Bir kesrin paydasındaki mantıksızlıktan kendinizi nasıl kurtarırsınız? Kendinizi bir kesrin paydasının mantıksızlığından kurtarmak. Karekökü belirli bir doğruluk derecesiyle çıkarın. Bir kesrin paydasındaki irrasyonellikten kurtulmanın temel adımları

Paydası irrasyonel bir ifade içeren kesirli cebirsel bir ifadeyi dönüştürürken, genellikle kesir, paydası rasyonel olacak şekilde temsil edilmeye çalışılır. A,B,C,D,... bazı cebirsel ifadelerse, o zaman formdaki ifadelerin paydasındaki kök işaretlerden kurtulabileceğiniz kuralları belirleyebilirsiniz.

Tüm bu durumlarda, irrasyonellikten kurtuluş, kesrin pay ve paydasının, kesrin paydasıyla çarpımı rasyonel olacak şekilde seçilen bir faktörle çarpılmasıyla sağlanır.

1) Kesirli formun paydasındaki irrasyonellikten kurtulmak. Pay ve paydayı şununla çarpın:

Örnek 1. .

2) Formun kesirli olması durumunda. Pay ve paydayı irrasyonel bir faktörle çarpın

sırasıyla, yani eşlenik irrasyonel ifadeye.

Son eylemin anlamı, paydada toplamın ve farkın çarpımının kareler farkına dönüştürülmesidir ki bu zaten rasyonel bir ifade olacaktır.

Örnek 2. İfadenin paydasındaki mantıksızlıktan kendinizi kurtarın:

Çözüm, a) Kesrin pay ve paydasını ifadeyle çarpın. Alırız (bu şartıyla)

3) Aşağıdaki gibi ifadeler olması durumunda

payda bir toplam (fark) olarak kabul edilir ve küplerin ((20.11), (20.12) toplamını (farkını) elde etmek için farkın (toplam) kısmi karesi ile çarpılır. Pay da aynı faktörle çarpılır.

Örnek 3. İfadelerin paydasındaki mantıksızlıktan kendinizi kurtarın:

Çözüm, a) Bu kesrin paydasını sayılar ve 1'in toplamı olarak kabul edersek pay ve paydayı bu sayıların farkının kısmi karesi ile çarpın:

veya son olarak:

Bazı durumlarda, zıt nitelikte bir dönüşüm gerçekleştirmek gerekir: kesri paydaki irrasyonellikten kurtarmak. Tamamen aynı şekilde gerçekleştirilir.

Örnek 4. Bir kesrin payı konusunda kendinizi mantıksızlıktan kurtarın.

Bir kesrin paydasındaki irrasyonellikten kurtuluş

2015-06-13

İrrasyonel ifadenin eşleniği

Paydası irrasyonel bir ifade içeren kesirli cebirsel bir ifadeyi dönüştürürken, genellikle kesir, paydası rasyonel olacak şekilde temsil edilmeye çalışılır. $A, B, C, D, \cdots$ bazı cebirsel ifadelerse, o zaman formun ifadelerinin paydasındaki radikal işaretlerden kurtulabileceğiniz kuralları belirleyebilirsiniz.

$\frac(A)(\sqrt[n](B)), \frac(A)(B+C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D) ))), \frac(A)( \sqrt(B) \pm \sqrt(C))$, vb.

Tüm bu durumlarda, irrasyonellikten kurtuluş, kesrin pay ve paydasının, kesrin paydasıyla çarpımı rasyonel olacak şekilde seçilen bir faktörle çarpılmasıyla sağlanır.

1) $A/ \sqrt[n](B)$ formunun bir kesirinin paydasındaki irrasyonellikten kurtulmak için pay ve paydayı $\sqrt[n](B^(n-1)) ile çarpın $.
$\frac(A)(\sqrt[n](B)) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1)))(\sqrt[n](B) \sqrt[n] (B^(n-1))) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1))))(B)$.

