Формули скороченого множення. Формули скороченого множення Різниця та складання кубів

Формули або правила скороченого множення використовуються в арифметиці, а точніше - в алгебрі, для більш швидкого процесу обчислення великих алгебраїчних виразів. Самі ж формули отримані з існуючих в алгебрі правил для множення декількох многочленів.

Використання даних формул забезпечує досить оперативне рішення різних математичних задач, а також допомагає здійснювати спрощення виразів. Правила алгебраїчних перетворень дозволяють виконувати деякі маніпуляції з виразами, дотримуючись яких можна отримати в лівій частині рівності вираз, що стоїть в правій частині, або перетворити праву частину рівності (щоб отримати вираз, що стоїть в лівій частині після знака рівності).

Зручно знати формули, що застосовуються для скороченого множення, на пам'ять, так як вони нерідко використовуються при вирішенні завдань і рівнянь. Нижче перераховані основні формули, що входять в даний список, і їх найменування.

квадрат суми

Щоб обчислити квадрат суми, необхідно знайти суму, що складається з квадрата першого доданка, подвоєного твори першого доданка на друге і квадрата другого. У вигляді вираження дане правило записується в такий спосіб: (а + с) ² \u003d a² + 2ас + ².

квадрат різниці

Щоб обчислити квадрат різниці, необхідно обчислити суму, що складається з квадрата першого числа, подвоєного твори першого числа на друге (узяте з протилежним знаком) і квадрата другого числа. У вигляді вираження дане правило виглядає наступним чином: (а - с) ² \u003d а² - 2ас + ².

різниця квадратів

Формула різниці двох чисел, зведених в квадрат, дорівнює добутку суми цих чисел на їх різницю. У вигляді вираження дане правило виглядає наступним чином: a² - с? \u003d (A + c) · (a - c).

куб суми

Щоб обчислити куб суми двох доданків, необхідно обчислити суму, що складається з куба першого доданка, потроєного твори квадрата першого доданка і другого, потроєного твори першого доданка і другого в квадраті, а також куба другого доданка. У вигляді вираження дане правило виглядає наступним чином: (а + с) ³ \u003d а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

сума кубів

Відповідно до формули, прирівнюється до добутку суми даних доданків на їх неповний квадрат різниці. У вигляді вираження дане правило виглядає наступним чином: а³ + с³ \u003d (а + с) · (а² - ас + с?).

Приклад. Необхідно обчислити об'єм фігури, яка утворена складанням двох кубів. Відомі лише величини їх сторін.

Якщо значення сторін невеликі, то виконати обчислення просто.

Якщо ж довжини сторін виражаються в громіздких числах, то в цьому випадку простіше застосувати формулу "Сума кубів", яка значно спростить обчислення.

куб різниці

Вираз для кубічної різниці звучить так: як сума третього ступеня першого члена, потроєного негативного твори квадрата першого члена на другий, потроєного твори першого члена на квадрат другого і негативного куба другого члена. У вигляді математичного виразу куб різниці виглядає наступним чином: (а - с) ³ \u003d а³ - 3а²с + 3ас² - с³.

різниця кубів

Формула різниці кубів відрізняється від суми кубів лише одним знаком. Таким чином, різниця кубів - формула, яка дорівнює добутку різниці даних чисел на їх неповний квадрат суми. У вигляді різниця кубів виглядає наступним чином: а 3 - з 3 \u003d (ас) (а 2 + ас + з 2).

Приклад. Необхідно обчислити об'єм фігури, яка залишиться після вирахування з обсягу синього куба об'ємної фігури жовтого кольору, яка також є кубом. Відома лише величина боку маленького і великого куба.

Якщо значення сторін невеликі, то обчислення досить прості. А якщо довжини сторін виражаються в значних кількостях, то варто застосувати формулу, названу "Різниця кубів" (або "Куб різниці"), которае значно спростить обчислення.

У попередніх уроках ми розглянули два способи розкладання многочлена на множники: винесення спільного множника за дужки і спосіб угруповання.

У цьому уроці ми розглянемо ще один спосіб розкладання многочлена на множники із застосуванням формул скороченого множення.

Рекомендуємо кожну формулу прописати не менше 12 разів. Для кращого запам'ятовування випишіть все формули скороченого множення собі на невелику шпаргалку.

Згадаймо, як виглядає формула різниці кубів.

a 3 - b 3 \u003d (ab) (a 2 + ab + b 2)

Формула різниці кубів не надто проста для запам'ятовування, тому рекомендуємо використовувати спеціальний спосіб для її запам'ятовування.

Важливо розуміти, що будь-яка формула скороченого множення діє і в зворотний бік.

(A - b) (a 2 + Ab + b 2) \u003d a 3 - b 3

Розглянемо приклад. Необхідно розкласти на множники різниця кубів.

Звернемо увагу, що «27а 3» - це «(3а) 3», значить, для формули різниці кубів замість «a» ми використовуємо «3a».

