Logaritmik ölçeğin oluşturulması. Logaritmik ölçek ve temel özellikleri. Torino ve Palermo asteroit tehlike ölçekleri

4. Binet-Simon ölçeği. "Zihinsel yaş" kavramı. Stanford-Binet ölçeği. “Entelektüel bölüm” (IQ) kavramı. V. Stern'in Çalışmaları Binet-Simon'un ilk ölçeği (test serisi) 1905'te ortaya çıktı. Binet, zeka gelişiminin gerçekleştiği fikrinden yola çıktı.

Dostça toplantılarda slayt kuralı

Dostça Toplantılarda Sürgülü Cetvel Bir keresinde bir mühendis bana şöyle demişti: “Nereye gidersem gideyim, hatta bana hiçbir faydası olmayacakmış gibi görünen bir akşam yemeği partisine bile gidersem yanımda bir cetvel götürürüm. Ancak o benim için imanımı güçlendiren bir tılsımdır.

Takvim[gr. graphikos - yazılı] - 1) çeşitli türdeki olayların niceliksel bağımlılığını görsel olarak tasvir etmek için kullanılan bir çizim; 2) bir fonksiyonun bir argümana bağımlılığını gösteren düzlem üzerindeki bir eğri.

Argüman[lat. argüman] - bağımsız değişken .

İşlev[lat. işlev - yürütme] - argüman değiştikçe bir şekilde değişen bağımlı değişken .

Grafikler, belirli bir materyalin içeriğini, örneğin bir nicelikteki, süreçteki, olgudaki vb. değişimin niteliğini okuyucuya aktarmanın en basit, en kullanışlı ve görsel yoludur. Grafikler görsel olarak kişi tarafından algılandığı için grafikleri oluştururken insan gözünün özelliklerini maksimum düzeyde dikkate almak ve bunu sağlayacak her türlü önlemi almak gerekir. Grafik malzeme göze hoş gelir çünkü doğru algılanmasına katkıda bulunur.

Grafikler bir tür illüstrasyondur. Bunları oluştururken öncelikle çizim alanının boyutunu ve en boy oranını akıllıca seçmeniz gerekir. Burada bir dizi faktörün bir kombinasyonu tarafından yönlendirilmelisiniz - grafiğin amacı (yalnızca fonksiyonun argümana bağımlılığının doğasını göstermeye hizmet eder veya argümanların ve fonksiyonların sayısal değerleri ondan belirlenir), çizim alanındaki eğrilerin sayısı, eğrilerin şeklinin karmaşıklığı, çizim alanının küçük bir alanında konsantrasyonun varlığı veya yokluğu ve birkaç eğrinin kesişimi, eğrinin hangi kısmı (yatay veya dikey) her özel durumda vb. en bilgilendirici ve önemlidir. Genel olarak 40x40 mm'den küçük veya A4 kağıt boyutundan büyük bir çizim alanı seçmemelisiniz. Bu boyutların ötesine geçerseniz, verilen kararın gerekçeleri iyi olmalıdır.

Rapor grafikleri beyaz kağıda veya şeffaf aydınger kağıdına çizilir. Grafik kağıdı kullanmak mümkündür (kullanımının rahatlığı açıktır), ancak yalnızca açık sarı veya açık turuncu, çünkü bu durumda açık renkli arka plan ile siyah çizgiler arasındaki kontrast yüksektir ve siyah beyaz fotokopide Grafik kağıdı zar zor görülebilecek ve illüstrasyonun algılanmasını engellemeyecektir. Mavi (mavi) arka plan ile siyah çizgiler arasındaki düşük kontrast nedeniyle mavi veya mavi grafik kağıdının kullanılması kabul edilemez, bu da grafikle çalışmayı çok zorlaştırır ve hatalara neden olabilir.

Grafikleme elle veya bilgisayarla yapılabilir. Grafiğin apsis ekseni ve ordinat ekseni, çizim alanının karşılık gelen kenarı boyunca çizilir sağlam yaklaşık 0,5 mm kalınlığında tek çizgiler. Koordinat eksenlerinin uçlarında ok yoktur.

Deneysel olarak incelenen bağımlılıkları gösteren grafikler, çizimin tüm alanını kapsayan bir koordinat ızgarası ile sağlanmalıdır. Koordinat ızgara çizgilerinin kalınlığı, koordinat eksenlerinin kalınlığından en az 2 kat daha az olmalıdır. Izgara aralığı grafikle çalışmaya uygun olmalıdır, genellikle en az 5 mm alınır.

Manuel olarak çizim yaparken, koordinat eksenleri ve ızgara çizgilerinin yanı sıra eğrinin kendisi de yalnızca siyah mürekkeple veya siyah mürekkeple çizilmelidir; macun ve kalem kullanımına izin verilmez. Öncelikle koordinat ızgarasını ince kalem çizgileriyle çizmeniz ve bunları yalnızca grafik üzerinde çalışmanın en sonunda mürekkeple uygun yerlere çizmeniz önerilir.

Gösterim harfinin kendisi de dahil olmak üzere eksenlerin gösterimi ve virgülle ayrılmış olarak miktarın boyutu (örneğin, Ben , µA), koordinat eksenlerinin dışında, koordinat ızgarasının dışında olmalıdır, ancak çizimde yatay veya dikey olarak koordinat eksenlerinin uçlarının ötesine uzanmamalıdır.

Çizim alanında kısa açıklayıcı yazılara izin verilir, ancak bunlar gösterilen bağımlılığın algılanmasını engellemeyecek ve hiçbir durumda yalnızca grafik eğrisiyle kesişmeyecek, hatta ona dokunmayacak şekilde yerleştirilmelidir. Yazının bulunduğu yerde koordinat ızgarası olmamalıdır (bu nedenle, grafikleri manuel olarak çizerken, önce koordinat ızgarasının ince kalem çizgileriyle çizilmesi önerilir).

Çizim alanında koordinat ızgarasının eğriler veya yazılar tarafından işgal edilmeyen geniş serbest alanları olmamalıdır. Bunu başarmak için, ölçek işaretleri, karşılık gelen eksen boyunca sıfırdan sayısallaştırılmaya başlamalı, ancak yalnızca belirli bir işlevsel ilişkinin dikkate alındığı değerlerle sınırlı olmalıdır; komplo kavramıyla çelişmediği sürece. Bazı durumlarda, koordinat ekseni üzerindeki ilk (ilk) sayısallaştırılmış ölçek işaretinin, bu eksenin gerçek başlangıcından belirli bir mesafeye taşınması tavsiye edilir.

Ölçek işaretlerinin sayısal değerlerinin sayısı makul olmalıdır, yani. bir programla çalışmak için uygundur. Her neyse ilk ve sonuncunun dijitalleştirilmesi gerekiyorölçek işaretleri her eksende. Lütfen bunu not al Eğer her eksenin her iki başlangıç ​​işareti de sıfır değerlerle sayısallaştırılır, ardından bu sıfırlardan her biri çizim üzerinde işaretlenmelidir; bu iki sıfırın ortak bir sıfırla değiştirilmesine izin verilmez fonksiyonel bağımlılığın algılanmasında büyük hataların olasılığı nedeniyle.

Çok haneli sayısal ölçek işareti değerleri iki şekilde belirtilebilir.

İlk yöntemde belirli bir koordinat ekseninin harf tanımının yanında gösterilen belirli bir sabit faktörle, insan tarafından okunabilen tamsayıların bir ürünü şeklinde verilirler. Örneğin, akım koordinat ekseninde çizilir Ben amper cinsinden ve ölçek işaretleri şu değerlere sahip olmalıdır: 0,000011, 0,000012, 0,000013, 0,000014, vb. Bu ölçek işaretleri şu şekilde sayısallaştırılmalıdır: 11, 12, 13, 14 vb. ve bu koordinat ekseninin sonunun belirlenmesinde 10 -6 sabit faktörü yerleştirilmeli ve sonu aşağıdaki gibi gösterilmelidir: Ben '10 -6, A.

