Лабораторний комп'ютерний практикум -§23 Хвильові (польові) властивості частинок Які частинки мають хвильові властивості

Ви, звичайно, можете називати це нісенітницею,
але я зустрічала нісенітницю таку, що в
в порівнянні з нею ця здається розумним
словником.
Л. Керрол

Що таке планетарна модель атома та в чому її недолік? У чому полягає суть моделі атома Бора? У чому полягає гіпотеза про хвильові властивості частинок? Які прогнози дає ця гіпотеза про властивості мікросвіту?

Урок-лекція

КЛАСИЧНІ МОДЕЛІ АТОМА ТА ЇХ НЕДОЛІКИ. Ідеї ​​про те, що атоми не є неподільними частинками і містять як складові частинок елементарні заряди, були вперше висловлені в наприкінці XIXв. Термін «електрон» запропонував 1881 р. англійський фізик Джордж Стоней. У 1897 р. електронна гіпотеза отримала експериментальне підтвердження у дослідженнях Еміля Віхерта та Джозефа Джона Томсона. З цього моменту розпочалося створення різноманітних електронних моделей атомів та молекул.

Перша модель Томсона припускала, що позитивний заряд рівномірно розосереджений по всьому атому, а в нього, подібно до родзинок у булочці, вкраплені електрони.

Невідповідність цієї моделі експериментальним даним стало зрозуміло після проведення у 1906 р. досвіду Ернестом Резерфордом, який досліджував процес розсіювання α-часток атомами. З досвіду було зроблено висновок, що позитивний заряд зосереджений усередині освіти, значно меншого, ніж розміри атома. Це утворення назвали атомним ядром, розміри якого становили 10 -12 см, а розміри атома - 10 -8 см. Відповідно до класичних уявлень електромагнетизму між кожним електроном і ядром повинна діяти кулонівська сила тяжіння. Залежність цієї сили від відстані має бути такою самою, як і в законі всесвітнього тяжіння. Отже, рух електронів в атомі має бути подібним до руху планет Сонячної системи. Так народилася планетарна модель атомаРезерфорд.

Малий час життя атома і безперервний спектр випромінювання, що випливають із планетарної моделі, показували її неспроможність при описі руху електронів в атомі.

Подальше дослідження стійкості атома дало приголомшливий результат: розрахунки показали, що протягом 10 -9 з електрон повинен впасти на ядро ​​внаслідок втрати енергії на випромінювання. З іншого боку, така модель давала безперервні, а чи не дискретні спектри випромінювання атомів.

ТЕОРІЯ АТОМА БОРУ. Наступний важливий крок у розробці теорії атомів було зроблено Нільсом Бором. Найважливішою гіпотезою, висунутої Бором 1913 р., стала гіпотеза про дискретну будову енергетичних рівнів електрона в атомі. Це становище проілюстровано на енергетичних діаграмах (рис. 21). Зазвичай на енергетичних діаграмах енергія відкладається по вертикальної осі.

Мал. 21 Енергія супутника у полі тяжіння Землі (а); енергія електрона в атомі (б)

Відмінність руху тіла в гравітаційному полі (рис. 21, а) від руху електрона в атомі (рис. 21, б) відповідно до гіпотези Бора полягає в тому, що енергія тіла може безперервно змінюватися, а енергія електрона при негативних значеннях може приймати ряд дискретних значень, зображених на малюнку відрізками блакитного кольору. Ці дискретні значення було названо рівнями енергії чи, інакше, енергетичними рівнями.

Звичайно, ідея дискретних рівнів енергії була взята з гіпотези Планка. Зміна енергії електрона відповідно до теорії Бора могла відбуватися тільки стрибком (з одного рівня енергії на інший). При цих переходах випромінюється (перехід вниз) або поглинається (перехід вгору) квант світла, частота якого визначається з формули Планка hv = Е кванта = Е атома, тобто зміна енергії атома пропорційно частоті випромінюваного або поглиненого кванта світла.

Теорія Бора чудово пояснювала лінійний характер атомних спектрів. Однак на питання про причину дискретності рівнів теорія мало давала відповіді.

