Matematiksel istatistik ve yöntemleri. Çeşitli alanlardaki uzmanlar için matematiksel istatistikler. Viborka için varyasyon serisi forma sahiptir

Matematiksel istatistik yöntemleri

1. Giriş

Matematiksel istatistik, rastgele kütle olaylarının modellerini incelemek için deneysel verileri elde etmek, tanımlamak ve işlemek için yöntemler geliştiren bilimdir.

Matematiksel istatistikte iki alan ayırt edilebilir: tanımlayıcı istatistikler ve endüktif istatistikler (istatistiksel çıkarım). Tanımlayıcı istatistikler, deneysel verilerin uygun bir biçimde toplanması, sistematik hale getirilmesi ve sunulması ile ilgilidir. Bu verilere dayalı tümevarımsal istatistikler, verilerin toplandığı nesneler hakkında belirli sonuçlara veya parametrelerinin tahminlerine izin verir.

Matematiksel istatistiğin tipik alanları şunlardır:

1) örnekleme teorisi;

2) tahminler teorisi;

3) istatistiksel hipotezlerin test edilmesi;

4) regresyon analizi;

5) varyans analizi.

Matematiksel istatistikler, deneysel verileri işlemenin modern yöntemlerini incelemenin imkansız olduğu bir dizi temel kavrama dayanmaktadır. Bunlardan ilki genel nüfus ve örneklem kavramıdır.

Seri endüstriyel üretimde, üretilen her bir ürünü kontrol etmeden, ürün kalitesinin standartları karşılayıp karşılamadığını belirlemek genellikle gereklidir. Üretilen ürünlerin sayısı çok fazla olduğundan veya ürünlerin doğrulanması onu kullanılamaz hale getirmekle ilişkilendirildiğinden, az sayıda ürün kontrol edilir. Bu kontrol temelinde, tüm ürün serileri hakkında bir sonuca varılmalıdır. Tabii ki, 1 milyon parçalık bir partideki tüm transistörlerin birini kontrol ederek iyi veya kötü olduğu söylenemez. Öte yandan, test ve test için örnekleme sürecinin kendisi zaman alıcı ve maliyetli olabileceğinden, ürün doğrulamanın kapsamı, minimum boyut olsa da tüm ürün grubunun güvenilir bir temsilini sağlayabilecek şekilde olmalıdır. Bu amaçla, bir dizi kavram tanıtacağız.

İncelenen tüm nesneler veya deneysel veriler kümesine genel popülasyon denir. N ile genel popülasyonu oluşturan nesne sayısını veya veri miktarını göstereceğiz. N değeri, genel nüfusun hacmi olarak adlandırılır. N \u003e\u003e 1, yani N çok büyükse, genellikle N \u003d ¥ kabul edilir.

Rastgele bir örneklem veya basitçe örnek, genel popülasyonun içinden rastgele seçilen bir parçası olarak adlandırılır. "Rastgele" kelimesi, genel popülasyondan herhangi bir nesneyi seçme olasılıklarının aynı olduğu anlamına gelir. Bu önemli bir varsayımdır, ancak pratikte test etmek genellikle zordur.

Örnek boyutu, örneği oluşturan nesnelerin sayısı veya veri miktarıdır ve n ... Aşağıda, numunenin elemanlarına sırasıyla x 1, x 2, ... x n sayısal değerlerinin atanabileceğini varsayacağız. Örneğin, üretilen bipolar transistörlerin kalite kontrol sürecinde, DC kazançlarının ölçümleri olabilir.

