Küme denklik ilişkisi aşağıdaki özelliklere sahiptir. Denklik bağıntısı. Eşdeğerlik ve sıra ilişkileri
Dipnot: Eşdeğerlik ilişkisi, kısmi sıra ilişkisi ve izomorfik kısmi kümeler gibi birçok yeni kavram tanımlanmıştır. Bu konuyla ilgili çeşitli teoremler ayrıntılı açıklamalar, grafikler ve örneklerle kanıtlanmıştır. Kısmi siparişlere ilişkin çok sayıda örnek verilmiştir. Birinin diğerlerinden sıralı setler oluşturmasına izin veren çeşitli yapılar anlatılmıştır. Ders, bağımsız çözüm için birçok görevle karakterize edilir
Eşdeğerlik ve sıra ilişkileri
şunu hatırlatalım ikili ilişki bir kümeye alt küme denir; yerine 
sık sık yaz.
Bir kümedeki ikili ilişkiye denir denklik ilişkisi aşağıdaki özellikler karşılanıyorsa:
Aşağıdaki açık fakat sıklıkla kullanılan ifade doğrudur:
Teorem 11. (a) Bir küme, ayrık alt kümelerin birleşimine bölünüyorsa, o zaman "aynı alt kümede yer alma" ilişkisi bir denklik ilişkisidir.
(b) Herhangi bir şey denklik ilişkisi açıklanan şekilde bazı bölümlerden elde edilir.
Kanıt. İlk ifade oldukça açıktır; Eşdeğerlik tanımının tüm noktalarının nerede kullanıldığının görülebilmesi için ikincinin ispatını vereceğiz. Bir denklik bağıntısı olsun. Her öğe için dikkate alın denklik sınıfı- doğru olanların tümü kümesi.
İki farklı küme için bu tür kümelerin kesişmediğini ya da çakışmadığını kanıtlayalım. Kesişmelerine, yani ortak bir unsura sahip olmalarına izin verin. Sonra ve , nereden (simetri) ve (geçişlilik) ve ayrıca (simetri). Bu nedenle, bunlardan herhangi biri için (geçişlilik) ve bunun tersi de geçerlidir.
Geriye dönüşlülük nedeniyle her öğenin tanımladığı sınıfa ait olduğu, yani tüm kümenin aslında ayrık sınıflara bölündüğü unutulmamalıdır.
78. Simetri ve geçişlilik gereksinimlerinin tek bir şeyle değiştirilebileceğini gösterin: (dönüşlülük gereksinimini korurken).
79. Kümede kaç farklı denklik ilişkisi vardır? 
?
80. Küme üzerinde sırasıyla ve ve ile gösterilen, denklik sınıflarına sahip iki denklik bağıntısı verilmiştir. Kesişmeleri bir denklik ilişkisi olacak mı? Kaç dersi olabilir? Hakkında ne söyleyebilirsin ilişkilerin birleştirilmesi?
81. (Ramsey teoremi) Sonsuz bir kümenin tüm temel alt kümelerinden oluşan küme, sınıflara (, - doğal sayılara) bölünmüştür. Var olduğunu kanıtla sonsuz küme, tüm temel alt kümeleri aynı sınıfa aittir.
(Bu çok açık: eğer sonsuz küme Sonlu sayıda sınıfa bölünüyorsa sınıflardan biri sonsuzdur. Ne zaman ve ifadesi şu şekilde formüle edilebilir: Sonsuz sayıda insan arasından kişi ya sonsuz sayıda ikili tanıdık ya da sonsuz sayıda ikili yabancı seçebilir. Bu ifadenin son hali (herhangi altı kişi arasında ya üç ikili tanıdık ya da üç yabancı yabancı vardır), okul çocukları için iyi bilinen bir sorundur.)
Denklik sınıfları kümesine denir faktör - çok denklik bağıntısına göre kümeler. (İlişki, üzerindeki ek yapılarla tutarlıysa, faktör grupları, faktör halkaları vb. elde ederiz.)
Denklik bağıntılarıyla birçok kez karşılaşacağız ama şimdilik asıl konumuz sıra ilişkileri.
Bir kümedeki ikili ilişkiye denir kısmi sıra ilişkisi aşağıdaki özellikler karşılanıyorsa:
(Geleneğe uygun olarak, bir sıra ilişkisinin işareti olarak (harf yerine) bir simge kullanırız.) Üzerinde kısmi sıra ilişkisi verilen bir kümeye denir. kısmen sipariş edilmiş.
İki unsurun olduğunu söylüyorlar kısmen sipariş edilmiş setleri karşılaştırılabilir, eğer veya . Kısmi sıra tanımının, kümenin herhangi iki elemanının karşılaştırılabilir olmasını gerektirmediğine dikkat edin. Bu gereksinimi ekleyerek tanımı elde ederiz. doğrusal sıra (doğrusal olarak sıralanmış küme).
Kısmi siparişlere bazı örnekler:
- Olağan sıra ilişkisine sahip sayısal kümeler (burada sıra doğrusal olacaktır).
- Tanıtabileceğimiz tüm gerçek sayı çiftleri kümesine kısmi sipariş, eğer ve . Bu sıralama artık doğrusal olmayacak: çiftler karşılaştırılamaz.
