Sayılar için bölünebilirlik testleri- bunlar, bölme yapmadan, nispeten hızlı bir şekilde bu sayının belirli bir sayıya kalansız bölünebilir olup olmadığını bulmayı mümkün kılan kurallardır.
Bazı bölünebilirlik kriteri oldukça basit, biraz daha zor. Bu sayfada, örneğin 2, 3, 5, 7, 11 gibi asal sayılar için bölünebilirlik ölçütlerini ve 6 veya 12 gibi bileşik sayılar için bölünebilirlik ölçütlerini bulacaksınız.
Umarım bu bilgiler sizin için yararlı olur.
İyi öğrenmeler!

2'ye bölünebilirlik

Bu, en basit bölünebilirlik kriterlerinden biridir. Kulağa şöyle geliyor: eğer bir doğal sayının kaydı çift bir rakamla bitiyorsa, o zaman çifttir (2'ye kalansız bölünebilir) ve bir sayının kaydı tek bir rakamla biterse, o zaman bu sayı tektir.
Başka bir deyişle, numaranın son rakamı ise 2 , 4 , 6 , 8 veya 0 - sayı 2'ye bölünebilir, değilse, o zaman bölünemez
Örneğin sayılar: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 çift \u200b\u200boldukları için 2'ye bölünebilir.
Ve sayılar: 23 5 , 137 , 2303
tuhaf oldukları için 2'ye bölünemezler.

3'e bölünebilirlik

Bu bölünebilirlik kriterinin tamamen farklı kuralları vardır: Bir sayının basamaklarının toplamı 3'e bölünebiliyorsa, o zaman sayı da 3'e bölünebilir; Bir sayının rakamlarının toplamı 3'e bölünemezse, bu durumda sayı 3'e de bölünemez.
Yani, bir sayının 3'e bölünebilir olup olmadığını anlamak için, içerdiği sayıları toplamanız yeterlidir.
Şöyle görünüyor: 3987 ve 141, 3'e bölünebilir çünkü ilk durumda 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 3 \u003d 9 - ostak olmadan 3'e bölünebilir) ve ikinci 1 + 4 + 1 \u003d 6 (6: 3 \u003d 2 - ostak olmadan da 3'e bölünebilir).
Ancak 235 ve 566 sayıları 3'e bölünemez çünkü 2 + 3 + 5 \u003d 10 ve 5 + 6 + 6 \u003d 17 (ve ne 10 ne de 17'nin kalan olmadan 3'e bölünemeyeceğini biliyoruz).

4'e bölünebilirlik

Bu bölünebilirlik kriteri daha karmaşık olacaktır. Sayının son 2 basamağı 4'e bölünebilen bir sayı oluşturuyorsa veya 00 ise, o zaman sayı 4'e bölünebilir, aksi takdirde bu sayı 4'e bölünemez.
Örneğin: 1 00 ve 3 64 4'e bölünür, çünkü ilk durumda, sayı 00 ve ikincisinde 64 , bu da kalansız 4'e bölünebilir (64: 4 \u003d 16)
Sayılar 3 57 ve 8 86 4'e bölünemez, çünkü ikisi de 57 ne de 86 4'e bölünemezler, yani verilen bölünebilirlik kriterine karşılık gelmezler.

5'e bölünebilirlik

Ve yine oldukça basit bir bölünebilirlik işaretimiz var: eğer bir doğal sayının kaydı 0 veya 5 rakamıyla bitiyorsa, o zaman bu sayı 5'e bölünebilir. Bir sayının kaydı başka bir rakamla biterse, o zaman sayı 5'e bölünemez.
Bu, rakamlarla biten tüm sayıların 0 ve 5 ör. 1235 5 ve 43 0 , kuralın kapsamına girer ve 5'e bölünebilir.
Ve örneğin, 1549 3 ve 56 4 5 veya 0 ile bitmez, bu da 5'e kalansız bölünemeyecekleri anlamına gelir.

6'ya bölünebilirlik

Önümüzde, 2 ve 3 sayılarının çarpımı olan bileşik bir sayı 6 var. Bu nedenle, 6'ya bölünebilirlik de bileşiktir: Bir sayının 6'ya bölünebilmesi için, aynı anda iki bölünebilme özelliğine karşılık gelmesi gerekir: 2'ye bölünebilme özelliği ve 3'e bölünebilme özelliği. Aynı zamanda, 4 gibi bir bileşik sayının ayrı bir bölünebilirlik işaretine sahip olduğuna dikkat edin, çünkü bu 2 sayısının tek başına çarpımıdır. Ancak 6 kritere bölünebilirliğe geri dönelim.
138 ve 474 sayıları çifttir ve 3'e bölünebilirlik kriterine karşılık gelir (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 ve 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), yani 6'ya bölünebilirler. Ama 123 ve 447, 3'e bölünebilmesine rağmen (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 ve 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), ancak tuhaflar, yani bölünebilirlik kriterine 2'ye karşılık gelmiyorlar, ve bu nedenle bölünebilirlik kriterine 6 ile karşılık gelmez.

7'ye bölünebilirlik

Bu bölünebilme işareti daha karmaşıktır: eğer son iki katına çıkan basamağı bu sayının onluklarından çıkarmanın sonucu 7'ye bölünebilir veya 0'a eşitse sayı 7'ye bölünebilir.
Oldukça kafa karıştırıcı görünüyor, ancak pratikte basit. Kendiniz görün: numara 95 9, 7'ye bölünebilir çünkü 95 -2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77, kalan olmadan 7'ye bölünebilir). Üstelik, dönüşümler sırasında elde edilen sayı ile ilgili zorluklar ortaya çıktıysa (büyüklüğü nedeniyle 7'ye bölünüp bölünemeyeceğini anlamak zordur, bu durumda bu işleme gerekli gördüğünüz kadar devam edilebilir).
Örneğin, 45 5 ve 4580 1'de 7'ye bölünebilirlik işaretleri var. İlk durumda, her şey oldukça basit: 45 -2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. İkinci durumda, şunu yapacağız: 4580 -2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. Anlamak bizim için zor 457 8'e 7, o halde işlemi tekrarlayalım: 457 -2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. Ve yine üç basamaklı bir sayıya sahip olduğumuz için bölünebilirlik kriterini kullanacağız. 44 1. Yani, 44 -2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, yani 42, kalan olmadan 7'ye bölünebilir, yani 45801, 7'ye bölünebilir.
Ama sayılar 11 1 ve 34 5, 7'ye bölünemez çünkü 11 -2 * 1 \u003d 11 - 2 \u003d 9 (9, 7'ye eşit olarak bölünemez) ve 34 -2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24, 7'ye eşit olarak bölünemez).

