Matematikte okul çocukları için Tüm Rusya Olimpiyatının okul aşaması için görevler. Matematik Olimpiyatları ve Olimpiyat sorunları Nikolay 96 sayfalık genel bir defter aldı

Sorun 16:

25 rubleyi 1, 3 ve 5 rublelik on fatura ile değiştirmek mümkün müdür? Çözüm:

Cevap: Hayır

Petya 96 sayfalık genel bir defter satın aldı ve tüm sayfalarını 1'den 192'ye kadar numaralandırdı. Vasya bu defterden 25 sayfa kopardı ve üzerlerinde yazılı olan 50 sayının hepsini ekledi. 1990 olabilir miydi? Çözüm:

Her sayfada sayfa numaralarının toplamı tek, 25 tek sayının toplamı tektir.

22 tamsayının çarpımı 1'dir. Toplamlarının sıfır olmadığını kanıtlayın. Çözüm:

Bu sayılar arasında bir çift sayı "eksi birler" vardır ve toplamın sıfıra eşit olması için tam olarak 11 tane olması gerekir.

İlk 36 asal sayıdan sihirli kare yapmak mümkün müdür? Çözüm:

Bu sayılardan biri (2) çift, diğerleri tektir. Dolayısıyla ikisinin olduğu doğruda sayıların toplamı tek, diğerlerinde çifttir.

1'den 10'a kadar sayılar arka arkaya yazılır.Sonuçtaki ifadenin değeri sıfıra eşit olacak şekilde aralarına "+" ve "-" işaretleri koymak mümkün müdür?

Not: Negatif sayıların da çift ve tek olabileceğini lütfen unutmayın. Çözüm:

Nitekim 1'den 10'a kadar olan sayıların toplamı 55'tir ve içindeki işaretleri değiştirerek tüm ifadeyi çift sayıya çevirmiş oluyoruz.

Çekirge düz bir çizgide atlar ve ilk kez bir yönde 1 cm, ikinci kez - 2 cm, vb. 1985 atlayışlarından sonra başladığı yere geri dönemeyeceğini kanıtlayın. Çözüm:

Not: 1 + 2 +… + 1985 toplamı tektir.

Tahtaya 1, 2, 3,…, 1984, 1985 sayıları yazılır.Herhangi iki sayı tahtadan silinip, yerine farklarının mutlak değeri yazılabilir. Sonunda, tahtada bir numara kalacak. sıfır olabilir mi? Çözüm:

Yukarıdaki işlemlerin tahtaya yazılan tüm sayıların toplamının paritesini değiştirmediğini kontrol edin.

Bir satranç tahtasını sadece a1 ve h8 hücrelerinin serbest kalması için 1 × 2 domino ile kaplamak mümkün müdür? Çözüm:

Her domino bir siyah ve bir beyaz kareyi kaplar ve a1 ve h8 kareleri çıkarıldığında siyah kareler beyaz karelerden 2 eksik kalır.

17 basamaklı sayıya, aynı basamaklarda ancak ters sırada yazılan sayı eklendi. Alınan toplamın en az bir basamağının çift olduğunu kanıtlayın. Çözüm:

İki durumu ele alalım: sayının ilk ve son rakamlarının toplamı 10'dan küçük ve sayının ilk ve son rakamlarının toplamı 10'dan az değil. Toplamın tüm rakamlarının tek olduğunu varsayarsak , o zaman ilk durumda rakamlarda tek bir tireleme olmamalıdır (ki bu açıkça bir çelişkiye yol açar) ve ikinci durumda, sağdan sola veya soldan sağa hareket ederken transferin varlığı ile dönüşümlüdür transferin olmaması ve sonuç olarak dokuzuncu basamaktaki toplam basamağın mutlaka çift olduğunu elde ederiz.

Halkın kadrosunda 100 kişi var ve her akşam üçü göreve gidiyor. Herkesin tam olarak bir kez görevde olduğu bir süre sonra ortaya çıkabilir mi? Çözüm:

Bu kişinin katıldığı her saatte, diğer iki kişiyle birlikte görevde olduğundan, geri kalan her şey çiftlere ayrılabilir. Ancak 99 tek sayıdır.