ХВИЛИ РЕЧОВИНИ. Наступний крок у розвитку теорії мікросвіту було зроблено Луї де Бройлем. У 1924 р. він висловив припущення, що рух мікрочастинок потрібно описувати не як класичний механічний рух, а як деякий хвильовий рух. Саме із законів хвильового руху повинні бути отримані рецепти обчислення різних величин, що спостерігаються. Так у науці поряд із хвилями електромагнітного полявиникли хвилі речовини.

Гіпотеза про хвильовому характеріруху частинок була такою ж сміливою, як і гіпотеза Планка про дискретні властивості поля. Експеримент, що прямо підтверджує гіпотезу де Бройля, був поставлений тільки в 1927 р. У цьому експерименті спостерігалася дифракція електронів на кристалі, подібно до дифракції електромагнітної хвилі.

Теорія Бора була важливим кроком у розумінні законів мікросвіту. У ній вперше було введено положення про дискретні значення енергії електрона в атомі, що відповідало досвіду і згодом увійшло в квантову теорію.

Гіпотеза про хвилі речовини дозволяла пояснити дискретну природу енергетичних рівнів. З теорії хвиль було відомо, що обмежена простором хвиля завжди має дискретні частоти. Прикладом є хвиля в такому музичному інструментіяк флейта. Частота звучання у разі визначається розмірами простору, якими обмежена хвиля (розмірами флейти). Виявляється, що це загальна властивість хвиль.

Але відповідно до гіпотези Планка частоти кванта електромагнітної хвилі пропорційна енергії кванта. Отже, і енергія електрона має набувати дискретних значень.

Ідея де Бройля виявилася дуже плідною, хоча, як уже говорилося, прямий експеримент, що підтверджує хвильові властивості електрона, був проведений лише в 1927 р. У 1926 р. Ервін Шредінгер вивів рівняння, якому повинна підкорятися хвиля електрона, і, вирішивши це рівняння стосовно атому водню, отримав всі результати, які була здатна дати теорія Бора. Фактично це було початком сучасної теорії, що описує процеси в мікросвіті, оскільки хвильове рівняння легко узагальнювалося для різних систем - багатоелектронних атомів, молекул, кристалів.

Розвиток теорії спричинило розуміння те, що хвиля, відповідна частинці, визначає можливість перебування частки у цій точці простору. Так у фізику мікросвіту увійшло поняття ймовірності

Згідно з новою теорією хвиля, що відповідає частинці, повністю визначає рух частинки. Але загальні властивості хвиль такі, що хвиля може бути локалізована у будь-якій точці простору, т. е. безглуздо говорити про координати частки у час. Наслідком цього стало повне виключення з фізики мікросвіту таких понять, як траєкторія руху частки та електронні орбіти в атомі. Красива і наочна планетарна модель атома, як виявилося, відповідає реальному руху електронів.

Всі процеси в мікросвіті мають імовірнісний характер. Шляхом розрахунків може бути визначена тільки можливість перебігу того чи іншого процесу

На закінчення повернемося до епіграфу. Гіпотези про хвилі речовини та кванти поля здавались нісенітницею багатьом фізикам, вихованим на традиціях класичної фізики. Справа в тому, що ці гіпотези позбавлені звичної наочності, яку ми маємо, роблячи спостереження в макросвіті. Однак подальший розвиток науки про мікросвіт призвело до таких уявлень, що... (див. епіграф до параграфа).

• Яким досвідченим фактам суперечила модель атома Томсона?
• Що з моделі атома Бора залишилося у сучасній теорії та що було відкинуто?
• Які ідеї сприяли висуванню де Бройлем гіпотези про хвилі речовини?

4.4.1. Гіпотеза де Бройля

Важливим етапом у створенні квантової механіки стало виявлення хвильових властивостей мікрочастинок. Ідея про хвильові властивості була спочатку висловлена ​​як гіпотеза французьким фізиком Луї де Бройлем.

У фізиці багато років панувала теорія, за якою світло є електромагнітна хвиля. Однак після робіт Планка (теплове випромінювання), Ейнштейна (фотоефект) та інших стало очевидним, що світло має корпускулярні властивості.

Щоб пояснити деякі фізичні явища, необхідно розглядати світло як потік частинок-фотонів Корпускулярні властивості світла не заперечують, а доповнюють його хвильові властивості.

Отже, фотон-елементарна частка світла, що має хвильові властивості.

Формула для імпульсу фотона

.