8'e bölünebilirlik

8'e bölünebilirlik şu şekildedir: Son 3 basamak 8'e veya 000'e bölünebilen bir sayı oluşturuyorsa, verilen sayı 8'e bölünebilir.
Sayılar 1 000 veya 1 088 8'e bölünebilir: ilk biter 000 , ikinci 88 : 8 \u003d 11 (kalan olmadan 8'e bölünebilir).
Ama 1 numara 100 veya 4 757 8'e bölünemez, çünkü sayılar 100 ve 757 eşit olarak 8'e bölünemez.

9'a bölünebilirlik

Bu bölünebilirlik işareti 3'e bölünebilirlik işaretine benzer: Eğer bir sayının rakamlarının toplamı 9'a bölünebiliyorsa, bu durumda sayı da 9'a bölünebilir; Bir sayının rakamlarının toplamı 9'a bölünemezse, bu durumda sayı da 9'a bölünemez.
Örneğin: 3987 ve 144, 9'a bölünebilir, çünkü ilk durumda 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 9 \u003d 3 - ostak olmadan 9'a bölünebilir) ve ikinci 1 + 4 + 4 \u003d 9 (9: 9 \u003d 1 - ostak olmadan 9'a da bölünebilir).
Ancak 235 ve 141 sayıları 9'a bölünemez çünkü 2 + 3 + 5 \u003d 10 ve 1 + 4 + 1 \u003d 6 (ve ne 10 ne de 6'nın kalan olmadan 9'a bölünemeyeceğini biliyoruz).

10, 100, 1000 ve diğer bit birimlerine bölünebilirlik

Bu bölünebilirlik işaretlerini birleştirdim çünkü aynı şekilde tanımlanabilirler: Bir sayı, sayının sonundaki sıfırların sayısı belirli bir bit birimindeki sıfırların sayısından büyük veya ona eşitse bir bit birimine bölünür.
Başka bir deyişle, örneğin şu şekilde sayılarımız var: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 ... hepsi 1'e bölünebilir 0 ; 46400 ve 867 000 1'e de bölünür 00 ; ve bunlardan sadece biri - 867 000 1'e bölünebilir 000 .
Sonunda bir bit biriminden daha az sıfır olan herhangi bir sayı, bu bit birimiyle bölünemez, örneğin 600 30 ve 7 93 bölünemez 1 00 .

11'e bölünebilirlik

Bir sayının 11'e bölünebilir olup olmadığını bulmak için, bu sayının çift ve tek basamaklarının toplamları arasındaki farkı bulmanız gerekir. Bu fark 0'a eşitse veya 11'e bölünmeden kalansız bölünebiliyorsa, bu durumda sayının kendisi 11'e bölünebilir ve kalan olmadan.
Daha açık hale getirmek için örnekleri düşünmeyi öneriyorum: 2 35 4, 11'e bölünebilir çünkü ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 de 11'e bölünebilir, çünkü ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Ama 1 1 1 veya 4 35 4, 11'e bölünemez, çünkü ilk durumda (1 + 1) - 1 \u003d 1 ve saniyede ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

12'ye bölünebilirlik

12 sayısı bileşiktir. Bölünebilme kriteri, bölünebilme kriterine aynı anda 3 ve 4 ile uyuşmasıdır.
Örneğin, 300 ve 636, 4'e bölünebilirlik işaretlerine (son 2 hane sıfırdır veya 4'e bölünebilir) ve 3'e bölünebilirlik işaretlerine karşılık gelir (rakamların toplamı ve sayının ilk ve üç katı 3'e bölünebilir) ve znit, 12'ye bölünebilir, kalan olmadan.
Ancak 200 veya 630, 12'ye bölünemez, çünkü ilk durumda sayı yalnızca 4'e bölünebilme kriterine karşılık gelir ve ikincisinde - yalnızca 3'e bölünebilme kriterine karşılık gelir, ancak aynı anda her iki işarete de karşılık gelmez.

13'e bölünebilirlik

13'e bölünebilirliğin işareti, bu sayının birimleriyle 4 ile çarpılan onlarca sayının sayısı 13'ün katı veya 0'a eşitse, o zaman sayının 13'e bölünebileceğidir.
Örneğin al 70 2. Yani, 70 + 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78, 13'e kalansız bölünebilir), yani 70 2, kalansız 13'e bölünebilir. Bir başka örnek de sayıdır 114 4. 114 + 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. 130 sayısı, kalansız 13'e bölünebilir, bu da, belirtilen sayının bölünebilirlik kriterine 13'e karşılık geldiği anlamına gelir.
Numaraları alırsak 12 5 veya 21 2, sonra alırız 12 + 4 * 5 \u003d 32 ve 21 Sırasıyla + 4 * 2 \u003d 29 ve ne 32 ne de 29, kalan olmadan 13'e bölünemez, bu da verilen sayıların 13'e eşit olarak bölünemeyeceği anlamına gelir.

Sayıların bölünebilirliği

Yukarıdan görülebileceği gibi, herhangi biri için olduğu varsayılabilir. doğal sayılar Kendi bireysel bölünebilme özelliğinizi veya sayı birkaç farklı sayının katı ise "bileşik" bir özelliği seçebilirsiniz. Ancak uygulamanın gösterdiği gibi, genel olarak, sayı ne kadar büyükse, işareti o kadar karmaşıktır. Bölünebilirlik kriterini kontrol etmek için harcanan zaman, bölümün kendisine eşit veya ondan fazla olabilir. Bu nedenle, genellikle en basit bölünebilirlik kriterini kullanırız.

Makale, tam sayıların kalanla bölünmesi kavramını tartışıyor. Tam sayıların kalanlarla bölünebilirliği üzerine teoremi kanıtlayalım ve bölünenler ile bölenler, eksik bölümler ve kalanlar arasındaki bağlantıları inceleyelim. Örneklerle ayrıntılı olarak düşünerek tamsayıların kalaklı bölünmesi yapıldığında kuralları düşünelim. Çözümün sonunda kontrol edelim.

