Ders Kitabı Yu.N. Makarychev, vb. Ders konusu: Bütün denklemler. Çürüyen denklemler Çözümleri için bozulan denklemler yöntemi

(35.21), (35.23), (35.30), (35.31), (35.32), (47.7), (47.22) ve (35.20) denklemleriyle verilen kümeleri dikkate almaya devam ediyor.

Tanım 47.16.İkinci dereceden yüzey denir çürüyen birinci dereceden iki yüzeyden oluşuyorsa.

Örnek olarak, denklemde verilen yüzeyi düşünün

Eşitliğin sol tarafı (35.21) faktörlere ayrıştırılabilir

(47.36)

Bu nedenle, denklem (35.21) ile verilen yüzeyde bir nokta, ancak ve ancak koordinatları aşağıdaki denklemlerden birini sağlıyorsa veya. Ve bunlar, 36. paragrafa göre (tablonun 10. sırasındaki paragraf 36.2'ye bakınız) OZ ekseninden geçen iki düzlemin denklemleridir. bundan dolayı denklem (35.21), parçalanan bir yüzeyi veya daha doğrusu iki kesişen düzlemi tanımlar.

Görev: Bir yüzey aynı anda hem silindirik hem de konik ise ve ayrıca birden fazla düz çizgiden oluşuyorsa, o zaman parçalandığını, yani. belirli bir düzlem içerir.

Şimdi denklemi düşünün (35.30)

İki doğrusal denkleme ayrıştırılabilir ve. Dolayısıyla, denklem (35.30) ile verilen yüzeyde bir nokta yer alıyorsa, koordinatları aşağıdaki denklemlerden birini sağlamalıdır: ve. Ve bu, 36. paragrafa göre (bkz. S. 36.2 tablonun 6. satırı), düzleme paralel düzlemlerin denklemidir. Böylece, denklem (35.30) iki paralel düzlemi tanımlar ve ayrıca parçalanan bir yüzeydir.

Herhangi bir düzlem çifti olduğunu ve aşağıdaki ikinci mertebeden denklemle belirtilebileceğini unutmayın. Denklemler (35.21) ve (35.30) standart iki düzlemin denklemleri, yani özel olarak seçilmiş bir koordinat sistemindeki denklemleri, burada (bu denklemler) en basit forma sahipler.

Denklem aynısı (35.31)

genel olarak, bir doğrusal denklem y \u003d 0'a eşdeğerdir ve bir düzlemi temsil eder (36.2 maddesinin 36. paragrafına göre, tablonun 12. satırı, bu denklem bir düzlemi tanımlar).

Herhangi bir düzlemin aşağıdaki ikinci dereceden denklemle belirtilebileceğini unutmayın.

(35.30) (at) denklemine benzer şekilde, bazen eşitliğin (35.20) iki birleştirilmiş paralel düzlemi tanımladığı söylenir.

Şimdi dönüyoruz dejenere vakalar.

1.Equation (35.20)

Bir M (x, y, z) noktasının, ancak ve ancak ilk iki koordinatı x \u003d y \u003d 0 ise (ve üçüncü koordinatı z herhangi bir şey olabilir), denklem (35.20) ile verilen kümeye ait olduğuna dikkat edin. Bunun anlamı şudur ki denklem (35.20) bir düz çizgiyi tanımlar - OZ uygulamasının ekseni.

Herhangi bir düz çizginin denkleminin (bkz. paragraf 40, madde 40.1 ve ayrıca paragraf 37, sistem (37.3)) aşağıdaki ikinci dereceden denklem ile tanımlanabilir. Eşitlik (35.20) standartdüz bir çizgi için ikinci dereceden denklem, yani özel olarak seçilmiş bir koordinat sistemindeki ikinci dereceden denklemi, burada (bu denklem) en basit olanı.