2. Numunenin sayısal özellikleri

2.1 Örnek ortalama

Belirli bir n büyüklüğündeki numune için, örneklem ortalaması

oran tarafından belirlenir

burada x i, örnek öğelerin değeridir. Genellikle rastgele örneklerin istatistiksel özelliklerini tanımlamak istersiniz, bunlardan birini değil. Bu, yeterince büyük sayıda n büyüklüğünde örneklerin kullanıldığı bir matematiksel modelin düşünüldüğü anlamına gelir. Bu durumda, örnek unsurlar, genel popülasyonun olasılık yoğunluğu olan olasılık yoğunluğu f (x) ile x i değerlerini alarak rastgele değişkenler X i olarak kabul edilir. O zaman örneklem ortalaması da rastgele bir değişkendir

eşit

Daha önce olduğu gibi, rastgele değişkenleri büyük harflerle ve rastgele değişkenlerin değerlerini küçük harfle göstereceğiz.

Örneklemin yapıldığı genel popülasyonun ortalama değeri genel ortalama olarak adlandırılacak ve m x ile gösterilecektir. Örneklem büyüklüğü önemliyse, örnek ortalamasının genel ortalamadan önemli ölçüde farklı olmaması beklenebilir. Örneklem ortalaması rastgele bir değişken olduğundan, matematiksel beklenti bunun için bulunabilir:

Dolayısıyla, örneklem ortalamasının matematiksel beklentisi genel ortalamaya eşittir. Bu durumda, örnek ortalamanın, genel ortalamanın tarafsız tahmini olduğu söylenir. Bu döneme daha sonra geri döneceğiz. Örneklem ortalaması, genel ortalama etrafında dalgalanan rastgele bir değişken olduğundan, örnek ortalamasının varyansı kullanılarak bu dalgalanmanın tahmin edilmesi arzu edilir. Büyüklüğü n, genel popülasyonun boyutundan önemli ölçüde daha küçük olan bir örnek düşünün N (n<< N). Предположим, что при формировании выборки характеристики генеральной совокупности не меняются, что эквивалентно предположению N = ¥. Тогда

Rastgele değişkenler X i ve X j (i¹j) bağımsız kabul edilebilir, bu nedenle,

Bu sonucu varyans formülüne koyun:

s 2 genel popülasyonun varyansıdır.

Bu formülden, örneklem büyüklüğünün artmasıyla birlikte, örneklemin dalgalanmaları, genel ortalama etrafında s 2 / n olarak azalır. Bunu bir örnekle açıklayalım. Matematiksel beklenti ve varyansı sırasıyla m x \u003d 10, s 2 \u003d 9'a eşit olan rastgele bir sinyal olsun.

Sinyal örnekleri t 1, t 2, ..., eşit mesafelerde alınır.

X (t)
X 1

t 1 t 2. ... ... t n t

Örnekler rastgele değişkenler olduğundan, bunları X (t 1), X (t 2) ile göstereceğiz. ... ... , X (t n).

Örneklerin sayısını belirleyelim, böylece sinyalin matematiksel beklentisinin tahmininin standart sapması matematiksel beklentisinin% 1'ini geçmesin. M x \u003d 10 olduğundan, gerekli

Öte yandan, bu nedenle veya Bundan n ³ 900 örnek elde ederiz.

2.2 Örnek varyans

Örnek veriler için, yalnızca örnek ortalamasını değil, aynı zamanda örnek değerlerinin örnek ortalamasına yayılmasını da bilmek önemlidir. Örneklem ortalaması genel ortalamanın bir tahmini ise, örnek varyansı genel varyansın bir tahmini olmalıdır. Örnek varyans

rastgele değişkenlerden oluşan bir örnek için aşağıdaki gibi belirlenir

Örnek varyansın bu temsilini kullanarak matematiksel beklentisini buluruz

(E.P. Vrublevsky, O.E. Likhachev, L.G. Vrublevskaya)

Çalışmada belirli yöntemler uygulandığında, sonunda deneyci, incelenen olguyu karakterize etmek için tasarlanmış daha büyük veya daha küçük çeşitli sayısal göstergeler alır. Ancak, elde edilen sonuçların sistematik hale getirilmesi ve uygun şekilde işlenmesi olmadan, gerçeklerin derin ve kapsamlı bir analizi olmadan, içlerindeki bilgileri çıkarmak, kalıpları keşfetmek, sağlam temellere dayanan sonuçlar çıkarmak imkansızdır. Metinde verilen sonuçların en temel ve oldukça erişilebilir matematiksel işleme yöntemleri bir gösteri niteliğindedir. Bu, örneklerin bir veya daha fazla matematiksel ve istatistiksel yöntemin uygulanmasını gösterdiği ve ayrıntılı yorumlamasını vermediği anlamına gelir.

