Загальне уявлення про розподіл натуральних чисел із залишком. Поділ цілих чисел із залишком, правила, приклади Як виконувати поділ із залишком

Розподіл багатозначних чисел найлегше виконувати стовпчиком. Поділ стовпчиком інакше називають розподіл куточком.

Перед тим як розпочати виконання поділу стовпчиком, докладно розглянемо саму форму запису поділу стовпчиком. Спочатку записуємо ділене і праворуч від нього ставимо вертикальну межу:

За вертикальною межею, навпроти поділеного, пишемо дільник і під ним проводимо горизонтальну межу:

Під горизонтальною рисою поетапно буде записуватися приватне, що виходить в результаті обчислень:

Під ділимим будуть записуватись проміжні обчислення:

Повністю форма запису поділу стовпчиком виглядає так:

Як ділити стовпчиком

Допустимо, нам потрібно розділити 780 на 12, записуємо дію в стовпчик і приступаємо до поділу:

Розподіл стовпчиком виконується поетапно. Перше, що нам потрібно зробити, це визначити неповне поділення. Дивимося на першу цифру поділеного:

це число 7, так як воно менше дільника, то ми не можемо почати поділ з нього, отже потрібно взяти ще одну цифру з діленого, число 78 більше дільника, тому ми починаємо поділ з нього:

У нашому випадку число 78 буде неповним ділимим, Неповним воно називається тому, що є лише частиною ділимого.

Визначивши неповне ділене, ми можемо дізнатися скільки цифр буде в приватному, для цього нам потрібно порахувати, скільки цифр залишилося в ділимому після неповного ділимого, в нашому випадку лише одна цифра - 0, це означає, що приватне складатиметься з 2 цифр.

Дізнавшись кількість цифр, що має вийти у приватному, на його місці можна поставити крапки. Якщо при завершенні поділу кількість цифр вийшла більшою або меншою, ніж зазначено точок, значить десь була допущена помилка:

Приступаємо до поділу. Нам потрібно визначити скільки разів 12 міститься в числі 78. Для цього ми послідовно множимо дільник на натуральні числа 1, 2, 3, …, поки не вийде число максимально близьке до неповного поділеного або рівне йому, але не перевищує його. Таким чином ми отримуємо число 6, записуємо його під дільник, а з 78 (за правилами віднімання стовпчиком) віднімаємо 72 (12 · 6 = 72). Після того, як ми відняли 72 з 78, вийшов залишок 6:

Зверніть увагу, що залишок від розподілу показує нам, чи правильно ми підібрали число. Якщо залишок дорівнює дільнику або більше за нього, то ми не правильно підібрали число і нам потрібно взяти число побільше.

До залишку, що вийшов - 6, зносимо наступну цифру ділимого - 0. В результаті, вийшло неповне ділене - 60. Визначаємо, скільки разів 12 міститься в числі 60. Отримуємо число 5, записуємо його в приватне після цифри 6, а з 60 віднімаємо 60 12 · 5 = 60). У залишку вийшов нуль:

Так як в ділимо більше не залишилося цифр, значить 780 розділилося на 12 націло. В результаті виконання поділу стовпчиком ми знайшли приватне - воно записано під дільником:

Розглянемо приклад, як у приватному виходять нулі. Припустимо, нам потрібно розділити 9027 на 9.

Визначаємо неповне ділене - це число 9. Записуємо в приватне 1 і з 9 віднімаємо 9. У залишку вийшов нуль. Зазвичай, якщо у проміжних обчисленнях у залишку виходить нуль, його не записують:

Зносимо наступну цифру поділюваного - 0. Згадуємо, що при розподілі нуля на будь-яке число буде нуль. Записуємо в приватне нуль (0: 9 = 0) і в проміжних обчисленнях з 0 віднімаємо 0. Зазвичай, щоб не нагромаджувати проміжні обчислення, обчислення з нулем не записують:

Зносимо наступну цифру ділимого - 2. У проміжних обчисленнях вийшло так, що неповне ділене (2) менше, ніж дільник (9). У цьому випадку приватне записують нуль і зносять наступну цифру ділимого:

Визначаємо, скільки разів 9 міститься в числі 27. Отримуємо число 3, записуємо його в приватне, а з 27 віднімаємо 27. У залишку вийшов нуль:

Так як у ділимому більше не залишилося цифр, то число 9027 розділилося на 9 націло:

Розглянемо приклад, коли ділене закінчується нулями. Нехай нам потрібно поділити 3000 на 6.

