Hatırlanması çok kolay.

Neyse fazla uzağa gitmeyelim, hemen ters fonksiyonu ele alalım. Üstel fonksiyonun tersi hangi fonksiyondur? Logaritma:

Bizim durumumuzda taban sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani tabanlı bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir gösterim kullanırız: onun yerine yazarız.

Neye eşittir? Elbette, .

Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:

Örnekler:

1. Fonksiyonun türevini bulun.
2. Fonksiyonun türevi nedir?

Yanıtlar: Üstel ve doğal logaritma, türev perspektifinden bakıldığında benzersiz derecede basit fonksiyonlardır. Başka herhangi bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır ve bunu daha sonra türev alma kurallarını inceledikten sonra analiz edeceğiz.

Farklılaşma kuralları

Neyin kuralları? Yine yeni bir dönem mi, yine mi?!...

Farklılaşma türevi bulma işlemidir.

Bu kadar. Bu sürece tek kelimeyle başka ne diyebilirsiniz? Türev değil... Matematikçiler diferansiyele bir fonksiyonun aynı artışı adını verirler. Bu terim Latince diferansiyelden gelir - fark. Burada.

Tüm bu kuralları türetirken iki işlevi kullanacağız, örneğin ve. Ayrıca artışları için formüllere de ihtiyacımız olacak:

Toplamda 5 kural bulunmaktadır.

Sabit türev işaretinden çıkarılır.

Eğer - bazı sabit sayılar (sabit), o zaman.

Açıkçası, bu kural aynı zamanda şu fark için de işe yarar: .

Hadi kanıtlayalım. Bırakın ya da daha basit.

Örnekler.

Fonksiyonların türevlerini bulun:

1. bir noktada;
2. bir noktada;
3. bir noktada;
4. noktada.

Çözümler:

1. (Doğrusal bir fonksiyon olduğundan türev her noktada aynıdır, hatırladınız mı?);

Ürünün türevi

Burada her şey benzer: yeni bir fonksiyon tanıtalım ve onun artışını bulalım:

Türev:

Örnekler:

1. Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
2. Fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun.

Çözümler:

Üstel bir fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, yalnızca üstel sayıları değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterlidir (bunun ne olduğunu henüz unuttunuz mu?).

Peki, bazı sayılar nerede?

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, o halde fonksiyonumuzu yeni bir tabana indirgemeye çalışalım:

Bunu yapmak için basit bir kural kullanacağız: . Daha sonra:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun karmaşık olduğunu unutmayın.

Olmuş?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün bir üssün türevine çok benzediği ortaya çıktı: olduğu gibi aynı kalıyor, yalnızca bir sayı olan ancak değişken olmayan bir faktör ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Yanıtlar:

Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayan, yani daha basit bir biçimde yazılamayan bir sayıdır. Bu nedenle cevapta bu formda bırakıyoruz.

Burada iki fonksiyonun bölümü olduğuna dikkat edin, dolayısıyla ilgili türev kuralını uyguluyoruz:

Bu örnekte iki fonksiyonun çarpımı:

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

Burada da durum benzer: Doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, farklı bir tabana sahip keyfi bir logaritma bulmak için, örneğin:

Bu logaritmayı tabana indirmemiz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Ancak şimdi onun yerine şunu yazacağız:

Payda basitçe bir sabittir (değişkeni olmayan sabit bir sayı). Türev çok basit bir şekilde elde edilir:

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri Birleşik Devlet Sınavında neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

"Karmaşık fonksiyon" nedir? Hayır, bu bir logaritma değil, arktanjant da değil. Bu fonksiyonların anlaşılması zor olabilir (gerçi logaritmayı zor buluyorsanız, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve sorun yaşamazsınız), ancak matematiksel açıdan "karmaşık" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir taşıma bandı hayal edin: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bazı eylemler yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaj kağıdına sarar, ikincisi ise onu bir kurdele ile bağlar. Sonuç, kompozit bir nesnedir: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata çubuğu. Çikolata yemek için ters adımları tersten uygulamanız gerekir.

Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız, sonra da elde edilen sayının karesini alacağız. Yani bize bir sayı veriliyor (çikolata), ben onun kosinüsünü buluyorum (paketleyici) ve sonra elde ettiğimin karesini alıyorsunuz (bunu bir kurdele ile bağlıyorsunuz). Ne oldu? İşlev. Bu, karmaşık bir fonksiyonun bir örneğidir: değerini bulmak için, ilk eylemi doğrudan değişkenle gerçekleştirdiğimizde ve ardından ilk eylemin sonucuyla ikinci eylemi gerçekleştirdiğimizde.

Başka bir deyişle, karmaşık bir işlev, argümanı başka bir işlev olan bir işlevdir: .

Örneğimiz için, .

Aynı adımları ters sırada da kolaylıkla yapabiliriz: önce bunun karesini alırsınız, sonra da ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım: . Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Karmaşık işlevlerin önemli bir özelliği: Eylemlerin sırası değiştiğinde işlev de değişir.

İkinci örnek: (aynı şey). .

En son yaptığımız eylem çağrılacak "harici" işlev ve buna göre ilk gerçekleştirilen eylem "dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, bunları yalnızca materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi fonksiyonun harici ve hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Yanıtlar:İç ve dış fonksiyonları ayırmak değişkenleri değiştirmeye çok benzer: örneğin bir fonksiyonda

1. İlk önce hangi eylemi gerçekleştireceğiz? İlk önce sinüsü hesaplayalım ve ancak o zaman küpünü alalım. Bu, bunun dahili bir fonksiyon olduğu, ancak harici bir fonksiyon olduğu anlamına gelir.
   Ve asıl işlev bunların bileşimidir: .
2. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
3. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
4. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
5. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .

Değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ediyoruz.

Şimdi çikolatamızı çıkarıp türevini arayacağız. Prosedür her zaman tersidir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnekle ilgili olarak şöyle görünür:

Başka bir örnek:

O halde nihayet resmi kuralı formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:

Basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

Çözümler:

1) Dahili: ;

Harici: ;

2) Dahili: ;

(Şimdilik kesmeye çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkmaz, hatırladınız mı?)