İkinci yöntemdeÖlçek işaretlerinin çok basamaklı sayısal değerlerini insan algısına uygun bir forma getirmek için, alt kat ve çoklu ölçü birimleri oluşturmak için standart önekler kullanılır ve bu ölçü birimlerinde koordinat eksenine çizilen değeri belirtirler. Yukarıda tartışılan örnekte ikinci yöntemin uygulanması şu sonucu verecektir: ölçek işaretleri aynı sayısallaştırmaya sahip olacaktır (11,12,13,14, vb.) ve dijital eksenin sonunun tanımı şöyle olacaktır: Ben , μA.

SI birim sisteminde, alt ve çoklu birimlerin oluşumu için standart öneklerin, teknolojide kullanılan herhangi bir miktarın tüm sayısal değer aralığını büyük bir farkla kapsadığı göz önüne alındığında, çok basamaklı sayısal değerleri getirmenin ikinci yöntemi ​Ölçek işaretlerinin insan algısına uygun bir biçime dönüştürülmesi daha çok tercih edilir.

Çizimin koordinat ızgarasının arka planına karşı, bilinen eşlenik argüman ve fonksiyon değerleri çiftlerine karşılık gelen grafik noktaları (koordinat eksenlerinin çizgilerinin kalınlığından biraz daha büyük bir çapa sahip) çizilir ve bu noktalar düz olarak bağlanır. kalınlığının çizilen noktaların çapından biraz daha az seçilmesi önerilen çizgi parçaları (böylece deneysel noktalar grafikte açıkça görülebilecektir).

Genel olarak deneysel verilerden çizilen bir grafik genellikle pürüzlü bir eğriye benzer (bunun nedenleri bu eğitimin ilerleyen bölümlerinde açıklanacaktır). Grafik eğrisinin pürüzlü kenarları yoksa, bu neredeyse her zaman argümanın ve fonksiyonun gerçek değerlerine ilişkin bilginin yetersiz doğruluğunu gösterir.

İncelenen fonksiyonel bağımlılığın algılanması ve analizinin kolaylığı için, ortaya çıkan grafiğe düz bir çizgi ile yaklaşılmalıdır.

Sürecin yalnızca temel veya teorik resmini açıklayan grafiklerin yapısı daha basittir; genellikle bir koordinat ızgarası yoktur. Bu tür grafiklerin koordinat eksenleri oklarla biter. Koordinat eksenleri etiketleri grafik çerçevesinin dışında olmalı ancak koordinat eksenlerinin uçlarının dışına taşmamalıdır. Ölçek işaretleri koordinat eksenlerine yerleştirilmez; Koordinat eksenlerinde, çoğu zaman herhangi bir ölçek gözlemlenmeden bile, çizilen miktarların yalnızca aşırı değerlerinin belirtilmesine izin verilir.

Grafik ölçeği ölçekleri

Ölçek- bir harita veya çizim üzerindeki bir çizginin uzunluğunun gerçek uzunluğuna oranı.

Grafikler oluştururken ölçek, çizilen değerin birim sayısı olarak anlaşılır; ölçek işaretlerinin bir adımına veya koordinat ızgarasına eşdeğerdir.

Ölçek işaretlerinin aralığı her zaman bazı uzunluk birimlerinde (milimetre, santimetre, inç, ızgara hücrelerinde, belirli uzunluktaki bölümler halinde) gösterilir.

Tekdüze ve işlevsel ölçekler vardır.

Tek biçimli ölçek aritmetik ilerlemeye dayanmaktadır; her bir üyenin sayısal değerinin, komşu üyelerin sayısal değerinden kabul edilen belirli sayıda birim kadar büyük veya küçük olduğu sayısal seri. Tek tip ölçek örnekleri: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, vb.; 200, 400, 600, 800, 1000 vb.; 15, 18, 21, 24, 27, vb.; 35, 36, 37, 38, 39, 40 vb.

Her özel durumda ölçek işaretlerinin aralığı, özellikle, gerekirse, gerekli sayıda parçaya (en sık 2'ye, 2'ye) bölmenin uygun olacağı şekilde, kullanıma uygun olacak şekilde seçilmelidir. 3'e, 4'e, 5'e, 10'a) . Genel olarak kesirli adım değerlerinden kaçınılmalıdır; örneğin 1,7, 2,3, 3,14, 5,9, 11,35, 57,73, 149,29 vb.

Düzgün ölçeğin özellikleri:

1) fonksiyon ve argüman doğrudan orantılı bir ilişki ile bağlıysa, her iki eksende de tek tip ölçekler kullanıldığında, bu fonksiyonel ilişkinin grafiği apsis eksenine belirli bir açıyla eğimli düz bir çizgiye benzer;

2) eğer argüman ve fonksiyon arasında incelenen ilişki doğrudan orantılı değilse ve argümanın değerlerindeki değişiklik aralığı çok genişse, ancak apsis ekseninde tekdüze bir ölçekte çizilmişse, o zaman grafiği bu işlevsel bağımlılık, argümanın küçük değerleri için (apsis eksenine paralel yönde) sıkıştırılacak ve aynı zamanda argümanın büyük değerleri için uzatılacaktır.

Tek tip ölçeklendirme genellikle argüman değerleri aralığı geniş olmadığında kullanılır.

Fonksiyonel ölçekler, bitişik ölçek işaretlerinin sayısal değerlerinin, örneğin ikinci dereceden, kübik, logaritmik, sinüzoidal vb. gibi aritmetik ilerleme yasalarından farklı olan bazı yasalara göre değiştiği ölçeklerdir.

Fonksiyonel ölçekleri uygulamaya geçirmenin başlangıç ​​noktası bir takım fikirlerdi; bunlardan ikisi mühendislik açısından en önemlileridir:

1) Bazı durumlarda, bir veya her iki koordinat ekseninin uygun ölçeğini seçerek doğrusal olmayan bir fonksiyonel ilişkinin grafiğini düz bir çizgiye dönüştürebilirsiniz.

2) Apsis ekseni boyunca uygun ölçeği seçerek, grafiğin seyrini, argümanındaki değişiklik aralığındaki herhangi bir noktada - minimum değerden maksimuma kadar - bağımsız olarak eşit ayrıntıda inceleme fırsatını elde edebilirsiniz. Genişlik.

Örnek bir uygulamaya bakalım ilk fikir. Elektron kuadratörünün çalışılmasına izin verin, yani. giriş elektrik miktarı X'in karesini almanın matematiksel işlemini uygulayan bir cihaz: Y = K 1 X, burada Y çıkış elektrik sinyalidir, K 1 orantı katsayısıdır. Gerekli tahmin etmek Kuadrator işleminin doğruluğu.

Bu böyle yapılır. İlk olarak, deneysel olarak, noktadan noktaya, kuadratörün genlik karakteristiği, giriş sinyallerinin tüm aralığı boyunca mümkün olduğu kadar doğru ölçülürken, nokta sayısı oldukça büyük olmalı, en az iki düzine ve bu durumda noktalar Açık nedenlerden dolayı, giriş sinyalindeki değişiklik aralığı boyunca dağıtılabilir, giriş sinyali ne kadar sık ​​olursa, giriş sinyali o kadar büyük olur.

Daha sonra orijinal doğrusal olmayan denklemi analitik olarak doğrusal bir denkleme dönüştürürler ve değişkenleri matematik kurallarına göre değiştirirler. Bu durumda, bu iki şekilde yapılabilir: ya X 2 = Z yerine koyarak Y = K 1 Z denklemini elde edin ya da denklemin her iki tarafının karekökünü alıp yerine koyun: , denklemi alın Z = K2X . Elde edilen doğrusal denklemlerden birini, örneğin ikincisini seçin ve Z fonksiyonunun karşılık gelen değerlerini ve orantı katsayısı K2'yi hesaplayın.

Yeterince büyük boyutta, en az 200´200 mm (noktaların yerleştirilmesindeki hatayı en aza indirmek için) bir grafik kağıdı sayfası hazırlayın, buna koordinat eksenleri uygulayın ve karşılık gelen değerleri atayın. üniforma her iki eksende de ölçeklendirir ve ölçek işaretlerini dijitalleştirir. Daha sonra çizim alanına mümkün olduğunca doğru bir şekilde deneysel noktalar (milimetrenin üçte birinden fazla olmayan) uygulanır ve merkezleri ince kalem çizgileri ile bağlanır.

