Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant - Matematikte Birleşik Devlet Sınavı (2020) hakkında bilmeniz gereken her şey. Denklem sin x = a Sinüs nasıl hesaplanır
Merkezi orijinde olacak şekilde bir birim çember oluşturursak ve argüman için isteğe bağlı bir değer belirlersek x 0 ve eksenden sayın Öküz köşe X 0, o zaman birim çember üzerindeki bu açı belirli bir noktaya karşılık gelir A(Şekil 1) ve eksene izdüşümü Ah bir nokta olacak M. Bölüm uzunluğu OM noktanın apsisinin mutlak değerine eşit A. Verilen argüman değeri x 0 işlev değeri eşlendi sen=çünkü X 0 apsis noktaları gibi A. Buna göre nokta İÇİNDE(X 0 ;en 0) fonksiyonun grafiğine aittir en=çünkü X(İncir. 2). Eğer nokta A eksenin sağındadır kuruluş birimi, Mevcut sinüs pozitif olacaktır, ancak sola doğru ise negatif olacaktır. Ama yine de, dönem Açemberden ayrılamaz. Bu nedenle kosinüs –1 ila 1 aralığındadır:
–1 = çünkü X = 1.
Herhangi bir açıda ek dönüş, 2'nin katı P, dönüş noktası A aynı yere. Bu nedenle fonksiyon y =çünkü XP:
çünkü( X+ 2P) = çünkü X.
Argümanın mutlak değerde eşit, ancak işarette zıt iki değerini alırsak, X Ve - X, çember üzerinde karşılık gelen noktaları bulun bir x Ve A -x. Şekil 2'de görülebileceği gibi. 3 eksene izdüşümleri Ah aynı nokta M. Bu yüzden
çünkü(– X) = çünkü ( X),
onlar. kosinüs çift bir fonksiyondur, F(–X) = F(X).
Bu, fonksiyonun özelliklerini keşfedebileceğimiz anlamına gelir sen=çünkü X segmentte , ve daha sonra paritesini ve periyodikliğini hesaba katın.
Şu tarihte: X= 0 puan A eksende yatıyor Ah, apsisi 1'dir ve bu nedenle cos 0 = 1'dir. X nokta A daire etrafında yukarı ve sola doğru hareket ettiğinden, izdüşümü doğal olarak sadece sola doğru ve x = noktasındadır. P/2 kosinüs 0'a eşit olur. Nokta Aşu anda maksimum yüksekliğine yükseliyor ve sonra sola doğru hareket etmeye devam ediyor, ancak zaten alçalıyor. Apsisi -1'e eşit en küçük değere ulaşana kadar azalır. X= P. Böylece, aralıkta fonksiyon en=çünkü X monoton olarak 1'den -1'e azalır (Şekil 4, 5).
Kosinüs paritesinden şu aralıkta şunu takip eder: [– P, 0] fonksiyon –1'den 1'e monoton olarak artar ve sıfır değerini alır. x =–P/2. Birkaç periyot alırsanız dalgalı bir eğri elde edersiniz (Şek. 6).
Yani fonksiyon sen=çünkü X noktalarda sıfır değer alır X= P/2 + kp, Nerede k – herhangi bir tamsayı. 1'e eşit maksimumlara noktalarda ulaşılır X= 2kp yani 2'li adımlarla P ve minimumlar noktalarda -1'e eşittir X= P + 2kp.
Fonksiyon y = sin x.
Birim daire köşesinde X 0 bir noktaya karşılık gelir A(Şekil 7), ve eksene izdüşümü kuruluş birimi bir nokta olacak N.Z fonksiyon değeri y 0 = günah x 0 bir noktanın koordinatı olarak tanımlanır A. Nokta İÇİNDE(köşe X 0 ,en 0) fonksiyonun grafiğine aittir sen= günah X(Şekil 8). Fonksiyonun olduğu açıktır. y = günah X periyodik, periyodu 2 P:
günah ( X+ 2P) = günah ( X).
İki bağımsız değişken değeri için, X Ve - , karşılık gelen noktaların projeksiyonları bir x Ve A -x eksen başına kuruluş birimi noktaya göre simetrik olarak yerleştirilmiş HAKKINDA. Bu yüzden
günah(- X) = –sin ( X),
onlar. sinüs tek bir fonksiyondur, f(– X) = –f( X) (Şekil 9).
Eğer nokta A bir noktaya göre döndürme HAKKINDA bir açıyla P/2 saat yönünün tersine (başka bir deyişle, eğer açı X kadar artmak P/2), o zaman yeni konumdaki koordinatı eski konumdaki apsise eşit olacaktır. Bunun anlamı
günah ( X+ P/2) = çünkü X.
Aksi takdirde sinüs, şu kadar "geç" bir kosinüs olur: P/2, argüman arttığında herhangi bir kosinüs değeri sinüste "tekrarlanacağından" P/2. Ve bir sinüs grafiği oluşturmak için kosinüs grafiğini kaydırmak yeterlidir. P/2 sağa (Şek. 10). Sinüsün son derece önemli bir özelliği eşitlikle ifade edilir
Eşitliğin geometrik anlamı Şekil 2'de görülebilir. 11. Burada X - bu yarım yay AB, de olduğu gibi X - karşılık gelen akorun yarısı. Noktalar yaklaştıkça belli oluyor A Ve İÇİNDE akorun uzunluğu giderek yayın uzunluğuna yaklaşıyor. Aynı şekilden eşitsizliği elde etmek kolaydır
|günah X| x|, herhangi biri için doğru X.
Matematikçiler formül (*)'a dikkat çekici bir limit diyorlar. Bundan özellikle şu günah çıkar: X» X küçük X.
Fonksiyonlar en= tg x, y=ctg X. Diğer iki trigonometrik fonksiyon, teğet ve kotanjant, en kolay şekilde bizim tarafımızdan bilinen sinüs ve kosinüs oranları olarak tanımlanır:
Sinüs ve kosinüs gibi, teğet ve kotanjant da periyodik fonksiyonlardır ancak periyotları eşittir P yani sinüs ve kosinüsün yarısı kadardırlar. Bunun nedeni açıktır: Eğer sinüs ve kosinüs her ikisi de işaret değiştirirse, oranları değişmeyecektir.