Ortalama değerler ve varyasyon göstergeleriDaha önemli şeylerden bahsetmeden önce, genel ve örnek popülasyon gibi istatistiksel kavramları anlamak gerekir. Herhangi bir işaretle birleştirilmiş bir grup sayıya koleksiyon denir . Bazı nesneler üzerinde gerçekleştirilen gözlemler, incelenen popülasyonun istisnasız tüm üyelerini kapsayabilir veya yalnızca belirli bir bölümünü incelemekle sınırlı olabilir. İlk durumda, gözlem, ikinci durumda - kısmi veya seçici olarak sürekli veya tam olarak adlandırılacaktır. Tam bir anket çok nadiren yapılır, çünkü birçok nedenden dolayı pratik olarak ya uygulanamaz ya da pratik değildir. Bu nedenle, örneğin atletizmdeki tüm spor ustalarını incelemek imkansızdır. Bu nedenle, vakaların ezici çoğunluğunda, sürekli gözlem yerine, ankete katılan nüfusun bir kısmı, bir bütün olarak durumunun değerlendirildiği çalışmaya tabi tutulur.

Üyelerinin bir kısmının ortak çalışma için seçildiği popülasyona genel popülasyon adı verilir ve bu popülasyonun şu veya bu şekilde seçilen kısmına örnek popülasyon veya basitçe örnek denir. Genel nüfus kavramının göreceli olduğu açıklığa kavuşturulmalıdır. Bir durumda, bunların hepsi sporcular, diğerinde - şehirler, üniversiteler. Dolayısıyla, örneğin, genel nüfusun tamamı üniversite öğrencileri olabilir ve örneklem, futbol uzmanlığı öğrencileri olabilir. Herhangi bir popülasyondaki nesnelerin sayısına hacim denir (genel popülasyonun boyutu N ile gösterilir ve örnek boyutu n'dir).

Gerekli güvenilirliğe sahip örneklemin genel popülasyonu ancak unsurları genel popülasyondan eğilimsiz bir şekilde seçildiğinde temsil ettiği varsayılır. Bunu yapmanın birkaç yolu vardır: rastgele sayılar tablosuna göre bir örnek seçmek, her birinden belirli sayıda nesne seçildiğinde genel popülasyonu birbiriyle çakışmayan birkaç gruba bölmek, vb.

Örneklem büyüklüğüne gelince, matematiksel istatistiğin temel hükümlerine uygun olarak, örneklem ne kadar temsili (daha temsili), o kadar eksiksizdir. Çalışmasının karlılığı için çabalayan bir araştırmacı, minimum örneklem büyüklüğüyle ilgilenir ve böyle bir durumda, örnekte seçilen nesnelerin sayısı uzlaşmacı bir çözümün sonucudur. Örneklemin genel nüfusu temsil etmek için ne ölçüde yeterince güvenilir olduğunu bilmek için bir dizi göstergenin (parametre) belirlenmesi gerekir.

Aritmetik ortalamanın hesaplanmasıÖrneklemin aritmetik ortalaması, gözlemlenen durumlarda incelenen rastgele değişkenin değerlerinin ortalama seviyesini karakterize eder ve incelenen özelliğin bireysel değerlerinin toplamını toplam gözlem sayısına bölerek hesaplanır:

, (1)

nerede x ben - sıra varyantı;

n, nüfusun hacmidir.

Σ toplamı, sağındaki verilerin toplamını ifade etmek için gelenekseldir. Σ'nin alt ve üst endeksleri, toplamanın hangi sayıdan başlaması gerektiğini ve hangi göstergelerin tamamlanması gerektiğini gösterir. Yani, 1'den sıralı sayılara sahip tüm x'lerin toplanması gerektiği anlamına gelir. p... İşaret, ilk göstergeden son göstergeye kadar tüm x'lerin toplamını gösterir.