- Gerçek argümanlara ve değerlere sahip bir dizi fonksiyona şunları girebilirsiniz: kısmi sipariş eğer dikkate alınırsa
herkesin önünde. Bu sıralama doğrusal olmayacaktır. - Pozitif tamsayılar kümesinde, eğer bölüyorsa bunu dikkate alarak sırayı belirleyebiliriz. Bu sıralama da doğrusal olmayacaktır.
- "Bir sayının herhangi bir asal böleni aynı zamanda bir sayının da böleni olur" ilişkisi, pozitif tamsayılar kümesi üzerinde bir sıra ilişkisi olmayacaktır (dönüşlü ve geçişlidir, ancak antisimetrik değildir).
- Keyfi bir küme olsun. O halde, kümenin tüm alt kümelerinin kümesinde dahil etme ilişkisi kısmi bir sıra olacaktır.
- Rus alfabesinin harfleri üzerinde gelenek belirli bir sırayı belirler (). Bu sıralama doğrusaldır; herhangi iki harf için hangisinin önce geldiğini anlayabilirsiniz (gerekirse sözlüğe bakarak).
- Rus alfabesindeki kelimelerle tanımlanır sözlükbilimsel sıralayın (sözlükte olduğu gibi). Resmi olarak şu şekilde tanımlanabilir: Bir kelime, kelimenin başlangıcı ise, o zaman (örneğin, ). Kelimelerin hiçbiri diğerinin başlangıcı değilse, kelimelerin farklı olduğu sıraya göre ilk harfe bakın: o zaman alfabetik olarak bu harfin küçük olduğu kelime daha küçük olacaktır. Bu sıralama da doğrusaldır (aksi halde sözlük derleyicileri ne yaparlardı?).
- Eşitlik ilişkisi () aynı zamanda kısmi sıra ilişkisi, iki farklı unsurun karşılaştırılamayacağı bir durum.
- Şimdi günlük bir örnek verelim. Bir sürü karton kutu olsun. Kutunun tamamen kutunun içine sığıp sığmadığını (veya ve aynı kutu olup olmadığını) göz önünde bulundurarak, buna bir düzen getirelim. Kutu setine bağlı olarak bu sıra doğrusal olabilir veya olmayabilir.
İLİŞKİ
İlişkiler aynı kümenin elemanları arasındaki yazışmalardır, yani temel kümeleri çakışan yazışmalardır:
x A, y A davranış Г = ((x,y)| P(x,y))), P(x,y) bazı ifadeler (yüklem).
Eğer (x,y) Г, sonra şunu söylüyorlar X bir ilişki içindeler Gİle en.
Örneğin, kalanın aynı olması (sayılar için), bir doğruya aynı uzaklıkta olmak (puan için), aile ilişkileri veya komşuluk ilişkileri (birçok kişi için).
Daha kesin tanım:
İkili bir ilişki iki kümedir:
1) destek kümesi A,
2) destekleyici kümenin karesinin bir alt kümesi olan Г=((x,y)| x A, y A) çiftlerinden oluşan bir küme.
Bir n-ary ilişkisi veya n-ary (üçlü, dörtlü, ...) ilişkisi bir destekleyici kümedir A ve demet boyutu kümeleri N kümesinin bir alt kümesi olan Bir.
Üçlü ilişkiye bir örnek: “üç oyuncunun” parçası olmak.
Bir ilişki basitçe bir dizi kümesi olarak anlaşılırsa (destekleyici bir küme olmadan), o zaman küme teorisinin tüm yasaları kullanılabilir. Evrensel küme, destekleyici kümenin karesi, yani tüm olası demetlerin kümesi (her öğe diğer tüm öğelerle ilişkili olduğunda) olacaktır.
Bir ilişki aynı zamanda nesne değişkenlerinin iki basamaklı yüklemi olarak da tanımlanabilir. x, y ise "true" değerini alır. (x, y) G ve ait değilse yanlış.
Tanımlar: (x, y) Г, у = Г(x), у = Гx ya da sadece xGuörneğin eşitlik ilişkisi (x = y), sıra ilişkisi (X< у) .
Eğer (x, y) G, O xGu"doğru" değerini alır, aksi halde "yanlış" değerini alır.
İlişkiler ayrı bir küme üzerinde belirtilmişse matris şeklinde yazılabilirler.
a ben , j = 
Bir ilişki özel bir yazışma durumudur; bunun için ters ilişkileri, bir ilişkiler bileşimini tanıtabilirsiniz:
Г -1 =((y,x)| (x,y) Г), Г ◦ Δ = ((x,z) | y ((x,y) Г &(y,z Δ))).
Bir “birim eleman” Δ 0 = ((x,x)) – “kendisiyle ilişki içinde olmak” kavramını tanıtıyorlar. Matris gösteriminde bu ana köşegen olacaktır).
İkili ilişkilerin özellikleri
1 Yansıma – "kendisiyle ilişki içinde olmak"
xGx - doğru(örneğin ilişkiler x=x, x≤x, x≥x).
2 Yansıma önleyici - "kendisiyle ilişki içinde olmamak"
xGx - yalan(örneğin ilişkiler x≠x, x
Bir küme “dönüşlü” değilse, bu onun “yansımalı” olduğu anlamına gelmez.
