Düz çizgiler arasındaki açı. Düzlemdeki düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler. Çizgilerin göreceli konumu. Çizgiler arasındaki açı Düz bir çizgiye göre simetrik bir düz çizginin denklemi

Oh-oh-oh-oh-oh... yani, sanki kendi kendine bir cümle okuyormuş gibi zor =) Ancak rahatlamanın daha sonra faydası olacak, özellikle bugün uygun aksesuarları aldığım için. Bu nedenle ilk bölüme geçelim, umarım yazının sonunda neşeli ruh halimi korurum.

İki düz çizginin göreceli konumu

Seyircinin koro halinde şarkı söylemesi böyle bir durumdur. İki düz çizgi şunları yapabilir:

1) maç;

2) paralel olun: ;

3) veya tek bir noktada kesişir: .

Aptallar için yardım : Lütfen matematiksel kesişim işaretini unutmayın, çok sık görünecektir. Gösterim, çizginin çizgiyle noktasında kesiştiği anlamına gelir.

İki çizginin göreceli konumu nasıl belirlenir?

İlk durumla başlayalım:

İki doğru ancak ve ancak karşılık gelen katsayıları orantılıysa çakışır, yani eşitlikleri sağlayacak şekilde bir "lambda" sayısı vardır

Düz çizgileri ele alalım ve karşılık gelen katsayılardan üç denklem oluşturalım: . Her denklemden bu nedenle bu çizgilerin çakıştığı sonucu çıkar.

Aslında denklemin tüm katsayıları -1 ile çarpın (işaretleri değiştirin) ve denklemin tüm katsayıları 2'ye bölerseniz aynı denklemi elde edersiniz: .

Doğruların paralel olduğu ikinci durum:

İki doğru ancak ve ancak değişkenlerin katsayıları orantılı ise paraleldir: , Ancak .

Örnek olarak iki düz çizgiyi ele alalım. Değişkenler için karşılık gelen katsayıların orantılılığını kontrol ediyoruz:

Ancak şu çok açık ki.

Ve üçüncü durum, çizgiler kesiştiğinde:

İki doğru ancak ve ancak değişkenlere ait katsayılar orantılı OLMADIĞINDA kesişir, yani eşitliklerin sağladığı böyle bir “lambda” değeri YOKTUR

Yani düz çizgiler için bir sistem oluşturacağız:

İlk denklemden şu çıkar ve ikinci denklemden: , bu da sistemin tutarsız olduğu anlamına gelir (çözüm yoktur). Dolayısıyla değişkenlerin katsayıları orantılı değildir.

Sonuç: çizgiler kesişiyor

Pratik problemlerde az önce tartışılan çözüm şemasını kullanabilirsiniz. Bu arada, Vektörlerin doğrusal bağımlılığı (olmayan) kavramı dersinde tartıştığımız, vektörlerin eşdoğrusallık açısından kontrol edilmesine yönelik algoritmayı çok anımsatıyor. Vektörlerin temeli. Ancak daha medeni bir paketleme var:

örnek 1

Çizgilerin göreceli konumunu öğrenin:

Çözüm, düz çizgilerin yön vektörlerinin incelenmesine dayanmaktadır:

a) Denklemlerden doğruların yön vektörlerini buluruz: .

Bu, vektörlerin eşdoğrusal olmadığı ve çizgilerin kesiştiği anlamına gelir.

Her ihtimale karşı, kavşaklara işaretli bir taş koyacağım:

Geri kalanlar taşın üzerinden atlar ve doğrudan Ölümsüz Kashchei'ye kadar takip eder =)

b) Doğruların yön vektörlerini bulun:

Çizgiler aynı yön vektörüne sahiptir, yani paralel veya çakışıktırlar. Burada belirleyiciyi saymaya gerek yok.

Bilinmeyenlerin katsayılarının orantılı olduğu açıktır.

Eşitliğin doğru olup olmadığını öğrenelim:

Böylece,

c) Doğruların yön vektörlerini bulun:

Bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım:
dolayısıyla yön vektörleri eşdoğrusaldır. Çizgiler ya paraleldir ya da çakışıktır.

Orantılılık katsayısı “lambda”yı doğrudan doğrusal yön vektörlerinin oranından görmek kolaydır. Ancak denklemlerin katsayıları aracılığıyla da bulunabilir: .