Bu nedenle, formül (1) ile yapılan hesaplamalar aşağıdaki prosedürü varsayar:

1. Toplam x i, yani,

2. Bulunan miktar - nüfus büyüklüğüne bölünür p.

Göstergelerle çalışmanın rahatlığı ve netliği için, eklenmesi gerektiğinden bir masa hazırlamak gerekir. x ben ilk numaradan son numaraya yinelendi.

Örneğin, aritmetik ortalama aşağıdaki formülle belirlenir:

Ölçüm sonuçları Tablo 1'de gösterilmektedir.

tablo 1

Atlet Test Sonuçları

Deney sonucunda elde edilen veriler, rastgele bir hatanın neden olabileceği değişkenlikle karakterize edilir: ölçüm cihazının hatası, örneklerin heterojenliği, vb. Büyük miktarda homojen veri gerçekleştirdikten sonra, deneycinin söz konusu değer hakkında en doğru bilgiyi elde etmek için bunları işlemesi gerekir. Bir deney sırasında elde edilebilecek geniş ölçüm verisi, gözlem vb. Dizileri işlemek için kullanmak uygundur. matematiksel istatistik yöntemleri.

Matematiksel istatistik, olasılık teorisi ile ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır, ancak bu bilimler arasında önemli bir fark vardır. Olasılık teorisi, olayların olasılıklarının, matematiksel beklentinin, vb. Hesaplandığı, önceden bilinen rastgele değişken dağılımlarını kullanır. Matematiksel istatistik sorunu - deneysel verilere dayalı olarak rastgele bir değişkenin dağılımı hakkında en güvenilir bilgiyi elde etmek.

Tipik talimatlar matematiksel istatistikler:

• örnekleme teorisi;
• tahmin teorisi;
• istatistiksel hipotezlerin test edilmesi;
• regresyon analizi;
• varyans analizi.

Matematiksel istatistik yöntemleri

Hipotezleri değerlendirme ve test etme yöntemleri, veri kaynaklarının olasılıksal ve hiper-rastgele modellerine dayanmaktadır.

Matematiksel istatistik, dağılımların önemli özelliklerini (medyan, matematiksel beklenti, standart sapma, nicelikler, vb.), Yoğunluk ve dağılım fonksiyonları, vb. Temsil eden parametreleri ve bunlardan fonksiyonları tahmin eder. Nokta ve aralık tahminleri kullanılır.

Modern matematiksel istatistikler geniş bir bölüm içerir - istatistiksel sıralı analiz, burada bir dizi tarafından bir gözlem dizisi oluşturmasına izin verilir.

Matematiksel istatistikler ayrıca genel içerir hipotez test etme teorisi ve çok sayıda yöntem belirli hipotezleri test etmek (örneğin, dağılımın simetrisi hakkında, parametrelerin ve özelliklerin değerleri hakkında, ampirik dağılım fonksiyonunun belirli bir dağılım fonksiyonuyla uyumu hakkında, homojenliği test etme hipotezi (iki örnekte karakteristiklerin veya dağılım fonksiyonlarının çakışması) vb.).

Gerçekleştirerek örnek anketlerHipotezleri değerlendirmek ve test etmek için yeterli yöntemlerin oluşturulmasıyla ilgili olarak, farklı örnekleme şemalarının özellikleri ile ilgili olarak matematiksel istatistik bölümü büyük önem taşımaktadır. Matematiksel istatistik yöntemleri doğrudan aşağıdaki temel kavramları kullanır.

Örneklem

Tanım 1

Örnekleme deney sırasında elde edilen verilere denir.

Örneğin, aynı veya bir grup benzer silahı ateşlerken bir merminin menzilinin sonuçları.

Ampirik dağılım işlevi

Açıklama 1

Dağıtım işlevi rastgele bir değişkenin en önemli tüm özelliklerini ifade etmeyi mümkün kılar.

