Мановскіх робота "логарифмічні нерівності в ЄДІ". Мановскіх робота "логарифмічні нерівності в ЄДІ" Як вирішувати логарифмічні нерівності ЄДІ 15 завдання
Логарифмічна НЕРІВНОСТІ В ЄДІ
Сечин Михайло Олександрович
Мала академія наук учнівської молоді РК «Шукач»
МБОУ «Радянська СШ №1», 11 клас, смт. Радянський Радянського району
Гунько Людмила Дмитрівна, вчитель МБОУ «Радянська СШ №1»
Радянського району
Мета роботи: дослідження механізму вирішення логарифмічних нерівностей С3 за допомогою нестандартних методів, виявлення цікавих фактів логарифма.
Предмет дослідження:
3) Навчитися вирішувати конкретні логарифмічні нерівності С3 за допомогою нестандартних методів.
результати:
зміст
Введение .................................................................................... .4
Глава 1. Історія питання ............................................................ ... 5
Глава 2. Збірник логарифмічних нерівностей .............................. 7
2.1. Рівносильні переходи і узагальнений метод інтервалів ............... 7
2.2. Метод раціоналізації ......................................................... 15
2.3. Нестандартна підстановка .................. .......................................... ..... 22
2.4. Завдання з пастками ............................................................ 27
Висновок .............................................................................. 30
Література ............................................................................... 31
Вступ
Я вчуся в 11 класі і планую вступити до ВНЗ, де профільним предметом є математика. А тому багато працюю з завданнями частини С. В завданні С3 потрібно вирішити нестандартне нерівність або систему нерівностей, як правило, пов'язане з логарифмами. При підготовці до іспиту я зіткнувся з проблемою дефіциту методів і прийомів рішення екзаменаційних логарифмічних нерівностей, пропонованих в С3. Методи, які вивчаються в шкільній програмі по цій темі, не дають базу для вирішення завдань С3. Учитель з математики запропонувала мені попрацювати із завданнями С3 самостійно під її керівництвом. Крім цього, мене зацікавило питання: а в житті нашої зустрічаються логарифми?
З урахуванням цього і була обрана тема:
«Логарифмічні нерівності в ЄДІ»
Мета роботи: дослідження механізму вирішення завдань С3 за допомогою нестандартних методів, виявлення цікавих фактів логарифма.
Предмет дослідження:
1) Знайти необхідні відомості про нестандартні методи рішення логарифмічних нерівностей.
2) Знайти додаткові відомості про логарифми.
3) Навчитися вирішувати конкретні завдання С3 за допомогою нестандартних методів.
результати:
Практична значимість полягає в розширенні апарату для вирішення завдань С3. Даний матеріал можна буде використовувати на деяких уроках, для проведення гуртків, факультативних занять з математики.
Проектним продуктом стане збірка «Логарифмічні нерівності С3 з рішеннями».
Глава 1. Історія питання
Протягом 16 століття швидко зростала кількість наближених обчислень, перш за все, в астрономії. Удосконалення інструментів, дослідження планетних рухів і інші роботи зажадали колосальних, іноді багаторічних, розрахунків. Астрономії загрожувала реальна небезпека потонути в невиконаних розрахунках. Труднощі виникали і в інших областях, наприклад, в страховій справі потрібні були таблиці складних відсотків для різних значень відсотка. Головні труднощі представляли множення, ділення багатозначних чисел, особливо тригонометричних величин.
Відкриття логарифмів спиралося на добре відомі до кінця 16 століття властивості прогресій. Про зв'язок між членами геометричної прогресії q, q2, q3, ... і арифметичною прогресією їх показників 1, 2, 3, ... говорив ще в "псалми" Архімед. Іншою причиною було поширення поняття ступеня на негативні і дробові показники. Багато авторів вказували, що множенню, поділу, зведення в ступінь і вилучення кореня в геометричній прогресії відповідають в арифметичній - в тому ж порядку - додавання, віднімання, множення і ділення.
Тут ховалася ідея логарифма як показника ступеня.
В історії розвитку вчення про логарифми пройшло кілька етапів.