2. Denklem (47.7)

Denklem (47.7) yalnızca bir üçlü sayı x \u003d y \u003d z \u003d 0 ile karşılanabilir. Böylece eşitlik (47.7) uzay setleri sadece bir nokta О (0; 0; 0) - koordinatların başlangıcı; uzayda başka herhangi bir noktanın koordinatları eşitliği sağlayamaz (47.7). Ayrıca, bir noktadan oluşan bir kümenin aşağıdaki ikinci dereceden denklemle belirtilebileceğini unutmayın:

3. Denklem (35.23)

Ve bu denklem uzaydaki herhangi bir noktanın koordinatlarıyla karşılanamaz, yani. o boş bir küme tanımlar... Denklem (33.4) ile analoji ile

(bkz. Bölüm 47.5, Tanım 47.8), buna hayali bir eliptik silindir de denir.

4.Denklem (35.32)

Uzaydaki herhangi bir noktanın koordinatları da bu denklemi karşılayamaz, bu nedenle boş bir küme tanımlar. Benzer denklemle (35.30) benzer şekilde, bu "yüzey" aynı zamanda hayali paralel düzlemler olarak da adlandırılır.

5. Denklem (47.22)

Ve bu denklem, uzaydaki herhangi bir noktanın koordinatlarıyla karşılanamaz ve bu nedenle, boş bir küme tanımlar... Eşitlikle eşitlik (47.17) ile benzerlik yapılarak (bkz. Bölüm 47.2), bu küme aynı zamanda hayali elipsoid olarak da adlandırılır.

Tüm durumlar dikkate alınır.

BİLİM AKADEMİSİ RAPORLARI, 2008, cilt 420, sayı 6, s. 744-745

MATEMATİKSEL FİZİK

VESELOV-NOVİKOV DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ

© 2008 İlgili RAS I. A. Taimanov Üyesi, S. P. Tsarev

14 Şubat 2008'de alındı

Veselov-Novikov denklemi

u, \u003d e3 u + E3 u + s E (vu) + zE (vu) \u003d o, E V \u003d E u,

e \u003d (Ex - ¿Ey), E \u003d 1 (Ex + ¿Ey), Korteweg-de Vries (KdV) denkleminin iki boyutlu bir genellemesidir

ve, \u003d 4 uhxx \u200b\u200b+ viih,

tek boyutlu sınıra girdiği yer: V \u003d u \u003d u (x). Denklem (1), iki boyutlu Schrödinger operatörünün deformasyonlarını tanımlar

hf \u003d 0 denkleminin φ çözümünün H b \u003d 0 denkleminin b çözümüne dönüşümünü belirtir, burada

H \u003d EE + u, u \u003d u + 2 EE 1n w.

Tek boyutlu sınırda, Moutard dönüşümü iyi bilinen Darboux dönüşümüne indirgenir.

Moutard dönüşümü, sistem çözümleri dönüşümüne genişliyor

Hf \u003d 0, f (\u003d (E3 + E3 + 3 VE + 3 V * E) f, ^^ ^

burada Э V \u003d Эи, ЭV * \u003d Э и, dönüşüm altında değişmez (genişletilmiş Moutard dönüşümü)

\u003d ~ | ((f Eyyu-Eph) dz- (f Eyu-u Ef) dz +

h1 \u003d HA + 5H formunda, burada A, B diferansiyel operatörlerdir. Bu tür deformasyonlar, sıfır enerji düzeyinde H operatörünün "spektrumunu" korur ve denklemin çözümlerini dönüştürür.

Hf \u003d (EE + u) f \u003d 0 (3)

(Örn + A) φ \u003d 0'a göre.

Bu denklemin eski çözümlerinden (u, φ) denklemin (3) yeni çözümlerini (u, φ) oluşturmak için bir yöntem vardır, bu da kuadratürlere indirgenir - Moutard dönüşümü. Aşağıdakilerden oluşur: u potansiyeline sahip bir H operatörü verilsin ve denklem (3) 'ün bir çözümü w verilsin: Hw \u003d 0. Sonra formül

W | [(f Esh - w Ef) dz - (f Esh - w Ef) dz]

Matematik Enstitüsü. S.L. Sobolev, Rusya Bilimler Akademisi Sibirya Şubesi, Novosibirsk

Krasnoyarsk Devlet Pedagoji Üniversitesi

+ [f E u - u E f + u E f - f E u +

2 2 "2 _ ~ _2 + 2 (E f Esh - Ef E w) -2 (E f Esh - Ef E w) +

3V (f Esh - w Ef) + 3 V * (w Ef - f Esh)] dt),

u ^ u + 2EE lnm, V ^ V + 2E21nm,

V * ^ u * + 2E21psh,

w'nin karşıladığı (4).