Örnek 1. $\frac(4a^(2)b)(\sqrt(2ac)) = \frac(4a^(2)b \sqrt(4a^(2)c^(2)))(2ac) = \frac(2ab)(c) \sqrt(4a^(2)c^(2))$.

$\frac(A)(B+ C \sqrt(D))), \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D))$ formundaki kesirler durumunda pay ve paydayı şu şekilde çarpın: irrasyonel bir faktör
$B – C \sqrt(D)$ veya $\sqrt(B) – c \sqrt(D)$
sırasıyla, yani eşlenik irrasyonel ifadeye.

Son eylemin anlamı, paydada toplamın ve farkın çarpımının kareler farkına dönüştürülmesidir ki bu zaten rasyonel bir ifade olacaktır.

Örnek 2. İfadenin paydasındaki mantıksızlıktan kendinizi kurtarın:
a) $\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x)$; b) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3))$.

Çözüm, a) Kesrin payını ve paydasını aşağıdaki sayı ile çarpın:
ifade $\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x$. Şunu elde ederiz ($y \neq 0$ olması koşuluyla)
$\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x) = \frac(xy (\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x)) ((x^(2) + y^(2)) – x^(2)) = \frac(x)(y) (\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x)$ ;
b) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3)) = \frac(2(\sqrt(5) + \sqrt(3)))(5 - 3) = \sqrt(5) ) + \sqrt(3)$.
3) Aşağıdaki gibi ifadeler olması durumunda
$\frac(A)(B \pm C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) \pm C \sqrt(D))$
payda toplam (fark) olarak kabul edilir ve küplerin toplamını (farkını) elde etmek için farkın (toplam) kısmi karesi ile çarpılır. Pay da aynı faktörle çarpılır.

Örnek 3. İfadelerin paydasındaki mantıksızlıktan kendinizi kurtarın:
a)$\frac(3)(\sqrt(5) + 1)$; b)$\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b))$

Çözüm, a) Bu kesrin paydasını $\sqrt(5)$ ve $1$ sayılarının toplamı olarak düşünürsek, pay ve paydayı bu sayıların farkının kısmi karesi ile çarpın:
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3 (\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) +1))((\sqrt(5) + 1) (\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) + 1)) = \frac(3(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1))((\sqrt(5))^ (3) +1)$,
veya son olarak:
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1))(6) = \frac(\sqrt(25) - \ sqrt(5) + 1)(2)$
b) $\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b)) = \frac(\sqrt(a^(2)) + 2 \sqrt(ab) + 4 \sqrt(b^( 2))))((\sqrt(a))^(3) – (2 \sqrt(b))^(3)) = \frac( \sqrt(a^(2)) + 2 \sqrt(ab) + 4 \sqrt(b^(2))(a-8b)$.

Bazı durumlarda, zıt nitelikte bir dönüşüm gerçekleştirmek gerekir: kesri paydaki irrasyonellikten kurtarmak. Tamamen aynı şekilde gerçekleştirilir.

Örnek 4. $\frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b)$ payındaki mantıksızlıktan kurtulun.
Çözüm. $ \frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b) = \frac((a+b) – (a-b))(2b(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b) ))) = \frac(1)(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b))$

Aritmetik karekök içeren ifadeleri dönüştürme

Dersin amacı: Vardiya gruplarında çalışma sırasında becerilerin oluşması için koşullar yaratmak, aritmetik karekökleri içeren ifadeleri basitleştirmek.

Dersin Hedefleri: kontrol etmek teorik eğitimöğrenciler, bir sayının karekökünü çıkarma becerisi, bilgi ve becerilerini doğru bir şekilde yeniden üretme becerilerini geliştirme, hesaplama becerilerini geliştirme, çiftler halinde çalışma yeteneğini ve ortak bir amaç için sorumluluk geliştirme becerisini geliştirir.

Dersler sırasında.

BEN. Zamanı organize etmek. "HAZIRLIK TABLOSU"

Dersin başlangıcına hazırlık düzeyinin sabitlenmesi.

25 kart kırmızı (5 puan), sarı (4 puan), mavi

renkler (3 puan).