AB doğru parçasının dışında kalan doğru üzerinde işaretlenmiş 45 nokta vardır. Bu noktalardan A noktasına olan mesafelerin toplamının, bu noktalardan B noktasına olan mesafelerin toplamına eşit olmadığını kanıtlayın. Çözüm:

AB'nin dışında kalan herhangi bir X noktası için AX - BX = ± AB'ye sahibiz. Uzaklıkların toplamının eşit olduğunu varsayarsak, 45 terimin dahil olduğu ± AB ± AB ±… ± AB ifadesinin sıfıra eşit olduğunu elde ederiz. Ama bu gerçek dışı.

Bir daire içinde 9 sayı vardır - 4 birlik ve 5 sıfır. Sayılar üzerinde her saniye şu işlem yapılır: Bitişik sayıların arasına farklıysa sıfır, eşitse bir konur; bundan sonra eski numaralar silinir. Tüm sayılar bir süre sonra aynı olabilir mi? Çözüm:

Dokuz sıfırdan önceki dokuz birlik kombinasyonunun elde edilemeyeceği açıktır. Dokuz sıfır varsa, o zaman önceki hamlede sıfırlar ve birler değişmek zorundaydı, bu imkansız, çünkü yalnızca tek sayıda var.

25 erkek ve 25 kız yuvarlak bir masada oturuyor. Masada oturanlardan birinin iki erkek çocuğa sahip olduğunu kanıtlayın. Çözüm:

Kanıtımızı çelişki ile yapalım. Masadaki herkesi bir yerden başlayarak sırayla numaralandıralım. Bir erkek k. sırada oturuyorsa, kızların (k - 2) -th ve (k + 2) -th sıralarında oturduğu açıktır. Fakat kız ve erkek sayıları eşit olduğundan, n'inci sırada oturan herhangi bir kız için, erkeklerin (n - 2) ve (n + 2)'nci sıralarda oturduğu doğrudur. Şimdi sadece "eşit" yerlerde oturan 25 kişiyi ele alırsak, masanın etrafında bir yöne dönersek aralarında kızların ve erkeklerin dönüşümlü olduğunu görürüz. Ama 25 tek sayıdır.

Salyangoz, her 15 dakikada bir dik açılarla dönerek uçak boyunca sabit bir hızla sürünür. Başlangıç ​​noktasına ancak tam sayıda saat sonra dönebileceğini kanıtlayın. Çözüm:

Salyangozun yukarı veya aşağı süründüğü bölümlerin a sayısının, sağa veya sola süründüğü bölümlerin sayısına eşit olduğu açıktır. Geriye sadece a'nın çift olduğunu not etmek kalıyor.

Üç çekirge düz bir çizgide birdirbir oynuyor. Her seferinde biri diğerinin üzerinden atlar (ama aynı anda iki tane değil!). 1991 atlayışından sonra aynı yerlerde olabilirler mi? Çözüm:

Çekirgelere A, B ve C diyelim. ABC, BCA ve CAB (soldan sağa) çekirgelere doğru ve ACB, BAC ve CBA yanlış diyelim. Herhangi bir atlama ile yerleştirme türünün değiştiğini görmek kolaydır.

Ağırlıkları gerçeklerinden 1 gram farklı olan 50'si sahte olmak üzere 101 adet madeni para bulunmaktadır. Petya bir madeni para aldı ve bir tanesinde bardaklardaki ağırlık farkını gösteren bir okla terazide tartarak sahte olup olmadığını belirlemek istiyor. O bunu yapabilir mi? Çözüm:

Bu madeni parayı bir kenara koymanız ve ardından kalan 100 jetonu her biri 50 jetonluk iki yığına ayırmanız ve bu yığınların ağırlıklarını karşılaştırmanız gerekir. Çift sayıda gram farklıysa, ilgilendiğimiz madeni para gerçektir. Ağırlıklar arasındaki fark tuhafsa, madeni para sahtedir.

Bir ile iki, iki ile üç, ..., sekiz ile dokuz arasında tek sayıda basamak olacak şekilde 1'den 9'a kadar sayıları bir defada yazmak mümkün müdür? Çözüm:

Aksi takdirde, satırdaki tüm rakamlar aynı pariteye sahip yerlerde olurdu.

