Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi. Matematiksel Beklenti (Nüfus ortalaması) Matematiksel Beklenti Modülüdür
Beklenti, rastgele bir değişkenin olasılık dağılımıdır
Matematiksel beklenti, tanımı, kesikli ve sürekli rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisi, örneklem, koşullu beklenti, hesaplama, özellikler, problemler, beklenti tahmini, dağılım, dağılım fonksiyonu, formüller, hesaplama örnekleri
İçeriği genişlet
İçeriği daralt
Matematiksel beklentinin tanımı
Rasgele bir değişkenin değerlerinin veya olasılıklarının dağılımını karakterize eden, matematiksel istatistik ve olasılık teorisindeki en önemli kavramlardan biri. Tipik olarak bir rastgele değişkenin olası tüm parametrelerinin ağırlıklı ortalaması olarak ifade edilir. Teknik analizde, sayı serilerinin incelenmesinde, sürekli ve zaman alan süreçlerin incelenmesinde yaygın olarak kullanılır. Finansal piyasalarda işlem yaparken risklerin değerlendirilmesinde, fiyat göstergelerinin tahmin edilmesinde önemlidir ve kumar teorisinde oyun taktikleri stratejileri ve yöntemlerinin geliştirilmesinde kullanılır.
Matematiksel beklenti Olasılık teorisinde bir rastgele değişkenin ortalama değeri, bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı dikkate alınır.
Matematiksel beklenti Olasılık teorisinde rastgele bir değişkenin ortalama değerinin ölçüsü. Rastgele bir değişkenin beklentisi X ile gösterilir M(x).
Matematiksel beklenti
Matematiksel beklenti olasılık teorisinde, bir rastgele değişkenin alabileceği tüm olası değerlerin ağırlıklı ortalaması.
Matematiksel beklenti bir rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin çarpımlarının toplamı ve bu değerlerin olasılıkları.
Matematiksel beklenti Belirli bir karardan elde edilen ortalama fayda, böyle bir kararın büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde değerlendirilebilmesi koşuluyla.
Matematiksel beklenti Kumar teorisinde, bir oyuncunun her bahis için ortalama olarak kazanabileceği veya kaybedebileceği kazanç miktarı. Kumar dilinde buna bazen "oyuncunun avantajı" (eğer oyuncu için pozitifse) veya "ev avantajı" (eğer oyuncu için negatifse) denir.
Matematiksel beklenti kazanç başına kâr yüzdesinin ortalama kârla çarpımı, eksi kayıp olasılığı çarpı ortalama kayıp.
Matematik teorisinde rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi
Bir rastgele değişkenin önemli sayısal özelliklerinden biri onun matematiksel beklentisidir. Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem kavramını tanıtalım. Aynı rastgele deneyin sonuçları olan bir dizi rastgele değişkeni ele alalım. Sistemin olası değerlerinden biri ise, olay Kolmogorov'un aksiyomlarını karşılayan belirli bir olasılığa karşılık gelir. Rastgele değişkenlerin olası herhangi bir değeri için tanımlanan fonksiyona ortak dağılım yasası denir. Bu fonksiyon herhangi bir olayın olasılığını hesaplamanızı sağlar. Özellikle rastgele değişkenlerin ve kümeden değer alan ortak dağılım yasası, olasılıklarla verilmektedir.
“Matematiksel beklenti” terimi Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) tarafından ortaya atılmış ve ilk olarak 17. yüzyılda Blaise Pascal ve Christiaan'ın eserlerinde kumar teorisinde ortaya çıkan “kazançların beklenen değeri” kavramından gelmektedir. Huygens. Ancak bu kavramın ilk tam teorik anlayışı ve değerlendirmesi Pafnuty Lvovich Chebyshev (19. yüzyılın ortaları) tarafından yapılmıştır.
Rastgele sayısal değişkenlerin dağılım yasası (dağılım fonksiyonu ve dağılım serisi veya olasılık yoğunluğu), bir rastgele değişkenin davranışını tamamen tanımlar. Ancak bazı problemlerde, sorulan soruyu cevaplamak için incelenen miktarın bazı sayısal özelliklerini (örneğin, ortalama değeri ve bundan olası sapma) bilmek yeterlidir. Rastgele değişkenlerin temel sayısal özellikleri matematiksel beklenti, varyans, mod ve medyandır.
Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, olası değerlerinin ve bunlara karşılık gelen olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır. Bazen matematiksel beklentiye ağırlıklı ortalama denir, çünkü çok sayıda deneyde rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına yaklaşık olarak eşittir. Matematiksel beklentinin tanımından, değerinin bir rastgele değişkenin mümkün olan en küçük değerinden az olmadığı ve en büyük değerinden fazla olmadığı sonucu çıkar. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi rastgele olmayan (sabit) bir değişkendir.
Matematiksel beklentinin basit bir fiziksel anlamı vardır: Bir birim kütleyi düz bir çizgi üzerine yerleştirirseniz, belirli bir kütleyi bazı noktalara yerleştirirseniz (kesikli bir dağılım için) veya onu belirli bir yoğunlukla "yayarsanız" (kesinlikle sürekli bir dağılım için) , o zaman matematiksel beklentiye karşılık gelen nokta "ağırlık merkezi" koordinatının düz olması olacaktır.
Bir rastgele değişkenin ortalama değeri, onun "temsilcisi" olan ve kabaca yaklaşık hesaplamalarda onun yerini alan belirli bir sayıdır. “Lambanın ortalama çalışma süresi 100 saattir” veya “ortalama çarpma noktası hedefe göre 2 m sağa kaydırılmıştır” derken, bir rastgele değişkenin konumunu tanımlayan belirli bir sayısal özelliğini belirtmiş oluyoruz. sayısal eksende, yani "konum özellikleri".
Olasılık teorisinde bir konumun özelliklerinden en önemli rolü, bazen basitçe rastgele bir değişkenin ortalama değeri olarak adlandırılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi oynar.
Rastgele değişkeni düşünün X, olası değerlere sahip x1, x2,…, xn olasılıklarla p1, p2,…, pn. Bu değerlerin farklı olasılıklara sahip olduğu gerçeğini dikkate alarak, bir rastgele değişkenin değerlerinin x ekseni üzerindeki konumunu bir sayı ile karakterize etmemiz gerekir. Bu amaçla değerlerin “ağırlıklı ortalamasının” kullanılması doğaldır. xi ve ortalama sırasında her xi değeri, bu değerin olasılığıyla orantılı bir "ağırlık" ile dikkate alınmalıdır. Böylece rastgele değişkenin ortalamasını hesaplayacağız X, belirttiğimiz M |X|:
Bu ağırlıklı ortalamaya rastgele değişkenin matematiksel beklentisi denir. Böylece olasılık teorisinin en önemli kavramlarından biri olan matematiksel beklenti kavramını dikkate aldık. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, bir rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin ve bu değerlerin olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.
Xçok sayıda deneyde rastgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına tuhaf bir bağımlılıkla bağlanır. Bu bağımlılık, frekans ve olasılık arasındaki bağımlılıkla aynı türdendir, yani: çok sayıda deneyle, rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, matematiksel beklentisine yaklaşır (olasılıkla yakınsar). Frekans ve olasılık arasındaki bir bağlantının varlığından, aritmetik ortalama ile matematiksel beklenti arasında benzer bir bağlantının varlığı sonucu çıkarılabilir. Aslında rastgele değişkeni düşünün X, bir dağıtım serisiyle karakterize edilir:
Üretilsin N bağımsız deneyler; her birinde değer X belli bir değer alır. Diyelim ki değer x1 göründü m1 zamanlar, değer x2 göründü m2 zamanlar, genel anlam xi birkaç kez göründüm. Matematiksel beklentinin aksine X değerinin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım. M|X| biz belirtiyoruz M*|X|:
Artan deney sayısıyla N frekanslar pi karşılık gelen olasılıklara yaklaşacaktır (olasılıkla yakınlaşacaktır). Sonuç olarak, rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması M|X| Deney sayısının artmasıyla matematiksel beklentisine yaklaşacaktır (olasılık açısından yakınlaşacaktır). Yukarıda formüle edilen aritmetik ortalama ile matematiksel beklenti arasındaki bağlantı, büyük sayılar yasasının biçimlerinden birinin içeriğini oluşturur.
Büyük sayılar yasasının tüm biçimlerinin, bazı ortalamaların çok sayıda deney boyunca kararlı olduğu gerçeğini ifade ettiğini zaten biliyoruz. Burada aynı miktardaki bir dizi gözlemden elde edilen aritmetik ortalamanın kararlılığından bahsediyoruz. Az sayıda deneyle sonuçlarının aritmetik ortalaması rastgeledir; Deney sayısında yeterli bir artışla, "neredeyse rastgele olmayan" hale gelir ve dengelenerek sabit bir değere - matematiksel beklentiye - yaklaşır.
Çok sayıda deneyin ortalamalarının kararlılığı deneysel olarak kolaylıkla doğrulanabilir. Örneğin laboratuvarda bir cesedi hassas terazide tartarken, tartma sonucunda her defasında yeni bir değer elde ederiz; Gözlem hatasını azaltmak için bedeni birkaç kez tartıyoruz ve elde edilen değerlerin aritmetik ortalamasını kullanıyoruz. Deney sayısındaki (tartım) artışla aritmetik ortalamanın bu artışa giderek daha az tepki verdiğini ve yeterince fazla sayıda deneyle pratik olarak değişmeyi bıraktığını görmek kolaydır.
Bir rastgele değişkenin konumunun en önemli özelliği olan matematiksel beklentinin tüm rastgele değişkenler için mevcut olmadığına dikkat edilmelidir. Karşılık gelen toplam veya integral ıraksak olduğundan, matematiksel beklentinin mevcut olmadığı bu tür rastgele değişkenlerin örneklerini oluşturmak mümkündür. Ancak bu tür vakaların pratikte pek önemi yoktur. Tipik olarak ele aldığımız rastgele değişkenlerin olası değerleri sınırlı bir aralıktadır ve elbette matematiksel bir beklentiye sahiptir.