Kalan Tamsayı Bölmeyi Anlama

Tam sayıların kalanlı bölümü, doğal sayıların geri kalanıyla genelleştirilmiş bölüm olarak kabul edilir. Bu yapılır çünkü doğal sayılar tam sayıların integralidir.

Rasgele bir sayının kalanıyla bölme, a tamsayısının sıfır olmayan bir b ile bölünebileceği anlamına gelir. B \u003d 0 ise, kalan bölme yapılmaz.

Doğal sayıların kalanla bölünmesinin yanı sıra, a ve b tam sayılarının bölünmesi, eğer b sıfırdan farklıysa, c ve d ile yapılır. Bu durumda, a ve b'ye bölünen ve bölen olarak adlandırılır ve d, bölümün geri kalanıdır, c bir tam sayı veya eksik bir bölümdür.

Kalanın negatif olmayan bir tam sayı olduğunu varsayarsak, o zaman değeri b sayısının modülünden fazla olmaz. Bu şekilde yazalım: 0 ≤ d ≤ b. Bu eşitsizlikler zinciri, 3 veya daha fazla sayıyı karşılaştırırken kullanılır.

Eğer c eksik bir bölüm ise, o zaman d bir tamsayıyı b'ye bölerek kalanıdır, kısaca şu sabitlemeyi yapabilirsiniz: a: b \u003d c (kalan d).

A'yı b'ye böldüğünde kalan olası sıfırdır, o zaman a'nın b ile tamamen bölünebileceğini, yani kalansız olduğunu söylerler. Kalansız bölünme, özel bir bölünme durumu olarak kabul edilir.

Sıfırı bir sayıya bölersek, sonuç olarak sıfır elde ederiz. Bölümün geri kalanı da sıfır olacaktır. Bu, sıfırı bir tam sayıya bölme teorisine kadar izlenebilir.

Şimdi tam sayıları kalanla bölmenin anlamına bakalım.

Pozitif tam sayıların doğal olduğu biliniyor, o zaman bir kalanla böldüğünüzde, doğal sayıları bir kalanla böldüğünüzde olduğu gibi aynı anlamı elde edersiniz.

Negatif bir tamsayıyı a pozitif bir tamsayıya böldüğünde b mantıklıdır. Bir örneğe bakalım. B kişi tarafından geri ödenmesi gereken a tutarında bir kalem borcumuz olduğu bir durumu hayal etmek. Bu, herkesin aynı katkıyı yapmasını gerektirir. Her biri için borç miktarını belirlemek için, özel borçların miktarına dikkat etmeniz gerekir. Kalan d, borçların ödenmesinden sonra kalem sayısının bilindiğini söylüyor.

Elmalarla bir örnek alalım. 2 kişinin 7 elmaya ihtiyacı varsa. Herkesin 4 elma vermesi gerektiğini sayarsanız, tam hesaplamadan sonra 1 elma alacak. Bunu eşitlik biçiminde yazalım: (- 7): 2 \u003d - 4 (o nokta 1 ile).

Herhangi bir a sayısının bir tamsayı ile bölünmesi mantıklı değildir, ancak bir seçenek olarak mümkündür.

Kalan tamsayılar için bölünebilirlik teoremi

A'nın bir temettü, ardından b'nin bölen, c'nin eksik bir bölüm ve d'nin bir kalan olduğunu bulduk. Birbirleriyle ilişkilidirler. Bu bağlantıyı a \u003d b c + d eşitliğini kullanarak göstereceğiz. Aralarındaki bağlantı, kalan bölünebilirlik teoremi ile karakterize edilir.

teorem

Herhangi bir tam sayı yalnızca bir tamsayı ve sıfır olmayan bir sayı b aracılığıyla şu şekilde temsil edilebilir: a \u003d b q + r, burada q ve r bazı tam sayılardır. Burada 0 ≤ r ≤ b var.

A \u003d b q + r varlığının olasılığını kanıtlayalım.

Kanıt

İki sayı a ve b varsa ve a, b ile kalansız bölünebiliyorsa, o zaman tanım, a \u003d b q eşitliği doğru olacak bir q sayısı olduğunu ima eder. O zaman eşitlik doğru kabul edilebilir: a \u003d b q + r, r \u003d 0 için.

O halde, b q eşitsizliği tarafından verilen q almak gerekir.< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

A - b q ifadesinin değerinin sıfırdan büyük ve b sayısının değerinden büyük olmadığına sahibiz, bunun sonucu olarak r \u003d a - b q olur. A sayısının a \u003d b q + r olarak temsil edilebileceğini anlıyoruz.

Şimdi, b'nin negatif değerleri için a \u003d b q + r'yi temsil etme olasılığını dikkate almak gerekir.

Sayının mutlak değeri pozitif çıkarsa, o zaman a \u003d b q 1 + r elde ederiz, burada q 1 bir tam sayıdır, r, 0 ≤ r koşulunu karşılayan bir tam sayıdır< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Benzersizliğin kanıtı

A \u003d bq + r, q ve r'nin 0 ≤ r gerçek koşulu olan tamsayılar olduğunu varsayalım< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 ve r 1 bazı sayılar nerede q 1 ≠ q , 0 ≤ r 1< b .

Eşitsizlik sol ve sağ taraftan çıkarıldığında, 0 \u003d b · (q - q 1) + r - r 1 elde ederiz, bu da r - r 1 \u003d b · q 1 - q'ya eşdeğerdir. Modülüs kullanıldığından, r - r 1 \u003d b q 1 - q eşitliğini elde ederiz.

Verilen koşul, 0 ≤ r olduğunu söylüyor< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qve q 1- tamsayılar ve q ≠ q 1, sonra q 1 - q ≥ 1. Dolayısıyla b q 1 - q ≥ b'ye sahibiz. Ortaya çıkan eşitsizlikler r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Dolayısıyla, a sayısının a \u003d b q + r gösterimi dışında başka bir şekilde temsil edilemeyeceği sonucu çıkar.