Teğetin paydası bir kosinüs içerdiğinden, kosinüsün 0 olduğu noktalarda teğet tanımlanmaz; X= P/2 +kp. Diğer tüm noktalarda monoton olarak artar. Doğrudan X= P/2 + kp teğet için dikey asimptotlardır. noktalarda kp teğet ve eğim sırasıyla 0 ve 1'dir (Şekil 12).
Kotanjant, sinüsün 0 olduğu yerde tanımlanmamıştır (ne zaman x = kp). Diğer noktalarda monoton bir şekilde azalır ve düz çizgiler çizilir. x = kp – dikey asimptotları. noktalarda x = p/2 +kp kotanjant 0 olur ve bu noktalardaki eğim –1'e eşittir (Şekil 13).
Parite ve periyodiklik.
Bir fonksiyon şöyle olsa bile çağrılır: F(–X) = F(X). Kosinüs ve sekant fonksiyonları çifttir ve sinüs, teğet, kotanjant ve kosekant fonksiyonları tektir:
| günah (–α) = – sin α | ten rengi (–α) = – ten rengi α |
| çünkü (–α) = çünkü α | ctg (–α) = – ctg α |
| sn (–α) = sn α | kosec (–α) = – kosec α |
Parite özellikleri noktaların simetrisinden kaynaklanır P bir ve R- A (Şekil 14) eksene göre X. Böyle bir simetriyle noktanın ordinatı işaret değiştirir (( X;en) gider ( X; –y)). Periyodik, sinüs, kosinüs, sekant ve kosekant gibi tüm fonksiyonların periyodu 2'dir. P, ve teğet ve kotanjant - P:
| günah (α + 2 kπ) = günah α | cos(α+2 kπ) = çünkü α |
| tg(α+ kπ) = ten rengi α | karyola(α+ kπ) = cotg α |
| sn (α + 2 kπ) = sn α | kosec(α+2 kπ) = cosec α |
Sinüs ve kosinüsün periyodikliği, tüm noktaların aynı olduğu gerçeğinden kaynaklanır. P a+2 kp, Nerede k= 0, ±1, ±2,…, çakışır ve teğet ve kotanjantın periyodikliği noktaların P bir + kp dönüşümlü olarak dairenin taban tabana zıt iki noktasına düşerek teğet ekseninde aynı noktayı verir.
Trigonometrik fonksiyonların temel özellikleri bir tabloda özetlenebilir:
| İşlev | İhtisas | Çoklu anlamlar | Parite | Monotonluk alanları ( k= 0, ± 1, ± 2,…) |
| günah X | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | garip | ile artar XÇ((4 k – 1) P /2, (4k + 1) P/2), azalır XÇ((4 k + 1) P /2, (4k + 3) P/2) |
| çünkü X | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | eşit | ile artar XÇ((2 k – 1) P, 2kp), azalır XÇ(2 kp, (2k + 1) P) |
| tg X | X № P/2 + pk | (–Ґ , +Ґ ) | garip | ile artar XÇ((2 k – 1) P /2, (2k + 1) P /2) |
| ctg X | X № pk | (–Ґ , +Ґ ) | garip | azalır X HAKKINDA ( kp, (k + 1) P) |
| saniye X | X № P/2 + pk | (–Ґ , –1] VE [+1, +Ґ ) | eşit | ile artar XÇ(2 kp, (2k + 1) P), azalır XÇ((2 k– 1) p, 2 kp) |
| kosaniye X | X № pk | (–Ґ , –1] VE [+1, +Ґ ) | garip | ile artar XÇ((4 k + 1) P /2, (4k + 3) P/2), azalır XÇ((4 k – 1) P /2, (4k + 1) P /2) |
Azaltma formülleri.
Bu formüllere göre a argümanının trigonometrik fonksiyonunun değeri, burada P/2 a p , a argüman fonksiyonunun değerine indirgenebilir; burada 0 a p /2, onunla aynı veya tamamlayıcıdır.
| Argüman b |  -A |
+ bir | P-A | P+ bir | + bir | + bir | 2P-A |
| günah b | çünkü bir | çünkü bir | günah işlemek | –sin a | –çünkü bir | –çünkü bir | –sin a |
| çünkü b | günah işlemek | –sin a | –çünkü bir | –çünkü bir | –sin a | günah işlemek | çünkü bir |
Bu nedenle trigonometrik fonksiyon tablolarında değerler yalnızca dar açılar için verilmiştir ve kendimizi örneğin sinüs ve teğet ile sınırlamak yeterlidir. Tablo sinüs ve kosinüs için yalnızca en sık kullanılan formülleri gösterir. Bunlardan teğet ve kotanjant formüllerini elde etmek kolaydır. Formun bir argümanından bir fonksiyon oluştururken kp/2 ± a, burada k– a argümanının bir fonksiyonuna ait bir tamsayı:
1) aşağıdaki durumlarda fonksiyon adı kaydedilir: k eşit ve eğer "tamamlayıcı" olarak değişir k garip;
2) sağ taraftaki işaret, noktadaki indirgenebilir fonksiyonun işareti ile çakışmaktadır. kp/2 ± a eğer a açısı dar ise.
Örneğin, ctg (a – P/2) şunu garanti ederiz: a – P/2, 0'da a p /2, kotanjantın negatif olduğu dördüncü çeyrekte yer alır ve kural 1'e göre fonksiyonun adını değiştiririz: ctg (a – P/2) = –tg a .
Toplama formülleri.
Çoklu açı formülleri.
Bu formüller doğrudan toplama formüllerinden türetilir:
sin 2a = 2 sin a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
günah 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a;
çünkü 3a = 4 çünkü 3 a – 3 çünkü bir;
Cos 3a formülü kübik denklemi çözerken François Viète tarafından kullanıldı. Çünkü ifadesini ilk bulan oydu N bir ve günah N a, daha sonra Moivre formülünden daha basit bir şekilde elde edildi.
Çift argümanlı formüllerde a'yı a /2 ile değiştirirseniz, bunlar yarım açı formüllerine dönüştürülebilir:
Evrensel ikame formülleri.
