Сформулюйте визначення кореня квадратного рівняння. Коріння квадратного рівняння. Рішення неповних квадратних рівнянь

Просто. За формулами і чітким нескладних правил. На першому етапі

треба задане рівняння привести до стандартного вигляду, тобто до виду:

Якщо рівняння вам дано вже в такому вигляді - перший етап робити не потрібно. Найголовніше - правильно

визначити всі коефіцієнти, а, bі c.

Формула для знаходження коренів квадратного рівняння.

Вираз під знаком кореня називається дискриминант . Як бачимо, для знаходження ікси, ми

використовуємо тільки a, b і з. Тобто коефіцієнти з квадратного рівняння. Просто акуратно підставляємо

значення a, b і зв цю формулу і вважаємо. підставляємо зі своїмизнаками!

наприклад, В рівнянні:

а =1; b = 3; c = -4.

Підставляємо значення і записуємо:

Приклад практично вирішене:

Це відповідь.

Найпоширеніші помилки - плутанина зі знаками значень a, bі з. Вірніше, з підстановкою

негативних значень в формулу для обчислення коренів. Тут рятує докладний запис формули

з конкретними числами. Якщо є проблеми з обчисленнями, так і робіть!

Припустимо, треба ось такий приклад вирішити:

тут a = -6; b = -5; c = -1

Розписуємо всі докладно, уважно, нічого не пропускаючи з усіма знаками і дужками:

Часто квадратні рівняння виглядають злегка інакше. Наприклад, ось так:

А тепер візьміть до уваги практичні прийоми, які різко знижують кількість помилок.

прийом перший. Не лінуйтеся перед рішенням квадратного рівнянняпривести його до стандартного вигляду.

Що це означає?

Припустимо, після всяких перетворень ви отримали ось таке рівняння:

Не кидайтеся писати формулу коренів! Майже напевно, ви переплутаєте коефіцієнти a, b і с.

Побудуйте приклад правильно. Спочатку ікс в квадраті, потім без квадрата, потім вільний член. Ось так:

Позбавтеся від мінуса. Як? Треба помножити все рівняння на -1. отримаємо:

А ось тепер можна сміливо записувати формулу для коренів, вважати дискримінант і дорешівать приклад.

Вирішимо самостійно. У вас повинні вийти коріння 2 і -1.

Прийом другий.Перевіряйте коріння! за теоремі Вієта.

Для вирішення наведених квадратних рівнянь, тобто якщо коефіцієнт

x 2 + bx + c = 0,

тодіx 1 x 2 = c

x 1 + x 2 = -b

Для повного квадратного рівняння, в якому a ≠ 1:

x 2 +bx +c=0,

ділимо всі рівняння на а:

→ →

де x 1і x 2 - корені рівняння.

прийом третій. Якщо у вашому рівнянні є дробові коефіцієнти, - позбудьтеся від дробів! домножьте

рівняння на спільний знаменник.

Висновок. Практичні поради:

1. Перед рішенням наводимо квадратне рівняння до стандартного вигляду, вибудовуємо його правильно.

2. Якщо перед іксом в квадраті стоїть негативний коефіцієнт, ліквідуємо його множенням всього

рівняння на -1.

3. Якщо коефіцієнти дробові - ліквідуємо дробу множенням всього рівняння на відповідний

множник.

4. Якщо ікс в квадраті - чистий, коефіцієнт при ньому дорівнює одиниці, рішення можна легко перевірити за

Відеоурок 2: Рішення квадратних рівнянь

лекція: Квадратні рівняння

рівняння

рівняння- це якесь рівність, в виразах якого є змінна.

Розв'язати рівняння- значить знайти таке число замість змінної, яке буде приводити його в правильне рівність.

Рівняння може мати одне рішення або кілька, або ж не мати його взагалі.

Для вирішення будь-якого рівняння його слід максимально спростити до вигляду:

лінійне: a * x = b;

квадратне: a * x 2 + b * x + c = 0.

