Arctg döküm formülleri. Trigonometri. Ters trigonometrik fonksiyonlar. Ters trigonometrik fonksiyon grafikleri

Tanım ve gösterim

Arcsine (y \u003d arcsin x) ters sinüs fonksiyonudur (x \u003d günah y -1 ≤ x ≤ 1 ve değerler kümesi -π / 2 ≤ y ≤ π / 2.
günah (arcsin x) \u003d x ;
arcsin (günah x) \u003d x .

Arcsine bazen şu şekilde ifade edilir:
.

Arcsine fonksiyon grafiği

Fonksiyon grafiği y \u003d arcsin x

Arcsine grafiği, apsis ve ordinat eksenleri değiştirilerek sinüs grafiğinden elde edilir. Belirsizliği ortadan kaldırmak için, değerlerin aralığı, fonksiyonun monoton olduğu aralıkla sınırlandırılır. Bu tanım, arkinin ana değeri olarak adlandırılır.

Arccosine, arccos

Tanım ve gösterim

Arkkosin (y \u003d arccos x) kosinüsün tersidir (x \u003d rahat). Bir kapsamı var -1 ≤ x ≤ 1 ve birçok anlam 0 ≤ y ≤ π.
cos (arccos x) \u003d x ;
arccos (cos x) \u003d x .

Arkkosin bazen şu şekilde belirtilir:
.

Arkkosinüs fonksiyon grafiği

Fonksiyon grafiği y \u003d arccos x

Arkkosinüs grafiği, apsis ve ordinat eksenleri değiştirilerek kosinüs grafiğinden elde edilir. Belirsizliği ortadan kaldırmak için, değerlerin aralığı, fonksiyonun monoton olduğu aralıkla sınırlandırılır. Bu tanım, ark kosinin ana değeri olarak adlandırılır.

parite

Arksinüs işlevi tuhaftır:
arcsin (- x) \u003d arcsin (-sin arcsin x) \u003d arcsin (günah (-arcsin x)) \u003d - arcsin x

Ters kosinüs işlevi çift veya tek değil:
arccos (- x) \u003d arccos (-cos arccos x) \u003d arccos (cos (π-arccos x)) \u003d π - arccos x ≠ ± arccos x

Özellikler - ekstrema, artış, azalma

Ters sinüs ve ters kosinüs fonksiyonları, tanım alanlarında süreklidir (sürekliliğin kanıtına bakınız). Ark ve arkın temel özellikleri tabloda gösterilmektedir.

	y \u003d arcsin x	y \u003d arccos x
Kapsam ve süreklilik	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Değer aralığı
Artış azalış	monoton olarak artar	monoton olarak azalır
yüksekler
Minimumlar
Sıfırlar, y \u003d 0	x \u003d 0	x \u003d 1
Y ekseni ile kesişme noktaları, x \u003d 0	y \u003d 0	y \u003d π / 2

Arcsine ve Arccosine Tablosu

Bu tablo, argümanın bazı değerleri için derece ve radyan cinsinden yay ve ark kosinüs değerlerini gösterir.

x	arcsin x		arccos x
	selamlamak.	memnun.	selamlamak.	memnun.
- 1	- 90 °	-	180 °	π
-	- 60 °	-	150 °
-	- 45 °	-	135 °
-	- 30 °	-	120 °
0	0°	0	90 °
	30 °		60 °
	45 °		45 °
	60 °		30 °
1	90 °		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formüller

Ayrıca bakınız: Ters trigonometrik fonksiyonlar için formüllerin türetilmesi

Toplam ve Fark Formülleri

veya

ve

ve

veya

ve

ve

en

en

en

en

Logaritma İfadeleri, Karmaşık Sayılar

Ayrıca bakınız: Formüller türetme

Hiperbolik fonksiyonlar cinsinden ifadeler

Türevler

;
.
Türev Arcsine ve Arccosine Türevlerine Bakın \u003e\u003e\u003e

Daha yüksek mertebeden türevler:
,
bir derece polinomu nerede. Formüller tarafından belirlenir:
;
;
.

Arcsine ve arcsine yüksek mertebeden türevlerinin türetilmesine bakınız \u003e\u003e\u003e

İntegral

Değiştirme x \u003d günah... Parçalar halinde entegre ederiz, dikkate alarak -π / 2 ≤ t ≤ π / 2, çünkü t ≥ 0:
.