Bu çalışma Petya, 96 sayfalık genel bir defter satın aldı ve tüm sayfalarını 1'den 192'ye kadar sayılarla numaralandırdı. Vasya, konuyla ilgili (AHD ve finansal analiz) çıkardı (Kontrol), uzmanlar tarafından özel olarak yapıldı. firmamız ve başarılı savunmasını geçti. İş - Petya 96 sayfalık genel bir defter satın aldı ve tüm sayfalarını 1'den 192'ye kadar sayılarla numaralandırdı. Vasya AHD konusunu çıkardı ve finansal analiz konusunu ve açıklamanın mantıksal bileşenini, özünü yansıtıyor. İncelenen konu ortaya konulmuş, bu konunun ana hükümleri ve öncü fikirleri vurgulanmıştır.
İş - Petya, 96 sayfalık genel bir defter satın aldı ve tüm sayfalarını 1'den 192'ye kadar olan sayılarla numaralandırdı. Vasya şunları çıkardı: tablolar, çizimler, en son edebi kaynaklar, teslim yılı ve savunmanın savunması çalışma - 2017. Çalışmada Petya, 96 sayfalık ortak bir defter hacmi satın aldı ve tüm sayfalarını 1'den 192'ye kadar numaralandırdı. Vasya çıkardı (AHD ve finansal analiz) araştırma konusunun alaka düzeyi ortaya çıktı, derecesi sorunun gelişimi, bilimsel ve metodolojik literatürün derin bir değerlendirmesine ve analizine dayanarak, AHD ve finansal analiz konusundaki çalışmalarda yansıtılır, analiz nesnesi ve sorunları hem teorik hem de pratik yönden kapsamlı bir şekilde ele alınır, ele alınan konunun amacı ve özel görevleri formüle edilir, materyalin sunumunun mantığı ve sırası vardır.

Bölümler: Matematik

Sevgili Olimpiyat katılımcısı!

Okul Matematik Olimpiyatı tek turda yapılır.
Çeşitli zorluk seviyelerinde 5 problem sunulmaktadır.
Eserin tasarımı için herhangi bir özel gereksiniminiz yoktur. Sorunların çözümünün sunum şekli ve çözüm yöntemleri herhangi biri olabilir. Belirli bir sorun hakkında belirli fikirleriniz varsa, ancak çözümü sonuna kadar getiremiyorsanız, tüm düşüncelerinizi ifade etmekten çekinmeyin. Kısmen çözülmüş problemler bile karşılık gelen puanlarla değerlendirilecektir.
Size göre daha kolay olan görevleri çözmeye başlayın ve ardından geri kalanına geçin. Bu size çalışma süresinden tasarruf sağlayacaktır.

Size başarılar diliyoruz!

Matematikte okul çocukları için Tüm Rusya Olimpiyatının okul aşaması

5. sınıf.

1. Egzersiz. 1 * 2 * 3 * 4 * 5 ifadesinde "*" yerine eylem işaretleri koyun ve parantezleri aşağıdaki gibi yerleştirin. Değeri 100 olan bir ifade elde etmek için.

Görev 2. Rakamların harflerle değiştirildiği ve farklı sayıların aynı harflerle değiştirildiği aritmetik eşitlik kaydının deşifre edilmesi gerekir - aynı.

BEŞ - ÜÇ = İKİ Mektubun yerine bilindiği gibi A 2 sayısını değiştirmeniz gerekir.

Görev 3. Ağırlıksız bir tartı kullanarak 80 kg çivi 15 kg ve 65 kg olmak üzere iki parçaya nasıl bölünür?

Görev 4. Şekilde gösterilen şekli iki eşit parçaya bölün, her parçada bir yıldız olacak şekilde. Yalnızca ızgara çizgileri boyunca kesebilirsiniz.

Görev 5. Bir fincan ve fincan tabağı birlikte 25 rubleye, 4 fincan ve 3 fincan tabağı 88 rubleye mal oluyor. Bardağın fiyatını ve tabağın fiyatını bulunuz.

6. sınıf.

1. Egzersiz. Kesirleri ortak bir paydaya getirmeden karşılaştırın.

Görev 2. Rakamların harflerle değiştirildiği ve farklı sayıların aynı harflerle değiştirildiği aritmetik eşitlik kaydının deşifre edilmesi gerekir - aynı. Orijinal eşitliğin doğru olduğu ve olağan aritmetik kurallarına göre yazıldığı varsayılır.

İŞ
+ OLACAK
ŞANS

ödev 3. Yaz kampına dinlenmek için üç arkadaş geldi: Misha, Volodya ve Petya. Her birinin şu soyadlarından birine sahip olduğu bilinmektedir: Ivanov, Semenov, Gerasimov. Misha Gerasimov değil. Volodya'nın babası bir mühendis. Volodya 6. sınıf öğrencisidir. Gerasimov 5. sınıf öğrencisidir. Ivanov'un babası bir öğretmendir. Üç arkadaşın her birinin soyadı nedir?