(4.4.3)

За де Бройлем, рух частинки, наприклад, електрона, подібно до хвильового процесу з довжиною хвилі λ , що визначається формулою (4.4.3). Ці хвилі називають хвилями де Бройля. Отже, частинки (електрони, нейтрони, протони, іони, атоми, молекули) можуть виявляти дифракційні властивості.

К.Девіссон та Л.Джермер вперше спостерігали дифракцію електронів на монокристалі нікелю.

Чи може виникнути питання: що відбувається з окремими частинками, як утворюються максимуми та мінімуми при дифракції окремих частинок?

Досліди по дифракції пучків електронів дуже малої інтенсивності, тобто окремих частинок, показали, що при цьому електрон не "розмазується" по різних напрямках, а поводиться як ціла частка. Однак ймовірність відхилення електрона за окремими напрямками внаслідок взаємодії з об'єктом дифракції різна. Найбільш ймовірне попадання електронів у ті місця, які за розрахунком відповідають максимумам дифракції, менш ймовірне їхнє потрапляння в місця мінімумів. Отже, хвильові властивості притаманні як колективу електронів, а й кожному електрону окремо.

4.4.2. Хвильова функція та її фізичний сенс

Оскільки з мікрочастинкою зіставляють хвильовий процес, що відповідає її руху, то стан частинок у квантовій механіці описується хвильовою функцією, яка залежить від координат і часу: .

Якщо силове поле, що діє на частинку, є стаціонарним, тобто не залежить від часу, то ψ-функцію можна представити у вигляді добутку двох співмножників, один з яких залежить від часу, а інший від координат:

звідси випливає фізичний сенсхвильової функції:

4.4.3. Співвідношення невизначеностей

Одним із важливих положень квантової механіки є співвідношення невизначеностей, запропоновані В.Гейзенбергом.

Нехай одночасно вимірюють положення та імпульс частинки, при цьому неточності у визначеннях абсциси та проекції імпульсу на вісь абсцис рівні відповідно Δx та Δр x .

У класичній фізиці немає жодних обмежень, що забороняють з будь-яким ступенем точності одночасно виміряти як одну, так і іншу величину, тобто Δx→0 та Δрx→0.

У квантовій механіці положення принципово інше: Δx і Δр x , що відповідають одночасному визначенню x і р x пов'язані залежністю

Формули (4.4.8), (4.4.9) називають співвідношенням невизначеностей.

Пояснимо їх одним модельним експериментом.

При вивченні явища дифракції було звернено увагу, що зменшення ширини щілини при дифракції призводить до збільшення ширини центрального максимуму. Аналогічне явище буде і при дифракції електронів на щілини модельного досвіду. Зменшення ширини щілини означає зменшення x (рис. 4.4.1), це призводить до більшого "розмазування" пучка електронів, тобто до більшої невизначеності імпульсу і швидкості частинок.

Мал. 4.4.1.Пояснення до співвідношення невизначеності.

Співвідношення невизначеностей можна у вигляді

,

(4.4.10)

де ΔE – невизначеність енергії деякого стану системи; Δt -проміжок часу, протягом якого воно існує. Співвідношення (4.4.10) означає, що менше час існування будь-якого стану системи, тим більше невизначене його значення енергії. Енергетичні рівні Е1, Е2 і т.д. мають деяку ширину (рис.4.4.2)), що залежить від часу перебування системи у стані, що відповідає цьому рівню.

Мал. 4.4.2.Енергетичні рівні Е1, Е2 і т.д. мають деяку ширину.

"Розмитість" рівнів призводить до невизначеності енергії ΔE випромінюваного фотона та його частоти Δν при переході системи з одного енергетичного рівня на інший:

,

де m-маса частинки; ; Е і Е n -її повна та потенційна енергії (потенційна енергія визначається силовим полем, в якому знаходиться частка, і для стаціонарного випадку не залежить від часу)

Якщо частинка переміщається лише вздовж деякої лінії, наприклад, уздовж осі ОХ (одномірний випадок), то рівняння Шредінгера істотно спрощується і набуває вигляду

(4.4.13)

Одним з найбільш простих прикладівна використання рівняння Шредінгера є розв'язання задачі про рух частинки в одновимірній потенційній ямі.