Ters kosinüsü arkın cinsinden ifade edelim:
.

Seri genişletme

İçin | x |< 1 aşağıdaki ayrışma gerçekleşir:
;
.

Ters fonksiyonlar

Ters sinüs ve ters kosinüsün tersi sırasıyla sinüs ve kosinüstür.

Aşağıdaki formüller alan adı genelinde geçerlidir:
günah (arcsin x) \u003d x
cos (arccos x) \u003d x .

Aşağıdaki formüller yalnızca arksin ve arksin değerleri kümesi için geçerlidir:
arcsin (günah x) \u003d x en
arccos (cos x) \u003d x En.

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Teknik Kurumların Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, "Lan", 2009.

Ayrıca bakınız:

Ters trigonometrik fonksiyonlar, ters trigonometrik fonksiyonlar olan matematiksel fonksiyonlardır.

Fonksiyon y \u003d arcsin (x)

Bir α sayısının ark sinüsü, sinüsü α'ya eşit olan [-π / 2; π / 2] aralığından bir α sayısıdır.
Fonksiyon grafiği
[-Π / 2; π / 2] segmentindeki y \u003d sin\u2061 (x) fonksiyonu kesin olarak artan ve süreklidir; dolayısıyla ters bir işleve sahiptir, kesinlikle artan ve sürekli.
Y \u003d sin\u2061 (x) fonksiyonunun ters fonksiyonu, burada x ∈ [-π / 2; π / 2], arksin olarak adlandırılır ve y \u003d arcsin (x) ile gösterilir, burada x ∈ [-1; 1].
Dolayısıyla, ters fonksiyonun tanımına göre, arkin tanımının alanı [-1; 1] segmentidir ve değerler kümesi [-π / 2; π / 2] segmentidir.
Y \u003d arcsin (x) fonksiyonunun grafiğine dikkat edin, burada x ∈ [-1; 1]. Y \u003d sin (\u2061x) fonksiyonunun grafiğine simetriktir, burada x ∈ [-π / 2; π / 2], koordinat açılarının açıortayına göre birinci ve üçüncü çeyrek.

İşlev aralığı y \u003d arcsin (x).

Örnek 1.

Arcsin (1/2) bulun?

Arcsin (x) fonksiyonunun değer aralığı [-π / 2; π / 2] aralığına ait olduğundan, sadece π / 6 değeri uygundur, dolayısıyla arcsin (1/2) \u003d π / 6.
Cevap: π / 6

Örnek 2.
Arcsin (- (√3) / 2)?

Arcsin (x) х ∈ [-π / 2; π / 2] değer aralığı olduğundan, sadece -π / 3 değeri uygundur, bu nedenle arcsin (- (√3) / 2) \u003d - π / 3.

Fonksiyon y \u003d arccos (x)

Bir α sayısının ters kosinüsü, kosinüsü α'ya eşit olan bir aralıktaki bir α sayısıdır.

Fonksiyon grafiği

Bir bölüt üzerindeki y \u003d cos (\u2061x) fonksiyonu kesin olarak azalan ve süreklidir; dolayısıyla ters bir işleve sahiptir, kesinlikle azalır ve sürekli olur.
Y \u003d cos\u2061x fonksiyonu için ters fonksiyon, burada x ∈ denir ters kosinüs ve y \u003d arccos (x) ile gösterilir, burada х ∈ [-1; 1].
Bu nedenle, ters fonksiyonun tanımına göre, arkkosinin tanım alanı [-1; 1] segmentidir ve değerler kümesi segmenttir.
Y \u003d arccos (x) fonksiyonunun grafiğinin, burada x ∈ [-1; 1], y \u003d cos (\u2061x) fonksiyonunun grafiğine simetrik olduğuna dikkat edin, burada x ∈, birinci ve üçüncü dördün koordinat açılarının açıortayına göre.

Y \u003d arccos (x) fonksiyonunun alanı.

Örnek No. 3.

Arccos (1/2) bulun?