Визначаємо неповне ділене - це число 30. Записуємо в приватне 5 і з 30 віднімаємо 30. У залишку вийшов нуль. Як було зазначено, нуль у залишку в проміжних обчисленнях записувати необов'язково:

Зносимо наступну цифру ділимого - 0. Так як при розподілі нуля на будь-яке число буде нуль, записуємо в приватне нуль і в проміжних обчисленнях з 0 віднімаємо 0:

Зносимо наступну цифру ділимого - 0. Записуємо в приватне ще один нуль і в проміжних обчисленнях з 0 віднімаємо 0. Так як у проміжних обчисленнях, обчислення з нулем зазвичай не записують, то запис можна скоротити, залишивши тільки залишок - 0. Нуль у залишку в самому кінці обчислень зазвичай записують у тому, щоб показати, що розподіл виконано націло:

Так як в ділимо більше не залишилося цифр, значить 3000 розділилося на 6 націло:

Поділ стовпчиком із залишком

Нехай нам потрібно розділити 1340 на 23.

Визначаємо неповне ділене - це число 134. Записуємо в приватне 5 і з 134 віднімаємо 115. У залишку вийшло 19:

Зносимо наступну цифру ділимого - 0. Визначаємо, скільки разів 23 міститься в числі 190. Отримуємо число 8, записуємо його в приватне, а з 190 віднімаємо 184. Отримуємо залишок 6:

Так як у ділимому більше не залишилося цифр, поділ закінчився. В результаті вийшло неповне приватне 58 та залишок 6:

1340: 23 = 58 (залишок 6)

Залишилося розглянути приклад поділу із залишком, коли ділене менше дільника. Нехай нам потрібно розділити 3 на 10. Ми бачимо, що 10 жодного разу не міститься в числі 3, тому записуємо в 0 і з 3 віднімаємо 0 (10 · 0 = 0). Проводимо горизонтальну межу і записуємо залишок - 3:

3: 10 = 0 (залишок 3)

Калькулятор поділу стовпчиком

Даний калькулятор допоможе вам виконати поділ стовпчиком. Просто введіть дільник та дільник і натисніть кнопку Обчислити.

Чим займається математика 3 клас? Поділ із залишком, приклади та завдання – ось що вивчається на уроках. Про поділ із залишком та алгоритм таких обчислень йтиметься у статті.

Особливості

Розглянемо теми, включені до програми, яку вивчає 3 клас. Поділ із залишком виділено у спеціальний розділ математики. Про що йде мова? Якщо ділене не ділиться на дільник націло, залишається залишок. Наприклад, ділимо 21 на 6. Виходить 3, але у залишку залишається 3.

У випадках, коли під час поділу натуральних чисел залишок дорівнює нулю, говорять про те, що зроблено поділ націло. Наприклад, якщо 25 потрібно поділити на 5, виходить число 5. Залишок дорівнює нулю.

Рішення прикладів

Для того щоб зробити поділ із залишком, використовується певний запис.

Наведемо приклади з математики (3 клас). Поділ із залишком у стовпчик можна не записувати. Достатньо запису в рядок: 13:4 = 3 (залишок 1) або 17:5 = 3 (залишок 2).

Розберемо все докладніше. Наприклад, при розподілі 17 на три виходить ціле число п'ять, крім того, виходить залишок два. Який порядок вирішення такого прикладу на поділ із залишком? Перш за все потрібно знайти максимальне число до 17, розділити яке можна без залишку на три. Найбільшим буде 15.