Şimdi eşitliğin doğru olup olmadığını öğrenelim. Her iki serbest terim de sıfırdır, dolayısıyla:

Ortaya çıkan değer bu denklemi karşılar (genel olarak herhangi bir sayı bunu karşılar).

Böylece çizgiler çakışıyor.

Cevap :

Çok yakında, sözlü olarak tartışılan sorunu birkaç saniye içinde tam anlamıyla çözmeyi öğreneceksiniz (ya da zaten öğrenmişsinizdir). Bu bağlamda, bağımsız bir çözüm için herhangi bir şey önermenin bir anlamı görmüyorum, geometrik temele bir önemli tuğla daha koymak daha iyidir:

Belirli bir çizgiye paralel bir çizgi nasıl oluşturulur?

Bu en basit görevin cehaleti nedeniyle Soyguncu Bülbül ağır şekilde cezalandırır.

Örnek 2

Düz çizgi denklemle verilir. Bu noktadan geçen paralel doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm: Bilinmeyen satırı harfle gösterelim. Durumu onun hakkında ne söylüyor? Düz çizgi noktadan geçer. Ve eğer çizgiler paralelse, o zaman "tse" düz çizgisinin yön vektörünün de "de" düz çizgisini oluşturmak için uygun olduğu açıktır.

Yön vektörünü denklemden çıkarıyoruz:

Cevap :

Örnek geometri basit görünüyor:

Analitik testler aşağıdaki adımlardan oluşur:

1) Çizgilerin aynı yön vektörüne sahip olup olmadığını kontrol ederiz (doğrunun denklemi doğru şekilde basitleştirilmezse vektörler aynı doğrultuda olacaktır).

2) Noktanın sonuç denklemini karşılayıp karşılamadığını kontrol edin.

Çoğu durumda analitik testler sözlü olarak kolaylıkla yapılabilir. İki denkleme bakın; çoğunuz herhangi bir çizim yapmadan çizgilerin paralelliğini hızlı bir şekilde belirleyeceksiniz.

Bugün bağımsız çözüm örnekleri yaratıcı olacaktır. Çünkü yine de Baba Yaga ile rekabet etmek zorunda kalacaksın ve o, biliyorsun, her türlü bilmeceyi seviyor.

Örnek 3

Doğruya paralel bir noktadan geçen doğrunun denklemini yazınız.

Bunu çözmenin hem rasyonel hem de rasyonel olmayan bir yolu var. En kısa yol dersin sonudur.

Paralel çizgilerle biraz çalıştık, onlara daha sonra döneceğiz. Çizgilerin çakışması durumu pek ilgimizi çekmiyor, o yüzden okul müfredatından çok aşina olduğunuz bir problemi ele alalım:

İki doğrunun kesişme noktası nasıl bulunur?

Düz ise noktada kesişiyorsa koordinatları doğrusal denklem sisteminin çözümüdür

Çizgilerin kesişme noktası nasıl bulunur? Sistemi çözün.

İşte iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sisteminin geometrik anlamı: bunlar bir düzlemde kesişen (çoğunlukla) iki çizgidir.

Örnek 4

Çizgilerin kesişme noktasını bulun

Çözüm: Çözmenin iki yolu vardır; grafiksel ve analitik.

Grafiksel yöntem, verilen çizgileri basitçe çizmek ve kesişim noktasını doğrudan çizimden bulmaktır:

İşte konumuz: . Kontrol etmek için, koordinatlarını çizginin her denklemine koymalısınız, hem oraya hem de oraya sığmalıdırlar. Başka bir deyişle bir noktanın koordinatları sistemin çözümüdür. Temel olarak, iki denklemli ve iki bilinmeyenli bir doğrusal denklem sistemini çözmenin grafiksel bir yoluna baktık.

Grafiksel yöntem elbette kötü değil, ancak gözle görülür dezavantajlar var. Hayır, mesele yedinci sınıf öğrencilerinin bu şekilde karar vermesi değil, mesele doğru ve DOĞRU bir çizim oluşturmanın zaman alacağıdır. Ek olarak, bazı düz çizgilerin inşa edilmesi o kadar kolay değildir ve kesişme noktasının kendisi defter sayfasının dışında otuzuncu krallıkta bir yerde bulunabilir.

