Log по підставі. Властивості логарифмів і приклади їх рішень. Вичерпний гід (2020). Додавання і віднімання логарифмів

«Формули скороченого множення» - При множенні двох многочленів кожен член першого многочлена множиться на кожен член другого многочлена і твори складаються. Формули скороченого множення. При додаванні і відніманні многочленів використовуються правила розкриття дужок. Одночленной називаються твори чисел, змінних і їх натуральних ступенів.

«Рішення системи рівнянь» - Графічний спосіб (алгоритм). Рівняння - це рівність, що містить одну або кілька змінних. Рівняння і його властивості. Метод визначників (алгоритм). Система рівнянь і її рішення. Рішення системи способом порівняння. лінійне рівняння з двома змінними. Рішення системи способом складання.

«Рішення систем нерівностей» - Інтервали. Математичний диктант. Розглянуто приклади розв'язання систем лінійних нерівностей. Рішення систем нерівностей. Щоб вирішити систему лінійних нерівностей, досить вирішити кожне з вхідних в неї нерівність і знайти перетин множин їх рішень. Записати нерівності, безліччю рішення яких служать проміжки.

«Показові нерівності» - Знак нерівності. Вирішіть нерівність. рішення найпростіших показових нерівностей. Рішення показових нерівностей. Що потрібно врахувати при вирішенні показових нерівностей? Рішення найпростіших показових нерівностей. Нерівність, що містить невідому в показнику ступеня, називається показовим нерівністю.

«Відносини чисел» - Що таке пропорція? Як називаються числа m і n в пропорції а: m \u003d n: в? Приватне двох чисел називають ставленням двох чисел. Маркетинговий лан. У вірній пропорції твір крайніх членів дорівнює добутку середніх членів і навпаки. Що таке ставлення? Пропорції. Ставлення можна висловлювати в процентах.

«Дискримінант квадратного рівняння» - Теорема Вієта. Квадратні рівняння. Дискримінант. Які рівняння називаються неповними квадратними рівняннями? Скільки коренів має рівняння, якщо його дискримінант дорівнює нулю? Рішення неповних квадратних рівнянь. Скільки коренів має рівняння, якщо його дискримінант є негативним числом?

Всього в темі 14 презентацій

Область допустимих значень (ОДЗ) логарифма

Тепер поговоримо про обмеження (ОДЗ - область допустимих значень змінних).

Ми пам'ятаємо, що, наприклад, квадратний корінь не можна витягати з негативних чисел; або якщо у нас дріб, то знаменник не може дорівнювати нулю. Подібні обмеження є і у логарифмів:

Тобто і аргумент, і підстава повинні бути більше нуля, а підстава ще і не може рівнятися.

Чому так?

Почнемо з простого: припустимо, що. Тоді, наприклад, число не існує, так як в яку б ступінь ми не зводили, завжди виходить. Більш того, не існує ні для кого. Але при цьому може дорівнювати чому завгодно (з тієї ж причини - в будь-якого ступеня одно). Тому об'єкт не становить ніякого інтересу, і його просто викинули з математики.

Схожа проблема у нас і в разі: в будь-якої позитивної ступеня - це, а в негативну його взагалі не можна зводити, так як вийде розподіл на нуль (нагадаю, що).

При ми зіткнемося з проблемою введення в дробовий ступінь (яка представляється у вигляді кореня:. Наприклад, (тобто), а ось не існує.

Тому і негативні підстави простіше викинути, ніж возитися з ними.

Ну а оскільки підставу a у нас буває тільки позитивне, то в яку б ступінь ми його ні зводили, завжди отримаємо число строго позитивне. Значить, аргумент повинен бути позитивним. Наприклад, не існує, так як ні в жодній ступеня не буде негативним числом (і навіть нулем, тому теж не існує).

У завданнях з логарифмами насамперед потрібно записати ОДЗ. Наведу приклад:

Вирішимо рівняння.

Згадаймо визначення: логарифм - це ступінь, в яку треба звести підстава, щоб отримати аргумент. І за умовою, ця ступінь дорівнює:.

отримуємо звичайне квадратне рівняння:. Вирішимо його за допомогою теореми Вієта: сума коренів дорівнює, а твір. Легко підібрати, це числа і.

Але якщо відразу взяти і записати обидва цих числа у відповіді, можна отримати 0 балів за задачу. Чому? Давайте подумаємо, що буде, якщо підставити ці коріння в початкове рівняння?

Це явно невірно, так як підставу не може бути негативним, тобто корінь - «сторонній».

Щоб уникнути таких неприємних каверз, потрібно записати ОДЗ ще до початку вирішення рівняння:

Тоді, отримавши коріння і, відразу відкинемо корінь, і напишемо правильну відповідь.