3) Dahili: ;

Harici: ;

Bunun üç seviyeli karmaşık bir işlev olduğu hemen anlaşılıyor: sonuçta, bu zaten kendi içinde karmaşık bir işlev ve biz de ondan kökü çıkarıyoruz, yani üçüncü eylemi gerçekleştiriyoruz (çikolatayı bir ambalaja koyun) ve evrak çantasında bir kurdeleyle). Ancak korkmanıza gerek yok: Bu işlevi yine de her zamanki gibi aynı sırayla "paketinden çıkaracağız": sondan itibaren.

Yani, önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi farklılaştırıyoruz. Daha sonra hepsini çarpıyoruz.

Bu gibi durumlarda eylemlerin numaralandırılması uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla gerçekleştireceğiz? Bir örneğe bakalım:

Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, karşılık gelen işlev o kadar "harici" olacaktır. Eylem sırası öncekiyle aynıdır:

Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Hareket tarzını belirleyelim.

1. Radikal ifade. .

2. Kök. .

3. Sinüs. .

4. Kare. .

5. Hepsini bir araya getirmek:

TÜREV. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Bir fonksiyonun türevi- argümanın sonsuz küçük bir artışı için fonksiyonun artışının argümanın artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaşma kuralları:

Sabit türev işaretinden çıkarılır:

Toplamın türevi:

Ürünün türevi:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:

1. “İç” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
2. “Harici” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
3. Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.

Ve formülasyonu aşağıdaki gibi olan karmaşık bir fonksiyonun türevine ilişkin teorem:

1) $u=\varphi (x)$ fonksiyonunun bir noktada $x_0$ türevi $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ olsun, 2) $y=f(u)$ fonksiyonu olsun karşılık gelen $u_0=\varphi (x_0)$ noktasında $y_(u)"=f"(u)$ türevine sahiptir. O zaman $y=f\left(\varphi (x) \right)$ karmaşık fonksiyonunun belirtilen noktada aynı zamanda $f(u)$ ve $\varphi ( fonksiyonlarının türevlerinin çarpımına eşit bir türevi olacaktır. x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

veya daha kısa gösterimle: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Bu bölümdeki örneklerde, tüm işlevler $y=f(x)$ biçimindedir (yani, yalnızca $x$ değişkenli işlevleri dikkate alıyoruz). Buna göre, tüm örneklerde $y"$ türevi $x$ değişkenine göre alınır. Türevin $x$ değişkenine göre alındığını vurgulamak için genellikle $y yerine $y"_x$ yazılır. "$.

1, 2 ve 3 numaralı örnekler, karmaşık fonksiyonların türevini bulmaya yönelik ayrıntılı süreci özetlemektedir. 4 No'lu Örnek, türev tablosunun daha kapsamlı anlaşılmasına yöneliktir ve ona aşina olmanız mantıklıdır.

1-3 numaralı örneklerdeki materyali inceledikten sonra, 5, 6 ve 7 numaralı örnekleri bağımsız olarak çözmeye geçmeniz tavsiye edilir. Örnek #5, #6 ve #7, okuyucunun sonucunun doğruluğunu kontrol edebilmesi için kısa bir çözüm içermektedir.

Örnek No.1

$y=e^(\cos x)$ fonksiyonunun türevini bulun.

$y"$ karmaşık fonksiyonunun türevini bulmamız gerekiyor. $y=e^(\cos x)$ olduğundan, $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$ olur. $ \left(e^(\cos x)\right)"$ türevini bulun, türevler tablosundaki 6 numaralı formülü kullanırız. 6 numaralı formülü kullanabilmek için bizim durumumuzda $u=\cos x$ değerini hesaba katmamız gerekiyor. Diğer çözüm, 6 numaralı formülde $u$ yerine $\cos x$ ifadesini basitçe değiştirmekten ibarettir:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Şimdi $(\cos x)"$ ifadesinin değerini bulmamız gerekiyor. Tekrar türevler tablosuna dönüyoruz, oradan 10 numaralı formülü seçiyoruz. 10 numaralı formülü $u=x$ yerine koyarsak, şunu elde ederiz: : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Şimdi, bulunan sonuçla tamamlayarak eşitliğe (1.1) devam edelim:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

$x"=1$ olduğundan eşitliği (1.2) sürdürürüz:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Yani eşitlik (1.3)'ten şunu elde ederiz: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Doğal olarak, açıklamalar ve ara eşitlikler genellikle atlanır ve türevin bulgusu tek satırda yazılır, eşitlikte olduğu gibi ( 1.3) Yani karmaşık bir fonksiyonun türevi bulunmuş, geriye sadece cevabı yazmak kalıyor.

Cevap: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Örnek No.2

$y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ fonksiyonunun türevini bulun.

$y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ türevini hesaplamamız gerekiyor. Başlangıç ​​olarak, sabitin (yani 9 sayısının) türev işaretinden çıkarılabileceğine dikkat edelim:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Şimdi $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ ifadesine dönelim. Türev tablosundan istenilen formülü seçmeyi kolaylaştırmak için ifadeyi sunacağım. bu formda söz konusu olan: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Artık 2 numaralı formülü kullanmanın gerekli olduğu açıktır, yani. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Bu formülde $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ ve $\alpha=12$ yerine koyalım:

Elde edilen sonuçla eşitliği (2.1) tamamladığımızda:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Bu durumda, çözücü ilk adımda formül yerine $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ formülünü seçtiğinde sıklıkla hata yapılır. $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Önemli olan, dış fonksiyonun türevinin önce gelmesi gerektiğidir. Hangi fonksiyonun $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ifadesinin dışında olacağını anlamak için, $\arctg^(12)(4\cdot 5^) ifadesinin değerini hesapladığınızı hayal edin. x)$, $x$ değerinde. Önce $5^x$ değerini hesaplayacaksınız, ardından sonucu 4 ile çarparak $4\cdot 5^x$ elde edeceksiniz. Şimdi bu sonuçtan arktanjantı alıyoruz ve $\arctg(4\cdot 5^x)$ elde ediyoruz. Daha sonra ortaya çıkan sayıyı on ikinci kuvvete yükselterek $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ elde ederiz. Son eylem, yani. 12'nin üssüne yükseltmek harici bir fonksiyon olacaktır. Ve bundan yola çıkarak eşitlik (2.2) ile yapılan türevi bulmaya başlamalıyız.