Pratikte bir rastgele değişkenin konumunun en önemli özelliklerine (matematiksel beklenti) ek olarak, bazen konumun diğer özellikleri, özellikle de rastgele değişkenin modu ve medyanı kullanılır.
Bir rastgele değişkenin modu onun en olası değeridir. Kesin olarak konuşursak, "en olası değer" terimi yalnızca süreksiz miktarlar için geçerlidir; sürekli bir miktar için mod, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değerdir. Şekiller sırasıyla süreksiz ve sürekli rastgele değişkenlerin modunu göstermektedir.
Dağıtım poligonunun (dağılım eğrisinin) birden fazla maksimumu varsa dağılıma "multimodal" dağılım denir.
Bazen ortada maksimum yerine minimum bulunan dağılımlar vardır. Bu tür dağılımlara “anti-modal” denir.
Genel durumda, bir rastgele değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Özel durumda, dağılım simetrik ve modal olduğunda (yani bir modu varsa) ve matematiksel bir beklenti varsa, bu durumda dağılımın modu ve simetri merkezi ile çakışır.
Başka bir konum özelliği sıklıkla kullanılır - rastgele bir değişkenin ortancası. Bu karakteristik genellikle sürekli rastgele değişkenler için kullanılır, ancak resmi olarak süreksiz bir değişken için de tanımlanabilir. Geometrik olarak medyan, dağılım eğrisinin çevrelediği alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir.
Simetrik modal dağılım durumunda medyan, matematiksel beklenti ve mod ile örtüşür.
Matematiksel beklenti, bir rastgele değişkenin ortalama değeridir; bir rastgele değişkenin olasılık dağılımının sayısal bir özelliğidir. En genel anlamda bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi X(w) olasılık ölçüsüne göre Lebesgue integrali olarak tanımlanır R orijinal olasılık uzayında:
Matematiksel beklenti aynı zamanda Lebesgue integrali olarak da hesaplanabilir. X olasılık dağılımına göre piksel miktarları X:
Sonsuz matematiksel beklentiye sahip rastgele değişken kavramı doğal bir şekilde tanımlanabilir. Tipik bir örnek, bazı rastgele yürüyüşlerin geri dönüş süreleridir.
Matematiksel beklenti kullanılarak, bir dağılımın birçok sayısal ve işlevsel özelliği belirlenir (rastgele bir değişkenin karşılık gelen fonksiyonlarının matematiksel beklentisi olarak), örneğin üretme işlevi, karakteristik işlev, herhangi bir mertebeden momentler, özellikle dağılım, kovaryans .
Matematiksel beklenti, rastgele bir değişkenin değerlerinin (dağılımının ortalama değeri) konumunun bir özelliğidir. Bu kapasitede, matematiksel beklenti bazı "tipik" dağılım parametresi olarak hizmet eder ve rolü, mekanikteki statik momentin (kütle dağılımının ağırlık merkezinin koordinatı) rolüne benzer. Dağılımın genel terimlerle (medyanlar, modlar) tanımlandığı konumun diğer özelliklerinden, matematiksel beklenti, olasılık teorisinin limit teoremlerinde kendisinin ve karşılık gelen saçılma özelliğinin - dağılım - sahip olduğu daha büyük değerde farklılık gösterir. Matematiksel beklentinin anlamı, en iyi şekilde büyük sayılar yasası (Chebyshev eşitsizliği) ve güçlendirilmiş büyük sayılar yasası ile ortaya çıkar.
Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi
Birkaç sayısal değerden birini alabilen bir rastgele değişken olsun (örneğin, zar atıldığında puan sayısı 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 olabilir). Pratikte genellikle böyle bir değer için şu soru ortaya çıkar: Çok sayıda testle "ortalama olarak" hangi değeri alır? Riskli işlemlerin her birinden ortalama gelirimiz (veya kaybımız) ne olacak?
Diyelim ki bir çeşit piyango var. Katılmanın (hatta tekrar tekrar, düzenli olarak katılmanın) karlı olup olmadığını anlamak istiyoruz. Diyelim ki her dört biletten biri kazanan, ödül 300 ruble, herhangi bir biletin fiyatı ise 100 ruble olacak. Sonsuz sayıda katılımla olan şey budur. Kaybedeceğimiz vakaların dörtte üçünde her üç kayıp 300 rubleye mal olacak. Her dördüncü durumda 200 ruble kazanacağız. (ödül eksi maliyet), yani dört katılım için ortalama 100 ruble, bir katılım için ortalama 25 ruble kaybediyoruz. Toplamda harabemizin ortalama ücreti bilet başına 25 ruble olacak.
Zarları atıyoruz. Hile değilse (ağırlık merkezini kaydırmadan vb.), o zaman bir seferde ortalama kaç puanımız olacak? Her seçeneğin olasılığı eşit olduğundan, aritmetik ortalamayı alıp 3,5 elde ederiz. Bu ORTALAMA olduğundan, belirli bir atışın 3,5 puan vermeyeceğine kızmaya gerek yok - bu küpün böyle bir sayıya sahip bir yüzü yok!
Şimdi örneklerimizi özetleyelim:
Şimdi verilen resme bakalım. Solda rastgele bir değişkenin dağılımını gösteren bir tablo var. X değeri n olası değerden birini alabilir (en üst satırda gösterilir). Başka bir anlamı olamaz. Olası her değerin altında olasılığı aşağıda yazılmıştır. Sağda M(X)'in matematiksel beklenti olarak adlandırıldığı formül bulunmaktadır. Bu değerin anlamı, çok sayıda testle (büyük bir örneklemle) ortalama değerin aynı matematiksel beklentiye yöneleceğidir.
Tekrar aynı oyun küpüne dönelim. Atış sırasındaki puan sayısının matematiksel beklentisi 3,5'tir (bana inanmıyorsanız formülü kullanarak kendiniz hesaplayın). Diyelim ki birkaç kez attınız. Sonuçlar 4 ve 6 oldu. Ortalama 5 oldu, bu da 3,5'un çok uzağında. Bir kez daha attılar, 3 aldılar, yani ortalama (4+6+3)/3 = 4.3333... Matematiksel beklentinin biraz uzağında. Şimdi çılgın bir deney yapın; küpü 1000 kez yuvarlayın! Ve ortalama tam olarak 3,5 olmasa bile ona yakın olacaktır.
Yukarıda anlatılan piyango için matematiksel beklentiyi hesaplayalım. Plaka şöyle görünecek:
O zaman matematiksel beklenti yukarıda belirlediğimiz gibi olacaktır:
Başka bir şey de, daha fazla seçenek olsaydı bunu formül olmadan "parmaklarda" yapmanın zor olacağıdır. Diyelim ki %75'i kaybedilen biletler, %20'si kazanan biletleri ve %5'i özellikle kazanan biletleri olacaktır.
Şimdi matematiksel beklentinin bazı özellikleri.
Bunu kanıtlamak kolaydır:
Sabit faktör matematiksel beklentinin bir işareti olarak çıkarılabilir, yani:
Bu, matematiksel beklentinin doğrusallık özelliğinin özel bir durumudur.
Matematiksel beklentinin doğrusallığının bir başka sonucu:
yani rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, rastgele değişkenlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.
X, Y bağımsız rastgele değişkenler olsun, Daha sonra:
Bunu kanıtlamak da kolaydır) XY kendisi bir rastgele değişkendir ve eğer başlangıç değerleri alınabilirse N Ve M buna göre değerler, o zaman XY nm değerlerini alabilir. Her bir değerin olasılığı, bağımsız olayların olasılıklarının çarpılması esasına göre hesaplanır. Sonuç olarak şunu elde ediyoruz:
Sürekli bir rastgele değişkenin beklentisi
Sürekli rastgele değişkenlerin dağılım yoğunluğu (olasılık yoğunluğu) gibi bir özelliği vardır. Temel olarak, rastgele bir değişkenin gerçek sayılar kümesinden bazı değerleri daha sık, bazılarını ise daha az alması durumunu karakterize eder. Örneğin şu grafiği düşünün:
Burada X- gerçek rastgele değişken, f(x)- dağıtım yoğunluğu. Bu grafiğe bakılırsa, deneyler sırasında değer X genellikle sıfıra yakın bir sayı olacaktır. Şanslar aşıldı 3 veya daha küçük ol -3 oldukça tamamen teorik.
Örneğin, düzgün bir dağılım olsun:
Bu sezgisel anlayışla oldukça tutarlıdır. Diyelim ki, eğer tekdüze bir dağılıma sahip çok sayıda rastgele gerçek sayı alırsak, segmentlerin her biri |0; 1| o zaman aritmetik ortalama yaklaşık 0,5 olmalıdır.
Ayrık rastgele değişkenler için geçerli olan matematiksel beklenti özellikleri - doğrusallık vb. burada da geçerlidir.
Matematiksel beklenti ile diğer istatistiksel göstergeler arasındaki ilişki
İstatistiksel analizde, matematiksel beklentinin yanı sıra, olayların homojenliğini ve süreçlerin istikrarını yansıtan birbirine bağlı göstergeler sistemi vardır. Varyasyon göstergelerinin çoğunlukla bağımsız bir anlamı yoktur ve daha ileri veri analizi için kullanılır. Bunun istisnası, değerli bir istatistiksel özellik olan, verilerin homojenliğini karakterize eden varyasyon katsayısıdır.
İstatistik biliminde süreçlerin değişkenlik veya kararlılık derecesi çeşitli göstergeler kullanılarak ölçülebilir.
Bir rastgele değişkenin değişkenliğini karakterize eden en önemli gösterge Dağılım matematiksel beklentiyle en yakından ve doğrudan ilişkili olandır. Bu parametre diğer istatistiksel analiz türlerinde (hipotez testi, neden-sonuç ilişkilerinin analizi vb.) aktif olarak kullanılır. Ortalama doğrusal sapma gibi varyans da verilerin ortalama değer etrafındaki yayılma boyutunu yansıtır.