приклад 1 (Спробуй вирішити самостійно) :

Знайдіть корінь рівняння. Якщо коренів декілька, у відповіді вкажіть менший з них.

Рішення:

В першу чергу напишемо ОДЗ:

Тепер згадуємо, що таке логарифм: в яку ступінь потрібно звести підставу, щоб отримати аргумент? У другу. Тобто:

Здавалося б, менший корінь дорівнює. Але це не так: відповідно до ОДЗ корінь - сторонній, тобто це взагалі не корінь даного рівняння. Таким чином, рівняння має тільки один корінь:.

відповідь: .

Основна логарифмічна тотожність

Згадаймо визначення логарифма в загальному вигляді:

Підставами в друге рівність замість логарифм:

Це рівність називається основним логарифмическим тотожністю. Хоча по суті це рівність - просто по-іншому записане визначення логарифма:

Це ступінь, в яку потрібно звести, щоб отримати.

наприклад:

Виріши ще такі приклади:

Приклад 2.

Знайдіть значення виразу.

Рішення:

Згадаймо правило з розділу:, тобто, при зведенні ступеня в ступінь показники перемножуються. Застосуємо його:

Приклад 3.

Доведіть, що.

Рішення:

властивості логарифмів

На жаль, завдання не завжди такі прості - найчастіше спершу потрібно спростити вираз, привести його до звичного вигляду, і тільки потім буде можливо порахувати значення. Це найпростіше зробити, знаючи властивості логарифмів. Так що давай вивчимо основні властивості логарифмів. Кожне з них я буду доводити, адже будь-яке правило простіше запам'ятати, якщо знати, звідки воно береться.

Всі ці якості необхідно обов'язково запам'ятати, без них більшість завдань з логарифмами вирішити не вийде.

А тепер про всі властивості логарифмів докладніше.

Властивість 1:

Доведення:

Нехай, тоді.

Маємо:, ч.т.д.

Властивість 2: Сума логарифмів

Сума логарифмів з однаковими підставами дорівнює логарифму твору: .

Доведення:

Нехай, тоді. Нехай, тоді.

приклад:Знайдіть значення виразу:.

Рішення: .

Тільки що вивчена формула допомагає спростити суму логарифмів, а не різницю, так що відразу ці логарифми не об'єднати. Але можна зробити навпаки - «розбити» перший логарифм на два: А ось обіцяне спрощення:
.
Навіщо це потрібно? Ну наприклад: чому дорівнює?

Тепер очевидно, що.

тепер спрости сам:

завдання:

відповіді:

Властивість 3: Різниця логарифмів:

Доведення:

Все точно так же, як і в пункті 2:

Нехай, тоді.

Нехай, тоді. маємо:

Приклад з минулого пункту тепер стає ще простіше:

Приклад складніше:. Здогадаєшся сам, як вирішити?

Тут потрібно зауважити, що у нас немає жодної формули про логарифми в квадраті. Це щось схоже на вираз - таке відразу не спростити.

Тому відвернемося від формул про логарифми, і подумаємо, які взагалі формули ми використовуємо в математиці найчастіше? Ще починаючи з 7 класу!

Це -. Потрібно звикнути до того, що вони всюди! І в показових, і в тригонометричних, і в ірраціональних завданнях вони зустрічаються. Тому їх потрібно обов'язково пам'ятати.

Якщо придивитися до перших двох складовою, стає ясно, що це різницю квадратів:

Відповідь для перевірки:

Спрости сам.

приклади

Відповіді.

Властивість 4: Винесення показника ступеня з аргументу логарифма:

Доведення:І тут теж використовуємо визначення логарифма: нехай, тоді. Маємо:, ч.т.д.

Можна зрозуміти це правило так:

Тобто ступінь аргументу виноситься вперед логарифма, як коефіцієнт.

приклад:Знайдіть значення виразу.

Рішення: .

Виріши сам:

приклади:

відповіді:

Властивість 5: Винесення показника ступеня з підстави логарифма:

Доведення:Нехай, тоді.

Маємо:, ч.т.д.
Запам'ятовуємо: з підстави ступінь виноситься як зворотне число, на відміну від попереднього випадку!

Властивість 6: Винесення показника ступеня з підстави і аргументи логарифма:

Або якщо ступеня однакові:.

Властивість 7: Перехід до нового основи:

Доведення:Нехай, тоді.

Маємо:, ч.т.д.

Властивість 8: Заміна місцями підстави і аргументи логарифма:

Доведення:Це окремий випадок формули 7: якщо підставити, отримаємо:, ч.т.д.

Розглянемо ще кілька прикладів.

Приклад 4.

Знайдіть значення виразу.

Використовуємо властивість логарифмів № 2 - сума логарифмів з однаковим підставою дорівнює логарифму твору:

Приклад 5.