4.4.5. Застосування рівняння Шредінгера до атома водню. Квантові числа

Опис станів атомів та молекул за допомогою рівняння Шредінгера є досить складним завданням. Найпростіше вона вирішується одного електрона, що у полі ядра. Такі системи відповідають атому водню та водневим іонам (одноразово іонізований атом гелію, дворазово іонізований атом літію тощо). Однак і в цьому випадку розв'язання задачі є складним, тому обмежимося лише якісним викладом питання.

Насамперед у рівняння Шредінгера (4.4.12) слід підставити потенційну енергію, яка для двох взаємодіючих точкових зарядів - e (електрон) і Ze (ядро), - що знаходяться на відстані r у вакуумі, виражається таким чином:

Цей вираз є рішенням рівняння Шредінгера та повністю збігається з відповідною формулою теорії Бора (4.2.30)

На рис.4.4.3 показані рівні можливих значень повної енергії атома водню (Е 1 , Е 2 , Е 3 і т.д.) та графік залежності потенційної енергії Е n від відстані r між електроном та ядром. Зі зростанням головного квантового числа n збільшується r (див.4.2.26), а повна (4.4.15) та потенційна енергії прагнуть нуля. Кінетична енергія також прагне нуля. Заштрихована область (Е>0) відповідає стану вільного електрона.

Мал. 4.4.3. Показано рівні можливих значень повної енергії атома водню
та графік залежності потенційної енергії від відстані r між електроном та ядром.

Друге квантове число - орбітальне l, яке при даному n може набувати значення 0, 1, 2, …., n-1. Це число характеризує орбітальний момент імпульсу L i електрона щодо ядра:

Четверте квантове число - спинове m s. Воно може набувати лише двох значень (±1/2) і характеризує можливі значення проекції спина електрона:

.(4.4.18)

Стан електрона в атомі із заданими n і l позначають так: 1s, 2s, 2p, 3s і т.д. Тут цифра вказує значення головного квантового числа, а літера - орбітальне квантове число: символам s, p, d, f відповідають значення l = 0, 1, 2. 3 і т.д.

До початку XX століття в оптиці були відомі як явища, що підтверджують наявність хвильових властивостей у світла (інтерференція, поляризація, дифракція та ін.), Так і явища, що знайшли пояснення з позицій корпускулярної теорії (фотоефект, ефект Комптон та ін). На початку XX століття для частинок речовини було виявлено ряд ефектів, зовні подібних до оптичних явищ, характерних для хвиль. Так, у 1921 році Рамзауер при дослідженні розсіювання електронів на атомах аргону виявив, що при зменшенні енергії електрона від кількох десятків електрон-вольт ефективний переріз пружного розсіювання електронів на аргоні зростає (рисунок 4.1).

Але за енергії електрона ~16 эВ ефективне переріз досягає максимуму і за подальшому зменшенні енергії електрона зменшується. При енергії електрона ~ 1 еВ стає близьким до нуля, потім починає знову збільшуватися.

Таким чином, поблизу ~ 1 еВ електрони як би не випробовують з атомами аргону зіткнень і пролітають через газ без розсіювання. Така сама поведінка характерна і для перерізу розсіювання електронів на інших атомах інертних газів, а також на молекулах (останнє виявлено Таунсендом). Цей ефект аналогічний утворенню плям Пуассона при дифракції світла на малому екрані.

Інший цікавий ефект – селективне відображення електронів від поверхні металів; воно вивчалося в 1927 американськими фізиками Девіссоном і Джермером, а також незалежно від них англійським фізикомДж. П. Томсон.

Паралельний пучок моноенергетичних електронів з електронно-променевої трубки(Рисунок 4.2) направляли на нікелеву пластинку. Відбиті електрони вловлювалися колектором, з'єднаним із гальванометром. Колектор встановлюється під будь-яким кутом щодо падаючого пучка (але в одній площині з ним).

В результаті дослідів Девіссона-Джермера показано, що кутовий розподіл розсіяних електронів має такий самий характер, як і розподіл рентгенівських променів, розсіяних кристалом (рис. 4.3). Під час вивчення дифракції рентгенівських променів на кристалах було встановлено, що розподіл дифракційних максимумів описується формулою

де - постійна кристалічних ґрат, - Порядок дифракції, - Довжина хвилі рентгенівського випромінювання.

У разі розсіювання нейтронів на важкому ядрі також виникало типово дифракційний розподіл розсіяних нейтронів, аналогічний спостережуваному в оптиці при дифракції світла на поглинаючому диску або кульці.

