Diğer sözlüklerde "slough" un ne olduğunu görün. Matris yöntemini kullanarak doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözme örnekleri Dördüncü dereceden doğrusal cebirsel denklem sistemi

Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini (SLAE'ler) çözmek şüphesiz doğrusal cebir dersindeki en önemli konudur. Matematiğin tüm dallarından çok sayıda problem, doğrusal denklem sistemlerinin çözümüyle ilgilidir. Bu faktörler bu makalenin nedenini açıklamaktadır. Makalenin materyali, onun yardımıyla şunları yapabilmeniz için seçilmiş ve yapılandırılmıştır:

• Doğrusal cebirsel denklem sisteminizi çözmek için en uygun yöntemi seçin,
• Seçilen yöntemin teorisini incelemek,
• Tipik örnek ve problemlerin ayrıntılı çözümlerini dikkate alarak doğrusal denklem sisteminizi çözün.

Makale materyalinin kısa açıklaması.

Öncelikle gerekli tüm tanımları, kavramları veriyoruz ve notasyonları tanıtıyoruz.

Daha sonra, denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşit olduğu ve tek çözümü olan doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözme yöntemlerini ele alacağız. İlk olarak Cramer yöntemine odaklanacağız, ikinci olarak bu tür denklem sistemlerinin çözümü için matris yöntemini göstereceğiz ve üçüncü olarak Gauss yöntemini (bilinmeyen değişkenlerin sıralı olarak yok edilmesi yöntemi) analiz edeceğiz. Teoriyi pekiştirmek için kesinlikle birkaç SLAE'yi farklı şekillerde çözeceğiz.

Bundan sonra, denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakışmadığı veya sistemin ana matrisinin tekil olduğu genel formdaki doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmeye geçeceğiz. SLAE'lerin uyumluluğunu belirlememize olanak tanıyan Kronecker-Capelli teoremini formüle edelim. Bir matrisin küçük tabanı kavramını kullanarak sistemlerin çözümünü (eğer uyumlularsa) analiz edelim. Ayrıca Gauss yöntemini de ele alacağız ve örneklerin çözümlerini ayrıntılı olarak anlatacağız.

Homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemlerinin genel çözümünün yapısı üzerinde kesinlikle duracağız. Temel çözüm sistemi kavramını verelim ve temel çözüm sisteminin vektörleri kullanılarak bir SLAE'nin genel çözümünün nasıl yazıldığını gösterelim. Daha iyi anlamak için birkaç örneğe bakalım.

Sonuç olarak, doğrusal olanlara indirgenebilen denklem sistemlerini ve çözümünde SLAE'lerin ortaya çıktığı çeşitli problemleri ele alacağız.

Sayfada gezinme.

Tanımlar, kavramlar, atamalar.

n bilinmeyen değişkenli (p, n'ye eşit olabilir) p doğrusal cebirsel denklem sistemlerini ele alacağız.

Bilinmeyen değişkenler, - katsayılar (bazı gerçek veya karmaşık sayılar), - serbest terimler (aynı zamanda gerçek veya karmaşık sayılar).

SLAE kaydetmenin bu biçimine denir koordinat.

İÇİNDE matris formu Bu denklem sistemini yazmanın şekli şu şekildedir:
Nerede - sistemin ana matrisi, - bilinmeyen değişkenlerden oluşan bir sütun matrisi, - serbest terimlerden oluşan bir sütun matrisi.

A matrisine (n+1)'inci sütun olarak serbest terimlerden oluşan bir matris sütunu eklersek, sözde elde ederiz. genişletilmiş matris Doğrusal denklem sistemleri. Tipik olarak, genişletilmiş bir matris T harfiyle gösterilir ve serbest terimler sütunu, kalan sütunlardan dikey bir çizgiyle ayrılır;

Doğrusal cebirsel denklem sistemini çözme sistemin tüm denklemlerini kimliğe dönüştüren bilinmeyen değişkenlerin değerleri kümesi denir. Bilinmeyen değişkenlerin verilen değerleri için matris denklemi de bir özdeşlik haline gelir.

Bir denklem sisteminin en az bir çözümü varsa buna denir. eklem yeri.

Bir denklem sisteminin çözümü yoksa buna denir. ortak olmayan.

Bir SLAE'nin benzersiz bir çözümü varsa buna denir. kesin; birden fazla çözüm varsa o zaman – belirsiz.

Sistemin tüm denklemlerinin serbest terimleri sıfıra eşitse , daha sonra sistem çağrılır homojen, aksi takdirde - heterojen.

Lineer cebirsel denklemlerin temel sistemlerini çözme.

Bir sistemin denklem sayısı bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse ve ana matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse, bu tür SLAE'ler çağrılacaktır. temel. Bu tür denklem sistemlerinin benzersiz bir çözümü vardır ve homojen bir sistem durumunda tüm bilinmeyen değişkenler sıfıra eşittir.

Bu tür SLAE'leri lisede incelemeye başladık. Bunları çözerken, bir denklemi aldık, bilinmeyen bir değişkeni diğerleri cinsinden ifade ettik ve onu kalan denklemlerde yerine koyduk, sonra bir sonraki denklemi aldık, bir sonraki bilinmeyen değişkeni ifade ettik ve onu diğer denklemlerde yerine koyduk, vb. Veya toplama yöntemini kullandılar, yani bilinmeyen bazı değişkenleri ortadan kaldırmak için iki veya daha fazla denklem eklediler. Bu yöntemler esasen Gauss yönteminin modifikasyonları olduğundan, üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız.

Temel doğrusal denklem sistemlerini çözmenin ana yöntemleri Cramer yöntemi, matris yöntemi ve Gauss yöntemidir. Bunları sıralayalım.

Doğrusal denklem sistemlerini Cramer yöntemini kullanarak çözme.

Bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmemiz gerektiğini varsayalım.

Denklem sayısının bilinmeyen değişken sayısına eşit olduğu ve sistemin ana matrisinin determinantının sıfırdan farklı olduğu, yani .