Hazırlık tablosu

5 puan (Bilmek, yapmak, karar vermek istiyorum)

4 puan (Çalışmaya hazırım)

3 puan (Kendimi pek iyi hissetmiyorum, konuyu anlamıyorum, yardıma ihtiyacım var)

II . Bireysel çalışma kartlarla

Kart 1

Çarpanı kök işaretinin altından kaldırın:

Kart 2

Çarpanı kök işaretinin altına girin:

Kart 3

Basitleştirin:
A)
B)
V)

(Ödev kontrolünden sonra kontrol edin)

III . Ev ödevlerini kontrol ediyorum.

No. 166, 167 oral ön

(sinyal kartlarını kullanarak öz değerlendirme: yeşil - her şey doğru, kırmızı - bir hata var)

IV . Yeni materyal öğrenme. Vardiya gruplarında çalışın.

Materyali bağımsız olarak inceleyin, böylece grup üyelerine açıklayabilirsiniz. Sınıf 4'er kişilik 6 gruba ayrılır.

Grup 1, 2 ve 3 – ortalama yeteneklere sahip öğrenciler

Bir kesrin paydasındaki irrasyonellikten nasıl kurtulurum? Genel durumu ve özel örnekleri ele alalım.

İşaretin altındaki sayı veya ifade ise kare kök Paydadaki faktörlerden biridir.Paydadaki irrasyonellikten kurtulmak için kesrin hem payını hem de paydasını bu sayının veya ifadenin kareköküyle çarparız:

Örnekler.

1) ;

2) .

Grup 4, 5 ve 6 – ortalamanın üzerinde yeteneklere sahip öğrenciler.

Bir kesrin paydası, karekök içeren iki ifadenin toplamı veya farkı ise, paydadaki irrasyonellikten kurtulmak için hem payı hem de paydayı eşlenik radikalle çarparız:

Örnekler. Bir kesrin paydasındaki mantıksızlıktan kendinizi kurtarın:

Yeni gruplar halinde çalışın (6 kişilik 4 grup, her gruptan 1 kişi).

Öğrenilen materyalin üyelere açıklanması yeni Grup. (akran değerlendirmesi – öğrencinin materyalle ilgili açıklamasına ilişkin yorum)

V . Teorik materyalin asimilasyonunun kontrol edilmesi.Öğrenciler teorik materyalin bu kısmını açıklamadan soruları cevaplarlar.

1) Paydada karekök işaretinin altındaki sayı veya ifade faktörlerden biri ise, bir kesrin paydasındaki irrasyonellikten nasıl kurtuluruz?

2) Bir kesrin paydası, karekök içeren iki ifadenin toplamı veya farkı ise, kesrin paydasındaki irrasyonellikten nasıl kurtuluruz?

3) bir kesrin paydasındaki irrasyonellikten nasıl kurtuluruz

4) Bir kesrin paydasındaki irrasyonellikten nasıl kurtulurum

VI . Çalışılan materyalin konsolidasyonu. Kendi kendini test etme çalışması.

81 (“Cebir” 8. sınıf, A. Abylkasymova, I. Bekboev, A. Abdiev, Z. Zhumagulova)

170 (1,2,3,5,6) (“Cebir” 8. sınıf, A. Shynybekov)

Değerlendirme kriterleri:

Düzey A – No. 81 örnekler 1-5 işaret “3”

Seviye B – No. 81 örnekler 6-8 ve No. 170 örnekler 5.6 işaret “4”

Düzey C – No. 170 örnek 1-6 işaret “5”

(öz değerlendirme, kağıtlı sunum tahtası üzerindeki örneği kullanarak test)

VII . Ev ödevi.

№ 218

VIII. Refleks. "Telgraf"

Herkesin bir telgraf formu doldurması isteniyor ve şu talimatlar veriliyor: “Son ders hakkında ne düşünüyorsunuz? Senin için önemli olan neydi? Ne öğrendin? Neyi sevdin? Belirsiz kalan ne? Hangi yönde ilerlemeliyiz? Lütfen bana bu konuda kısa bir mesaj yazın – 11 kelimelik bir telgraf. Gelecekteki çalışmalarımda dikkate alabilmek için fikrinizi bilmek istiyorum.

