Коли квадратне рівняння має. Квадратний корінь: формули обчислення. Формула знаходження коренів квадратного рівняння. Квадратні рівняння. Дискримінант. Рішення, приклади

Просто. За формулами і чітким нескладних правил. На першому етапі

треба задане рівняння привести до стандартного вигляду, тобто до виду:

Якщо рівняння вам дано вже в такому вигляді - перший етап робити не потрібно. Найголовніше - правильно

визначити всі коефіцієнти, а, b і c.

Формула для знаходження коренів квадратного рівняння.

Вираз під знаком кореня називається дискриминант . Як бачимо, для знаходження ікси, ми

використовуємо тільки a, b і з. Тобто коефіцієнти з квадратного рівняння. Просто акуратно підставляємо

значення a, b і з в цю формулу і вважаємо. підставляємо зі своїми знаками!

наприклад, В рівнянні:

а =1; b = 3; c = -4.

Підставляємо значення і записуємо:

Приклад практично вирішене:

Це відповідь.

Найпоширеніші помилки - плутанина зі знаками значень a, bі з. Вірніше, з підстановкою

негативних значень в формулу для обчислення коренів. Тут рятує докладний запис формули

з конкретними числами. Якщо є проблеми з обчисленнями, так і робіть!

Припустимо, треба ось такий приклад вирішити:

тут a = -6; b = -5; c = -1

Розписуємо всі докладно, уважно, нічого не пропускаючи з усіма знаками і дужками:

Часто квадратні рівняння виглядають злегка інакше. Наприклад, ось так:

А тепер візьміть до уваги практичні прийоми, які різко знижують кількість помилок.

прийом перший. Не лінуйтеся перед рішенням квадратного рівняння привести його до стандартного вигляду.

Що це означає?

Припустимо, після всяких перетворень ви отримали ось таке рівняння:

Не кидайтеся писати формулу коренів! Майже напевно, ви переплутаєте коефіцієнти a, b і с.

Побудуйте приклад правильно. Спочатку ікс в квадраті, потім без квадрата, потім вільний член. Ось так:

Позбавтеся від мінуса. Як? Треба помножити все рівняння на -1. отримаємо:

А ось тепер можна сміливо записувати формулу для коренів, вважати дискримінант і дорешівать приклад.

Вирішимо самостійно. У вас повинні вийти коріння 2 і -1.

Прийом другий. Перевіряйте коріння! за теоремі Вієта.

Для вирішення наведених квадратних рівнянь, тобто якщо коефіцієнт

x 2 + bx + c \u003d 0,

тоді x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d -b

Для повного квадратного рівняння, в якому a ≠ 1:

x 2 +bx +c=0,

ділимо всі рівняння на а:

→ →

де x 1 і x 2 - корені рівняння.

прийом третій. Якщо у вашому рівнянні є дробові коефіцієнти, - позбудьтеся від дробів! домножьте

рівняння на спільний знаменник.

Висновок. Практичні поради:

1. Перед рішенням наводимо квадратне рівняння до стандартного вигляду, вибудовуємо його правильно.

2. Якщо перед іксом в квадраті стоїть негативний коефіцієнт, ліквідуємо його множенням всього

рівняння на -1.

3. Якщо коефіцієнти дробові - ліквідуємо дробу множенням всього рівняння на відповідний

множник.

4. Якщо ікс в квадраті - чистий, коефіцієнт при ньому дорівнює одиниці, рішення можна легко перевірити за

Сподіваюся, вивчивши дану статтю, ви навчитеся знаходити коріння повного квадратного рівняння.

За допомогою дискримінанту вирішуються тільки повні квадратні рівняння, для вирішення неповних квадратних рівнянь використовують інші методи, які ви знайдете в статті "Рішення неповних квадратних рівнянь".

Які ж квадратні рівняння називаються повними? це рівняння виду ах 2 + b x + c \u003d 0, Де коефіцієнти a, b і з не дорівнюють нулю. Отже, щоб вирішити повне квадратне рівняння, треба обчислити дискримінант D.

D \u003d b 2 - 4ас.

Залежно від того яке значення має дискримінант, ми і запишемо відповідь.

Якщо дискримінант негативне число (D< 0),то корней нет.

Якщо ж дискримінант дорівнює нулю, то х \u003d (-b) / 2a. Коли дискриминант позитивне число (D\u003e 0),

тоді х 1 \u003d (-b - √D) / 2a, і х 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Наприклад. Розв'язати рівняння х 2 - 4х + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Відповідь: 2.

Вирішити рівняння 2 х 2 + Х + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 · 2 · 3 \u003d - 23

Відповідь: коренів немає.

Вирішити рівняння 2 х 2 + 5х - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (-7) \u003d 81

х 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

х 2 \u003d (-5 + √81) / (2 · 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Відповідь: - 3,5; 1.

Отже уявімо рішення повних квадратних рівнянь схемою на рісунке1.

За цими формулами можна вирішувати будь-повне квадратне рівняння. Потрібно тільки уважно стежити за тим, щоб рівняння було записано многочленом стандартного вигляду

а х 2 + Bx + c, інакше можна припуститися помилки. Наприклад, у записі рівняння х + 3 + 2х 2 \u003d 0, помилково можна вирішити, що

а \u003d 1, b \u003d 3 і з \u003d 2. Тоді

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 і тоді рівняння має два кореня. А це не так. (Дивись рішення прикладу 2 вище).

Тому, якщо рівняння записано многочленом стандартного вигляду, спочатку повне квадратне рівняння треба записати многочленом стандартного вигляду (на першому місці має стояти одночлен з найбільшим показником ступеня, тобто а х 2 , Потім з меншим – bx, А потім вільний член с.

При вирішенні наведеного квадратного рівняння і квадратного рівняння з парних коефіцієнтом при другому доданку можна використовувати і інші формули. Давайте познайомимося і з цими формулами. Якщо в повному квадратному рівнянні при другому доданку коефіцієнт буде парним (b \u003d 2k), то можна вирішувати рівняння за формулами наведеними на схемі малюнка 2.

Повний квадратне рівняння називається наведеним, якщо коефіцієнт при х 2 дорівнює одиниці і рівняння набуде вигляду х 2 + px + q \u003d 0. Таке рівняння може бути дано для вирішення, або виходить розподілом всіх коефіцієнтів рівняння на коефіцієнт а, Що стоїть при х 2 .

На малюнку 3 наведена схема вирішення наведених квадратних
рівнянь. Розглянемо на прикладі застосування розглянутих в даній статті формул.

Приклад. Розв'язати рівняння

3х 2 + 6х - 6 \u003d 0.

Давайте вирішимо це рівняння застосовуючи формули наведені на схемі малюнка 1.

D \u003d 6 2 - 4 · 3 · (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√3

х 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √3

х 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d -1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3

Можна помітити, що коефіцієнт при х в цьому рівнянні парне число, тобто b \u003d 6 або b \u003d 2k, звідки k \u003d 3. Тоді спробуємо вирішити рівняння за формулами, наведеними на схемі малюнка D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3√3

х 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

х 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3. Помітивши, що всі коефіцієнти в цьому квадратному рівнянні діляться на 3 і виконавши розподіл, отримаємо наведене квадратне рівняння x 2 + 2х - 2 \u003d 0 Вирішимо це рівняння, використовуючи формули для наведеного квадратного
рівняння малюнок 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 · (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2√3

х 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

х 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3.

Як бачимо, при вирішенні цього рівняння за різними формулами ми отримали один і той же відповідь. Тому добре засвоївши формули наведені на схемі малюнка 1, ви завжди зможете вирішити будь-повне квадратне рівняння.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

В продовження теми «Рішення рівнянь» матеріал даної статті познайомить вас з квадратними рівняннями.

Розглянемо всі докладно: суть і запис квадратного рівняння, задамо супутні терміни, розберемо схему вирішення неповних і повних рівнянь, познайомимося з формулою коренів і дискримінантом, встановимо зв'язок між корінням і коефіцієнтами, ну і звичайно наведемо наочне рішення практичних прикладів.

Квадратне рівняння, його види

визначення 1

Квадратне рівняння - це рівняння, записане як a · x 2 + b · x + c \u003d 0, де x - змінна, a, b і c - деякі числа, при цьому aне їсти нуль.

Найчастіше квадратні рівняння також носять назву рівнянь другого ступеня, оскільки по суті квадратне рівняння є рівняння алгебри другого ступеня.

Наведемо приклад для ілюстрації заданого визначення: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 · x 2 + 3, 1 · x + 0, 11 \u003d 0 і т.п. - це квадратні рівняння.