İşaret dilini sözcük diline çevirmek faydalıdır. Dağılımın sapmaların ortalama karesi olduğu ortaya çıktı. Yani önce ortalama değer hesaplanır, ardından her orijinal değer ile ortalama değer arasındaki fark alınır, karesi alınır, eklenir ve ardından popülasyondaki değer sayısına bölünür. Bireysel değer ile ortalama arasındaki fark, sapmanın ölçüsünü yansıtır. Tüm sapmaların yalnızca pozitif sayılar haline gelmesi ve toplanırken pozitif ve negatif sapmaların karşılıklı olarak yok edilmesini önlemek için kareleri alınır. Daha sonra, sapmaların kareleri verildiğinde, basitçe aritmetik ortalamayı hesaplarız. Ortalama - kare - sapmalar. Sapmaların karesi alınır ve ortalaması hesaplanır. Sihirli "dağılım" kelimesinin cevabı sadece üç kelimede yatıyor.
Ancak aritmetik ortalama veya indeks gibi saf haliyle dağılım kullanılmaz. Daha ziyade diğer istatistiksel analiz türleri için kullanılan yardımcı ve ara bir göstergedir. Normal bir ölçü birimi bile yok. Formüle bakılırsa, bu orijinal verilerin ölçü biriminin karesidir.
Rasgele bir değişkeni ölçelim N kez örneğin rüzgar hızını on kez ölçüyoruz ve ortalama değeri bulmak istiyoruz. Ortalama değerin dağılım fonksiyonuyla ilişkisi nedir?
Veya zarları çok sayıda atacağız. Her atışta zar üzerinde görünecek puanların sayısı rastgele bir değişkendir ve 1'den 6'ya kadar herhangi bir doğal değeri alabilir. Tüm zar atışları için hesaplanan düşen puanların aritmetik ortalaması da bir rastgele değişkendir, ancak büyükler için Nçok spesifik bir sayıya yönelir - matematiksel beklenti Mx. Bu durumda Mx = 3,5.
Bu değeri nasıl elde ettiniz? Bırak girsin N testler n1 1 puan aldığınızda, n2 bir kez - 2 puan vb. Daha sonra bir puanın düştüğü sonuçların sayısı:
Benzer şekilde 2, 3, 4, 5 ve 6 puan atıldığında elde edilen sonuçlar için de geçerlidir.
Şimdi x rastgele değişkeninin dağılım yasasını bildiğimizi, yani x rastgele değişkeninin p1, p2, ..., olasılıklarıyla x1, x2, ..., xk değerlerini alabileceğini bildiğimizi varsayalım. pk.
Bir rastgele değişken x'in matematiksel beklentisi Mx şuna eşittir:
Matematiksel beklenti her zaman bazı rastgele değişkenlerin makul bir tahmini değildir. Bu nedenle, ortalama maaşı tahmin etmek için medyan kavramını, yani maaş alan kişi sayısının medyandan daha düşük ve daha büyük olduğu bir değeri kullanmak daha mantıklı olacaktır.
Rastgele değişken x'in x1/2'den küçük olma olasılığı p1 ile rastgele değişken x'in x1/2'den büyük olma olasılığı p2 aynı ve 1/2'ye eşittir. Medyan tüm dağılımlar için benzersiz olarak belirlenmemektedir.
Standart veya Standart Sapma istatistikte gözlemsel veri veya kümelerin ORTALAMA değerinden sapma derecesine denir. S veya s harfleriyle gösterilir. Küçük bir standart sapma, verilerin ortalamanın etrafında kümelendiğini gösterirken, büyük bir standart sapma, başlangıç verilerinin ortalamadan uzakta bulunduğunu gösterir. Standart sapma, varyans adı verilen bir miktarın kareköküne eşittir. Ortalama değerden sapan başlangıç verilerinin kare farklarının toplamının ortalamasıdır. Bir rastgele değişkenin standart sapması varyansın kareköküdür:
Örnek. Test koşulları altında bir hedefe ateş ederken rastgele değişkenin dağılımını ve standart sapmasını hesaplayın:
varyasyon- Nüfusun birimleri arasında bir özelliğin değerinin dalgalanması, değişebilirliği. İncelenen popülasyonda bulunan bir özelliğin bireysel sayısal değerlerine değerlerin varyantları denir. Ortalama değerin popülasyonu tam olarak karakterize etmedeki yetersizliği, bizi ortalama değerleri, incelenen özelliğin değişkenliğini (varyantını) ölçerek bu ortalamaların tipikliğini değerlendirmemize olanak tanıyan göstergelerle desteklemeye zorlar. Değişim katsayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
Varyasyon aralığı(R), incelenen popülasyondaki özelliğin maksimum ve minimum değerleri arasındaki farkı temsil eder. Bu gösterge, yalnızca seçeneklerin maksimum değerleri arasındaki farkı gösterdiğinden, incelenen özelliğin değişkenliği hakkında en genel fikri verir. Bir özelliğin uç değerlerine bağımlılık, varyasyonun kapsamına kararsız, rastgele bir karakter kazandırır.
Ortalama doğrusal sapma analiz edilen popülasyonun tüm değerlerinin ortalama değerlerinden mutlak (modülo) sapmalarının aritmetik ortalamasını temsil eder:
Kumar teorisinde matematiksel beklenti
Matematiksel beklenti Bir kumarbazın belirli bir bahiste kazanabileceği veya kaybedebileceği ortalama para miktarı. Bu oyuncu için çok önemli bir kavramdır çünkü çoğu oyun durumunun değerlendirilmesinde temeldir. Matematiksel beklenti aynı zamanda temel kart düzenlerini ve oyun durumlarını analiz etmek için de en uygun araçtır.
Diyelim ki bir arkadaşınızla jetonlu bir oyun oynuyorsunuz ve ne olursa olsun her seferinde eşit miktarda 1$ bahis koyuyorsunuz. Yazı kazandığınız, tura kaybettiğiniz anlamına gelir. Yazının gelme ihtimali bire birdir, bu yüzden 1 ila 1 dolar arasında bahis oynarsınız. Dolayısıyla matematiksel beklentiniz sıfırdır çünkü Matematiksel açıdan bakıldığında, iki atıştan sonra mı yoksa 200 atıştan sonra mı önde olacağınızı ya da kaybedeceğinizi bilemezsiniz.
Saatlik kazancınız sıfırdır. Saatlik kazanç, bir saat içinde kazanmayı beklediğiniz para miktarıdır. Bir saatte 500 kez yazı tura atabilirsiniz ama kazanamazsınız ya da kaybedemezsiniz çünkü... şansınız ne olumlu ne de olumsuz. Ciddi bir oyuncu açısından baktığınızda bu bahis sistemi fena değil. Ancak bu sadece zaman kaybıdır.
Ancak diyelim ki birisi aynı oyunda sizin 1$'ınıza karşı 2$ bahis oynamak istiyor. O zaman hemen her bahisten 50 sentlik olumlu bir beklentiniz olur. Neden 50 sent? Ortalama olarak bir bahis kazanırsınız ve ikincisini kaybedersiniz. İlk dolara bahis yaparsanız 1 $ kaybedersiniz, ikinciye bahis yaparsanız 2 $ kazanırsınız. İki kez 1$ bahis oynarsınız ve 1$ önde olursunuz. Yani bir dolarlık bahislerinizin her biri size 50 sent kazandırdı.
Bir saat içinde bir jeton 500 kez ortaya çıkarsa saatlik kazancınız zaten 250$ olacaktır, çünkü... Ortalama olarak 250 kez bir dolar kaybettiniz ve 250 kez iki dolar kazandınız. 500$ eksi 250$ eşittir 250$, bu da toplam kazançtır. Bahis başına kazandığınız ortalama miktar olan beklenen değerin 50 sent olduğunu lütfen unutmayın. Bir dolara 500 kez bahis oynayarak 250 dolar kazandınız, bu da bahis başına 50 sente eşittir.
Matematiksel beklentinin kısa vadeli sonuçlarla hiçbir ilgisi yoktur. Size karşı 2$ bahis oynamaya karar veren rakibiniz, arka arkaya ilk on atışta sizi yenebilir, ancak siz, 2'ye 1 bahis avantajına sahip olduğunuzdan, diğer her şey eşit olduğunda, herhangi bir 1$'lık bahisten 50 sent kazanacaksınız. durumlar. Masrafları rahatça karşılamaya yetecek kadar paranız olduğu sürece, bir veya birden fazla bahis kazanmanız veya kaybetmeniz hiç fark etmez. Aynı şekilde bahis oynamaya devam ederseniz, uzun bir süre boyunca kazancınız bireysel bahislerdeki beklentilerin toplamına yaklaşacaktır.
En iyi bahisi (uzun vadede kârlı olabilecek bir bahis) her yaptığınızda, oranlar lehinize olduğunda, kaybetseniz de kaybetmeseniz de, bu bahisten bir şeyler kazanmanız kaçınılmazdır. el verildi. Tersine, eğer şanslar aleyhinizeyken zayıf bir bahis (uzun vadede kârsız olan bir bahis) yaparsanız, eli kazansanız da kaybetseniz de bir şeyler kaybedersiniz.
Beklentiniz olumlu ise en iyi sonuca sahip bir bahis oynarsınız ve oranlar sizin tarafınızdaysa olumlu olur. En kötü sonuçla bahis oynadığınızda, olumsuz bir beklentiye sahip olursunuz ve bu da oranlar aleyhinize olduğunda ortaya çıkar. Ciddi oyuncular yalnızca en iyi sonuç üzerine bahis oynarlar; en kötü sonuç olursa pas geçerler. Oranlar sizin lehinize ne anlama geliyor? Gerçek oranların getirdiğinden daha fazlasını kazanmanız mümkündür. Gerçek tura gelme ihtimali 1'e 1'dir, ancak oran oranı nedeniyle 2'ye 1 elde edersiniz. Bu durumda ihtimaller sizin lehinizedir. Bahis başına 50 sentlik olumlu bir beklentiyle kesinlikle en iyi sonucu alırsınız.
İşte matematiksel beklentinin daha karmaşık bir örneği. Bir arkadaşınız birden beşe kadar sayıları yazıyor ve sizin bu sayıyı tahmin edemeyeceğinize dair 1 dolarınıza karşılık 5 dolar bahse giriyor. Böyle bir iddiayı kabul etmeli misiniz? Buradaki beklenti nedir?