Şimdi $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ bulmamız gerekiyor. Türevler tablosunun 19 numaralı formülünü kullanırız ve bunun yerine $u=4\cdot \ln x$ koyarız:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x)")"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

$(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$'yi hesaba katarak elde edilen ifadeyi biraz basitleştirelim.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Eşitlik (2.2) artık şu şekilde olacaktır:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \etiket (2.3) $$

Geriye $(4\cdot \ln x)"$ bulmak kalıyor. Türev işaretinden sabiti (yani 4) çıkaralım: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. $(\ln x)"$'ı bulmak için 8 numaralı formülü kullanırız ve bunun yerine $u=x$ koyarız: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. $x"=1$ olduğundan, $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Elde edilen sonucu formül (2.3)'te yerine koyarsak şunu elde ederiz:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Karmaşık bir fonksiyonun türevinin çoğunlukla son eşitlikte yazıldığı gibi tek satırda bulunduğunu hatırlatmama izin verin. Bu nedenle standart hesaplamalar veya kontrol çalışmaları hazırlanırken çözümün bu kadar ayrıntılı tanımlanmasına hiç gerek yoktur.

Cevap: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Örnek No.3

$y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ fonksiyonunun $y"$ değerini bulun.

Öncelikle, radikali (kök) bir kuvvet olarak ifade ederek $y$ fonksiyonunu biraz dönüştürelim: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Şimdi türevi bulmaya başlayalım. $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ olduğundan, o zaman:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Türev tablosundaki 2 numaralı formülü $u=\sin(5\cdot 9^x)$ ve $\alpha=\frac(3)(7)$ yerine koyalım:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Elde edilen sonucu kullanarak eşitliğe (3.1) devam edelim:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Şimdi $(\sin(5\cdot 9^x))"$ bulmamız gerekiyor. Bunun için türevler tablosundaki 9 numaralı formülü kullanıyoruz ve bunun yerine $u=5\cdot 9^x$ koyuyoruz:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Elde edilen sonuçla eşitliği (3.2) tamamladığımızda:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9) ^x)" \tag (3.3) $$

Geriye $(5\cdot 9^x)"$'ı bulmak kalır. Öncelikle, sabiti ($5$ sayısını) türev işaretinin dışına alalım, yani $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9) ^x) "$. $(9^x)"$ türevini bulmak için, türevler tablosunun 5 numaralı formülünü uygulayın ve bunun yerine $a=9$ ve $u=x$ koyun: $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. $x"=1$ olduğundan, $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$ olur. Şimdi eşitliğe (3.3) devam edebiliriz:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9) ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9) ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

$\ şeklinde $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ yazarak tekrar kuvvetlerden radikallere (yani köklere) dönebiliriz. frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Daha sonra türev şu şekilde yazılacaktır:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Cevap: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Örnek No. 4

Türev tablosundaki 3 ve 4 numaralı formüllerin bu tablodaki 2 numaralı formülün özel durumu olduğunu gösterin.

Türev tablosunun 2 numaralı formülü $u^\alpha$ fonksiyonunun türevini içerir. $\alpha=-1$ formül No. 2'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz:

$$(u^(-1)")"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

$u^(-1)=\frac(1)(u)$ ve $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ olduğundan eşitlik (4.1) aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Bu türev tablosunun 3 numaralı formülüdür.

Türev tablosunun 2 numaralı formülüne tekrar dönelim. Bunun içine $\alpha=\frac(1)(2)$ koyalım:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

$u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ve $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) olduğundan )(2))))=\frac(1)(\sqrt(u))$ ise eşitlik (4.2) aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Ortaya çıkan $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ eşitliği, türevler tablosunun 4 numaralı formülüdür. Gördüğünüz gibi türev tablosunun 3 ve 4 numaralı formülleri, 2 numaralı formülden karşılık gelen $\alpha$ değeri değiştirilerek elde ediliyor.

Kompleks türevler. Logaritmik türev.
Bir üstel fonksiyonun türevi

Farklılaştırma tekniğimizi geliştirmeye devam ediyoruz. Bu derste ele aldığımız materyali pekiştireceğiz, daha karmaşık türevlere bakacağız ve ayrıca özellikle logaritmik türev olmak üzere türev bulmaya yönelik yeni teknikler ve püf noktaları hakkında bilgi sahibi olacağız.

Hazırlık düzeyi düşük olan okuyucular makaleye başvurmalıdır. Türevi nasıl bulunur? Çözüm örnekleri Bu da becerilerinizi neredeyse sıfırdan geliştirmenize olanak tanır. Daha sonra sayfayı dikkatlice incelemeniz gerekiyor Karmaşık bir fonksiyonun türevi anla ve çöz Tüm verdiğim örnekler. Bu ders mantıksal olarak arka arkaya üçüncü derstir ve bu konuda uzmanlaştıktan sonra oldukça karmaşık işlevleri güvenle ayırt edeceksiniz. “Başka nerede?” pozisyonunu almak istenmez. Bu kadar yeter!”, çünkü tüm örnekler ve çözümler gerçek testlerden alınmıştır ve pratikte sıklıkla karşılaşılmaktadır.

Tekrarlarla başlayalım. Derste Karmaşık bir fonksiyonun türevi Ayrıntılı yorumlarla birlikte birkaç örneğe baktık. Diferansiyel hesabı ve matematiksel analizin diğer dallarını incelerken, çok sık türev almanız gerekecektir ve örnekleri çok ayrıntılı bir şekilde açıklamak her zaman uygun değildir (ve her zaman gerekli değildir). Bu nedenle sözlü olarak türev bulma alıştırması yapacağız. Bunun için en uygun "adaylar" en basit karmaşık fonksiyonların türevleridir, örneğin:

Karmaşık fonksiyonların farklılaşması kuralına göre :

Gelecekte diğer matan konularını incelerken, bu kadar ayrıntılı bir kayıt çoğu zaman gerekli değildir; öğrencinin bu tür türevleri otomatik pilotta nasıl bulacağını bildiği varsayılır. Farz edelim ki sabah saat 3’te telefon çaldı ve hoş bir ses şöyle sordu: “İki X’in tanjantının türevi nedir?” Bunu neredeyse anında ve kibar bir yanıt takip etmelidir: .