Bu nedenle kesişme noktasını analitik bir yöntem kullanarak aramak daha uygundur. Sistemi çözelim:

Sistemi çözmek için denklemlerin terim terim eklenmesi yöntemi kullanıldı. İlgili becerileri geliştirmek için Denklem sistemi nasıl çözülür? dersini ziyaret edin.

Cevap :

Kontrol önemsizdir; kesişme noktasının koordinatları sistemin her denklemini karşılamalıdır.

Örnek 5

Doğrular kesişiyorsa kesişme noktasını bulun.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Görevi birkaç aşamaya bölmek uygundur. Durumun analizi bunun gerekli olduğunu göstermektedir:
1) Doğrunun denklemini yazınız.
2) Doğrunun denklemini yazınız.
3) Çizgilerin göreceli konumunu bulun.
4) Doğrular kesişiyorsa kesişme noktasını bulun.

Bir eylem algoritmasının geliştirilmesi birçok geometrik problem için tipiktir ve ben buna defalarca odaklanacağım.

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap:

Dersin ikinci bölümüne geldiğimizde bir çift ayakkabı bile eskimemişti:

Dikey çizgiler. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.
Düz çizgiler arasındaki açı

Tipik ve çok önemli bir görevle başlayalım. İlk bölümde buna paralel bir düz çizginin nasıl inşa edileceğini öğrendik ve şimdi tavuk budu üzerindeki kulübe 90 derece dönecek:

Belirli bir çizgiye dik bir çizgi nasıl oluşturulur?

Örnek 6

Düz çizgi denklemle verilir. Bu noktadan geçen doğruya dik olan denklemi yazınız.

Çözüm: Koşullu olarak biliniyor. Çizginin yönlendirici vektörünü bulmak güzel olurdu. Çizgiler dik olduğundan işin püf noktası basit:

Denklemden, düz çizginin yönlendirici vektörü olacak normal vektörü "kaldırıyoruz".

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım:

Cevap :

Geometrik çizimi genişletelim:

Hımmm... Turuncu gökyüzü, turuncu deniz, turuncu deve.

Çözümün analitik doğrulaması:

1) Denklemlerden yön vektörlerini çıkarıyoruz ve vektörlerin skaler çarpımını kullanarak çizgilerin gerçekten dik olduğu sonucuna varıyoruz: .

Bu arada normal vektörleri kullanabilirsiniz, daha da kolay.

2) Noktanın sonuç denklemini karşılayıp karşılamadığını kontrol edin .

Testin sözlü olarak yapılması yine kolaydır.

Örnek 7

Denklem biliniyorsa dik doğruların kesişme noktasını bulun ve dönem.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Problemde çeşitli eylemler vardır, bu nedenle çözümü nokta nokta formüle etmek uygundur.

Heyecan verici yolculuğumuz devam ediyor:

Noktadan çizgiye mesafe

Önümüzde düz bir nehir şeridi var ve görevimiz ona en kısa yoldan ulaşmak. Hiçbir engel yok ve en uygun rota dikey olarak hareket etmek olacaktır. Yani bir noktadan bir çizgiye olan mesafe, dik parçanın uzunluğudur.

Geometride mesafe geleneksel olarak Yunanca “rho” harfiyle gösterilir, örneğin: – “em” noktasından “de” düz çizgisine olan mesafe.

Noktadan çizgiye mesafe formülle ifade edilir

Örnek 8

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulun

Çözüm: Tek yapmanız gereken sayıları formülde dikkatlice yerine koymak ve hesaplamaları yapmaktır:

Cevap :

Çizimi yapalım:

Noktadan çizgiye olan mesafe tam olarak kırmızı parçanın uzunluğu kadardır. Kareli kağıda 1 birim ölçekte bir çizim çizerseniz. = 1 cm (2 hücre) ise mesafe sıradan bir cetvelle ölçülebilir.

Aynı çizime dayalı başka bir görevi ele alalım:

Görev, düz çizgiye göre noktaya simetrik olan bir noktanın koordinatlarını bulmaktır. . Adımları kendiniz gerçekleştirmenizi öneririm, ancak çözüm algoritmasını ara sonuçlarla birlikte özetleyeceğim:

1) Doğruya dik olan bir doğru bulun.