Sistemin ana matrisinin determinantı olsun ve - A'dan değiştirilerek elde edilen matrislerin determinantları 1., 2.,…, n. sütun sırasıyla serbest üyelerin sütununa:

Bu gösterimle bilinmeyen değişkenler Cramer yönteminin formülleri kullanılarak şu şekilde hesaplanır: . Cramer yöntemi kullanılarak bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin çözümü bu şekilde bulunur.

Örnek.

Cramer'in yöntemi .

Çözüm.

Sistemin ana matrisi şu şekildedir: . Determinantını hesaplayalım (gerekirse makaleye bakın):

Sistemin ana matrisinin determinantı sıfırdan farklı olduğundan sistemin Cramer yöntemiyle bulunabilecek tek bir çözümü vardır.

Gerekli belirleyicileri oluşturup hesaplayalım (A matrisindeki ilk sütunu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek determinantı, ikinci sütunu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek ve A matrisinin üçüncü sütununu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek elde ederiz) :

Formülleri kullanarak bilinmeyen değişkenleri bulma :

Cevap:

Cramer yönteminin en büyük dezavantajı (dezavantaj olarak adlandırılabilirse), sistemdeki denklem sayısı üçten fazla olduğunda determinantların hesaplanmasının karmaşıklığıdır.

Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini matris yöntemini kullanarak çözme (ters matris kullanarak).

A matrisinin n x n boyutuna sahip olduğu ve determinantının sıfır olmadığı bir doğrusal cebirsel denklem sistemi matris biçiminde verilsin.

A matrisi tersinir olduğundan, ters bir matris vardır. Eşitliğin her iki tarafını solla çarparsak, bilinmeyen değişkenlerden oluşan bir matris sütununu bulmak için bir formül elde ederiz. Matris yöntemini kullanarak doğrusal cebirsel denklemler sisteminin çözümünü bu şekilde elde ettik.

Örnek.

Doğrusal denklem sistemini çözme matris yöntemi.

Çözüm.

Denklem sistemini matris formunda yeniden yazalım:

Çünkü

daha sonra SLAE matris yöntemi kullanılarak çözülebilir. Ters matris kullanılarak bu sistemin çözümü şu şekilde bulunabilir: .

A matrisinin elemanlarının cebirsel toplamlarından bir matris kullanarak ters bir matris oluşturalım (gerekirse makaleye bakın):

Ters matrisi çarparak bilinmeyen değişkenlerin matrisini hesaplamak kalır. ücretsiz üyelerden oluşan bir matris sütununa (gerekirse makaleye bakın):

Cevap:

veya başka bir gösterimle x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Matris yöntemini kullanarak doğrusal cebirsel denklem sistemlerine çözüm bulmadaki ana sorun, özellikle üçüncü mertebeden yüksek kare matrisler için ters matris bulmanın karmaşıklığıdır.

Doğrusal denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözme.

n bilinmeyen değişkenli n doğrusal denklem sistemine bir çözüm bulmamız gerektiğini varsayalım.
ana matrisin determinantı sıfırdan farklıdır.

Gauss yönteminin özü bilinmeyen değişkenlerin sırayla ortadan kaldırılmasından oluşur: ilk önce x 1, ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden çıkarılır, ardından üçüncüden başlayarak x 2 tüm denklemlerden çıkarılır ve yalnızca bilinmeyen değişken x n kalana kadar bu şekilde devam eder. son denklemde. Bilinmeyen değişkenleri sırayla ortadan kaldırmak için sistem denklemlerini dönüştürme işlemine denir. doğrudan Gauss yöntemi. Gauss yönteminin ileri vuruşu tamamlandıktan sonra, son denklemden x n bulunur, sondan bir önceki denklemdeki bu değer kullanılarak x n-1 hesaplanır ve bu şekilde ilk denklemden x 1 bulunur. Sistemin son denkleminden birincisine geçerken bilinmeyen değişkenlerin hesaplanması işlemine denir Gauss yönteminin tersi.

Bilinmeyen değişkenleri ortadan kaldırmak için kullanılan algoritmayı kısaca açıklayalım.

Bunu her zaman sistemin denklemlerini yeniden düzenleyerek başarabileceğimiz için bunu varsayacağız. Bilinmeyen değişken x 1'i ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden çıkaralım. Bunu yapmak için sistemin ikinci denklemine birincisini çarptığımız denklemi, üçüncü denklemine birincisini ekliyoruz ve bu şekilde devam ederek n'inci denkleme birincisini çarpıyoruz. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

Nerede ve .

Sistemin ilk denkleminde x 1'i diğer bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade edip, elde edilen ifadeyi diğer tüm denklemlerde yerine koysaydık aynı sonuca ulaşırdık. Böylece x 1 değişkeni ikinciden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra benzer şekilde ilerliyoruz, ancak yalnızca sonuçtaki sistemin şekilde işaretlenmiş kısmıyla

Bunu yapmak için sistemin üçüncü denklemine ikinciyi çarpıyoruz, dördüncü denkleme ikinciyi ekliyoruz ve bu şekilde devam ederek n'inci denkleme ikinciyi çarpıyoruz. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

Nerede ve . Böylece x2 değişkeni üçüncüden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra sistemin şekilde işaretlenen kısmı ile benzer şekilde hareket ederek bilinmeyen x 3'ü ortadan kaldırmaya devam ediyoruz.

Böylece sistem şu formu alana kadar Gauss yönteminin doğrudan ilerlemesine devam ediyoruz:

Bu andan itibaren Gauss yönteminin tersini başlatırız: son denklemden x n'yi şu şekilde hesaplarız, elde edilen x n değerini kullanarak sondan bir önceki denklemden x n-1'i buluruz ve bu şekilde devam ederek ilk denklemden x 1'i buluruz .

Örnek.

Doğrusal denklem sistemini çözme Gauss yöntemi.

Çözüm.

Bilinmeyen x 1 değişkenini sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden hariç tutalım. Bunu yapmak için, ikinci ve üçüncü denklemlerin her iki tarafına, birinci denklemin karşılık gelen kısımlarını sırasıyla ve ile çarparak ekleriz:

Şimdi üçüncü denklemden x 2'yi, ikinci denklemin sol ve sağ taraflarını sol ve sağ taraflarına ekleyerek şununla çarpıyoruz:

Bu, Gauss yönteminin ileri vuruşunu tamamlar; geri vuruşa başlarız.