3 Simetri “Hangi elementin birinci, hangisinin ikinci olduğunun bağımsızlığı”
хГу – gerçek → уГх – gerçek(örneğin ilişkiler x=y, x≠y).
4 Antisimetri "aşmamak"
(xGy – doğru) & (yGx – doğru) → (x=y) (örneğin, ilişkiler x≤y, x≥y).
5 Asimetri (simetri olmayan) "aşmak"
xGy – doğru → yGx – yanlış (örneğin, ilişkiler X<у, х>en).
6. Geçişlilik "bulaşma"
(xГу – doğru) & (yГz – doğru) → (хГz – doğru)(örneğin ilişkiler x=y, x<у, х>y, x≤y, x≥y, davranış x≠y geçişliliğe sahip değildir).
ÖZEL İKİLİ İLİŞKİLER
“Eşdeğerlik ilişkisini”, “katı olmayan sıra ilişkisini”, “katı sıra ilişkisini” ve “hakimiyet ilişkisini” ele alalım.
Denklik ilişkisi
Bir denklik ilişkisi yansımalı bir ilişkidir(x~x), simetrik ((x~y)=(y~x)), geçişli ((x~y)&(y~z)→(x~z)) davranış.
Örnekler: eşitlik, özdeşlik, kümelerin denkliği, mantıksal ifadelerin denkliği, geometrik şekillerin benzerliği, doğruların paralelliği, ancak doğruların dikliği bir denklik ilişkisi değildir.
Bir elemente eşdeğer olan elementlerin alt kümesine denir denklik sınıfı veya ilgili sınıf.
Bir sınıftan herhangi bir öğeye sınıf temsilcisi denir.
Özellikler.
Sınıfın tüm elemanları birbirine eşdeğerdir.
Farklı sınıflara ait elementler eşdeğer değildir.
Bir öğe yalnızca kendi sınıfına ait olabilir.
Kümenin tamamı bir sınıflar birliği olarak temsil edilebilir.
Böylece, bir denklik sınıfları kümesi veya tam bir sınıflar sistemi, destekleyici kümenin bir bölümünü oluşturur. Hatırlatma: Bir kümeyi bölümlemek, onu ayrık alt kümeler olarak temsil etmektir.
Bölüm dizini– denklik sınıflarının sayısı.
Faktör seti denklik ilişkisi açısından bu, tüm sınıfların veya bir sınıfın temsilcilerinin kümesidir.
Bir faktör kümesinin önem derecesi bölüm indeksine eşittir.
Sipariş ilişkileri
Sıra ilişkisi iki tür ikili ilişkiyi ifade eder.
Davranış gevşek sipariş dönüşlü denir (x≥x), antisimetrik ((x≤y)&(y≤x)→ (x=y)), geçişli ((x≥y)&(y≥z)→(x≥z)) davranış.
Bir setin gevşek bir düzeni olduğunu söylüyorlar. ≤ , ≥ kavramlarının daha geniş bir anlamı vardır: daha kötü değil - daha iyi değil, daha erken değil - daha sonra değil vb. Küme teorisinde, katı olmayan düzenin bir örneği, katı olmayan dahil etmedir (başka bir kümenin alt kümesidir0.
Davranış sıkı düzen yansıma karşıtı denir ((X
((x>y)&(y
Bir setin katı bir düzeni olduğunu söylüyorlar. Kavramlarda< , >daha geniş bir anlama sahiptirler: daha kötü daha iyidir, daha erken daha sonradır vb. Küme teorisinde katı düzenin bir örneği, katı dahil etmedir (başka bir kümenin ona eşit olmadan alt kümesi olmak).
Sıralı setler
Set denir doğrusal olarak sıralanmış, eğer herhangi bir öğe karşılaştırılabiliyorsa (yani: büyüktür, küçüktür veya eşittir).
Gerçel veya tamsayı sayılar kümesi: sıralı bir kümenin klasik örnekleri.
Bir küme üzerinde bir sıra ilişkisi kurmak mümkünse ancak tüm eleman çiftleri için bu mümkün değilse, böyle bir kümeye denir. kısmen sipariş edilmiş.
Bu bir vektörler kümesi, karmaşık sayılar kümesi, küme teorisindeki kümelerdir. Bazı durumlarda "daha fazlası daha azdır" veya "bir üst küme ve bir alt küme olsun" diyebiliriz, ancak her durumda değil.
İlgili tanımlar
Tüm denklik sınıflarının kümesi ile gösterilir.
Denklik ilişkilerine örnekler
Daha karmaşık ama kesinlikle hayati bir örnek:
Bir doktor size bir ilaç yazdığında, aslında reçetede eşdeğer ilaçların sınıfını belirtir; tablet veya ampul paketinin tamamen spesifik bir kopyasını belirtemez. Onlar. Her türlü ilaç eşdeğerlik ilişkilerine göre sınıflara ayrılır. Eğer bu gerçek olmasaydı modern tıp mümkün olmazdı.
Böylece her türlü salata ve kokteyl tarifi, GOST'ler ve sınıflandırıcılar hayati önem taşıyan eşdeğerlik ilişkilerini de belirler. Denklik ilişkileri tüm hayatımızı doldurur ve matematikçiler için soyut bir eğlence değildir.