Matematiksel istatistikte bir kavram var teorik (önceden bilinmiyor) ve ampirik dağıtım fonksiyonları.

Ampirik fonksiyon, deneyim verilerinden (deneysel veriler) belirlenir, örn. numune ile.

grafik çubuğu

Histogramlar, bilinmeyen bir dağılımın görsel, ancak oldukça yaklaşık bir temsili için kullanılır.

grafik çubuğu veri dağılımının grafiksel bir temsilidir.

Yüksek kaliteli bir histogram elde etmek için aşağıdakilere uyun kurallar:

• Örnekteki öğelerin sayısı, örneklem büyüklüğünden önemli ölçüde daha az olmalıdır.
• Bölünmüş aralıklar, yeterli sayıda numune öğesi içermelidir.

Numune çok büyükse, numune elemanlarının aralığı genellikle eşit parçalara bölünür.

Örnek ortalama ve örnek varyansı

Bu kavramların yardımıyla, bir dağıtım fonksiyonunun, histogramın vb. İnşasına başvurmadan bilinmeyen bir dağılımın gerekli sayısal özelliklerinin bir tahminini elde etmek mümkündür.

RASGELE DEĞERLERİ VE DAĞITIM YASALARI.

Rastgele rastgele koşulların çakışmasına bağlı olarak değerler alan böyle bir değer olarak adlandırılır. Ayırmak ayrık ve rastgele sürekli büyüklükler.

Ayrıksayılabilir bir değerler kümesi alıyorsa bir miktar çağrılır. ( Misal:doktor randevusundaki hasta sayısı, sayfadaki harf sayısı, belirli bir hacimdeki molekül sayısı).

Süreklibelirli bir aralıkta değer alabilen bir niceliktir. ( Misal: hava sıcaklığı, vücut ağırlığı, insan boyu vb.)

Dağıtım kanunu Rastgele değişken, bu miktarın olası değerlerinin bir kümesidir ve bu değerlere, olasılıklara (veya oluş sıklıklarına) karşılık gelir.

PRI me R:

x	x 1	x 2	x 3	x 4	...	x n
p	p 1	s 2	s 3	s 4	...	p n

x	x 1	x 2	x 3	x 4	...	x n
m	m 1	m 2	m 3	m 4	...	m n

RASLANTI DEĞERLERİNİN SAYISAL ÖZELLİKLERİ.

Çoğu durumda, rastgele bir değişkenin dağılımı ile birlikte veya onun yerine, bu miktarlar hakkında bilgi, adı verilen sayısal parametrelerle sağlanabilir. rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri ... En yaygın olanları:

1 .Beklenen değer - (ortalama değer) rastgele bir değişkenin tüm olası değerlerinin çarpımlarının bu değerlerin olasılıkları ile toplamıdır:

2 .Dağılım rastgele değişken:

3 .Ortalama kare sapma :

"ÜÇ SIGMA" kuralı - rastgele bir değişken normal yasaya göre dağıtılırsa, bu değerin mutlak değerdeki ortalama değerden sapması standart sapmanın üç katını geçmez

GAUSS HUKUKU - NORMAL DAĞITIM YASASI

Genellikle, dağıtılmış miktarlar vardır normal kanun (Gauss yasası). ana özellik : diğer dağıtım yasalarının yaklaştığı sınırlayıcı bir yasadır.

Rastgele bir değişken, normal yasaya göre dağıtılır. olasılık yoğunluğu şöyle görünüyor:

M (X)- rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi;

sstandart sapmadır.

Olasılık yoğunluğu (dağılım işlevi) olasılığın aralığa göre nasıl değiştiğini gösterir dx miktarın değerine bağlı olarak rastgele bir değişken:

MATEMATİKSEL İSTATİSTİKLERİN TEMEL KAVRAMLARI

Matematik istatistikleri - olasılık teorisi ile doğrudan ilgili uygulamalı matematiğin bir bölümü. Matematiksel istatistik ile olasılık teorisi arasındaki temel fark, matematiksel istatistikte, dikkate alınan rastgele değişkenlerin dağılım yasaları ve sayısal özellikleri üzerindeki eylemler değil, bu yasaları ve deney sonuçlarına dayalı sayısal özellikleri bulmanın yaklaşık yöntemleri olmasıdır.