Ortaya çıkan denklem sisteminin son denkleminden x 3'ü buluyoruz:

İkinci denklemden elde ederiz.

İlk denklemden geri kalan bilinmeyen değişkeni buluyoruz ve böylece Gauss yönteminin tersini tamamlıyoruz.

Cevap:

X1 = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Genel formdaki lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme.

Genel olarak, p sisteminin denklem sayısı, bilinmeyen değişkenlerin sayısı n ile çakışmaz:

Bu tür SLAE'lerin hiçbir çözümü olmayabilir, tek bir çözümü olabilir veya sonsuz sayıda çözümü olabilir. Bu ifade aynı zamanda ana matrisi kare ve tekil olan denklem sistemleri için de geçerlidir.

Kronecker-Capelli teoremi.

Bir doğrusal denklem sistemine çözüm bulmadan önce uyumluluğunun belirlenmesi gerekir. SLAE ne zaman uyumlu, ne zaman tutarsız sorusunun cevabı şu şekilde verilmektedir: Kronecker-Capelli teoremi:
N bilinmeyenli (p, n'ye eşit olabilir) p denklemlerden oluşan bir sistemin tutarlı olabilmesi için, sistemin ana matrisinin sıralamasının genişletilmiş matrisin sıralamasına eşit olması gerekli ve yeterlidir; , Sıra(A)=Sıra(T).

Örnek olarak, bir doğrusal denklem sisteminin uyumluluğunu belirlemek için Kronecker-Capelli teoreminin uygulanmasını ele alalım.

Örnek.

Doğrusal denklem sisteminin olup olmadığını öğrenin çözümler.

Çözüm.

. Küçükleri sınırlama yöntemini kullanalım. İkinci dereceden küçük sıfırdan farklı. Şimdi onu çevreleyen üçüncü dereceden küçüklere bakalım:

Üçüncü dereceden tüm sınırdaki küçükler sıfıra eşit olduğundan, ana matrisin rütbesi ikiye eşittir.

Buna karşılık, genişletilmiş matrisin rütbesi küçük üçüncü dereceden olduğundan üçe eşittir

sıfırdan farklı.

Böylece, Dolayısıyla Rang(A) Kronecker-Capelli teoremini kullanarak orijinal doğrusal denklem sisteminin tutarsız olduğu sonucuna varabiliriz.

Cevap:

Sistemin çözümü yok.

Kronecker-Capelli teoremini kullanarak bir sistemin tutarsızlığını belirlemeyi öğrendik.

Ancak uyumluluğu sağlanmışsa bir SLAE'ye çözüm nasıl bulunur?

Bunu yapmak için bir matrisin minör tabanı kavramına ve matrisin rütbesine ilişkin bir teoreme ihtiyacımız var.

A matrisinin sıfırdan farklı en yüksek mertebesinden küçük olanına denir temel.

Bir temel minörün tanımından, sırasının matrisin rütbesine eşit olduğu sonucu çıkar. Sıfır olmayan bir A matrisi için birkaç temel minör olabilir; her zaman bir temel minör vardır.

Örneğin, matrisi düşünün .

Bu matrisin üçüncü dereceden tüm küçükleri sıfıra eşittir çünkü bu matrisin üçüncü satırının elemanları, birinci ve ikinci satırların karşılık gelen elemanlarının toplamıdır.

Aşağıdaki ikinci dereceden küçükler sıfırdan farklı oldukları için temeldir

Küçükler sıfıra eşit oldukları için temel değildirler.

Matris rütbe teoremi.

P'ye n düzeyindeki bir matrisin sıralaması r'ye eşitse, matrisin seçilen temel minörü oluşturmayan tüm satır (ve sütun) öğeleri, onu oluşturan karşılık gelen satır (ve sütun) öğeleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir. temel küçük.

Matris rütbe teoremi bize ne söylüyor?

Kronecker-Capelli teoremine göre sistemin uyumluluğunu belirlediysek, sistemin ana matrisinin herhangi bir minör tabanını seçeriz (sıralaması r'ye eşittir) ve aşağıdakileri sağlayan tüm denklemleri sistemden çıkarırız: seçilen esas minörü oluşturmaz. Bu şekilde elde edilen SLAE, atılan denklemler hala gereksiz olduğundan orijinaline eşdeğer olacaktır (matris sıralama teoremine göre bunlar, kalan denklemlerin doğrusal bir birleşimidir).

Sonuç olarak sistemin gereksiz denklemleri çıkarıldıktan sonra iki durum mümkündür.

Ortaya çıkan sistemdeki r denklem sayısı bilinmeyen değişken sayısına eşitse bu kesin olacaktır ve tek çözüm Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemiyle bulunabilecektir.

Örnek.

.

Çözüm.

Sistemin ana matrisinin sıralaması küçük ikinci dereceden olduğundan ikiye eşittir sıfırdan farklı. Genişletilmiş Matris Sıralaması üçüncü dereceden tek minör sıfır olduğundan bu da ikiye eşittir

ve yukarıda ele alınan ikinci dereceden küçük sıfırdan farklıdır. Kronecker-Capelli teoremine dayanarak, Rank(A)=Rank(T)=2 olduğundan orijinal doğrusal denklem sisteminin uyumluluğunu iddia edebiliriz.

Temel olarak küçük olarak alıyoruz . Birinci ve ikinci denklemlerin katsayılarından oluşur:


Sistemin üçüncü denklemi temel minörün oluşumuna katılmaz, bu nedenle onu matrisin rütbesine ilişkin teoreme dayanarak sistemden hariç tutuyoruz:


Temel doğrusal cebirsel denklem sistemini bu şekilde elde ettik. Cramer yöntemini kullanarak çözelim:


Cevap:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ortaya çıkan SLAE'deki r denklemlerinin sayısı, bilinmeyen değişkenlerin sayısından n azsa, denklemlerin sol taraflarında, temel minör oluşturan terimleri bırakırız ve geri kalan terimleri, denklemin sağ taraflarına aktarırız. Sistemin zıt işaretli denklemleri.