Temettü, bölen, eksik bölüm ve kalan arasındaki ilişki

A \u003d b c + d eşitliğini kullanarak, eksik bölüm c ve kalan d ile bölen b'yi bildiğinizde bilinmeyen temettü a'yı bulabilirsiniz.

örnek 1

Bölümde - 21, eksik bölüm 5 ve kalan 12 olursa, temettüyü belirleyin.

Karar

Bilinen bölen b \u003d - 21, eksik bölüm c \u003d 5 ve kalan d \u003d 12 ile temettü a'yı hesaplamak gerekir. A \u003d (- 21) 5 + 12 elde ettiğimiz a \u003d b c + d eşitliğine dönmeliyiz. Eylemleri gerçekleştirme sırasına bağlı olarak, - 21 ile 5'i çarparız, bundan sonra (- 21) 5 + 12 \u003d - 105 + 12 \u003d - 93 elde ederiz.

Cevap: - 93 .

Bölen ile eksik bölüm ve kalan arasındaki bağlantı eşitlikler kullanılarak ifade edilebilir: b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b ve d \u003d a - b c. Onların yardımıyla bölen, kısmi bölüm ve kalanı hesaplayabiliriz. Bu, bir a tamsayısını bilinen bir bölünen, bölen ve eksik bölüm ile b'ye böldükten sonra kalanı sürekli bulmaya indirgiyor. Formül, d \u003d a - b c'yi uygular. Çözümü ayrıntılı olarak ele alalım.

Örnek 2

Bir tamsayıyı - 19'u, bilinen tamamlanmamış bölümü - 7'ye eşit olan bir 3 tamsayısına bölmenin kalanını bulun.

Karar

Bölmenin kalanını hesaplamak için d \u003d a - b · c gibi bir formül uygulayın. Koşul olarak, tüm veriler a \u003d - 19, b \u003d 3, c \u003d - 7 mevcuttur. Buradan d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (fark - 19 - (- 21) olur. Bu örnek, çıkarma kuralı ile hesaplanır tamsayı negatif sayı.

Cevap: 2 .

Tüm pozitif tam sayılar doğaldır. Bundan sonra, bölme, doğal sayıların geri kalanıyla tüm bölme kurallarına göre gerçekleştirilir. Doğal sayıların geri kalanıyla bölme hızı önemlidir, çünkü yalnızca pozitif olanların bölünmesi değil, aynı zamanda keyfi tam sayıları bölme kuralları da buna dayanır.

En uygun bölme yöntemi bir sütundur, çünkü eksik veya sadece kalanlı bir bölüm elde etmek daha kolay ve daha hızlıdır. Çözümü daha ayrıntılı olarak ele alalım.

Örnek 3

14671'i 54'e bölün.

Karar

Bu bölme bir sütunda yapılmalıdır:

Yani, eksik bölüm 271 ve geri kalan 37'dir.

Cevap: 14 671: 54 \u003d 271. (dur 37)

Pozitif tam sayının kalanı negatif tam sayı ile bölme kuralı, örnekler

Pozitif bir kalanı negatif bir tamsayı ile bölmek için bir kural oluşturmalısınız.

Tanım 1

Pozitif bir a tamsayısının negatif tamsayı b'ye bölünmesinden eksik bölüm, a sayılarının mutlak değerlerini b'ye bölerek eksik bölümün tam tersi bir sayı elde ederiz. Daha sonra a, b'ye bölündüğünde kalan kısım kalanına eşittir.

Bu nedenle, pozitif bir tam sayıyı negatif bir tam sayıya bölmenin eksik bölümünün pozitif olmayan bir tam sayı olduğu kabul edilir.

Algoritmayı alıyoruz:

• bölünebilirlik modülünü bölen modülüne bölün, sonra eksik bir bölüm elde ederiz ve
• kalan;
• alınan sayının karşısındaki sayıyı yazıyoruz.

Pozitif bir tamsayıyı negatif bir tam sayıya bölmek için kullanılan bir algoritma örneğini ele alalım.

Örnek 4

Geri kalan 17'ye - 5'e bölün.

Karar

Pozitif tamsayının geri kalanına negatif bir tamsayı ile bölme algoritmasını uygulayalım. 17'yi - 5 modülüne bölmelisiniz. Bundan, eksik bölümün 3 ve geri kalanın 2 olduğunu anlıyoruz.

17'yi - 5 \u003d - 3'e bölerek gerekli sayıyı 2'nin kalanıyla elde ederiz.

Cevap: 17: (- 5) \u003d - 3 (kalan 2).

Örnek 5

45'i - 15'e bölün.

Karar

Modulo sayılarını bölmek gerekir. 45 sayısını 15'e bölün, bölüm 3'ü kalansız olarak elde ederiz. Bu, 45 sayısının 15'e bölünebilir olduğu anlamına gelir. Cevapta - 3, bölüm modulo yapıldığından beri.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Cevap: 45: (− 15) = − 3 .

Kalanla bölme kuralının formülasyonu aşağıdaki gibidir.

Tanım 2

Negatif bir tamsayıyı bir pozitif b'ye böldüğünde eksik bir c bölümü elde etmek için, bu sayının tersini uygulamanız ve ondan 1 çıkarmanız gerekir, sonra kalan d şu formülle hesaplanacaktır: d \u003d a - b · c.

Kurala dayanarak, böldüğümüzde negatif olmayan bir tam sayı elde ettiğimiz sonucuna varabiliriz. Çözümün doğruluğu için, a'yı b'ye kalanla bölme algoritması kullanılır:

• temettü ve bölenin modüllerini bulun;
• modüle göre bölmek;
• zıt sayıyı yazın ve 1 çıkarın;
• kalan d \u003d a - b · c formülünü kullanın.

Bu algoritmanın uygulandığı bir çözüm örneğini ele alalım.

Örnek 6

Eksik bölümü ve bölümün kalanını bulun - 17'ye 5.

Karar

Verilen sayıları modulo'ya bölün. Bunu bölüme böldüğümüzde anlıyoruz ve geri kalan 2. 3 aldığımız için tersi 3'tür. 1'i çıkarmalısın.

− 3 − 1 = − 4 .

İstenilen değeri - 4'e eşit alıyoruz.