Temel konseptler matematiksel istatistikler:

1. Genel popülasyon;

2. örneklem;

3. varyasyon aralığı;

4. moda;

5. medyan;

6. yüzdelik,

7. frekans poligonu,

8. grafik çubuğu.

Genel popülasyon- araştırma için bazı nesnelerin seçildiği büyük bir istatistiksel popülasyon

(Misal: bölgenin tüm nüfusu, belirli bir şehirdeki üniversitelerin öğrencileri vb.)

Örnek (örnek popülasyon) - genel popülasyondan seçilen bir dizi nesne.

Varyasyon serisi- bir varyanttan (rastgele bir değişkenin değerleri) ve karşılık gelen frekanslardan oluşan istatistiksel dağılım.

Misal:

X, kg

m

x - rastgele bir değişkenin değeri (10 yaşındaki kızların ağırlığı);

m- oluşma sıklığı.

Moda - en yüksek oluşum sıklığına karşılık gelen rastgele bir değişkenin değeri. (Yukarıdaki örnekte mod, 24 kg değerine karşılık gelir, diğerlerinden daha yaygındır: m \u003d 20).

Medyan - Dağılımı ikiye bölen rastgele bir değişkenin değeri: değerlerin yarısı medyanın sağında, yarısı (artık yok) - solunda bulunur.

Misal:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Örnekte, rastgele bir değişkenin 40 değerini gözlemliyoruz. Tüm değerler, oluşma sıklıklarına göre artan sırada düzenlenir. 40 değerin 20'sinin (yarısı) vurgulanan değer 7'nin sağında yer aldığını görebilirsiniz. Bu nedenle, 7 medyandır.

Dağılımı karakterize etmek için, ölçüm sonuçlarının% 25 ve% 75'ini geçmeyen değerleri buluruz. Bu değerlere 25. ve 75. denir yüzdelikler ... Medyan dağılımı yarıya indirirse, 25. ve 75. yüzdelikler dörtte bir oranında kesilir. (Bu arada, medyanın kendisi 50. yüzdelik dilim olarak kabul edilebilir.) Örnekten de görebileceğiniz gibi, 25. ve 75. yüzdelikler sırasıyla 3 ve 8'e eşittir.

Kullanım ayrık (nokta) istatistiksel dağılım ve sürekli (aralık) istatistiksel dağılım.

Anlaşılır olması için, istatistiksel dağılımlar aşağıdaki gibi grafik olarak gösterilir: frekans poligonu veya - histogramlar .

Frekans poligonu- bölümleri noktaları koordinatlarla birleştiren çoklu çizgi ( x 1, m 1), (x 2, m2), ..., yada ... için bağıl frekans poligonu - koordinatlarla ( x 1, p * 1), (x 2, p * 2), ... (Şekil 1).

m m ben / n f (x)

Şekil 1 Şekil 2

Frekans histogramı- bir düz çizgi üzerine inşa edilmiş bir dizi bitişik dikdörtgen (Şekil 2), dikdörtgenlerin tabanları aynı ve eşittir dx ve yükseklikler frekansın oranına eşittir. dx veya r * -e dx (olasılık yoğunluğu).

Misal:

x, kg	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	4,0	4,1	4,2	4,3	4,4
m

Frekans poligonu

Göreli frekansın aralığın genişliğine oranı denir olasılık yoğunluğu f (x) \u003d m i / n dx \u003d p * i / dx

Histogram oluşturmaya bir örnek .

Önceki örnekteki verileri kullanalım.