Veselov-Novikov denklemi (1)

v * \u003d V'deki sistem (4) için uyumluluk koşulu.

Çözüm w gerçek olduğunda, u \u003d u u koşulları

V * \u003d V korunur ve genişletilmiş Moutard dönüşümü gerçek çözümleri çevirir ve

denklem (1) diğer gerçek çözümlere ve bu denklem.

KdV denkleminin tüm rasyonel solitonları, potansiyel u \u003d 0'dan Darboux dönüşümünü yineleyerek elde edilir. Dahası, ortaya çıkan tüm potansiyeller tekildir.

İki boyutlu durumda, benzer bir yapı, tekil olmayan ve hatta iki yinelemeden sonra hızla azalan potansiyellere yol açabilir.

DENKLEME ÇÖZÜCÜ ÇÖZÜMLER

telsizler. Yani, u0 \u003d 0 ve ω1 ω2 sistemin (4) 'ün gerçek çözümleri olsun:

u, \u003d Γ (z, z) + f (z, z), \u003d i (z, z) + i (z, z), (5)

nerede / ve π, r'de holomorftur ve denklemleri karşılar

fg \u003d Yyyy "yag \u003d yyyy"

Uj u2 fonksiyonlarının her biri, u \u003d 0 potansiyelinin (genişletilmiş) Moutard dönüşümünü ve sistemin (4) karşılık gelen çözümlerini tanımlar. Onları Mu ve Ma olarak belirleyelim. Ortaya çıkan potansiyeller biz

u1 \u003d Myu (u0), u2 \u003d Myu (u0) ile ifade ediyoruz.

Δ1 e My (ω2) olsun, yani b1, M ω dönüştürülerek transform2'den elde edilir. Φ için Moutard dönüşümünün entegrasyon sabitine bağlı olduğuna dikkat edin. B1 gerçek bir fonksiyon olacak şekilde bir sabit seçeriz. Sabit seçimi, yinelenen potansiyelin tekilliğini sık sık kontrol etmemize izin verir (bunu belirli örneklerde kullanacağız).

Basit bir kontrol, b2 \u003d - b1 f

e mu (yuh). Keyfi bir potansiyel u0 için geçerli olan iyi bilinen lemma tutar.

Lemma 1. u12 \u003d M01 (u2) ve u21 \u003d M02 (u2) olsun. O zaman u12 \u003d u21.

U0 \u003d 0 durumu için Lemma 2'ye sahibiz. Ω1 ve ω2 (5) formuna sahip olsun. Daha sonra, u0 \u003d 0 ve b1 e My (u2) olan u \u003d Mb (My (u0)) potansiyeli, formülle verilir

u \u003d 2EE 1nI ((/ I - fya) +) ((f "I - fя") dr + + (GY - G I) dr) +1 (G "I - fя" "+ 2 (f" I " - GZ) + + GY "" - G "" z + 2 (zi - zi ")) dz).

Sistem (4) 'ün sabit başlangıç \u200b\u200bçözümleri ω1, ω2 için bile, Veselov-Novikov denklemine r'de önemsiz olmayan dinamiklerle bir çözüm elde edebileceğimize dikkat edin.

Teorem 1. U (z, z), ω1 \u003d iz2 - i ~ z, ffl2 \u003d z2 + (1 +) 'den çift Moutard dönüşümü ile elde edilen rasyonel potansiyel olsun.

I) z + ~ z + (1 - i) z. Potansiyel U tekil değildir ve r ^ için r-3 olarak azalır.Veselov-Novikov denkleminin (1) ilk verilerle çözümü

U \\ t \u003d 0 \u003d U, sonlu bir zamanda tekil hale gelir ve formun tekilliğine sahiptir

(3 x4 + 4 x3 + 6 x2 y2 + 3 y4 + 4 y3 + 30 - 12 t)

Yorum Yap. Veselov-Novikov denklemi t ^ -t, z ^ -z dönüşümü altında değişmez. Bunun çözümünün olduğunu görmek kolaydır.

başlangıç \u200b\u200bverisi olan U (z, z, 0) \u003d U (-z, - z) denklemi tüm t\u003e 0 için normaldir.