визначення 2

Числа a, b і c - це коефіцієнти квадратного рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0, При цьому коефіцієнт a носить назву першого, або старшого, або коефіцієнта при x 2, b - другого коефіцієнта, або коефіцієнта при x, а c називають вільним членом.

Наприклад, в квадратному рівнянні 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0 старший коефіцієнт дорівнює 6, другий коефіцієнт є − 2 , А вільний член дорівнює − 11 . Звернемо увагу на той факт, що, коли коефіцієнти bі / або c є негативними, то використовується коротка форма запису виду 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0, а не 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.

Уточнимо також такий аспект: якщо коефіцієнти a і / або b рівні 1 або − 1 , То явного участі в запису квадратного рівняння вони можуть не брати, що пояснюється особливостями записи зазначених числових коефіцієнтів. Наприклад, в квадратному рівнянні y 2 - y + 7 \u003d 0 старший коефіцієнт дорівнює 1, а другий коефіцієнт є − 1 .

Наведені та неприведення квадратні рівняння

За значенням першого коефіцієнта квадратні рівняння поділяють на наведені і неприведення.

визначення 3

Наведене квадратне рівняння - це квадратне рівняння, де старший коефіцієнт дорівнює 1. При інших значеннях старшого коефіцієнта квадратне рівняння є неприведення.

Наведемо приклади: квадратні рівняння x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 +5 \u003d 0 є наведеними, в кожному з яких старший коефіцієнт дорівнює 1.

9 · x 2 - x - 2 \u003d 0 - неприведення квадратне рівняння, де перший коефіцієнт відмінний від 1 .

Будь-яке неприведення квадратне рівняння можливо перетворити в наведене рівняння, якщо розділити обидві його частини на перший коефіцієнт (рівносильне перетворення). Перетворене рівняння матиме такі ж коріння, як і заданий неприведення рівняння або так же не мати коренів зовсім.

Розгляд конкретного прикладу дозволить нам наочно продемонструвати виконання переходу від неприведення квадратного рівняння до наведеного.

приклад 1

Задано рівняння 6 · x 2 + 18 · x - 7 \u003d 0 . Необхідно перетворити вихідне рівняння в наведену форму.

Рішення

Згідно згаданою вище схемою розділимо обидві частини вихідного рівняння на старший коефіцієнт 6. Тоді отримаємо: (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3, І це те ж саме, що: (6 · x 2): 3 + (18 · x): 3 - 7: 3 \u003d 0 і далі: (6: 6) · x 2 + (18: 6) · x - 7: 6 \u003d 0. Звідси: x 2 + 3 · x - 1 + 1 6 \u003d 0. Таким чином, отримано рівняння, рівносильне заданому.

відповідь: x 2 + 3 · x - 1 + 1 6 \u003d 0.

Повні і неповні квадратні рівняння

Звернемося до визначення квадратного рівняння. У ньому ми уточнили, що a ≠ 0. Подібне умова необхідно, щоб рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0 було саме квадратним, оскільки при a \u003d 0 воно по суті перетворюється в лінійне рівняння b · x + c \u003d 0.

У разі ж, коли коефіцієнти b і cдорівнюють нулю (що можливо, як окремо, так і спільно), квадратне рівняння називається неповного.

визначення 4

Неповне квадратне рівняння - таке квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0,де хоча б один з коефіцієнтів bі c(Або обидва) дорівнює нулю.

Повний квадратне рівняння - квадратне рівняння, в якому все числові коефіцієнти не рівні нулю.

Поміркуємо, чому типам квадратних рівнянь дані саме такі назви.

При b \u003d 0 квадратне рівняння набуде вигляду a · x 2 + 0 · x + c \u003d 0, Що те ж саме, що a · x 2 + c \u003d 0. при c \u003d 0 квадратне рівняння записано як a · x 2 + b · x + 0 \u003d 0, Що рівносильно a · x 2 + b · x \u003d 0. при b \u003d 0 і c \u003d 0 рівняння набуде вигляду a · x 2 \u003d 0. Рівняння, які ми отримали, відмінні від повного квадратного рівняння тим, що в їх лівих частинах не міститься або доданка зі змінною x, або вільного члена, або обох відразу. Власне, цей факт і поставив назва такого типу рівнянь - неповне.

Наприклад, x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 і - 7 · x 2 - 2 · x + 1, 3 \u003d 0 - це повні квадратні рівняння; x 2 \u003d 0, - 5 · x 2 \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - неповні квадратні рівняння.

Рішення неповних квадратних рівнянь

Заданий вище визначення дає можливість виділити наступні види неповних квадратних рівнянь:

• a · x 2 \u003d 0, Такому рівняння відповідають коефіцієнти b \u003d 0 і c \u003d 0;
• a · x 2 + c \u003d 0 при b \u003d 0;
• a · x 2 + b · x \u003d 0 при c \u003d 0.

Розглянемо послідовно рішення кожного виду неповного квадратного рівняння.

Рішення рівняння a · x 2 \u003d 0

Як вже було зазначено вище, такого рівняння відповідають коефіцієнти b і c, Рівні нулю. рівняння a · x 2 \u003d 0 можливо перетворити в рівносильну їй рівняння x 2 \u003d 0, Яке ми отримаємо, поділивши обидві частини вихідного рівняння на число a, Не рівне нулю. Очевидний факт, що корінь рівняння x 2 \u003d 0 це нуль, оскільки 0 2 = 0 . Інших коренів це рівняння не має, що можна пояснити властивостями ступеня: для будь-якого числа p,не дорівнює нулю, вірно нерівність p 2\u003e 0, З чого випливає, що при p ≠ 0 рівність p 2 \u003d 0ніколи не буде досягнуто.

визначення 5

Таким чином, для неповного квадратного рівняння a · x 2 \u003d 0 існує єдиний корінь x \u003d 0.

приклад 2

Для прикладу вирішимо неповне квадратне рівняння - 3 · x 2 \u003d 0. Йому рівносильно рівняння x 2 \u003d 0, Його єдиним коренем є x \u003d 0, Тоді і вихідне рівняння має єдиний корінь - нуль.

Коротко рішення оформляється так:

- 3 · x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Рішення рівняння a · x 2 + c \u003d 0

На черзі - рішення неповних квадратних рівнянь, де b \u003d 0, c ≠ 0, тобто рівнянь виду a · x 2 + c \u003d 0. Перетворимо це рівняння, перенісши доданок з однієї частини рівняння в іншу, змінивши знак на протилежний і розділивши обидві частини рівняння на число, не рівне нулю:

• переносимо c в праву частину, що дає рівняння a · x 2 \u003d - c;
• ділимо обидві частини рівняння на a, Отримуємо в підсумку x \u003d - c a.

Наші перетворення є рівносильними, відповідно отримане рівняння також рівносильно вихідного, і цей факт дає можливість робити висновок про коріння рівняння. Від того, які значення a і cзалежить значення виразу - c a: воно може мати знак мінус (припустимо, якщо a \u003d 1 і c \u003d 2, Тоді - c a \u003d - 2 +1 \u003d - 2) або знак плюс (наприклад, якщо a \u003d - 2 і c \u003d 6, То - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); воно не дорівнює нулю, оскільки c ≠ 0. Детальніше зупинимося на ситуаціях, коли - c a< 0 и - c a > 0 .

У разі, коли - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p рівність p 2 \u003d - c a не може бути вірним.

Все інакше, коли - c a\u003e 0: згадаємо про квадратному корені, і стане очевидно, що коренем рівняння x 2 \u003d - c a буде число - c a, оскільки - c a 2 \u003d - c a. Неважко зрозуміти, що число - - c a - також корінь рівняння x 2 \u003d - c a: дійсно, - - c a 2 \u003d - c a.

Інших коренів рівняння не буде мати. Ми можемо це продемонструвати, використовуючи метод від супротивного. Для початку поставимо позначення знайдених вище коренів як x 1 і - x 1. Висловимо припущення, що рівняння x 2 \u003d - c a має також корінь x 2, Який відрізняється від коренів x 1 і - x 1. Ми знаємо, що, підставивши в рівняння замість x його коріння, перетворимо рівняння в справедливе числове рівність.