Далі проводиться розподіл 15 на три, результатом дії буде цифра п'ять. Тепер віднімаємо з діленого число, знайдене нами, тобто з 17 віднімаємо 15, отримуємо два. Обов'язковою дією є звіряння дільника та залишку. Після перевірки обов'язково записується відповідь вчиненої дії. 17: 3 = 15 (залишок 2).

Якщо залишок буде більшим за дільник, дія виконана неправильно. Саме за таким алгоритмом виконує 3 клас поділ із залишком. Приклади спочатку розбирає вчитель на дошці, а потім хлопцям пропонується перевірка знань шляхом проведення самостійної роботи.

Приклад із множенням

Одна з найважчих тем, з якою стикається 3 клас, - поділ із залишком. Приклади можуть бути складними, особливо коли потрібні додаткові розрахунки, що записуються в стовпчик.

Допустимо, необхідно розділити число 190 на 27 з отриманням мінімального залишку. Спробуємо розв'язати завдання, користуючись множенням.

Підберемо число, яке при множенні даватиме цифру, максимально наближену до 190. Якщо помножити 27 на 6, отримаємо цифру 162. Віднімемо зі 190 число 162, залишок буде 28. Він вийшов більше, ніж вихідний дільник. Отже, число шість не підходить для нашого прикладу як множник. Продовжимо розв'язання прикладу, взявши для множення число 7.

Помножуючи 27 на 7, ми отримаємо твір 189. Далі проведемо перевірку правильності рішення, для цього віднімемо зі 190 отриманий результат, тобто заберемо число 189. Залишком буде 1, що явно менше 27. Саме так вирішуються складні висловлювання в школі (3 клас, розподіл із залишком). Приклади завжди передбачають запис відповіді. Все математичне вираз можна оформити так: 190:27 = 7 (залишок 1). Подібні обчислення можна робити й у стовпчик.

Саме так здійснює 3 клас поділ із залишком. Приклади, наведені вище, допоможуть розібратися в алгоритмі розв'язання таких завдань.

Висновок

Щоб учнів початкових класів були сформовані правильні обчислювальні навички, педагог під час проведення занять з математики зобов'язаний приділяти увагу пояснення алгоритму дій дитини під час вирішення завдань поділ із залишком.

За новими федеральними державними освітніми стандартами особлива увага приділяється індивідуальному підходу до навчання. Вчитель повинен підбирати завдання для кожної дитини з урахуванням її індивідуальних здібностей. На кожному щаблі навчання правилам розподілу із залишком педагог має здійснювати проміжний контроль. Він дозволяє йому виявляти основні проблеми, що виникають із засвоєнням матеріалу у кожного учня, своєчасно проводити корекцію знань і навичок, усувати проблеми, отримувати бажаний результат.

Від загального уявлення про поділ натуральних чисел із залишком рухатимемося далі, і в цій статті ми розберемося з принципами, за якими проводиться ця дія. Взагалі розподіл із залишкоммає багато спільного з розподілом натуральних чисел без залишку, так що ми часто будемо посилатися на матеріал зазначеної статті.

Спочатку розберемося з розподілом натуральних чисел із залишком у стовпчик. Далі ми покажемо, як можна знайти результат поділу натуральних чисел із залишком, проводячи послідовне віднімання. Після цього перейдемо до методу підбору неповного приватного, не забуваючи при цьому наводити приклади з детальним описом рішення. Далі запишемо алгоритм, що дозволяє проводити розподіл натуральних чисел із залишком у загальному випадку. Наприкінці статті ми покажемо, як виконується перевірка результату поділу натуральних чисел із залишком.

Навігація на сторінці.

Поділ натуральних чисел у стовпчик із залишком

Одним із найзручніших способів поділу натуральних чисел із залишком є ​​поділ стовпчиком. У статті розподіл натуральних чисел стовпчиком ми дуже докладно розібрали цей спосіб розподілу. Тут не повторюватимемося, а просто наведемо рішення одного прикладу.

приклад.

Виконайте поділ із залишком натурального числа 273 844 на натуральне число 97 .