Тобто будь-які рівняння перед рішенням потрібно перетворити до стандартного виду.

Будь-яке рівняння можна вирішити двома способами: аналітичним і графічним.

На графіку рішенням рівняння вважаються точки, в яких графік перетинає вісь ОХ.

Квадратні рівняння

Рівняння можна назвати квадратним, якщо при спрощення воно набуває вигляду:

a * x 2 + b * x + c = 0.

При цьому a, b, cє коефіцієнтами рівняння, що відрізняються від нуля. А "Х"- корінь рівняння. Вважається, що квадратне рівняння має два кореня або можуть не мати рішення взагалі. Отримані корені можуть бути однаковими.

"А"- коефіцієнт, який стоїть перед коренем в квадраті.

"B"- стоїть перед невідомою в першого ступеня.

"З"- вільний член рівняння.

Якщо, наприклад, ми маємо рівняння виду:

2х 2 -5х + 3 = 0

У ньому "2" - це коефіцієнт при старшому члені рівняння, "-5" - другий коефіцієнт, а "3" - вільний член.

Рішення квадратного рівняння

Існує величезна безліч способів вирішення квадратного рівняння. Однак, в шкільному курсі математики вивчається рішення по теоремі Вієта, а також за допомогою дискримінанту.

Рішення по Дискримінант:

При вирішенні за допомогою даного методу необхідно обчислити дискримінант за формулою:

Якщо при обчисленнях Ви отримали, що дискримінант менше нуля, це означає, що дане рівняння не має рішень.

Якщо дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має два однакових рішення. В такому випадку многочлен можна згорнути за формулою скороченого множення в квадрат суми або різниці. Після чого вирішити його, як лінійне рівняння. Або скористатися формулою:

Якщо ж дискримінант більше нуля, то необхідно скористатися наступним методом:

теорема Вієта

Якщо рівняння наведене, тобто коефіцієнт при старшому члені дорівнює одиниці, то можна скористатися теоремою Вієта.

Отже, припустимо, що рівняння має вигляд:

Коріння рівняння знаходяться наступним чином:

Неповне квадратне рівняння

Існує кілька варіантів отримання неповного квадратного рівняння, вид яких залежить від наявності коефіцієнтів.

1. Якщо другий і третій коефіцієнт дорівнює нулю (B = 0, с = 0), То квадратне рівняння буде мати вигляд:

Дане рівняння буде мати єдине рішення. Рівність буде вірним лише в тому випадку, коли в якості рішення рівняння буде нуль.

Нагадуємо, що повне квадратне рівняння, це рівняння виду:

Рішення повних квадратних рівнянь трохи складніше (зовсім трохи), ніж наведених.

Запам'ятай, будь квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанту!

Навіть неповне.

Інші способи допоможуть зробити це швидше, але якщо у тебе виникають проблеми з квадратними рівняннями, для початку опановуй рішення за допомогою дискримінанту.

1. Рішення квадратних рівнянь за допомогою дискримінанту.

Рішення квадратних рівнянь цим способом дуже просте, головне запам'ятати послідовність дій і пару формул.

Якщо, то рівняння має 2 корені. Потрібно особливу увагу звернути на крок 2.

Дискримінант D вказує нам на кількість коренів рівняння.

• Якщо, то формула на кроці скоротиться до. Таким чином, рівняння буде мати всього корінь.
• Якщо, то ми не зможемо витягти корінь з дискриминанта на кроці. Це вказує на те, що рівняння не має коренів.

Звернемося до геометричного змісту квадратного рівняння.

Графік функції є параболою:

Повернемося до наших рівнянь і розглянемо кілька прикладів.

приклад 9

Розв'яжіть рівняння

Крок 1пропускаємо.

Крок 2.

Знаходимо дискримінант:

А значить рівняння має два кореня.

Крок 3.

відповідь:

приклад 10

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлено в стандартному вигляді, тому Крок 1пропускаємо.