Değer aralığı arccos (x) х∈ olduğundan, sadece π / 3 değeri uygundur; bu nedenle arccos (1/2) \u003d π / 3.
Örnek No.4.
Arccos (- (√2) / 2) bulun?

Arccos (x) fonksiyonunun değer aralığı aralığa ait olduğundan, sadece 3π / 4 değeri uygundur; dolayısıyla arccos (- (√2) / 2) \u003d 3π / 4.

Cevap: 3π / 4

Fonksiyon y \u003d arctan (x)

Bir α sayısının arktanjantı, tanjantı α'ya eşit olan [-π / 2; π / 2] aralığından bir α sayısıdır.

Fonksiyon grafiği

Teğet fonksiyonu süreklidir ve (-π / 2; π / 2) aralığında kesin olarak artmaktadır; dolayısıyla, sürekli ve kesin olarak artan bir ters işlevi vardır.
Y \u003d tg\u2061 (x) fonksiyonu için ters fonksiyon, burada х∈ (-π / 2; π / 2); arktanjant olarak adlandırılır ve y \u003d arctan (x) ile gösterilir, burada х∈R.
Dolayısıyla, ters fonksiyonun tanımına göre, arktanjantın tanım alanı aralıktır (-∞; + ∞) ve değerler kümesi aralıktır.
(-π / 2; π / 2).
Y \u003d arctan (x) fonksiyonunun grafiğinin, burada х∈R, y \u003d tgx fonksiyonunun grafiğine simetrik olduğuna dikkat edin, burada х ∈ (-π / 2; π / 2), birinci ve üçüncü dördün koordinat açılarının açıortayına göre.

Fonksiyon aralığı y \u003d arctan (x).

Örnek 5?

Arctan'ı ((√3) / 3) bulun.

Arctan (x) х ∈ (-π / 2; π / 2) değer aralığı olduğundan, sadece π / 6 değeri uygundur, bu nedenle arctg ((√3) / 3) \u003d π / 6.
Örnek 6.
Arctg (-1) bulunsun mu?

Arctan (x) х ∈ (-π / 2; π / 2) değer aralığı olduğundan, sadece -π / 4 değeri uygundur, bu nedenle arctg (-1) \u003d - π / 4.

Fonksiyon y \u003d arcctg (x)

Bir α sayısının ark kotanjantı, kotanjantı α olan (0; π) aralığından bir α sayısıdır.

Fonksiyon grafiği

(0; π) aralığında, kotanjant fonksiyonu kesin olarak azalıyor; dahası, bu aralığın her noktasında süreklidir; bu nedenle, (0; π) aralığında, bu işlevin, kesin olarak azalan ve sürekli olan bir ters işlevi vardır.
Y \u003d ctg (x) fonksiyonu için ters fonksiyon, burada х ∈ (0; π), yay kotanjantı olarak adlandırılır ve y \u003d arcctg (x) ile gösterilir, burada х∈R.
Bu nedenle, ters fonksiyonun tanımına göre, ark kotanjantının tanım alanı R'dir ve değer kümesi (0; π) aralığıdır. Y \u003d arcctg (x) fonksiyonunun grafiği, burada х∈R, y \u003d ctg (x) х∈ (0 ; π), birinci ve üçüncü çeyreklerin koordinat açılarının açıortayına göre.

Fonksiyon aralığı y \u003d arcctg (x).

Örnek 7.
Arcctg ((√3) / 3)?

Değer aralığı arcctg (x) х ∈ (0; π) olduğundan, yalnızca π / 3 uygundur; bu nedenle, arccos ((√3) / 3) \u003d π / 3.

Örnek 8.
Arcctg (- (√3) / 3)?

Değer aralığı arcctg (x) х∈ (0; π) olduğundan, sadece 2π / 3 değeri uygundur; bu nedenle arccos (- (√3) / 3) \u003d 2π / 3.

Editörler: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Bu derste özelliklere bakacağız ters fonksiyonlar ve tekrar et ters trigonometrik fonksiyonlar... Tüm ana ters trigonometrik fonksiyonların özellikleri ayrı ayrı ele alınacaktır: arkin, arkkosin, arktanjant ve ark kotanjant.

Bu ders, ödev türlerinden birine hazırlanmanıza yardımcı olacaktır. 7'DE ve C1-.

