Як вважати корінь з числа в ступені. Інженерний калькулятор. Внесення під знак кореня

Щоб успішно використовувати на практиці операцію вилучення кореня, треба бути обізнаним з властивостями цієї операції.
Всі властивості формулюються і доводяться тільки для невід'ємних значень змінних, що містяться під знаками коренів.

Теорема 1. Корінь n-го ступеня (n = 2, 3, 4, ...) з добутку двох невід'ємних чіпсел дорівнює добутку коренів n-го ступеня з цих чисел:

зауваження:

1. Теорема 1 залишається справедливою і для випадку, коли подкоренное вираз являє собою твір більш ніж двох невід'ємних чисел.

Теорема 2.якщо, і n - натуральне число, більше 1, то справедливо рівність

Коротка(Хоча і неточна) формулювання, яку зручніше використовувати на практиці: корінь з дробу дорівнює дробу від коренів.

Теорема 1 дозволяє нам множити т Тільки коріння однаковою мірою , Тобто тільки коріння з однаковим показником.

теорема 3. Якщо ,k - натуральне число і n - натуральне число, більше 1, то справедливо рівність

Іншими словами, щоб звести корінь в натуральну ступінь, досить звести до цього степеня подкоренное вираз.
Це - наслідок теореми 1. Справді, наприклад, для к = 3 одержуємо: Точно так само можна міркувати в разі будь-якого іншого натурального значення показника к.

теорема 4. Якщо ,k, n - натуральні числа, більше 1, то справедливо рівність

Іншими словами, щоб витягти корінь з кореня, досить перемножити показники коріння.
наприклад,

Будьте уважні!Ми дізналися, що над корінням можна здійснювати чотири операції: множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня (з кореня). А як же йде справа зі складанням і відніманням коренів? Ніяк.
Наприклад, замість можна написати Справді, Але ж очевидно, що

теорема 5. Якщо показники кореня і подкоренного вираження помножити або розділити на одне й те саме натуральне число, то значення кореня не зміниться, тобто

Приклади розв'язання завдань

Приклад 1.обчислити

Рішення.Скориставшись першим властивістю коренів (теорема 1), отримаємо:

Приклад 2.обчислити
Рішення.Звернемо змішане число в неправильну дріб.
Маємо Скориставшись другим властивістю коренів ( теорема 2 ), Отримаємо:

Приклад 3.обчислити:

Рішення.Будь-яка формула в алгебрі, як вам добре відомо, використовується не тільки «зліва направо», а й «справа наліво». Так, перша властивість коренів означає, що можна представити у вигляді і, навпаки, можна замінити виразом. Те саме можна сказати і до другого властивості коренів. З огляду на це, виконаємо обчислення.

приклади:

\ (\ Sqrt (16) = 2 \), так як \ (2 ^ 4 = 16 \)
\ (\ Sqrt (- \ frac (1) (125)) \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (5) \), так як \ ((- \ frac (1) (5) ) ^ 3 \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (125) \)

Як обчислити корінь n-го ступеня?

Щоб обчислити корінь \ (n \) - го ступеня, треба задати собі питання: яке число в \ (n \) - го ступеня, дасть під коренем?

наприклад. Обчисліть корінь \ (n \) - го ступеня: а) \ (\ sqrt (16) \); б) \ (\ sqrt (-64) \); в) \ (\ sqrt (0,00001) \); г) \ (\ sqrt (8000) \); д) \ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) \).

а) Яке число в \ (4 \) - го ступеня, дасть \ (16 \)? Очевидно, \ (2 \). Тому:

б) Яке число в \ (3 \) - го ступеня, дасть \ (- 64 \)?

\ (\ Sqrt (-64) = - 4 \)

в) Яке число в \ (5 \) - го ступеня, дасть \ (0,00001 \)?

\ (\ Sqrt (0,00001) = 0,1 \)

г) Яке число в \ (3 \) - го ступеня, дасть \ (8000 \)?

\ (\ Sqrt (8000) = 20 \)

д) Яке число в \ (4 \) - го ступеня, дасть \ (\ frac (1) (81) \)?

\ (\ Sqrt (\ frac (1) (81)) = \ frac (1) (3) \)

Ми розглянули найпростіші приклади з коренем \ (n \) - го ступеня. Для вирішення більш складних завдань з корінням \ (n \) - го ступеня - життєво необхідно знати їх.