для x 1 і - x 1 запишемо: x 1 2 \u003d - c a, а для x 2 - x 2 + 2 \u003d - c a. Спираючись на властивості числових рівностей, почленно віднімемо одне вірне рівність з іншого, що дасть нам: x 1 2 - x 2 + 2 \u003d 0. Використовуємо властивості дій з числами, щоб переписати останню рівність як (X 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Відомо, що твір двох чисел є нуль тоді і тільки тоді, коли хоча б одне з чисел є нулем. Зі сказаного випливає, що x 1 - x 2 \u003d 0 і / або x 1 + x 2 \u003d 0, Що те ж саме, x 2 \u003d x 1 і / або x 2 \u003d - x 1. Виникло очевидне протиріччя, адже спочатку було домовлено, що корінь рівняння x 2 відрізняється від x 1 і - x 1. Так, ми довели, що рівняння не має інших коренів, крім x \u003d - c a і x \u003d - - c a.

Резюмуємо все міркування вище.

визначення 6

Неповне квадратне рівняння a · x 2 + c \u003d 0 рівносильне рівнянню x 2 \u003d - c a, яке:

• не матиме коренів при - c a< 0 ;
• матиме два кореня x \u003d - c a і x \u003d - - c a при - c a\u003e 0.

Наведемо приклади розв'язання рівнянь a · x 2 + c \u003d 0.

приклад 3

Задано квадратне рівняння 9 · x 2 + 7 \u003d 0.Необхідно знайти його рішення.

Рішення

Перенесемо вільний член в праву частину рівняння, тоді рівняння прийме вид 9 · x 2 \u003d - 7.
Розділимо обидві частини отриманого рівняння на 9 , Прийдемо до x 2 \u003d - 7 9. У правій частині ми бачимо число зі знаком мінус, що означає: у заданого рівняння немає коренів. Тоді і вихідне неповне квадратне рівняння 9 · x 2 + 7 \u003d 0 не матиме коренів.

відповідь: рівняння 9 · x 2 + 7 \u003d 0не має коренів.

приклад 4

Необхідно вирішити рівняння - x 2 + 36 \u003d 0.

Рішення

Перенесемо 36 в праву частину: - x 2 \u003d - 36.
Розділимо обидві частини на − 1 , отримаємо x 2 \u003d 36. У правій частині - позитивне число, звідси можна зробити висновок, що x \u003d 36 або x \u003d - 36.
Винесемо корінь і запишемо остаточний підсумок: неповне квадратне рівняння - x 2 + 36 \u003d 0 має два кореня x \u003d 6 або x \u003d - 6.

відповідь: x \u003d 6 або x \u003d - 6.

Рішення рівняння a · x 2 + b · x \u003d 0

Розберемо третій вид неповних квадратних рівнянь, коли c \u003d 0. Щоб знайти рішення неповного квадратного рівняння a · x 2 + b · x \u003d 0, Скористаємося методом розкладання на множники. Розкладемо на множники многочлен, який знаходиться в лівій частині рівняння, винісши за дужки загальний множник x. Цей крок дасть можливість перетворити вихідне неповне квадратне рівняння в рівносильну їй x · (a · x + b) \u003d 0. А це рівняння, в свою чергу, рівносильно сукупності рівнянь x \u003d 0 і a · x + b \u003d 0. рівняння a · x + b \u003d 0 лінійне, і корінь його: x \u003d - b a.

визначення 7

Таким чином, неповне квадратне рівняння a · x 2 + b · x \u003d 0 матиме два кореня x \u003d 0 і x \u003d - b a.

Закріпимо матеріал прикладом.

приклад 5

Необхідно знайти рішення рівняння 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0.

Рішення

винесемо x за дужки і отримаємо рівняння x • 2 3 · x - 2 + 2 +7 \u003d 0. Це рівняння рівносильне рівнянням x \u003d 0 і 2 3 · x - 2 + 2 +7 \u003d 0. Тепер слід вирішити отримане лінійне рівняння 2 3 · x \u003d 2 + 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Коротко рішення рівняння запишемо так:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 +7 \u003d 0

x \u003d 0 або 2 3 · x - 2 + 2 +7 \u003d 0

x \u003d 0 або x \u003d 3 3 7

відповідь: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Дискримінант, формула коренів квадратного рівняння

Для знаходження рішення квадратних рівнянь існує формула коренів:

визначення 8

x \u003d - b ± D 2 · a, де D \u003d b 2 - 4 · a · c - так званий дискриминант квадратного рівняння.

Запис x \u003d - b ± D 2 · a по суті означає, що x 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a.

Незайвим буде розуміти, як була виведена зазначена формула і яким чином її застосовувати.

Висновок формули коренів квадратного рівняння

Нехай перед нами стоїть завдання вирішити квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0. Здійснимо ряд рівносильних перетворень:

• розділимо обидві частини рівняння на число a, Відмінне від нуля, отримаємо наведене квадратне рівняння: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• виділимо повний квадрат в лівій частині отриманого рівняння:
  x 2 + ba · x + ca \u003d x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca
  Після цього рівняння набуде вигляду: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
• тепер можливо зробити перенесення двох останніх доданків в праву частину, змінивши знак на протилежний, після чого отримуємо: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
• нарешті, перетворимо вираз, записане в правій частині останнього рівності:
  b 2 · a 2 - c a \u003d b 2 4 · a 2 - c a \u003d b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2.

Таким чином, ми прийшли до рівняння x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, рівносильному вихідному рівнянню a · x 2 + b · x + c \u003d 0.

Рішення подібних рівнянь ми розбирали в попередніх пунктах (рішення неповних квадратних рівнянь). Вже отриманий досвід дає можливість зробити висновок щодо коренів рівняння x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• при b 2 - 4 · a · c 4 · a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• при b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 \u003d 0 рівняння має вигляд x + b 2 · a 2 \u003d 0, тоді x + b 2 · a \u003d 0.

Звідси очевидний єдиний корінь x \u003d - b 2 · a;

• при b 2 - 4 · a · c 4 · a 2\u003e 0 вірним буде: x + b 2 · a \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 або x \u003d b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, що те ж саме, що x + - b 2 · a \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 або x \u003d - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, тобто рівняння має два кореня.

Можливо зробити висновок, що наявність або відсутність коренів рівняння x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (а значить і вихідного рівняння) залежить від знака виразу b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, записаного в правій частині. А знак цього виразу задається знаком чисельника, (знаменник 4 · a 2 завжди буде позитивний), тобто, знаком виразу b 2 - 4 · a · c. цьому висловом b 2 - 4 · a · c дано назву - дискриминант квадратногоуравненія і визначена як його позначення буква D. Тут можна записати суть дискримінанту - по його значенню і знаку роблять висновок, чи буде квадратне рівняння мати дійсні корені, і, якщо буде, то яка кількість коренів - один або два.

Повернемося до рівняння x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2. Перепишемо його, використовуючи позначення дискримінанту: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Знову сформулюємо висновки:

визначення 9

• при D< 0 рівняння не має дійсних коренів;
• при D \u003d 0 рівняння має єдиний корінь x \u003d - b 2 · a;
• при D\u003e 0 рівняння має два кореня: x \u003d - b 2 · a + D 4 · a 2 або x \u003d - b 2 · a - D 4 · a 2. Ці корені на основі властивості радикалів можливо записати у вигляді: x \u003d - b 2 · a + D 2 · a або - b 2 · a - D 2 · a. А, коли розкриємо модулі і наведемо дроби до спільного знаменника, одержимо: x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a.

Так, результатом наших міркувань стало виведення формули коренів квадратного рівняння:

x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a, дискриминант D обчислюється за формулою D \u003d b 2 - 4 · a · c.

Дані формули дають можливість при дискримінант більше нуля визначити обидва дійсних кореня. Коли дискриминант дорівнює нулю, застосування обох формул дасть один і той же корінь, як єдине рішення квадратного рівняння. У разі, коли дискримінант від'ємний, спробувавши використовувати формулу кореня квадратного рівняння, ми зіткнемося з необхідністю витягти квадратний корінь з від'ємного числа, що виведе нас за рамки дійсних чисел. При негативному дискримінант у квадратного рівняння не буде дійсних коренів, але можлива пара комплексно сполучених коренів, що визначаються тими ж отриманими нами формулами коренів.

Алгоритм розв'язання квадратних рівнянь за формулами коренів

Вирішити квадратне рівняння можливо, відразу задіюючи формулу коренів, але в основному так надходять при необхідності знайти комплексні корені.

В основній же масі випадків зазвичай мається на увазі запитом не знайдено комплексних, а дійсних коренів квадратного рівняння. Тоді оптимально перед тим, як використовувати формули коренів квадратного рівняння, спочатку визначити дискриминант і упевнитися, що він не є негативним (в іншому випадку можна дійти висновку, що у рівняння немає дійсних коренів), а після приступити до обчислення значення коренів.

Міркування вище дають можливість сформулювати алгоритм вирішення квадратного рівняння.