1 етап
Логарифми були винайдені не пізніше 1594 роки незалежно один від одного шотландським бароном Непером (1550-1617) і через десять років швейцарським механіком Бюрги (1552-1632). Обидва хотіли дати нове зручний засіб арифметичних обчислень, хоча підійшли вони до цього завдання по-різному. Непер кинематически висловив логарифмічну функцію і, тим самим, вступив в нову область теорії функції. Бюрги залишився на грунті розгляду дискретних прогресій. Втім, визначення логарифма в обох не схоже на сучасне. Термін "логарифм" (logarithmus) належить Непером. Він виник з поєднання грецьких слів: logos - "відношення" і ariqmo - "число", яке означало "число відносин". Спочатку Непер користувався іншим терміном: numeri artificiales- "штучні числа", на противагу numeri naturalts - "числам природним".
У 1615 році в бесіді з професором математики Грешем Коледжу в Лондоні Генрі Брігсом (1561-1631) Непер запропонував прийняти за логарифм одиниці нуль, а за логарифм десяти - 100, або, що зводиться до того ж, просто 1. Так з'явилися десяткові логарифми і були надруковані перші логарифмічні таблиці. Пізніше таблиці Брігса доповнив голландський книготорговець і любитель математики Андріан Флакк (1600-1667). Непер і Брігс, хоча прийшли до логарифмам раніше всіх, опублікували свої таблиці пізніше інших - в 1620 році. Знаки log і Log були введені в 1624 році І. Кеплером. Термін "натуральний логарифм" ввели Менголі 1659 р і слідом за ним Н. Меркатор в 1668 р, а видав таблиці натуральних логарифмів чисел від 1 до 1000 під назвою "Нові логарифми" лондонський вчитель Джон Спейдел.
Російською мовою перші логарифмічні таблиці були видані в 1703 році. Але у всіх логарифмічних таблицях були допущені помилки при обчисленні. Перші безпомилкові таблиці вийшли в 1857 році в Берліні в обробці німецького математика К. Бремікера (1804-1877).
2 етап
Подальший розвиток теорії логарифмів пов'язано з більш широким застосуванням аналітичної геометрії і обчислення нескінченно малих. На той час належить встановлення зв'язку між квадратурою рівносторонній гіперболи і натуральним логарифмом. Теорія логарифмів цього періоду пов'язана з іменами цілого ряду математиків.
Німецький математик, астроном і інженер Ніколаус Меркатор в творі
"Логаріфмотехніка" (1 668) наводить ряд, що дає розкладання ln (x + 1) по
ступенями х:
Цей вислів в точності відповідає ходу його думки, хоча він, звичайно, користувався не знайомий d, ..., а більш громіздкою символікою. З відкриттям логарифмічного ряду змінилася техніка обчислення логарифмів: вони стали визначатися за допомогою нескінченних рядів. У своїх лекціях "Елементарна математика з вищої точки зору", прочитаних в 1907-1908 роках, Ф. Клейн запропонував використовувати формулу в якості вихідного пункту побудови теорії логарифмів.
3 етап
визначення логарифмічною функції як функції зворотного
показовою, логарифма як показника ступеня даного підстави
було сформульовано не відразу. Твір Леонарда Ейлера (1707-1783)
"Введення в аналіз нескінченно малих" (1748 г.) послужило подальшому
розвитку теорії логарифмічною функції. Таким чином,
пройшло 134 року з тих пір, як логарифми вперше були введені
(Вважаючи з 1614 г.), перш ніж математики прийшли до визначення
поняття логарифма, яке належить тепер в основу шкільного курсу.
Глава 2. Збірник логарифмічних нерівностей
2.1. Рівносильні переходи і узагальнений метод інтервалів.
рівносильні переходи
, Якщо а\u003e 1
, Якщо 0 <
а <
1
Узагальнений метод інтервалів
Даний спосіб найбільш універсальний при вирішенні нерівностей практично будь-якого типу. Схема рішення виглядає наступним чином:
1. Привести нерівність до такого виду, де в лівій частині знаходиться функція 
, А в правій 0.
2. Знайти область визначення функції .
3. Знайти нулі функції , Тобто - вирішити рівняння 
(А вирішувати рівняння зазвичай простіше, ніж вирішувати нерівність).
4. Зобразити на числової прямої область визначення і нулі функції.
5. Визначити знаки функції на отриманих інтервалах.
6. Вибрати інтервали, де функція приймає необхідні значення, і записати відповідь.
Приклад 1.