Eşlemelerin çarpanlara ayrılması
Eşdeğerlik ilişkisine karşılık gelen eşdeğerlik sınıfları kümesi sembolü ile gösterilir ve denir faktör seti nispeten . Ayrıca, örtücü haritalama
isminde doğal ekran(veya kanonik projeksiyon) faktör setine.
Kümeler olsun, bir eşleme olsun, sonra kuralla tanımlanan ikili ilişki olsun
üzerinde bir denklik ilişkisidir. Bu durumda eşleme, kural tarafından tanımlanan bir eşlemeye neden olur.
ya da aynı şey nedir?
.Bu durumda ortaya çıkıyor çarpanlara ayırmaörtücü haritalamaya ve enjekte edici haritalamaya eşlemeler.
Haritalama çarpanlara ayırma, beşeri bilimlerde ve sayısal değerlerin kullanılmasının mümkün olmadığı teknoloji alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Haritalama çarpanlara ayırma, formüllerin kullanılamadığı durumlarda formüller olmadan işlem yapmanızı sağlar. Herkesin anlayabileceği ve karmaşık matematiksel sembolizmin anlaşılmasını gerektirmeyen bir örnek verelim.
Okul programı çarpanlara ayırmanın tipik bir örneğidir. Bu durumda, tüm okul öğrencilerinin kümesi, tüm akademik konuların kümesi, derslerin zamanını belirterek haftanın günlerine göre dağıtılır. Denklik sınıfları sınıflardır (öğrenci grupları). Ekran – öğrenci günlüklerinde görüntülenen ders programı. Ekran - okul lobisinde yayınlanan ders programı. Burada ayrıca bir ekran var - sınıf listeleri. Bu örnek, çarpanlara ayırmanın pratik faydalarını çok açık bir şekilde göstermektedir: Ders programını, okulun tüm öğrencilerini bireysel olarak yansıtan bir tablo olarak hayal etmek imkansızdır. Çarpanlara ayırma, öğrencilerin ihtiyaç duyduğu bilgilerin formüllerin uygulanamadığı durumlarda kullanıma uygun kompakt bir biçimde görüntülenmesini mümkün kıldı.
Ancak çarpanlara ayırmanın faydaları bununla sınırlı değildir. Faktoring, faaliyetteki katılımcılar arasında bir işbölümüne izin verdi: baş öğretmen bir program hazırlıyor ve öğrenciler bunu günlüklerine yazıyor. Benzer şekilde reçetelerin çarpanlara ayrılması, tanıyı koyan ve reçeteyi yazan hekim ile reçete edilen ilaçların denkliğini sağlayan eczacı arasında işbölümüne olanak tanıdı. Faktorizasyonun özü, parçaların standartlaştırılması yoluyla maksimum işbölümünü uygulayan taşıma bandıdır.
Ancak çarpanlara ayırmanın faydaları bununla sınırlı değildir. Faktorizasyon, modern teknolojinin modülerliğini sağlamayı mümkün kıldı ve bu da ona benzeri görülmemiş bir işlev esnekliği kazandırdı. Eski SIM kartınızı saklayabilir ve onunla birlikte tamamen yeni bir telefon satın alabilir veya eski bilgisayarınıza yeni video belleği takabilirsiniz. Bütün bunlar çarpanlara ayırmaya dayanan esneklik, modülerliktir.
Edebiyat
- A. I. Kostrikin, Cebire Giriş. M.: Nauka, 1977, 47-51.
- A. I. Maltsev, Cebirsel sistemler, M.: Nauka, 1970, 23-30.
- V. V. Ivanov, Matematiksel analiz. NSU, 2009.
Ayrıca bakınız
- Hoşgörü ilişkisi, eşdeğerliğin zayıflamış bir biçimidir.
- Eşdeğerlik mantıksal bir işlemdir.
Wikimedia Vakfı. 2010.
- Hastane pnömonisi
- Mitel
Diğer sözlüklerde “Eşdeğerlik ilişkisinin” ne olduğuna bakın:
denklik ilişkisi- - Telekomünikasyon konuları, temel kavramlar EN denklik ilişkisi... Teknik Çevirmen Kılavuzu
Eşitlik türü ilişkisi- farklı nesnelerde aynı işaretlerin (özelliklerin) mevcut olduğu gerçeğini ifade eden bir denklik ilişkisi, bir mantık ve matematik kavramı. Bu tür ortak özelliklere göre, bu farklı nesneler birbirinden ayırt edilemez (aynı, eşit,... ...