Matematik sınavına hazırlık

Deney

Ders 9. Ters trigonometrik fonksiyonlar.

teori

Ders özeti

Ters fonksiyon gibi bir kavramla karşılaştığımızda hatırlayalım. Örneğin, kare alma işlevini düşünün. Diyelim ki kenarları 2 metre olan kare bir odamız var ve alanını hesaplamak istiyoruz. Bunu yapmak için karenin karesi formülünü kullanarak ikisini kareye yükseltiriz ve sonuç olarak 4 m 2 elde ederiz. Şimdi ters problemi hayal edin: kare bir odanın alanını biliyoruz ve kenarlarının uzunluklarını bulmak istiyoruz. Alanın hala aynı 4 m 2 olduğunu bilirsek, o zaman kareyi almak için ters eylemi gerçekleştireceğiz - aritmetiği çıkarmak kare kökbize 2 m'lik bir değer verecek.

Dolayısıyla, bir sayının karesini alma işlevi için ters işlev, aritmetik karekökü çıkarmaktır.

Özellikle, yukarıdaki örnekte, odanın kenarını hesaplarken hiçbir sorun yaşamadık çünkü bunun pozitif bir sayı olduğunu anlıyoruz. Bununla birlikte, bu durumdan ayrılır ve sorunu daha genel bir şekilde ele alırsak: "Karesi dört olan bir sayıyı hesaplayın", bir sorunla karşılaşacağız - bu tür iki sayı var. Bunlar 2 ve -2 çünkü aynı zamanda dörde eşittir. Genel durumdaki ters problemin belirsiz bir şekilde çözüldüğü ve karesi olan sayıyı belirleme eyleminin bize bildiğimiz sayıyı verdiği ortaya çıktı. iki sonucu vardır. Bunu grafikte göstermek uygundur:

Ve bu, böyle bir sayıların yazışma yasasını bir fonksiyon olarak adlandıramayacağımız anlamına gelir, çünkü bir fonksiyon için argümanın bir değeri karşılık gelir kesinlikle bir işlev değeri.

Ters fonksiyonu karelemeye tam olarak dahil etmek için, sadece negatif olmayan değerler veren aritmetik karekök kavramı önerildi. Şunlar. bir fonksiyon için ters fonksiyon dikkate alınır.

Benzer şekilde, trigonometrik fonksiyonların tersi fonksiyonlar vardır, bunlara ters trigonometrik fonksiyonlar... Düşündüğümüz işlevlerin her birinin kendi tersi vardır, bunlara şunlar denir: arksin, ark kosinüs, arktanjant ve ark kotanjant.

Bu fonksiyonlar, açıları trigonometrik fonksiyonun bilinen değerinden hesaplama problemini çözer. Örneğin, temel trigonometrik fonksiyonların bir değer tablosunu kullanarak, hangi açının sinüs olduğunu hesaplayabilirsiniz. Bu değeri sinüs çizgisinde buluruz ve hangi açıya karşılık geldiğini belirleriz. Cevaplamak istediğim ilk şey, bunun bir açı olduğu ya da, ancak daha önce bir değerler tablonuz varsa, bir cevap için başka bir yarışmacıyı hemen fark edeceksiniz - bu bir açı veya. Ve sinüs periyodunu hatırlarsak, sinüsün eşit olduğu açıların sonsuz olduğunu anlarız. Ve trigonometrik fonksiyonun belirli bir değerine karşılık gelen böyle bir açı değerleri kümesi, kosinüsler, teğetler ve kotanjantlar için gözlemlenecektir, çünkü hepsinin periyodikliği vardır.

Şunlar. kare eylem için fonksiyon değerinden argüman değerini hesaplarken yaşadığımız aynı problemle karşı karşıyayız. Ve bu durumda, ters trigonometrik fonksiyonlar için, hesaplama sırasında verdikleri değer aralığı üzerinde bir kısıtlama getirildi. Bu tür ters fonksiyonların bu özelliğine denir aralığı daraltmakve bunların işlevler olarak adlandırılması gereklidir.

Ters trigonometrik fonksiyonların her biri için, döndürdüğü açı aralığı farklıdır ve bunları ayrı ayrı ele alacağız. Örneğin arksin, ile aralığındaki açı değerlerini döndürür.