Kalanı hesaplamak için a \u003d - 17, b \u003d 5, c \u003d - 4, sonra d \u003d a - b c \u003d - 17 - 5 (- 4) \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3.

Bu, bölümün eksik bölümünün - 4 sayısı ve kalanı 3'e eşit olduğu anlamına gelir.

Cevap: (- 17): 5 \u003d - 4 (kalan 3).

Örnek 7

Negatif tam sayı 1404'ü pozitif 26'ya bölün.

Karar

Bir sütuna ve bir katıra bölmek gerekir.

Sayıların mutlak değerlerinin bölümünü kalansız olarak aldık. Bu, bölmenin kalansız yapıldığı ve istenen bölümün \u003d - 54 olduğu anlamına gelir.

Cevap: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Negatif tam sayıların kalanıyla bölme kuralı, örnekler

Negatif tam sayıların geri kalanıyla bir bölme kuralı formüle etmek gerekir.

Tanım 3

Negatif bir tamsayıyı negatif bir tamsayı b'ye bölerek eksik bir c bölümü elde etmek için, hesaplama modulo yapmak, sonra 1 eklemek gerekir, sonra d \u003d a - b c formülünü kullanarak hesaplamalar yapabiliriz.

Negatif tam sayıları bölmenin eksik bölümünün pozitif bir sayı olacağı sonucu çıkar.

Bu kuralı bir algoritma şeklinde formüle edelim:

• temettü ve bölenin modüllerini bulun;
• ile tamamlanmamış bir bölüm elde etmek için bölünebilen modülünü bölenin modülüne bölün
• kalan;
• eksik bölüme 1 eklenmesi;
• d \u003d a - b · c formülüne göre kalanı hesaplamak.

Bu algoritmayı bir örnek kullanarak ele alalım.

Örnek 8

- 17'yi - 5'e bölerken eksik bölümü ve kalanı bulun.

Karar

Çözümün doğruluğu için, algoritmayı kalanla bölme için uygulayacağız. İlk olarak, modulo sayılarını bölün. Buradan, eksik bölümün \u003d 3 olduğunu ve kalanın 2 olduğunu anlıyoruz. Kurala göre, eksik bölüm ve 1'i eklemek gerekir. Bunu 3 + 1 \u003d 4 elde ederiz. Bundan, verilen sayıların bölünmesinin eksik bölümünün 4 olduğunu anlıyoruz.

Kalanı hesaplamak için formülü kullanacağız. Hipoteze göre, a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4'e sahibiz, sonra formülü kullanarak d \u003d a - b c \u003d - 17 - (- 5) 4 \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Arzu edilen cevap, yani geri kalan 3'tür ve eksik bölüm 4'tür.

Cevap: (- 17): (- 5) \u003d 4 (kalan 3).

Tam sayıları kalanla bölmenin sonucunu kontrol etme

Sayıların kalanla bölünmesini yaptıktan sonra, kontrol etmeniz gerekir. Bu kontrol 2 aşamadan oluşur. İlk olarak, kalan d, nonnegativite için kontrol edilir, 0 ≤ d koşulu< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Bazı örneklere bakalım.

Örnek 9

Bölme yapıldı - 521'e - 12. Bölüm 44, geri kalan 7'dir. Kontrol.

Karar

Geri kalan pozitif bir sayı olduğu için, değeri bölen modülünden daha azdır. Bölen - 12'dir, bu da modülünün 12 olduğu anlamına gelir. Bir sonraki kontrol noktasına geçebilirsiniz.

Hipoteze göre, a \u003d - 521, b \u003d - 12, c \u003d 44, d \u003d 7'ye sahibiz. Buradan b c + d'yi hesaplıyoruz, burada b c + d \u003d - 12 44 + 7 \u003d - 528 + 7 \u003d - 521. Dolayısıyla eşitliğin doğru olduğu sonucu çıkar. Doğrulama geçti.

Örnek 10

Bölme kontrolü gerçekleştirin (- 17): 5 \u003d - 3 (kalan - 2). Eşitlik doğru mu?

Karar

İlk aşamanın amacı, tamsayıların kalanla bölünmesini kontrol etmenin gerekli olmasıdır. Bundan, geri kalanı - 2'ye eşit verildiğinden, eylemin yanlış yapıldığı açıktır. Geri kalanı olumsuz değildir.

İkinci koşulun sağlandığını, ancak bu dava için yetersiz olduğunu gördük.

Cevap: değil.

Örnek 11

Sayı - 19 bölü - 3. Eksik bölüm 7 ve geri kalan 1'dir. Hesaplamanın doğru olup olmadığını kontrol edin.

Karar

1'in geri kalanı verilir. Olumlu. Bölücü modülden daha azdır, yani ilk aşama gerçekleştirilir. İkinci aşamaya geçelim.

B c + d ifadesinin değerini hesaplayalım. Hipoteze göre, b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1 var, bu nedenle sayısal değerleri değiştirerek b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20 elde ederiz. A \u003d b c + d eşitliği geçerli değildir, çünkü koşul a \u003d - 19 verir.

Dolayısıyla bölünmenin bir hata ile yapıldığı sonucuna varıldı.

Cevap: değil.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın

Bu yazıda analiz edeceğiz tamsayıların kalanlı bölümü... Tam sayıları kalanla bölme genel prensibi ile başlayalım, tam sayıların kalanla bölünebilirliği üzerine bir teorem formüle edip ispatlayalım, bölünen, bölen, eksik bölüm ve kalan arasındaki bağlantıları izleyelim. Daha sonra, tamsayıların kalanıyla bölünmesinin gerçekleştirildiği kuralları dile getireceğiz ve örnekleri çözerken bu kuralların uygulanmasını dikkate alacağız. Bundan sonra, tam sayıları kalanlara bölmenin sonucunu nasıl kontrol edeceğimizi öğreneceğiz.

Sayfada gezinme.

Tamsayıların kalanla bölünmesini anlama

Tam sayıların kalanla bölünmesini, doğal sayıların geri kalanıyla bölünmenin bir genellemesi olarak ele alacağız. Bunun nedeni, doğal sayıların tam sayıların ayrılmaz bir parçası olmasıdır.

Açıklamada kullanılan terimler ve atamalarla başlayalım.