Використовуємо формулу різниці кубів. На місці «a 3» у нас стоїть «27a 3», а на місці «b 3», як і у формулі, варто «b 3».

Застосування різниці кубів в зворотну сторону

Розглянемо ще один приклад. Ви бажаєте перевести твір многочленів в різниця кубів, використовуючи формулу скороченого множення.

Зверніть увагу, що твір многочленів «(x - 1) (x 2 + x + 1)» нагадує праву частину формули різниці кубів «», тільки замість «a» стоїть «x», а на місці «b» стоїть «1» .

Використовуємо для «(x - 1) (x 2 + x + 1)» формулу різниці кубів в зворотну сторону.

Розглянемо приклад складніше. Потрібно спростити твір многочленів.

Якщо порівняти «(y 2 - 1) (y 4 + y 2 + 1)» з правою частиною формули різниці кубів
« a 3 - b 3 \u003d (ab) (a 2 + ab + b 2)», То можна зрозуміти, що на місці« a »з першої дужки варто« y 2, а на місці «b» стоїть «1».

Формули скороченого множення (ФСУ) застосовуються для зведення в ступінь і множення чисел і виразів. Часто ці формули дозволяють зробити обчислення більш компактно і швидко.

У даній статті ми перерахуємо основні формули скороченого множення, згрупуємо їх в таблицю, розглянемо приклади використання цих формул, а також зупинимося на принципах доказів формул скороченого множення.

Вперше тема ФСУ розглядається в рамках курсу "Алгебра" за 7 клас. Наведемо нижче 7 основних формул.

Формули скороченого множення

1. формула квадрата суми: a + b 2 \u003d a 2 + 2 a b + b 2
2. формула квадрата різниці: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. формула куба суми: a + b 3 \u003d a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. формула куба різниці: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. формула різниці квадратів: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. формула суми кубів: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. формула різниці кубів: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Літерами a, b, c в даних виразах можуть бути будь-які числа, змінні або вирази. Для зручності використання краще вивчити сім основних формул напам'ять. Зведемо їх в таблицю і наведемо нижче, обвівши рамкою.

Перші чотири формули дозволяють обчислювати відповідно квадрат або куб суми або різниці двох виразів.

П'ята формула обчислює різницю квадратів виразів шляхом твори їх суми та різниці.

Шоста і сьома формули - відповідно множення суми і різниці виразів на неповний квадрат різниці і неповний квадрат суми.

Формула скороченого множення іноді ще називають тотожністю скороченого множення. В цьому немає нічого дивного, так як кожне рівність являє собою тотожність.

При вирішенні практичних прикладів часто використовують формули скороченого множення з переставленими місцями лівими і правими частинами. Це особливо зручно, коли має місце розкладання многочлена на множники.

Додаткові формули скороченого множення

Не будемо обмежуватися курсом 7 класу з алгебри і додамо в нашу таблицю ФСУ ще кілька формул.

По-перше, розглянемо формулу бінома Ньютона.

a + b n \u003d C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 +. . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Тут C n k - біноміальні коефіцієнти, які стоять в рядку під номером n в трикутнику Паскаля. Біноміальні коефіцієнти обчислюються за формулою:

C n k \u003d n! k! · (N - k)! \u003d N (n - 1) (n - 2). . (N - (k - 1)) k!

Як бачимо, ФСУ для квадрата і куба різниці і суми - це окремий випадок формули бінома Ньютона при n \u003d 2 і n \u003d 3соответственно.

Але що, якщо доданків в сумі, яку потрібно звести в ступінь, більше, ніж два? Корисною буде формула квадрата суми трьох, чотирьох і більше доданків.

a 1 + a 2 +. . + A n 2 \u003d a 1 2 + a 2 2 +. . + A n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Ще одна формула, яка може стати в нагоді - формула формула різниці n-их ступенів двох доданків.

a n - b n \u003d a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. . + A 2 b n - 2 + b n - 1

Цю формулу звичайно поділяють на дві формули - відповідно для парних і непарних ступенів.

Для парних показників 2m:

a 2 m - b 2 m \u003d a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + B 2 m - 2

Для непарних показників 2m + 1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 \u003d a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. . + B 2 m

Формули різниці квадратів і різниці кубів, як ви здогадалися, є окремими випадками цієї формули при n \u003d 2 і n \u003d 3 відповідно. Для різниці кубів b також замінюється на - b.

Як читати формули скороченого множення?

Дамо відповідні формулювання для кожної формули, але спочатку розберемося з принципом читання формул. Зручніше за все робити це на прикладі. Візьмемо найпершу формулу квадрата суми двох чисел.

a + b 2 \u003d a 2 + 2 a b + b 2.

Кажуть: квадрат суми двох виразів a і b дорівнює сумі квадрата першого виразу, подвоєного твори виразів і квадрата другого виразу.