Рішення:
Застосуємо метод інтервалів
звідки
При цих значеннях все висловлювання, які стоять під знаками логарифмів, позитивні.
відповідь:
Приклад 2.
Рішення:
1-й спосіб . ОДЗ визначається нерівністю x \u003e 3. Логаріфміруя при таких x по підставі 10, отримуємо
Остання нерівність можна було б вирішувати, застосовуючи правила розкладання, тобто порівнюючи з нулем співмножники. Однак в даному випадку легко визначити інтервали знакопостоянства функції
тому можна застосувати метод інтервалів.
функція f(x) = 2x(x- 3,5) lg| x- 3| неперервна при x \u003e 3 і наближається до нуля в точках x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 \u003d 4. Таким чином, визначаємо інтервали знакопостоянства функції f(x):
відповідь:
2-й спосіб . Застосуємо безпосередньо до вихідного нерівності ідеї методу інтервалів.
Для цього нагадаємо, що вирази a b - a c і ( a - 1)(b - 1) мають один знак. Тоді наше нерівність при x \u003e 3 рівносильна нерівності
або
Поcледнее нерівність вирішується методом інтервалів
відповідь:
Приклад 3.
Рішення:
Застосуємо метод інтервалів
відповідь:
Приклад 4.
Рішення:
Так як 2 x 2 - 3x + 3\u003e 0 при всіх дійсних x, то
Для вирішення другого нерівності скористаємося методом інтервалів
У першому нерівності зробимо заміну
тоді приходимо до нерівності 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, Які задовольняють нерівності -0,5< y < 1.
Звідки, так як
отримуємо нерівність
яке виконується при тих x, Для яких 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Тепер з урахуванням рішення другого нерівності системи остаточно отримуємо
відповідь:
Приклад 5.
Рішення:
Нерівність рівносильна сукупності систем
або
Застосуємо метод інтервалів або
відповідь:
Приклад 6.
Рішення:
Нерівність рівносильна системі
нехай
тоді y > 0,
і перша нерівність
системи набуває вигляду
або, розкладаючи
квадратний тричлен на множники,
Застосовуючи до останнього нерівності метод інтервалів,
бачимо, що його рішеннями, що задовольняють умові y \u003e 0 будуть все y > 4.
Таким чином вихідне нерівність еквівалентно системі:
Отже, рішеннями нерівності є всі
2.2. Метод раціоналізації.
Раніше методом раціоналізації нерівності вирішували, його не знали. Це "новий сучасний ефективний метод вирішення показових і логарифмічних нерівностей" (цитата з книжки Колесникової С.І.)
І навіть, якщо педагог його знав, була побоювання - а чи знає його експерт ЄДІ, а чому в школі його не дають? Були ситуації, коли вчитель говорив учневі: "Де взяв? Сідай - 2."
Зараз метод повсюдно просувається. І для експертів є методичні вказівки, пов'язані з цим методом, і в "Самих повних виданнях типових варіантів ..." в рішенні С3 використовується цей метод.
МЕТОД ЧУДЕСНИЙ!
«Чарівна таблиця»
В інших джерелах
якщо a\u003e 1 і b\u003e 1, то log a b\u003e 0 і (a -1) (b -1)\u003e 0;
якщо a\u003e 1 і 0 якщо 0<a<1 и b
>1, то log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
якщо 0<a<1 и 00 і (a -1) (b -1)\u003e 0. Проведені міркування нескладні, але помітно спрощують рішення логарифмічних нерівностей. Приклад 4.
log x (x 2 -3)<0
Рішення:
Приклад 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤log 2 x (x 2 + x) Рішення: Приклад 6.
Для вирішення цієї нерівності замість знаменника запишемо (х-1-1) (х-1), а замість чисельника - твір (х-1) (х-3-9 + х). Приклад 7.
Приклад 8.
2.3. Нестандартна підстановка. Приклад 1.
Приклад 2.
Приклад 3.
Приклад 4.
Приклад 5.
Приклад 6.
Приклад 7.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Зробимо заміну у \u003d 3 х 1; тоді таку нерівність набуде вигляду Log 4 log 0,25 Так як log 0,25 Зробимо заміну t \u003d log 4 y і отримаємо нерівність t 2 -2t + ≥0, рішенням якого є проміжки - Таким чином, для знаходження значень у маємо сукупність двох найпростіших нерівностей Отже, вихідне нерівність рівносильна сукупності двох показових нерівностей, Рішенням першого нерівності цієї сукупності є проміжок 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Приклад 8.