Французький вчений Луї де Бройль у 1924 році висловив ідею про те, що частинки речовини мають і корпускулярні, і хвильові властивості. При цьому він припустив, що частинці, що вільно рухається з постійною швидкістю, відповідає плоска монохроматична хвиля

де і - її частота та хвильовий вектор.

Хвиля (4.2) поширюється у бік руху частки (). Такі хвилі отримали назву фазових хвиль, хвиль речовиниабо хвиль де Бройля.

Ідея де Бройля полягала в тому, щоб розширити аналогію між оптикою та механікою, а хвильову оптику зіставити з хвильовою механікою, намагаючись застосувати останню до внутрішньоатомних явищ. Спроба приписати електрону, і взагалі всім частинкам, подібно до фотонів, двоїсту природу, наділити їх хвильовими та корпускулярними властивостями, пов'язаними між собою квантом дії, - таке завдання представлялося вкрай необхідною та плідною. ”…Необхідно створити нову механіку хвильового характеру, яка буде стосуватися старої механіки як хвильова оптика до геометричної оптики”, - писав де Бройль у книзі «Революція у фізиці».

Частка маси, що рухається зі швидкістю, має енергію

та імпульс

а стан руху частки характеризується чотиривимірним вектором енергії-імпульсу ().

З іншого боку, у хвильовій картині ми використовуємо поняття частоти та хвильового числа (або довжини хвилі), а відповідним плоским хвилі 4-вектором є ().

Так як обидва наведені описи є різними аспектами одного і того ж фізичного об'єкта, то між ними має існувати однозначний зв'язок; релятивістськи інваріантним співвідношенням між 4-векторами є

Вирази (4.6) називаються формулами де Бройля. Довжина хвилі де Бройля визначається таким чином формулою

(Тут). Саме ця довжина хвилі повинна фігурувати у формулах при хвильовому описі ефекту Рамзауера – Таунсенда та дослідів Девіссона – Джермера.

Для електронів, прискорених електричним полемз різницею потенціалів, довжина хвилі де Бройля нм; при кВ = 0,0122 нм. Для молекули водню з енергією Дж (при = 300 К) = 0,1 нм, що з порядку величини збігається з довжиною хвилі рентгенівського випромінювання.

З урахуванням (4.6) формулу (4.2) можна записати як плоскої хвилі

відповідної частки, що має імпульс та енергію.

Хвилі де Бройля характеризуються фазовою та груповою швидкостями. Фазова швидкістьвизначається з умови сталості фази хвилі (4.8) та для релятивістської частки дорівнює

тобто вона завжди більша за швидкість світла. Групова швидкістьхвиль де Бройля дорівнює швидкості руху частки:

З (4.9) і (4.10) випливає зв'язок між фазовою та груповою швидкостями хвиль де Бройля:

Який же фізичний сенс хвиль де Бройля і який їхній зв'язок з частинками речовини?

В рамках хвильового опису руху частинки значну гносеологічну складність подано питання про її просторову локалізацію. Хвилі де Бройля (4.2), (4.8) заповнюють весь простір і є необмежений час. Властивості цих хвиль завжди і скрізь однакові: постійні їх амплітуда і частота, незмінні відстані між хвильовими поверхнями та ін. З іншого боку, мікрочастинки зберігають свої корпускулярні властивості, тобто мають певну масу, локалізовану в певній області простору. Для того, щоб вийти з положення, частинки стали представляти не монохроматичними хвилями де Бройля, а наборами хвиль з близькими частотами (хвильовими числами) - хвильовими пакетами:

при цьому амплітуди відмінні від нуля лише хвиль з хвильовими векторами, укладеними в інтервалі (). Оскільки групова швидкість хвильового пакета дорівнює швидкості руху частинки, було запропоновано представити частинку у вигляді хвильового пакета. Але ця ідея неспроможна з таких причин. Частка є стабільною освітою і в процесі свого руху як така не змінюється. Такими ж властивостями повинен мати і хвильовий пакет, який претендує представляти частинку. Тому потрібно вимагати, щоб з часом хвильовий пакет зберігав свою просторову форму або щонайменше свою ширину. Проте оскільки фазова швидкість залежить від імпульсу частинки, то (навіть у вакуумі!) повинна існувати дисперсія хвиль де Бройля. В результаті фазові співвідношення між хвилями пакета порушуються і пакет розпливається. Отже, частка, що надається таким пакетом, повинна бути нестабільною. Цей висновок суперечить досвіду.