İlk örnek hemen bağımsız bir çözüme yönelik olacaktır.

örnek 1

Aşağıdaki türevleri tek bir işlemle sözlü olarak bulun, örneğin: . Görevi tamamlamak için yalnızca kullanmanız gerekir temel fonksiyonların türevleri tablosu(henüz hatırlamadıysanız). Herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız dersi tekrar okumanızı tavsiye ederim Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Cevaplar dersin sonunda

Karmaşık türevler

Ön topçu hazırlığından sonra, 3-4-5 işlevin iç içe geçtiği örnekler daha az korkutucu olacaktır. Aşağıdaki iki örnek bazılarına karmaşık görünebilir, ancak eğer bunları anlarsanız (birisi acı çekecektir), o zaman diferansiyel hesaptaki hemen hemen her şey bir çocuğun şakası gibi görünecektir.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Daha önce belirtildiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken her şeyden önce gereklidir Sağ Yatırımlarınızı ANLAYIN. Şüphe duyduğunuz durumlarda size faydalı bir tekniği hatırlatırım: Örneğin “x”in deneysel değerini alırız ve bu değeri (zihinsel olarak veya taslakta) “korkunç ifade”ye koymaya çalışırız.

1) Öncelikle toplamın en derin gömülü olduğu anlamına gelen ifadeyi hesaplamamız gerekir.

2) O zaman logaritmayı hesaplamanız gerekir:

4) Daha sonra kosinüsün küpünü alın:

5) Beşinci adımda fark:

6) Ve son olarak en dıştaki fonksiyon kareköktür:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için formül en dıştaki fonksiyondan en içteki fonksiyona doğru ters sırada uygulanır. Biz karar veriyoruz:

Hiçbir hata yok gibi görünüyor...

(1) Karekökün türevini alın.

(2) Kuralı kullanarak farkın türevini alırız

(3) Bir üçlünün türevi sıfırdır. İkinci terimde derecenin (küp) türevini alıyoruz.

(4) Kosinüsün türevini alın.

(5) Logaritmanın türevini alın.

(6) Ve son olarak en derine yerleştirmenin türevini alıyoruz.

Çok zor görünebilir ama bu en acımasız örnek değil. Örneğin Kuznetsov'un koleksiyonunu ele alalım; analiz edilen türevin tüm güzelliğini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Bir öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını anlayıp anlamadığını kontrol etmek için sınavda benzer bir şey vermeyi sevdiklerini fark ettim.

Aşağıdaki örnek kendi başınıza çözmeniz içindir.

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

İpucu: Öncelikle doğrusallık kurallarını ve ürün farklılaştırma kuralını uyguluyoruz

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Daha küçük ve daha güzel bir şeye geçmenin zamanı geldi.
Bir örnekte iki değil üç fonksiyonun çarpımını göstermek alışılmadık bir durum değildir. Üç faktörün çarpımının türevi nasıl bulunur?

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

Öncelikle bakalım, üç fonksiyonun çarpımını iki fonksiyonun çarpımına dönüştürmek mümkün müdür? Örneğin çarpımda iki polinom varsa parantezleri açabiliriz. Ancak söz konusu örnekte tüm işlevler farklıdır: derece, üs ve logaritma.

Bu gibi durumlarda gerekli sıraylaürün farklılaştırma kuralını uygulayın iki kere

İşin püf noktası, "y" ile iki fonksiyonun çarpımını, "ve" ile de logaritmayı belirtmemizdir: . Bu neden yapılabilir? Gerçekten mi – bu iki faktörün bir ürünü değil ve kural işe yaramıyor mu?! Karmaşık bir şey yok:

Şimdi kuralı ikinci kez uygulamaya devam ediyor parantez içine almak için:

Ayrıca bükülebilir ve parantezlerin dışına bir şeyler çıkarabilirsiniz, ancak bu durumda cevabı tam olarak bu formda bırakmak daha iyidir - kontrol edilmesi daha kolay olacaktır.

Ele alınan örnek ikinci şekilde çözülebilir:

Her iki çözüm de kesinlikle eşdeğerdir.

Örnek 5

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bağımsız çözüme bir örnektir; örnekte ilk yöntem kullanılarak çözülür.

Kesirlerle benzer örneklere bakalım.

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Buraya gidebileceğiniz birkaç yol var:

Veya bunun gibi:

Ancak önce bölümün türev alma kuralını kullanırsak çözüm daha kısa bir şekilde yazılacaktır. , payın tamamını alarak:

Prensip olarak örnek çözülmüştür ve olduğu gibi bırakılırsa hata olmayacaktır. Ancak zamanınız varsa, cevabın basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini görmek için her zaman taslağı kontrol etmeniz önerilir. Payın ifadesini ortak bir paydaya indirgeyelim ve hadi üç katlı kesirden kurtulalım:

Ek basitleştirmelerin dezavantajı, türevi bulurken değil, sıradan okul dönüşümleri sırasında hata yapma riskinin olmasıdır. Öte yandan öğretmenler sıklıkla ödevi reddediyor ve türevi “akla getirmesini” istiyorlar.

Kendi başınıza çözebileceğiniz daha basit bir örnek:

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Türevi bulma yöntemlerinde uzmanlaşmaya devam ediyoruz ve şimdi farklılaşma için "korkunç" logaritmanın önerildiği tipik bir durumu ele alacağız.

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanarak uzun bir yol kat edebilirsiniz:

Ancak ilk adım sizi hemen umutsuzluğa sürükler - hoş olmayan türevi kesirli bir kuvvetten ve sonra da bir kesirden almanız gerekir.