Ortalama olarak dört kez yanılacaksınız. Buna dayanarak, sayıyı tahmin etme ihtimaliniz 4'e 1'dir. Tek denemede bir dolar kaybetme ihtimaliniz. Ancak, 5'e 1 kazanırsınız ve 4'e 1 kaybetme ihtimaliniz de vardır. Yani oranlar sizin lehinizedir, bahisi kabul edebilir ve en iyi sonucu umabilirsiniz. Bu bahsi beş kez yaparsanız, ortalama olarak dört kez 1$ kaybedersiniz ve bir kez 5$ kazanırsınız. Buna dayanarak, beş denemenin tümü için, bahis başına 20 sentlik pozitif matematiksel beklentiyle 1 $ kazanacaksınız.
Yukarıdaki örnekte olduğu gibi bahis yaptığından daha fazlasını kazanacak olan oyuncu şansını denemektedir. Tam tersine, bahse girdiğinden daha az kazanmayı umarak şansını mahveder. Bir bahisçinin olumlu ya da olumsuz bir beklentisi olabilir, bu da kazanma ya da kazanma şansına bağlıdır.
Eğer 4'e 1 kazanma şansıyla 10$ kazanmak için 50$ bahis oynarsanız, 2$'lık negatif bir beklenti elde edersiniz çünkü Ortalama olarak dört kez 10$ kazanırsınız ve bir kez 50$ kaybedersiniz, bu da bahis başına kaybın 10$ olacağını gösterir. Ancak 10$ kazanmak için 30$ bahis oynarsanız ve 4'e 1 kazanma ihtimaliniz aynıysa, o zaman bu durumda 2$'lık pozitif bir beklentiniz olur, çünkü yine dört kez 10$ kazanırsınız ve bir kez 30$ kaybedersiniz ve 10$ kar elde edersiniz. Bu örnekler ilk bahsin kötü, ikincisinin ise iyi olduğunu göstermektedir.
Matematiksel beklenti, herhangi bir oyun durumunun merkezinde yer alır. Bir bahisçi, futbol taraftarlarını 10$ kazanmak için 11$ bahis yapmaya teşvik ettiğinde, her 10$ için 50 sentlik olumlu bir beklentiye sahiptir. Eğer kumarhane barbutta geçiş hattından eşit miktarda para ödüyorsa, o zaman kumarhanenin olumlu beklentisi her 100$ için yaklaşık 1,40$ olacaktır, çünkü Bu oyun, bu çizgiye bahis yapan herkesin ortalama %50,7 kaybedeceği ve toplam sürenin %49,3'ünü kazanacağı şekilde yapılandırılmıştır. Kuşkusuz, dünya çapındaki kumarhane sahiplerine muazzam karlar getiren şey, görünüşte asgari düzeyde olan bu olumlu beklentidir. Vegas World kumarhanesinin sahibi Bob Stupak'ın belirttiği gibi, "yeterince uzun bir mesafede yüzde birin binde biri negatif olasılık, dünyanın en zengin adamını mahvedecektir."
Poker oynarken beklenti
Poker oyunu, matematiksel beklenti teorisi ve özelliklerinin kullanılması açısından en açıklayıcı ve açıklayıcı örnektir.
Pokerde Beklenen Değer, böyle bir kararın büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde değerlendirilebilmesi koşuluyla, belirli bir karardan elde edilen ortalama faydadır. Başarılı bir poker oyunu her zaman olumlu beklenen değere sahip hamleleri kabul etmektir.
Poker oynarken matematiksel beklentinin matematiksel anlamı, karar verirken sıklıkla rastgele değişkenlerle karşılaşmamızdır (rakibin elinde hangi kartların olduğunu, sonraki bahis turlarında hangi kartların geleceğini bilmiyoruz). Çözümlerin her birini, yeterince büyük bir örnekle, bir rastgele değişkenin ortalama değerinin matematiksel beklentisine yöneleceğini belirten büyük sayılar teorisi açısından ele almalıyız.
Matematiksel beklentiyi hesaplamaya yönelik özel formüller arasında aşağıdakiler pokerde en uygulanabilir olanıdır:
Poker oynarken hem bahisler hem de çağrılar için beklenen değer hesaplanabilir. İlk durumda kat özsermayesi, ikincisinde ise bankanın kendi oranları dikkate alınmalıdır. Belirli bir hamlenin matematiksel beklentisini değerlendirirken, pasın her zaman sıfır beklentisi olduğunu unutmamalısınız. Bu nedenle kartları atmak her zaman herhangi bir olumsuz hamleden daha karlı bir karar olacaktır.
Beklenti, riske attığınız her dolar için ne bekleyebileceğinizi (kar veya zarar) anlatır. Kumarhaneler para kazanır çünkü içlerinde oynanan tüm oyunların matematiksel beklentisi kumarhanenin lehinedir. Yeterince uzun bir oyun serisiyle müşterinin parasını kaybetmesini bekleyebilirsiniz, çünkü "olasılıklar" kumarhanenin lehinedir. Bununla birlikte, profesyonel casino oyuncuları oyunlarını kısa sürelerle sınırlandırır, böylece şanslar kendi lehlerine artar. Aynı şey yatırım için de geçerli. Eğer beklentiniz olumlu ise kısa sürede çok sayıda işlem yaparak daha fazla para kazanabilirsiniz. Beklenti, kazanç başına kar yüzdenizin ortalama kârınızla çarpımı, eksi kayıp olasılığınızın ortalama kaybınızla çarpımıdır.
Poker aynı zamanda matematiksel beklenti açısından da değerlendirilebilir. Belirli bir hamlenin karlı olduğunu varsayabilirsiniz, ancak bazı durumlarda başka bir hamle daha karlı olduğu için bu en iyisi olmayabilir. Diyelim ki beş kartlı pokerde tam bir sayıya ulaştınız. Rakibiniz bir bahis yapar. Bahsi artırırsanız karşılık vereceğini biliyorsunuz. Bu nedenle yükseltme en iyi taktik gibi görünüyor. Ancak bahsi artırırsanız kalan iki oyuncu kesinlikle pas geçecektir. Ancak ararsanız arkanızdaki diğer iki oyuncunun da aynısını yapacağına güveniniz tamdır. Bahsinizi arttırdığınızda bir birim, sadece gördüğünüzde ise iki birim alırsınız. Bu nedenle, aramak size daha yüksek bir olumlu beklenen değer verir ve en iyi taktik olacaktır.
Matematiksel beklenti aynı zamanda hangi poker taktiklerinin daha az karlı, hangilerinin daha karlı olduğu konusunda da fikir verebilir. Örneğin, belirli bir eli oynuyorsanız ve kaybınızın ante dahil ortalama 75 sent olacağını düşünüyorsanız o eli oynamalısınız çünkü Bu, bahis tutarı 1$ olduğunda pas geçmekten daha iyidir.
Beklenen değer kavramını anlamanın bir diğer önemli nedeni, bahsi kazansanız da kazanmasanız da size gönül rahatlığı vermesidir: eğer iyi bir bahis yaptıysanız veya doğru zamanda pas geçtiyseniz, kazandığınızı veya kazandığınızı bileceksiniz. zayıf oyuncunun biriktiremeyeceği bir miktar para biriktirdi. Rakibiniz daha güçlü bir el çektiği için üzülürseniz pas geçmeniz çok daha zordur. Tüm bunlarla birlikte bahis yerine oynamayarak tasarruf ettiğiniz para, gece veya ay boyunca kazancınıza eklenir.
Unutmayın, elinizi değiştirseniz rakibiniz sizi çağırırdı ve Pokerin Temel Teoremi makalesinde de göreceğiniz gibi bu sizin avantajlarınızdan sadece bir tanesi. Bu gerçekleştiğinde mutlu olmalısınız. Hatta bir eli kaybetmenin tadını çıkarmayı bile öğrenebilirsiniz çünkü sizin konumunuzdaki diğer oyuncuların çok daha fazlasını kaybedeceğini bilirsiniz.
Başta jeton oyunu örneğinde de bahsettiğimiz gibi saatlik kar oranı matematiksel beklenti ile bağlantılıdır ve bu kavram özellikle profesyonel oyuncular için önemlidir. Poker oynamaya gittiğinizde, bir saatlik oyunda ne kadar kazanabileceğinizi zihinsel olarak tahmin etmelisiniz. Çoğu durumda sezgilerinize ve deneyiminize güvenmeniz gerekecektir, ancak biraz matematik de kullanabilirsiniz. Örneğin, berabere düşük top oynuyorsunuz ve üç oyuncunun 10 $ bahis oynadığını ve ardından iki kart takas ettiğini görüyorsunuz ki bu çok kötü bir taktiktir, her 10 $ bahis oynadıklarında yaklaşık 2 $ kaybettiklerini anlayabilirsiniz. Her biri bunu saatte sekiz kez yapıyor, bu da üçünün de saatte yaklaşık 48 dolar kaybettiği anlamına geliyor. Yaklaşık olarak eşit olan geri kalan dört oyuncudan birisiniz, dolayısıyla bu dört oyuncunun (ve aralarında sizin de) her biri saatte 12 $ kar elde edecek şekilde 48 $'ı bölmesi gerekir. Bu durumda saatlik şansınız, üç kötü oyuncunun bir saat içinde kaybettiği para miktarındaki payınıza eşittir.
Uzun bir süre boyunca oyuncunun toplam kazancı, bireysel ellerdeki matematiksel beklentilerinin toplamıdır. Olumlu beklentiyle ne kadar çok el oynarsanız o kadar çok kazanırsınız ve tam tersi, olumsuz beklentiyle ne kadar çok el oynarsanız o kadar çok kaybedersiniz. Sonuç olarak saatlik kazancınızı maksimuma çıkarabilmeniz için olumlu beklentinizi maksimuma çıkarabilecek veya olumsuz beklentinizi boşa çıkarabilecek bir oyun seçmelisiniz.