Doğal sayıları bir kalanla bölmeye benzer şekilde, geri kalan iki tamsayı a ve b (b sıfıra eşit değildir) ile bölmenin sonucunun iki tamsayı c ve d olduğunu varsayacağız. A ve b numaraları denir bölünebilir ve bölen sırasıyla, sayı d - kalan a'yı b'ye bölmekten ve c tamsayısı olarak adlandırılır eksik özel (ya da sadece özelkalan sıfır ise).

Kalanın negatif olmayan bir tamsayı olduğunu ve değerinin b'yi geçmediğini varsayalım, yani (üç veya daha fazla tam sayıyı karşılaştırmaktan bahsettiğimizde bu tür eşitsizlikler zinciriyle karşılaştık).

Eğer c sayısı eksik bir bölüm ise ve d sayısı bir tamsayıyı bir tamsayı b'ye bölerek kalanıysa, bu olguyu kısaca a: b \u003d c (kalan d) biçiminde bir eşitlik olarak yazacağız.

Bir tamsayıyı bir tamsayı b ile bölerken, kalanın sıfır olabileceğini unutmayın. Bu durumda a'nın b ile bölünebileceği söylenir kalıntı bırakmadan (veya baştan sona). Bu nedenle, tam sayıları kalansız bölmek, tam sayıları kalanla bölmenin özel bir durumudur.

Sıfırı bir tamsayıya böldüğümüzde, bölümün her zaman sıfıra eşit olacağını söylemeye değer, çünkü bu durumda bölüm sıfıra eşit olacak (sıfırın bir tamsayı ile bölünmesiyle ilgili teori bölümüne bakınız) ve geri kalan da sıfıra eşit olacaktır.

Terminolojiye ve tanımlamalara karar verdik, şimdi tam sayıları bir kalanla bölmenin anlamını bulalım.

Negatif bir tamsayıyı a pozitif bir tam sayıya bölmek de mantıklı olabilir. Bunu yapmak için, negatif bir tamsayıyı borç olarak kabul edin. Aşağıdaki durumu hayal edelim. Kalemleri oluşturan borcun aynı katkı payı ile b kişi tarafından ödenmesi gerekmektedir. Mutlak değer bu durumda eksik özel c bu kişilerin her birinin borç miktarını belirleyecek ve kalan d, borcun ödenmesinden sonra kaç kalem kalacağını gösterecektir. Bir örnek verelim. Diyelim ki 2 kişinin 7 elmaya ihtiyacı var. Her birinin 4 elma borcu olduğunu varsayarsak, borcu ödedikten sonra 1 elmaları olacak. Bu durum eşitliğe karşılık gelir (−7): 2 \u003d −4 (kalan 1).

Negatif bir tamsayı ile keyfi bir tamsayı a'nın geri kalanıyla bölmeye herhangi bir anlam vermeyeceğiz, ancak onu var olma hakkıyla bırakacağız.

Kalan tamsayılar için bölünebilirlik teoremi

Doğal sayıları kalanla bölmekten bahsettiğimizde, bölen a, bölen b, eksik bölüm c ve kalan d'nin a \u003d b c + d eşitliği ile ilişkili olduğunu gördük. A, b, c ve d tam sayıları aynı ilişkiyi paylaşır. Bu bağlantı aşağıdakiler tarafından onaylanmıştır kalan bölünebilirlik teoremi.

Teorem.

Herhangi bir a tamsayısı, a \u003d b q + r biçiminde bir tamsayı ve sıfır olmayan bir sayı b aracılığıyla benzersiz bir şekilde temsil edilebilir, burada q ve r bazı tam sayılardır ve.

Kanıt.

İlk olarak, a \u003d b q + r'yi temsil etme olasılığını kanıtlıyoruz.

Eğer a ve b tam sayıları, a'nın b ile eşit olarak bölünebileceği şekildeyse, o zaman tanım gereği a \u003d b q olacak şekilde bir q tamsayısı vardır. Bu durumda, a \u003d bq + r eşitliği r \u003d 0 için geçerlidir.

Şimdi b'nin pozitif bir tamsayı olduğunu varsayacağız. B q çarpımı a'yı geçmeyecek ve b (q + 1) çarpımı zaten a'dan büyük olacak şekilde bir q tamsayısı seçin. Yani, q eşitsizlikleri b q olacak şekilde alıyoruz

Negatif b için a \u003d b q + r'yi temsil etme olasılığını kanıtlamaya devam ediyor.

Bu durumda b sayısının modülü pozitif bir sayı olduğundan, o zaman bir temsil vardır, burada q 1 bir tam sayıdır ve r, koşulları karşılayan bir tamsayıdır. Sonra, q \u003d −q 1 alarak, negatif b için gerekli gösterimi a \u003d b q + r elde ederiz.

Benzersizliğin kanıtına geçiyoruz.

Diyelim ki a \u003d bq + r temsiline ek olarak, q ve r tamsayılar ve başka bir temsil a \u003d bq 1 + r 1 var, burada q 1 ve r 1 bazı tamsayılardır ve q 1 ≠ q ve.

Birinci eşitliğin sol ve sağ tarafından sırasıyla ikinci eşitliğin sol ve sağ taraflarını çıkardıktan sonra, 0 \u003d b (q - q 1) + r - r 1 elde ederiz ki bu eşitlik r - r 1 \u003d b (q 1 −q) ... Sonra formun eşitliği ve bir sayının modülünün özellikleri sayesinde eşitlik .

Koşullardan ve bu sonuca varabiliriz. Q ve q 1 tamsayı ve q ≠ q 1 olduğundan, şu sonuca varıyoruz: ... Elde edilen eşitsizliklerden ve bu, formun eşit olduğu varsayımımıza göre imkansız. Bu nedenle, a sayısının a \u003d b q + r dışında başka bir temsili yoktur.

Temettü, bölen, eksik bölüm ve kalan arasındaki bağlantılar

A \u003d b c + d eşitliği, eğer bölen b'yi, eksik c bölümünü ve kalan d'yi biliyorsanız bilinmeyen temettü a'yı bulmanızı sağlar. Bir örneğe bakalım.

Misal.

Eğer onu −21 tamsayısına böldüğünde, bölüm 5'in tamamlanmamış olması ve 12'nin kalanıyla sonuçlanırsa, temettü nedir?