Bu formülleri kullanarak, aynı argümanın farklı trigonometrik fonksiyonlarını içeren bir ifade, tek bir tg (a /2) fonksiyonunun rasyonel ifadesi olarak yeniden yazılabilir; bu, bazı denklemleri çözerken faydalı olabilir:
 |
|
 |
 |
Toplamları ürünlere ve ürünleri toplamlara dönüştürmek için formüller.
Bilgisayarların ortaya çıkmasından önce bu formüller hesaplamaları basitleştirmek için kullanılıyordu. Hesaplamalar logaritmik tablolar ve daha sonra bir sürgülü hesap cetveli kullanılarak yapıldı, çünkü logaritmalar sayıları çarpmak için en uygun olanıdır, bu nedenle tüm orijinal ifadeler logaritma için uygun bir forma getirildi; örneğin işe:
2 günah A günah b = çünkü ( a-b) – çünkü ( a+b);
2çünkü Açünkü B=çünkü( a-b) + çünkü ( a+b);
2 günah Açünkü B= günah( a-b) + günah ( a+b).
Teğet ve kotanjant fonksiyonlarına ilişkin formüller yukarıdan elde edilebilir.
Derece indirgeme formülleri.
Çoklu argüman formüllerinden aşağıdaki formüller türetilir:
| günah 2 a = (1 – cos 2a)/2; | cos 2 a = (1 + cos 2a)/2; |
| günah 3 a = (3 sin a – sin 3a)/4; | çünkü 3 a = (3 çünkü a + çünkü 3 a)/4. |
Bu formüller kullanılarak trigonometrik denklemler daha düşük dereceli denklemlere indirgenebilir. Aynı şekilde sinüs ve kosinüsün daha yüksek güçleri için indirgeme formülleri türetebiliriz.
| Trigonometrik fonksiyonların türevleri ve integralleri | |
| (günah X)` = çünkü X; | (çünkü X)` = –sin X; |
| (tg X)` = ; | (ctg X)` = – ; |
| günah x dx= –cos X + C; | çünkü x dx= günah X + C; |
| t tg x dx= –ln|cos X| + C; | t ctg x dx = günah|günah X| + C; |
Tanım alanının her noktasındaki her trigonometrik fonksiyon süreklidir ve sonsuz şekilde türevlenebilir. Ayrıca trigonometrik fonksiyonların türevleri trigonometrik fonksiyonlardır ve entegre edildiklerinde trigonometrik fonksiyonlar veya logaritmaları da elde edilir. Trigonometrik fonksiyonların rasyonel kombinasyonlarının integralleri her zaman temel fonksiyonlardır.
Trigonometrik fonksiyonların kuvvet serileri ve sonsuz çarpımlar şeklinde gösterimi.
Tüm trigonometrik fonksiyonlar kuvvet serilerinde genişletilebilir. Bu durumda fonksiyonlar günah işler. X bcos X satırlar halinde sunulmaktadır. tüm değerler için yakınsak X:
Bu seriler günah için yaklaşık ifadeler elde etmek için kullanılabilir. X ve çünkü X küçük değerlerde X:
| x| p/2;
0x'de| P
(B n – Bernoulli sayıları).
günah fonksiyonları X ve çünkü X sonsuz ürünler şeklinde temsil edilebilir:
Trigonometrik sistem 1, çünkü X,günah X, çünkü 2 X, günah 2 X,¼,çünkü nx,günah nx, ¼, segmentte oluşur [– P, P] fonksiyonların trigonometrik seriler biçiminde temsil edilmesini mümkün kılan ortogonal bir fonksiyon sistemi.
gerçek argümanın karşılık gelen trigonometrik fonksiyonlarının karmaşık düzlemdeki analitik devamları olarak tanımlanır. Evet günah z ve çünkü z günah için seriler kullanılarak tanımlanabilir X ve çünkü X, bunun yerine X koymak z:
Bu seriler tüm düzlem üzerinde yakınsaktır, dolayısıyla günah z ve çünkü z- tüm işlevler.
Teğet ve kotanjant aşağıdaki formüllerle belirlenir:
tg fonksiyonları z ve ctg z– meromorfik fonksiyonlar. tg direkleri z ve saniye z– basit (1. dereceden) ve noktalarda bulunur z = p/2 + pn, direkler ctg z ve cosec z– ayrıca basit ve noktalarda bulunur z = pn, n = 0, ±1, ±2,…
Gerçek bir argümanın trigonometrik fonksiyonları için geçerli olan tüm formüller, karmaşık bir argüman için de geçerlidir. Özellikle,
günah(- z) = –sin z,
çünkü(– z) = çünkü z,
tg(– z) = –tg z,
ctg(– z) = –ctg z,
onlar. çift ve tek parite korunur. Formüller de kaydedilir
günah ( z + 2P) = günah z, (z + 2P) = çünkü z, (z + P) = tg z, (z + P) = ctg z,
onlar. periyodiklik de korunur ve dönemler gerçek bir argümanın işlevleriyle aynıdır.
Trigonometrik fonksiyonlar tamamen hayali bir argümanın üstel fonksiyonu cinsinden ifade edilebilir:
Geri, e iz cos cinsinden ifade edilir z ve günah z formüle göre:
e iz=çünkü z + Ben günah z
Bu formüllere Euler formülleri denir. Leonhard Euler bunları 1743'te geliştirdi.
Trigonometrik fonksiyonlar aynı zamanda hiperbolik fonksiyonlar cinsinden de ifade edilebilir:
z = –Benş iz, çünkü z = ch iz, z = –i th iz.
burada sh, ch ve th hiperbolik sinüs, kosinüs ve tanjanttır.
Karmaşık argümanın trigonometrik fonksiyonları z = x + iy, Nerede X Ve sen– gerçek sayılar, gerçek argümanların trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonları aracılığıyla ifade edilebilir, örneğin:
günah ( x + iy) = günah X ch sen + Bençünkü Xş sen;
çünkü( x + iy) = çünkü X ch sen + Ben günah Xş sen.
Karmaşık bir argümanın sinüs ve kosinüsü, mutlak değer olarak 1'den büyük gerçek değerler alabilir. Örneğin:
Bilinmeyen bir açı, trigonometrik fonksiyonların argümanı olarak bir denkleme girerse, o zaman denklem trigonometrik olarak adlandırılır. Bu tür denklemler o kadar yaygındır ki yöntemleri çözümler oldukça detaylı ve dikkatli bir şekilde geliştirildi. İLEÇeşitli teknikler ve formüller kullanılarak trigonometrik denklemler formdaki denklemlere indirgenir. F(X)= bir, Nerede F– en basit trigonometrik fonksiyonlardan herhangi biri: sinüs, kosinüs, teğet veya kotanjant. Daha sonra argümanı ifade edin X bu fonksiyon bilinen değeriyle A.
Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğundan aynı A değer aralığından bağımsız değişkenin sonsuz sayıda değeri vardır ve denklemin çözümleri tek bir fonksiyon olarak yazılamaz A. Bu nedenle temel trigonometrik fonksiyonların her birinin tanım alanında her birinin bir kez olmak üzere tüm değerlerini aldığı bir bölüm seçilir ve bu bölümde bunun tersi olan fonksiyon bulunur. Bu tür işlevler, orijinal işlevin adına yay (yay) önekinin eklenmesiyle gösterilir ve ters trigonometrik olarak adlandırılır. fonksiyonlar veya basitçe yay fonksiyonları.
Ters trigonometrik fonksiyonlar.
Günah için X, çünkü X, tg X ve ctg X Ters fonksiyonlar tanımlanabilir. Buna göre arcsin ile gösterilirler. X("arksin" okuyun X"), arcos X, arktan X ve arcctg X. Tanım gereği arksin X böyle bir sayı var sen, Ne
günah en = X.
Diğer ters trigonometrik fonksiyonlar için de benzer şekilde. Ancak bu tanımda bazı yanlışlıklar bulunmaktadır.
Eğer günahı yansıtırsan X, çünkü X, tg X ve ctg X Koordinat düzleminin birinci ve üçüncü çeyreğinin açıortayına göre, bu durumda fonksiyonlar periyodiklikleri nedeniyle belirsiz hale gelir: sonsuz sayıda açı aynı sinüse (kosinüs, teğet, kotanjant) karşılık gelir.
Belirsizliği ortadan kaldırmak için eğrinin genişliği P Bu durumda argüman ile fonksiyonun değeri arasında bire bir yazışmanın sürdürülmesi gerekir. Koordinatların başlangıç noktasına yakın alanlar seçilir. sinüs girişi için “Bire bir aralık” olarak segmenti alıyoruz [– P/2, P/2], burada sinüs monoton olarak –1'den 1'e yükselir, kosinüs için – segment, sırasıyla teğet ve kotanjant için aralıklar (– P/2, P/2) ve (0, P). Aralıktaki her eğri açıortaya göre yansıtılır ve artık ters trigonometrik fonksiyonlar belirlenebilir. Örneğin, argüman değeri verilsin x0,öyle ki 0 Ј X 0 Ј 1. Daha sonra fonksiyonun değeri sen 0 = arksin X 0 tek bir anlamı olacak en 0 , öyle ki - P/2 Ј en 0 Ј P/2 ve X 0 = günah sen 0 .
Dolayısıyla arksinüs arksinin bir fonksiyonudur A, [–1, 1] aralığında tanımlanır ve her biri için eşittir A böyle bir değere, – P/2 a p /2 günah a = A. Birim daire kullanarak temsil etmek çok uygundur (Şekil 15). Ne zaman | a| 1 Bir daire üzerinde koordinatları olan iki nokta vardır A, eksene göre simetrik sen. Bunlardan biri açıya karşılık gelir A= arksin A, diğeri ise köşe p-a. İLE sinüsün periyodikliğini dikkate alarak, günah denklemini çözer X= Aşu şekilde yazılır:
x =(–1)N arksin A + 2pn,
Nerede N= 0, ±1, ±2,...
Diğer basit trigonometrik denklemler aynı şekilde çözülebilir:
çünkü X = A, –1 =A= 1;
x =±arcos A + 2pn,
Nerede P= 0, ±1, ±2,... (Şekil 16);
tg X = A;
X= arktan A + P N,
Nerede n = 0, ±1, ±2,... (Şek. 17);
ctg X= A;
X= arkctg A + P N,
Nerede n = 0, ±1, ±2,... (Şek. 18).
Ters trigonometrik fonksiyonların temel özellikleri:
arksin X(Şekil 19): tanım alanı – segment [–1, 1]; menzil - [- P/2, P/2], monoton olarak artan fonksiyon;
Arcco'lar X(Şekil 20): tanım alanı – segment [–1, 1]; menzil - ; monoton olarak azalan fonksiyon;
arktg X(Şekil 21): tanım alanı – tüm gerçek sayılar; değer aralığı – aralık (– P/2, P/2); monoton olarak artan fonksiyon; dümdüz en= –P/2 ve y = p /2 – yatay asimptotlar;
arkctg X(Şekil 22): tanım alanı – tüm gerçek sayılar; değer aralığı – aralık (0, P); monoton olarak azalan fonksiyon; dümdüz sen= 0 ve y = p– yatay asimptotlar.
Çünkü karmaşık argüman günahının trigonometrik fonksiyonları z ve çünkü z(gerçek argümanın fonksiyonlarından farklı olarak) tüm karmaşık değerleri alırsa denklemler günah işler z = A ve çünkü z = A her türlü komplekse çözüm var bir x Ve sen gerçek sayılardır, eşitsizlikler geçerlidir
½| e\e y–e-e| ≤|günah z|≤½( e y + e-y),
½| e y–e-e| ≤|çünkü z|≤½( e y +e -y),
hangisinin sen® Ґ asimptotik formüller aşağıdaki gibidir (eşit olarak X)
|günah z| » 1/2 e |y| ,
|çünkü z| » 1/2 e |y| .