Ters trigonometrik fonksiyonlarla çalışma yeteneği, çözerken bizim için yararlı olacaktır. trigonometrik denklemler.

Şimdi ters trigonometrik fonksiyonların her birinin temel özelliklerini göstereceğiz. Onlar hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız, 10. sınıf programındaki "Trigonometrik denklemleri çözme" bölümüne bakın.

Arksinüs fonksiyonunun özelliklerini düşünün ve grafiğini oluşturun.

Tanım.Bir sayının ark sinüsüx

Arkın temel özellikleri:

1) en

2) En.

Arksinüs fonksiyonunun temel özellikleri:

1) Kapsam ;

2) Değer aralığı ;

3) İşlev tuhaf. Bu formülün ayrı ayrı hatırlanması arzu edilir, çünkü dönüşümler için kullanışlıdır. Ayrıca tuhaflığın fonksiyon grafiğinin orijine göre simetrisini ifade ettiğine dikkat edin;

İşlevin grafiğini çizelim:

Fonksiyon grafiğinin hiçbir bölümünün tekrarlanmadığına dikkat edin, bu, sinüsün tersine arkinin periyodik bir fonksiyon olmadığı anlamına gelir. Aynısı diğer tüm yay fonksiyonları için de geçerli olacaktır.

Ters kosinüs fonksiyonunun özelliklerini düşünün ve grafiğini oluşturun.

Tanım.Arkkozin sayısıx y açısının değeri olarak adlandırılır. Dahası, sinüs değerleri üzerinde bir sınırlama olarak, ancak seçilen bir açı aralığı olarak.

Ark kosinin temel özellikleri:

1) en

2) En.

Ters kosinüs fonksiyonunun temel özellikleri:

1) Kapsam ;

2) Değer aralığı;

3) İşlev ne çift ne de tuhaftır, yani Genel görünüm ... Bu formülü hatırlamak da arzu edilir, daha sonra bizim için faydalı olacaktır;

4) İşlev tekdüze olarak azalır.

İşlevin grafiğini çizelim:

Arktanjant fonksiyonunun özelliklerini düşünün ve grafiğini oluşturun.

Tanım.Sayının arktanjantıx y açısının değeri olarak adlandırılır. Üstelik, o zamandan beri teğet değerlerinde herhangi bir kısıtlama yoktur, ancak seçilen açı aralığı olarak.

Arktanjantın temel özellikleri:

1) en

2) En.

Arktanjant fonksiyonunun temel özellikleri:

1) Tanımın kapsamı;

2) Değer aralığı ;

3) İşlev tuhaf ... Bu formül, benzerlerinin yanı sıra faydalıdır. Yayda olduğu gibi, tuhaflık fonksiyon grafiğinin orijine göre simetrisini ifade eder;

4) İşlev tekdüze olarak artar.

İşlevin grafiğini çizelim:

Dersler 32-33. Ters trigonometrik fonksiyonlar

09.07.2015 8936 0

Amaç: ters trigonometrik fonksiyonları, trigonometrik denklemlerin çözümlerini yazmak için kullanımlarını düşünün.

I. Derslerin konusunun ve amacının iletilmesi

II. Yeni materyal öğrenmek

1. Ters trigonometrik fonksiyonlar

Bu konuyla ilgili tartışmamıza aşağıdaki örnekle başlayalım.

örnek 1

Denklemi çözelim:a) günah x \u003d 1/2; b) günah x \u003d a.

a) Ordinatta 1/2 değerini erteliyoruz ve açıları çiziyoruzx 1 ve x2, bunun içingünah x \u003d 1/2. Dahası, x1 + x2 \u003d π, dolayısıyla x2 \u003d π -x 1 ... Trigonometrik fonksiyonların değer tablosuna göre, x1 \u003d π / 6 değerini buluruz, sonraSinüs fonksiyonunun periyodikliğini hesaba katalım ve bu denklemin çözümlerini yazalım:nerede k ∈ Z.

b) Denklemi çözmek için kullanılan algoritmanıngünah x \u003d a, önceki paragraftakiyle aynıdır. Elbette, şimdi a değeri koordinat boyunca çizilir. Bir şekilde x1 açısını belirlemek gerekli hale gelir. Böyle bir açıyı sembol ile göstermeyi kabul ettikarcsin ve. Daha sonra bu denklemin çözümleri şeklinde yazılabilirBu iki formül birleştirilebilir:burada

Ters trigonometrik fonksiyonların geri kalanı benzer şekilde tanıtıldı.