Bu yüzden önce"Gelişmiş" bir logaritmanın türevinin nasıl alınacağı, ilk olarak iyi bilinen okul özellikleri kullanılarak basitleştirilmiştir:

! Elinizde bir alıştırma defteriniz varsa, bu formülleri doğrudan oraya kopyalayın. Not defteriniz yoksa bunları bir kağıda kopyalayın çünkü dersin geri kalan örnekleri bu formüller etrafında şekillenecektir.

Çözümün kendisi şöyle yazılabilir:

Fonksiyonu dönüştürelim:

Türevi bulma:

Fonksiyonun önceden dönüştürülmesi çözümü büyük ölçüde basitleştirdi. Bu nedenle, türev için benzer bir logaritma önerildiğinde, her zaman onu "parçalamak" tavsiye edilir.

Şimdi kendi başınıza çözebileceğiniz birkaç basit örnek:

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Tüm dönüşümler ve cevaplar dersin sonundadır.

Logaritmik türev

Logaritmanın türevi bu kadar tatlı müzikse, o zaman şu soru ortaya çıkıyor: Bazı durumlarda logaritmayı yapay olarak düzenlemek mümkün mü? Olabilmek! Ve hatta gerekli.

Örnek 11

Bir fonksiyonun türevini bulun

Yakın zamanda benzer örneklere baktık. Ne yapalım? Bölümün farklılaşma kuralını ve ardından çarpımın farklılaşma kuralını sırayla uygulayabilirsiniz. Bu yöntemin dezavantajı, hiç uğraşmak istemeyeceğiniz devasa bir üç katlı kesirle karşı karşıya kalmanızdır.

Ancak teoride ve pratikte logaritmik türev diye harika bir şey var. Logaritmalar her iki tarafa "asılarak" yapay olarak düzenlenebilir:

Not : Çünkü bir fonksiyon negatif değerler alabilir, o zaman genel olarak konuşursak modülleri kullanmanız gerekir: farklılaşmanın bir sonucu olarak ortadan kaybolacaktır. Bununla birlikte, varsayılan olarak dikkate alınan mevcut tasarım da kabul edilebilir. karmaşık anlamlar. Ancak eğer çok titizse, o zaman her iki durumda da bir çekince yapılmalıdır..

Şimdi sağ tarafın logaritmasını olabildiğince “parçalamanız” gerekiyor (formüller gözlerinizin önünde mi?). Bu süreci çok detaylı bir şekilde anlatacağım:

Farklılaştırmayla başlayalım.
Her iki bölümü de ana başlık altında sonlandırıyoruz:

Sağ tarafın türevi oldukça basit; bu konuda yorum yapmayacağım çünkü bu metni okuyorsanız, bunu kendinizden emin bir şekilde yapabilmeniz gerekir.

Peki sol taraf?

Sol tarafta elimizde karmaşık fonksiyon. “Neden logaritmanın altında bir tane “Y” harfi var?” sorusunu öngörüyorum.

Gerçek şu ki, bu "tek harfli oyun" - KENDİSİ BİR FONKSİYONDUR(çok açık değilse örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi makalesine bakın). Bu nedenle logaritma bir dış fonksiyondur ve “y” bir iç fonksiyondur. Ve karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuralı kullanıyoruz :

Sol tarafta sanki sihirli bir şekilde bir türevimiz var. Daha sonra orantı kuralına göre “y”yi sol taraftaki paydadan sağ tarafın üstüne aktarıyoruz:

Şimdi farklılaşma sırasında nasıl bir “oyuncu” işlevinden bahsettiğimizi hatırlayalım. Şimdi duruma bakalım:

Son cevap:

Örnek 12

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Bu türden bir örneğin örnek tasarımı dersin sonunda yer almaktadır.

Logaritmik türevi kullanarak 4-7 numaralı örneklerden herhangi birini çözmek mümkündü, başka bir şey de oradaki fonksiyonların daha basit olmasıdır ve belki de logaritmik türevin kullanımı pek haklı değildir.

Bir üstel fonksiyonun türevi

Bu fonksiyonu henüz değerlendirmedik. Bir üstel fonksiyon fonksiyonu, bunun için bir fonksiyondur. hem derece hem de taban “x”e bağlıdır. Herhangi bir ders kitabında veya derste size verilecek klasik bir örnek:

Bir üstel fonksiyonun türevi nasıl bulunur?

Az önce tartışılan tekniğin (logaritmik türev) kullanılması gereklidir. Her iki tarafa da logaritma asıyoruz:

Kural olarak, sağ tarafta derece logaritmanın altından çıkarılır:

Sonuç olarak sağ tarafta standart formüle göre farklılaştırılacak iki fonksiyonun çarpımı var. .

Türevi buluyoruz; bunu yapmak için her iki parçayı da konturların altına alıyoruz:

Diğer eylemler basittir:

Nihayet:

Herhangi bir dönüşüm tam olarak anlaşılamıyorsa, lütfen Örnek 11'in açıklamalarını dikkatlice tekrar okuyun.

Pratik görevlerde kuvvet-üstel fonksiyonu her zaman derste ele alınan örnekten daha karmaşık olacaktır.

Örnek 13

Bir fonksiyonun türevini bulun

Logaritmik türevi kullanıyoruz.

Sağ tarafta bir sabitimiz ve iki faktörün çarpımı var - “x” ve “logaritmanın logaritması x” (başka bir logaritma logaritmanın altına yerleştirilmiştir). Hatırladığımız gibi, türev alırken, yolunuza çıkmaması için sabiti hemen türev işaretinin dışına taşımak daha iyidir; ve elbette tanıdık kuralı uyguluyoruz :

Bu dersimizde nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. karmaşık bir fonksiyonun türevi. Ders dersin mantıksal bir devamıdır Türevi nasıl bulunur? En basit türevleri incelediğimiz ve ayrıca türev alma kuralları ve türev bulmanın bazı teknik teknikleri hakkında bilgi edindiğimiz bir ders. Bu nedenle, fonksiyonların türevleri konusunda pek iyi değilseniz veya bu makaledeki bazı noktalar tam olarak anlaşılamadıysa, önce yukarıdaki dersi okuyun. Lütfen ciddi bir ruh hali içine girin - materyal basit değil, ama yine de onu basit ve net bir şekilde sunmaya çalışacağım.