Рішення.

Проведемо поділ стовпчиком:

Таким чином, неповне приватне від розподілу 273844 на 97 дорівнює 2823 , а залишок дорівнює 13 .

Відповідь:

273 844:97 = 2823 (зуп. 13) .

Розподіл натуральних чисел із залишком через послідовне віднімання

Знайти неповне приватне і залишок від розподілу натуральних чисел можна, виконуючи послідовне віднімання дільника.

Суть цього підходу проста: з елементів наявної множини послідовно формуються множини з необхідною кількістю елементів до того моменту, поки це можливо, кількість отриманих множин дає неповне приватне, а кількість елементів, що залишилися у вихідній множині - залишок від поділу.

Наведемо приклад.

приклад.

Допустимо, нам потрібно розділити 7 на 3 .

Рішення.

Уявимо, що нам потрібно розкласти 7 яблук у пакети по 3 яблука. З вихідної кількості яблук ми беремо 3 штуки і кладемо в перший пакет. При цьому через сенс віднімання натуральних чисел у нас залишається 7−3=4 яблука. З них ми знову беремо 3 штуки і кладемо їх у другий пакет. Після цього в нас залишається 4-3 = 1 яблуко. Зрозуміло, що на цьому процес закінчується (ми не можемо сформувати ще один пакет з необхідною кількістю яблук, оскільки кількість яблук, що залишилася, 1 менше потрібної нам кількості 3). У результаті ми маємо два пакети з необхідною кількістю яблук та одне яблуко у залишку.

Тоді через сенс поділу натуральних чисел із залишком можна стверджувати, що ми отримали наступний результат 7:3=2 (зуп. 1) .

Відповідь:

7:3 = 2 (зуп. 1).

Розглянемо рішення ще одного прикладу, у своїй наведемо лише математичні викладки.

приклад.

Розділіть натуральне число 145 на 46 , виконуючи послідовне віднімання.

Рішення.

145−46=99 (за потреби звертайтеся до статті віднімання натуральних чисел). Оскільки 99 більше, ніж 46 , проводимо віднімання дільника вдруге: 99−46=53 . Оскільки 53>46 , то віднімаємо дільник втретє: 53-46 = 7 . Так як 7 менше, ніж 46, то ще раз провести віднімання ми не зможемо, тобто, на цьому закінчуємо процес послідовного віднімання.

У результаті нам потрібно було від діленого 145 послідовно відняти 3 рази дільник 46 , після чого вийшов залишок 7 . Таким чином, 145:46 = 3 (зуп. 7) .

Відповідь:

145: 46 = 3 (зуп. 7) .

Слід зазначити, що ділене менше дільника, ми зможемо проводити послідовне віднімання. Та це й не потрібно, тому що в цьому випадку ми можемо одразу написати відповідь. І тут неповне приватне дорівнює нулю, а залишок дорівнює ділимому. Тобто, якщо a

Ще треба сказати, що виконувати розподіл натуральних чисел із залишком розглянутим способом добре лише тоді, коли для отримання результату потрібно провести невелику кількість послідовних віднімань.

Підбір неповного приватного

При розподілі даних натуральних чисел a і b із залишком неповне приватне c можна підібрати. Зараз ми покажемо, на чому ґрунтується процес підбору і як він має проходити.

Спочатку визначимося, серед яких чисел шукати неповне приватне. Коли ми говорили про сенс поділу натуральних чисел з залишком, то з'ясували, що неповне приватне може бути або нулем, або натуральним числом, тобто одним з чисел 0, 1, 2, 3, ... Таким чином, шукане неповне приватне є одним із записаних чисел, і нам залишається перебрати їх, щоб визначити, яким саме числом є неповне приватне.

Далі нам знадобиться рівняння виду d=a−b·c , що задає , і навіть той факт, що залишок завжди менше дільника (це ми також згадували, коли говорили про сенс розподілу натуральних чисел із залишком).