Trigonometrik fonksiyonlar ilk olarak astronomi ve geometri araştırmalarıyla bağlantılı olarak ortaya çıktı. Esasen trigonometrik fonksiyonlar olan üçgen ve daire içindeki bölümlerin oranları 3. yüzyılda zaten bulunmuştur. M.Ö e. Antik Yunan matematikçilerinin eserlerinde – Öklid, Arşimet, Pergeli Apollonius ve diğerleri, ancak bu ilişkiler bağımsız bir çalışma konusu değildi, bu nedenle trigonometrik fonksiyonları bu şekilde incelemediler. Başlangıçta segmentler olarak düşünülmüş ve bu formda Aristarchus (M.Ö. 4. yüzyılın sonu - 2. yarı, MÖ 3. yüzyıl), Hipparchus (M.Ö. 2. yüzyıl), Menelaus (MS 1. yüzyıl) ve Ptolemy (MS 2. yüzyıl) tarafından kullanılmıştır. küresel üçgenlerin çözümü. Ptolemy, her 30 inçlik dar açılar için 10 –6 doğrulukla ilk akor tablosunu derledi. Bu ilk sinüs tablosuydu. Oran olarak sin a fonksiyonu Aryabhata'da (5. yüzyılın sonu) zaten bulunuyor. tg a ve ctg a işlevleri el-Battani (9. yüzyılın 2. yarısı - 10. yüzyılın başları) ve Abul-Vefa'da (10. yüzyıl) bulunur; o da sec a ve cosec a'yı kullanır... Aryabhata bu formülü zaten biliyordu ( sin 2 a + cos 2 a) = 1 ve yarım açının sin ve cos formülleri, bunun yardımıyla 3°45"'e kadar olan açılar için sinüs tabloları oluşturdum; en basit argümanlar için trigonometrik fonksiyonların bilinen değerlerine dayanmaktadır. Bhaskara (12. yüzyıl), toplama formüllerini kullanarak 1'e göre tablolar oluşturmak için bir yöntem verdi. Çeşitli argümanların trigonometrik fonksiyonlarının toplamını ve farkını bir ürüne dönüştürmek için formüller, Regiomontanus (15. yüzyıl) ve J. Napier tarafından, logaritmaların icadıyla bağlantılı olarak (1614) türetilmiştir. Regiomontan, 1" cinsinden sinüs değerleri tablosunu verdi. Trigonometrik fonksiyonların güç serilerine genişletilmesi I. Newton (1669) tarafından elde edildi. Trigonometrik fonksiyonlar teorisi, L. Euler ( 18. yüzyıl) Üstel fonksiyon ve sinüs ve kosinüs sisteminin ortogonalliği ile bağlantılar kuran, artık sembolizm olarak kabul edilen gerçek ve karmaşık argümanların tanımına sahiptir.
Bazı problemleri çözmek için, fonksiyonları dönüştürmeyi çok daha kolay hale getirecek bir trigonometrik kimlikler tablosu faydalı olacaktır:En basit trigonometrik kimlikler
Bir alfa açısının sinüsünü aynı açının kosinüsüne bölme bölümü bu açının tanjantına eşittir (Formül 1). Ayrıca en basit trigonometrik özdeşliklerin dönüşümünün doğruluğunun kanıtına da bakın.
Bir alfa açısının kosinüsünü aynı açının sinüsüne bölme bölümü aynı açının kotanjantına eşittir (Formül 2)
Bir açının sekantı, aynı açının kosinüsüne bölünen sayıya eşittir (Formül 3)
Aynı açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamı bire eşittir (Formül 4). ayrıca kosinüs ve sinüsün karelerinin toplamının ispatına bakınız.
Bir açının tanjantı ile birinin toplamı, birin bu açının kosinüsünün karesine oranına eşittir (Formül 5)
Bir açının kotanjantı artı birin bu açının sinüs karesine bölünmesine eşittir (Formül 6)
Aynı açının teğet ve kotanjantının çarpımı bire eşittir (Formül 7).
Trigonometrik fonksiyonların negatif açılarını dönüştürme (çift ve tek)
Sinüs, kosinüs veya tanjant hesaplanırken bir açının derece ölçüsünün negatif değerinden kurtulmak için çift veya tek trigonometrik fonksiyonların prensiplerine dayalı olarak aşağıdaki trigonometrik dönüşümleri (özdeşlikleri) kullanabilirsiniz.
Görüldüğü gibi, kosinüs ve sekant eşit işlev, sinüs, tanjant ve kotanjant tek fonksiyonlardır.
Negatif bir açının sinüsü, aynı pozitif açının sinüsünün negatif değerine (eksi sinüs alfa) eşittir.
Kosinüs eksi alfa, alfa açısının kosinüsüyle aynı değeri verecektir.
Teğet eksi alfa, eksi teğet alfaya eşittir.
Çift açıları azaltmak için formüller (çift açıların sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı)
Bir açıyı ikiye bölmeniz veya tam tersi, çift açıdan tek açıya geçmeniz gerekiyorsa aşağıdaki trigonometrik özdeşlikleri kullanabilirsiniz:
Çift Açılı Dönüşüm (bir çift açının sinüsü, bir çift açının kosinüsü ve bir çift açının tanjantı) tekli olarak aşağıdaki kurallara göre gerçekleşir:
Çift açının sinüsü bir açının sinüsü ile kosinüsünün çarpımının iki katına eşittir
Çift açının kosinüsü tek bir açının kosinüsünün karesi ile bu açının sinüsünün karesi arasındaki farka eşittir
Çift açının kosinüsü tek bir açı eksi birin kosinüsünün karesinin iki katına eşittir
Çift açının kosinüsü eşittir bir eksi çift sinüs kare tek açı
Çift açının tanjantı payı tek bir açının tanjantının iki katı olan bir kesire eşittir ve payda bir eksi tek bir açının tanjantının karesine eşittir.
Çift açının kotanjantı payı tek bir açının kotanjantının karesi eksi bir olan ve paydası tek bir açının kotanjantının iki katına eşit olan bir kesire eşittir
Evrensel trigonometrik ikame formülleri
Aşağıdaki dönüşüm formülleri, bir trigonometrik fonksiyonun argümanını (sin α, cos α, tan α) ikiye bölmeniz ve ifadeyi yarım açı değerine indirmeniz gerektiğinde yararlı olabilir. α değerinden α/2 elde ederiz.Bu formüllere denir evrensel trigonometrik ikame formülleri. Değerleri, ifadede orijinal olarak hangi trigonometrik fonksiyonların (sin cos tan ctg) olduğuna bakılmaksızın, onların yardımıyla bir trigonometrik ifadenin yarım açının tanjantını ifade etmeye indirgenmesi gerçeğinde yatmaktadır. Bundan sonra yarım açının teğetini içeren denklemi çözmek çok daha kolaydır.