Ders özeti.

Bu başlıkta yukarıda sıralanan irrasyonellik içeren üç limit grubunu da ele alacağız. $\frac(0)(0)$ formunda belirsizlik içeren limitlerle başlayalım.

Belirsizlik açıklaması $\frac(0)(0)$.

Çözüm diyagramı standart örnekler Bu tür genellikle iki adımdan oluşur:

• “Eşlenik” tabiriyle çarparak belirsizliğe yol açan mantıksızlıktan kurtuluyoruz;
• Gerekirse pay veya paydadaki (veya her ikisindeki) ifadeyi çarpanlarına ayırın;
• Belirsizliğe yol açan faktörleri azaltıp limitin istenilen değerini hesaplıyoruz.

Yukarıda kullanılan "eşlenik ifade" terimi örneklerde ayrıntılı olarak açıklanacaktır. Şimdilik bunun üzerinde ayrıntılı olarak durmanın bir anlamı yok. Genel olarak eşlenik ifadesini kullanmadan diğer yöne gidebilirsiniz. Bazen iyi seçilmiş bir değişim mantıksızlığı ortadan kaldırabilir. Bu tür örnekler standartlarda nadirdir testler bu nedenle, değiştirme kullanımı için yalnızca 6 numaralı örneği ele alacağız (bu konunun ikinci bölümüne bakın).

Aşağıda yazacağım birkaç formüle ihtiyacımız olacak:

\begin(equation) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(equation) \begin(equation) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2) +ab+b^2) \end(equation) \begin(equation) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(equation) \begin (denklem) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(denklem)

Ayrıca okuyucunun ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin formülleri bildiğini varsayıyoruz. $x_1$ ve $x_2$ ikinci dereceden üç terimli $ax^2+bx+c$'nin kökleriyse, o zaman aşağıdaki formül kullanılarak çarpanlara ayrılabilir:

\begin(equation) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(denklem)

Şimdi geçeceğimiz standart problemleri çözmek için formüller (1)-(5) oldukça yeterlidir.

Örnek No.1

$\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$'ı bulun.

Çünkü $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ ve $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$ ise, verilen limitte $\frac(0)(0)$ formunda bir belirsizliğimiz var. $\sqrt(7-x)-2$ farkı bu belirsizliği ortaya çıkarmamızı engelliyor. Bu tür mantıksızlıklardan kurtulmak için “eşlenik ifade” olarak adlandırılan çarpma işlemine başvurulur. Şimdi bu çarpmanın nasıl çalıştığına bakacağız. $\sqrt(7-x)-2$ ile $\sqrt(7-x)+2$ ile çarpın:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Parantezleri açmak için, belirtilen formülün sağ tarafına $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ yazarak uygulayın:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Gördüğünüz gibi payı $\sqrt(7-x)+2$ ile çarparsanız paydaki kök (yani irrasyonellik) ortadan kalkacaktır. Bu ifade $\sqrt(7-x)+2$ olacaktır birleşik$\sqrt(7-x)-2$ ifadesine. Ancak payı $\sqrt(7-x)+2$ ile çarpamayız, çünkü bu $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ kesirini değiştirecektir; sınırın altında. Hem pay hem de paydayı aynı anda çarpmanız gerekir:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Şimdi şunu hatırlayın $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ ve parantezleri açın. Parantezleri açtıktan ve $3-x=-(x-3)$ küçük bir dönüşümden sonra, kesri $x-3$ kadar azaltırız:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

$\frac(0)(0)$ belirsizliği ortadan kalktı. Artık bu örneğin cevabını kolayca alabilirsiniz:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Eşlenik ifadenin, ne tür bir mantıksızlığı ortadan kaldırması gerektiğine bağlı olarak yapısını değiştirebileceğini belirtmek isterim. 4 ve 5 numaralı örneklerde (bu konunun ikinci kısmına bakınız) farklı türde bir eşlenik ifade kullanılacaktır.