Uygulamada, karmaşık bir fonksiyonun türeviyle çok sık uğraşmanız gerekir, hatta diyebilirim ki, size türevleri bulma görevi verildiğinde hemen hemen her zaman.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuraldaki (No. 5) tabloya bakıyoruz:

Hadi çözelim. Öncelikle girişe dikkat edelim. Burada iki fonksiyonumuz var - ve ve mecazi anlamda konuşursak, fonksiyon, fonksiyonun içinde yuvalanmıştır. Bu tür bir fonksiyona (bir fonksiyon diğerinin içine yerleştirildiğinde) karmaşık fonksiyon denir.

Fonksiyonu çağıracağım harici fonksiyon ve fonksiyon – dahili (veya iç içe geçmiş) fonksiyon.

! Bu tanımlar teorik değildir ve ödevlerin nihai tasarımında yer almamalıdır. Sadece materyali anlamanızı kolaylaştırmak için “dış işlev”, “iç işlev” gibi resmi olmayan ifadeler kullanıyorum.

Durumu açıklığa kavuşturmak için şunları göz önünde bulundurun:

örnek 1

Bir fonksiyonun türevini bulun

Sinüs altında sadece "X" harfi değil, ifadenin tamamı var, dolayısıyla türevi tablodan hemen bulmak işe yaramayacak. Ayrıca ilk dört kuralın burada uygulanmasının imkansız olduğunu da fark ettik, bir fark var gibi görünüyor, ancak gerçek şu ki sinüs "parçalara ayrılamaz":

Bu örnekte, bir fonksiyonun karmaşık bir fonksiyon olduğu ve polinomun bir iç fonksiyon (gömme) ve bir dış fonksiyon olduğu açıklamalarımdan zaten sezgisel olarak açıktır.

İlk adım Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken yapmanız gereken şey Hangi fonksiyonun dahili, hangisinin harici olduğunu anlayın.

Basit örneklerde sinüsün altına bir polinomun gömülü olduğu açıkça görülmektedir. Peki ya her şey açık değilse? Hangi fonksiyonun harici, hangisinin dahili olduğunu doğru bir şekilde nasıl belirleyebilirim? Bunu yapmak için zihinsel olarak veya taslak halinde yapılabilecek aşağıdaki tekniği kullanmanızı öneririm.

İfadenin değerini bir hesap makinesinde hesaplamamız gerektiğini hayal edelim (bir yerine herhangi bir sayı olabilir).

İlk önce neyi hesaplayacağız? Öncelikle aşağıdaki eylemi gerçekleştirmeniz gerekecek: bu nedenle polinom bir iç fonksiyon olacaktır:

ikinci olarak bulunması gerekecek, dolayısıyla sinüs – harici bir fonksiyon olacak:

Bizden sonra HEPSİ SATILDIİç ve dış fonksiyonlarda, karmaşık fonksiyonların farklılaşması kuralını uygulamanın zamanı geldi.

Karar vermeye başlayalım. Sınıftan Türevi nasıl bulunur? herhangi bir türevin çözümünün tasarımının her zaman böyle başladığını hatırlıyoruz - ifadeyi parantez içine alıyoruz ve sağ üst köşeye bir çizgi koyuyoruz:

Başta dış fonksiyonun türevini (sinüs) buluruz, temel fonksiyonların türevleri tablosuna bakarız ve şunu fark ederiz. Tüm tablo formülleri, “x”in karmaşık bir ifadeyle değiştirilmesi durumunda da geçerlidir, bu durumda:

Lütfen iç fonksiyonun değişmedi, dokunmuyoruz.

Peki, oldukça açık ki

Formülün uygulanmasının nihai sonucu şöyle görünür:

Sabit faktör genellikle ifadenin başına yerleştirilir:

Herhangi bir yanlış anlaşılma varsa çözümü bir kağıda yazıp açıklamaları tekrar okuyun.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

Her zaman olduğu gibi şunu yazıyoruz:

Nerede harici bir fonksiyona sahip olduğumuzu ve nerede dahili bir fonksiyona sahip olduğumuzu bulalım. Bunu yapmak için (zihinsel olarak veya taslak halinde) ifadenin değerini hesaplamaya çalışırız. İlk önce ne yapmalısın? Her şeyden önce, tabanın neye eşit olduğunu hesaplamanız gerekir: bu nedenle polinom bir iç fonksiyondur:

Ve ancak o zaman üs alma işlemi gerçekleştirilir, bu nedenle kuvvet fonksiyonu harici bir fonksiyondur:

Formüle göre öncelikle dış fonksiyonun türevini, bu durumda derecesini bulmanız gerekir. Gerekli formülü tabloda arıyoruz: . Bir kez daha tekrarlıyoruz: herhangi bir tablo formülü yalnızca “X” için değil aynı zamanda karmaşık bir ifade için de geçerlidir. Dolayısıyla, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını uygulamanın sonucu aşağıdaki gibidir:

Dış fonksiyonun türevini aldığımızda iç fonksiyonumuzun değişmediğini bir kez daha vurguluyorum:

Şimdi geriye kalan tek şey iç fonksiyonun çok basit bir türevini bulmak ve sonucu biraz değiştirmek:

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonunda verilecektir).

Karmaşık bir fonksiyonun türevine ilişkin anlayışınızı pekiştirmek için yorumsuz bir örnek vereceğim, kendi başınıza anlamaya çalışın, dış fonksiyonun nerede ve iç fonksiyonun nerede olduğunu, görevler neden bu şekilde çözülüyor?

Örnek 5

a) Fonksiyonun türevini bulun

b) Fonksiyonun türevini bulun

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bir kökümüz var ve kökü farklılaştırabilmek için onun bir güç olarak temsil edilmesi gerekiyor. Böylece öncelikle fonksiyonu türev almaya uygun forma getiriyoruz:

Fonksiyonu analiz ettiğimizde, üç terimin toplamının bir iç fonksiyon olduğu, bir güce yükselmenin ise bir dış fonksiyon olduğu sonucuna varıyoruz. Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uyguluyoruz:

Dereceyi yine bir radikal (kök) olarak temsil ediyoruz ve iç fonksiyonun türevi için toplamın türevini almak için basit bir kural uyguluyoruz:

Hazır. Ayrıca ifadeyi parantez içinde ortak bir paydaya indirgeyebilir ve her şeyi bir kesir olarak yazabilirsiniz. Elbette güzel, ancak hantal uzun türevler elde ettiğinizde bunu yapmamak daha iyidir (kafanın karışması, gereksiz bir hata yapılması kolaydır ve öğretmenin kontrol etmesi sakıncalı olacaktır).