Hoşgörü tutumu- Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Hoşgörü. Bir kümedeki tolerans ilişkisi (veya basitçe tolerans), yansıma ve simetri özelliklerini karşılayan ikili bir ilişkidir, ancak zorunlu olarak... ... Vikipedi
Oran (matematik)- Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Tutum. İlişki, çeşitli nesnelerin özelliklerini ve ilişkilerini resmi olarak tanımlayan matematiksel bir yapıdır. İlişkiler genellikle bağlanan nesnelerin sayısına göre sınıflandırılır... Vikipedi
DAVRANIŞ- mantıkta, bir özelliğin aksine, ayrı bir nesneyi değil, bir çifti, üçü vb. karakterize eden bir şey. öğeler. Geleneksel mantık O'yu dikkate almadı; modern mantıkta O., iki veya daha fazla değişkenin önermesel bir fonksiyonudur. İkili... Felsefi Ansiklopedi
Tercih ilişkisi- Tüketici teorisinde bu, tüketicinin farklı ürün gruplarını (tüketici setleri) karşılaştırma (arzuya göre sıralama) yeteneğinin resmi bir tanımıdır. Bir tercih ilişkisini tanımlamak için arzu edilirliği ölçmek gerekli değildir... ... Vikipedi
Tutum (felsefi)- Tutum, belirli bir sistemin unsurlarının düzenlenmesinin doğasını ve bunların birbirine bağımlılığını ifade eden felsefi bir kategori; bir kişinin bir şeye karşı duygusal-istemli tutumu, yani konumunun bir ifadesi; çeşitli nesnelerin zihinsel olarak karşılaştırılması... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi
davranış- İLİŞKİ, sıralı n ok bireylerden oluşan bir kümedir (burada n, 1'dir), yani. ikililer, üçlüler vb. n sayısına “yerellik” veya “arity”, O. denir ve buna göre n yerel (n arno) O'dan söz ederler. Yani örneğin çift O. denir... ... Epistemoloji ve Bilim Felsefesi Ansiklopedisi
Davranış- Tutum, belirli bir sistemin unsurlarının düzeninin doğasını ve bunların birbirine bağımlılığını ifade eden felsefi bir kategoridir; bir kişinin bir şeye karşı duygusal-istemli tutumu, yani konumunun bir ifadesi; farklı şeylerin zihinsel olarak karşılaştırılması... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi
Denklik sınıfı- Bir X kümesi üzerindeki bir eşdeğerlik ilişkisi (), aşağıdaki koşulların karşılandığı ikili bir ilişkidir: Yansıma: X'teki herhangi bir a için, Simetri: eğer, o zaman, Geçişlilik: eğer... Vikipedi
Kitabın
- Karşılaştırmalı belirsizlik koşullarında finansal kararlar vermek: Monograf, Bayuk O.A.. Monografta, karşılaştırılamaz nesneler arasında seçim yaparken yeni bir mantıksal karar verme stratejisi geliştirilir ve teorik olarak doğrulanır, özel bir tercih ve tercih ilişkisi kurulur...
I. Sınıflara bölünme. Denklik ilişkisi
Tanım 2.1. Belirli bir M kümesinin, belirli bir durumda gerekli olan aynı biçimsel özellikler kümesine sahip olan nesnelerine değiştirilebilir nesneler diyelim.
X nesnesiyle değiştirilebilen tüm nesnelerin kümesini M x ile gösterelim. Açıktır ki x M x ve tüm M x'lerin birleşimi (M'den gelen tüm olası x'ler için), tam M kümesiyle çakışır:
Öyleymiş gibi yapalım. Bu, aynı anda ve ve'ye ait olan bir z öğesinin olduğu anlamına gelir. Yani x, z ile değiştirilebilir ve z, y ile değiştirilebilir. Bu nedenle x, y ile ve dolayısıyla herhangi bir elemanla değiştirilebilir. Böylece. Ters anahtarlama da aynı şekilde gösterilmiştir. Dolayısıyla birleşim (2.1)'de yer alan kümeler ya kesişmiyor ya da tamamen çakışıyor.
Tanım 2.2. Bir M kümesinin boş olmayan alt kümelerinden (M 1, M 2,….) oluşan bir sisteme bu kümenin bir bölümü diyeceğiz:
Kümelerin kendilerine bölüm sınıfları denir.
Tanım 2.3. Bir M kümesi üzerindeki bir c ilişkisine, M kümesinin (x, y)'nin ancak ve ancak x ve y belirli bir bölümün bazı genel M i sınıfına aittir.
(M 1 , M 2 ,….) M kümesinin bir bölümü olsun. Bu bölüme dayanarak, c'den M'ye olan ilişkiyi tanımlarız: (x, y), eğer x ve y genel bir M i sınıfına aitse bu bölümün. Açıkçası, ile ilişki bir eşdeğerliktir. Verilen bölüme karşılık gelen denklik ilişkisini çağıralım.
Tanım 2.4. Eğer her M i alt kümesinde, içinde bulunan x i öğesini seçersek, o zaman bu öğeye, aynı M i kümesinde yer alan her y öğesi için standart adı verilecektir. Tanım gereği c* “standart olma” (xi, y) ilişkisinin sağlandığını varsayalım.
Belirli bir bölüme karşılık gelen c eşdeğerliğinin şu şekilde tanımlanabileceğini görmek kolaydır: (z, y) eğer z ve y ortak bir standarda (xi, z) ve (xi, y) sahipse.
Örnek 2.1: Negatif olmayan tamsayılar kümesini M olarak düşünün ve bunun çift sayılar kümesi M 0 ve tek sayılar kümesi M 1 olarak bölünmesini alın. Tamsayılar kümesindeki karşılık gelen denklik ilişkisi şu şekilde gösterilir:
ve şunu okur: n, m modulo 2 ile karşılaştırılabilir. Standart olarak çift sayılar için 0'ı, tek sayılar için 1'i seçmek doğaldır. Benzer şekilde, aynı M kümesini k alt kümesine bölerek M 0, M 1,... M k-1, burada M j, k'ye bölündüğünde j kalanını veren tüm sayılardan oluşur, denklik ilişkisine ulaşırız:
Bu, n ve m'nin k'ye bölündüğünde aynı kalana sahip olması durumunda geçerlidir.