Тепер можна переходити безпосередньо до опису процесу підбору неповного приватного. Подільне a і дільник b нам відомі спочатку, як неповний приватний c ми послідовно приймаємо числа 0 , 1 , 2 , 3 , …, щоразу обчислюючи значення d=a−b·c і порівнюючи його з дільником. Цей процес завершується, як тільки отримане значення буде меншим, ніж дільник. При цьому число c на цьому кроці є неповним шуканим приватним, а значення d=a−b·c є залишком від поділу.

Залишилося розібрати процес підбору неповного на прикладі.

приклад.

Виконайте поділ із залишком натурального числа 267 на 21 .

Рішення.

Підберемо неповне приватне. У прикладі a=267 , b=21 . Будемо послідовно надавати значення c 0 , 1 , 2 , 3 , …, обчислюючи на кожному кроці значення d=a−b·c і порівнюючи його з дільником 21 .

При c=0 маємо d=a−b·c=267−21·0=267−0=267(Спочатку виконується множення натуральних чисел, а потім - віднімання, про це написано в статті). Отримане число більше, ніж 21 (за потреби вивчіть матеріал статті порівняння натуральних чисел). Тому продовжуємо процес підбору.

При c=1 маємо d=a−b·c=267−21·1=267−21=246. Оскільки 246>21, то продовжуємо процес.

При c=2 отримуємо d=a−b·c=267−21·2=267−42=225. Так як 225> 21, то рухаємося далі.

При c=3 маємо d=a−b·c=267−21·3=267−63=204. Оскільки 204>21, то продовжуємо підбір.

При c=12 отримуємо d=a−b·c=267−21·12=267−252=15. Отримали число 15 яке менше, ніж 21 тому процес можна вважати завершеним. Ми підібрали неповне приватне c = 12 при цьому залишок d вийшов рівним 15 .

Відповідь:

267: 21 = 12 (зуп. 15) .

Алгоритм поділу натуральних чисел із залишком, приклади, рішення

У цьому пункті ми розглянемо алгоритм, що дозволяє проводити розподіл із залишком натурального числа a на натуральне число b у тих випадках, коли метод послідовного віднімання (і метод підбору неповного приватного) вимагає надто великої кількості обчислювальних операцій.

Відразу відзначимо, що якщо ділене a менше, ніж дільник b , то ми знаємо і неповне приватне і залишок: a b.

Перш ніж ми докладно опишемо всі кроки алгоритму поділу натуральних чисел із залишком, відповімо на три запитання: що нам відомо, що нам потрібно знайти і виходячи з яких міркувань ми це робитимемо? Спочатку нам відомо ділене a і дільник b. Нам потрібно знайти неповне приватне c та залишок d . Рівність a = b · c + d задає зв'язок між ділим, дільником, неповним приватним і залишком . З записаної рівності випливає, що якщо ми представимо ділене a у вигляді суми b c + d , в якій d менше, ніж b (оскільки залишок завжди менше дільника), то побачимо і неповне приватне c і залишок d .

Залишилося лише розібратися, як ділене a у вигляді суми b·c+d . Алгоритм, що дозволяє це зробити, дуже схожий на алгоритм розподілу натуральних чисел без залишку . Опишемо всі кроки, і одночасно вестимемо рішення прикладу для більшої ясності. Розділимо 899 на 47 .

Перші п'ять пунктів алгоритму дозволять уявити ділене як суми кількох доданків. Слід зазначити, що з цих пунктів циклічно повторюються знову й знову, доки знайдено все доданки, дають у сумі ділене. У заключному шостому пункті отримана сума перетворюється на вид b·c+d (якщо отримана сума вже не матиме такий вигляд), звідки стають видні неповне приватне, що шукається, і залишок.

Отже, приступаємо до уявлення поділеного 899 як суми кількох доданків.

Спочатку обчислюємо, наскільки кількість знаків у записі поділеного більше, ніж кількість знаків у записі дільника, і запам'ятовуємо це число.

У нашому прикладі в записі ділимого 3 знака (899 – тризначне число), а в записі дільника – два знаки (47 – двозначне число), отже, в записі поділеного на один знак більше, і ми запам'ятовуємо число 1 .