Çalışmada verilen rasyonel potansiyel (1), r-6 olarak azalır ve Veselov-Novikov denkleminin sabit tekil olmayan çözümünü verir. F (z) \u003d a3z3 + a2z2 + a1z2 + a0 + 6a3t, g (z) \u003d b3z3 + b2z2 + b1z2 + b0 + 6b3t seçildiğinde, sonsuzda azalan, t \u003d 0'da tekil olmayan Veselov-Novikov denkleminin çözümlerini elde etmek kolaydır ve sonlu zamanlarda tekillikler t\u003e t0.

Düzgün, hızla azalan başlangıç \u200b\u200bverileriyle Korteweg-de Vries denkleminin çözümlerinin t\u003e 0 için tekil olmadığına dikkat edin (örneğin bakınız).

Bu çalışma, Rusya Temel Araştırma Vakfı'nın kısmi mali desteği ile gerçekleştirildi (I.A.T. için 06-01-00094 ve S.P.Ts. için 06-01-00814 proje kodları).

REFERANS LİSTESİ

1. Veseloe AP, Novikov SP // DAN. 1984. T. 279, No. 1. S. 20-24.

2. Dubrovin B. A., Krichever I. M., Novikov SP. // DAN. 1976. T. 229. No. 1. S. 15-19.

Öğretmen öğrencileri selamlar ve duyurur:

Bugün sizinle şu konu üzerinde çalışmaya devam edeceğiz: bütün denklemler

Denklem çözme becerilerini ikinciden daha yüksek bir derece ile pekiştirmeliyiz; tüm denklemlerin üç ana sınıfı hakkında bilgi edinin, bunları çözmenin yollarını öğrenin

Tahtanın arkasında, iki öğrenci 273 numaralı çözümü çoktan hazırladı ve öğrencilerin sorularını yanıtlamaya hazır

Beyler, önceki derste öğrendiğimiz teorik bilgileri biraz hatırlamayı öneriyorum. Soruları cevaplamanı istiyorum

Hangi tek değişkenli denkleme tamsayı denir? Örnekler ver

Bütün bir denklemin derecesini nasıl bulursunuz?

Birinci dereceden denklem hangi biçime indirgenebilir?

Böyle bir denklemin çözümü ne olacak

İkinci dereceden bir denklem hangi biçime indirgenebilir?

Böyle bir denklem nasıl çözülür?

Kaç tane kökü olacak?

Üçüncü derecenin denklemi hangi biçime indirgenebilir?

Dördüncü derecenin denklemi?

Kaç tane kökleri olabilir?

Bugün çocuklar, tüm denklemler hakkında daha fazla şey öğreneceğiz: 3 ana denklem sınıfını çözmenin yollarını inceleyeceğiz:

1) Biquadratic denklemler

Bunlar formun denklemleridir
, burada x bir değişkendir, a, b, c bazı sayılardır ve a ≠ 0'dır.

2) A (x) * B (x) \u003d 0 formuna indirgenen bozunma denklemleri, burada A (x) ve B (x) X'e göre polinomlardır.

Önceki derste bozulan denklemleri zaten kısmen çözdünüz.

3) Değişken değiştirilerek çözülen denklemler.

TALİMATLAR

Artık her grup, çözüm yönteminin ayrıntılı olarak açıklandığı kartları alacak, bu denklemleri birlikte analiz etmeniz ve bu konudaki görevleri tamamlamanız gerekiyor. Grubunuzda, yoldaşlarınızın cevaplarını kontrol edin, hataları bulun ve ortak bir cevaba gelin.

Her grup denklemlerini çözdükten sonra, diğer gruplara tahtada açıklanmaları gerekecektir. Gruptan kimi atadığınızı düşünün.

GRUPLARLA ÇALIŞMAK

Grup çalışması sırasında öğretmen, çocukların nasıl akıl yürüttüğünü, takımların oluşup oluşmadığını, çocukların liderlerinin olup olmadığını gözlemler.