2) Doğruların kesişme noktasını bulun: .

Her iki eylem de bu derste ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

3) Nokta, doğru parçasının orta noktasıdır. Ortanın ve uçlardan birinin koordinatlarını biliyoruz. Parçanın orta noktasının koordinatları için formülleri kullanarak şunu buluruz:

Mesafenin de 2,2 birim olduğunu kontrol etmek iyi bir fikir olacaktır.

Burada hesaplamalarda zorluklar ortaya çıkabilir, ancak bir mikro hesap makinesi kulede çok yardımcı olur ve sıradan kesirleri hesaplamanıza olanak tanır. Size defalarca tavsiyede bulundum ve yine tavsiye edeceğim.

İki paralel çizgi arasındaki mesafe nasıl bulunur?

Örnek 9

İki paralel çizgi arasındaki mesafeyi bulun

Bu da kendi başınıza karar vermeniz için başka bir örnek. Size küçük bir ipucu vereceğim: Bunu çözmenin sonsuz sayıda yolu var. Dersin sonunda bilgilendirme, ancak kendi başınıza tahmin etmeye çalışmak daha iyidir, bence yaratıcılığınız oldukça gelişmiştir.

İki düz çizgi arasındaki açı

Her köşe bir pervazdır:

Geometride, iki düz çizgi arasındaki açı DAHA KÜÇÜK açı olarak alınır ve bundan otomatik olarak geniş olamayacağı sonucu çıkar. Şekilde kırmızı yay ile gösterilen açı, kesişen doğrular arasındaki açı olarak kabul edilmemektedir. Ve onun “yeşil” komşusu veya zıt yönlü"ahududu" köşesi.

Doğrular birbirine dik ise 4 açıdan herhangi biri aralarındaki açı olarak alınabilir.

Açılar nasıl farklı? Oryantasyon. İlk olarak, açının "kaydırıldığı" yön temel olarak önemlidir. İkinci olarak, negatif yönlü bir açı eksi işaretiyle yazılır, örneğin eğer .

Bunu sana neden söyledim? Görünüşe göre alışılagelmiş açı kavramıyla idare edebiliriz. Gerçek şu ki, açıları bulacağımız formüller kolaylıkla olumsuz sonuçla sonuçlanabiliyor ve bu sizi şaşırtmamalı. Eksi işaretli bir açı daha da kötü değildir ve çok özel bir geometrik anlamı vardır. Çizimde negatif açı için yönünü bir okla (saat yönünde) belirttiğinizden emin olun.

İki düz çizgi arasındaki açı nasıl bulunur? İki çalışma formülü vardır:

Örnek 10

Çizgiler arasındaki açıyı bulun

Çözüm ve Birinci Yöntem

Genel formdaki denklemlerle tanımlanan iki düz çizgiyi ele alalım:

Çizgiler dik değilse odaklı Aralarındaki açı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Paydaya çok dikkat edelim - bu tam olarak doğruların yön vektörlerinin skaler çarpımıdır:

Eğer öyleyse, formülün paydası sıfır olur ve vektörler dik, çizgiler dik olur. Bu nedenle formülasyonda düz çizgilerin dik olmaması konusunda bir çekince konulmuştur.

Yukarıdakilere dayanarak çözümü iki adımda resmileştirmek uygundur:

1) Doğruların yön vektörlerinin skaler çarpımını hesaplayalım:
Bu, çizgilerin dik olmadığı anlamına gelir.

2) Aşağıdaki formülü kullanarak düz çizgiler arasındaki açıyı bulun:

Ters fonksiyonu kullanarak açının kendisini bulmak kolaydır. Bu durumda arktanjantın tuhaflığını kullanırız (bkz. Grafikler ve temel fonksiyonların özellikleri):

Cevap :

Cevabınızda, hesap makinesi kullanılarak hesaplanan kesin değerin yanı sıra yaklaşık değeri de (tercihen hem derece hem de radyan cinsinden) belirtiyoruz.

Eksi, eksi, pek de önemli değil. İşte geometrik bir çizim:

Açının negatif bir yönelime sahip olması şaşırtıcı değildir, çünkü problem ifadesinde ilk sayı düz bir çizgidir ve açının "gevşetilmesi" tam olarak onunla başlamıştır.