Тепер у записі дільника праворуч дописуємо цифри 0 у кількості, що визначається числом, отриманим у попередньому пункті. При цьому якщо записане число буде більшим за ділене, то з запам'ятованого в попередньому пункті числа потрібно відняти 1 .

Повертаємось до нашого прикладу. У записі дільника 47 дописуємо праворуч одну цифру 0 і отримуємо число 470 . Оскільки 470<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .

Після цього до цифри 1 праворуч приписуємо цифри 0 у кількості, що визначається числом, що запам'ятовується в попередньому пункті. При цьому отримуємо одиницю розряду, з яким ми працюватимемо далі.

У прикладі до цифри 1 приписуємо 1 цифру 0 , у своїй отримуємо число 10 , тобто, ми працюватимемо з розрядом десятків.

Тепер послідовно множимо дільник на 1, 2, 3, … одиниці робочого розряду до того моменту, поки не отримаємо число, більше або дорівнює ділимому.

Ми з'ясували, що у прикладі робочим розрядом є розряд десятків. Тому ми спочатку множимо дільник одну одиницю розряду десятків, тобто, множимо 47 на 10 , отримуємо 47·10=470 . Отримане число 470 менше ділимого 899 тому переходимо до множення дільника на дві одиниці розряду десятків, тобто 47 множимо на 20 . Маємо 47 · 20 = 940 . Ми отримали число, яке більше, ніж 899 .

Число, отримане на передостанньому кроці при послідовному множенні, є першим складових, що шукаються.

У прикладі, що розбирається, шуканим доданком є ​​число 470 (це число дорівнює твору 47 · 100, це рівність ми використовуємо пізніше).

Після цього знаходимо різницю між ділимим і першим знайденим доданком. Якщо отримане число більше від дільника, то приступаємо до знаходження другого доданку. Для цього повторюємо всі описані кроки алгоритму, але вже як ділимо приймаємо отримане число. Якщо в цьому пункті знову виходить число, більше дільника, то приступаємо до знаходження третього доданку, ще раз повторюючи кроки алгоритму, прийнявши отримане число як поділюваний. І так діємо далі, знаходячи четверте, п'яте та наступні доданки, поки отримане в цьому пункті число не буде меншим від дільника. Як тільки це сталося, то отримане тут число приймаємо як останній шуканий доданок (забігаючи вперед, скажімо, що воно дорівнює залишку), і переходимо до завершального етапу.

Повертаємось до нашого прикладу. На цьому кроці маємо 899-470 = 429. Так як 429> 47, то приймаємо це число як ділимо і повторюємо з ним всі етапи алгоритму.

У записі числа 429 на один знак більше, ніж у записі числа 47 тому, запам'ятовуємо число 1 .

Тепер у записі діленого праворуч дописуємо одну цифру 0 , отримуємо число 470 , яке більше за число 429 . Тому, з запам'ятаного в попередньому пункті числа 1 віднімаємо 1 отримуємо число 0 яке і запам'ятовуємо.

Так як у попередньому пункті ми запам'ятали число 0, то до цифри 1 не потрібно праворуч приписувати жодної цифри 0. При цьому маємо число 1, тобто робочим розрядом є розряд одиниць.

Тепер послідовно множимо дільник 47 на 1, 2, 3, … Не будемо зупинятись на цьому докладно. Скажімо лише, що 47 · 9 = 423<429 , а 47·10=470>429 . Другим шуканим доданком є ​​число 423 (яке дорівнює 479, що ми використовуємо далі).

Різниця між 429 та 423 дорівнює 6 . Це число менше, ніж дільник 47 тому воно є третім (і останнім) шуканим доданком. Тепер ми можемо перейти до завершального етапу.

От ми й підійшли до заключного етапу. Усі попередні дії були спрямовані на те, щоб подати поділену у вигляді суми кількох доданків. Тепер отриману суму залишилося перетворити на вигляд b c + d . З цим завданням нам допоможе впоратися розподільна властивість множення щодо складання. Після цього стануть видно шукане неповне приватне та залишок.