Oyun stratejisinde olumlu matematiksel beklenti
Kart saymayı biliyorsanız, sizi fark edip dışarı atmadıkları sürece kumarhaneye göre avantajlı olabilirsiniz. Kumarhaneler sarhoş oyuncuları sever ve kart sayma oyuncularına tolerans göstermez. Bir avantaj, zaman içinde kaybettiğinizden daha fazla kazanmanıza olanak tanır. Beklenen değer hesaplamalarını kullanan iyi para yönetimi, avantajınızdan daha fazla kâr elde etmenize ve kayıplarınızı azaltmanıza yardımcı olabilir. Avantajınız yoksa parayı hayır kurumuna vermeniz daha iyi olur. Borsadaki oyunda kayıplardan, fiyat farklarından ve komisyonlardan daha fazla kazanç sağlayan oyun sistemi sayesinde avantaj sağlanıyor. Hiçbir para yönetimi kötü bir oyun sistemini kurtaramaz.
Pozitif beklenti sıfırdan büyük bir değer olarak tanımlanır. Bu sayı ne kadar büyük olursa istatistiksel beklenti de o kadar güçlü olur. Değer sıfırdan küçükse matematiksel beklenti de negatif olacaktır. Negatif değerin modülü ne kadar büyük olursa durum o kadar kötü olur. Sonuç sıfırsa, bekleme başa baş demektir. Ancak olumlu bir matematiksel beklentiniz ve makul bir oyun sisteminiz olduğunda kazanabilirsiniz. Sezgilerle oynamak felakete yol açar.
Matematiksel beklenti ve hisse senedi ticareti
Matematiksel beklenti, finansal piyasalarda döviz ticareti yapılırken oldukça yaygın olarak kullanılan ve popüler bir istatistiksel göstergedir. Öncelikle bu parametre ticaretin başarısını analiz etmek için kullanılır. Bu değer ne kadar yüksek olursa, incelenen ticaretin başarılı olduğunu düşünmek için o kadar çok neden olduğunu tahmin etmek zor değil. Elbette bir yatırımcının çalışmalarının analizi tek başına bu parametre kullanılarak gerçekleştirilemez. Bununla birlikte, hesaplanan değer, işin kalitesini değerlendirmenin diğer yöntemleriyle birlikte analizin doğruluğunu önemli ölçüde artırabilir.
Matematiksel beklenti genellikle ticari hesap izleme hizmetlerinde hesaplanır ve bu, para yatırma işleminde gerçekleştirilen işi hızlı bir şekilde değerlendirmenize olanak tanır. İstisnalar arasında "uzakta" kâr getirmeyen alım satımları kullanan stratejiler yer alır. Bir tüccar bir süreliğine şanslı olabilir ve bu nedenle işinde hiç kayıp olmayabilir. Bu durumda çalışmada kullanılan riskler dikkate alınmayacağı için sadece matematiksel beklentiye göre yönlendirmek mümkün olmayacaktır.
Piyasa ticaretinde, matematiksel beklenti çoğunlukla herhangi bir ticaret stratejisinin kârlılığını tahmin ederken veya bir tüccarın önceki ticaretinden elde edilen istatistiksel verilere dayanarak gelirini tahmin ederken kullanılır.
Para yönetimine gelince, olumsuz beklentilerle işlem yaparken kesinlikle yüksek kar getirebilecek bir para yönetimi planının olmadığını anlamak çok önemlidir. Bu koşullar altında borsada oynamaya devam ederseniz, paranızı nasıl yönetirseniz yönetin, başlangıçta ne kadar büyük olursa olsun hesabınızın tamamını kaybedersiniz.
Bu aksiyom yalnızca olumsuz beklentili oyunlar veya işlemler için değil, aynı zamanda eşit şansa sahip oyunlar için de geçerlidir. Bu nedenle, uzun vadede kar elde etme şansınızın olduğu tek zaman pozitif beklenen değere sahip işlemler yapmanızdır.
Olumsuz beklenti ile olumlu beklenti arasındaki fark yaşamla ölüm arasındaki farktır. Beklentinin ne kadar olumlu ya da ne kadar olumsuz olduğu önemli değil; Önemli olan olumlu mu olumsuz mu olduğudur. Bu nedenle para yönetimini düşünmeden önce olumlu beklentiye sahip bir oyun bulmalısınız.
Eğer o oyuna sahip değilseniz, o zaman dünyadaki tüm para yönetimi sizi kurtaramayacaktır. Öte yandan olumlu bir beklentiniz varsa, doğru para yönetimiyle bunu üstel bir büyüme fonksiyonuna dönüştürebilirsiniz. Olumlu beklentinin ne kadar küçük olduğu önemli değil! Başka bir deyişle, tek bir sözleşmeye dayalı bir ticaret sisteminin ne kadar karlı olduğunun bir önemi yoktur. İşlem başına sözleşme başına 10$ kazanan bir sisteminiz varsa (komisyonlar ve kaymalardan sonra), işlem başına ortalama 1.000$ kazanan bir sistemden (komisyonlar ve kaymalar düşüldükten sonra) daha karlı hale getirmek için para yönetimi tekniklerini kullanabilirsiniz.
Önemli olan sistemin ne kadar kârlı olduğu değil, sistemin gelecekte en azından minimum kâr göstereceğinin ne kadar kesin söylenebileceğidir. Bu nedenle bir yatırımcının yapabileceği en önemli hazırlık, sistemin gelecekte olumlu bir beklenen değer göstermesini sağlamaktır.
Gelecekte pozitif bir beklenen değere sahip olmak için sisteminizin serbestlik derecelerini sınırlamamak çok önemlidir. Bu, yalnızca optimize edilecek parametrelerin sayısının ortadan kaldırılması veya azaltılmasıyla değil, aynı zamanda mümkün olduğu kadar çok sistem kuralının azaltılmasıyla da sağlanır. Eklediğiniz her parametre, koyduğunuz her kural, sisteme yaptığınız her küçük değişiklik, serbestlik derecesi sayısını azaltır. İdeal olarak, hemen hemen her pazarda sürekli olarak küçük karlar üretecek oldukça ilkel ve basit bir sistem kurmanız gerekir. Tekrar belirtmek isterim ki sistemin karlı olduğu sürece ne kadar karlı olduğunun bir önemi yoktur. Ticarette kazandığınız para, etkili para yönetimi sayesinde kazanılacaktır.
Bir ticaret sistemi, para yönetimini kullanabilmeniz için size pozitif bir beklenen değer veren bir araçtır. Yalnızca bir veya birkaç pazarda çalışan (en azından minimum düzeyde kar gösteren) veya farklı pazarlar için farklı kurallara veya parametrelere sahip olan sistemler, büyük olasılıkla gerçek zamanlı olarak uzun süre çalışmayacaktır. Teknik odaklı yatırımcıların çoğunun sorunu, ticaret sisteminin çeşitli kurallarını ve parametre değerlerini optimize etmek için çok fazla zaman ve çaba harcamalarıdır. Bu tamamen zıt sonuçlar verir. Ticaret sisteminin kârını artırmak için enerjinizi ve bilgisayar zamanınızı boşa harcamak yerine, enerjinizi minimum kâr elde etmenin güvenilirlik düzeyini artırmaya yönlendirin.
Para yönetiminin sadece olumlu beklentilerin kullanılmasını gerektiren bir sayı oyunu olduğunu bilen bir tüccar, hisse senedi ticaretinin "kutsal kasesini" aramayı bırakabilir. Bunun yerine ticaret yöntemini test etmeye başlayabilir, bu yöntemin ne kadar mantıklı olduğunu, olumlu beklentiler verip vermediğini öğrenebilir. Herhangi bir, hatta çok vasat ticaret yöntemlerine uygulanan uygun para yönetimi yöntemleri, işin geri kalanını kendileri halledecektir.
Herhangi bir yatırımcının işinde başarılı olması için en önemli üç görevi yerine getirmesi gerekir: . Başarılı işlem sayısının kaçınılmaz hata ve yanlış hesaplamalardan fazla olmasını sağlamak; Ticaret sisteminizi mümkün olduğunca sık para kazanma fırsatına sahip olacak şekilde kurun; Operasyonlarınızdan istikrarlı ve olumlu sonuçlar elde edin.
Ve burada biz çalışan tüccarlar için matematiksel beklenti çok yardımcı olabilir. Bu terim olasılık teorisindeki anahtar terimlerden biridir. Onun yardımıyla, bazı rastgele değerlerin ortalama bir tahminini verebilirsiniz. Olası tüm olasılıkları farklı kütlelere sahip noktalar olarak hayal ederseniz, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ağırlık merkezine benzer.
Bir ticaret stratejisiyle ilgili olarak, kârın (veya zararın) matematiksel beklentisi çoğunlukla stratejinin etkinliğini değerlendirmek için kullanılır. Bu parametre, belirli kar ve zarar seviyelerinin çarpımlarının toplamı ve bunların oluşma olasılığı olarak tanımlanır. Örneğin, geliştirilen ticaret stratejisi, tüm işlemlerin %37'sinin kâr getireceğini ve geri kalan %63'ünün kârsız olacağını varsaymaktadır. Aynı zamanda başarılı bir işlemden elde edilecek ortalama gelir 7$, ortalama kayıp ise 1,4$ olacaktır. Bu sistemi kullanarak ticaretin matematiksel beklentisini hesaplayalım:
Bu sayı ne anlama geliyor? Bu sistemin kurallarına uyarak, kapatılan her işlemden ortalama 1.708$ alacağımızı söylüyor. Ortaya çıkan verimlilik derecesi sıfırdan büyük olduğundan böyle bir sistem gerçek iş için kullanılabilir. Hesaplama sonucunda matematiksel beklenti negatif çıkarsa, bu zaten ortalama bir kaybı gösterir ve bu tür bir ticaret yıkıma yol açacaktır.
İşlem başına kazanç miktarı % şeklinde göreceli bir değer olarak da ifade edilebilir. Örneğin:
– 1 işlem başına gelir yüzdesi - %5;
– başarılı ticaret işlemlerinin yüzdesi - %62;
– 1 işlem başına kayıp yüzdesi - %3;
– başarısız işlemlerin yüzdesi – %38;
Yani ortalama ticaret %1,96 getirecek.
Kârsız ticaretlerin baskın olmasına rağmen MO>0 olduğundan olumlu sonuç üretecek bir sistem geliştirmek mümkündür.