Всі інші формули читаються аналогічно. Для квадрата різниці a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 запишемо:

квадрат різниці двох виразів a і b дорівнює сумі квадратів цих виразів мінус подвоєний добуток першого і другого виразу.

Прочитаємо формулу a + b 3 \u003d a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Куб суми двох виразів a і b дорівнює сумі кубів цих виразів, потроєного твори квадрата першого виразу на друге і потроєного твори квадрата другого виразу на перший вираз.

Переходимо до читання формули для різниці кубів a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Куб різниці двох виразів a і b дорівнює кубу першого виразу мінус утроенное твір квадрата першого виразу на друге, плюс утроенное твір квадрата другого виразу на перший вираз, мінус куб другого виразу.

П'ята формула a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (різниця квадратів) читається так: різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці і суми двох виразів.

Вирази типу a 2 + a b + b 2 і a 2 - a b + b 2 для зручності називають відповідно неповним квадратом суми і неповним квадратом різниці.

З огляду на це, формули суми і різниці кубів прочитав так:

Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів на неповний квадрат їх різниці.

Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів на неповний квадрат їх суми.

доказ ФСУ

Довести ФСУ досить просто. Грунтуючись на властивостях множення, проведемо множення частин формул в дужках.

Для прикладу розглянемо формулу квадрата різниці.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Щоб звести вираз в другу ступінь потрібно цей вислів помножити само на себе.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Розкриємо дужки:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Формула доведена. Решта ФСУ доводяться аналогічно.

Приклади застосування ФСУ

Мета використання формул скороченого множення - швидке і коротке множення і зведення виразів в ступінь. Однак, це не вся сфера застосування ФСУ. Вони широко використовуються при скороченні виразів, скорочення дробів, розкладанні многочленів на множники. Наведемо приклади.

Приклад 1. ФСУ

Спростимо вираз 9 y - (1 + 3 y) 2.

Застосуємо формулу суми квадратів і отримаємо:

9 y - (1 + 3 y) 2 \u003d 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) \u003d 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 \u003d 3 y - 1 - 9 y 2

Приклад 2. ФСУ

Скоротимо дріб 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Помічаємо, що вираз в чисельнику - різниця кубів, а в знаменнику - різниця квадратів.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Скорочуємо і отримуємо:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Також ФСУ допомагають обчислювати значення виразів. Головне - вміти помітити, де застосувати формулу. Покажемо це на прикладі.

Зведемо в квадрат число 79. Замість громіздких обчислень, запишемо:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Здавалося б, складне обчислення проведено швидко всього лише з використанням формул скороченого множення і таблиці множення.

Ще один важливий момент - виділення квадрата двочлена. Вираз 4 x 2 + 4 x - 3 можна перетворити на вигляд 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 \u003d 2 x + 1 2 - 4. Такі перетворення широко використовуються в інтегруванні.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Формули скороченого множення.

Вивчення формул скороченого множення: квадрата суми і квадрата різниці двох виразів; різниці квадратів двох виразів; куба суми і куба різниці двох виразів; суми і різниці кубів двох виразів.

Застосування формул скороченого множення при вирішенні прикладів.

Для спрощення виразів, розкладання многочленів на множники, приведення многочленів до стандартному виду використовуються формули скороченого множення. Формули скороченого множення потрібно знати напам'ять.

Нехай а, b R. Тоді:

1. Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого виразу на друге плюс квадрат другого виразу.

(A + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого виразу на друге плюс квадрат другого виразу.

(A - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

3. різниця квадратівдвох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і їх суми.

a 2 - b 2 \u003d (a -b) (a + b)

4. куб сумидвох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс утроенное твір квадрата першого виразу на друге плюс утроенное твір першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу.

(A + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. куб різницідвох виразів дорівнює кубу першого виразу мінус утроенное твір квадрата першого виразу на друге плюс утроенное твір першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу.

(A - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. сума кубівдвох виразів дорівнює добутку суми першого та другого виразу на неповний квадрат різниці цих виразів.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці першого і другого виразу на неповний квадрат суми цих виразів.

a 3 - b 3 \u003d (ab) (a 2 + ab + b 2)

Застосування формул скороченого множення при вирішенні прикладів.

Приклад 1.

обчислити

а) Використовуючи формулу квадрата суми двох виразів, маємо

(40 + 1) 2 \u003d 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 \u003d 1600 + 80 + 1 \u003d 1681

б) Використовуючи формулу квадрата різниці двох виразів, отримаємо

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

Приклад 2.

обчислити

Використовуючи формулу різниці квадратів двох виразів, отримаємо

Приклад 3.

спростити вираз

(Х - у) 2 + (х + у) 2

Скористаємося формулами квадрата суми і квадрата різниці двох виразів

(Х - у) 2 + (х + у) 2 \u003d х 2 - 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 \u003d 2х 2 + 2у 2

Формули скороченого множення в одній таблиці:

(A + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
(A - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
(A + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(A - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (ab) (a 2 + ab + b 2)