Gerçekten pozitif bir açı elde etmek istiyorsanız çizgileri değiştirmeniz, yani ikinci denklemdeki katsayıları almanız gerekir. ve ilk denklemin katsayılarını alın. Kısacası, doğrudan başlamanız gerekir. .

Temmuz 2020'de NASA, Mars'a bir keşif gezisi başlatacak. Uzay aracı, Mars'a tüm kayıtlı keşif katılımcılarının adlarının yer aldığı elektronik bir ortam sunacak.

Bu gönderi sorununuzu çözdüyse veya beğendiyseniz, bağlantıyı sosyal ağlarda arkadaşlarınızla paylaşın.

Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketlerin arasına ve/veya etiketin hemen sonrasına yapıştırılması gerekir. İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yükleniyor ve sayfayı daha az yavaşlatıyor. Ancak ikinci seçenek MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu girerseniz sayfalar daha yavaş yüklenir ancak sürekli MathJax güncellemelerini takip etmenize gerek kalmaz.

MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol paneline, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıda sunulan indirme kodunun birinci veya ikinci sürümünü buraya kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin şablonun başına (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç de gerekli değil). Bu kadar. Artık MathML, LaTeX ve ASCIIMathML'in işaretleme sözdizimini öğrenin ve sitenizin web sayfalarına matematiksel formüller eklemeye hazırsınız.

Yine bir yılbaşı gecesi... ayaz hava ve pencere camındaki kar taneleri... Bütün bunlar beni tekrar yazmaya sevk etti... fraktallar ve Wolfram Alpha'nın bu konuda bildikleri. Bu konuyla ilgili iki boyutlu fraktal yapı örneklerini içeren ilginç bir makale var. Burada üç boyutlu fraktalların daha karmaşık örneklerine bakacağız.

Bir fraktal, ayrıntıları orijinal şeklin kendisiyle aynı şekle sahip olan geometrik bir şekil veya cisim (her ikisinin de bir küme, bu durumda bir dizi nokta olduğu anlamına gelir) olarak görsel olarak temsil edilebilir (tanımlanabilir). Yani bu, ayrıntılarını incelediğimizde büyütüldüğünde büyütülmeden aynı şekli göreceğimiz, kendine benzeyen bir yapıdır. Oysa sıradan bir geometrik şekil (fraktal değil) durumunda, büyütüldüğünde orijinal şeklin kendisinden daha basit bir şekle sahip detayları göreceğiz. Örneğin, yeterince yüksek bir büyütmede elipsin bir kısmı düz bir çizgi parçası gibi görünür. Fraktallarda bu olmaz: Fraktallardaki herhangi bir artışla, her artışta tekrar tekrar tekrarlanacak olan aynı karmaşık şekli tekrar göreceğiz.

Fraktal biliminin kurucusu Benoit Mandelbrot, Fraktallar ve Bilim Adına Sanat adlı makalesinde şöyle yazmıştı: "Fraktallar, genel formları kadar ayrıntılarıyla da karmaşık olan geometrik şekillerdir. bütün boyutuna kadar büyütülecek, ya tam olarak ya da belki biraz deformasyonla bir bütün olarak görünecektir."

Uzaydaki düz bir çizgi her zaman paralel olmayan iki düzlemin kesişme çizgisi olarak tanımlanabilir. Bir düzlemin denklemi ikinci düzlemin denklemi ise doğrunun denklemi şu şekilde verilir:

Burada doğrusal olmayan
. Bu denklemlere denir genel denklemler düz uzayda.

Doğrunun kanonik denklemleri

Belirli bir doğru üzerinde veya ona paralel uzanan sıfırdan farklı herhangi bir vektöre bu doğrunun yön vektörü denir.

Konu biliniyorsa
düz çizgi ve yön vektörü
, o zaman doğrunun kanonik denklemleri şu şekle sahiptir:

. (9)

Bir doğrunun parametrik denklemleri

Doğrunun kanonik denklemleri verilsin

Buradan doğrunun parametrik denklemlerini elde ederiz:

(10)

Bu denklemler bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktasını bulmak için kullanışlıdır.