Ancak tek başına beklemek yeterli değildir. Sistem çok az işlem sinyali verirse para kazanmak zordur. Bu durumda karlılığı banka faiziyle karşılaştırılabilir olacaktır. Her operasyon ortalama sadece 0,5 dolar üretsin ama sistem yılda 1000 operasyon içeriyorsa ne olur? Bu, nispeten kısa bir süre içinde çok önemli bir miktar olacaktır. Bundan mantıksal olarak, iyi bir ticaret sisteminin bir diğer ayırt edici özelliğinin, kısa süreli pozisyon tutma olarak değerlendirilebileceği sonucu çıkar.
Kaynaklar ve bağlantılar
dic.academic.ru – akademik çevrimiçi sözlük
math.ru – matematik alanında eğitici web sitesi
nsu.ru - Novosibirsk Devlet Üniversitesi'nin eğitim web sitesi
webmath.ru öğrenciler, başvuru sahipleri ve okul çocukları için bir eğitim portalıdır.
expponenta.ru eğitici matematik web sitesi
ru.tradimo.com – ücretsiz çevrimiçi ticaret okulu
crypto.hut2.ru – multidisipliner bilgi kaynağı
poker-wiki.ru – ücretsiz poker ansiklopedisi
sernam.ru – Seçilmiş doğa bilimleri yayınlarından oluşan bilimsel kütüphane
reshim.su – web sitesi Test ödevi sorunlarını çözeceğiz
unfx.ru – UNFX'te Forex: eğitim, ticaret sinyalleri, güven yönetimi
slovopedia.com – Büyük Ansiklopedik Sözlük Slovopedia
pokermansion.3dn.ru – Poker dünyasındaki rehberiniz
statanaliz.info – bilgi blogu “İstatistiksel veri analizi”
forex-trader.rf – Forex-Trader portalı
megafx.ru – güncel Forex analizleri
fx-by.com – bir yatırımcı için her şey
Olasılık teorisi, yalnızca yüksek öğretim kurumlarının öğrencileri tarafından incelenen özel bir matematik dalıdır. Hesaplamaları ve formülleri sever misiniz? Ayrık bir rastgele değişkenin normal dağılımı, topluluk entropisi, matematiksel beklenti ve dağılımı hakkında bilgi sahibi olma ihtimalinden korkmuyor musunuz? O zaman bu konu sizin için çok ilginç olacak. Bu bilim dalının en önemli temel kavramlarından birkaçını tanıyalım.
Temelleri hatırlayalım
Olasılık teorisinin en basit kavramlarını hatırlasanız bile yazının ilk paragraflarını ihmal etmeyin. Mesele şu ki, temelleri net bir şekilde anlamadan aşağıda tartışılan formüllerle çalışamayacaksınız.
Yani bazı rastgele olaylar meydana gelir, bazı deneyler olur. Yaptığımız eylemlerin sonucunda çeşitli sonuçlar elde edebiliriz; bunlardan bazıları daha sık, bazıları ise daha az sıklıkla meydana gelir. Bir olayın olasılığı, bir türden gerçekten elde edilen sonuçların sayısının, olası sonuçların toplam sayısına oranıdır. Yalnızca bu kavramın klasik tanımını bilerek, sürekli rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisini ve dağılımını incelemeye başlayabilirsiniz.
Ortalama
Okula döndüğünüzde matematik dersleri sırasında aritmetik ortalamayla çalışmaya başladınız. Bu kavram olasılık teorisinde yaygın olarak kullanılmaktadır ve bu nedenle göz ardı edilemez. Şu anda bizim için asıl önemli olan, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve dağılımına ilişkin formüllerde bununla karşılaşacak olmamızdır.
Bir dizi sayımız var ve aritmetik ortalamayı bulmak istiyoruz. Bizden istenen tek şey, mevcut olan her şeyi toplamak ve dizideki öğe sayısına bölmektir. 1'den 9'a kadar sayımız olsun. Elementlerin toplamı 45 olacak, bu değeri 9'a böleceğiz. Cevap: - 5.
Dağılım
Bilimsel açıdan dağılım, bir özelliğin elde edilen değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının ortalama karesidir. Tek büyük Latin harfi D ile gösterilir. Hesaplamak için ne gereklidir? Dizinin her elemanı için mevcut sayı ile aritmetik ortalama arasındaki farkı hesaplayıp karesini alıyoruz. Düşündüğümüz olaya ilişkin sonuçların olabileceği kadar değer olacaktır. Daha sonra, alınan her şeyi özetliyoruz ve dizideki öğe sayısına bölüyoruz. Beş olası sonucumuz varsa, o zaman beşe bölün.
Dispersiyonun problem çözerken kullanılabilmesi için hatırlanması gereken özellikleri de vardır. Örneğin, bir rastgele değişken X kat artırıldığında, varyans X kare kat artar (yani X*X). Hiçbir zaman sıfırdan küçük değildir ve değerlerin eşit miktarlarda yukarı veya aşağı kaydırılmasına bağlı değildir. Ayrıca bağımsız denemelerde toplamın varyansı, varyansların toplamına eşittir.
Şimdi kesinlikle ayrık bir rastgele değişkenin varyansı ve matematiksel beklenti örneklerini dikkate almamız gerekiyor.
Diyelim ki 21 deney yaptık ve 7 farklı sonuç elde ettik. Her birini sırasıyla 1, 2, 2, 3, 4, 4 ve 5 kez gözlemledik. Varyans neye eşit olacak?
Öncelikle aritmetik ortalamayı hesaplayalım: elemanların toplamı elbette 21'dir. Bunu 7'ye bölerek 3 elde ederiz. Şimdi orijinal dizideki her sayıdan 3 çıkarın, her değerin karesini alın ve sonuçları toplayın. Sonuç 12. Şimdi tek yapmamız gereken sayıyı element sayısına bölmek ve öyle görünüyor ki hepsi bu. Ama bir sorun var! Bunu tartışalım.
Deney sayısına bağımlılık
Varyansı hesaplarken paydanın iki sayıdan birini içerebileceği ortaya çıktı: N veya N-1. Burada N, gerçekleştirilen deneylerin sayısı veya dizideki öğelerin sayısıdır (ki bu aslında aynı şeydir). Bu neye bağlıdır?
Test sayısı yüzlerce olarak ölçülürse paydaya N koymalıyız, birim olarak ise N-1. Bilim adamları sınırı oldukça sembolik olarak çizmeye karar verdiler: bugün 30 sayısını geçiyor. 30'dan az deney yaptıysak, miktarı N-1'e, daha fazlaysa N'ye böleceğiz.
Görev
Varyans problemini ve matematiksel beklentiyi çözme örneğimize dönelim. N veya N-1'e bölünmesi gereken bir ara sayı olan 12'ye sahibiz. 21 deney yaptığımız için (30'dan az) ikinci seçeneği seçeceğiz. Yani cevap şu: varyans 12/2 = 2.
Beklenen değer
Bu yazıda dikkate almamız gereken ikinci kavrama geçelim. Matematiksel beklenti, tüm olası sonuçların karşılık gelen olasılıklarla çarpılmasının sonucudur. Elde edilen değerin ve varyansın hesaplanması sonucunun, içinde kaç sonuç dikkate alınırsa alınsın, tüm problem için yalnızca bir kez elde edildiğini anlamak önemlidir.
Matematiksel beklentinin formülü oldukça basittir: Sonucu alırız, olasılığıyla çarparız, aynısını ikinci, üçüncü sonuç için ekleriz vb. Bu kavramla ilgili her şeyin hesaplanması zor değildir. Örneğin beklenen değerlerin toplamı, toplamın beklenen değerine eşittir. Aynı durum iş için de geçerlidir. Olasılık teorisindeki her nicelik bu kadar basit işlemleri gerçekleştirmenize izin vermez. Problemi ele alalım ve incelediğimiz iki kavramın anlamını aynı anda hesaplayalım. Üstelik teori dikkatimizi dağıtmıştı; şimdi pratik yapma zamanı.
Bir örnek daha
50 deneme yaptık ve farklı yüzdelerde görünen 10 tür sonuç (0'dan 9'a kadar sayılar) elde ettik. Bunlar sırasıyla: %2, %10, %4, %14, %2, %18, %6, %16, %10, %18. Olasılıkları elde etmek için yüzde değerlerini 100'e bölmeniz gerektiğini hatırlayın. Böylece 0,02 elde ederiz; 0.1 vb. Rastgele bir değişkenin varyansı ve matematiksel beklenti problemini çözmeye yönelik bir örnek sunalım.
Aritmetik ortalamayı ilkokuldan hatırladığımız formülü kullanarak hesaplıyoruz: 50/10 = 5.
Şimdi saymayı kolaylaştırmak için olasılıkları “parçalar halinde” sonuç sayısına dönüştürelim. 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ve 9 elde ederiz. Elde edilen her değerden aritmetik ortalamayı çıkarırız ve ardından elde edilen sonuçların her birinin karesini alırız. Örnek olarak ilk öğeyi kullanarak bunu nasıl yapacağınızı görün: 1 - 5 = (-4). Sonraki: (-4) * (-4) = 16. Diğer değerler için bu işlemleri kendiniz yapın. Her şeyi doğru yaptıysanız, hepsini topladıktan sonra 90 elde edeceksiniz.
90'ı N'ye bölerek varyansı ve beklenen değeri hesaplamaya devam edelim. Neden N-1 yerine N'yi seçiyoruz? Doğru, çünkü yapılan deney sayısı 30'u geçiyor. Yani: 90/10 = 9. Varyansı bulduk. Farklı bir numara alırsanız umutsuzluğa kapılmayın. Büyük ihtimalle hesaplamalarda basit bir hata yaptınız. Yazdıklarınızı bir kez daha kontrol edin, muhtemelen her şey yerine oturacaktır.
Son olarak matematiksel beklenti formülünü hatırlayın. Tüm hesaplamaları vermeyeceğiz, yalnızca gerekli tüm prosedürleri tamamladıktan sonra kontrol edebileceğiniz bir cevap yazacağız. Beklenen değer 5,48 olacaktır. İlk elemanları örnek olarak kullanarak yalnızca işlemlerin nasıl gerçekleştirileceğini hatırlayalım: 0*0,02 + 1*0,1... vb. Gördüğünüz gibi, sonuç değerini olasılığıyla çarpıyoruz.