визначення 10

Щоб вирішити квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0, Необхідно:

• за формулою D \u003d b 2 - 4 · a · c знайти значення дискримінанту;
• при D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• при D \u003d 0 знайти єдиний корінь рівняння за формулою x \u003d - b 2 · a;
• при D\u003e 0 визначити два дійсних кореня квадратного рівняння за формулою x \u003d - b ± D 2 · a.

Відзначимо, що, коли дискримінант є нуль, можна використовувати формулу x \u003d - b ± D 2 · a, вона дасть той же результат, що і формула x \u003d - b 2 · a.

Розглянемо приклади.

Приклади розв'язання квадратних рівнянь

Наведемо рішення прикладів при різних значеннях дискримінанту.

приклад 6

Необхідно знайти корені рівняння x 2 + 2 · x - 6 \u003d 0.

Рішення

Запишемо числові коефіцієнти квадратного рівняння: a \u003d 1, b \u003d 2 і c \u003d - 6. Далі діємо за алгоритмом, тобто приступимо до обчислення дискримінанту, для чого підставимо коефіцієнти a, b і c в формулу дискримінанту: D \u003d b 24 · a · c \u003d 2 24 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Отже, ми отримали D\u003e 0, а це означає, що вихідне рівняння буде мати два дійсних кореня.
Для їх знаходження використовуємо формулу кореня x \u003d - b ± D 2 · a і, підставивши відповідні значення, отримаємо: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Спростимо отриманий вираз, винісши множник за знак кореня з подальшим скороченням дробу:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 або x \u003d - 2 - 2 · 7 2

x \u003d - 1 + 7 або x \u003d - 1 - 7

відповідь: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

приклад 7

Необхідно вирішити квадратне рівняння - 4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.

Рішення

Визначимо дискриминант: D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. При такому значенні дискримінанту вихідне рівняння буде мати лише один корінь, який визначається за формулою x \u003d - b 2 · a.

x \u003d - 28 2 × (- 4) x \u003d 3, 5

відповідь: x \u003d 3, 5.

приклад 8

Необхідно вирішити рівняння 5 · y 2 + 6 · y + 2 \u003d 0

Рішення

Числові коефіцієнти цього рівняння будуть: a \u003d 5, b \u003d 6 і c \u003d 2. Використовуємо ці значення для знаходження дискримінанту: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Обчислений дискриминант негативний, таким чином, вихідне квадратне рівняння не має дійсних коренів.

У разі, коли стоїть завдання вказати комплексні корені, застосуємо формулу коренів, виконуючи дії з комплексними числами:

x \u003d - 6 ± - 4 2 × 5,

x \u003d - 6 + 2 · i 10 або x \u003d - 6 - 2 · i 10,

x \u003d - 3 5 +1 5 · i чи x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

відповідь: дійсні корені відсутні; комплексні коріння наступні: - 3 5 +1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

У шкільній програмі стандартно немає вимоги шукати комплексні корені, тому, якщо в ході вирішення дискриминант визначено як негативний, відразу записується відповідь, що дійсних коренів немає.

Формула коренів для парних друге коефіцієнтів

Формула коренів x \u003d - b ± D 2 · a (D \u003d b 2 - 4 · a · c) дає можливість отримати ще одну формулу, більш компактну, що дозволяє знаходити рішення квадратних рівнянь з парних коефіцієнтом при x (або з коефіцієнтом виду 2 · n, наприклад, 2 · 3 або 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Покажемо, як виводиться ця формула.

Нехай перед нами стоїть завдання знайти рішення квадратного рівняння a · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Діємо за алгоритмом: визначаємо дискриминант D \u003d (2 · n) 2 - 4 · a · c \u003d 4 · n 2 - 4 · a · c \u003d 4 · (n 2 - a · c), а потім використовуємо формулу коренів:

x \u003d - 2 · n ± D 2 · a, x \u003d - 2 · n ± 4 · n 2 - a · c 2 · a, x \u003d - 2 · n ± 2 n 2 - a · c 2 · a, x \u003d - n ± n 2 - a · ca.

Нехай вираз n 2 - a · c буде позначено як D 1 (іноді його позначають D "). Тоді формула коренів розглянутого квадратного рівняння з другим коефіцієнтом 2 · n набуде вигляду:

x \u003d - n ± D 1 a, де D 1 \u003d n 2 - a · c.

Легко побачити, що що D \u003d 4 · D 1, або D 1 \u003d D 4. Інакше кажучи, D 1 - це чверть дискримінанту. Очевидно, що знак D 1 такий же, як знак D, а значить знак D 1 також може служити індикатором наявності або відсутності коренів квадратного рівняння.

визначення 11

Таким чином, щоб знайти рішення квадратного рівняння з другим коефіцієнтом 2 · n, необхідно:

• знайти D 1 \u003d n 2 - a · c;
• при D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• при D 1 \u003d 0 визначити єдиний корінь рівняння за формулою x \u003d - n a;
• при D 1\u003e 0 визначити два дійсних кореня за формулою x \u003d - n ± D 1 a.

приклад 9

Необхідно вирішити квадратне рівняння 5 · x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0.

Рішення

Другий коефіцієнт заданого рівняння можемо уявити як 2 · (- 3). Тоді перепишемо заданий квадратне рівняння як 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 \u003d 0, де a \u003d 5, n \u003d - 3 і c \u003d - 32.

Обчислимо четверту частину дискримінанту: D 1 \u003d n 2 - a · c \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Отримане значення позитивно, це означає, що рівняння має два дійсних кореня. Визначимо їх за відповідною формулою коренів:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 або x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 або x \u003d - 2

Можливо було б зробити обчислення і по звичайній формулі коренів квадратного рівняння, але в такому випадку рішення було б більш громіздким.

відповідь: x \u003d 3 1 5 або x \u003d - 2.

Спрощення виду квадратних рівнянь

Іноді існує можливість оптимізувати вигляд вихідного рівняння, що дозволить спростити процес обчислення коренів.

Наприклад, квадратне рівняння 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 явно зручніше для вирішення, ніж 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0.

Найчастіше спрощення виду квадратного рівняння проводиться діями множення або ділення його обох частин на якесь число. Наприклад, вище ми показали спрощену запис рівняння 1 200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0, отриману діленням обох його частин на 100.

Таке перетворення можливе, коли коефіцієнти квадратного рівняння не є взаємно простими числами. Тоді зазвичай здійснюють розподіл обох частин рівняння на найбільший спільний дільник абсолютних величин його коефіцієнтів.

Як приклад використовуємо квадратне рівняння 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Визначимо НСД абсолютних величин його коефіцієнтів: НСД (12, 42, 48) \u003d НСД (НСД (12, 42), 48) \u003d НСД (6, 48) \u003d 6. Зробимо розподіл обох частин вихідного квадратного рівняння на 6 і одержимо рівносильне йому квадратне рівняння 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0.

Множенням обох частин квадратного рівняння зазвичай позбавляються від дрібних коефіцієнтів. При цьому множать на найменше спільне кратне знаменників його коефіцієнтів. Наприклад, якщо кожну частину квадратного рівняння 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 перемножити з НОК (6, 3, 1) \u003d 6, то воно стане записано в більш простому вигляді x 2 + 4 · x - 18 \u003d 0.

Наостанок зазначимо, що майже завжди позбавляються від мінуса при першому коефіцієнті квадратного рівняння, змінюючи знаки кожного члена рівняння, що досягається шляхом множення (або поділу) обох частин на - 1. Наприклад, від квадратного рівняння - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0 можна перейти до спрощеної його версії 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.

Зв'язок між країнами і коефіцієнтами

Вже відома нам формула коренів квадратного рівняння x \u003d - b ± D 2 · a висловлює коріння рівняння через його числові коефіцієнти. Спираючись на цю формулу, ми маємо можливість задати інші залежності між корінням і коефіцієнтами.

Найвідомішими і застосовними є формули теореми Вієта:

x 1 + x 2 \u003d - b a і x 2 \u003d c a.

Зокрема, для наведеного квадратного рівняння сума коренів є другий коефіцієнт з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену. Наприклад, з вигляду квадратного рівняння 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0 можливо відразу визначити, що сума його коренів дорівнює 7 3, а твір коренів - 22 3.

