonunu temsil eden yüzeye teğet düzlemin OXY düzlemine paralel olduğu anlamına gelir, çünkü teğet düzlemin denklemi Z = Z 0'dır. Z = f (x; y) fonksiyonunun birinci dereceden kısmi türevlerinin sıfıra eşit olduğu nokta, yani.
,
, fonksiyonun durağan noktası olarak adlandırılır. Bir fonksiyon, kısmi türevlerinden en az birinin mevcut olmadığı noktalarda bir ekstrema sahip olabilir. ÖrneğinZ=|-
| O(0,0) noktasında maksimuma sahiptir, ancak bu noktada türevi yoktur.

Durağan noktalara ve en az bir kısmi türevinin bulunmadığı noktalara denir. kritik noktalar. Kritik noktalarda fonksiyonun bir ekstremumu olabilir veya olmayabilir. Kısmi türevlerin sıfıra eşitliği bir ekstremun varlığı için gerekli ancak yeterli olmayan bir koşuldur. Örneğin Z=xy olduğunda O(0,0) noktası kritiktir. Ancak Z=xy fonksiyonunda bir ekstremum yoktur. (Çünkü I. ve III. çeyreklerde Z>0, II. ve IV. – Z. çeyreklerde<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Teorem: (Ekstrema için yeterli koşul). Sabit bir noktada olsun
ve belirli bir komşulukta f(x; y) fonksiyonunun 2. dereceye kadar sürekli kısmi türevleri vardır. O noktada hesaplayalım
değerler
,
Ve
. Haydi belirtelim