Cevap: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Örnek No.2

$\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$'ı bulun.

Çünkü $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^) 2-19)=3-3=0$ ve $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, o zaman şunu yaparız: $\frac(0)(0)$ biçimindeki belirsizlikle uğraşıyoruz. Bu kesrin paydasındaki irrasyonellikten kurtulalım. Bunu yapmak için $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ kesirinin hem payını hem de paydasını ekleriz. paydaya eşlenik $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ ifadesi:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Yine 1 numaralı örnekte olduğu gibi genişletmek için parantez kullanmanız gerekiyor. Söz konusu formülün sağ tarafına $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ yazarsak payda için aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ sağ)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\right)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\right)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Sınırımıza dönelim:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

Örnek No. 1'de, eşlenik ifadeyle çarpmanın hemen ardından kesir azaltıldı. Burada, indirgemeden önce, $3x^2-5x-2$ ve $x^2-4$ ifadelerini çarpanlara ayırmanız ve ancak bundan sonra indirgemeye devam etmeniz gerekecektir. $3x^2-5x-2$ ifadesini çarpanlara ayırmak için kullanmanız gerekir. Önce karar verelim ikinci dereceden denklem$3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(hizalanmış) $$

$x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Şimdi $x^2-4$ ifadesini çarpanlara ayırmanın zamanı geldi. Bunun içine $a=x$, $b=2$ koyarak onu kullanalım:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Elde edilen sonuçları kullanalım. $x^2-4=(x-2)(x+2)$ ve $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$ olduğundan, o zaman:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19))))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

$x-2$ parantezini azaltarak şunu elde ederiz:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^) 2-19))))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Tüm! Belirsizlik ortadan kalktı. Bir adım daha atıp cevaba geliyoruz:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19))))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Cevap: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

Aşağıdaki örnekte kesrin hem payında hem de paydasında irrasyonelliklerin mevcut olacağı durumu düşünün.

Örnek No.3

$\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)'ı bulun ))$.

$\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ ve $\lim_( x olduğundan \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, o zaman $ formunda bir belirsizliğimiz var \frac (0)(0)$. Bu durumda kökler hem paydada hem de payda mevcut olduğundan belirsizlikten kurtulmak için aynı anda iki parantezle çarpmanız gerekecektir. Öncelikle $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ ifadesine pay eşleniktir. Ve ikinci olarak, $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ ifadesinin paydaya eşlenik olması.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(aligned) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

$x^2-8x+15$ ifadesi için şunu elde ederiz:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(aligned) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(-) 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(aligned)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Sonuçta ortaya çıkan $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ ve $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ genişletmelerini limitte yerine koymak göz önünde bulundurularak aşağıdakilere sahip olacaktır:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5) \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Cevap: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=-6$.

Bir sonraki (ikinci) kısımda, eşlenik ifadenin önceki problemlerden farklı bir forma sahip olacağı birkaç örneği daha ele alacağız. Unutulmaması gereken en önemli nokta, eşlenik ifade kullanmanın amacının belirsizliğe neden olan mantıksızlıktan kurtulmak olduğudur.

Polinom cebirinden bir problem düşünelim.

Sorun 4.1

x 3 + 6x - 3 polinomunun kökü a olsun. Kesirin paydasındaki cebirsel irrasyonellikten kendimizi kurtarmamız gerekiyor.

Onlar. kesri rasyonel olarak bir polinom olarak temsil edin

nakit oranları.

Çözüm. Bir kesrin paydası, şu değerden elde edilen değerdir: A polinom düzeltme) =x 2 + 5 ve cebirsel elemanın minimal polinomu A f(x) =x 3 + 6x- 3,çünkü bu polinom Q alanı üzerinde indirgenemez (bir asal p = 3 için Eisenstein kriterine göre). NODO'ları bulalım 3 + 6x - 3, x 2 + 5)sÖklid algoritmasını kullanarak:

Durumu genelleştirelim ve genel sorunu ele alalım.