Знайдіть значення виразу.

Рішення:

Використовуємо властивість логарифмів № 3 і № 4:

Приклад 6.

Знайдіть значення виразу.

Рішення:

Використовуємо властивість № 7 - перейдемо до основи 2:

Приклад 7.

Знайдіть значення виразу.

Рішення:

Як тобі стаття?

Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти прочитав всю статтю.

І це круто!

А тепер розкажи нам як тобі стаття?

Навчився ти вирішувати логарифми? Якщо немає, то в чому проблема?

Пиши нам в коментах нижче.

І, так, удачі на іспитах.

На ЄДІ і ОГЕ і взагалі в житті

(Від грецького λόγος - «слово», «ставлення» і ἀριθμός - «число») числа b по підставі a (Log α b) Називається таке число c, і b= a c, Тобто записи log α b=c і b \u003d a c еквівалентні. Логарифм має сенс, якщо a\u003e 0, а ≠ 1, b\u003e 0.

Говорячи іншими словами логарифм числа b по підставі аформулюється як показник ступеня , В яку треба звести число a, Щоб отримати число b(Логарифм існує тільки у позитивних чисел).

З цього формулювання випливає, що обчислення x \u003d log α b, Рівнозначно рішенням рівняння a x \u003d b.

наприклад:

log 2 8 \u003d 3 тому, що 8 \u003d 2 3.

Виділимо, що зазначена формулювання логарифма дає можливість відразу визначити значення логарифма, Коли число під знаком логарифма виступає деяким ступенем підстави. І в правду, формулювання логарифма дає можливість обґрунтувати, що якщо b \u003d a з, То логарифм числа b по підставі a дорівнює з. Також ясно, що тема логарифмирования тісно взаємопов'язана з темою ступеня числа .

Обчислення логарифма називають логарифмування. Логарифмування - це математична операція взяття логарифма. При логарифмування, твори співмножників трансформується в суми членів.

потенціювання - це математична операція зворотна логарифмуванню. При потенціюванні заданий підставу зводиться в ступінь вираження, над яким виконується потенцирование. При цьому суми членів трансформуються в твір співмножників.

Досить часто використовуються речові логарифми з підставами 2 (двійковий), е число Ейлера e ≈ 2,718 (натуральний логарифм) і 10 (десятковий).

На даному етапі доцільно розглянути зразки логарифмівlog 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

А записи lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 не мають сенсу, так як в першій з них під знаком логарифма поміщено від'ємне число , У другій - негативне число в підставі, а в третій - і негативне число під знаком логарифма і одиниця в підставі.

Умови визначення логарифма.

Варто окремо розглянути умови a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0.прі яких дається визначення логарифма. Розглянемо, чому взяті ці обмеження. У цей нам допоможе рівність виду x \u003d log α b , Зване основним логарифмическим тотожністю , Яке безпосередньо випливає з даного вище визначення логарифма.

візьмемо умова a ≠ 1. Оскільки одиниця в будь-який ступеня дорівнює одиниці, то рівність x \u003d log α b може існувати лише при b \u003d 1, Але при цьому log 1 + 1 буде будь-яким дійсним числом . Для виключення цієї неоднозначності і береться a ≠ 1.

Доведемо необхідність умови a\u003e 0. при a \u003d 0 за формулюванням логарифма може існувати тільки при b \u003d 0. І відповідно тоді log 0 0може бути будь-яким відмінним від нуля дійсним числом, так як нуль в будь-який відмінною від нуля ступеня є нуль. Виключити цю неоднозначність дає умова a ≠ 0. А при a<0 нам би довелося відкинути розбір раціональних і ірраціональних значень логарифма, оскільки ступінь з раціональним і ірраціональним показником визначена лише для невід'ємних підстав. Саме з цієї причини і обумовлено умова a\u003e 0.

І остання умова b\u003e 0 випливає з нерівності a\u003e 0, Оскільки x \u003d log α b, А значення ступеня з позитивним підставою a завжди позитивно.

Особливості логарифмів.

логарифми характеризуються відмінними особливостями, Які зумовили їх повсюдне вживання для значного полегшення кропітких розрахунків. При переході «в світ логарифмів» множення трансформується на значно більш легке складання, розподіл - на віднімання, а зведення в ступінь і добування кореня трансформуються відповідне в множення і ділення на показник ступеня.

Формулювання логарифмів і таблицю їх значень (для тригонометричних функцій) Вперше видав в 1614 році шотландський математик Джон Непер. Логарифмічні таблиці, збільшені і деталізовані іншими вченими, широко використовувалися при виконанні наукових і інженерних обчислень, і залишалися актуальними поки не стали застосовуватися електронні калькулятори і комп'ютери.