У прикладі ділимое 899 дорівнює сумі трьох доданків 470 , 423 і 6 . Суму 470+423+6 можна переписати у вигляді 47·10+47·9+6 (пам'ятаєте, ми звертали увагу на рівність 470=47·10 та 423=47·9 ). Тепер застосовуємо властивість множення натурального числа на суму, при цьому отримуємо 47·10+47·9+6=47·(10+9)+6=47·19+6. Таким чином, ділене перетворено до потрібного нам виду 899 = 47 · 19 +6, звідки легко знаходиться неповне приватне 19 та залишок 6 .

Отже, 899: 47 = 19 (зуп. 6) .

Звичайно ж, при вирішенні прикладів Ви не будете настільки докладно описувати процес поділу із залишком.

Прочитайте тему уроку: «Поділ із залишком». Що ви вже знаєте на цю тему?

Чи можете розкласти 8 слив порівну на дві тарілки (рис. 1)?

Мал. 1. Ілюстрація наприклад

У кожну тарілку можна покласти по 4 сливи (рис. 2).

Мал. 2. Ілюстрація наприклад

Дію, яку ми виконали, можна записати так.

8: 2 = 4

Як ви вважаєте, чи можна 8 слив порівну розкласти на 3 тарілки (рис. 3)?

Мал. 3. Ілюстрація наприклад

Діятимемо так. Спочатку в кожну тарілку покладемо по одній сливі, потім по другій сливі. У нас залишиться 2 сливи, але 3 тарілки. Отже, далі порівну ми не можемо розкласти. Ми поклали у кожну тарілку по 2 сливи, і 2 сливи у нас залишилося (рис. 4).

Мал. 4. Ілюстрація наприклад

Продовжимо спостереження.

Прочитайте цифри. Серед цих чисел знайдіть ті, що діляться на 3.

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Перевірте себе.

Інші числа (11, 13, 14, 16, 17, 19) на 3 не діляться, або кажуть "діляться із залишком".

Знайдемо значення частки.

Дізнаємося, скільки разів по 3 міститься в числі 17 (рис. 5).

Мал. 5. Ілюстрація наприклад

Ми бачимо, що помістилося по 3 овали 5 разів і 2 овали залишилося.

Виконану дію можна записати так.

17: 3 = 5 (зуп. 2)

Можна записати і в стовпчик (рис. 6)

Мал. 6. Ілюстрація наприклад

Розгляньте малюнки. Поясніть підписи до цих малюнків (рис. 7).

Мал. 7. Ілюстрація наприклад

Розглянемо перший рисунок (рис. 8).

Мал. 8. Ілюстрація наприклад

Ми, що 15 овалів розділили по 2. По 2 повторилося 7 разів, у залишку - 1 овал.

Розглянемо другий рисунок (рис. 9).

Мал. 9. Ілюстрація наприклад

На цьому малюнку 15 квадратів розділили по 4. По 4 повторилося 3 рази, у залишку – 3 квадрати.

Розглянемо третій рисунок (рис. 10).

Мал. 10. Ілюстрація наприклад

Можна сміливо сказати, що 15 овалів розділили по 3. По 3 повторилося 5 разів порівну. У таких випадках кажуть, що залишок – 0.

Виконаємо поділ.

Сім квадратів розділимо по три. Отримаємо дві групи, і один квадрат залишиться. Запишемо рішення (рис. 11).

Мал. 11. Ілюстрація наприклад

Виконаємо поділ.

Дізнаємося, скільки разів по чотири міститься в числі 10. Бачимо, що в числі 10 по чотири міститься 2 рази та 2 квадрати залишаються. Запишемо рішення (рис. 12).

Мал. 12. Ілюстрація наприклад

Виконаємо поділ.

Дізнаємося, скільки разів по два міститься в числі 11. Бачимо, що серед 11 по два міститься 5 разів і 1 квадрат залишається. Запишемо рішення (рис. 13).