Sapma
Dağılım ve matematiksel beklentiyle yakından ilişkili bir diğer kavram ise standart sapmadır. Latin harfleri sd veya Yunanca küçük harf “sigma” ile gösterilir. Bu kavram, değerlerin merkezi özellikten ortalama ne kadar saptığını gösterir. Değerini bulmak için varyansın karekökünü hesaplamanız gerekir.
Normal bir dağılım grafiği çiziyorsanız ve sapmanın karesini doğrudan üzerinde görmek istiyorsanız, bu birkaç aşamada yapılabilir. Görüntünün yarısını modun soluna veya sağına alın (merkezi değer), elde edilen rakamların alanları eşit olacak şekilde yatay eksene dik bir çizin. Dağılımın ortası ile yatay eksen üzerindeki sonuç projeksiyonu arasındaki bölümün boyutu standart sapmayı temsil edecektir.
Yazılım
Formüllerin açıklamalarından ve sunulan örneklerden de görülebileceği gibi, varyansın ve matematiksel beklentinin hesaplanması aritmetik açıdan en basit prosedür değildir. Zaman kaybetmemek için yükseköğretim kurumlarında kullanılan programı kullanmak mantıklıdır - buna "R" denir. İstatistik ve olasılık teorisinden birçok kavrama ilişkin değerleri hesaplamanıza olanak sağlayan işlevlere sahiptir.
Örneğin, değerlerin bir vektörünü belirtirsiniz. Bu şu şekilde yapılır: vektör<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Nihayet
Dağılım ve matematiksel beklenti olmadan gelecekte herhangi bir şeyi hesaplamak zordur. Üniversitelerdeki derslerin ana derslerinde, konuyu incelemenin ilk aylarında zaten tartışılıyorlar. Tam olarak bu basit kavramların anlaşılmaması ve hesaplanamaması nedeniyle birçok öğrenci programda hemen geri kalmaya başlıyor ve daha sonra oturumun sonunda kötü notlar alıyor ve bu da onları burslardan mahrum bırakıyor.
Bu makalede sunulanlara benzer görevleri çözerek en az bir hafta, günde yarım saat pratik yapın. Daha sonra, olasılık teorisindeki herhangi bir testte, gereksiz ipuçları ve hileler olmadan örneklerle baş edebileceksiniz.
DSV'lerin özellikleri ve özellikleri. Beklenti, varyans, standart sapma
Dağıtım yasası rastgele değişkeni tam olarak karakterize eder. Ancak dağıtım yasasını bulmanın imkansız olduğu veya buna gerek olmadığı durumlarda, kendinizi bir rastgele değişkenin sayısal özellikleri adı verilen değerleri bulmakla sınırlayabilirsiniz. Bu değerler, rastgele değişkenin değerlerinin etrafında gruplandığı bazı ortalama değerleri ve bu ortalama değerin etrafında ne kadar dağıldıklarını belirler.
Matematiksel beklenti Ayrık bir rastgele değişken, rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin ve bunların olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.
Eşitliğin sağ tarafındaki serinin mutlak yakınsaması durumunda matematiksel beklenti mevcuttur.
Olasılık açısından bakıldığında matematiksel beklentinin yaklaşık olarak rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına eşit olduğunu söyleyebiliriz.
Örnek. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası bilinmektedir. Matematiksel beklentiyi bulun.
| X | ||||
| P | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Çözüm:
9.2 Matematiksel beklentinin özellikleri
1. Sabit bir değerin matematiksel beklentisi sabitin kendisine eşittir.
2. Sabit faktör matematiksel beklentinin işareti olarak çıkarılabilir. 
3. İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.
Bu özellik rastgele sayıda rastgele değişken için doğrudur.
4. İki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.
Bu özellik aynı zamanda rastgele sayıdaki rastgele değişkenler için de geçerlidir.
n bağımsız deneme yapılsın, A olayının gerçekleşme olasılığı p'ye eşit olsun.
Teorem. A olayının n bağımsız denemede meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi M(X), deneme sayısı ile olayın her denemede meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir.
Örnek. X ve Y'nin matematiksel beklentileri biliniyorsa, Z rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Çözüm:
9.3 Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı
Ancak matematiksel beklenti rastgele süreci tam olarak karakterize edemez. Matematiksel beklentiye ek olarak, rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentiden sapmasını karakterize eden bir değerin girilmesi gerekir.
Bu sapma, rastgele değişken ile onun matematiksel beklentisi arasındaki farka eşittir. Bu durumda sapmanın matematiksel beklentisi sıfırdır. Bu, bazı olası sapmaların pozitif, diğerlerinin negatif olması ve bunların karşılıklı olarak iptal edilmesi sonucunda sıfır elde edilmesiyle açıklanmaktadır.
Dispersiyon (saçılma) Ayrık bir rastgele değişkenin değeri, rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir.
Uygulamada, varyansın hesaplanmasına yönelik bu yöntem elverişsizdir, çünkü çok sayıda rastgele değişken değeri için hantal hesaplamalara yol açar.
Bu nedenle başka bir yöntem kullanılır.
Teorem. Varyans, X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinin matematiksel beklentisi ile matematiksel beklentisinin karesi arasındaki farka eşittir..
Kanıt. Matematiksel beklenti M(X) ve matematiksel beklenti M2(X)'in karesinin sabit nicelikler olduğu gerçeğini dikkate alarak şunu yazabiliriz:
Örnek. Dağılım yasasıyla verilen ayrık bir rastgele değişkenin varyansını bulun.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Çözüm: .
9.4 Dağılım özellikleri
1. Sabit bir değerin varyansı sıfırdır. .
2. Sabit faktör, karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir. 
.
3. İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının varyansı, bu değişkenlerin varyanslarının toplamına eşittir. .
4. İki bağımsız rastgele değişken arasındaki farkın varyansı, bu değişkenlerin varyanslarının toplamına eşittir. .
Teorem. Her birinde olayın meydana gelme olasılığı p'nin sabit olduğu n bağımsız denemede A olayının meydana gelme sayısının varyansı, deneme sayısının meydana gelme ve gerçekleşmeme olasılıkları ile çarpımına eşittir. olayın her denemede meydana gelmesi.
9.5 Ayrık bir rastgele değişkenin standart sapması
Standart sapma Rastgele değişken X'e varyansın karekökü denir.
Teorem. Sonlu sayıda karşılıklı bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının standart sapması, bu değişkenlerin standart sapmalarının karelerinin toplamının kareköküne eşittir.
Ayrık bir olasılık uzayı üzerinde verilen bir X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi (ortalama değeri), serinin mutlak yakınsaması durumunda m =M[X]=∑x i p i sayısıdır.
Hizmetin amacı. Çevrimiçi hizmeti kullanma matematiksel beklenti, varyans ve standart sapma hesaplanır(Örneğe bakın). Ek olarak F(X) dağılım fonksiyonunun bir grafiği çizilir.
Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin özellikleri
- Sabit bir değerin matematiksel beklentisi kendisine eşittir: M[C]=C, C – sabit;
- M=C M[X]
- Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: M=M[X]+M[Y]
- Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: M=M[X] M[Y], eğer X ve Y bağımsızsa.
Dispersiyon özellikleri
- Sabit bir değerin varyansı sıfırdır: D(c)=0.
- Sabit faktör, dağılım işaretinin altından karesi alınarak çıkarılabilir: D(k*X)= k 2 D(X).
- X ve Y rastgele değişkenleri bağımsızsa, toplamın varyansı varyansların toplamına eşittir: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- X ve Y rastgele değişkenleri bağımlı ise: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Aşağıdaki hesaplama formülü dağılım için geçerlidir:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Örnek. İki bağımsız rastgele değişken X ve Y'nin matematiksel beklentileri ve varyansları bilinmektedir: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.
Çözüm. Matematiksel beklentinin özelliklerine göre: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Dağılımın özelliklerine göre: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Matematiksel beklentiyi hesaplamak için algoritma
Ayrık rastgele değişkenlerin özellikleri: tüm değerleri doğal sayılarla yeniden numaralandırılabilir; Her değere sıfır olmayan bir olasılık atayın.- Çiftleri birer birer çarpıyoruz: x i x p i .
- Her x i p i çiftinin çarpımını ekleyin.
Örneğin, n = 4 için: m = ∑x ben p ben = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Örnek No.1.
| x ben | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| ben | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Matematiksel beklentiyi m = ∑x i p ben formülünü kullanarak buluyoruz.
Beklenti M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Varyansı d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 formülünü kullanarak buluyoruz.
Varyans D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standart sapma σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Örnek No.2. Ayrık bir rastgele değişken aşağıdaki dağılım serisine sahiptir:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2A | 0,41 | 0,03 |
Çözüm. a'nın değeri şu ilişkiden bulunur: Σp i = 1
Σp ben = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 veya 0,24=3 a , buradan a = 0,08
Örnek No. 3. Varyansı biliniyorsa, ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını belirleyin ve x 1
p1 =0,3; p2 =0,3; p3 =0,1; p4 =0,3
d(x)=12,96
Çözüm.
Burada d(x) varyansını bulmak için bir formül oluşturmanız gerekir:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
burada beklenti m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Verilerimiz için
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
veya -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Buna göre denklemin köklerini bulmamız gerekiyor ve bunlardan iki tane olacak.
x 3 =8, x 3 =12
x 1 koşulunu sağlayanı seçin
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası
x1 =6; x2 =9; x3 =12; x 4 =15
p1 =0,3; p2 =0,3; p3 =0,1; p4 =0,3
Bir önceki bölümde, argümanların dağılım yasaları bilindiğinde fonksiyonların sayısal özelliklerini bulmamızı sağlayan bir dizi formül sunmuştuk. Ancak çoğu durumda, fonksiyonların sayısal özelliklerini bulmak için argümanların dağılım yasalarını bilmek bile gerekli değildir, yalnızca bazı sayısal özelliklerini bilmek yeterlidir; aynı zamanda genellikle herhangi bir dağıtım kanunu olmadan da bunu yaparız. Argümanların verilen sayısal özelliklerinden fonksiyonların sayısal özelliklerini belirlemek olasılık teorisinde yaygın olarak kullanılır ve bir dizi problemin çözümünü önemli ölçüde basitleştirebilir. Bu basitleştirilmiş yöntemlerin çoğu doğrusal fonksiyonlarla ilgilidir; ancak bazı temel doğrusal olmayan fonksiyonlar da benzer bir yaklaşıma izin verir.