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonunda verilecektir).

Bazen karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı yerine bir bölümün türevini alma kuralını kullanabileceğinizi belirtmek ilginçtir. , ancak böyle bir çözüm komik bir sapkınlık gibi görünecektir. İşte tipik bir örnek:

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada bölümün farklılaşma kuralını kullanabilirsiniz ancak karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralı yoluyla türevini bulmak çok daha karlı:

Fonksiyonu türev için hazırlıyoruz - eksiyi türev işaretinden çıkarıyoruz ve kosinüsü paya yükseltiyoruz:

Kosinüs bir iç fonksiyondur, üstel ise harici bir fonksiyondur.
Kuralımızı kullanalım:

Dahili fonksiyonun türevini buluyoruz ve kosinüsü tekrar sıfırlıyoruz:

Hazır. Ele alınan örnekte işaretlerin karıştırılmaması önemlidir. Bu arada kuralı kullanarak çözmeye çalışın , yanıtların eşleşmesi gerekir.

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonunda verilecektir).

Şu ana kadar karmaşık bir fonksiyonda yalnızca bir yuvalamanın olduğu durumlara baktık. Pratik görevlerde, iç içe geçmiş bebekler gibi, 3 veya hatta 4-5 fonksiyonun aynı anda iç içe geçtiği türevleri sıklıkla bulabilirsiniz.

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu fonksiyonun eklerini anlayalım. Deneysel değeri kullanarak ifadeyi hesaplamaya çalışalım. Hesap makinesine nasıl güvenebiliriz?

İlk önce bulmanız gerekir; bu, ark sinüsünün en derin gömme olduğu anlamına gelir:

Bu birin ark sinüsünün karesi alınmalıdır:

Ve son olarak yedinin bir kuvvetini alıyoruz:

Yani, bu örnekte üç farklı fonksiyonumuz ve iki yerleştirmemiz var; en içteki fonksiyon ark sinüs, en dıştaki fonksiyon ise üstel fonksiyondur.

Karar vermeye başlayalım

Kurala göre öncelikle dış fonksiyonun türevini almanız gerekir. Türev tablosuna bakıyoruz ve üstel fonksiyonun türevini buluyoruz: Tek fark, "x" yerine karmaşık bir ifadeye sahip olmamızdır ve bu, bu formülün geçerliliğini ortadan kaldırmaz. Dolayısıyla, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını uygulamanın sonucu aşağıdaki gibidir:

Vuruş altında yine karmaşık bir işlevimiz var! Ama zaten daha basit. İç fonksiyonun ark sinüs, dış fonksiyonun ise derece olduğunu doğrulamak kolaydır. Karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralına göre, önce kuvvetin türevini almanız gerekir.

Buraya geldiğinizden beri muhtemelen bu formülü ders kitabında zaten görmüşsünüzdür.

ve şöyle bir yüz yapın:

Dostum, endişelenme! Aslında her şey çok çirkin. Kesinlikle her şeyi anlayacaksınız. Sadece bir istek - makaleyi okuyun yavaşça, her adımı anlamaya çalışın. Olabildiğince basit ve net yazdım ama yine de fikri anlamanız gerekiyor. Ve makaledeki görevleri çözdüğünüzden emin olun.

Karmaşık fonksiyon nedir?

Başka bir daireye taşındığınızı ve bu nedenle eşyaları büyük kutulara paketlediğinizi hayal edin. Okul yazı malzemeleri gibi bazı küçük eşyaları toplamanız gerektiğini varsayalım. Onları büyük bir kutuya atarsanız, diğer şeylerin arasında kaybolurlar. Bunu önlemek için, önce bunları örneğin bir torbaya koyarsınız, sonra onu büyük bir kutuya koyarsınız ve ardından mühürlersiniz. Bu “karmaşık” süreç aşağıdaki şemada gösterilmektedir:

Görünüşe göre matematiğin bununla ne ilgisi var? Evet, karmaşık bir fonksiyonun TAMAMEN AYNI şekilde oluşmasına rağmen! Sadece defterleri ve kalemleri değil, \(x\) “paketliyoruz”, ancak “paketler” ve “kutular” farklı.

Örneğin, x'i alıp onu bir fonksiyona "paketleyelim":

Sonuç olarak, elbette \(\cos⁡x\) elde ederiz. Bu bizim “şey çantamız”. Şimdi onu bir "kutuya" koyalım - örneğin kübik bir fonksiyona paketleyelim.

Sonunda ne olacak? Evet, doğru, "bir kutuda bir torba eşya" olacak, yani "kosinüs X küp".

Ortaya çıkan tasarım karmaşık bir fonksiyondur. Basit olandan şu bakımdan farklıdır: BİR X'e arka arkaya BİRÇOK "etki" (paket) uygulanır ve sanki “işlevden işlev” - “ambalaj içinde ambalaj” ortaya çıkıyor.

Okul kursunda bu “paketlerin” çok az türü vardır, yalnızca dört tanesi:

Şimdi X'i önce 7 tabanına sahip bir üstel fonksiyona, sonra da bir trigonometrik fonksiyona "paketleyelim". Şunu elde ederiz:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Şimdi x'i iki kez trigonometrik fonksiyonlara "paketleyelim", önce içeri, sonra içeri:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Basit, değil mi?

Şimdi fonksiyonları kendiniz yazın; burada x:
- önce bir kosinüse, ardından \(3\) tabanlı üstel bir fonksiyona "paketlenir";
- önce beşinci kuvvete, sonra da teğete;
- ilk olarak \(4\) tabanının logaritmasına göre , sonra kuvvet \(-2\).

Makalenin sonunda bu görevin cevaplarını bulun.