1. Sınıf aralıklarının sayısının hesaplanması

nerede n - gözlem sayısı. Bizim durumumuzda n = 100 ... Dolayısıyla:

2. Aralık genişliğinin hesaplanması dx :

,

3. Bir aralık dizisi çizmek:

dx	2.7-2.9	2.9-3.1	3.1-3.3	3.3-3.5	3.5-3.7	3.7-3.9	3.9-4.1	4.1-4.3	4.3-4.5
m
f (x)	0.3	0.75	1.25	0.85	0.55	0.6	0.4	0.25	0.05

grafik çubuğu

Matematiksel istatistik yöntemleri, kural olarak, belirli örnek verilere dayanarak problemleri çözmek için bir strateji seçmek ve elde edilen sonuçları değerlendirmek için araştırma materyallerinin analizinin tüm aşamalarında kullanılır. Malzemeyi işlemek için matematiksel istatistik yöntemleri kullanıldı. Materyallerin matematiksel olarak işlenmesi, nesnel bilgilerin nicel parametrelerini açıkça tanımlamanıza ve değerlendirmenize, bunları çeşitli oranlarda ve bağımlılıklarda analiz etmenize ve sunmanıza olanak tanır. Bazıları iddia edilen bağlantıları doğrulayan ve bazıları açıklamayan, belirli bir dizi vaka hakkında nicel bilgi içeren toplanan materyallerdeki değerlerdeki varyasyon ölçüsünü belirlemenize, seçilen vaka grupları arasındaki niceliksel farklılıkların güvenilirliğini hesaplamanıza ve gerçeklerin doğru yorumlanması için gerekli diğer matematiksel özellikleri elde etmenize olanak tanır. ... Çalışma sırasında elde edilen farklılıkların güvenirliği Student t testi ile belirlenmiştir.

Aşağıdaki değerler hesaplandı.

1. Örneklemin aritmetik ortalaması.

İncelenen nüfusun ortalama değerini karakterize eder. Ölçümlerin sonuçlarını işaretleyelim. Sonra:

burada Y, mevcut indeks i 1'den n'ye değiştiğinde tüm değerlerin toplamıdır.

2. Dağılımı karakterize eden standart sapma (standart sapma), dikkate alınan popülasyonun aritmetik ortalamaya göre dağılımı.

\u003d (x maks - x dak) / k

standart sapma nerede

хmaх, tablonun maksimum değeridir;

хmin, tablonun minimum değeridir;

k - katsayısı

3. Standart aritmetik ortalama hatası veya temsil etme hatası (m). Aritmetik ortalamanın standart hatası, örnek aritmetik ortalamanın genel popülasyonun aritmetik ortalamasından sapma derecesini karakterize eder.

Aritmetik ortalamanın standart hatası aşağıdaki formülle hesaplanır:

y, ölçüm sonuçlarının standart sapmasıdır,

n, örneklem boyutudur. M ne kadar küçükse, sonuçların kararlılığı ve sürdürülebilirliği o kadar yüksek olur.

4. Öğrencinin kriteri.

(payda - paydada iki grubun araçları arasındaki fark - bu araçların standart hatalarının karelerinin toplamının karekökü).

Çalışmanın sonuçları işlenirken Excel paketli bir bilgisayar programı kullanıldı.

Araştırma organizasyonu

Çalışma genel kabul görmüş kurallara göre tarafımızdan yürütüldü ve 3 aşamada gerçekleştirildi.

İlk aşamada, ele alınan araştırma problemi hakkında alınan materyal toplandı ve analiz edildi. Bilimsel araştırma konusu oluşturuldu. Bu aşamadaki literatürün analizi, çalışmanın amaç ve hedeflerinin belirlenmesini mümkün kılmıştır. 30 metrede koşma tekniğinin birincil testi gerçekleştirildi.<... class="gads_sm">

Üçüncü aşamada bilimsel araştırma sonucunda elde edilen materyal sistematikleştirildi, araştırma problemi ile ilgili mevcut tüm bilgiler genelleştirildi.