İki noktadan geçen çizginin denklemi
Ve
şu forma sahiptir:

Düz çizgiler arasındaki açı

yön vektörleri arasındaki açıya eşittir. Bu nedenle formül (4) kullanılarak hesaplanabilir:

Paralel doğruların koşulu:

Düzlemlerin dik olma koşulu:

Bir noktanın bir çizgiye uzaklığı

P diyelim ki nokta verildi
ve düz

Doğrunun kanonik denklemlerinden noktayı biliyoruz
bir doğruya ait olan ve onun yön vektörü
. Daha sonra noktanın uzaklığı
düz bir çizgiden itibaren vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın yüksekliğine eşittir Ve
. Buradan,

Çizgilerin kesişme koşulu

İki paralel olmayan çizgi

ancak ve ancak şu durumda kesişir

Düz bir çizginin ve bir düzlemin göreceli konumu.

Düz çizgi verilsin
ve uçak. Köşe aralarındaki formülle bulunabilir

Problem 73. Doğrunun kanonik denklemlerini yazın

(11)

Çözüm. (9) doğrusuna ait kanonik denklemlerin yazılabilmesi için, doğruya ait herhangi bir noktanın ve doğrunun yön vektörünün bilinmesi gerekmektedir.

Vektörü bulalım , bu doğruya paralel. Bu düzlemlerin normal vektörlerine dik olması gerektiğinden, yani.

,
, O

Düz çizginin genel denklemlerinden şunu elde ederiz:
,
. Daha sonra

noktadan beri
Bir çizgi üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları çizginin denklemlerini karşılamalıdır ve bunlardan biri belirtilebilir, örneğin,
, diğer iki koordinatı sistemden (11) buluyoruz:

Buradan,
.

Böylece istenen çizginin kanonik denklemleri şu şekildedir:

veya
.

Sorun 74.

Ve
.

Çözüm.İlk doğrunun kanonik denklemlerinden noktanın koordinatları bilinmektedir.
doğruya ait ve yön vektörünün koordinatları
. İkinci doğrunun kanonik denklemlerinden noktanın koordinatları da bilinmektedir.
ve yön vektörünün koordinatları
.

Paralel çizgiler arasındaki mesafe noktanın mesafesine eşittir
ikinci düz çizgiden. Bu mesafe formülle hesaplanır

Vektörün koordinatlarını bulalım
.

Vektör çarpımını hesaplayalım
:

Sorun 75. Bir nokta bulun simetrik nokta
nispeten düz

Çözüm. Verilen bir doğruya dik olan ve bir noktadan geçen düzlemin denklemini yazalım. . Normal vektörü olarak düz bir çizginin yönlendirici vektörünü alabilirsiniz. Daha sonra
. Buradan,

Hadi bir nokta bulalım
bu doğru ile P düzleminin kesişme noktası. Bunu yapmak için denklemleri (10) kullanarak doğrunun parametrik denklemlerini yazıyoruz, şunu elde ediyoruz:

Buradan,
.

İzin vermek
noktaya simetrik nokta
bu çizgiye göre. Sonra işaret et
orta nokta
. Bir noktanın koordinatlarını bulmak için Segmentin orta noktasının koordinatları için formülleri kullanıyoruz:

,
,
.

Bu yüzden,
.

Problem 76. Bir doğrudan geçen düzlemin denklemini yazın
Ve

a) bir noktadan geçerek
;

b) düzleme dik.

Çözüm. Bu doğrunun genel denklemlerini yazalım. Bunu yapmak için iki eşitliği göz önünde bulundurun:

Bu, istenilen düzlemin jeneratörlü bir düzlemler demetine ait olduğu ve denkleminin (8) formunda yazılabileceği anlamına gelir:

a) Hadi bulalım
Ve uçağın bu noktadan geçmesi durumundan
bu nedenle koordinatları düzlemin denklemini karşılamalıdır. Noktanın koordinatlarını yerine koyalım
bir grup düzlemin denklemine:

Bulunan değer
Bunu denklem (12)'de yerine koyalım. istenen düzlemin denklemini elde ederiz:

b) Hadi bulalım
Ve İstenilen düzlemin düzleme dik olması koşulundan. Belirli bir düzlemin normal vektörü
, istenen düzlemin normal vektörü (bir grup düzlemin denklemine bakınız (12).