4. Ödev. Şekli ızgara çizgileri boyunca dört eşit parçaya bölün, böylece her parçada bir nokta olur.

Görev 5. Sıçrayan yusufçuk, kızıl yazın her gününün yarısında uyudu, her günün üçte biri dans etti ve altıda biri şarkı söyledi. Geri kalan zamanını kışa hazırlanmaya adamaya karar verdi. Dragonfly günde kaç saat kışa hazırlandı?

7. sınıf.

1. Egzersiz. GÜÇ sayısındaki en büyük rakamın 5 olduğu biliniyorsa, bilmeceyi çözün:

KARAR VERMEK
EĞER
Güçlü

Görev 2. Denklemi çözün│7 - x│ = 9.3

Görev 3. Yedi yıkamadan sonra sabunun uzunluğu, genişliği ve kalınlığı yarıya indi. Kalan sabun aynı yıkamanın kaç tanesinde kalır?

4. Ödev ... Hücrelerin kenarları boyunca 4 × 9 hücreli bir dikdörtgeni iki eşit parçaya bölün, böylece onlardan bir kare yapabilirsiniz.

Görev 5. Tahta küpün her tarafı beyaz boya ile boyanmış ve ardından 64 özdeş küp halinde kesilmiştir. Üç tarafı boyanmış kaç küp var? İki tarafta da?
Bir tarafta? Kaç tane küp renkli değil?

8. sınıf.

1. Egzersiz. 13 sayısı hangi iki basamakta biter?

Görev 2. Kesri azaltın:

Görev 3. Okul drama kulübü, A.S. Puşkin, Çar Saltan hakkında, rolleri katılımcılar arasında dağıtmaya karar verdi.
- Ben Chernomor olacağım, - dedi Yura.
- Hayır, Chernomor olacağım, - dedi Kolya.
- Tamam, - Yura kabul etti, - Guidon'u oynayabilirim.
- Peki, Saltan olabilirim, - Kolya da uyum gösterdi.
- Sadece Guidon olmayı kabul ediyorum! - dedi Misha.
Çocukların istekleri yerine getirildi. Roller nasıl belirlendi?

Görev 4. Medyan AD, tabanı AB = 8m olan bir ABC ikizkenar üçgeninde çizilir. АСD üçgeninin çevresi ABD üçgeninin çevresinden 2m daha büyüktür. AU'yu bulun.

Görev 5. Nikolai, 96 sayfalık ve 1'den 192'ye kadar numaralandırılmış genel bir defter aldı. Arthur'un yeğeni bu defterden 35 sayfa kopardı ve üzerlerinde yazılı olan 70 sayının hepsini bir araya getirdi. 2010 olabilir miydi?

9. sınıf

1. Egzersiz. 1989 1989'un son basamağını bulun.

Görev 2. Bazı ikinci dereceden denklemlerin köklerinin toplamı 1'e ve karelerinin toplamı 2'ye eşittir. Küplerinin toplamı nedir?

Görev 3. Üç medyanı m a, m b ve m c ∆ ABC kullanarak, AC = b kenarının uzunluğunu bulun.

Görev 4. kesri azalt .

Görev 5. "Kamisole" kelimesindeki ünlü ve ünsüz harfleri kaç farklı şekilde seçebilirsiniz?

Sınıf 10.

1. Egzersiz. Şu anda 1, 2, 5, 10 rublelik madeni paralar var. Hem çift hem de tek sayıda madeni para ile ödenebilecek tüm parasal tutarları belirtin.

Görev 2. 5 + 5 2 + 5 3 +… + 5 2010'un 6'ya bölünebildiğini kanıtlayın.

Görev 3. dörtgen içinde ABCD köşegenler bir noktada buluşuyor m... olduğu biliniyor AM = 1,
VM = 2, CM = 4... hangi değerlerde DM dörtgen ABCD yamuk mu?

Görev 4. Denklem sistemini çözün

Görev 5. Otuz okul çocuğu - onuncu sınıflar ve on birinci sınıflar - el sıkıştı. Her onuncu sınıf öğrencisinin sekiz onbirinci sınıf öğrencisiyle tokalaştığı ve her onbirinci sınıf öğrencisinin yedi onuncu sınıf öğrencisiyle tokalaştığı ortaya çıktı. Kaç onuncu sınıf öğrencisi vardı ve kaç tane onbirinci sınıf öğrencisi vardı?