Крок 2.

Знаходимо дискримінант:

А значить рівняння має один корінь.

відповідь:

приклад 11

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлено в стандартному вигляді, тому Крок 1пропускаємо.

Крок 2.

Знаходимо дискримінант:

Азначіт ми не зможемо витягти корінь з дискриминанта. Коренів рівняння не існує.

Тепер ми знаємо, як правильно записувати такі відповіді.

відповідь:Корній немає

2. Рішення квадратних рівнянь за допомогою теореми Вієта

Якщо ти пам'ятаєш, тобто такий тип рівнянь, які називаються наведеними (коли коефіцієнт а дорівнює):

Такі рівняння дуже просто вирішувати, використовуючи теорему Вієта:

сума коренів наведеногоквадратного рівняння дорівнює, а твір коренів одно.

Потрібно всього лише підібрати таку пару чисел, твір яких одно вільному члену рівняння, а сума - другого коефіцієнту, взятому з протилежним знаком.

приклад 12

Розв'яжіть рівняння

Це рівняння підходить для вирішення з використанням теореми Вієта, тому що .

Сума коренів рівняння дорівнює, тобто отримуємо перше рівняння:

А твір одно:

Складемо і вирішимо систему:

• і. Сума дорівнює;
• і. Сума дорівнює;
• і. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

відповідь: ; .

приклад 13

Розв'яжіть рівняння

відповідь:

приклад 14

Розв'яжіть рівняння

Рівняння наведене, а значить:

відповідь:

КВАДРАТНІ Рівняння. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Що таке квадратне рівняння?

Іншими словами, квадратне рівняння - це рівняння виду, де - невідоме, - деякі числа, причому.

Число називають старшим або першим коефіцієнтомквадратного рівняння, - другим коефіцієнтом, А - вільним членом.

Тому що якщо, рівняння відразу стане лінійним, тому що пропаде.

При цьому і можуть бути рівні нулю. У цьому стулчае рівняння називають неповним.

Якщо ж всі складові на місці, тобто, рівняння - повне.

Методи рішення неповних квадратних рівнянь

Для початку розберемо методи рішень неповних квадратних рівнянь - вони простіше.

Можна виділити типу таких рівнянь:

I., в цьому рівнянні коефіцієнт і вільний член дорівнюють.

II. , В цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.

III. , В цьому рівнянні вільний член дорівнює.

Тепер розглянемо рішення кожного з цих підтипів.

Очевидно, що дане рівняння завжди має тільки один корінь:

Число, зведена в квадрат, не може бути негативним, адже при перемножуванні двох негативних або двох позитивних чисел результатом завжди буде позитивне число. Тому:

якщо, то рівняння не має рішень;

якщо, маємо учаем два кореня

Ці формули не потрібно запам'ятовувати. Головне пам'ятати, що не може бути менше.

Приклади розв'язання квадратних рівнянь

приклад 15

відповідь:

Ніколи не забувай про коріння з негативним знаком!

приклад 16

Квадрат числа не може бути негативним, а значить у рівняння

немає коренів.

Щоб коротко записати, що у завдання немає рішень, використовуємо значок порожнього безлічі.

відповідь:

приклад 17

Отже, це рівняння має два кореня: і.

відповідь:

Винесемо загальним множник за дужки:

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. А це означає, що рівняння має рішення, коли:

Отже, дане квадратне рівняння має два кореня: і.

приклад:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Розкладемо ліву частину рівняння на множники і знайдемо коріння:

відповідь:

Методи вирішення повних квадратних рівнянь

1. Дискримінант

Вирішувати квадратні рівняння цим способом легко, головне запам'ятати послідовність дій і пару формул. Запам'ятай, будь квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанту! Навіть неповне.

Ти помітив корінь з дискриминанта у формулі для коренів?

Але ж дискримінант може бути негативним.

Що робити?