Bir açının değerini, trigonometrik fonksiyonunun bilinen değerinden belirlemek çok sık gereklidir. Bu problem birden çok değerlidir - trigonometrik fonksiyonları aynı değere eşit olan sayısız açı vardır. Bu nedenle, trigonometrik fonksiyonların monotonluğundan hareketle, açıları benzersiz bir şekilde belirlemek için aşağıdaki ters trigonometrik fonksiyonlar tanıtıldı.

A sayısının ark sinüsü (arcsin sinüsü a'ya eşit olan, yani.

Arkkozin sayısıa (arccos a) kosinüsü a'ya eşit olan bir aralıktan böyle bir açıdır, yani.

Bir sayının yay tanjantıa (arctg a) - aralıktan böyle bir açıtanjantı a'ya eşit olan, yani.tg a \u003d a.

Sayının ark kotanjantıa (arcctg a) kotanjantı a'ya eşit olan (0; π) aralığından bir a açısıdır, yani.ctg a \u003d a.

Örnek 2

Bulalım:

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımlarını dikkate alarak şunu elde ederiz:

Örnek 3

Hesaplıyoruz

A \u003d arkın açısı olsun 3/5, sonra tanım gereğisin a \u003d 3/5 ve ... Bu nedenle bulmak gereklimarul ve. Ana kullanımı trigonometrik kimlik, anlıyoruz:Cos a ≥ 0 olduğu hesaba katılmıştır. Yani,

Fonksiyon özellikleri	fonksiyon
	y \u003d arcsin x	y \u003d arccos x	y \u003d arctan x	y \u003d arcctg x
Alan adı	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	х ∈ (-∞; + ∞)	x ∈ (-∞ + ∞)
Değer aralığı	y ∈ [-π / 2; π / 2]	y ∈	y ∈ (-π / 2; π / 2)	y ∈ (0; π)
parite	garip	Ne çift ne de tuhaf	garip	Ne çift ne de tuhaf
İşlev sıfırları (y \u003d 0)	X \u003d 0 için	X \u003d 1 için	X \u003d 0 için	y ≠ 0
Sabitlik aralıkları	x ∈ (0; 1] için y\u003e 0, en< 0 при х ∈ [-1; 0)	x ∈ [-1 için y\u003e 0; 1)	х ∈ (0; + ∞) için y\u003e 0, en< 0 при х ∈ (-∞; 0)	x ∈ (-∞; + ∞) için y\u003e 0
Monoton	Artan	azalışlar	Artan	azalışlar
Trigonometrik fonksiyon ile ilişki	sin y \u003d x	çünkü y \u003d x	tg y \u003d x	ctg y \u003d x
program

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımları ve temel özellikleri ile ilgili bazı daha tipik örnekler.

Örnek 4

Fonksiyonun etki alanını bulun

Y fonksiyonunun tanımlanması için eşitsizlikeşitsizlikler sistemine eşdeğer olanİlk eşitsizliğin çözümü x aralığıdır∈ (-∞; + ∞), ikinci -Bu boşluk ve eşitsizlikler sistemine bir çözümdür ve dolayısıyla işlevin tanım alanı

Örnek 5

Fonksiyonun değişim alanını bulun

İşlevin davranışını düşününz \u003d 2x - x2 (şekle bakın).

Z ∈ (-∞; 1]. Argüman olduğu düşünüldüğündez ark kotanjant fonksiyonu, elde ettiğimiz tablodaki verilerden belirtilen sınırlar içinde değişirYani değişim alanı

Örnek 6

Y \u003d fonksiyonununarctg x tuhaftır. İzin vermekDaha sonra tan a \u003d -x veya x \u003d - tan a \u003d tan (- a) ve Bu nedenle, - a \u003d arctan x veya a \u003d - arctan x. Böylece görüyoruz kiyani, y (x) tek bir fonksiyondur.