Також можна знайти ряд інших зв'язків між країнами і коефіцієнтами квадратного рівняння. Наприклад, сума квадратів коренів квадратного рівняння може бути виражена через коефіцієнти:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - ba 2 - 2 · ca \u003d b 2 a 2 - 2 · ca \u003d b 2 - 2 · a · ca 2.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Ця тема спочатку може здатися складною через безліч не найпростіших формул. Мало того що самі квадратні рівняння мають довгі записи, ще й коріння знаходяться через дискримінант. Всього виходить три нові формули. Не дуже просто запам'ятати. Це вдається тільки після частого рішення таких рівнянь. Тоді все формули будуть згадуватися самі собою.

Загальний вигляд квадратного рівняння

Тут запропонована їх явна запис, коли найбільша ступінь записана першою, і далі - по спадаючій. Часто бувають ситуації, коли складові стоять вроздріб. Тоді краще переписати рівняння в порядку убування ступеня у змінної.

Введемо позначення. Вони представлені в таблиці нижче.

Якщо прийняти ці позначення, все квадратні рівняння зводяться до наступного запису.

Причому коефіцієнт а ≠ 0. Нехай ця формула буде позначена номером один.

Коли рівняння задано, то незрозуміло, скільки коренів буде у відповіді. Тому що завжди можливий один із трьох варіантів:

• в рішенні буде два кореня;
• відповіддю буде одне число;
• коренів у рівняння не буде зовсім.

І поки рішення не доведено до кінця, складно зрозуміти, який з варіантів випаде в конкретному випадку.

Види записів квадратних рівнянь

У завданнях можуть зустрічатися їх різні записи. Не завжди вони будуть виглядати як загальна формула квадратного рівняння. Іноді в ній буде не вистачати деяких доданків. Те що було записано вище - це повне рівняння. Якщо в ньому прибрати друге або третє доданок, то вийде щось інше. Ці записи теж називаються квадратними рівняннями, лише неповними.

Причому зникнути можуть тільки доданки у яких коефіцієнти «в» і «с». Число «а» не може дорівнювати нулю ні за яких умов. Тому що в цьому випадку формула перетворюється в лінійне рівняння. Формули для неповного виду рівнянь будуть такими:

Отже, видів всього два, крім повних, є ще й неповні квадратні рівняння. Нехай перша формула буде мати номер два, а друга - три.

Дискримінант і залежність кількості коренів від його значення

Це число потрібно знати для того, щоб обчислити корінь рівняння. Воно може бути пораховано завжди, хоч би якою була формула квадратного рівняння. Для того щоб обчислити дискримінант, потрібно скористатися рівністю, записаним нижче, яке буде мати номер чотири.

Після підстановки в цю формулу значень коефіцієнтів, можна отримати числа з різними знаками. Якщо відповідь позитивна, то відповіддю рівняння будуть два різних кореня. При негативному числі коріння квадратного рівняння будуть відсутні. У разі його рівності нулю відповідь буде один.

Як вирішується квадратне рівняння повного виду?

По суті, розгляд цього питання вже почалося. Тому що спочатку потрібно знайти дискримінант. Після того як з'ясовано, що є коріння квадратного рівняння, і відомо їх число, потрібно скористатися формулами для змінних. Якщо коренів два, то потрібно застосувати таку формулу.

Оскільки в ній стоїть знак «±», то значень буде два. Вираз під знаком квадратного кореня - це дискриминант. Тому формулу можна переписати по-іншому.

Формула номер п'ять. З цієї ж записі видно, що якщо дискримінант дорівнює нулю, то обидва кореня візьмуть однакові значення.

Якщо рішення квадратних рівнянь ще не відпрацьовано, то краще до того, як застосовувати формули дискримінанту і змінної, записати значення всіх коефіцієнтів. Пізніше цей момент не викликатиме труднощів. Але на самому початку буває плутанина.

Як вирішується квадратне рівняння неповного виду?

Тут все набагато простіше. Навіть немає необхідності в додаткових формулах. І не знадобляться ті, що вже були записані для дискримінанту і невідомою.

Спочатку розглянемо неповне рівняння під номером два. У цій рівності покладається винести невідому величину за дужку і вирішити лінійне рівняння, яке залишиться в дужках. У відповіді буде два кореня. Перший - обов'язково дорівнює нулю, тому що є множник, що складається з самої змінної. Другий вийде при вирішенні лінійного рівняння.

Неповне рівняння під номером три вирішується перенесенням числа з лівої частини рівності в праву. Потім потрібно розділити на коефіцієнт, що стоїть перед невідомою. Залишиться тільки витягти квадратний корінь і не забути записати його два рази з протилежними знаками.

Далі записані деякі дії, допомагає навчитися вирішувати всілякі види рівностей, які перетворюються в квадратні рівняння. Вони будуть сприяти тому, що учень зможе уникнути помилок через неуважність. Ці недоліки бувають причиною поганих оцінок при вивченні великої теми « Квадратні рівняння (8 клас)". Згодом ці дії не потрібно буде постійно виконувати. Тому що з'явиться стійкий навик.

• Спочатку потрібно записати рівняння в стандартному вигляді. Тобто спочатку доданок з найбільшою ступенем змінної, а потім - без ступеня і останнім - просто число.

• Якщо перед коефіцієнтом «а» з'являється мінус, то він може ускладнити роботу для початківця вивчати квадратні рівняння. Від неї краще позбутися. Для цієї мети все рівність потрібно помножити на «-1». Це означає, що у всіх доданків зміниться знак на протилежний.

• Таким же чином рекомендується позбавлятися від дробів. Просто помножити рівняння на відповідний множник, щоб знаменники скоротилися.

приклади

Потрібно вирішити наступні квадратні рівняння:

х 2 - 7х \u003d 0;

15 - 2х - х 2 \u003d 0;

х 2 + 8 + 3х \u003d 0;

12х + х 2 + 36 \u003d 0;

(Х + 1) 2 + х + 1 \u003d (х + 1) (х + 2).

Перше рівняння: х 2 - 7х \u003d 0. Воно неповне, тому вирішується так, як було описано для формули під номером два.

Після винесення за дужки виходить: х (х - 7) \u003d 0.

Перший корінь приймає значення: х 1 \u003d 0. Другий буде знайдений з лінійного рівняння: х - 7 \u003d 0. Легко помітити, що х 2 \u003d 7.

Друге рівняння: 5х 2 + 30 \u003d 0. Знову неповне. Тільки вирішується воно так, як описано для третьої формули.

Після перенесення 30 в праву частину рівності: 5х 2 \u003d 30. Тепер потрібно виконати поділ на 5. Виходить: х 2 \u003d 6. Відповідями будуть числа: х 1 \u003d √6, х 2 \u003d - √6.

Третє рівняння: 15 - 2х - х 2 \u003d 0. Тут і далі рішення квадратних рівнянь буде починатися з їх переписування в у стандартному вікні: - х 2 - 2х + 15 \u003d 0. Тепер прийшов час скористатися другим корисною порадою і помножити все на мінус одиницю. Виходить х 2 + 2х - 15 \u003d 0. За четвертою формулою потрібно обчислити дискримінант: Д \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Він являє собою позитивне число. З того, що сказано вище, виходить, що рівняння має два кореня. Їх потрібно обчислити по п'ятій формулою. За нею виходить, що х \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Тоді х 1 \u003d 3, х 2 \u003d - 5.

Четверте рівняння х 2 + 8 + 3х \u003d 0 перетворюється в таке: х 2 + 3х + 8 \u003d 0. Його дискримінант дорівнює такому значенню: -23. Оскільки це число негативне, то відповіддю до цього завдання буде такий запис: «Корній немає».

П'яте рівняння 12х + х 2 + 36 \u003d 0 слід переписати так: х 2 + 12х + 36 \u003d 0. Після застосування формули для дискримінанту виходить число нуль. Це означає, що у нього буде один корінь, а саме: х \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Шосте рівняння (х + 1) 2 + х + 1 \u003d (х + 1) (х + 2) вимагає провести перетворення, які полягають в тому, що потрібно привести подібні доданки, до того розкривши дужки. На місці першої виявиться такий вислів: х 2 + 2х + 1. Після рівності з'явиться цей запис: х 2 + 3х + 2. Після того як подібні доданки будуть пораховані, рівняння набуде вигляду: х 2х \u003d 0. Воно перетворилося в неповне . Подібне йому вже розглядалося трохи вище. Корінням цього будуть числа 0 і 1.

Продовжуємо вивчення теми « рішення рівнянь». Ми вже познайомилися з лінійними рівняннями і переходимо до знайомства з квадратними рівняннями.

Спочатку ми розберемо, що таке квадратне рівняння, як воно записується в загальному вигляді, і дамо пов'язані визначення. Після цього на прикладах детально розберемо, як вирішуються неповні квадратні рівняння. Далі перейдемо до вирішення повних рівнянь, отримаємо формулу коренів, познайомимося з дискримінантом квадратного рівняння і розглянемо рішення характерних прикладів. Нарешті, простежимо зв'язку між країнами і коефіцієнтами.