Потрібно особливу увагу звернути на крок 2. Дискримінант вказує нам на кількість коренів рівняння.

• Якщо, то рівняння має корені:
• Якщо, то рівняння має однакових кореня, а по суті, один корінь:

  Такі коріння називаються дворазовими.

• Якщо, то корінь з дискриминанта не розгорнеться. Це вказує на те, що рівняння не має коренів.

Чому можливо різна кількість коренів?

Звернемося до геометричного змісту квадратного рівняння. Графік функції є параболою:

В окремому випадку, яким є квадратне рівняння,.

А це означає, що коріння квадратного рівняння, це точки перетину з віссю абсцис (вісь).

Парабола може взагалі не перетинати вісь, або перетинати її в одній (коли вершина параболи лежить на осі) або двох точках.

Крім того, за напрямок гілок параболи відповідає коефіцієнт. Якщо, то гілки параболи спрямовані вгору, а якщо - то вниз.

4 приклади рішення квадратних рівнянь

приклад 18

відповідь:

приклад 19

Відповідь:.

приклад 20

відповідь:

приклад 21

А значить, рішень немає.

Відповідь:.

2. Теорема Вієта

Використовувати теорему Вієта дуже легко.

Потрібно всього лише підібратитаку пару чисел, твір яких одно вільному члену рівняння, а сума - другого коефіцієнту, взятому з протилежним знаком.

Важливо пам'ятати, що теорему Вієта можна застосовувати тільки в наведених квадратних рівняннях ().

Розглянемо кілька прикладів:

приклад 22

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Це рівняння підходить для вирішення з використанням теореми Вієта, тому що . Решта коефіцієнти:; .

Сума коренів рівняння дорівнює:

А твір одно:

Підберемо такі пари чисел, твір яких одно, і перевіримо, дорівнює чи їх сума:

• і. Сума дорівнює;
• і. Сума дорівнює;
• і. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

Таким чином, і - корені нашого рівняння.

Відповідь:; .

приклад 23

Рішення:

Підберемо такі пари чисел, які в творі дають, а потім перевіримо, дорівнює чи їх сума:

і: в сумі дають.

і: в сумі дають. Щоб отримати, достатньо просто поміняти знаки передбачуваних коренів: і, адже твір.

відповідь:

приклад 24

Рішення:

Вільний член рівняння негативний, а значить і твір коренів - негативне число. Це можливо тільки якщо один з коренів негативний, а інший - позитивний. Тому сума коренів дорівнює різниці їх модулів.

Підберемо такі пари чисел, які в творі дають, і різниця яких дорівнює:

і: їх різниця дорівнює - не підходить;

і: - не підходить;

і: - не підходить;

і: - підходить. Залишається тільки згадати, що один з коренів негативний. Так як їх сума повинна дорівнювати, то негативним повинен бути менший за модулем корінь:. перевіряємо:

відповідь:

приклад 25

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Рівняння наведене, а значить:

Вільний член негативний, а значить і твір коренів негативно. А це можливо тільки тоді, коли один корінь рівняння від'ємний, а інший позитивний.

Підберемо такі пари чисел, твір яких одно, а потім визначимо, який коренів повинен мати негативний знак:

Очевидно, що під перша умова підходять тільки коріння і:

відповідь:

приклад 26

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Рівняння наведене, а значить:

Сума коренів негативна, а це значить що, по крайней мере, один з коренів негативний. Але оскільки їх твір позитивно, то значить обидва кореня зі знаком мінус.

Підберемо такі пари чисел, твір яких одно:

Очевидно, що корінням є числа і.

відповідь:

Погодься, це дуже зручно - придумувати коріння усно, замість того, щоб вважати цей противний дискриминант.

Намагайся використовувати теорему Вієта якомога частіше!

Але теорема Вієта потрібна для того, щоб полегшити і прискорити знаходження коренів.

Щоб тобі було вигідно її використовувати, ти повинен довести дії до автоматизму. А для цього повирішувати-ка ще пяток прикладів.