Denklemin sol tarafında kalan bilinmeyen değişkenlere (r tanesi) denir. ana.

Sağ tarafta bulunan bilinmeyen değişkenlere (n - r parça vardır) denir özgür.

Artık serbest bilinmeyen değişkenlerin keyfi değerler alabileceğine, ana bilinmeyen değişkenlerin ise serbest bilinmeyen değişkenler aracılığıyla benzersiz bir şekilde ifade edileceğine inanıyoruz. İfadeleri, elde edilen SLAE'nin Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemi kullanılarak çözülmesiyle bulunabilir.

Bir örnekle bakalım.

Örnek.

Doğrusal cebirsel denklem sistemini çözme .

Çözüm.

Sistemin ana matrisinin rütbesini bulalım küçükleri sınırlama yöntemiyle. 1 1 = 1'i birinci dereceden sıfır olmayan bir minör olarak alalım. Bu minörün sınırındaki ikinci dereceden sıfır olmayan bir minör aramaya başlayalım:


İkinci dereceden sıfır olmayan bir minörü bu şekilde bulduk. Üçüncü dereceden sıfırdan farklı sınırdaki küçükleri aramaya başlayalım:


Böylece ana matrisin rütbesi üç olur. Genişletilmiş matrisin sıralaması da üçe eşittir, yani sistem tutarlıdır.

Üçüncü mertebenin sıfırdan farklı bulunan minörünü temel alıyoruz.

Açıklık sağlamak için, minörün temelini oluşturan unsurları gösteriyoruz:


Temel minörde yer alan terimleri sistem denklemlerinin sol tarafına bırakıp, geri kalanını zıt işaretli olarak sağ taraflara aktarıyoruz:


Serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 ve x 5 keyfi değerler verelim, yani kabul edelim , keyfi sayılar nerede. Bu durumda SLAE şu şekli alacaktır:


Ortaya çıkan temel doğrusal cebirsel denklem sistemini Cramer yöntemini kullanarak çözelim:


Buradan, .

Cevabınızda serbest bilinmeyen değişkenleri belirtmeyi unutmayın.

Cevap:

Rastgele sayılar nerede.

Özetleyin.

Bir genel doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmek için öncelikle Kronecker-Capelli teoremini kullanarak uyumluluğunu belirleriz. Ana matrisin sıralaması genişletilmiş matrisin sıralamasına eşit değilse sistemin uyumsuz olduğu sonucuna varırız.

Ana matrisin sıralaması genişletilmiş matrisin sıralamasına eşitse, o zaman bir minör baz seçeriz ve seçilen baz minörün oluşumuna katılmayan sistem denklemlerini atarız.

Temel minörün sırası bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse, o zaman SLAE'nin bildiğimiz herhangi bir yöntemle bulunabilecek benzersiz bir çözümü vardır.

Temelin sırası bilinmeyen değişken sayısından azsa, sistem denklemlerinin sol tarafında, ana bilinmeyen değişkenlerin bulunduğu terimleri bırakırız, kalan terimleri sağ taraflara aktarırız ve keyfi değerler veririz. serbest bilinmeyen değişkenler Ortaya çıkan doğrusal denklem sisteminden ana bilinmeyen değişkenleri Cramer yöntemini, matris yöntemini veya Gauss yöntemini kullanarak buluruz.

Genel formdaki doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi.

Gauss yöntemi, her türlü doğrusal cebirsel denklem sistemini, önce tutarlılık açısından test etmeden çözmek için kullanılabilir. Bilinmeyen değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması süreci, SLAE'nin hem uyumluluğu hem de uyumsuzluğu hakkında bir sonuca varılmasını ve bir çözüm varsa bulunmasını mümkün kılar.

Hesaplama açısından Gauss yöntemi tercih edilir.

Genel doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi makalesinde ayrıntılı açıklamasına ve analiz edilen örneklere bakın.

Temel çözüm sisteminin vektörlerini kullanarak homojen ve homojen olmayan doğrusal cebirsel sistemlere genel bir çözüm yazmak.

Bu bölümde sonsuz sayıda çözümü olan eşzamanlı homojen ve homojen olmayan doğrusal cebirsel denklem sistemlerinden bahsedeceğiz.

İlk önce homojen sistemlerle ilgilenelim.

Temel çözüm sistemi n bilinmeyen değişkenli p doğrusal cebirsel denklemlerden oluşan homojen sistem, bu sistemin (n – r) doğrusal olarak bağımsız çözümlerinin bir koleksiyonudur; burada r, sistemin ana matrisinin temel minörünün sırasıdır.

Homojen bir SLAE'nin doğrusal olarak bağımsız çözümlerini X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) sütunsaldır olarak gösterirsek boyut matrisleri n x 1) , daha sonra bu homojen sistemin genel çözümü, temel çözüm sisteminin vektörlerinin keyfi sabit katsayılar C 1, C 2, ..., C (n-r) ile doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilir; dır-dir, .

Homojen bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin (oroslau) genel çözümü terimi ne anlama gelir?

Anlamı basit: formül, orijinal SLAE'nin tüm olası çözümlerini belirtir, başka bir deyişle, kullanacağımız formülü kullanarak C 1, C 2, ..., C (n-r) keyfi sabitlerinin herhangi bir değer kümesini alır. Orijinal homojen SLAE'nin çözümlerinden birini elde edin.

Dolayısıyla, temel bir çözüm sistemi bulursak, bu homojen SLAE'nin tüm çözümlerini şu şekilde tanımlayabiliriz: .

Homojen bir SLAE'ye yönelik temel bir çözüm sistemi oluşturma sürecini gösterelim.