Мал. 13. Ілюстрація наприклад

Зробимо висновок. Розділити із залишком - значить дізнатися, скільки разів дільник міститься в діленому і скільки одиниць залишиться.

Розподіл із залишком можна виконати і на числовому промені.

На числовому промені відзначимо відрізки по 3 поділки і побачимо, що по три поділки виявилося тричі і один поділ залишився (рис. 14).

Мал. 14. Ілюстрація наприклад

Запишемо рішення.

10: 3 = 3 (зуп.1)

Виконаємо поділ.

На числовому промені відзначимо відрізки по 3 поділки і побачимо, що по три поділки виявилося тричі і два поділки залишилося (рис. 15).

Мал. 15. Ілюстрація наприклад

Запишемо рішення.

11: 3 = 3 (зуп.2)

Виконаємо поділ.

На числовому промені відзначимо відрізки по 3 поділки та побачимо, що отримали рівно 4 рази, залишок відсутній (рис. 16).

Мал. 16. Ілюстрація наприклад

Запишемо рішення.

12: 3 = 4

Сьогодні на уроці ми познайомилися з поділом із залишком, навчилися виконувати названу дію за допомогою малюнка та числового променя, потренувалися у вирішенні прикладів на тему уроку.

Список літератури

1. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 1. – М.: «Освіта», 2012.
2. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 2. – М.: «Освіта», 2012.
3. М.І. Море. Уроки математики: Методичні поради для вчителя. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
4. Нормативно-правовий документ. Контроль та оцінка результатів навчання. – К.: «Освіта», 2011.
5. "Школа Росії": Програми для початкової школи. – К.: «Освіта», 2011.
6. С.І. Волкова. Математика: Перевірочні роботи. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
7. В.М. Рудницька. Тести. – К.: «Іспит», 2012.

1. Nsportal.ru().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашнє завдання

1. Випиши числа, які поділяються на 2 без залишку.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Виконай розподіл із залишком за допомогою малюнка.

3. Виконай поділ із залишком за допомогою числового променя.

4. Склади завдання для своїх товаришів на тему уроку.

Поділ із залишком- це розподіл одного числа на інше, при якому залишок не дорівнює нулю.

Виконати поділ не завжди можливо, тому що трапляються випадки, коли одне число не ділиться на інше. Наприклад, число 11 не ділиться на 3, тому що немає такого натурального числа, при множенні якого на 3 вийшло б 11.

Коли поділ неможливо виконати, домовилися ділити не все ділене, а тільки найбільшу його частину, яка тільки може розділитися на дільник. У цьому прикладі найбільша частина ділимого, яка може бути розділена на 3 - це 9 (в результаті отримаємо 3), менша частина ділимого, що залишилася, - 2 не розділиться на 3.

Говорячи про поділ 11 на 3, 11 як і раніше називається ділимим, 3 - дільником, результат поділу - число 3, називають неповним приватним, а число 2 - залишком від розподілу. Сам поділ у разі називають розподілом із залишком.

Неповним приватним називають найбільше число, яке при множенні на дільник дає твір, що не перевищує діленого. Різницю між ділимим і цим твором називають залишком. Залишок завжди менший за дільник, інакше його теж можна було б поділити на дільник.

Поділ із залишком можна записувати так:

11: 3 = 3 (залишок 2)

Якщо при розподілі одного натурального числа на інше в залишку виходить 0, то кажуть, що перше число поділяється на друге націло. Наприклад, 4 ділиться на 2 націло. Число 5 не ділиться на 2 націло. Слово націло зазвичай опускають для стислості і кажуть: таке число ділиться на інше, наприклад: 4 ділиться на 2, а 5 не ділиться на 2.

Перевірка поділу із залишком

Перевірити результат поділу із залишком можна у такий спосіб: неповне приватне помножити на дільник (або навпаки) і до отриманого твору додати залишок. Якщо в результаті вийде число, що дорівнює ділимому, то поділ із залишком зроблено правильно:

11: 3 = 3 (залишок 2)