Навігація по сторінці.

Що таке квадратне рівняння? їх види

Для початку треба чітко розуміти, що таке квадратне рівняння. Тому розмова про квадратних рівняннях логічно почати з визначення квадратного рівняння, а також пов'язаних з ним термінів. Після цього можна розглянути основні види квадратних рівнянь: наведені і неприведення, а також повні і неповні рівняння.

Визначення і приклади квадратних рівнянь

Визначення.

Квадратне рівняння - це рівняння виду a · x 2 + b · x + c \u003d 0 , Де x - змінна, a, b і c - деякі числа, причому a відмінно від нуля.

Відразу скажемо, що квадратні рівняння часто називають рівняннями другого ступеня. Це пов'язано з тим, що квадратне рівняння є алгебраїчним рівнянням другого ступеня.

Озвучене визначення дозволяє привести приклади квадратних рівнянь. Так 2 · x 2 + 6 · x + 1 \u003d 0, 0,2 · x 2 + 2,5 · x + 0,03 \u003d 0 і т.п. - це квадратні рівняння.

Визначення.

числа a, b і c називають коефіцієнтами квадратного рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0, причому коефіцієнт a називають першим, або старшим, або коефіцієнтом при x 2, b - другим коефіцієнтом, або коефіцієнтом при x, а c - вільним членом.

Для прикладу візьмемо квадратне рівняння виду 5 · x 2 -2 · x-3 \u003d 0, тут старший коефіцієнт є 5, другий коефіцієнт дорівнює -2, а вільний член дорівнює -3. Зверніть увагу, коли коефіцієнти b і / або c негативні, як в тільки що наведеному прикладі, то використовується коротка форма запису квадратного рівняння виду 5 · x 2 -2 · x-3 \u003d 0, а не 5 · x 2 + (- 2 ) · x + (- 3) \u003d 0.

Варто зазначити, що коли коефіцієнти a і / або b рівні 1 або -1, то вони в запису квадратного рівняння зазвичай не присутні явно, що пов'язано з особливостями записи таких. Наприклад, в квадратному рівнянні y 2 -y + 3 \u003d 0 старший коефіцієнт є одиниця, а коефіцієнт при y дорівнює -1.

Наведені та неприведення квадратні рівняння

Залежно від значення старшого коефіцієнта розрізняють наведені і неприведення квадратні рівняння. Дамо відповідні визначення.

Визначення.

Квадратне рівняння, в якому старший коефіцієнт дорівнює 1, називають наведеним квадратним рівнянням. В іншому випадку квадратне рівняння є неприведення.

згідно цим визначенням, Квадратні рівняння x 2 -3 · x + 1 \u003d 0, x 2 -x-2/3 \u003d 0 і т.п. - наведені, в кожному з них перший коефіцієнт дорівнює одиниці. А 5 · x 2 -x-1 \u003d 0, і т.п. - неприведення квадратні рівняння, їх старші коефіцієнти відмінні від 1.

Від будь-якого неприведення квадратного рівняння за допомогою ділення його обох частин на старший коефіцієнт можна перейти до наведеного. Ця дія є рівносильним перетворенням, тобто, отримане таким способом наведене квадратне рівняння має те ж коріння, що і вихідне неприведення квадратне рівняння, або, так само як воно, не має коренів.

Розберемо на прикладі, як виконується перехід від неприведення квадратного рівняння до наведеного.

Приклад.

Від рівняння 3 · x 2 + 12 · x-7 \u003d 0 перейдіть до відповідного наведеним квадратного рівняння.

Рішення.

Нам досить виконати поділ обох частин вихідного рівняння на старший коефіцієнт 3, він відмінний від нуля, тому ми можемо виконати цю дію. Маємо (3 · x 2 + 12 · x-7): 3 \u003d 0: 3, що те ж саме, (3 · x 2): 3+ (12 · x): 3-7: 3 \u003d 0, і далі (3: 3) · x 2 + (12: 3) · x-7: 3 \u003d 0, звідки. Так ми отримали наведене квадратне рівняння, рівносильне вихідному.

відповідь:

Повні і неповні квадратні рівняння

У визначенні квадратного рівняння присутній умова a ≠ 0. Ця умова потрібно для того, щоб рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0 було саме квадратним, так як при a \u003d 0 воно фактично стає лінійним рівнянням виду b · x + c \u003d 0.

Що стосується коефіцієнтів b і c, то вони можуть бути рівні нулю, причому як окремо, так і разом. У цих випадках квадратне рівняння називають неповним.

Визначення.

Квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0 називають неповним, Якщо хоча б один з коефіцієнтів b, c дорівнює нулю.

В свою чергу

Визначення.

Повний квадратне рівняння - це рівняння, у якого всі коефіцієнти відмінні від нуля.

Такі назви дано не випадково. З таких міркувань це стане зрозуміло.

Якщо коефіцієнт b дорівнює нулю, то квадратне рівняння набирає вигляду a · x 2 + 0 · x + c \u003d 0, і воно рівносильне рівнянню a · x 2 + c \u003d 0. Якщо c \u003d 0, тобто, квадратне рівняння має вигляд a · x 2 + b · x + 0 \u003d 0, то його можна переписати як a · x 2 + b · x \u003d 0. А при b \u003d 0 і c \u003d 0 ми отримаємо квадратне рівняння a · x 2 \u003d 0. Отримані рівняння відрізняються від повного квадратного рівняння тим, що їх ліві частини не містять або доданка зі змінною x, або вільного члена, або і того і іншого. Звідси і їх назва - неповні квадратні рівняння.

Так рівняння x 2 + x + 1 \u003d 0 і -2 · x 2 -5 · x + 0,2 \u003d 0 - це приклади повних квадратних рівнянь, а x 2 \u003d 0, -2 · x 2 \u003d 0, 5 · x 2 + 3 \u003d 0, -x 2 -5 · x \u003d 0 - це неповні квадратні рівняння.

Рішення неповних квадратних рівнянь

З інформації попереднього пункту випливає, що існує три види неповних квадратних рівнянь:

• a · x 2 \u003d 0, йому відповідають коефіцієнти b \u003d 0 і c \u003d 0;
• a · x 2 + c \u003d 0, коли b \u003d 0;
• і a · x 2 + b · x \u003d 0, коли c \u003d 0.

Розберемо по порядку, як вирішуються неповні квадратні рівняння кожного з цих видів.

a · x 2 \u003d 0

Почнемо з рішення неповних квадратних рівнянь, в яких коефіцієнти b і c дорівнюють нулю, тобто, з рівнянь виду a · x 2 \u003d 0. Рівняння a · x 2 \u003d 0 рівносильне рівняння x 2 \u003d 0, яке виходить з вихідного розподілом його обох частин на відмінне від нуля число a. Очевидно, коренем рівняння x 2 \u003d 0 є нуль, так як 0 2 \u003d 0. Інших коренів це рівняння не має, що пояснюється, дійсно, для будь-якого відмінного від нуля числа p має місце нерівність p 2\u003e 0, звідки випливає, що при p ≠ 0 рівність p 2 \u003d 0 ніколи не досягається.

Отже, неповне квадратне рівняння a · x 2 \u003d 0 має єдиний корінь x \u003d 0.

Як приклад наведемо рішення неповного квадратного рівняння -4 · x 2 \u003d 0. Йому рівносильно рівняння x 2 \u003d 0, його єдиним коренем є x \u003d 0, отже, і вихідне рівняння має єдиний корінь нуль.

Короткий рішення в цьому випадку можна оформити наступним чином:
-4 · x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

a · x 2 + c \u003d 0

Тепер розглянемо, як вирішуються неповні квадратні рівняння, в яких коефіцієнт b дорівнює нулю, а c ≠ 0, тобто, рівняння виду a · x 2 + c \u003d 0. Ми знаємо, що перенесення доданка з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, а також розподіл обох частин рівняння на відмінне від нуля число дають рівносильне рівняння. Тому можна провести наступні рівносильні перетворення неповного квадратного рівняння a · x 2 + c \u003d 0:

• перенести c в праву частину, що дає рівняння a · x 2 \u003d -c,
• і розділити обидві його частини на a, одержуємо.

Отримане рівняння дозволяє зробити висновки про його коріння. Залежно від значень a і c значення виразу може бути негативним (наприклад, якщо a \u003d 1 і c \u003d 2, то) або позитивним, (наприклад, якщо a \u003d -2 і c \u003d 6, то), вона не дорівнює нулю , так як за умовою c ≠ 0. Окремо розберемо випадки і.