Orijinal lineer denklemler sisteminin temel minörünü seçiyoruz, diğer tüm denklemleri sistemden çıkarıyoruz ve serbest bilinmeyen değişkenler içeren tüm terimleri ters işaretlerle sistemin denklemlerinin sağ taraflarına aktarıyoruz. Serbest bilinmeyen değişkenlere 1,0,0,...,0 değerlerini verelim ve elde edilen temel doğrusal denklem sistemini herhangi bir şekilde, örneğin Cramer yöntemini kullanarak çözerek ana bilinmeyenleri hesaplayalım. Bu, temel sistemin ilk çözümü olan X (1) ile sonuçlanacaktır. Serbest bilinmeyenlere 0,1,0,0,…,0 değerlerini verip ana bilinmeyenleri hesaplarsak X(2) elde ederiz. Ve benzeri. Serbest bilinmeyen değişkenlere 0.0,…,0.1 değerlerini atayıp temel bilinmeyenleri hesaplarsak X (n-r) elde ederiz. Bu şekilde homojen bir SLAE'nin temel çözüm sistemi oluşturulacak ve genel çözümü şeklinde yazılabilecektir.

Homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemleri için genel çözüm, karşılık gelen homojen sistemin genel çözümü olan ve serbest bilinmeyenlere değerleri vererek elde ettiğimiz orijinal homojen olmayan SLAE'nin özel çözümü olan formda temsil edilir. ​0,0,...,0 ve temel bilinmeyenlerin değerlerinin hesaplanması.

Örneklere bakalım.

Örnek.

Temel çözüm sistemini ve homojen bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin genel çözümünü bulun .

Çözüm.

Homojen doğrusal denklem sistemlerinin ana matrisinin sıralaması her zaman genişletilmiş matrisin sıralamasına eşittir. Küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak ana matrisin rütbesini bulalım. Birinci dereceden sıfır olmayan bir minör olarak sistemin ana matrisinin a 1 1 = 9 öğesini alıyoruz. İkinci dereceden sınırdaki sıfır olmayan küçükleri bulalım:

Sıfırdan farklı ikinci dereceden bir minör bulundu. Sıfır olmayan bir tane bulmak için sınırındaki üçüncü dereceden küçükleri inceleyelim:

Üçüncü dereceden sınırdaki tüm küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle ana ve genişletilmiş matrisin sırası ikiye eşittir. Hadi alalım . Açıklık sağlamak için, onu oluşturan sistemin öğelerine dikkat edelim:

Orijinal SLAE'nin üçüncü denklemi temel minörün oluşumuna katılmaz, bu nedenle hariç tutulabilir:

Temel bilinmeyenleri içeren terimleri denklemlerin sağ taraflarına bırakıp, serbest bilinmeyenli terimleri sağ taraflara aktarıyoruz:

Orijinal homojen doğrusal denklem sisteminin temel çözüm sistemini oluşturalım. Bu SLAE'nin temel çözüm sistemi iki çözümden oluşur, çünkü orijinal SLAE dört bilinmeyen değişken içerir ve temel minör derecesi ikiye eşittir. X (1)'i bulmak için serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 = 1, x 4 = 0 değerlerini veriyoruz, ardından denklem sisteminden ana bilinmeyenleri buluyoruz
.

Bir doğrusal denklem sistemi, her biri k değişken içeren n tane doğrusal denklemin birleşimidir. Bu şekilde yazılmıştır:

Birçoğu, yüksek cebirle ilk kez karşılaştıklarında, yanlışlıkla denklem sayısının mutlaka değişken sayısıyla çakışması gerektiğine inanıyor. Okul cebirinde bu genellikle olur, ancak yüksek cebir için bu genellikle doğru değildir.

Bir denklem sisteminin çözümü, sistemin her denkleminin çözümü olan bir sayı dizisidir (k 1, k 2, ..., k n), yani. bu denklemde x 1, x 2, ..., x n değişkenleri yerine yerine koyarken doğru sayısal eşitliği verir.

Buna göre bir denklem sistemini çözmek, onun tüm çözümlerinin kümesini bulmak veya bu kümenin boş olduğunu kanıtlamak anlamına gelir. Denklem sayısı ile bilinmeyenlerin sayısı çakışmayabileceğinden üç durum mümkündür:

1. Sistem tutarsızdır, yani. tüm çözümlerin kümesi boştur. Sistemi çözmek için hangi yöntem kullanılırsa kullanılsın kolaylıkla tespit edilen oldukça nadir bir durum.
2. Sistem tutarlı ve kararlıdır, yani. tam olarak tek bir çözümü var. Okuldan beri iyi bilinen klasik versiyon.
3. Sistem tutarlı ve tanımsızdır, yani. sonsuz sayıda çözümü vardır. Bu en zor seçenektir. “Sistemin sonsuz sayıda çözüm kümesi vardır” demek yeterli değildir; bu kümenin nasıl yapılandırıldığını da açıklamak gerekir.

Bir x i değişkeni, sistemin yalnızca bir denkleminde yer alıyorsa ve katsayısı 1 ise izin verilen olarak adlandırılır. Başka bir deyişle, diğer denklemlerde x i değişkeninin katsayısının sıfıra eşit olması gerekir.

Her denklemde izin verilen bir değişken seçersek, tüm denklem sistemi için izin verilen değişkenlerin bir kümesini elde ederiz. Bu formda yazılan sistemin kendisi de çözümlenmiş olarak adlandırılacaktır. Genel olarak konuşursak, bir ve aynı orijinal sistem, izin verilen farklı sistemlere indirgenebilir, ancak şimdilik bununla ilgilenmiyoruz. İzin verilen sistem örnekleri şunlardır:

Her iki sistem de x 1 , x 3 ve x 4 değişkenlerine göre çözümlenir. Ancak aynı başarı ile ikinci sistemin x 1, x 3 ve x 5'e göre çözümlendiği ileri sürülebilir. En son denklemi x 5 = x 4 formunda yeniden yazmak yeterlidir.