Але не шахраювати: дискриминант використовувати не можна! Тільки теорему Вієта!

5 прикладів на теорему Вієта для самостійної роботи

приклад 27

Завдання 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

По теоремі Вієта:

Як завжди, починаємо підбір з твору:

Не підходить, так як сума;

: Сума - то що треба.

Відповідь:; .

приклад 28

Завдання 2.

І знову наша улюблена теорема Вієта: в сумі повинно вийти, а добуток дорівнює.

Але так як повинно бути не, а, міняємо знаки коренів: і (в сумі).

Відповідь:; .

приклад 29

Завдання 3.

Хм ... А де тут що?

Треба перенести всі складові в одну частину:

Сума коренів дорівнює, твір.

Так, стоп! Рівняння щось не наведене.

Але теорема Вієта застосовна тільки в наведених рівняннях.

Так що спершу потрібно рівняння привести.

Якщо привести не виходить, кидай цю затію і вирішуй іншим способом (наприклад, через дискримінант).

Нагадаю, що привести квадратне рівняння - значить зробити старший коефіцієнт дорівнює:

Тоді сума коренів дорівнює, а твір.

Тут підібрати простіше простого: адже - просте число (вибач за тавтологію).

Відповідь:; .

приклад 30

Завдання 4.

Вільний член негативний.

Що в цьому особливого?

А то, що коріння будуть різних знаків.

І тепер під час підбору перевіряти не суму коренів, а різниця їх модулів: ця різниця дорівнює, а твір.

Отже, коріння рівні і, але один з них з мінусом.

Теорема Вієта говорить нам, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту зі зворотним знаком, тобто.

Значить, мінус буде у меншого кореня: і, так як.

Відповідь:; .

приклад 31

Завдання 5.

Що потрібно зробити в першу чергу?

Правильно, привести рівняння:

Знову: підбираємо множники числа, і їх різниця повинна дорівнювати:

Коріння рівні і, але один з них з мінусом. Який? Їх сума повинна дорівнювати, значить, з мінусом буде більший корінь.

Відповідь:; .

Підведемо підсумок

1. Теорема Вієта використовується тільки в наведених квадратних рівняннях.
2. Використовуючи теорему Вієта можна знайти коріння підбором, усно.
3. Якщо рівняння не наводиться або не знайшлося жодної відповідної пари множників вільного члена, значить цілих коренів немає, і потрібно вирішувати іншим способом (наприклад, через дискримінант).

3. Метод виділення повного квадрата

Якщо всі складові, що містять невідоме, представити у вигляді доданків з формул скороченого множення - квадрата суми або різниці - то після заміни змінних можна уявити рівняння у вигляді неповного квадратного рівняння типу.

наприклад:

приклад 32

Розв'яжіть рівняння:.

Рішення:

відповідь:

приклад 33

Розв'яжіть рівняння:.

Рішення:

відповідь:

У загальному вигляді перетворення буде виглядати так:

Звідси випливає: .

Нічого не нагадує?

Це ж дискриминант! Саме так, формулу дискримінанту так і отримали.

КВАДРАТНІ Рівняння. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Квадратне рівняння- це рівняння виду, де - невідоме, - коефіцієнти квадратного рівняння, - вільний член.

Повний квадратне рівняння- рівняння, в якому коефіцієнти, не рівні нулю.

Наведене квадратне рівняння- рівняння, в якому коефіцієнт, тобто:.

Неповне квадратне рівняння- рівняння, в якому коефіцієнт і чи вільний член з дорівнюють нулю:

• якщо коефіцієнт, рівняння має вигляд:,
• якщо вільний член, рівняння має вигляд:,
• якщо і, рівняння має вигляд:.

1. Алгоритм рішення неповних квадратних рівнянь

1.1. Неповне квадратне рівняння виду, де,:

1) Висловимо невідоме:,

2) Перевіряємо знак вираження:

• якщо, то рівняння не має рішень,
• якщо, то рівняння має два кореня.