Deneysel çalışma, Devlet Eğitim Kurumu "Lyakhovichi Ortaokulu" bazında gerçekleştirilmiş olup, örneklem 6. sınıflarda (11-12 yaş) 20 öğrenciden oluşmaktadır.

Bölüm 3. Araştırma sonuçlarının analizi

Pedagojik deney sonucunda, kontrol ve deney gruplarındaki öğrenciler arasında 30 metre koşma tekniğinin başlangıç \u200b\u200bseviyesini ortaya çıkardık (Ek 1-2). Elde edilen sonuçların istatistiksel olarak işlenmesi, aşağıdaki verilerin elde edilmesini mümkün kılmıştır (tablo 6).

Tablo 6. İlk çalıştırma kalitesi seviyesi

Tablo 6'dan da görülebileceği gibi, kontrol ve deney grubundaki sporcular arasında ortalama puan sayıları istatistiksel olarak farklı değildir, deney grubunda ortalama puan 3.6, kontrol grubunda ise 3.7 puan olmuştur. Her iki grupta da t-testi temp \u003d 0.3; Tcrit \u003d 2.1'de P \u003c0.05; İlk testin sonuçları, göstergelerin eğitimden bağımsız ve doğası gereği rastgele olduğunu gösterdi. İlk teste göre, kontrol grubundaki koşu kalitesi göstergeleri deney grubundakilerden biraz daha yüksekti. Ancak gruplar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark yoktu, bu da 30m koşma tekniğinde kontrol ve deney gruplarındaki öğrencilerin kimliklerinin kanıtıdır.

Her iki gruptaki deney sırasında, koşu tekniğinin etkinliğini karakterize eden göstergeler gelişti. Ancak, bu gelişme, deneydeki farklı katılımcı gruplarında farklıydı. Eğitim sonucunda, kontrol grubundaki göstergelerde doğal küçük bir artış (3,8 puan) ortaya çıktı. Ek 2'den görülebileceği gibi, deney grubunda göstergelerde büyük bir artış ortaya çıkmıştır. Öğrenciler, önerdiğimiz programa göre çalıştılar ve bu da göstergeleri önemli ölçüde geliştirdi.

Tablo 7. Deney grubundaki denekler arasında koşu kalitesindeki değişiklikler

Deney sırasında, deney grubundaki artan yüklerin kontrol grubuna göre hızlılık gelişiminde önemli gelişmeler sağladığını bulduk.

Ergenlik döneminde, hareketlerin sıklığını artırmayı amaçlayan beden eğitimi araçlarının baskın kullanımı yoluyla hızın geliştirilmesi tavsiye edilir. 12-15 yaşlarında basketbol ve atletizm spor bölümünde fiziksel kültür dersleri ve ders dışı etkinliklerin yürütülmesi sürecinde kullandığımız ağırlıklı olarak hız-kuvvet ve kuvvet egzersizlerinin kullanılması sonucunda hız becerileri artmaktadır.

Deney grubundaki derslerde, katı komplikasyon aşamaları ve motor deneyim gerçekleştirildi. Hatalar zamanında düzeltildi. Gerçek verilerin analizinin gösterdiği gibi, deneysel öğretim yönteminin koşu tekniğinin kalitesinde önemli bir değişiklik olmuştur (temp \u003d 2.4). Deney grubunda elde edilen sonuçların analizi ve genel kabul görmüş öğretim metodolojisi kullanılarak kontrol grubunda elde edilen verilerle karşılaştırılması, önerilen metodolojinin öğretimin etkililiğini artıracağını iddia etmeye zemin sağlamaktadır.

Böylece, okulda 30 metre koşu metodolojisini geliştirme aşamasında, deney ve kontrol gruplarındaki test göstergelerindeki değişikliklerin dinamiklerini belirledik. Deney sonrasında tekniğin kalitesi deney grubunda 4,9 puana yükselmiştir (t \u003d 3,3; P? 0,05). Deney sonunda deney grubundaki koşu tekniğinin kalitesi kontrol grubuna göre daha yüksek çıkmıştır.