Приклад. Обчисліть:

\ (\ Sqrt 3 \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (9) - \) \ (= \)		В даний момент жоден з коренів можна обчислити. Тому застосуємо властивості кореня \ (n \) - го ступеня і перетворимо вираз. \ (\ Frac (\ sqrt (-64)) (\ sqrt (2)) \)\ (= \) \ (\ Sqrt (\ frac (-64) (2)) \) \ (= \) \ (\ sqrt (-32) \) тому \ (\ Frac (\ sqrt [n] (a)) (\ sqrt [n] (b)) \)\ (= \) \ (\ Sqrt [n] (\ frac (a) (b)) \)
\ (= \ Sqrt (3) \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (9) - \ sqrt (-32) = \)		Переставимо множники в першому доданку так, що б квадратний корінь і корінь \ (n \) - го ступеня стояли поруч. Так легше буде застосовувати властивості тому більшість властивостей коренів \ (n \) - го ступеня працюють тільки з корінням однаковою мірою. І обчислимо корінь 5-ої ступеня.
\ (= \ Sqrt (3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (9) - (- 5) = \)		Застосуємо властивість \ (\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [n] (b) = \ sqrt [n] (a \ cdot b) \) і розкриємо дужки
\ (= \ Sqrt (81) \ cdot \ sqrt (-27) + 5 = \)		Обчислювальні \ (\ sqrt (81) \) і \ (\ sqrt (-27) \)
\ (= 9 \ cdot (-3) +5 = -27 + 5 = -22 \)

Корінь n-го ступеня і квадратний корінь пов'язані?

У будь-якому випадку, будь-який корінь будь-якого ступеня - це просто число, нехай і записане в незвичному вам вигляді.

Особливість кореня n-го ступеня

Корінь \ (n \) - го ступеня з непарними \ (n \) може вилучатись з будь-якого числа, навіть негативного (див. Приклади на початку). Але якщо \ (n \) - парне (\ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \) ...), то такий корінь витягується тільки якщо \ ( a ≥ 0 \) (до речі, у квадратного кореня так само). Це пов'язано з тим, що витяг кореня - дія, зворотне зведення в ступінь.

А зведення в парну ступінь робить навіть негативне число позитивним. Дійсно, \ ((- 2) ^ 6 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) = 64 \). Тому ми не можемо отримати під коренем парного степеня негативного числа. А значить, і витягти такий корінь з від'ємного числа - не можемо.

Непарна ж ступінь таких обмежень не має - негативне число, зведена в непарну ступінь залишиться негативним: \ ((- 2) ^ 5 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) = - 32 \). Тому під коренем непарного степеня можна отримати негативне число. А значить і витягти його з негативного числа - теж можна.

Інженерний калькулятор онлайн

Поспішаємо представити всім бажаючим безкоштовний інженерний калькулятор. З його допомогою будь-який учень може швидко і, що найголовніше, легко виконувати різного роду математичні обчислення онлайн.

Калькулятор узятий з сайту - web 2.0 scientific calculator

Простий і зручний у використанні інженерний калькулятор з ненав'язливим і зрозумілим інтерфейсом воістину буде корисний найширшому колу користувачів мережі Інтернет. Тепер, коли вам буде необхідний калькулятор, заходите на наш сайт і користуйтеся безкоштовним інженерним калькулятором.

Інженерного калькулятора під силу виконати як прості арифметичні дії, так і досить складні математичні розрахунки.

Web20calc - інженерний калькулятор, який має величезну кількість функцій, наприклад, як обчислення всіх елементарних функцій. Також калькулятор підтримує тригонометричні функції, матриці, логарифми і навіть побудова графіків.

Безсумнівно, Web20calc буде цікавий тієї групи людей, яка в пошуку простих рішень набирає в пошукових системах запит: математичний онлайн калькулятор. Безкоштовне веб-додаток допоможе миттєво порахувати результат якогось математичного виразу, наприклад, відняти, скласти, поділити, витягти корінь, звести в ступінь і т.д.

У вираженні можна скористатися операціями зведення в ступінь, додавання, віднімання, множення, ділення, відсотком, константою ПІ. Для складних обчислень слід вказувати дужки.

Можливості інженерного калькулятора:

1. основні арифметичні дії;
2. робота з цифрами в стандартному вигляді;
3. обчислення тригонометричних коренів, функцій, логарифмів, зведення в ступінь;
4. статистичні розрахунки: додавання, середнє арифметичне або середньоквадратичне відхилення;
5. застосування осередки пам'яті і призначених для користувача функцій 2-х змінних;
6. робота з кутами в радіанної і градусної заходи.

Інженерний калькулятор допускає використання різноманітних математичних функцій:

Витяг коренів (корінь квадратний, кубічний, а також корінь n-го ступеня);
ex (e в x ступеня), експонента;
тригонометричні функції: синус - sin, косинус - cos, тангенс - tan;
зворотні тригонометричні функції: арксинус - sin-1, арккосинус - cos-1, арктангенс - tan-1;
гіперболічні функції: синус - sinh, косинус - cosh, тангенс - tanh;
логарифми: двійковий логарифм за основою два - log2x, десятковий логарифм за основою десять - log, натуральний логарифм - ln.

В цей інженерний калькулятор також включений калькулятор величин з можливістю конвертації фізичних величин для різних систем вимірювань - комп'ютерні одиниці, відстань, вага, час і т.д. За допомогою даної функції можна моментально здійснити переказ миль в кілометри, фунтів в кілограми, секунд у години і т.д.