Bir kesrin paydasında cebirsel irrasyonellikten kurtulma sorunu

a, bir P alanı üzerinde bir cebirsel irrasyonellik olsun.

, . „ a k a k +a k _,ak ~ l-F-. + aia + Oo

minimal polinom FOO ve B = - - 1

b t a t +kardeşim-ioc" 1 - 1 +... + bja +b 0

kesrin pay ve paydasındaki polinomların katsayılarının alana ait olduğu yer R. Kesirin paydasındaki cebirsel irrasyonellikten kurtulun, yani. mevcut (3 şeklinde

katsayıların alana ait olduğu yer R.

Çözüm./)*) = olarak gösterelim b nl x" + b m _ 1 x nl_1 +... + b ) x + b 0 ve y =/(a). O zamandan beri ^ 0 ise, minimal polinom gcd(/(x), φ(x)) = 1'in özelliği ile. Öklid algoritmasını kullanarak u(x) ve v(x) polinomlarını öyle buluruz ki f(x) ve(x) + f(x)y(x) = 1. Dolayısıyla Evet) ve (bir) + f(a)y(a) = 1 ve f(a) = 0 olduğundan Da)u(a) = 1 olur. Dolayısıyla bu kesrin pay ve paydasını c(a) ile çarparak bir elde ederiz. payda ve problem çözüldü.

Karmaşık durumda bir kesirin paydasındaki cebirsel irrasyonellikten kurtulmanın genel yöntemine dikkat edin. bir + S

sayılar - sayıları çarpmak için iyi bilinen prosedüre yol açar -

payda ve payda, paydanın eşlenik sayısına göre.

Tarihi gezi

Q alanı üzerinde aşkın sayıların varlığı ilk kez J. Liouville (1809-1882) tarafından 1844 ve 1851 tarihli çalışmalarında keşfedilmiştir. Liouville'in aşkın sayılarından biri sayıdır

C.Ermit (1822-

a=U--. Ondalık gösterim = 0D100010..

cl 10*

1901) 1873'te e sayısının aşkınlığını kanıtladı ve K. F. Lindemann (1852-1939) 1882'de sayının aşkınlığını kanıtladı. P. Bu sonuçlar kolay elde edilmedi. Aynı zamanda, oldukça basit bir şekilde, G. Cantor (1845-1918) cebirsel sayılardan "önemli ölçüde daha fazla" aşkın sayıların bulunduğunu kanıtladı: tüm gerçek sayılar gibi "aynı sayıda" aşkın sayılar vardır, oysa Cebirsel sayıların “aynı sayısı” kaç tanedir? doğal sayılar. Daha kesin olarak, cebirsel sayılar kümesi sayılabilir ve aşkın sayılar kümesi sayılamaz. Bu gerçeğin kanıtı, aşkın sayıların varlığını ortaya koyarken, bunlardan herhangi birinin elde edilmesi için bir reçete sunmamaktadır. Bu tür varlık teoremleri matematikte son derece önemlidir çünkü varlığı kanıtlanmış bir nesneyi aramanın başarısına güven aşılarlar. Aynı zamanda matematikte temsilcileri saf varoluş teoremlerini tanımayan, onları yapıcı olmayan olarak nitelendiren bir yön vardır. Bu temsilcilerin en önde gelenleri L. Kronecker ve J. Brouwer'dir.

1900 yılında Paris'teki Dünya Matematikçiler Kongresi'nde Alman matematikçi D. Hilbert (1862-1943) aşağıdaki 22 numaralı problemi formüle etti: aP sayısının doğası nedir, burada a ve (3 cebirsel sayılardır, a ^ 0'dır) , a ^ 1 ve cebirsel sayının kuvveti (3, 2'den az değil mi? A. O. Gelfond (1906-1968) bu tür sayıların aşkın olduğunu kanıtladı. Bundan özellikle 2^, 3 r sayılarının aşkın olduğu sonucu çıkar.