Ortaya çıkan çizim göze göre alınır ve yönlendirilir. (tek gözle bakın!) böylece görüş hattı grafik boyunca ilerler. Gözümüzün özelliklerinden biri, düz bir çizginin en ufak eğriliğini çok iyi fark etmesidir (ancak pratikte, çeşitli eğrilerin gerçek görünümündeki katı teorik görünümden yüzde onlarca kadar oldukça büyük sapmaları fark etmez) ). Bu nedenle, böyle yapay olarak doğrusallaştırılmış bir grafiğin doğrusallık derecesini görsel olarak değerlendirirken, uyumluluk derecesi çok kolay bir şekilde belirlenir. gerçek fonksiyon ve argüman arasındaki matematiksel bağlantı ve bunların bağlantısının varsayılan teorik yasası.

Grafik basit görünüyorsa, karelemenin yüksek kalitesi hakkında bir sonuca varılır, yani. bu durumda, mühendislik amaçları için yeterli doğrulukla, kuadratik karakteristiği gerçekten de ikinci derecedendir.

Grafik bir kısım veya diğerinde düz bir çizgiden sapıyorsa, bu, gerekli özelliğin (bu durumda ikinci dereceden) uygulanmasında gözle görülür bir hata olduğunu gösterir. Grafiğe bir cetvel uygulayarak ve gerçek ve teorik (doğrusal) grafiklerin ordinatlarındaki farkı belirleyerek, belirli bir doğrusal olmayan özelliğin uygulanmasındaki hatayı niceliksel olarak hesaplayabilirsiniz.

İkinci fikir En basit şekilde logaritmik ölçek adı verilen ölçek kullanılarak uygulanır.

Logaritmik, fiziksel bir miktarın sayısal değerlerinin değil, logaritmalarının koordinat ekseni boyunca çizildiği bir ölçektir.

Şu anda teknolojide en yaygın olanı Briggs namı diğer ondalık sayı(dayalı 10 ) logaritmalar, dolayısıyla yalnızca bunlar daha fazla tartışılacaktır.

Logaritmik ölçeğe hakim olmayı kolaylaştırmak için logaritmanın bazı belirli özelliklerini açıkça anlamalısınız.

Logaritmik ölçek kullanılırken “on yıl” kavramı yaygın olarak kullanılmaktadır. On yıl, sayısal eksenin X min'den X max'a kadar olan bir bölümüdür; burada bu sayılar büyüklük sırasına göre farklılık gösterir; Xmaks: Xmin = 10 . Genellikle şartlı olarak ilk on gün 1'den 10'a kadar sayısal bir bölüm olarak adlandırılır (yani sayma 1 sayısından başlar), ikinci on yıl- 10'dan 100'e kadar, üçüncü on yıl- 100'den 1000'e vb.; ayrıca şartlı sayı ekseninin 1'den 0,1'e kadar olan bölümüne denir eksi ilk on gün sayısal eksenin 0,1'den 0,01'e kadar olan bölümüne denir eksi ikinci on yıl, sayısal eksenin bir bölümü 0,01'den 0,001'e denir eksi üçüncü on yıl vb.. On yılın ondalık logaritması tanım gereği bire eşittir, yani. Logaritmik ölçekte on yıl, logaritmik bir birimdir. On yıl, değeri eşit olan herhangi bir “k” tamsayısına bölünebilir. Örneğin, yarım on yıl (k=2) eşittir, on yılın üçte biri (k=3) eşittir vb. Hepsinin ürünü vay be on yılın bölümleri 10'a eşittir. (Teknolojinin bazı alanlarında, örneğin akustikte, on yıl yerine "oktav" kavramı kullanılır. Bir oktav, sayısal eksenin X min'den X max'a kadar olan bir bölümüdür. burada bu sayılar iki kat farklılık gösterir, yani X max: X min = 2. Oktav aynı zamanda herhangi bir “k” tamsayısına da bölünebilir ” boyuta sahip eşit parçalar. Örneğin yarım oktav (k=2) eşittir, bir oktavın üçte biri (k=3) eşittir vb. İş vay be Bir oktavın bazı kısımları 2'ye eşittir.)

Birden büyük herhangi bir Y sayısı Y = W 10 n -1,Nerede W – ilk on yılın karşılık gelen tamsayı veya kesirli ondalık sayısı, n, Y sayısının bulunduğu on yılın sayısıdır. Örneğin, 2 sayısı (ilk on yılda yer alır) 2 10 1-1 =2 10 0, 60 sayısı (ikinci on yılda yer alır) olarak temsil edilebilir. on yıl) - 6 10 2-1 =6 10 1 olduğundan 200 sayısı 2 10 2, 3160 sayısı 3.160 10 3, 75340 sayısı 7.5340 10 4 şeklindedir.

Birden küçük herhangi bir Y sayısı ondalık sayı sisteminde şu şekilde temsil edilebilir: Y = W 10n. Örneğin, 0,2 sayısı (ilk on yılda 1'in solunda yer alır) 2 10 -1'e benzer, 0,02 sayısı (ikinci on yılda 1'in solunda yer alır) 2 10 -2'ye benzer, 0,00316 sayısı (üçüncü on yılda 1'in solunda bulunur) – 3,16 10 -3 gibi.

Bildiğiniz gibi herhangi bir sayının logaritması iki bölümden oluşur: (sol) tamsayı kısmından - özellikler, ve (sağ) kesirli kısımdan - mantis. karakteristik Sayının tamsayı kısmındaki rakam sayısından bir eksik olan rakam olan ondalık logaritma, verilen sayının hangi on yılda yer aldığını gösterir. Mantis, ondalık bir kesri temsil eden sayının belirli bir on yıl içindeki tam konumunu gösterir. Bu yüzden, Y=W10 n -1 veya Y=W10 n sayısı ne kadar büyük veya küçük olursa olsun, sayısal eksenin hangi onluğunda olursa olsun, ancak ilk kısmı (W), tamsayı veya kesirli bir sayı ile temsil ediliyorsa ilk on yıl, daha sonra logaritmadan sonra, Y sayısının mantisi W sayısının ondalık logaritmasına eşittir, yani. bu her on yıl için aynıdır; bu, logaritmik bir ölçek oluşturmak için temel bir konumdur.

Apsis ve ordinat eksenleri boyunca logaritmik ölçekler farklı şekillerde oluşturulur.

Apsis ekseni aşağıdaki gibi inşa edilmiştir.

Öncelikle argümanın maksimum X max ve minimum X min değerlerine göre apsis ekseninde kaç onluk grafiğin çizilmesi gerektiği belirlenir.

Xmax ve Xmin aynı on yıl içindeyse, bir on yıl veya gerekli kısmı apsis ekseninde çizilir. Xmax ve Xmin farklı onyıllara aitse gerekli onyıl sayısı veya bunların gerekli kısımları apsis ekseninde çizilir. Her durumda, on yılın gerekli kısmı yarıdan fazla ise, on yılın bu kısmı yerine tam on yılın alınması tavsiye edilir - bu, grafiğin oluşturulmasını ve algılanmasını büyük ölçüde kolaylaştırır.

Yukarıdakileri bir örnekle açıklayalım. Apsis ekseninin X min = 15 µm = 0,015 mm'den X max = 60 mm'ye kadar olan yer değiştirmeyi çizmesine izin verin . Açıkçası, X max, 1'in sağındaki ikinci on yılı ifade eder ve X min, 1'in solundaki ikinci on yılı ifade eder, yani. Apsis ekseni 4 dekat olmalıdır. Xmax ve Xmin değerleri genellikle kabul edilen onyıllık sınırlarla örtüşmediğinden, ilk (soldan sağa) ve son onyılların ne kadarının argüman değerleri aralığı tarafından işgal edildiğini tahmin edelim.