Örnek 7

Tüm ters trigonometrik fonksiyonlar cinsinden ifade edelim

İzin vermek Apaçık ortada O zamandan beri

Bir açı sunalım Gibi sonra

Benzer şekilde, bu nedenle ve

Yani,

Örnek 8

Y \u003d fonksiyonunun grafiğini çizelimçünkü (arcsin x).

A \u003d arcsin x'i gösteririz, sonra X \u003d sin a ve y \u003d cos a, yani x 2 olduğunu dikkate alıyoruz + y2 \u003d 1 ve x (x∈ [1; 1]) ve y (y ≥ 0). Sonra y \u003d fonksiyonunun grafiğicos (arcsin x) yarım daire şeklindedir.

Örnek 9

Y \u003d fonksiyonunun grafiğini çizelimarccos (cos x).

Çünkü işlevi cos [-1 segmentindeki x değişiklikleri; 1], daha sonra y fonksiyonu tüm sayısal eksen üzerinde tanımlanır ve segment üzerinde değişir. Y \u003darccos (cos x) \u003d segmentte x; y fonksiyonu, 2π periyodu ile çift ve periyodiktir. Bu mülklerin fonksiyona ait olduğunu dikkate alarakçünkü x, şimdi komplo kurmak kolay.

İşte bazı yararlı eşitlikler:

Örnek 10

Fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulunBiz gösteririz sonra Fonksiyonu alıyoruz Bu işlev, noktada minimuma sahiptirz \u003d π / 4 ve eşittir Fonksiyonun en büyük değerine bu noktada ulaşılırz \u003d -π / 2 ve eşittir Böylece ve

Örnek 11

Denklemi çözelim

Bunu hesaba katalım Denklem şu şekildedir: veya nereden Arktanjantın tanımına göre, şunu elde ederiz:

2. En basit trigonometrik denklemlerin çözümü

Örnek 1'e benzer şekilde, en basit trigonometrik denklemlere çözümler elde edebilirsiniz.

Denklem	Karar
tgx \u003d a
ctg x \u003d a

Örnek 12

Denklemi çözelim

Sinüs fonksiyonu tuhaf olduğu için denklemi şu şekilde yazıyoruzBu denklemin çözümleri:nerede buluruz

Örnek 13

Denklemi çözelim

Yukarıdaki formülü kullanarak, denklemin çözümlerini yazıyoruz:ve bul

Belirli durumlarda (a \u003d 0; ± 1), denklemleri çözerkensin x \u003d a ve cos x \u003d ve genel formülleri kullanmak daha kolay ve daha kullanışlıdır, ancak birim çembere dayalı çözümleri yazmak daha kolaydır:

sin х \u003d 1 çözüm denklemi için

denklem için sin х \u003d 0 çözüm х \u003d π k;

sin x \u003d -1 denklemi için çözümler

denklem için cos x \u003d 1 çözüm x \u003d 2πk;

denklem için cos x \u003d 0 çözümleri

cos x \u003d -1 denklemi için çözümler

Örnek 14

Denklemi çözelim

Bu örnekte denklemin özel bir durumu olduğundan, karşılık gelen formülü kullanarak çözümü yazıyoruz:nerede bulacağız

III. Test soruları (ön anket)

1. Bir tanım verin ve ters trigonometrik fonksiyonların temel özelliklerini listeleyin.

2. Ters trigonometrik fonksiyonların grafiklerini verin.

3. En basit trigonometrik denklemlerin çözümü.

IV. Sınıfta ödev

§ 15, No. 3 (a, b); 4 (c, d); 7 (a); 8 (a); 12 (b); 13 (a); 15 (c); 16 (a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, No. 4 (a, b); 7 (a); 8 (b); 16 (a, b); 18 (a); 19 (c, d);

§ 17, No. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Ödev

§ 15, No. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12 (a); 13 (b); 15 (d); 16 (b); 18 (c, d); 19 (d); 22;

§ 16, No. 4 (c, d); 7 (b); 8 (a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, No. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

Vi. Yaratıcı görevler

1. İşlevin etki alanını bulun:

Yanıtlar:

2. Fonksiyonun değer aralığını bulun:

Yanıtlar:

3. Fonksiyonun grafiğini çizin:

Vii. Dersleri özetlemek