1.2. Неповне квадратне рівняння виду, де,:

1) Винесемо загальним множник за дужки:,

2) Твір дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Отже, рівняння має два кореня:

1.3. Неповне квадратне рівняння виду, де:

Дане рівняння завжди має тільки один корінь:.

2. Алгоритм рішення повних квадратних рівнянь виду де

2.1. Рішення за допомогою дискримінанту

1) Наведемо рівняння до стандартного вигляду:,

2) Обчислимо дискримінант за формулою:, який вказує на кількість коренів рівняння:

3) Знайдемо коріння рівняння:

• якщо, то рівняння має кореня, які знаходяться за формулою:
• якщо, то рівняння має корінь, який знаходиться за формулою:
• якщо, то рівняння не має коренів.

2.2. Рішення за допомогою теореми Вієта

Сума коренів наведеного квадратного рівняння (рівняння виду, де) дорівнює, а твір коренів одно, тобто , А.

2.3. Рішення методом виділення повного квадрата

Формули коренів квадратного рівняння. Розглянуто випадки дійсних, кратних і комплексних коренів. Розкладання на множники квадратного тричлена. Геометрична інтерпретація. Приклади визначення коренів і розкладання на множники.

зміст

Див. також: Рішення квадратних рівнянь онлайн

Основні формули

Розглянемо квадратне рівняння:
(1) .
Коріння квадратного рівняння(1) визначаються за формулами:
; .
Ці формули можна об'єднати так:
.
Коли коріння квадратного рівняння відомі, то многочлен другого ступеня можна представити у вигляді добутку співмножників (розкласти на множники):
.

Далі вважаємо, що - дійсні числа.
Розглянемо дискриминант квадратного рівняння:
.
Якщо дискримінант позитивний,, то квадратне рівняння (1) має два різні дійсні корені:
; .
Тоді розкладання квадратного тричлена на множники має вигляд:
.
Якщо дискримінант дорівнює нулю,, то квадратне рівняння (1) має два кратних (рівних) дійсних кореня:
.
Розкладання на множники:
.
Якщо дискримінант від'ємний,, то квадратне рівняння (1) має два комплексно сполучених корені:
;
.
Тут - уявна одиниця,;
і - дійсна і уявна частини коренів:
; .
тоді

.

графічна інтерпретація

Якщо побудувати графік функції
,
який є параболою, то точки перетину графіка з віссю будуть корінням рівняння
.
При, графік перетинає вісь абсцис (вісь) в двох точках ().
При, графік стосується осі абсцис в одній точці ().
При, графік не перетинає вісь абсцис ().

Корисні формули, пов'язані з квадратним рівнянням

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Висновок формули для коренів квадратного рівняння

Виконуємо перетворення і застосовуємо формули (f.1) і (f.3):




,
де
; .

Отже, ми отримали формулу для многочлена другого ступеня у вигляді:
.
Звідси видно, що рівняння

виконується при
і.
Тобто і є корінням квадратного рівняння
.

Приклади визначення коренів квадратного рівняння

приклад 1

(1.1) .

.
Порівнюючи з нашим рівнянням (1.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант позитивний,, то рівняння має два дійсних кореня:
;
;
.

Звідси отримуємо розкладання квадратного тричлена на множники:

.

Графік функції y = 2 x 2 + 7 x + 3перетинає вісь абсцис в двох точках.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона пересіває вісь абсцис (вісь) в двох точках:
і.
Ці точки є коріннями вихідного рівняння (1.1).

;
;
.

приклад 2

Знайти корені квадратного рівняння:
(2.1) .

Запишемо квадратне рівняння в загальному вигляді:
.
Порівнюючи з вихідним рівнянням (2.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант дорівнює нулю,, то рівняння має два кратних (рівних) кореня:
;
.