Karar.

Bölen b \u003d −21, kısmi bölüm c \u003d 5 ve kalan d \u003d 12'yi bildiğimizde a temettü oranını hesaplamamız gerekir. A \u003d b c + d eşitliğine dönersek, a \u003d (- 21) 5 + 12 elde ederiz. Gözlem yaparak, ilk olarak tam sayıları farklı işaretlerle çarpma kuralına göre −21 ve 5 tam sayılarını çarpıyoruz, ardından farklı işaretli tamsayılar ekliyoruz: (−21) 5 + 12 \u003d −105 + 12 \u003d −93.

Cevap:

−93 .

Bölünen, bölen, eksik bölüm ve kalan arasındaki bağlantılar da b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b ve d \u003d a - b · c formundaki eşitliklerle ifade edilir. Bu eşitlikler sırasıyla bölen, kısmi bölüm ve kalanı hesaplamaya izin verir. Bölünen, bölen ve kısmi bölüm d \u003d a - b · c formülü kullanılarak bilindiğinde, a tamsayısının b tamsayısına bölünmesinin kalanını bulmamız gerekir. Başka soru sormaktan kaçınmak için, kalanı hesaplamanın bir örneğine bakalım.

Misal.

Kısmi bölümün −7 olduğunu biliyorsanız, −19 tamsayısını 3 tamsayısına bölmenin kalanını bulun.

Karar.

Bölmenin kalanını hesaplamak için, d \u003d a - b · c formunda bir formül kullanıyoruz. Koşuldan, gerekli tüm verilere sahibiz a \u003d −19, b \u003d 3, c \u003d −7. D \u003d a - b c \u003d −19−3 (−7) \u003d −19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (−19 - (- 21) farkı negatif bir tamsayının çıkarma kuralı ile hesaplanır ).

Cevap:

Pozitif tam sayıların kalanıyla bölme, örnekler

Birden fazla kez belirttiğimiz gibi, pozitif tamsayılar doğal sayılardır. Bu nedenle, pozitif tam sayıların geri kalanıyla bölme, doğal sayıların geri kalanıyla tüm bölme kurallarına göre gerçekleştirilir. Doğal sayıların geri kalanıyla kolayca bölme yapabilmek çok önemlidir, çünkü tam da bu, yalnızca pozitif tamsayıların bölünmesinin değil, aynı zamanda tüm bölme kurallarının keyfi tam sayıların geri kalanıyla temelini oluşturur.

Bizim bakış açımıza göre, uzun bölme yapmak en uygunudur, bu yöntem hem eksik bölümü (veya yalnızca bölümü) hem de kalanı almanıza izin verir. Pozitif tam sayıların kalanıyla bir bölme örneği düşünün.

Misal.

14 671'i 54'e bölün.

Karar.

Bu pozitif tam sayıları bir sütuna bölelim:

Kısmi bölüm 271, geri kalan 37 oldu.

Cevap:

14 671: 54 \u003d 271 (dinlenme 37).

Pozitif tam sayının kalanı negatif tam sayı ile bölme kuralı, örnekler

Pozitif tam sayının geri kalanıyla negatif tamsayıya bölme yapılmasına izin veren bir kural oluşturalım.

Pozitif bir a tamsayısını negatif bir b tamsayısına bölmenin eksik bölümü, a'yı b modülüne bölmenin eksik bölümünün tersidir ve a'yı b'ye bölmenin geri kalanı bölmenin kalanına eşittir.

Bu kuraldan, pozitif bir tamsayıyı negatif bir tam sayıya bölmenin eksik bölümünün pozitif olmayan bir tam sayı olduğu sonucu çıkar.

Belirtilen kuralı, pozitif bir tamsayının geri kalanıyla negatif bir tamsayıya bölmek için bir algoritma halinde yeniden yapalım:

• Bölünebilirlik modülünü, bölen modülüne böleriz, eksik bir bölüm ve kalan elde ederiz. (Kalan sıfıra eşitse, orijinal sayılar bir kalansız bölünür ve tam sayıları zıt işaretlerle bölme kuralına göre, istenen bölüm, modulo bölümünün bölümünün karşısındaki sayıya eşittir.)
• Alınan eksik bölümün karşısındaki sayıyı ve kalanı yazıyoruz. Bu sayılar, sırasıyla, istenen bölüm ve orijinal pozitif tam sayının negatif bir tam sayıya bölünmesinin kalanıdır.

Pozitif bir tamsayıyı negatif tam sayıya bölmek için kullanılan algoritmanın bir örneğini verelim.

Misal.

Pozitif tam sayı 17'yi negatif tamsayı −5'e bölün.

Karar.

Negatif bir tamsayı ile pozitif bir tamsayının geri kalanıyla bölme algoritmasını kullanalım.

Bölme

3'ün tersi −3'tür. Dolayısıyla, 17'yi −5'e bölmenin istenen kısmi bölümü −3 ve kalanı 2'dir.

Cevap:

17: (- 5) \u003d - 3 (kalan 2).

Misal.

bölmek 45 ila -15.

Karar.

Temettü ve bölenin modülü sırasıyla 45 ve 15'tir. 45 sayısı 15'e bölünebilir, kalansız, bölüm 3'tür. Bu nedenle, pozitif tamsayı 45, negatif tamsayı −15 ile kalansız bölünebilir ve bölüm 3'ün tersine, yani −3'e eşittir. Nitekim, tam sayıları farklı işaretlerle bölme kuralına göre, var.

Cevap:

45:(−15)=−3 .

Negatif bir tamsayının geri kalanıyla pozitif bir tamsayıya bölme, örnekler

Bölme kuralının formülasyonunu, negatif bir tam sayının geri kalanına pozitif bir tamsayı ile verelim.

Negatif bir tamsayı a'yı pozitif bir tamsayı b'ye bölerek eksik bir c bölümü elde etmek için, orijinal sayıların modüllerini bölmekten eksik bölümün karşısındaki sayıyı alıp ondan bir çıkarmanız ve ardından kalan d'yi d \u003d a - b c formülüyle hesaplamanız gerekir.

Kalanı olan bu bölme kuralından, negatif bir tamsayıyı pozitif bir tam sayıya bölmenin eksik bölümünün negatif bir tamsayı olduğu anlaşılır.