Şimdi daha genel bir durumu ele alalım. Toplamda r'ye izin verilen k değişkenimiz olsun. O zaman iki durum mümkündür:

1. İzin verilen değişken sayısı r, toplam k değişken sayısına eşittir: r = k. r = k izin verilen değişken olan bir k denklem sistemi elde ederiz. Böyle bir sistem ortak ve kesindir, çünkü x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
2. İzin verilen değişken sayısı r, toplam k değişken sayısından azdır: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Yani yukarıdaki sistemlerde x 2, x 5, x 6 (birinci sistem için) ve x 2, x 5 (ikinci sistem için) değişkenleri serbesttir. Serbest değişkenlerin olduğu durum bir teorem olarak daha iyi formüle edilir:

Lütfen dikkat: Bu çok önemli bir nokta! Ortaya çıkan sistemi nasıl yazdığınıza bağlı olarak aynı değişkene izin verilebilir veya serbest olabilir. Yüksek matematik öğretmenlerinin çoğu, değişkenlerin sözlüksel sıraya göre yazılmasını önerir; artan endeks. Ancak bu tavsiyeye uyma zorunluluğunuz yoktur.

Teorem. n denklemden oluşan bir sistemde x 1, x 2, ..., x r değişkenlerine izin veriliyorsa ve x r + 1, x r + 2, ..., x k serbestse, o zaman:

1. Serbest değişkenlerin değerlerini (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k) ayarlayıp ardından x 1, x 2 değerlerini bulursak, ..., x r, kararlardan birini alıyoruz.
2. İki çözümde serbest değişkenlerin değerleri çakışırsa, izin verilen değişkenlerin değerleri de çakışır, yani. çözümler eşittir.

Bu teoremin anlamı nedir? Çözülmüş bir denklem sisteminin tüm çözümlerini elde etmek için serbest değişkenleri izole etmek yeterlidir. Daha sonra serbest değişkenlere farklı değerler atayarak hazır çözümler elde edeceğiz. Hepsi bu; bu şekilde sistemin tüm çözümlerini elde edebilirsiniz. Başka çözüm yok.

Sonuç: Çözülmüş denklem sistemi her zaman tutarlıdır. Çözümlenen bir sistemdeki denklem sayısı değişken sayısına eşitse sistem belirli, azsa belirsiz olacaktır.

Ve her şey yoluna girecek, ancak şu soru ortaya çıkıyor: Orijinal denklem sisteminden çözümlenmiş bir çözüm nasıl elde edilir? Bunun için var

Matris formu

Bir doğrusal denklem sistemi matris biçiminde şu şekilde temsil edilebilir:

veya matris çarpım kuralına göre,

AX = B.

Bir A matrisine serbest terimlerden oluşan bir sütun eklenirse, A'ya genişletilmiş matris denir.

Çözüm yöntemleri

Doğrudan (veya kesin) yöntemler, belirli sayıda adımda çözüm bulmanızı sağlar. Yinelemeli yöntemler, yinelemeli bir sürecin kullanımına dayanır ve ardışık yaklaşımlar sonucunda bir çözüm elde edilmesine izin verir.

Doğrudan yöntemler

• Geçiş yöntemi(İçin üç köşegen matrisler)
• Cholesky ayrıştırması veya karekök yöntemi (için pozitif tanımlı simetrik ve Hermityen matrisler)

Yinelemeli yöntemler

VBA'da doğrusal cebirsel denklem sistemini çözme

Option Explicit Sub rewenie() Dim i As Integer Dim j As Integer Dim r() As Double Dim p As Double Dim x() As Double Dim k As Integer Dim n As Integer Dim b() As Double Dim dosyası As Integer Dim y () Çift dosya olarak = FreeFile Açık "C:\data.txt" Dosya Olarak Giriş İçin #dosya Girişi, n ReDim x(0 - n * n - 1 ) As Double ReDim y(0 - n - 1 ) As Double ReDim r(0'dan n'ye - 1 ) Çift Olarak i = 0'dan n'ye - 1 İçin j = 0'dan n'ye - 1 #dosyasını girin, x(i * n + j) Sonraki j #dosyasını girin, y(i) Sonraki i #file Kapat i = 0'dan n'ye - 1 için p = x(i * n + i) j = 1'den n'ye - 1 için x(i * n + j) = x(i * n + j) / p Sonraki j y (i) = y(i) / p j = i + 1'e n - 1 için p = x(j * n + i) k = i'ye n - 1 için x(j * n + k) = x(j * n + k) - x(i * n + k) * p Sonraki k y(j) = y(j) - y(i) * p Sonraki j Sonraki i "Üst üçgen matris i = n - 1'e 0 Adım -1 p = y(i) j = i + 1 için n - 1'e p = p - x(i * n + j) * r(j) Sonraki j r(i) = p / x(i * n + i) Sonraki i " i = 0 için n - 1'e Ters Hareket MsgBox r(i) Sonraki i "Son Alt

Ayrıca bakınız

Bağlantılar

Notlar

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde "SLAU"nun ne olduğunu görün:

SLAU- doğrusal cebirsel denklemlerden oluşan bir sistem... Kısaltmalar ve kısaltmalar sözlüğü

Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Slough (anlamlar). Slough şehri ve üniter birimi Slough Ülkesi ... Vikipedi

- (Slough) Büyük Britanya'da, Büyük Londra'yı çevreleyen sanayi kuşağının bir parçası olarak, Londra-Bristol demiryolu üzerinde bir şehir. 101,8 bin nüfus (1974). Makine mühendisliği, elektrik, elektronik, otomotiv ve kimya... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

çamur- (Slough)Slough, güneydeki Berkshire'da bir sanayi ve ticaret kasabası. İngiltere, Londra'nın batısında; 97.400 nüfuslu (1981); Hafif sanayi, dünya savaşları arasındaki dönemde gelişmeye başladı... Dünya ülkeleri. Sözlük

Slough: Slough (eng. Slough) İngiltere'nin Berkshire ilçesinde bir şehir SLAOU Doğrusal cebirsel denklemler sistemi ... Wikipedia

Röslau Belediyesi arması ... Wikipedia

Bad Vöslau Şehri Bad Vöslau Arması ... Wikipedia

SLAE'leri çözmeye yönelik projeksiyon yöntemleri, bilinmeyen bir vektörün belirli bir uzaya yansıtılması probleminin başka bir belirli uzaya optimal olarak göreli olduğu yinelemeli yöntemler sınıfıdır. İçindekiler 1 Sorunun açıklaması ... Wikipedia

Bad Vöslau Şehri Bad Vöslau Ülke AvusturyaAvusturya ... Wikipedia

Temel çözüm sistemi (FSS), homojen bir denklem sisteminin doğrusal olarak bağımsız çözümlerinin bir kümesidir. İçindekiler 1 Homojen sistemler 1.1 Örnek 2 Heterojen sistemler ... Wikipedia

Kitabın

• MatLab (+CD), Sizikov Valery Sergeevich ile görüntü restorasyonu, spektroskopi ve tomografinin doğrudan ve ters sorunları. Kitap, integral denklem aparatlarının (IE), doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin (SLAE) ve doğrusal-doğrusal olmayan denklem sistemlerinin (SLNE) yanı sıra yazılımların kullanımını özetlemektedir...