Далі було висунуто протилежне припущення: частки первинні, а хвилі представляють їх утворення, тобто виникають, подібно до звуку в середовищі, що складається з частинок. Але таке середовище має бути досить щільним, адже про хвилі в середовищі часток має сенс говорити лише тоді, коли середня відстань між частинками дуже мала в порівнянні з довжиною хвилі. На експериментах, у яких виявляються хвильові властивості мікрочастинок, це виконується. Але навіть якщо подолати цю скруту, то все одно вказана думка повинна бути відкинута. Насправді вона означає, що хвильові властивості притаманні системам багатьох частинок, а не окремим частинкам. Тим часом хвильові властивості частинок не зникають і за малих інтенсивностей падаючих пучків. У дослідах Бібермана, Сушкіна і Фабриканта, проведених в 1949 році, застосовувалися настільки слабкі пучки електронів, що середній проміжок часу між двома послідовними проходженнями електрона через дифракційну систему (кристал) було в 30000 (!) разів більше часу, що витрачається одним електроном на проходження всього приладу. За таких умов взаємодія між електронами, звичайно, не відігравала жодної ролі. Тим не менш, при досить тривалій експозиції на фотоплівці, поміщеній за кристалом, виникала дифракційна картина, нічим не відрізняється від картини, що отримується при короткій експозиції з пучками електронів, інтенсивність яких була в 10 7 разів більша. Важливо лише, щоб у обох випадках загальна кількість електронів, які потрапляють на фотопластинку, була однаковою. Це показує, що й окремі частинки мають хвильові властивості. Експеримент показує, що одна частка дифракційної картини не дає, кожен окремий електрон викликає почорніння фотопластинки на невеликій ділянці. Всю дифракційну картину можна отримати лише завдяки попаданню на платівку великої кількості частинок.

Електрон у розглянутому досвіді повністю зберігає цілісність (заряд, масу та інші характеристики). У цьому вся виявляються його корпускулярні властивості. У той же час є прояв і хвильових властивостей. Електрон ніколи не потрапляє на ту ділянку фотопластинки, де має бути мінімум дифракційної картини. Він може бути лише поблизу положення дифракційних максимумів. При цьому не можна заздалегідь вказати, в якому напрямі полетить ця конкретна частка.

Уявлення у тому, що у поведінці мікрооб'єктів виявляються як корпускулярні, і хвильові властивості, закріплено терміні «корпускулярно-хвильовий дуалізм»і є основою квантової теорії, де і отримав природне тлумачення.

Борн запропонував наступну загальноприйняту тепер інтерпретацію результатів описаних дослідів: ймовірність влучення електрона в деяку точку на фотопластинці пропорційна інтенсивності відповідної хвилі де Бройля, тобто квадрату амплітуди хвильового поля в даному місці екрана. Таким чином, запропоновано імовірнісно-статистичне тлумаченняприроди хвиль, пов'язаних з мікрочастинками: закономірність розподілу мікрочастинок у просторі можна встановити лише для великої кількості частинок; для однієї частинки можна визначити тільки можливість попадання в певну область.

Після знайомства з корпускулярно-хвильовим дуалізмом частинок ясно, що для опису механічного стану мікрочастинок непридатні методи, які використовуються в класичній фізиці. У квантовій механіці для опису стану необхідно використовувати нові специфічні засоби. Найважливішим із них є поняття про хвильової функції, або функції стану (-функції).

Функція стану є математичний образ хвильового поля, яке слід пов'язувати з кожною часткою. Так, функцією стану вільної частки є плоска монохроматична хвиля де Бройля (4.2) або (4.8). Для частки, схильної до зовнішнього впливу (наприклад, для електрона в полі ядра), це хвильове поле може мати дуже складний вигляд, і воно змінюється з часом. Хвильова функція залежить від параметрів мікрочастинки та від тих фізичних умов, у яких частка знаходиться.

Далі ми побачимо, що через хвильову функцію досягається найповніший опис механічного стану мікрооб'єкта, який тільки можливий у мікросвіті. Знаючи функцію хвиль, можна передбачити, які значення всіх вимірюваних величин можуть спостерігатися на досвіді і з якою ймовірністю. Функція стану несе всю інформацію про рух та квантові властивості частинок, тому говорять про завдання з її допомогою квантового стану.