Якщо, то рівняння не має коренів. Це твердження випливає з того, що квадрат будь-якого числа є число невід'ємне. З цього випливає, що коли, то ні для якого числа p рівність не може бути вірним.

Якщо, то справа з корінням рівняння інакша. В цьому випадку, якщо згадати про, то відразу стає очевидним корінь рівняння, їм є число, так як. Нескладно здогадатися, що і число теж є коренем рівняння, дійсно,. Інших коренів це рівняння не має, що можна показати, наприклад, методом від противного. Зробимо це.

Позначимо тільки що озвучені коріння рівняння як x 1 і -x 1. Припустимо, що рівняння має ще один корінь x 2, відмінний від зазначених коренів x 1 і -x 1. Відомо, що підстановка в рівняння замість x його коренів звертає рівняння в правильну числову рівність. Для x 1 і -x 1 маємо, а для x 2 маємо. Властивості числових рівностей нам дозволяють виконувати почленное віднімання вірних числових рівностей, так віднімання відповідних частин рівності і дає x 1 2 -x 2 + 2 \u003d 0. Властивості дій з числами дозволяють переписати отримане рівність як (x 1 -x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Ми знаємо, що твір двох чисел дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б одне з них дорівнює нулю. Отже, з отриманого рівності випливає, що x 1 -x 2 \u003d 0 і / або x 1 + x 2 \u003d 0, що те ж саме, x 2 \u003d x 1 і / або x 2 \u003d -x 1. Так ми прийшли до протиріччя, так як спочатку ми сказали, що корінь рівняння x 2 відмінний від x 1 і -x 1. Цим доведено, що рівняння не має інших коренів, крім і.

Узагальнимо інформацію цього пункту. Неповне квадратне рівняння a · x 2 + c \u003d 0 рівносильне рівнянню, яке

• не має коренів, якщо,
• має два кореня і, якщо.

Розглянемо приклади розв'язання неповних квадратних рівнянь виду a · x 2 + c \u003d 0.

Почнемо з квадратного рівняння 9 · x 2 + 7 \u003d 0. Після перенесення вільного члена в праву частину рівняння, воно набуде вигляду 9 · x 2 \u003d -7. Розділивши обидві частини отриманого рівняння на 9, прийдемо до. Так як в правій частині вийшло від'ємне число, то це рівняння не має коренів, отже, і вихідне неповне квадратне рівняння 9 · x 2 + 7 \u003d 0 не має коренів.

Вирішимо ще одне неповне квадратне рівняння -x 2 + 9 \u003d 0. Переносимо дев'ятку в праву частину: -x 2 \u003d -9. Тепер ділимо обидві частини на -1, отримуємо x 2 \u003d 9. У правій частині знаходиться позитивне число, звідки робимо висновок, що або. Після записуємо остаточну відповідь: неповне квадратне рівняння -x 2 + 9 \u003d 0 має два корені x \u003d 3 або x \u003d -3.

a · x 2 + b · x \u003d 0

Залишилося розібратися з рішенням останнього виду неповних квадратних рівнянь при c \u003d 0. Неповні квадратні рівняння виду a · x 2 + b · x \u003d 0 дозволяє вирішити метод розкладання на множники. Очевидно, ми можемо, що знаходиться в лівій частині рівняння, для чого достатньо винести за дужки загальний множник x. Це дозволяє перейти від вихідного неповного квадратного рівняння до рівносильному рівняння виду x · (a · x + b) \u003d 0. А це рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь x \u003d 0 і a · x + b \u003d 0, останнє з яких є лінійним і має корінь x \u003d -b / a.

Отже, неповне квадратне рівняння a · x 2 + b · x \u003d 0 має два корені x \u003d 0 і x \u003d -b / a.

Для закріплення матеріалу розберемо рішення конкретного прикладу.

Приклад.

Розв'яжіть рівняння.

Рішення.

Виносимо x за дужки, це дає рівняння. Воно рівносильно двом рівнянням x \u003d 0 і. Вирішуємо отримане лінійне рівняння:, і виконавши розподіл змішаного числа на звичайну дріб, знаходимо. Отже, корінням вихідного рівняння є x \u003d 0 і.

Після отримання необхідної практики, рішення подібних рівнянь можна записувати коротко:

відповідь:

x \u003d 0,.

Дискримінант, формула коренів квадратного рівняння

Для вирішення квадратних рівнянь існують формула коренів. запишемо формулу коренів квадратного рівняння:, Де D \u003d b 2 -4 · a · c - так званий дискриминант квадратного рівняння. Запис по суті означає, що.

Корисно знати, як була отримана формула коренів, і як вона застосовується при знаходженні коренів квадратних рівнянь. Розберемося з цим.

Висновок формули коренів квадратного рівняння

Нехай нам потрібно вирішити квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0. Виконаємо деякі рівносильні перетворення:

• Обидві частини цього рівняння ми можемо розділити на відмінне від нуля число a, в результаті отримаємо наведене квадратне рівняння.
• тепер виділимо повний квадрат в його лівій частині:. Після цього рівняння набуде вигляду.
• На цьому етапі можна здійснити перенесення двох останніх доданків в праву частину з протилежним знаком, маємо.
• І ще перетворимо вираз, що виявилося в правій частині:.

У підсумку ми приходимо до рівняння, яке рівносильне вихідному квадратного рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0.

Аналогічні за формою рівняння ми вже вирішували в попередніх пунктах, коли розбирали. Це дозволяє зробити наступні висновки, що стосуються коренів рівняння:

• якщо, то рівняння не має дійсних рішень;
• якщо, то рівняння має вигляд, отже,, звідки видно його єдиний корінь;
• якщо, то або, що те ж саме або, тобто, рівняння має два кореня.

Таким чином, наявність або відсутність коренів рівняння, а значить і вихідного квадратного рівняння, залежить від знака виразу, що стоїть в правій частині. У свою чергу знак цього виразу визначається знаком чисельника, так як знаменник 4 · a 2 завжди позитивний, тобто, знаком виразу b 2 -4 · a · c. Цей вислів b 2 -4 · a · c, назвали дискримінантом квадратного рівняння і позначили буквою D. Звідси зрозуміла суть дискримінанту - по його значенню і знаку роблять висновок, чи має квадратне рівняння дійсні корені, і якщо має, то яке їх кількість - один або два.

Повертаємося до рівняння, перепишемо його з використанням позначення дискримінанту:. І робимо висновки:

• якщо D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• якщо D \u003d 0, то це рівняння має єдиний корінь;
• нарешті, якщо D\u003e 0, то рівняння має два кореня або, які в силу можна переписати у вигляді або, а після розкриття і приведення дробів до спільного знаменника отримуємо.

Так ми вивели формули коренів квадратного рівняння, вони мають вигляд, де дискриминант D обчислюється за формулою D \u003d b 2 -4 · a · c.

З їх допомогою при позитивному дискримінант можна обчислити обидва дійсних кореня квадратного рівняння. При рівному нулю дискримінант обидві формули дають одне і те ж значення кореня, відповідне єдиного рішення квадратного рівняння. А при негативному дискримінант при спробі скористатися формулою коренів квадратного рівняння ми стикаємося з витяганням квадратного кореня з негативного числа, що виводить нас за рамки і шкільної програми. При негативному дискримінант квадратне рівняння не має дійсних коренів, але має пару комплексно сполучених коренів, які можна знайти за тим же отриманим нами формулами коренів.

Алгоритм розв'язання квадратних рівнянь за формулами коренів

На практиці при вирішенні квадратних рівняння можна відразу використовувати формулу коренів, за допомогою якої обчислити їх значення. Але це більше ставитися до знаходження комплексних коренів.

Однак в шкільному курсі алгебри зазвичай мова йде не про комплексних, а про справжні корінні квадратного рівняння. У цьому випадку доцільно перед використанням формул коренів квадратного рівняння попередньо знайти дискримінант, переконатися, що він ненегативний (в іншому випадку можна робити висновок, що рівняння не має дійсних коренів), і вже після цього обчислювати значення коренів.

Наведені міркування дозволяють записати алгоритм вирішення квадратного рівняння. Щоб вирішити квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0, треба:

• за формулою дискримінанту D \u003d b 2 -4 · a · c обчислити його значення;
• зробити висновок, що квадратне рівняння не має дійсних коренів, якщо дискримінант від'ємний;
• обчислити єдиний корінь рівняння за формулою, якщо D \u003d 0;
• знайти два дійсних кореня квадратного рівняння за формулою коренів, якщо дискримінант позитивний.