Logaritmanın özelliklerini hesaba katarak - bir ürünün logaritması logaritmaların toplamına eşittir, şunu belirleriz: logX min = log0,015 = log(1,5 10 -2) = log1,5 + log(10 -2) = (» 0,18) + (-2 ) » -1,82, yani. 1'in soluna doğru sayıldığında (log1 = 0 olduğundan ve bu sıfır, logaritmik birimlerin başlangıç ​​noktası olduğundan), argüman » 1,82 geometrik onyıllık uzunlukları kaplar. Buradan en soldaki on yılda (yani soldan sağa ilk on yılda) » on yılın geometrik uzunluğunun %82'si kullanıldığı, dolayısıyla tam yirmi on yılın 1'in soluna ayrılması gerektiği sonucu çıkar. Benzer şekilde logX m ax = log60 = log(6 10 1) = log6+ log(10 1) = (» 0,78) + 1 » 1,78, yani. 1'den sağa doğru sayıldığında (yani sıfır logaritmik birimlerden) argüman » 1,78 geometrik on yıllık uzunlukları kaplar. Buradan en sağdaki on yılda (yani soldan sağa son on yılda) » on yılın geometrik uzunluğunun %78'i kullanıldığı, dolayısıyla tam yirmi yılın da 1'in sağına ayrılması gerektiği sonucu çıkar.

Toplamda, bu örnekte, 15 μm'den 60 mm'ye kadar tüm argüman değerleri aralığının "rahat bir şekilde" yerleşeceği koordinat ekseninde kırk yıl ayrılmalıdır. Kolaylık sağlamak için bu örnekte onyılların başlangıç ​​noktası koordinat ekseninin en sol noktası olarak alınmalıdır.

Koordinat ekseni nasıl belirlenmeli ve on yılların sınırlarına karşılık gelen ölçek işaretleri ve ayrıca on yıllar içindeki işaretler, örneğin X min ve X max, nasıl sayısallaştırılmalıdır?

Argümanın logaritmaları koordinat eksenine işaretlenmiştir, bu nedenle kesinlikle resmi olarak koordinat ekseni belirlenmelidir " LGX”, boyutları belirtmeden Logaritma tanım gereği her zaman boyutsuz bir sayı olduğundan (“lgX, mm” tanımı büyük bir hatadır). On yıllık sınırlardaki ölçek işaretleri, bu sınırların sayısal değerlerinin logaritmasına karşılık gelen sayısallaştırmaya sahip olmalıdır. Söz konusu örnekte bunlar aşağıdaki sayılar olacaktır (soldan sağa sayılır): -2, -1, 0, 1, 2. X min = 15 µm'ye karşılık gelen işaret –1,82 sayısallaştırmaya sahip olacaktır ve X max = 60 mm'ye karşılık gelen işaretin sayısallaştırılması +1,78 olacaktır. Bu örneğin koşulları için logaritmik ölçekte koordinat ekseninin teorik olarak kesin formu Şekil 2'de gösterilmektedir. 5.

Koordinat ekseninin logaritmik ölçekte teorik olarak katı formunun pratik kullanım için son derece elverişsiz olduğu açıktır: ilk olarak, bu eksene bakıldığında, çizimde açıklayıcı bir yazı olmadığı sürece argümanın boyutunu belirlemek imkansızdır. alan; ikincisi ve asıl mesele bu, argümanın gerçek değerlerini her zaman zihinsel olarak logaritmalarına ve geriye çevirmeniz gerekecek, bu da eksendeki ara noktalarda çok zahmetli.

Şekil 5 Koordinat ekseninin logaritmik ölçekte teorik olarak kesin görünümü

Bu zorluklardan kaçınmak için aşağıdaki konularda anlaştık. Karşılık gelen argüman değerlerinin logaritmaları aslında koordinat ekseninde çizilir, ancak bu noktalar, logaritmaları çizilen argüman değerleri tarafından sayısallaştırılır. . Koordinat ekseni, logaritma sembolü belirtilmeden verilen argümanın karşılık gelen tanımıyla gösterilir ve verilen argümanın kullanılan boyutu gösterilir, örneğin X, mm; f,Hz; ben, µA, vb. Ortak görünüm Logaritmik ölçekte aynı koordinat ekseni Şekil 2'de gösterilmektedir. 6.

Şekil 6 Koordinat ekseninin logaritmik ölçekte genel kabul görmüş görünümü

Yukarıda, karşılık gelen sayıların ölçek işaretlerinin her on yıl içindeki konumunun, yani; bir logaritmik birimin (LU) içinde tamamen aynıdır, bu nedenle basitlik için bunları yalnızca on yıl içinde uygulama sürecini ele alacağız - ilki ve kolaylık sağlamak için on yılın geometrik uzunluğunu büyük olarak alacağız: 1 LU = 100 mm (Şek. 7).

Şekil 7. On yıl içerisinde ölçek işaretlerinin uygulanma sürecinin gösterimi

İlk on yılın tamsayılarının logaritmaları: log1 = 0, log2 "0,3, log3" 0,48, log4 "0,6, log5" 0,7, log6 "0,78, log7" 0,85, log8 "0, 9, log9 » 0,95, log10 = 1,0. Karşılık gelen uzunluktaki bölümler koordinat ekseni üzerinde işaretlenir ve elde edilen noktalar, bu logaritmalara karşılık gelen sayılarla sayısallaştırılır. “1,5” işareti genellikle koordinat eksenine uygulanmaz, özellikle de on yılın geometrik uzunluğu küçükse; burada bu işaret (lg1.5 » 0.18 LE) eksene kesirli sayı işaretinin uygulanmasına örnek olarak uygulanmıştır.

Diğer on yıllara ait markaların sayısallaştırılması, yalnızca markaların sayısal değerlerinin karşılık gelen büyüklük sırasına göre değişmesi bakımından farklılık gösterir; örneğin, 2 sayısının logaritmasına karşılık gelen bir işaret, sırasıyla sonraki on yıllarda sayısallaştırmaya sahip olacaktır, 20, 200, 2000 vb. ve önceki yıllarda sırasıyla 0,2, 0,02, 0,002 vb.

Koordinat ekseni L ekseninin belirli bir uzunluğu için, örneğin 125 mm, bir onluğun geometrik uzunluğu L d, bu eksene yerleştirilmesi gereken on yıl m sayısına bağlıdır: L d = L ekseni /m, örneğin , m = 4 ile L d = L ekseni:m = 125:4 » 31 mm. Ortaya çıkan sayı tektir ve üzerinde çalışılması elverişsizdir, bu nedenle En yakın çift sayıya yuvarlamak tavsiye edilir, ölçeklendirmeye uygun,örneğin L d = 30 mm'yi alın. On yılın belirlenen geometrik uzunluğuna göre, on yılın başından itibaren işaretlerin geometrik uzaklıkları da değişecektir, ancak kesirlerle ifade edilen uzunlukları on yılın uzunluğundan beri, her zaman değişmeden kalacaktır.

Logaritmanın özelliklerinden biri şudur: log0 = - ¥, bunu grafiksel olarak göstermek imkansızdır. Bu nedenle, X min = 0 ise ve bu durumun grafikte görüntülenmesi temelde önemliyse, o zaman aşağıdaki gibi ilerleyebilirsiniz. Apsis ekseninde, fiziksel başlangıcından biraz sağa doğru çekilerek “0” (sıfır) işareti uygulanır, ardından katı apsis ekseni belirli bir kısa uzunlukta kesintiye uğrar, kesikli çizgi olarak gösterilir ve ardından tekrar şekilde gösterilir. bazı küçük (sorun anlamında) argüman değerlerinden başlayarak sağlam ve on yıllara bölünmüş. Örneğin X min = 0 mm ve X max = 60 mm ise apsis ekseninin görünümü aşağıdaki gibi olacaktır (Şekil 8).

Şekil 8 Aşağıdaki durumda logaritmik ölçekte x eksenini oluşturmanın çizimi:

minimum bağımsız değişken değeri sıfırdır

Logaritmik ölçekte ordinat ekseni aşağıdaki gibi oluşturulur.

Fonksiyonun ordinat ekseni boyunca değerleri, ölçü birimlerinde (milimetre, amper, volt, derece vb.) değil, beyazın onda biri olan yapay matematik birimlerinde - desibel (dB) olarak gösterilir. (B).