Тоді розкладання трехчлена на множники має вигляд:
.

Графік функції y = x 2 - 4 x + 4стосується осі абсцис в одній точці.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона стосується осі абсцис (вісь) в одній точці:
.
Ця точка є коренем вихідного рівняння (2.1). Оскільки цей корінь входить в розкладання на множники два рази:
,
то такий корінь прийнято називати кратним. Тобто вважають, що є два рівних кореня:
.

;
.

приклад 3

Знайти корені квадратного рівняння:
(3.1) .

Запишемо квадратне рівняння в загальному вигляді:
(1) .
Перепишемо вихідне рівняння (3.1):
.
Порівнюючи з (1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Дискримінант негативний,. Тому дійсних коренів немає.

Можна знайти комплексні корені:
;
;
.

тоді


.

Графік функції не перетинає вісь абсцис. Дійсних коренів немає.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона не перетинає вісь абсцис (вісь). Тому дійсних коренів немає.

Дійсних коренів немає. Коріння комплексні:
;
;
.

Див. також:

», Тобто рівняння першого ступеня. У цьому уроці ми розберемо, що називають квадратним рівняннямі як його вирішувати.

Що називають квадратним рівнянням

Важливо!

Ступінь рівняння визначають за найбільшою мірою, в якій стоїть невідоме.

Якщо максимальний ступінь, в якій стоїть невідоме - «2», значить, перед вами квадратне рівняння.

Приклади квадратних рівнянь

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• -x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Важливо! Загальний вигляд квадратного рівняння виглядає так:

A x 2 + b x + c = 0

«A», «b» і «c» - задані числа.

• «A» - перший або старший коефіцієнт;
• «B» - другий коефіцієнт;
• «C» - вільний член.

Щоб знайти «a», «b» і «c» потрібно порівняти своє рівняння із загальним видом квадратного рівняння «ax 2 + bx + c = 0».

Давайте потренуємося визначати коефіцієнти «a», «b» і «c» в квадратних рівняннях.

5x 2 - 14x + 17 = 0 -7x 2 - 13x + 8 = 0 -x 2 + x +

рівняння	коефіцієнти
a = 5 b = -14 з = 17
a = -7 b = -13 з = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• з =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• з = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• з = -8

Як вирішувати квадратні рівняння

На відміну від лінійних рівнянь для вирішення квадратних рівнянь використовується спеціальна формула для знаходження коренів.

Запам'ятайте!

Щоб вирішити квадратне рівняння потрібно:

• привести квадратне рівняння до загального вигляду «ax 2 + bx + c = 0». Тобто в правій частині повинен залишитися тільки «0»;
• використовувати формулу для коренів:

Давайте на прикладі розберемо, як застосовувати формулу для знаходження коренів квадратного рівняння. Вирішимо квадратне рівняння.

X 2 - 3x - 4 = 0

Рівняння «x 2 - 3x - 4 = 0» вже приведено до загального вигляду «ax 2 + bx + c = 0» і не вимагає додаткових спрощень. Для його вирішення нам досить застосувати формулу знаходження коренів квадратного рівняння.

Визначимо коефіцієнти «a», «b» і «c» для цього рівняння.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

З її допомогою вирішується будь-квадратне рівняння.

У формулі «x 1; 2 =» часто замінюють подкоренное вираз
«B 2 - 4ac» на букву «D» і називають дискримінантом. Більш детально поняття дискримінанту розглядається в уроці «Що таке дискримінант».

Розглянемо ще один приклад квадратного рівняння.

x 2 + 9 + x = 7x

В даному виді визначити коефіцієнти «a», «b» і «c» досить складно. Давайте спочатку наведемо рівняння до загального вигляду «ax 2 + bx + c = 0».

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Тепер можна використовувати формулу для коренів.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
Відповідь: x = 3

Бувають випадки, коли в квадратних рівняннях немає коренів. Така ситуація виникає, коли у формулі під коренем виявляється негативне число.