X'i iki değil üç kez “paketleyebilir miyiz”? Sorun değil! Ve dört, beş ve yirmi beş kere. Örneğin burada x'in \(4\) kez "paketlendiği" bir fonksiyon var:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4))))\)

Ancak bu tür formüller okul uygulamalarında bulunamayacaktır (öğrenciler daha şanslıdır, onlarınki ise daha karmaşık olabilir☺).

Karmaşık bir işlevi "paketten çıkarmak"

Önceki fonksiyona tekrar bakın. “Paketleme” sırasını çözebilir misiniz? X'in ilk önce neye doldurulduğu, sonra ne olduğu vb. sonuna kadar devam eder. Yani hangi fonksiyon hangisinin içinde yuvalanmış? Bir parça kağıt alın ve ne düşündüğünüzü yazın. Bunu yukarıda yazdığımız gibi oklu bir zincirle veya başka bir şekilde yapabilirsiniz.

Şimdi doğru cevap şu: önce x \(4\)'üncü kuvvete "paketlendi", sonra sonuç sinüs şeklinde paketlendi, o da \(2\) tabanına göre logaritmaya yerleştirildi. ve sonunda tüm bu yapı beşli güçlere dolduruldu.

Yani diziyi TERS SİPARİŞTE geri almanız gerekir. Ve işte bunu nasıl daha kolay yapabileceğinize dair bir ipucu: hemen X'e bakın - ondan dans etmelisiniz. Birkaç örneğe bakalım.

Örneğin, şu fonksiyon şöyledir: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). X'e bakıyoruz - önce ona ne olacak? Ondan alınmıştır. Ve daha sonra? Sonucun tanjantı alınır. Sıra aynı olacaktır:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Başka bir örnek: \(y=\cos⁡((x^3))\). Hadi analiz edelim; önce X'in küpünü aldık, sonra sonucun kosinüsünü aldık. Bu, dizinin şöyle olacağı anlamına gelir: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Dikkat edin, işlev ilkine (resimlerin olduğu yer) benziyor. Ancak bu tamamen farklı bir fonksiyondur: burada küpün içinde x var (yani, \(\cos⁡((x·x·x))))\) ve küpün içinde kosinüs \(x\) ( yani, \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Bu fark farklı "paketleme" dizilerinden kaynaklanmaktadır.

Son örnek (içinde önemli bilgiler bulunan): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Burada önce x ile aritmetik işlemler yaptıkları, ardından sonucun sinüsünü aldıkları açıktır: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Ve bu önemli bir noktadır: Aritmetik işlemler kendi başlarına fonksiyon olmamasına rağmen burada aynı zamanda bir “paketleme” yöntemi olarak da hareket ederler. Gelin bu inceliği biraz daha derinlemesine inceleyelim.

Yukarıda söylediğim gibi, basit fonksiyonlarda x bir kez, karmaşık fonksiyonlarda ise iki veya daha fazla "paketlenir". Dahası, basit fonksiyonların (toplamları, farkları, çarpmaları veya bölmeleri) herhangi bir kombinasyonu da basit bir fonksiyondur. Örneğin, \(x^7\) basit bir fonksiyondur ve \(ctg x\) de öyle. Bu, tüm kombinasyonlarının basit işlevler olduğu anlamına gelir:

\(x^7+ ctg x\) - basit,
\(x^7· cot x\) – basit,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – basit, vb.

Ancak böyle bir kombinasyona bir fonksiyon daha uygulanırsa iki “paket” olacağından karmaşık bir fonksiyon haline gelecektir. Diyagrama bakın:

Tamam, şimdi devam et. “Sarma” fonksiyonlarının sırasını yazın:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Cevaplar yine yazının sonunda.

İç ve dış işlevler

Neden işlev yerleştirmeyi anlamamız gerekiyor? Bu bize ne sağlıyor? Gerçek şu ki, böyle bir analiz olmadan yukarıda tartışılan fonksiyonların türevlerini güvenilir bir şekilde bulamayız.

Devam etmek için iki kavrama daha ihtiyacımız olacak: iç ve dış işlevler. Bu çok basit bir şey, üstelik bunları yukarıda zaten analiz etmiştik: En baştaki benzetmemizi hatırlarsak, o zaman iç fonksiyon bir "paket", dış fonksiyon ise bir "kutu" dur. Onlar. X'in ilk olarak "sarıldığı" şey bir iç fonksiyondur ve dahili fonksiyonun "sarıldığı" şey zaten haricidir. Neden olduğu açık - dışarıda, bu da dış anlamına geliyor.

Bu örnekte: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), \(\log_2⁡x\) işlevi dahilidir ve
- harici.

Ve bunda: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) dahilidir ve
- harici.

Karmaşık fonksiyonların analizine ilişkin son uygulamayı tamamlayın ve sonunda hepimizin başladığı noktaya geçelim; karmaşık fonksiyonların türevlerini bulacağız:

Tablodaki boşlukları doldurun:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Bravo, nihayet bu konunun "patronuna" ulaştık - aslında karmaşık bir fonksiyonun türevine ve özellikle de makalenin başındaki o çok korkunç formüle.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Bu formül şu şekilde okunur:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi, dış fonksiyonun sabit bir iç fonksiyona göre türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.

Ve ne olduğunu anlamak için hemen "kelime kelime" ayrıştırma şemasına bakın:

“Türev” ve “ürün” tabirlerinin sıkıntı yaratmamasını diliyorum. “Karmaşık fonksiyon” - bunu zaten çözdük. İşin püf noktası "bir dış fonksiyonun sabit bir iç fonksiyona göre türevi"dir. Ne olduğunu?

Cevap: Bu, yalnızca dış fonksiyonun değiştiği ve iç fonksiyonun aynı kaldığı bir dış fonksiyonun olağan türevidir. Hala net değil mi? Tamam, bir örnek kullanalım.

Bir \(y=\sin⁡(x^3)\) fonksiyonumuz olsun. Buradaki iç fonksiyonun \(x^3\) olduğu ve dış fonksiyonun olduğu açıktır.
. Şimdi dış kısmın sabit iç bölgeye göre türevini bulalım.