Yarım açı dönüşümleri için trigonometrik kimlikler
Yarım açının tam değerine trigonometrik dönüşüm formülleri aşağıdadır.Trigonometrik fonksiyon α/2'nin argümanının değeri, trigonometrik fonksiyon α'nın argümanının değerine indirgenir.
Açı eklemek için trigonometrik formüller
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
günah (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
günah (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Açıların toplamının teğet ve kotanjantı alfa ve beta, trigonometrik fonksiyonları dönüştürmek için aşağıdaki kurallar kullanılarak dönüştürülebilir:
Açıların toplamının tanjantı payı birinci açının tanjantı ile ikinci açının tanjantının toplamı olan ve paydası bir eksi birinci açının tanjantı ile ikinci açının tanjantının çarpımı olan bir kesire eşittir.
Açı farkının tanjantı payı azaltılan açının tanjantı ile çıkarılan açının tanjantı arasındaki farka eşit olan ve paydası bir artı bu açıların tanjantlarının çarpımı olan bir kesire eşittir.
Açıların toplamının kotanjantı payı bu açıların kotanjantları artı bire eşit olan bir kesire eşittir ve payda, ikinci açının kotanjantı ile birinci açının kotanjantı arasındaki farka eşittir.
Açı farkının kotanjantı payı bu açıların kotanjantlarının eksi bir çarpımı olan bir kesire eşittir ve payda bu açıların kotanjantlarının toplamına eşittir.
Bu trigonometrik kimlikler, örneğin 105 derecenin (tg 105) tanjantını hesaplamanız gerektiğinde kullanıma uygundur. Bunu tg (45 + 60) olarak hayal ederseniz, açıların toplamının teğetinin verilen aynı dönüşümlerini kullanabilir ve ardından teğet 45 ve teğet 60 derecenin tablodaki değerlerini değiştirebilirsiniz.
Trigonometrik fonksiyonların toplamını veya farkını dönüştürmek için formüller
sin α + sin β formunun toplamını temsil eden ifadeler aşağıdaki formüller kullanılarak dönüştürülebilir:
Üçlü açı formülleri - sin3α cos3α tan3α'yı sinα cosα tanα'ya dönüştürme
Bazen bir açının üçlü değerini dönüştürmek gerekir, böylece trigonometrik fonksiyonun argümanı 3a yerine α açısı olur.Bu durumda üçlü açı dönüşüm formüllerini (kimliklerini) kullanabilirsiniz:
Trigonometrik fonksiyonların çarpımlarını dönüştürmek için formüller
Farklı açılardaki sinüslerin çarpımını, farklı açılardaki kosinüsleri ve hatta sinüs ve kosinüs çarpımını dönüştürmeye ihtiyaç varsa, aşağıdaki trigonometrik kimlikleri kullanabilirsiniz:
Bu durumda farklı açıların sinüs, kosinüs veya tanjant fonksiyonlarının çarpımı toplama veya farka dönüştürülecektir.
Trigonometrik fonksiyonları azaltmak için formüller
İndirgeme tablosunu aşağıdaki gibi kullanmanız gerekir. Satırda bizi ilgilendiren işlevi seçiyoruz. Sütunda bir açı var. Örneğin, birinci satır ile birinci sütunun kesişimindeki açının sinüsü (α+90), sin (α+90) = cos α olduğunu buluruz.
Egzersiz yapmak.
x'in değerini bulun.
Çözüm.
Fonksiyon argümanının herhangi bir değere eşit olduğu değerini bulmak, sinüs değerinin hangi argümanlarda tam olarak koşulda belirtildiği gibi olacağını belirlemek anlamına gelir.
Bu durumda sinüs değerinin hangi değerlerde 1/2'ye eşit olacağını bulmamız gerekiyor. Bu birkaç yolla yapılabilir.
Örneğin, sinüs fonksiyonunun hangi x değerlerinde 1/2'ye eşit olacağını belirlemek için kullanın.
Başka bir yol da kullanmaktır. Sinüslerin değerlerinin Oy ekseninde olduğunu hatırlatayım.
Özellikle bu fonksiyon için standart olan 1/2 gibi değerlerle uğraşırken en yaygın yol kullanmaktır.
Her durumda, sinüsün en önemli özelliklerinden biri olan periyodunu unutmamak gerekir.
Tabloda sinüs için 1/2 değerini bulalım ve hangi argümanların buna karşılık geldiğini görelim. İlgilendiğimiz argümanlar Pi/6 ve 5Pi/6'dır.
Verilen denklemi sağlayan tüm kökleri yazalım. Bunu yapmak için bizi ilgilendiren bilinmeyen argüman x'i ve tablodan elde edilen argümanın değerlerinden birini yani Pi / 6'yı yazıyoruz. Bunun için sinüs periyodunu dikkate alarak yazıyoruz. , argümanın tüm değerleri:
İkinci değeri alalım ve önceki durumda olduğu gibi aynı adımları izleyelim:
Orijinal denklemin tam çözümü şöyle olacaktır: 
Ve 
Q herhangi bir tam sayının değerini alabilir.
Sinüs, kullanımı yalnızca geometriyle sınırlı olmayan temel trigonometrik fonksiyonlardan biridir. Mühendislik hesap makineleri gibi trigonometrik fonksiyonların hesaplanmasına yönelik tablolar her zaman elinizin altında değildir ve bazen çeşitli sorunları çözmek için sinüsün hesaplanmasına ihtiyaç duyulur. Genel olarak sinüsün hesaplanması, çizim becerilerinin ve trigonometrik kimlik bilgilerinin pekiştirilmesine yardımcı olacaktır.
Cetvel ve kalemle oynanan oyunlar
Basit bir görev: Kağıt üzerine çizilmiş bir açının sinüsü nasıl bulunur? Çözmek için normal bir cetvele, bir üçgene (veya pusulaya) ve bir kaleme ihtiyacınız olacak. Bir açının sinüsünü hesaplamanın en basit yolu, dik açılı bir üçgenin uzak kenarını uzun kenara, yani hipotenüse bölmektir. Bu nedenle, öncelikle açının tepe noktasından keyfi bir mesafede ışınlardan birine dik bir çizgi çizerek dik üçgen şekline göre dar açıyı tamamlamanız gerekir. Tam olarak 90°'lik bir açıyı korumamız gerekecek, bunun için de bir rahip üçgenine ihtiyacımız var.