Bu birimlerin ortaya çıkış tarihi aşağıdaki gibidir. 19. yüzyılın sonunda, elektrik enerjisi hızla uygulamaya konulmaya başlandı ve daha sonra çeşitli elektrik enerjisi kaynaklarının güçlerinin ve çeşitli elektrik tüketicilerinin güçlerinin karşılaştırılmasında sorun ortaya çıktı; çalıştırılması çok sakıncalı olan çok büyük sayılarla karakterize ediliyordu. Daha sonra logaritmanın özelliğinin çok büyük oranların sayısal değerini azaltmak olduğunu hatırladılar ve bu nedenle elektrik kaynaklarının veya tüketicilerinin güç oranının P 1 / P 2 güç oranının mutlak değeri ile değil, karakterize edilmesi önerildi. ancak bu oranın logaritmasına göre log(P 1 / P 2).

Logaritmik güç oranı birimine telefonun mucidi onuruna “bel” adı verilmiştir. Bir beyaz, 10'luk bir güç oranına karşılık gelir:

N = log [(P 1 / P 2) = 10] = 1 B.

Yavaş yavaş bel'in çok büyük bir birim olduğu anlaşıldı, onda biri bel - desibel (dB) kullanmanın daha uygun olduğu ortaya çıktı ve bu nedenle güç oranını belirleme ifadesi aşağıdaki biçimi aldı: N = 10 log( P 1 / P 2), dB.

Elektrik enerjisinin diğer parametrelerinin (akım ve voltaj) oranlarını desibel cinsinden ifade etmenin uygun olduğu ortaya çıktı, ancak aynı zamanda güç ve akım (ve voltaj) aynı olduğundan logaritmanın önündeki “10” faktörü de değişti. ikinci dereceden bir ilişkiyle ilişkilidir: P = i 2 R, burada R, yük direncidir. Enerji kaynaklarının (ve tüketicilerin) gücünü aynı yük dirençlerinde karşılaştırmak mantıklıdır, bu nedenle

Benzer bir ifade gerilim oranı için de elde edilir.

İfade kolaylığı nedeniyle oranlar Desibel cinsinden miktarlar, elektrikli olmayanlar da dahil olmak üzere diğer miktarların yoğunluk (değer) oranlarını tahmin etmek için yavaş yavaş kullanılmaya başlandı.

Oran (X 1 /X 2) > 1 olduğunda bu sayının logaritması pozitiftir, ancak (X 1 /X 2) olduğunda< 1, то логарифм отрицателен, и вычислять его хлопотно. Удобней сделать так: если отношение (X 1 /X 2) < 1, то проще определить логарифм обратного отношения X 2 /X 1 , а полученному результату приписать знак “минус”, потому что абсолютное значение логарифма будет одним и тем же. Например, X 1 = 10, а X 2 =20. Тогда X 1 /X 2 = 10/20 = 0,5 , lg0,5 = lg(5 10 -1) = lg5 + lg(10 -1) = 0,699 - 1 = -0,301. Если же взять обратное соотношение X 2 /X 1 = 2, lg2 = 0,301, т.е. получаем ту же самую цифру, только с другим знаком, зато процесс вычисления резко упрощается.

Temel olarak yalnızca desibel cinsinden ifade edilebilir oran miktarlar, ancak desibellerle çalışmak çok uygun olduğundan, niceliklerin mutlak değerleri genellikle bu birimlerde ifade edilir, herhangi bir X sayısının X/1 olarak temsil edilebileceği gerçeğini kullanarak sayısal değer değişmeyecektir. O zaman log(X/1) = logX – log1 = logX – 0 = logX. Bu teknik, otomatik kontrol teorisinde, radyo elektroniğinde ve diğer bazı bilim ve teknoloji alanlarında yaygındır.

Genellikle, koordinat ekseni logaritmik ölçekte bu işlev için kabul edilen, virgüllerle ayrılmış “dB” birimini gösteren sembolle gösterilir, örneğin U, dB; X, dB; K, dB, vb. Ordinat eksenindeki ölçek işaretleri genellikle tekdüze bir ölçekte uygulanır ve karşılık gelen desibel sayısıyla sayısallaştırılır.

Bire eşit bir X değeri (X = 1), desibel ölçeğinin sıfırına karşılık gelir, çünkü log1 = 0. Bu nedenle logaritmik ölçekte ordinat eksenindeki işaretlerin işaretleri, çizilen değerin değerine bağlı olarak “artı” veya “eksi” olabilir. “0, dB” işareti ordinat ekseni üzerinde herhangi bir yere (fiziksel başlangıç ​​noktasından itibaren ölçülen herhangi bir yüksekliğe) yerleştirilebilir; burada grafiğin oluşturulması ve algılanması uygundur.

Herhangi bir koordinat eksenini oluşturmak için logaritmik ölçek kullanmanın resmi işaretleri şunlardır:

1) sayısal değerleri büyüklük sırasına göre (10 kat) farklılık gösteren koordinat ekseninde ölçek işaretlerinin varlığı ve aralarında eşit doğrusal mesafeler;

2) on yıllar içinde koordinat ekseni üzerindeki ölçek işaretlerinin tuhaf bir dağılımı ve bunlara karşılık gelen kılavuz çizgileri - on yılın başında seyrek ve on yılın sonuna yaklaştıkça giderek yoğunlaşıyor;

3) ızgara işaretlerinin desibel cinsinden sayısallaştırılması.

Logaritmik bir ölçeğin tanımlanması için bu özelliklerden en az birinin varlığı yeterlidir.

Tüm logaritmik ölçekler aşağıdaki özelliklerle karakterize edilir:

1) bir olasılık var eşit derecede ayrıntılı ve aynı zamanda hem çok küçük hem de çok büyük bağımsız değişken değerlerinin tüm alanlarındaki grafiğin özelliklerini göz önünde bulundurun;

2) grafikteki herhangi bir noktanın koordinatını belirlemedeki göreceli hata, logaritmik ölçekte oluşturulan tüm eksen boyunca aynıdır ve grafikteki noktanın geometrik boyutunun buna paralel yöndeki oranı ile belirlenir. eksen ve karşılık gelen on yılın geometrik uzunluğu;

3) bir dizi karmaşık matematiksel ifadenin grafikleri olabilmek her iki eksen de logaritmik ölçeklerde çizilirse düz çizgi parçalarına dönüşür;

4) argümanın ve (veya) fonksiyonun sıfır değerine karşılık gelen noktaları logaritmik eksenler üzerine çizmek temelde imkansızdır, çünkü log0 = -¥ (bu noktalara sahip olmak gerekiyorsa yapay tekniklere başvurmak gerekir - yukarıya bakın);

5) her iki eksende logaritmik ölçekler kullanıldığında, doğrudan orantılı bağımlılığın grafiği düz bir çizgi parçası biçimindedir.

Güneş'ten ve yıldızlardan gözümüzün retinasına düşen ışık enerjisinin akışları milyarlarca kez farklılık gösterir! Ama göz ikisini de görür. Başka hiçbir teknik ölçüm cihazı bu kadar geniş bir hassasiyet aralığına sahip değildir. Ölçüm yapmak için sinyalin özel amplifikatörleri veya "zayıflatıcıları" (filtreleri) kullanılır ve gözümüz bu problemle bizzat başa çıkar. Ve sadece gözler değil. Bir sivrisineğin gıcırtısını ve bir uçağın kükremesini duyuyoruz, ancak ses basınçları da milyarlarca kez farklılık gösteriyor. Duygularımız bu kadar geniş bir yelpazede nasıl çalışıyor? Ölçme ölçeğinin dönüşümü olan bir "matematik numarası" kullandıkları ortaya çıktı.

Günlük hayatta genellikle çeşitli büyüklükleri ölçmek için kullanırız. doğrusal ölçekler: uzunluğu ölçmek için (metre, mil ve fit), ağırlığı (gram, ton ve pound) ve sıcaklık için Celsius veya Fahrenheit derecesini belirtmek için. Bilimde, ölçüm aralığı günlük yaşamdakinden çok daha geniştir, bu nedenle bilim adamları genellikle büyüklük sıralarıyla çalışırlar, sayıları hesap makinelerinde "bilimsel gösterim" olarak adlandırılan sözde bilimsel sembollerle yazarlar. Mesela 56000 yerine 5,6 yazıyorlar ´ 10 4. Temelde bu logaritmik gösterimdir, ancak üs genellikle logaritmanın yalnızca tamamını bırakır ve mantis - logaritmanın kesirli kısmı - ondalık kesir olarak yazılır. Bu uygundur: üssün tamamı derhal ölçüm alanını - "büyüklük sırasını" gösterir. Örneğimizde “10 4” girişi onbinlerden bahsettiğimizi gösteriyor. Ondalık sayı, genellikle ölçümün doğruluğuna karşılık gelen basamak sayısıyla birlikte bir sayının anlamını belirtir ve "5,6" girişi, ölçümün yaklaşık %1 doğru olacağını gösterir.