Her M j'de karşılık gelen j kalanını standart olarak seçmek doğaldır.
II. Faktör seti
Bir denklik bağıntısı olsun. Daha sonra teoreme göre, M kümesinin birbirine eşdeğer eleman sınıflarına (eşdeğerlik sınıfları adı verilen) bir bölümü (M 1, M 2,....) vardır.
Tanım 2.5. Bir ilişkiye göre eşdeğerlik sınıfları kümesi M/ ile gösterilir ve M kümesinin bir ilişkiye göre bölüm kümesi olarak okunur.
μ: M > S, M kümesinin bir S kümesi üzerine örtülü eşlemesi olsun.
Herhangi bir μ: M > S - örtme eşlemesi için, M kümesi üzerinde M/ ve S'nin bire bir yazışmaya yerleştirilebileceği bir denklik ilişkisi vardır.
III. Eşdeğerlik özellikleri
Tanım 2.6. Bir M kümesi üzerindeki c ilişkisi yansımalı, simetrik ve geçişli ise eşdeğerlik ilişkisi olarak adlandırılır.
Teorem 2.1: Bir M kümesi üzerindeki bir c bağıntısı dönüşlü, simetrik ve geçişli ise, M kümesinin bir bölümü (M 1 , M 2 ,….) vardır, öyle ki (x, y) ancak ve ancak x ve y belirli bir bölümün bazı genel M i sınıfına aittir.
Tersi: Eğer bir bölüm veriliyorsa (M 1, M 2,....) ve ikili ilişki c "bölümün genel sınıfına ait" olarak veriliyorsa, c yansımalı, simetrik ve geçişlidir.
Kanıt:
c ile M arasında dönüşlü, simetrik ve geçişli bir ilişki düşünün. Herhangi biri için (x, z) c olan tüm z'lerden oluştuğunu varsayalım.
Lemma 2.1: Herhangi bir x ve y için ya ya da
Lema ve c ilişkisinin dönüşlülüğünden, formdaki kümelerin M kümesinin bir bölümünü oluşturduğu sonucu çıkar (Bu bölüme doğal olarak orijinal ilişkiye karşılık gelen bölüm adı verilebilir). Şimdi (x, y) c olsun. Bu şu anlama gelir: y. Ama aynı zamanda (x, x)c'ye göre x. Bu nedenle her iki unsur da dahil edilmiştir. Yani eğer (x, y)c ise x ve y genel bölümleme sınıfına dahil edilir. Tersine, u ve v olsun. (u, v) c olduğunu gösterelim. Aslında elimizde (x, u) c ve (x, v) c var. Dolayısıyla simetriye göre (u, x) c. Geçişliliğe göre (u, x) c ve (x, v) c'den (u, v) c gelir. Teoremin ilk kısmı kanıtlandı.
M kümesinin bir bölümü (M 1, M 2,….) verilsin. bölümün tüm sınıflarının birleşimi M ile çakışıyorsa, herhangi bir x bir sınıfa dahil edilir. Buradan (x, x)c çıkar, yani. s - refleks olarak. Eğer x ve y bir sınıftaysa, o zaman y ve x aynı sınıftadır. Bu, (x, y) c'nin (y, x) c'yi ima ettiği anlamına gelir, yani. ilişki simetriktir. Şimdi (x, y)c ve (y,z)c'yi tutalım. Bu, x ve y'nin bir sınıfta olduğu ve y ve z'nin de bir sınıfta olduğu anlamına gelir. Sınıfların ortak bir y öğesi vardır ve bu nedenle çakışırlar. Bu, x ve z'nin sınıfa dahil olduğu anlamına gelir; (x, z) geçerlidir ve ilişki geçişlidir. Teorem kanıtlandı.
IV. Denklik işlemleri.
Burada eşdeğerliklerle ilgili bazı küme-teorik işlemlerini tanımlayacağız ve bunların önemli özelliklerini kanıt olmadan sunacağız.
Bir ilişkinin bir çift () olduğunu hatırlayın; burada M, ilişkiye giren öğelerin kümesidir ve ilişkinin karşılandığı çiftlerin kümesidir.
Tanım 2.7. (c 1, M) ve (c 2, M) ilişkilerinin kesişimi, karşılık gelen alt kümelerin kesişimiyle tanımlanan ilişkidir. (x, y) 1 ile 2 ancak ve ancak (x, y) 1 ile ve (x, y) 2 ile aynı anda ise.
Teorem 2.2: 1 ile 2 ile 1 ile 2 ile eşdeğerliklerin kesişiminin kendisi bir eşdeğerlik ilişkisidir.
Tanım 2.8. (1, M ile) ve (2, M ile) ilişkilerinin birliği, karşılık gelen alt kümelerin birleşimi ile tanımlanan bir ilişkidir. (x, y) 1 ile 2 ancak ve ancak (x, y) 1 ile veya (x, y) 2 ile.
Teorem 2.3: 1 ile 2 arasındaki eşdeğerliklerin birliğinin kendi içinde bir eşdeğerlik ilişkisi olabilmesi için gerekli ve yeterlidir:
1'den 2'ye = 1'den 2'ye
Tanım 2.9. (c 1, M 1) ve (c 2, M 2) ilişkilerinin doğrudan toplamına oran denir. Doğrudan toplam (c 1, M 1) (c 2, M 2) ile gösterilir.