Pusula kullanmak biraz daha doğrudur ancak daha fazla zaman alacaktır. Işınlardan birinde belirli bir mesafede 2 nokta işaretlemeniz, pusula üzerinde noktalar arasındaki mesafeye yaklaşık olarak eşit bir yarıçap ayarlamanız ve bu çizgilerin kesişimleri elde edilene kadar bu noktalarda merkezleri olan yarım daireler çizmeniz gerekir. Çemberlerimizin kesişme noktalarını birbirine bağlayarak açımızın ışınına tam bir diklik elde ederiz; geriye kalan tek şey çizgiyi başka bir ışınla kesişene kadar uzatmak.
Ortaya çıkan üçgende köşenin karşısındaki tarafı ve ışınlardan birinin uzun tarafını ölçmek için bir cetvel kullanmanız gerekir. Birinci boyutun ikinciye oranı, dar açının sinüsünün istenen değeri olacaktır.
90°'den büyük bir açının sinüsünü bulun
Geniş bir açı için görev çok daha zor değildir. İlgilendiğimiz açının ışınlarından biriyle düz bir çizgi oluşturacak şekilde cetvel kullanarak tepe noktasından ters yönde bir ışın çizmemiz gerekiyor. Ortaya çıkan dar açı yukarıda anlatıldığı gibi ele alınmalıdır; birlikte 180°'lik bir ters açı oluşturan komşu açıların sinüsleri eşittir.
Diğer trigonometrik fonksiyonları kullanarak sinüs hesaplama
Ayrıca, açının diğer trigonometrik fonksiyonlarının değerleri veya en azından üçgenin kenarlarının uzunlukları biliniyorsa sinüsün hesaplanması mümkündür. Trigonometrik kimlikler bu konuda bize yardımcı olacaktır. Yaygın örneklere bakalım.
Bir açının bilinen kosinüsü ile sinüs nasıl bulunur? Pisagor teoremine dayanan ilk trigonometrik özdeşlik, aynı açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamının bire eşit olduğunu belirtir.
Bir açının bilinen tanjantına sahip sinüs nasıl bulunur? Tanjant, uzak tarafın yakın tarafa bölünmesiyle veya sinüsün kosinüsle bölünmesiyle elde edilir. Böylece sinüs, kosinüs ve tanjantın çarpımı olacak ve sinüsün karesi bu çarpımın karesi olacaktır. Birinci trigonometrik özdeşliğe göre kare kosinüsü birlik ve kare sinüs arasındaki farkla değiştiririz ve basit işlemlerle denklemi teğet aracılığıyla kare sinüsün hesaplanmasına indirgeriz; buna göre sinüsü hesaplamak için şunları yaparsınız: Elde edilen sonucun kökünü çıkarmak gerekir.
Bir açının bilinen kotanjantına sahip sinüs nasıl bulunur? Kotanjantın değeri, açıya en yakın bacağın uzunluğunu uzak olanın uzunluğuna bölerek ve ayrıca kosinüsü sinüse bölerek hesaplanabilir, yani kotanjant, teğete göre ters bir fonksiyondur. 1 sayısına. Sinüs hesaplamak için tg α = 1 / ctg α formülünü kullanarak tanjantı hesaplayabilir ve ikinci seçenekteki formülü kullanabilirsiniz. Ayrıca teğete benzeterek şöyle görünecek doğrudan bir formül de türetebilirsiniz.
Bir üçgenin üç tarafının sinüsü nasıl bulunur
Sadece bir dik üçgenin değil, herhangi bir üçgenin bilinmeyen tarafının uzunluğunu, karşı açının kosinüsünün trigonometrik fonksiyonunu kullanarak bilinen iki taraftan bulmak için bir formül vardır. Şuna benziyor.
Trigonometri, trigonometrik fonksiyonları ve bunların geometride kullanımını inceleyen bir matematik bilimi dalıdır. Trigonometrinin gelişimi antik Yunan'da başladı. Orta Çağ boyunca Orta Doğu ve Hindistan'dan bilim adamlarının bu bilimin gelişmesine önemli katkıları olmuştur.
Bu makale trigonometrinin temel kavramlarına ve tanımlarına ayrılmıştır. Temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını tartışır: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant. Anlamları geometri bağlamında açıklanmış ve gösterilmiştir.
Başlangıçta argümanı açı olan trigonometrik fonksiyonların tanımları bir dik üçgenin kenarlarının oranı cinsinden ifade ediliyordu.
Trigonometrik fonksiyonların tanımları
Bir açının sinüsü (sin α), bu açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranıdır.
Açının kosinüsü (cos α) - bitişik bacağın hipotenüse oranı.
Açı teğeti (t g α) - karşı tarafın bitişik tarafa oranı.
Açı kotanjantı (c t g α) - bitişik tarafın karşı tarafa oranı.
Bu tanımlar bir dik üçgenin dar açısı için verilmiştir!
Bir örnek verelim.
C dik açılı ABC üçgeninde, A açısının sinüsü, BC kenarının AB hipotenüsüne oranına eşittir.
Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tanımları, bu fonksiyonların değerlerini üçgenin kenarlarının bilinen uzunluklarından hesaplamanıza olanak tanır.
Hatırlanması önemli!
Sinüs ve kosinüs değerlerinin aralığı -1'den 1'e kadardır. Yani sinüs ve kosinüs -1'den 1'e kadar değerler alır. Teğet ve kotanjantın değer aralığı sayı doğrusunun tamamıdır, yani bu işlevler herhangi bir değeri alabilir.
Yukarıda verilen tanımlar dar açılar için geçerlidir. Trigonometride, değeri dar açıdan farklı olarak 0 ila 90 derece ile sınırlı olmayan bir dönme açısı kavramı tanıtıldı.Derece veya radyan cinsinden dönme açısı - ∞ ila + ∞ arasında herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilir. .
Bu bağlamda keyfi büyüklükte bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantını tanımlayabiliriz. Merkezi Kartezyen koordinat sisteminin başlangıç noktasında olan bir birim çember düşünelim.
Koordinatları (1, 0) olan başlangıç noktası A, birim çemberin merkezi etrafında belirli bir α açısı boyunca döner ve A 1 noktasına gider. Tanım A 1 (x, y) noktasının koordinatları cinsinden verilmiştir.