Відповідно до статистичної інтерпретації хвиль де Бройля, ймовірність локалізації частинки визначається інтенсивністю хвилі де Бройля, так що ймовірність виявлення частки в малому обсязі на околиці точки в момент часу дорівнює

З урахуванням комплексності функції маємо:

Для плоскої хвилі де Бройля (4.2)

тобто можна знайти вільну частинку в будь-якому місці простору.

Величину

називають щільністю імовірності.Імовірність знайти частинку в момент часу в кінцевому обсязі, згідно з теоремою складання ймовірностей, дорівнює

Якщо (4.16) зробити інтегрування в нескінченних межах, то буде отримана повна ймовірність виявлення частки в момент часу де-небудь у просторі. Це - ймовірність достовірної події, тому

Умова (4.17) називається умовою нормування, а -функцію, яка задовольняє йому, - нормованою.

Підкреслимо ще раз, що для частки, що рухається в силовому полі, як виступає функція більше складного виглядуніж плоска хвиля де Бройля (4.2).

Оскільки -функція комплексна, її можна у вигляді

де - модуль -функції, а - фазовий множник, у якому - будь-яке речове число. Зі спільного розгляду цього виразу і (4.13) ясно, що нормована хвильова функція визначена неоднозначно, а лише з точністю до постійного множника. Зазначена неоднозначність важлива і може бути усунена; однак вона несуттєва, тому що не відбивається на жодних фізичних результатах. Справді, множення функції експоненту змінює фазу комплексної функції, але з її модуль, визначальний ймовірність отримання експерименті тієї чи іншої значення фізичної величини.

Хвильову функцію частинки, що рухається в потенційному полі, можна уявити хвильовим пакетом. Якщо під час руху частинки вздовж осі довжина хвильового пакета дорівнює, то хвильові числа, необхідних його утворення, що неспроможні займати скільки завгодно вузький інтервал. Мінімальна ширина інтервалу повинна задовольняти співвідношення або, після множення,

Аналогічні співвідношення виконуються і для хвильових пакетів, що розповсюджуються вздовж осей і:

Співвідношення (4.18), (4.19) називають співвідношенням невизначеностей Гейзенберга(або принципом невизначеності). Відповідно до цього фундаментального стану квантової теорії, будь-яка фізична система не може перебувати в станах, в яких координати її центру інерції та імпульс одночасно набувають цілком певних, точних значень.

Співвідношення, аналогічні записаним, повинні виконуватися для будь-якої пари про канонічно сполучених величин. Постійна Планка, що міститься у співвідношеннях невизначеностей, встановлює межу в точності одночасного вимірювання таких величин. При цьому невизначеність у вимірах пов'язана не з недосконалістю експериментальної техніки, а з об'єктивними (хвильовими) властивостями частинок матерії.

Іншим важливим моментому розгляді станів мікрочастинок є вплив приладу на мікрооб'єкт. Будь-який процес виміру призводить до зміни фізичних параметрів стану мікросистеми; нижня межа цієї зміни встановлюється також співвідношенням невизначеностей.

Зважаючи на дещицю порівняно з макроскопічними величинами тієї ж розмірності дії співвідношення невизначеностей, істотні в основному для явищ атомних і менших масштабів і не виявляються в дослідах з макроскопічними тілами.

Співвідношення невизначеностей, вперше отримані в 1927 німецьким фізиком В. Гейзенбергом, стали важливим етапом у з'ясуванні закономірностей внутрішньоатомних явищ і побудові квантової механіки.

Як випливає зі статистичної інтерпретації сенсу хвильової функції, частка може бути з певною ймовірністю виявлена ​​в будь-якій точці простору, в якій хвильова функція відмінна від нуля. Тому результати експериментів з вимірювання, наприклад, координати мають імовірнісний характер. Це означає, що при проведенні серії однакових експериментів над однаковими системами (тобто при відтворенні однакових фізичних умов) виходять щоразу різні результати. Однак деякі значення будуть більш ймовірними, ніж інші, і з'являтимуться частіше. Найчастіше будуть виходити значення координати, які близькі до значення, що визначає положення максимуму хвильової функції. Якщо максимум виражений чітко (хвильова функція є вузьким хвильовим пакетом), то частка в основному знаходиться поблизу цього максимуму. Тим не менш, деякий розкид у значеннях координати (невизначеність порядку півширини максимуму) неминучий. Те саме стосується і вимірювання імпульсу.