Щоб зробити математичні розрахунки, для початку введіть послідовність математичні вирази в відповідне поле, потім натисніть на знак рівності і побачивши результат. Також можна ввести значення прямо з клавіатури (для цього область калькулятора повинна бути активна, отже, не зайвим буде поставити курсор в поле вводу). Крім іншого, дані можна вносити за допомогою кнопок самого калькулятора.

Для побудови графіків в поле введення слід записати функцію так, як вказано в полі з прикладами або скористайтеся спеціально призначеної для цього панеллю інструментів (щоб в неї перейти натисніть на кнопку з іконкою у вигляді графіка). Для конвертації величин натисніть Unit, для проведення робіт з матрицями - Matrix.

Користувачі електронних таблиць широко використовують функцію обчислення кореня числа. Оскільки робота з даними зазвичай вимагають обробки великих чисел, вважати вручну буває досить складно. У цій статті ви знайдете докладний розбір питання про добуванні кореня будь-якого ступеня в Excel.

Досить легке завдання, оскільки в програмі є окрема функція, яку можна взяти з переліку. Для цього вам потрібно зробити наступне:

1. Виберіть клітинку, в якій хочете прописати функцію, клікнувши на неї один раз лівою кнопкою миші. З'явиться чорна обведення, помаранчевим підсвітяться активна рядок і стовпець, а в адресному осередку з'явиться ім'я.

   

2. Натисніть на кнопку «fx» ( «Вставити функцію»), яка розташована вище назв стовпців, після адресному осередки, перед рядком формул.

   

3. З'явиться спадаюче меню, в якому потрібно знайти функцію «Корінь». Це можна зробити в категорії «Математичні» або в «Повному алфавітному переліку», прокрутивши мишкою меню трохи нижче.

   

4. Виберіть пункт «Корінь», натиснувши один раз лівою кнопкою миші, далі - кнопку «ОК».

   

5. З'явиться наступне меню - «Аргументи функції».

   

6. Введіть число або виберіть осередок, в якій заздалегідь було написано цей вислів або формула, для цього один раз клацніть лівою кнопкою по рядку «Кількість», далі наведіть курсор на потрібну вам її та натисніть на неї. Ім'я осередку буде автоматично забито в рядок.

   

7. Натисніть на кнопку «ОК».

   

8. І все готово, функція порахувала квадратний корінь, записавши результат в вибрану комірку.

   

Існує також можливість витягти квадратний корінь з суми числа і осередки (даних, які забиті в даній комірці) або двох осередків, для цього введіть значення в рядок «Число». Напишіть число і натисніть один раз по осередку, програма сама поставить знак складання.

На замітку!Цю функцію можна вписати і вручну. У рядок формул введіть такий вираз: «= КОРІНЬ (x)», де х - шукане число.

Витяг коренів 3-ої, 4-ої та інших ступенів.

Окремою функції для вирішення цього виразу в Excel немає. Для витягання кореня n-го ступеня необхідно для початку розглянути його з математичної точки зору.

Корінь n-го ступеня дорівнює зведенню числа в протилежну ступінь (1 / n). Тобто, квадратний корінь відповідає числу в ступеня ½ (або 0.5).

наприклад:

• корінь четвертого ступеня з 16 дорівнює 16 в ступінь ¼;
• кубічний корінь з 64 = 64 в ступені 1/3;

Виконати дану дію в програмі електронних таблиць можна двома способами:

1. За допомогою функції.
2. Використовуючи значок ступеня «^», ввести вираз вручну.

Витяг кореня будь-якого ступеня за допомогою функції

1. Виберіть потрібну комірку і натисніть «Вставити функцію» у вкладці «Формули».

   

2. Розкрийте список в пункті «Категорія», в категорії «Математичні» або «Повний алфавітний перелік» знайдіть функцію «Ступінь».

   

   

3. У рядку «Кількість» введіть цифру (в нашому випадку - це число 64) або ім'я комірки, клікнувши на неї один раз.

   

4. У рядку «Ступінь» надрукуйте ступінь, в яку ви хочете звести корінь (1/3).

   

   Важливо! Для позначення знака ділення необхідно використовувати значок «/», а не стандартний знак ділення «:».

5. Натисніть «ОК», і результат дії з'явиться в спочатку вибраній комірці.

   

   

Примітка!Найбільш докладну інструкцію з фото по роботі з функціями дивись в статті вище.

Витяг кореня будь-якого ступеня з використанням значка ступеня «^»

Примітка!Записувати ступінь можна як дробом, так і десятковим числом. Наприклад, дріб ¼ можна записати як 0,25. Для відділення десятих, сотих, тисячних і так далі розрядів використовуйте кому, як прийнято в математиці.

Приклади запису виразів