Dolayısıyla, eğer (c 1, M 1) (c 2, M 2) = (), o zaman M =.
Teorem 2.4: Eğer ve ilişkiler eşdeğer ise, o zaman (c 1, M 1) (c 2, M 2) = () ilişkilerinin doğrudan toplamı da bir eşdeğerliktir.
V. İlişki türleri
Birkaç önemli ilişki türünü daha tanıtalım. Üçüncü bölümde örnekler verilecektir.
Tanım 2.10. Bir M kümesi üzerindeki c ilişkisi dönüşlü ve simetrik ise tolerans olarak adlandırılır.
Tanım 2.11. Bir M kümesi üzerindeki bir c ilişkisi, yansımalı ve geçişli ise katı sıralı bir ilişki olarak adlandırılır.
Tanım 2.12. M'den herhangi bir x ve y öğesi çifti için (x, y) veya (y, x) doğruysa, bir c sıkı sıra ilişkisine mükemmel bir katı sıra denir.
Tanım 2.13. Bir M kümesi üzerindeki bir c ilişkisi, eğer şu şekilde temsil edilebiliyorsa, katı olmayan dereceli bir ilişki olarak adlandırılır:
M üzerinde kesin bir sıralamanın olduğu ve E'nin köşegen bir ilişki olduğu yer.
Ders 22. Bir kümede denklik ve sıra bağıntıları
1. Denklik bağıntısı. Eşdeğerlik ilişkisi ile bir kümenin sınıflara bölünmesi arasındaki bağlantı.
2. Sıra ilişkisi. Kesin ve katı olmayan sıra ilişkileri, doğrusal sıra ilişkileri. Setlerin sipariş edilmesi.
3. Ana sonuçlar
Kesirler kümesine bakalım X= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) eşitlik ilişkisi. Bu ilişki:
Refleks olarak her kesir kendine eşit olduğundan;
Simetrik olarak, çünkü kesir M/N bir kesire eşit P/Q, bundan çıkan sonuç şudur: kesir P/Q bir kesire eşit M/N;
Geçişli, çünkü kesir M/N bir kesire eşit P/Q ve kesir P/Q bir kesire eşit R/S, bundan çıkan sonuç şudur: kesir M/N bir kesire eşit R/S.
Kesirlerin eşitliği ilişkisinin olduğu söyleniyor denklik ilişkisi.
Tanım. Bir X kümesi üzerindeki bir R ilişkisi, aynı anda yansıma, simetri ve geçişlilik özelliklerine sahipse eşdeğerlik ilişkisi olarak adlandırılır.
Eşdeğerlik ilişkilerine örnek olarak geometrik şekillerin eşitlik ilişkileri, doğruların paralellik ilişkileri (çakışan doğruların paralel kabul edilmesi şartıyla) verilebilir.
Neden bu tür ilişkiler matematikte öne çıkıyor? Kümede tanımlanan kesirlerin eşitlik ilişkisini düşünün X= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) (Şek. 106). Kümenin üç alt kümeye ayrıldığını görüyoruz: (1/2, 2/4, 3/6), (1/3, 2/6), (1/4). Bu alt kümeler kesişmez ve bunların birleşimi kümeyle çakışır. X, onlar. setin bir bölümü var X sınıflara. Bu bir tesadüf değil.
Kesinlikle, bir X kümesi üzerinde bir eşdeğerlik ilişkisi verilirse, bu kümenin ikili olarak ayrık alt kümelere (eşdeğerlik sınıfları) bir bölümünü oluşturur.
Böylece, bir kesir kümesi (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) üzerindeki eşitlik ilişkisinin, bu kümenin denklik sınıflarına bölünmesine karşılık geldiğini tespit ettik. her biri kendi arasında eşit kesirlerden oluşur.
Bunun tersi de doğrudur: X kümesinde tanımlanan herhangi bir ilişki bu kümenin sınıflara bölünmesini oluşturuyorsa bu bir denklik ilişkisidir.
Örneğin sette düşünün X =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) "3'e bölündüğünde aynı kalana sahip olmak" ilişkisi. Setin bir bölümünü oluşturur X sınıflara ayrılır: birincisi, 3'e bölündüğünde 0 kalanını bırakan tüm sayıları içerir (bunlar 3, 6, 9 sayılarıdır), ikincisi - 3'e bölündüğünde 1 kalanını bırakan sayıları içerir (bunlar 1, 4 sayılarıdır) , 7 , 10) ve üçüncüde - tüm sayılar, 3'e bölündüğünde kalan 2'dir (bunlar 2, 5, 8 sayılarıdır). Gerçekte, ortaya çıkan alt kümeler kesişmez ve bunların birleşimi kümeyle çakışır. X. Sonuç olarak kümede tanımlanan “3'e bölündüğünde aynı kalana sahip olur” ilişkisi X, bir denklik ilişkisidir. Denklik ilişkisi ile bir kümenin sınıflara bölünmesi arasındaki ilişki hakkındaki ifadenin kanıtlanması gerektiğine dikkat edin. Onu yere koyuyoruz. Diyelim ki eğer bir denklik bağıntısı bir isme sahipse o zaman sınıflara karşılık gelen isim verilir. Örneğin, bir parça kümesi üzerinde bir eşitlik ilişkisi belirtilmişse (ve bu bir eşdeğerlik ilişkisiyse), o zaman parça kümesi eşit parçalardan oluşan sınıflara bölünür (bkz. Şekil 99). Benzerlik ilişkisi, bir üçgen kümesinin benzer üçgen sınıflarına bölünmesine karşılık gelir.