Şu anda, fonksiyonların sayısal özellikleri üzerine, bu özelliklerin hesaplanması için çok çeşitli koşullara uygulanabilen çok basit bir cihazı temsil eden bir dizi teorem sunacağız.
1. Rastgele olmayan bir değerin matematiksel beklentisi
Formüle edilen özellik oldukça açıktır; rastgele olmayan bir değişkenin özel bir rastgele türü olarak ele alınmasıyla kanıtlanabilir; olası bir değeri bir olasılıkla; daha sonra matematiksel beklentinin genel formülüne göre:
.
2. Rastgele olmayan bir miktarın varyansı
Rastgele olmayan bir değerse, o zaman
3. Matematiksel beklenti işaretinin yerine rastgele olmayan bir değer koymak
, (10.2.1)
yani rastgele olmayan bir değer matematiksel beklentinin işareti olarak çıkarılabilir.
Kanıt.
a) Süreksiz miktarlar için
b) Sürekli miktarlar için
.
4. Dağılım ve standart sapma işaretinin yerine rastgele olmayan bir değer koymak
Rastgele olmayan bir miktar ise ve rastgele ise, o zaman
, (10.2.2)
yani dağılımın işaretinin karesi alınarak rastgele olmayan bir değer çıkarılabilir.
Kanıt. Varyansın tanımı gereği
Sonuçlar
,
yani standart sapmanın işaretinden mutlak değeri kadar rastgele olmayan bir değer çıkarılabilir. Kanıtı, formül (10.2.2)'den karekökü alarak ve r.s.o.'yu hesaba katarak elde ederiz. - önemli ölçüde pozitif bir değer.
5. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi
Herhangi iki rastgele değişken için bunu kanıtlayalım ve
yani iki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.
Bu özellik matematiksel beklentilerin eklenmesi teoremi olarak bilinir.
Kanıt.
a) Süreksiz rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem olsun. İki bağımsız değişkenli bir fonksiyonun matematiksel beklentisi için genel formülü (10.1.6) rastgele değişkenlerin toplamına uygulayalım:
.
Ho, miktarın şu değeri alacağı toplam olasılıktan başka bir şeyi temsil etmez:
;
buradan,
.
Benzer şekilde bunu kanıtlayacağız
,
ve teorem kanıtlanmıştır.
b) Sürekli rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem olsun. Formül (10.1.7)'ye göre
. (10.2.4)
İntegrallerden (10.2.4) ilkini dönüştürelim:
;
benzer şekilde
,
ve teorem kanıtlanmıştır.
Matematiksel beklentilerin eklenmesine ilişkin teoremin hem bağımlı hem de bağımsız herhangi bir rastgele değişken için geçerli olduğuna özellikle dikkat edilmelidir.
Matematiksel beklentilerin eklenmesine ilişkin teorem, rastgele sayıda terime genelleştirilmiştir:
, (10.2.5)
yani, birkaç rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.
Bunu kanıtlamak için tam tümevarım yöntemini kullanmak yeterlidir.
6. Doğrusal bir fonksiyonun matematiksel beklentisi
Birkaç rastgele argümanın doğrusal bir fonksiyonunu düşünün:
rastgele olmayan katsayılar nerede. Hadi bunu kanıtlayalım
, (10.2.6)
yani doğrusal bir fonksiyonun matematiksel beklentisi, argümanların matematiksel beklentilerinin aynı doğrusal fonksiyonuna eşittir.
Kanıt. M.o.'nun toplama teoremini kullanarak. ve m.o. işaretinin dışına rastgele olmayan bir miktar yerleştirme kuralını elde ederiz:
.
7. Gösterimepbu rastgele değişkenlerin toplamı
İki rastgele değişkenin toplamının varyansı, varyanslarının toplamı artı korelasyon momentinin iki katına eşittir:
Kanıt. Haydi belirtelim
Matematiksel beklentilerin eklenmesi teoremine göre
Rastgele değişkenlerden karşılık gelen merkezli değişkenlere geçelim. Eşitlik (10.2.9) terimini eşitlikten (10.2.8) terim terim çıkardığımızda:
Varyansın tanımı gereği
Q.E.D.
Toplamın varyansına ilişkin formül (10.2.7), herhangi bir sayıda terime genelleştirilebilir:
,
(10.2.10)
miktarların korelasyon momenti nerede, toplamın altındaki işaret, toplamın rastgele değişkenlerin tüm olası ikili kombinasyonlarına kadar uzandığı anlamına gelir 
.
Kanıt öncekine benzer ve bir polinomun karesi formülünden gelir.
Formül (10.2.10) başka bir biçimde yazılabilir:
, (10.2.11)
çift toplamın miktarlar sisteminin korelasyon matrisinin tüm elemanlarına uzandığı yer , hem korelasyon momentlerini hem de varyansları içerir.
Eğer tüm rastgele değişkenler Sisteme dahil olan , korelasyonsuzsa (yani , olduğunda), formül (10.2.10) şu şekli alır:
, (10.2.12)
yani ilişkisiz rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, terimlerin varyanslarının toplamına eşittir.
Bu pozisyon varyansların toplamı teoremi olarak bilinir.
8. Doğrusal bir fonksiyonun varyansı
Birkaç rastgele değişkenin doğrusal bir fonksiyonunu ele alalım.
rastgele olmayan miktarlar nerede.
Bu doğrusal fonksiyonun dağılımının formülle ifade edildiğini kanıtlayalım.
, (10.2.13)
büyüklüklerin korelasyon momenti nerede , .
Kanıt. Gösterimi tanıtalım:
. (10.2.14)
Toplamın ifadenin (10.2.14) sağ tarafına dağılımı için formül (10.2.10)'u uygulayarak ve bunu dikkate alarak şunu elde ederiz:
büyüklüklerin korelasyon momenti nerede:
.
Bu anı hesaplayalım. Sahibiz:
;
benzer şekilde
Bu ifadeyi (10.2.15)'te değiştirerek (10.2.13) formülüne ulaşırız.
Tüm miktarların olduğu özel durumda korelasyonsuzsa formül (10.2.13) şu şekli alır:
, (10.2.16)
yani, ilişkisiz rastgele değişkenlerin doğrusal bir fonksiyonunun varyansı, katsayıların kareleri ile karşılık gelen argümanların varyanslarının çarpımlarının toplamına eşittir.
9. Rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi
İki rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentileri artı korelasyon momentinin çarpımına eşittir:
Kanıt. Korelasyon momentinin tanımından devam edeceğiz:
Bu ifadeyi matematiksel beklentinin özelliklerini kullanarak dönüştürelim:
bu açıkça formül (10.2.17)'ye eşdeğerdir.
Rastgele değişkenler korelasyonsuzsa formül (10.2.17) şu formu alır:
yani, ilişkisiz iki rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.
Bu konum matematiksel beklentilerin çarpımı teoremi olarak bilinir.
Formül (10.2.17), sistemin ikinci karma başlangıç momenti ve matematiksel beklentileri aracılığıyla ikinci karma merkezi momentinin ifadesinden başka bir şey değildir:
. (10.2.19)
Bu ifade, pratikte korelasyon momentini hesaplarken, bir rastgele değişken için varyansın çoğunlukla ikinci başlangıç momenti ve matematiksel beklenti yoluyla hesaplanmasıyla aynı şekilde kullanılır.
Matematiksel beklentilerin çarpımı teoremi, keyfi sayıda faktöre genelleştirilir, ancak bu durumda, uygulaması için, miktarların korelasyonsuz olması yeterli değildir, ancak sayısı bağlı olan bazı daha yüksek karışık momentlerin olması gerekir. çarpımdaki terimlerin sayısına bağlı olarak kaybolur. Çarpımdaki rastgele değişkenlerin bağımsız olması durumunda bu koşullar kesinlikle karşılanır. Bu durumda
, (10.2.20)
yani bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.
Bu önerme tam tümevarımla kolayca kanıtlanabilir.
10. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının varyansı
Bağımsız nicelikler için bunu kanıtlayalım.
Kanıt. belirtelim. Varyansın tanımı gereği
Büyüklükler bağımsız olduğundan ve
Bağımsız olduklarında miktarlar da bağımsızdır; buradan,
,
Ancak büyüklüğün ikinci başlangıç anından başka bir şey yoktur ve bu nedenle dağılım yoluyla ifade edilir:
;
benzer şekilde
.
Bu ifadeleri (10.2.22) formülünde yerine koyup benzer terimleri bir araya getirerek (10.2.21) formülüne ulaşırız.
Merkezi rastgele değişkenlerin (matematiksel beklentileri sıfıra eşit olan değişkenler) çarpılması durumunda formül (10.2.21) şu şekli alır:
, (10.2.23)
yani bağımsız merkezli rastgele değişkenlerin çarpımının varyansı, varyanslarının çarpımına eşittir.
11. Rastgele değişkenlerin toplamının daha yüksek momentleri
Bazı durumlarda bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının en yüksek momentlerini hesaplamak gerekir. Burada ilgili bazı bağıntıları kanıtlayalım.
1) Büyüklükler bağımsız ise, o zaman
Kanıt.
matematiksel beklentilerin çarpımı teoremine göre
Ancak herhangi bir nicelik için ilk merkezi moment sıfırdır; ortadaki iki terim kaybolur ve formül (10.2.24) kanıtlanır.
İlişki (10.2.24), tümevarım yoluyla keyfi sayıda bağımsız terime kolayca genelleştirilir:
. (10.2.25)
2) İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının dördüncü merkezi momenti aşağıdaki formülle ifade edilir:
miktarların varyansları nerede ve .
Kanıt öncekine tamamen benzer.
Tam tümevarım yöntemini kullanarak, formül (10.2.26)'nın keyfi sayıda bağımsız terime genellenmesini kanıtlamak kolaydır.