Тут лише зауважимо, що при рівному нулю дискримінант можна використовувати і формулу, вона дасть той же значення, що і.

Можна переходити до прикладів застосування алгоритму рішення квадратних рівнянь.

Приклади розв'язання квадратних рівнянь

Розглянемо рішення трьох квадратних рівнянь з позитивним, негативним і рівним нулю дискримінантом. Розібравшись з їх рішенням, за аналогією можна буде вирішити будь-яке інше квадратне рівняння. Почнемо.

Приклад.

Знайдіть корені рівняння x 2 + 2 · x-6 \u003d 0.

Рішення.

У цьому випадку маємо наступні коефіцієнти квадратного рівняння: a \u003d 1, b \u003d 2 і c \u003d -6. Відповідно до алгоритму, спочатку треба обчислити дискримінант, для цього підставляємо зазначені a, b і c в формулу дискримінанту, маємо D \u003d b 2 -4 · a · c \u003d 2 2 -4 · 1 · (-6) \u003d 4 + 24 \u003d 28. Так як 28\u003e 0, тобто, дискриминант більше нуля, то квадратне рівняння має два дійсних кореня. Знайдемо їх по формулі коренів, отримуємо, тут можна спростити отримані вирази, виконавши винесення множника за знак кореня з подальшим скороченням дробу:

відповідь:

Переходимо до наступного характерному наприклад.

Приклад.

Вирішіть квадратне рівняння -4 · x 2 + 28 · x-49 \u003d 0.

Рішення.

Починаємо з знаходження дискримінанту: D \u003d 28 2 -4 · (-4) · (-49) \u003d 784-784 \u003d 0. Отже, це квадратне рівняння має єдиний корінь, який знаходимо як, тобто,

відповідь:

x \u003d 3,5.

Залишається розглянути рішення квадратних рівнянь з від'ємним дискримінантом.

Приклад.

Розв'яжіть рівняння 5 · y 2 + 6 · y + 2 \u003d 0.

Рішення.

Тут такі коефіцієнти квадратного рівняння: a \u003d 5, b \u003d 6 і c \u003d 2. Підставляємо ці значення в формулу дискримінанту, маємо D \u003d b 2 -4 · a · c \u003d 6 2 -4 · 5 · 2 \u003d 36-40 \u003d -4. Дискримінант негативний, отже, дане квадратне рівняння не має дійсних коренів.

Якщо ж буде потрібно вказати комплексні коріння, то застосовуємо відому формулу коренів квадратного рівняння, і виконуємо дії з комплексними числами:

відповідь:

дійсних коренів немає, комплексні коріння такі:.

Ще раз відзначимо, що якщо дискримінант квадратного рівняння негативний, то в школі зазвичай відразу записують відповідь, в якому вказують, що дійсних коренів немає, і не знаходять комплексні корені.

Формула коренів для парних друге коефіцієнтів

Формула коренів квадратного рівняння, де D \u003d b 2 -4 · a · c дозволяє отримати формулу більш компактного вигляду, що дозволяє вирішувати квадратні рівняння з парних коефіцієнтом при x (або просто з коефіцієнтом, що має вигляд 2 · n, наприклад,, або 14 · ln5 \u003d 2 · 7 · ln5). Виведемо її.

Припустимо нам потрібно вирішити квадратне рівняння виду a · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Знайдемо його коріння з використанням відомої нам формули. Для цього обчислюємо дискриминант D \u003d (2 · n) 2 -4 · a · c \u003d 4 · n 2 -4 · a · c \u003d 4 · (n 2 -a · c), І далі використовуємо формулу коренів:

Позначимо вираз n 2 -a · c як D 1 (іноді його позначають D "). Тоді формула коренів розглянутого квадратного рівняння з другим коефіцієнтом 2 · n набуде вигляду , Де D 1 \u003d n 2 -a · c.

Нескладно помітити, що D \u003d 4 · D 1, або D 1 \u003d D / 4. Іншими словами, D 1 - це четверта частина дискримінанту. Зрозуміло, що знак D 1 такий же, як знак D. Тобто, знак D 1 також є індикатором наявності або відсутності коренів квадратного рівняння.

Отже, щоб вирішити квадратне рівняння з другим коефіцієнтом 2 · n, треба

• Обчислити D 1 \u003d n 2 -a · c;
• Якщо D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Якщо D 1 \u003d 0, то обчислити єдиний корінь рівняння за формулою;
• Якщо ж D 1\u003e 0, то знайти два дійсних кореня за формулою.

Розглянемо рішення прикладу з використанням отриманої в цьому пункті формули коренів.

Приклад.

Вирішіть квадратне рівняння 5 · x 2 -6 · x-32 \u003d 0.

Рішення.

Другий коефіцієнт цього рівняння можна представити у вигляді 2 · (-3). Тобто, можна переписати вихідне квадратне рівняння у вигляді 5 · x 2 + 2 · (-3) · x-32 \u003d 0, тут a \u003d 5, n \u003d -3 і c \u003d -32, і обчислити четверту частину дискримінанту: D 1 \u003d n 2 -a · c \u003d (- 3) 2 -5 · (-32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Так як його значення позитивно, то рівняння має два дійсних кореня. Знайдемо їх, використовуючи відповідну формулу коренів:

Зауважимо, що можна було використовувати звичайну формулу коренів квадратного рівняння, але в цьому випадку довелося б виконати більший обсяг обчислювальної роботи.

відповідь:

Спрощення виду квадратних рівнянь

Часом, перш ніж пускатися в обчислення коренів квадратного рівняння за формулами, не завадить запитати себе: «А чи не можна спростити вид цього рівняння»? Погодьтеся, що в плані обчислень простіше буде вирішити квадратне рівняння 11 · x 2 -4 · x-6 \u003d 0, ніж 1100 · x 2 -400 · x-600 \u003d 0.

Зазвичай спрощення виду квадратного рівняння досягається шляхом множення або ділення його обох частин на деяке число. Наприклад, в попередньому абзаці вдалося досягти спрощення рівняння 1100 · x 2 -400 · x-600 \u003d 0, розділивши обидві його частини на 100.

Подібне перетворення проводять з квадратними рівняннями, коефіцієнти якого не є. При цьому зазвичай ділять обидві частини рівняння на абсолютних величин його коефіцієнтів. Для прикладу візьмемо квадратне рівняння 12 · x 2 -42 · x + 48 \u003d 0. абсолютних величин його коефіцієнтів: НСД (12, 42, 48) \u003d НСД (НСД (12, 42), 48) \u003d НСД (6, 48) \u003d 6. Розділивши обидві частини вихідного квадратного рівняння на 6, ми прийдемо до рівносильному йому квадратного рівняння 2 · x 2 -7 · x + 8 \u003d 0.

А множення обох частин квадратного рівняння зазвичай проводиться для позбавлення від дрібних коефіцієнтів. При цьому множення проводять на знаменників його коефіцієнтів. Наприклад, якщо обидві частини квадратного рівняння помножити на НОК (6, 3, 1) \u003d 6, то воно прийме більш простий вигляд x 2 + 4 · x-18 \u003d 0.

На закінчення цього пункту зауважимо, що майже завжди позбавляються від мінуса при старшому коефіцієнті квадратного рівняння, змінюючи знаки всіх членів, що відповідає множенню (або поділу) обох частин на -1. Наприклад, зазвичай від квадратного рівняння -2 · x 2 -3 · x + 7 \u003d 0 переходять до вирішення 2 · x 2 + 3 · x-7 \u003d 0.

Зв'язок між країнами і коефіцієнтами квадратного рівняння

Формула коренів квадратного рівняння висловлює коріння рівняння через його коефіцієнти. Відштовхуючись від формули коренів, можна отримати інші залежності між корінням і коефіцієнтами.

Найбільш відомі і застосовуються формули з теореми Вієта виду і. Зокрема, для наведеного квадратного рівняння сума коренів дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а твір коренів - вільному члену. Наприклад, з вигляду квадратного рівняння 3 · x 2 -7 · x + 22 \u003d 0 можна відразу сказати, що сума його коренів дорівнює 7/3, а твір коренів одно 22/3.

Використовуючи вже записані формули можна отримати і ряд інших зв'язків між країнами і коефіцієнтами квадратного рівняння. Наприклад, можна висловити суму квадратів коренів квадратного рівняння через його коефіцієнти:.

Список літератури.

• алгебра: навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 271 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2009. - 215 с .: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.