Sondaj kuralından, bir negatif tamsayının kalanı a pozitif bir tamsayı b ile bölme algoritması izlenir:

• Temettü ve bölenin modüllerini bulun.
• Bölünebilirlik modülünü, bölen modülüne böleriz, eksik bir bölüm ve kalan elde ederiz. (Kalan sıfır ise, orijinal tamsayılar bir kalansız bölünebilir ve istenen bölüm, modulo bölme bölümünün karşısındaki sayıya eşittir.)
• Elde edilen eksik bölümün karşısındaki sayıyı yazıp 1 sayısını ondan çıkarıyoruz. Hesaplanan sayı, orijinal negatif tamsayının pozitif bir tam sayıya bölünmesinden elde edilen gerekli tamamlanmamış bölüm c'dir.

Kalanla yazılı bölme algoritmasını kullandığımız örneğin çözümünü analiz edelim.

Misal.

Eksik bölümü ve negatif tamsayı -17'nin kalanını pozitif tamsayı 5'e bölün.

Karar.

Temettü divid17'nin modülü 17 ve bölen 5'in modülü 5'tir.

Bölme 17'ye 5, eksik bölüm 3 ve kalan 2'yi alıyoruz.

3'ün tersi −3'tür. −3'ten bir çıkarın: −3−1 \u003d −4. Yani, gerekli eksik bölüm −4'tür.

Kalanı hesaplamak için kalır. Örneğimizde, a \u003d −17, b \u003d 5, c \u003d −4, sonra d \u003d a - b c \u003d −17−5 (−4) \u003d −17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

Bu nedenle, -17 negatif tamsayıyı pozitif tamsayı 5'e bölmenin kısmi bölümü -4'tür ve geri kalanı 3'tür.

Cevap:

(−17): 5 \u003d −4 (kalan 3).

Misal.

Negatif tamsayıyı -1404, pozitif tamsayı 26'ya bölün.

Karar.

Temettü modülü 1 404, bölenin modülü 26'dır.

1404'ü 26'ya bir sütunla bölün:

Temettü modülü, bölen modülüne kalansız bölündüğünden, orijinal tamsayılar kalansız bölünebilir ve istenen bölüm 54'ün karşısındaki sayıya, yani that54'e eşittir.

Cevap:

(−1 404):26=−54 .

Negatif tam sayıların kalanıyla bölme kuralı, örnekler

Bölme kuralını negatif tam sayıların geri kalanıyla formüle edelim.

Negatif bir tamsayıyı a negatif tamsayı b'ye bölerek tamamlanmamış bir c bölümü elde etmek için, orijinal sayıların modüllerini bölmekten eksik bölümü hesaplamanız ve ona bir eklemeniz, ardından kalan d'yi d \u003d a - b c formülüyle hesaplamanız gerekir.

Bu kuraldan, negatif tam sayıların bölünmesinin eksik bölümünün pozitif bir tam sayı olduğu sonucu çıkar.

Negatif tam sayıları bölmek için belirtilen kuralı bir algoritma olarak yeniden yazalım:

• Temettü ve bölenin modüllerini bulun.
• Bölünebilirlik modülünü, bölen modülüne böleriz, eksik bir bölüm ve kalan elde ederiz. (Kalan sıfır ise, orijinal tamsayılar bir kalansız bölünebilir ve istenen bölüm, bölen modülünü bölen modülüne bölme oranına eşittir.)
• Ortaya çıkan eksik bölüme bir tane ekleriz, bu sayı, orijinal negatif tam sayıların bölünmesinden istenen eksik bölümdür.
• Kalanı d \u003d a - b · c formülüyle hesaplıyoruz.

Bir örneği çözerken negatif tam sayıları bölmek için algoritmayı kullanmayı düşünün.

Misal.

Kısmi bölümü ve -17 negatif tamsayısının kalanını -5 negatif tam sayıya bölünerek bulun.

Karar.

Uygun modulo bölme algoritmasını kullanalım.

Kar payının modülü 17, bölenin modülü 5'tir.

Bölünme 17'ye 5, eksik bir bölüm 3 ve kalan 2'yi verir.

Eksik bölüm 3: 3 + 1 \u003d 4'e bir ekleyin. Bu nedenle, −17'yi −5'e bölmek için gereken eksik bölüm 4'tür.

Kalanı hesaplamak için kalır. Bu örnekte, a \u003d −17, b \u003d −5, c \u003d 4, sonra d \u003d a - b c \u003d −17 - (- 5) 4 \u003d −17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

Yani, -17 negatif tamsayıyı -5 negatif tamsayıya bölmenin eksik bölümü 4 ve kalanı 3'tür.

Cevap:

(−17): (- 5) \u003d 4 (kalan 3).

Tam sayıları kalanla bölmenin sonucunu kontrol etme

Tam sayıları kalanlara böldükten sonra sonucu kontrol etmekte fayda var. Kontrol iki aşamada gerçekleştirilir. İlk aşamada kalan d'nin negatif olmayan bir sayı olup olmadığı kontrol edilir ve koşul da kontrol edilir. Doğrulamanın ilk aşamasının tüm koşulları karşılanırsa, ikinci doğrulama aşamasına geçebilirsiniz, aksi takdirde bölüm sırasında bir yerde bir geri kalanıyla bir hata yapıldığı söylenebilir. İkinci aşamada a \u003d b c + d eşitliğinin geçerliliği kontrol edilir. Bu eşitlik doğruysa, kalanla bölme doğru bir şekilde gerçekleştirildi, aksi takdirde bir yerde bir hata yapıldı.

Tamsayıların kalanıyla bölünmesinin sonucunun kontrol edildiği örneklerin çözümlerini ele alalım.

Misal.

−521 sayısını −12'ye böldüğünüzde, eksik bölüm 44'e ve 7'nin geri kalanına sahip olursunuz, sonucu kontrol edin.

Karar. B \u003d b3, c \u003d 7, d \u003d 1 için −2. Sahibiz b c + d \u003d −3 7 + 1 \u003d −21 + 1 \u003d −20... Dolayısıyla, a \u003d b c + d eşitliği yanlıştır (örneğimizde, a \u003d −19).

Bu nedenle, geri kalanla bölünme yanlış yapıldı.