Okuldayken her birimiz denklemler ve büyük olasılıkla denklem sistemleri üzerinde çalışıyorduk. Ancak pek çok kişi bunları çözmenin birkaç yolu olduğunu bilmiyor. Bugün ikiden fazla eşitlikten oluşan bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmek için tüm yöntemleri ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Hikaye

Günümüzde denklem çözme sanatının ve sistemlerinin kökeninin Eski Babil ve Mısır'dan geldiği bilinmektedir. Bununla birlikte, tanıdık formlarındaki eşitlikler, 1556'da İngiliz matematikçi Record tarafından tanıtılan eşittir işaretinin "=" ortaya çıkmasından sonra ortaya çıktı. Bu arada, bu işaretin seçilmesinin bir nedeni var: iki paralel eşit parça anlamına geliyor. Aslında eşitliğin daha iyi bir örneği yoktur.

Bilinmeyenler ve derece işaretleri için kullanılan modern harf gösterimlerinin kurucusu Fransız bir matematikçidir, ancak onun tanımlamaları günümüzdekilerden önemli ölçüde farklıydı. Örneğin, bilinmeyen bir sayının karesini Q harfiyle (enlem. "quadratus") ve küpü C harfiyle (enlem. "cubus") gösterdi. Bu gösterim şu anda tuhaf görünüyor, ancak o zamanlar doğrusal cebirsel denklem sistemlerini yazmanın en anlaşılır yoluydu.

Ancak o zamanın çözüm yöntemlerindeki bir kusur, matematikçilerin yalnızca pozitif kökleri dikkate almasıydı. Bunun nedeni negatif değerlerin pratik bir kullanımının olmaması olabilir. Öyle ya da böyle, 16. yüzyılda negatif kökleri ilk sayanlar İtalyan matematikçiler Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ve Raphael Bombelli'ydi. Ve modern form, ana çözüm yöntemi (ayırt edici yoluyla), Descartes ve Newton'un çalışmaları sayesinde ancak 17. yüzyılda yaratıldı.

18. yüzyılın ortalarında İsviçreli matematikçi Gabriel Cramer, doğrusal denklem sistemlerini çözmeyi kolaylaştıracak yeni bir yol buldu. Bu yönteme daha sonra onun adı verilmiştir ve günümüzde de hala bu yöntemi kullanıyoruz. Ancak Cramer yönteminden biraz sonra bahsedeceğiz ama şimdilik doğrusal denklemleri ve bunları sistemden ayrı çözme yöntemlerini tartışalım.

Doğrusal denklemler

Doğrusal denklemler değişkenli (değişkenler) en basit denklemlerdir. Cebirsel olarak sınıflandırılırlar. genel biçimde şu şekilde yazılır: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Daha sonra sistemleri ve matrisleri derlerken bunları bu biçimde temsil etmemiz gerekecek.

Doğrusal cebirsel denklem sistemleri

Bu terimin tanımı şu şekildedir: ortak bilinmeyen niceliklere ve ortak bir çözüme sahip bir dizi denklemdir. Kural olarak, okulda herkes sistemleri iki hatta üç denklemle çözerdi. Ancak dört veya daha fazla bileşenden oluşan sistemler var. Gelecekte çözmenin uygun olması için önce bunları nasıl yazacağımızı bulalım. İlk olarak, doğrusal cebirsel denklem sistemleri, tüm değişkenlerin uygun alt simgeyle (1,2,3 vb.) x olarak yazılması durumunda daha iyi görünecektir. İkinci olarak, tüm denklemler kanonik forma getirilmelidir: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Tüm bu adımlardan sonra lineer denklem sistemlerinin çözümlerinin nasıl bulunacağından bahsetmeye başlayabiliriz. Matrisler bunun için çok faydalı olacaktır.

Matrisler

Matris, satırlardan ve sütunlardan oluşan bir tablodur ve bunların kesişme noktalarında elemanları bulunur. Bunlar belirli değerler veya değişkenler olabilir. Çoğu zaman, öğeleri belirtmek için altlarına alt simgeler yerleştirilir (örneğin, 11 veya 23). İlk indeks satır numarasını, ikincisi ise sütun numarasını ifade eder. Diğer matematiksel elemanlarda olduğu gibi matrisler üzerinde de çeşitli işlemler gerçekleştirilebilir. Böylece şunları yapabilirsiniz:

2) Bir matrisi herhangi bir sayı veya vektörle çarpın.

3) Transpoze: matris satırlarını sütunlara ve sütunları satırlara dönüştürün.

4) Birinin satır sayısı diğerinin sütun sayısına eşitse matrisleri çarpın.

Gelecekte işimize yarayacakları için tüm bu teknikleri daha ayrıntılı olarak tartışalım. Matrisleri çıkarmak ve eklemek çok basittir. Aynı büyüklükte matrisler aldığımız için, bir tablonun her elemanı diğerinin her elemanıyla ilişkilidir. Böylece bu iki elemanı ekliyoruz (çıkarıyoruz) (matrislerde aynı yerde olmaları önemlidir). Bir matrisi bir sayı veya vektörle çarparken, matrisin her elemanını bu sayıyla (veya vektörle) çarpmanız yeterlidir. Transpozisyon çok ilginç bir süreçtir. Bazen bunu gerçek hayatta görmek çok ilginç, örneğin bir tabletin veya telefonun yönünü değiştirirken. Masaüstündeki simgeler bir matrisi temsil eder ve konum değiştiğinde yer değiştirir ve genişler, ancak yüksekliği azalır.