Gerekirse yardım sağlar. Bir grup görevle diğerlerinden daha önce başa çıkmışsa, öğretmen yine de bu karttaki artan karmaşıklıktaki denklemlere sahiptir.

KART KORUMA

Öğretmen, çocuklar bunu henüz yapmadıysa, kartı tahtada kimin savunacağına karar vermeyi teklif eder.

Öğretmen, liderlerin çalışması sırasında hata yaparsa konuşmalarını düzeltebilir.

Yani çocuklar, birbirinizi dinlediniz, kendi çözümünüzün denklemleri tahtaya yazılıyor. İşe başlamak

Ur. Igr.

IIgr.

IIIgr.

Sahip olmadığınız denklemleri çözmeniz gerekiyor.

No. 276 (b, d), 278 (b, d), 283 (a)

Beyler, bugün yeni denklemlerin çözümünü gruplar halinde inceledik. İşimizin iyi gittiğini düşünüyor musun?

Hedefimize ulaştık mı?

İşinizde sizi durduran nedir?

Öğretmen en aktif çocukları değerlendirir.

DERS İÇİN TEŞEKKÜRLER !!!

Yakın gelecekte, bu derste analiz edilen denklemleri içeren bağımsız bir çalışma yapılması tavsiye edilir.

"Daha yüksek dereceli denklemleri çözme" - Bir denklemi çözmek ne anlama gelir? İlk aşamanın görevleri. ISINMA (d / h'yi kontrol edin). Daha yüksek dereceli denklemleri çözme. Tahtaya ne tür denklemler yazılıyor? Beden Eğitimi. Aşama II Bağımsız çalışma seçeneği 1 seçenek 2. Denklemin kökü nedir? Çözüm şeması doğrusal Denklem ikinci dereceden denklem bikikadratik denklem.

"Denklemleri ve eşitsizlikleri çözme yöntemleri" - Eski Mısır. Kübik denklemler. Denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için standart olmayan yöntemler. Homojenlik fikri. Bir modül içeren denklemleri çözmenin grafiksel bir yolu. Modül ile eşitsizlikler. Katsayılar için denklem çözme. Orijinal eşitsizlik herhangi bir çözüm içermiyor. Karenin toplamı.

"Denklemler ve Eşitsizlikler" - İkame. Fonksiyon grafiklerinin kesişme noktasının apsisini bulun. A'nın hangi değerinde denklemin kök sayısıdır. "Grafik yöntem. Aşağıdakilerden oluşur: bir koordinat sisteminde iki fonksiyonun grafiklerini çizmek. Denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümleri." Eşitsizliğe en küçük doğal çözümü bulun.

"Kesirli Denklemler" - Ortaya çıkan denklemi çözün. İkinci dereceden denklem 2 kökü vardır eğer …… Denklemin kesirlerinin kabul edilebilir değerlerinde bulunmayan kökleri hariç tutun. … Mektubunuz. Yüksek ruh ". Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için algoritma. Ve unutmayın - bir insandaki ana şey nedir? Kesirli rasyonel denklemler. Bu denklemin kaç tane kökü var? 4. Bu denklemin adı nedir?

"Logaritmik denklemleri çözme" - Denklem farklı temellere sahip logaritmalar içeriyorsa, öncelikle geçiş formüllerini kullanarak tüm logaritmaları tek bir tabana indirmelisiniz. İfadenin değerlerini hesaplayın. Tanım: Materyalin logaritmaların özellikleri ile ilgili özetlenmesi, logaritmik fonksiyon; logaritmik denklemleri çözmek için temel yöntemleri düşünün; sözlü beceriler geliştirmek.

"Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri" - Bulun. Logaritmik denklemleri çözme. Logaritma denen şey. Öğrenci bilgisini sistematik hale getirin. Yaratıcı iş... Hatayı bulun. Denklem sistemi. Logaritmik denklemleri çeşitli yöntemlerle çözme. Seçenek I Seçenek II. Verilen işlev. Yeni bir değişkeni tanıtma yöntemi. Karşılaştırmak. Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri.

Toplamda 49 sunum var