Yani belirli bir küme üzerinde denklik ilişkisi varsa bu kümeyi sınıflara ayırabiliriz. Ancak bunun tersini de yapabilirsiniz: önce kümeyi sınıflara bölün ve ardından iki öğenin ancak ve ancak söz konusu bölümün aynı sınıfına ait olmaları durumunda eşdeğer olduğunu dikkate alarak bir denklik ilişkisi tanımlayın.
Bir kümeyi bazı denklik bağıntılarını kullanarak sınıflara ayırma ilkesi matematiğin önemli bir ilkesidir. Neden?
İlk önce, eşdeğer - bu eşdeğer, değiştirilebilir anlamına gelir. Bu nedenle aynı eşdeğerlik sınıfının elemanları birbirinin yerine kullanılabilir. Böylece aynı denklik sınıfında olan kesirler (1/2, 2/4, 3/6) eşitlik ilişkisi açısından ayırt edilemez ve 3/6 kesri başka bir kesirle (örneğin 1) değiştirilebilir. /2. Ve bu değişiklik hesaplamaların sonucunu değiştirmeyecektir.
ikinci olarak eşdeğerlik sınıfında bazı ilişkiler açısından ayırt edilemeyen unsurlar bulunduğundan, eşdeğerlik sınıfının temsilcilerinden herhangi biri tarafından belirlendiğine inanıyoruz, yani. bu sınıfın keyfi bir öğesi. Böylece eşit kesirlerden oluşan herhangi bir sınıf, bu sınıfa ait herhangi bir kesir belirtilerek belirtilebilir. Bir eşdeğerlik sınıfının tek bir temsilci tarafından belirlenmesi, kümenin tüm öğeleri yerine eşdeğerlik sınıflarından bir dizi bireysel temsilcinin incelenmesine olanak tanır. Örneğin, bir çokgen kümesi üzerinde tanımlanan "aynı sayıda köşeye sahip olma" eşdeğerlik ilişkisi, bu kümenin üçgen, dörtgen, beşgen vb. sınıflara bölünmesini oluşturur. Belirli bir sınıfın doğasında bulunan özellikler, temsilcilerinden birinde dikkate alınır.
Üçüncü, bir kümeyi bir denklik ilişkisi kullanarak sınıflara bölmek, yeni kavramları tanıtmak için kullanılır. Örneğin “doğru demeti” kavramı paralel doğrularda ortak olan bir kavram olarak tanımlanabilir.
Genel olarak, bir kişinin faaliyet gösterdiği herhangi bir kavram belirli bir eşdeğerlik sınıfını temsil eder. "Masa", "ev", "kitap" - tüm bu kavramlar, aynı amaca sahip birçok özel nesne hakkında genelleştirilmiş fikirlerdir.
Bir diğer önemli ilişki türü ise ilişkileri düzenler.
Tanım. Bir X kümesi üzerindeki bir R ilişkisi, aynı anda antisimetri ve geçişlilik özelliklerine sahipse sıra ilişkisi olarak adlandırılır. .
Sıra ilişkilerine örnekler şunları içerir: doğal sayılar kümesindeki "küçüktür" ilişkisi; antisimetrik ve geçişli olduklarından, bir dizi parça üzerinde ilişki "daha kısadır".
Bir sıra ilişkisi aynı zamanda bağlantılılık özelliğine de sahipse buna ilişki denir. doğrusal düzen.
Örneğin doğal sayılar kümesindeki “küçüktür” ilişkisi antisimetri, geçişlilik ve bağlantılılık özelliklerine sahip olduğundan doğrusal sıralı bir ilişkidir.
Tanım. Bir X kümesinin bir sıra ilişkisi varsa sıralı küme olarak adlandırılır.
Böylece N doğal sayılar kümesi, üzerinde “küçüktür” ilişkisi belirtilerek sıralanabilir.
Bir küme üzerinde tanımlanmış bir sıra ilişkisi varsa X, bağlantılılık özelliğine sahipse, o zaman şunu söyleriz: doğrusal olarak sipariş verir bir demet X.
Örneğin, doğal sayılar kümesi hem "küçüktür" ilişkisi hem de "katlı" ilişkisi kullanılarak sıralanabilir - her ikisi de sıra ilişkileridir. Ancak “çokluk” ilişkisinden farklı olarak “küçüktür” ilişkisi aynı zamanda bağlantılılık özelliğine de sahiptir. Bu, "küçüktür" ilişkisinin doğal sayılar kümesini doğrusal olarak sıraladığı anlamına gelir.
Tüm ilişkilerin eşdeğerlik ilişkileri ve düzen ilişkileri olarak ikiye bölündüğü düşünülmemelidir. Ne eşdeğerlik ne de sıra ilişkisi olmayan çok sayıda ilişki vardır.