В атомних системах величина по порядку величини дорівнює площі орбіти, за якою, відповідно до теорії Бора-Зоммерфельда, рухається частка у фазовій площині. У цьому вся можна переконатися, висловлюючи площу орбіти через фазовий інтеграл. При цьому вийде, що квантове число (дивись лекцію 3) задовольняє умову

На відміну від теорії Бору, де має місце рівність (тут - швидкість електрона на першій борівській орбіті в атомі водню, - швидкість світла у вакуумі,), у розглянутому випадку в стаціонарних станах середній імпульс визначається розмірами системи в координатному просторі, а відношення становить лише по порядку величини. Таким чином, застосовуючи координати та імпульс для опису мікроскопічних систем, необхідно в інтерпретацію цих понять запровадити квантові поправки. Такою поправкою є співвідношення невизначеностей.

Дещо інший сенс має співвідношення невизначеностей для енергії та часу:

Якщо система перебуває у стаціонарному стані, то із співвідношення невизначеностей випливає, що енергію системи навіть у цьому стані можна виміряти лише з точністю, яка не перевищує, де - тривалість процесу вимірювання. Співвідношення (4.20) справедливе також, якщо розуміти невизначеність значення енергії нестаціонарного стану замкнутої системи, а під - характерний час, протягом якого істотно змінюються середні значення фізичних величин у цій системі.

Співвідношення невизначеності (4.20) призводить до важливих висновків щодо збуджених станів атомів, молекул, ядер. Такі стани нестабільні, і з співвідношення невизначеностей випливає, що енергії збуджених рівнів не можуть бути суворо визначеними, тобто енергетичні рівні мають деяку природною шириною, де – час життя збудженого стану. Іншим прикладом є альфа-розпад радіоактивного ядра. Енергетичний розкид часток, що випускаються, пов'язаний з часом життя такого ядра співвідношенням.

Для нормального стану атома, а енергія має певне значення, тобто. Для нестабільної частки с, і про певне значення її енергії говорити не доводиться. Якщо час життя атома у збудженому стані прийняти рівним с, то ширина енергетичного рівня ~10 -26 Дж і ширина спектральної лінії, що виникає при переході атома в нормальний стан ~10 8 Гц.

Зі співвідношень невизначеностей випливає висновок у тому, що у квантової механіці втрачає сенс розподіл повної енергії на кінетичну і потенційну. Справді, одне з них залежить від імпульсів, іншу - від координат. Ці ж змінні що неспроможні одночасно мати певні значення. Енергія повинна визначатися та вимірюватися лише як повна енергія, без поділу на кінетичну та потенційну.

ННА ОБОЛОЧКА АТОМА ХІМІЧНОГО ЕЛЕМЕНТУ

§ 1. ВИХІДНІ ПРЕДСТАВЛЕННЯ КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ

Теорія будови атома полягає в законах, що описують рух мікрочастинок (електронів, атомів, молекул) та його систем (наприклад, кристалів). Маси та розміри мікрочастинок надзвичайно малі порівняно з масами та розмірами макроскопічних тіл. Тому властивості та закономірності руху окремої мікрочастинки якісно відрізняються від властивостей та закономірностей руху макроскопічного тіла, що вивчаються класичною фізикою. Рух та взаємодії мікрочастинок описує квантова (або хвильова) механіки. Вона ґрунтується на уявленні про квантування енергії, хвильовий характер руху мікрочастинок та ймовірнісний (статистичний) метод опису мікрооб'єктів.

Квантовий характер випромінювання та поглинання енергії. Приблизно на початку XX ст. дослідження низки явищ (випромінювань розпечених тіл, фотоефект, атомні спектри) привели до висновку, що енергія поширюється і передається, поглинається і випускається не безперервно, а дискретно, окремими порціями - квантами. Енергія системи мікрочастинок також може набувати лише певних значень, які є кратними числами квантів.

Припущення про квантову енергію вперше було висловлено М. Планком (1900) і пізніше обґрунтовано А. Ейнштейном (1905). Енергія кванту? залежить від частоти випромінювання v:

де h - постійна Планка)