Sayıların bu temsilini günlük hayatta bilinçsizce çok sık kullanırız. “Üç buçuk milyon” dediğimizde ya da “3,5 milyon” kısaltmasını kullandığımızda aslında bilimsel gösterimi (3,5) kullanıyoruz. ´ 10 6). Ve, sayıların logaritmik temsiline yönelik örtülü eğilimimizin derin bir fizyolojik temele sahip olduğu ortaya çıktı: Gerçek şu ki, vücudumuzdaki çeşitli duyu organları da logaritmik ölçekler kullanıyor.

Görünen o ki, bu ilk kez Fransız fizikçi Pierre Bouguer (1698-1758) tarafından fark edilmiş ve ışıklı ekranlarla yapılan deneylerde gözün yüzeylerin parlaklığındaki göreli farkı kaydettiğini keşfetmişti. Ve bu keşif, kas ve cilt hassasiyeti üzerinde çalışan Alman fizyolog Ernst Heinrich Weber (1795-1878) tarafından açık bir kural şeklinde formüle edildi. Uyarının gücünde mutlak değil, göreli bir değişiklik algıladığımızı tespit etti. Örneğin, elinizde 10 g ağırlığında bir ağırlık varsa, o zaman ona aynı ağırlıkta bir başkasının eklendiğini güvenle hissedersiniz; ama 10 kg'lık bir ağırlığı tutuyorsanız, üzerine 10 gramlık bir ağırlık eklediğinizde hissetmezsiniz. Daha sonra bu diğer duyular için de doğrulandı: görme, işitme, tat. Duyarlılığımızın göreceli olduğu ve duyuların çözünürlüğünün genellikle yüzde birkaç olduğu ortaya çıktı.

1858'de Alman fizikçi ve psikolog Gustav Theodor Fechner (1801–1887) bunu matematiksel olarak formüle etti: Algıladığımız duyunun yoğunluğu, uyaranın gücünün logaritmasıyla orantılıdır. Bu yasaya Weber-Fechner yasası veya temel psikofiziksel yasa denir. Genellikle şu şekilde formüle edilir: "Uyarının gücü geometrik bir ilerlemeyle değiştiğinde, duyumun yoğunluğu aritmetik bir ilerlemeyle değişir." Elbette bu kuralın geçerlilik kapsamı sınırsız değildir; çok zayıf olmayan (hassasiyet eşiğinin üstünde) ve çok güçlü olmayan (ağrı eşiğinin altında) uyaranlar için de geçerlidir.

Weber-Fechner yasasının uygulanmasına yönelik biyolojik mekanizmalar henüz tam olarak belli değil. Dolayısıyla algımızın bu özelliğinin bilim ve teknolojide nasıl kendini gösterdiğine değinmekle yetineceğiz. Orantılılık katsayılarının seçimiyle belirlenen genel kabul görmüş bazı logaritmik ölçekler tabloda verilmiştir.

Masa. Logaritmik ölçekler

Aralarındaki karşılıklı yazışma şu şekildedir: 1 dex = 1 B = 10 dB = –2,5 mag » 2,303 deneyim Tüm bu terazilerde numaradan sonraki simgenin miktarın fiziksel boyutunu değil, terazinin türünü gösterdiğini unutmayın. Tüm logaritmik ölçekler aynı isimdeki iki fiziksel büyüklüğün oranını ifade eder. Bu nedenle, "0,5 dex" girişi, şirketin yıllık gelirinde 3,16... kat artış (örneğin, 86'dan 272 milyon rubleye) veya ortalama süt veriminde 3,16... kat artış anlamına gelebilir. bir çiftlikteki inekler (örneğin yılda 1500 ila 4750 litre).

Sesin düzeyi ve perdesi - beyazlar, desibeller, oktavlar

Sıradan ondalık logaritma ölçeğinde, telefonun Amerikalı mucidi Alexander Graham Bell'in (1847–1922) onuruna ölçü birimine bel adı verilir. Daha sıklıkla onuncu kısmı kullanılır - desibel. Her iki ünite de esas olarak akustik alanında, ses yoğunluğu seviyelerini ve ses basıncını ölçmek için ve ayrıca elektrik mühendisliğinde kullanılır. 1 dB'lik seviye farkı, 10 0,1 = 1,2589... katı oran anlamına gelir. Üç desibel neredeyse tam olarak iki katına çıkıyor. Akustikte zorlukla duyulabilen bir ses (yaklaşık 2 basınç) ´ 10 –5 N/m2), böylece 90 dB ses seviyesinde kulak zarı üzerindeki ses basıncı zar zor algılanabilen bir fısıltıya göre milyar kat daha fazladır.

Ancak bel ve desibel birimlerinin akustik ve elektrik mühendisliği dışında kullanımını zorlaştıran bir özelliği vardır. Mesele şu ki, bu logaritmik ölçekler farklı fiziksel büyüklükler için farklı şekilde tanımlanıyor. Yukarıda tanıtılan tanım yalnızca güç, enerji, enerji akışını içeren “enerji” büyüklükleri için kullanılır... Ve “güç” büyüklükleri için (voltaj, akım, basınç, alan kuvveti...) beyaz ve desibelin farklı bir tanımı kullanılır. örneğin ses yoğunluğu (enerji akışı) ve ses basıncı şu ilişkiyle ilişkili olduğundan kullanılır: BEN ~ P 2. Bel ve desibellerin belirsizliği, giderek daha fazla kullanılan deks birimini daha kullanışlı hale getiriyor.

Bir ses dalgasının genliğini ses yüksekliği olarak algılarsak, frekansını da perde olarak algılarız. Ve bu durumda Weber-Fechner yasası doğrudur: Frekans oranları eşitse, farklı sesler bizim tarafımızdan eşit yükseklikte aralıklı olarak algılanır. Logaritmik birimler müzik aralıklarını ölçmek için kullanılır. Bunlardan en önemlisi, birinin frekansı diğerinin frekansının iki katı olan iki ses arasındaki aralık olan oktavdır. Oktav kavramı müzik alanının dışında giderek daha popüler hale geliyor, çünkü 2 biçimindeki sayılar N Darbeli elektroniklerde, özellikle bilgisayarlarda yaygın olarak kullanılır. Doğru, bu alanlarda oktav kelimesinin yerini genellikle kelime alır biraz(ikili rakam).

Işık kaynaklarının parlaklığı - büyüklük ölçeği

Gökbilimciler gök cisimlerinin "parlaklığını" yıldız büyüklükleriyle ölçerler. Bu, gözlemcinin yakınındaki göksel bir nesnenin yarattığı aydınlatmayı karakterize eden boyutsuz bir niceliktir. Görebildiğimiz gibi gökbilimciler parlaklık kelimesini, günlük yaşamda alışılmış olanla pek örtüşmeyen görsel algıyı tanımlamak için kullanıyorlar. Bir kaynağın parlaklığı, standart olarak alınan diğer bir kaynağın parlaklığıyla karşılaştırılarak gösterilir. Bu tür standartlar genellikle özel olarak seçilmiş yıldızlar olarak hizmet eder.

Büyüklük ölçeğinin temeli 100'ün beşinci köküdür. Bu, hiçbir rasyonel gerekçesi olmayan tarihsel geleneğe bir övgüdür. Astronomik fotometrinin amaçları için beller oldukça yeterli olacaktır, ancak yıldız büyüklükleri çok daha erken doğmuştur ve şimdi onları reddetmek zordur. Büyüklük, Latince “m” harfiyle gösterilir (Latince magnitudo'dan - büyüklük). Bu ölçeğin tuhaflıkları arasında bir tane daha var - yönü tam tersi: büyüklük ne kadar yüksek olursa, nesnenin parlaklığı o kadar zayıf olur. Örneğin, 2. büyüklükteki bir yıldız (2 M) 3. büyüklükteki bir yıldızdan 2,512 kat daha parlaktır (3 M) ve 2,512'de ´ 2,512 = 4'üncü büyüklükteki bir yıldızdan 6,310 kat daha parlak (4 M), vesaire.