Dönme açısının sinüsü (sinüsü)
Dönme açısı α'nın sinüsü, A1 (x, y) noktasının ordinatıdır. günah α = y
Dönme açısının kosinüsü (cos)
Dönme açısı α'nın kosinüsü, A1 (x, y) noktasının apsisidir. çünkü α = x
Dönme açısının tanjantı (tg)
Dönme açısı α'nın tanjantı, A1 noktasının (x, y) ordinatının apsisine oranıdır. t g α = y x
Dönme açısının kotanjantı (ctg)
Dönme açısı α'nın kotanjantı, A1 noktasının (x, y) apsisinin ordinatına oranıdır. c t g α = x y
Sinüs ve kosinüs herhangi bir dönüş açısı için tanımlanır. Bu mantıklıdır çünkü bir noktanın dönme sonrasında apsisi ve ordinatı herhangi bir açıda belirlenebilir. Teğet ve kotanjant için durum farklıdır. Döndürme sonrasında bir nokta sıfır apsisli (0, 1) ve (0, - 1) bir noktaya gittiğinde teğet tanımsızdır. Bu gibi durumlarda, t g α = y x teğet ifadesi, sıfıra bölünmeyi içerdiği için anlamsızdır. Durum kotanjant için de benzerdir. Aradaki fark, bir noktanın ordinatının sıfıra gittiği durumlarda kotanjantın tanımlı olmamasıdır.
Hatırlanması önemli!
Sinüs ve kosinüs herhangi bir α açısı için tanımlanır.
Teğet, α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.
Kotanjant, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.
Pratik örnekleri çözerken “α dönme açısının sinüsü” demeyin. "Dönme açısı" kelimeleri basitçe atlanmıştır, bu da neyin tartışıldığının bağlamdan zaten açıkça anlaşıldığını ima etmektedir.
Sayılar
Bir sayının dönme açısı değil de sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının tanımına ne dersiniz?
Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjantı
Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı T sırasıyla sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanta eşit olan bir sayıdır. T radyan.
Örneğin, 10 π sayısının sinüsü, 10 π rad dönme açısının sinüsüne eşittir.
Bir sayının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım daha vardır. Şimdi ona daha yakından bakalım.
Herhangi bir gerçek sayı T Birim çember üzerindeki bir nokta, dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin başlangıç noktasındaki merkezle ilişkilidir. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant bu noktanın koordinatları üzerinden belirlenir.
Çemberin başlangıç noktası koordinatları (1, 0) olan A noktasıdır.
Pozitif sayı T
Negatif sayı T başlangıç noktasının daire etrafında saat yönünün tersine hareket etmesi ve t yolunu geçmesi durumunda gideceği noktaya karşılık gelir.
Artık bir sayı ile bir daire üzerindeki bir nokta arasındaki bağlantı kurulduğuna göre sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın tanımına geçiyoruz.
T'nin sinüsü (günahı)
Bir sayının sinüsü T- birim çember üzerindeki sayıya karşılık gelen bir noktanın koordinatı T. günah t = y
Kosinüs (cos) t
Bir sayının kosinüsü T- birim çemberin sayıya karşılık gelen noktasının apsisi T. çünkü t = x
T'nin tanjantı (tg)
Bir sayının tanjantı T- birim çember üzerindeki sayıya karşılık gelen bir noktanın ordinatının apsisine oranı T. t g t = y x = sin t çünkü t
En son tanımlar bu paragrafın başında verilen tanıma uygundur ve çelişmez. Sayıya karşılık gelen dairenin üzerine gelin T, bir açıyla döndükten sonra başlangıç noktasının gittiği noktaya denk gelir T radyan.
Açısal ve sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonları
α açısının her değeri, bu açının sinüs ve kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir. α = 90° + 180°k dışındaki tüm α açıları gibi, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) belirli bir teğet değerine karşılık gelir. Kotanjant, yukarıda belirtildiği gibi, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) dışındaki tüm α'lar için tanımlanır.
sin α, cos α, t g α, c t g α'nın alfa açısının fonksiyonları veya açısal argümanın fonksiyonları olduğunu söyleyebiliriz.
Benzer şekilde, sayısal bir argümanın fonksiyonları olarak sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjanttan bahsedebiliriz. Her gerçek sayı T bir sayının sinüs veya kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir T. π 2 + π · k, k ∈ Z dışındaki tüm sayılar bir teğet değere karşılık gelir. Benzer şekilde kotanjant, π · k, k ∈ Z dışındaki tüm sayılar için tanımlanır.
Trigonometrinin temel fonksiyonları
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant temel trigonometrik fonksiyonlardır.
Trigonometrik fonksiyonun hangi argümanıyla (açısal argüman veya sayısal argüman) uğraştığımız bağlamdan genellikle açıktır.
En başta verilen tanımlara ve 0 ila 90 derece aralığında yer alan alfa açısına dönelim. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın trigonometrik tanımları, bir dik üçgenin en boy oranlarının verdiği geometrik tanımlarla tamamen tutarlıdır. Hadi gösterelim.
Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde merkezi olan bir birim çemberi ele alalım. A (1, 0) başlangıç noktasını 90 dereceye kadar bir açıyla döndürelim ve ortaya çıkan A 1 (x, y) noktasından apsis eksenine dik bir çizelim. Ortaya çıkan dik üçgende, A 1 O H açısı a dönme açısına eşittir, O H bacağının uzunluğu A 1 (x, y) noktasının apsisine eşittir. Açının karşısındaki bacağın uzunluğu A 1 (x, y) noktasının ordinatına eşittir ve birim dairenin yarıçapı olduğu için hipotenüsün uzunluğu bire eşittir.
Geometrideki tanıma uygun olarak, α açısının sinüsü karşı tarafın hipotenüse oranına eşittir.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Bu, bir dik üçgende bir dar açının sinüsünü en boy oranı aracılığıyla belirlemenin, alfa 0 ila 90 derece aralığında yer alacak şekilde dönme açısı a'nın sinüsünü belirlemeye eşdeğer olduğu anlamına gelir.
Benzer şekilde kosinüs, tanjant ve kotanjant için tanımların uygunluğu gösterilebilir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