Bir başka işleme de şöyle bakalım: İhtiyacımız olmasa da yine de bilmemizde fayda var. İki matrisi ancak bir tablodaki sütun sayısı diğer tablodaki satır sayısına eşitse çarpabilirsiniz. Şimdi bir matrisin bir satırının elemanlarını ve diğerinin karşılık gelen sütununun elemanlarını alalım. Bunları birbirleriyle çarpalım ve sonra toplayalım (yani örneğin a 11 ve a 12 elemanlarının b 12 ve b 22 ile çarpımı şuna eşit olacaktır: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Böylece tablonun bir elemanı elde edilir ve benzer bir yöntemle daha da doldurulur.

Artık bir doğrusal denklem sisteminin nasıl çözüldüğünü düşünmeye başlayabiliriz.

Gauss yöntemi

Bu konu okulda işlenmeye başlıyor. “İki doğrusal denklem sistemi” kavramını iyi biliyoruz ve nasıl çözeceğimizi biliyoruz. Peki ya denklem sayısı ikiden fazlaysa? Bu bize yardımcı olacaktır

Elbette sistemden bir matris oluşturursanız bu yöntemin kullanılması uygundur. Ama onu dönüştürmenize ve saf haliyle çözmenize gerek yok.

Peki bu yöntem doğrusal Gauss denklemleri sistemini nasıl çözüyor? Bu arada bu yöntem her ne kadar adını ondan alsa da çok eski zamanlarda keşfedilmiştir. Gauss şunu önermektedir: sonuçta tüm seti kademeli bir forma indirgemek için denklemlerle işlemler yapmak. Yani, ilk denklemden sonuncuya doğru bilinmeyenlerin yukarıdan aşağıya (doğru düzenlenmişse) azalması gerekir. Başka bir deyişle, diyelim ki üç denklem elde ettiğimizden emin olmalıyız: birincisinde üç bilinmeyen var, ikincisinde iki bilinmeyen var ve üçüncüsünde bir bilinmeyen var. Daha sonra son denklemden ilk bilinmeyeni buluruz, değerini ikinci veya birinci denklemde yerine koyarız ve ardından kalan iki değişkeni buluruz.

Kramer yöntemi

Bu yöntemde ustalaşmak için matrisleri toplama ve çıkarma becerisine sahip olmanız hayati önem taşır ve aynı zamanda determinantları da bulmanız gerekir. Bu nedenle, eğer tüm bunları kötü yaparsanız veya nasıl yapılacağını hiç bilmiyorsanız, öğrenmeniz ve pratik yapmanız gerekecektir.

Bu yöntemin özü nedir ve doğrusal bir Cramer denklemleri sistemi elde edilecek şekilde nasıl yapılır? Her şey çok basit. Doğrusal cebirsel denklemler sisteminin sayısal (neredeyse her zaman) katsayılarından oluşan bir matris oluşturmamız gerekir. Bunun için bilinmeyenlerin önündeki sayıları alıp sistemde yazılma sırasına göre bir tablo halinde diziyoruz. Sayının önünde “-” işareti varsa negatif bir katsayı yazarız. Böylece, bilinmeyenler için ilk katsayılar matrisini derledik, eşit işaretlerden sonraki sayıları dahil etmiyoruz (doğal olarak, yalnızca sayı sağda olduğunda ve katsayılı tüm bilinmeyenler açık olduğunda denklem kanonik forma indirgenmelidir) sol). Daha sonra, her değişken için bir tane olmak üzere birkaç matris daha oluşturmanız gerekir. Bunu yapmak için, ilk matristeki katsayıların her sütununu, eşittir işaretinden sonra bir sayı sütunuyla değiştiririz. Böylece birkaç matris elde ediyoruz ve ardından bunların determinantlarını buluyoruz.

Belirleyicileri bulduktan sonra bu küçük bir meseledir. Bir başlangıç ​​matrisimiz var ve farklı değişkenlere karşılık gelen birkaç matris elde ediyoruz. Sistemin çözümlerini elde etmek için, ortaya çıkan tablonun determinantını başlangıç ​​tablosunun determinantına böleriz. Ortaya çıkan sayı değişkenlerden birinin değeridir. Benzer şekilde tüm bilinmeyenleri de buluruz.

Diğer yöntemler

Doğrusal denklem sistemlerinin çözümlerini elde etmek için başka yöntemler de vardır. Örneğin, ikinci dereceden denklemler sistemine çözüm bulmak için kullanılan ve aynı zamanda matrislerin kullanımıyla da ilişkilendirilen Gauss-Jordan yöntemi adı verilen yöntem. Bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmek için Jacobi yöntemi de vardır. Bilgisayara uyarlanması en kolay olanıdır ve bilgi işlemde kullanılır.

Karmaşık vakalar

Karmaşıklık genellikle denklem sayısı değişken sayısından az olduğunda ortaya çıkar. O zaman ya sistemin tutarsız olduğunu (yani kökleri olmadığını) ya da çözüm sayısının sonsuza doğru yöneldiğini kesin olarak söyleyebiliriz. İkinci durumumuz varsa, doğrusal denklem sisteminin genel çözümünü yazmamız gerekir. En az bir değişken içerecektir.

Çözüm

İşte sona geldik. Özetleyelim: Sistemin ve matrisin ne olduğunu çözdük ve doğrusal denklem sistemine genel bir çözümün nasıl bulunacağını öğrendik. Ayrıca diğer seçenekleri de değerlendirdik. Bir doğrusal denklem sisteminin nasıl çözüleceğini öğrendik: Gauss yöntemi ve karmaşık durumlar ve çözüm bulmanın diğer yolları hakkında konuştuk.

Aslında bu konu çok daha kapsamlıdır ve eğer konuyu daha iyi anlamak istiyorsanız daha özel literatürü okumanızı öneririz.