Kimyasal Hassasiyet - Asitlik Ölçeği

Asitlik ölçeği olarak adlandırılan ortamın kimyasal reaksiyon ölçeği de büyüklük ölçeğine çok yakındır. Okul çocukları ve kozmetik kullanan herkes tarafından bilinen pH değerinin şu ilişkiyle belirlendiğini hatırlatmama izin verin: pH = – log, çözeltideki pozitif hidrojen iyonlarının konsantrasyonu nerede. Bu durumda sıfır noktası olarak = 10 –7 olan oda sıcaklığındaki (nötr ortam) saf su alınır. Ayrıca asitlik arttıkça pH değeri azalır - büyüklük ölçeği ne değildir? Asitlik ne kadar yüksek olursa endeks değeri o kadar düşük olur, yalnızca logaritmanın tabanı 2,512 değil... (yıldız büyüklüklerinde olduğu gibi), ancak 10'dur.

Bildiğiniz gibi ilk kimyasal indikatörler, günümüzde sadece şeflerin kullandığı, geçmişte kimyagerlerin de kullandığı tat tomurcuklarımızdı. Bu nedenle kimyada logaritmik bir konsantrasyon ölçeğinin ortaya çıkması şaşırtıcı değildir: Tat organları da dahil olmak üzere tüm duyularımızın uyduğu Weber-Fechner yasası işe yaradı.

Psişik Olayların Algılanması - Duygu Ölçeği

Birkaç örnek kullanarak, duygularımızın gücünü belirleyen yalnızca fizyolojik değil, aynı zamanda zihinsel ölçeklerin de doğası gereği logaritmik olduğunu göreceğiz: Üzerimizde bırakılan izlenime ilişkin öznel değerlendirmelerimiz için, bilinçaltında şu şekilde "adımlar" seçiyoruz: geometrik bir ilerleme.

Bilinen bir örnek olarak, ünlü fizikçimizin meslektaşlarının değerlerini değerlendirdiği "Landau ölçeği" ile başlayalım. Akademisyen V.L. Ginzburg bunu şöyle hatırlıyor: “... Landau'nun fizik alanında bir “liyakat ölçeği” vardı. Ölçek logaritmikti (2. sınıf, 1. sınıfa göre 10 kat daha az başarı elde etti). Yüzyılımızın fizikçileri arasında yalnızca Einstein 0.5 sınıfına sahipti; 1. sınıf Bohr, Dirac, Heisenberg ve daha birçoklarını içeriyordu...”

Büyük fizikçinin diğer öğrencileri Landau ölçeği hakkında biraz farklı konuşuyorlar: “Landau, dünya çapındaki büyük fizikçilere “yıldız” sayıları atadı. Birinci büyüklükteki bir yıldızın çok parlak bir yıldız olduğunu, ikinci büyüklükteki bir yıldızın daha az parlak olduğunu vb. biliyorsunuz. Landau, değerin yarısını Einstein, Bohr ve Newton'a atadı - 0,5. Dirac ve Heisenberg birinci büyüklükteki yıldızlardır. Kendisine ikinci değeri verdi.”

Logaritmanın, Lev Landau'nun teorik fizikçilerin deha düzeyini belirlemek için kullandığı hangi tabana (10 veya 2.512...) dayalı olup olmadığı belirsizliğini koruyor. Kesin olan tek bir şey var: Bu tamamen duygusal, öznel değerlendirmeler için logaritmik bir ölçek kullandı.

Günlük yaşamda da sıklıkla logaritma ölçeğini kullandığımızı zaten belirtmiştim. Örnekler uzun süre verilebilir. Yani zengin insanları milyonerler ve milyarderler olarak ayırıyoruz. Şehirleri nüfusa göre milyon ve yüz bin kişiye ayırıyoruz. Bir mağazadan yiyecek satın alırken ruble biriktirmeye çalışıyoruz, ancak yeni bir buzdolabı veya TV almayı düşündüğümüzde yalnızca yüzlerce rubleye dikkat ediyoruz. Fizyolojik ölçeklerde olduğu gibi, günlük duygusal konularda da mutlak değil, göreceli bir farklılık algılıyoruz. Üstelik ölçülen değerin yüzde birkaçını aştığında bizim için fark edilir ve anlamlı hale gelir. Görünüşe göre “duygu ölçerimizin” duyarlılığı göz, kulak ve diğer fizyolojik reseptörlerin duyarlılığına yakın.

Son yıllarda önerilen “duygusal” ölçeklerden birini düşünün.

Torino ve Palermo asteroit tehlike ölçekleri

Genel olarak Binzel ölçeği, sismologların depremlerdeki enerji salınımını belirtmek için kullandıkları Richter ölçeğine benzer. Her ikisi de uzman olmayanlar için oldukça anlaşılırdır ve bu onların şüphesiz yararıdır. Torino ölçeği, asteroitleri ve diğer gök cisimlerini (gezegenimize göre boyutlarını ve hızlarını hesaba katarak) dünyalılar için 11 tehlike düzeyinde sınıflandırmanıza olanak tanır. Yalnızca bir asteroitin Dünya'ya çarpma olasılığını değil, aynı zamanda bir felaketin yol açabileceği potansiyel yıkımı da hesaba katıyor.

Tablodan da görülebileceği gibi sıfır kategorisi, Dünya yüzeyine ulaşamayacağını rahatlıkla söyleyebileceğimiz nesneleri içerir; birincisi - hala dikkatli izlemeyi hak edenler; ikinci, üçüncü ve dördüncü ise haklı endişelere neden olan küçük gezegenleri içerir. Beşinci ila yedinci kategoriler, Dünya'yı açıkça tehdit eden cisimleri içerir ve son üçteki nesneler şüphesiz gezegenimizle çarpışacaktır ve biyosferi için sonuçları yerel, bölgesel veya küresel olabilir. Torino ölçeğinin, uzay çarpışmalarının olası sonuçlarını sınıflandırma ve halka açıklama konusunda yararlı olduğu kanıtlanmıştır. Net niceliksel kriterler içermese de, bir sonraki noktaya geçişle birlikte duygusal gerilimin "büyüklük sırasına göre" arttığını yine de fark edebilirsiniz.

Masa. Dünyanın asteroitler ve kuyruklu yıldızlarla çarpışma tehlikesinin Torino ölçeği

Bu, Palermo Teknik Etki Tehlike Ölçeği adı verilen Torino ölçeğinin yakın zamanda yayınlanan profesyonel versiyonunda niceliksel olarak doğrulandı. Noktalar yerine, belirli bir nesneyle tahmini zaman aralığında beklenen çarpışma olasılığının, benzer nesnelerle çarpışmanın arka plan olasılığına oranının logaritması olarak tanımlanan sürekli bir PS endeksi (Palermo Ölçeğinden) kullanır. Aynı zaman. Dolayısıyla göktaşı tehlikesinden duyulan korkunun derecesi de logaritmik bir karaktere sahiptir.

Gördüğümüz gibi, insan fizyolojisi ve ruhunun doğasında bulunan logaritmik yasa, duyularımızın dinamik aralığını genişletir, güçlü uyaranlara tepkilerini köreltir ve böylece ağrı eşiğini geriye iter. Açıkçası, milyonlarca yıl boyunca bu, Homo sapiens türünün hayatta kalmasına katkıda bulundu. Soru, ruhumuzun bu özelliğinin modern çağda insanlık için ölümcül olup olmayacağıdır.

İş ortağı haberleri

Bu parçanın uçlarında işaretlenen değerlerin oranları, doğrusal ölçekte ise parçanın uzunluğu, uçlarındaki değerlerin farkıyla orantılıdır. Örneğin, ondalık logaritma için eksen üzerindeki her bir sonraki bölüm bir öncekinden 10 kat daha büyüktür.

Logaritmik ölçeğin kullanımının ve kullanışlılığının açık bir örneği, oldukça karmaşık hesaplamaların iki ila üç ondalık basamak doğruluğuyla gerçekleştirilmesine olanak tanıyan kayar cetveldir.

Logaritmik ölçek, çok büyük miktar aralıklarını görüntülemek için son derece kullanışlıdır. Ayrıca birçok duyu organı için duyunun büyüklüğü etkinin logaritması ile orantılıdır. Örneğin müzikte, frekansları iki kat farklı olan notalar, bir oktav daha yüksek aynı nota olarak algılanır ve yarım tonluk notalar arasındaki aralık, bunların frekanslarının 2 1/12 oranına karşılık gelir. Bu nedenle müzik skalası logaritmiktir. Ayrıca Weber-Fechner yasasına göre bir sesin algılanan şiddeti aynı zamanda yoğunluğunun logaritmasıyla (özellikle konuşmacının gücünün logaritmasıyla) orantılıdır. Bu nedenle ses üreten cihazların genlik-frekans özelliklerinde her iki eksende logaritmik bir ölçek kullanılır.

Logaritmik ölçek kullanma örnekleri:

• Richter deprem şiddeti ölçeği
• Fotoğrafçılıkta pozlama ölçeği
• Yıldız büyüklükleri - yıldız parlaklık ölçeği
• Ölçek
• Ses yoğunluğu ölçeği - desibel
• Ses frekansı ölçeği - nota ölçeği

Notlar

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde “Logaritmik ölçek” in ne olduğuna bakın:

logaritmik ölçek- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. İngilizce-Rusça elektrik mühendisliği ve enerji mühendisliği sözlüğü, Moskova, 1999] Elektrik mühendisliği konuları, temel kavramlar TR logaritmik ölçek ...

logaritmik ölçek- logaritminis mastelis statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. logaritmik ölçek vok. logarithmischer Maßstab, m rus. logaritmik ölçek, m pranc. échelle logaritmik, f … Otomatik terminų žodynas

logaritmik ölçek- logaritminis mastelis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. logaritmik ölçek vok. Logarithmenskala, f; logarithmischer Maßstab, m rus. logaritmik ölçek, m pranc. échelle logaritmik, f … Fizikos terminų žodynas

çift ​​logaritmik ölçek- çift logaritmik ölçek - [L.G.Sumenko. Bilgi teknolojisi üzerine İngilizce-Rusça sözlük. M.: Devlet Teşebbüsü TsNIIS, 2003.] Genel olarak bilgi teknolojisi konuları Eş anlamlılar çift logaritmik ölçek EN log log ölçeği ... Teknik Çevirmen Kılavuzu

- (ölçek (grafiklerde)) Grafiğin her ekseninde fiyat düzeyini, miktarını veya diğer değişkenlerin değerlerini gösteren etiketler. Kullanılan ölçeğin belirtilmesi her zaman gereklidir. Her ölçekte kullanılabilir; En yaygın olarak kullanılan... Ekonomik sözlük

Maddelerin kimyasal bileşimini belirleme yöntemleri bilimi. Kimyasal analiz kelimenin tam anlamıyla tüm hayatımıza nüfuz ediyor. Onun yöntemleri ilaçları kapsamlı bir şekilde test etmek için kullanılıyor. Tarımda toprağın asitliğini belirlemek için kullanılır... ... Collier Ansiklopedisi

- (frekans yanıtı) bazı karmaşık değerli fonksiyonların modülünün frekansa bağımlılığını gösteren fonksiyon. Diğer karmaşık değerli frekans fonksiyonlarının frekans tepkisi, örneğin bir sinyalin spektral güç yoğunluğu da dikkate alınabilir. Teoride frekans tepkisi... ... Vikipedi

Genlik-frekans tepkisi (AFC), bazı karmaşık değerli fonksiyonların modülünün frekansa bağımlılığını gösteren bir fonksiyondur. Çoğu zaman doğrusal dört bağlantı noktalı bir ağın karmaşık iletim katsayısının modülü anlamına gelir. Ayrıca... ... Vikipedi

Metallerin elektrikle etkileşiminin incelendiği fizik dalı. mag. optik dalgalar aralığı (metallerin elektrodinamik özellikleri). Metaller aşağıdakilerle karakterize edilir: büyük katsayılar. R dalgalarının geniş bir dalga boyu l aralığındaki yansımaları, bu da yüksek... ... Fiziksel ansiklopedi

Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Ölçek (anlamlar). Ölçek, ölçeğin bir veya başka öğesini gerçek nesnelerle ilişkilendiren, homomorfik bir haritalamanın verildiği bir işaret sistemidir. Resmi olarak bir ölçeğe tuple denir, ... ... Vikipedi

Diyagramın ekseninde çizilen değer ise N geniş bir aralıkta değiştiğinde logaritmik ölçek kullanılır (Şekil 5.12). Projelerde, frekans çoğunlukla genlik-frekans, faz-frekans özellikleri, amplifikatörlerin genlik özellikleri üzerindeki voltaj vb. Üzerinde logaritmik bir ölçekte çizilir. Logaritmik ölçekler oluşturmak için bir ondalık logaritma sistemi kullanılır. Değerin on kat değiştiği ölçeğin segmentine on yıl denir. On yılları ayıran çizgiler kalınlaştırıldı.

Ölçeği oluşturmak için kullanılan ölçü ben eksende çizilen miktarın logaritmasıyla orantılıdır N.

,

Nerede M - on yılın uzunluğuna eşit ölçek faktörü.

Diyagram ekseninin uzunluğu ise L yerleştirilmesi gerekiyor T onlarca yıl, o zaman açıkça M=L/m olur. Logaritmik ölçek bir sayının logaritmasını değil, sayının kendisini gösterir. Ölçek 10'dan başlıyor N, Nerede P - sıfır veya herhangi bir tam sayı. Logaritmik bir ölçeğin gelişimi, ilk on yılın gelişimine iner, çünkü ölçeğin tamamı birkaç on yıldan oluşur, yalnızca sonraki her on yılın ölçek sayılarının bir öncekine kıyasla bir büyüklük sırası kadar artmasıyla farklılık gösterir. (bkz. Şekil 5.12). On yıllık ölçek eşit şekilde sayısallaştırılmalı ve onluk ölçeklerdeki rakam sayıları aynı olmalıdır.

Otomatik kontrol sistemlerini hesaplarken ve analiz ederken logaritmik genlik-frekans özellikleri(LAH), frekansın logaritmaları çizilen apsis eksenlerinde ve ordinat eksenlerinde bağıl genliklerin logaritmaları çizilir. Logaritmik özellikler, birçok basit sistem için yaklaşık olarak düz çizgi bölümleriyle yaklaşık olarak yaklaşılması ve iki transfer fonksiyonunun çarpımının, iki logaritmik genlik-frekans ve faz-frekans karakteristiklerinin koordinatlarının eklenmesine indirgenmesi avantajına sahiptir.

6. Diploma projesi çizimlerinin ana türleri ve bunların uygulanmasına ilişkin kurallar

6.1. Çizimleri bir kağıda yerleştirme

Çizim formatı, çizimin yapıldığı kesilmiş kağıt yaprağının boyutudur (Tablo 6.1).

Tablo 3.1.

Not: Gerektiğinde 148x210 mm kenar ölçülerinde A5 formatının kullanılmasına izin verilir.

Tüm sayfalar (kesilmeden) daha küçük formatlara bölünerek ince kesme çizgileri veya bölme darbeleriyle sınırlandırılır. 7-10 mm uzunluğunda, seçilen formatların köşelerine uygulanır (Şekil 6.1). Formatın içine, üç tarafta 5 mm genişliğinde bir kenar boşluğu ve dördüncü tarafta 25 mm genişliğinde bir kenar boşluğu bırakılarak, dikiş sırasında çizimin sırta yerleştirilebileceği bir çerçeve çizilir.

Şekil 6.1. Bir kağıt yaprağı üzerinde formatları ve çizim çerçevelerini seçme

Çizime bakarken dikiş alanı çalışma alanının solunda olmalıdır. A4 formatında ciltleme kenar boşluğu uzun tarafta bırakılır.

Format ve ölçek seçerken, grafik görüntülerin çalışma alanının en az %75'ini kapladığı bir çizimin normal olarak doldurulmuş olduğu dikkate alınmalıdır.