Рішення:
Нерівність рівносильна системі Рішенням другої нерівності, що визначає ОДЗ, буде безліч тих x,
для яких x > 0.
Для вирішення першого нерівності зробимо заміну Тоді отримуємо нерівність або Безліч рішень останнього нерівності знаходиться методом інтервалів: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, отримуємо або безліч тих x, Які задовольняють останньому нерівності належить ОДЗ ( x \u003e 0), отже, є рішенням системи, а значить, і вихідного нерівності. відповідь: 2.4. Завдання з пастками. Приклад 1.
Рішення. ОПЗ нерівності є всі х, що задовольняють умові 0 Приклад 2.
log 2 (2 x + 1-x 2)\u003e log 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
відповідь. (0; 0,5) U.
відповідь :
(3;6)
.
\u003d -Log 4 \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2log 4 y, то перепишемо останню нерівність у вигляді 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Вирішення цієї сукупності є проміжки 0<у≤2 и 8≤у<+.
тобто сукупності 
. Таким чином, вихідне нерівність виконується для всіх значень х із проміжків 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Отже, все х з проміжку 0
висновок
Було не просто знайти з великого достатку різних навчальних джерел особливі методи вирішення завдань С3. У ході проробленої роботи мені вдалося вивчити нестандартні методи вирішення складних логарифмічних нерівностей. Це: рівносильні переходи і узагальнений метод інтервалів, метод раціоналізації , нестандартна підстановка , завдання з пастками на ОДЗ. У шкільній програмі ці методи відсутні.
Різними методами я вирішив 27 нерівностей, пропонованих на ЄДІ в частині С, а саме С3. Ці нерівності з рішеннями по методам лягли в основу збірки «Логарифмічні нерівності С3 з рішеннями», який став проектним продуктом моєї діяльності. Гіпотеза, поставлена \u200b\u200bмною спочатку проекту, підтвердилася: завдання С3 можна ефективно вирішувати, знаючи ці методи.
Крім цього, я виявив цікаві факти логарифмів. Мені це було цікаво робити. Мої проектні продукти будуть корисні як для учнів, так і для вчителів.
висновки:
Таким чином, поставлена \u200b\u200bмета проекту досягнута, проблема вирішена. А я отримав найбільш повний і різнобічний досвід проектної діяльності на всіх етапах роботи. В ході роботи над проектом у мене основне розвиваюче вплив чинився на розумову компетентність, діяльність, пов'язану з логічними розумовими операціями, розвиток творчої компетентності, особистої ініціативи, відповідальності, наполегливості, активності.
Гарантією успіху при створенні дослідного проекту для мене стали: значний шкільний досвід, вміння здобувати інформацію з різних джерел, перевіряти її достовірність, ранжувати її за значимістю.
Крім безпосередньо предметних знань з математики, розширив свої практичні навички в галузі інформатики, отримав нові знання і досвід в області психології, налагодив контакти з однокласниками, навчився співпрацювати з дорослими людьми. В ході проектної діяльності розвивалися організаційні, інтелектуальні та комунікативні загальнонавчальних вміння та навички.
література
1. Корянов А. Г., Прокоф'єв А. А. Системи нерівностей з однією змінною (типові завдання С3).
2. Малкова А. Г. Підготовка до ЄДІ з математики.
3. Самарова С. С. Рішення логарифмічних нерівностей.
4. Математика. Збірник тренувальних робіт під редакцією А.Л. Семенова і І.В. Ященко. -М .: МЦНМО, 2009. - 72 с.-
Стаття присвячена розбору завдань 15 з профільного ЄДІ з математики за 2017 рік. У цьому завданні школярам пропонують для вирішення нерівності, найчастіше логарифмічні. Хоча можуть бути і показові. У даній статті наводиться розбір прикладів логарифмічних нерівностей, в тому числі що містять змінну в підставі логарифма. Всі приклади взяті з відкритого банку завдань ЄДІ з математики (профіль), так що подібні нерівності з великою ймовірністю можуть попастися вам на іспиті в якості завдання 15. Ідеально для тих, хто за коротких проміжок часу хоче навчитися вирішувати завдання 15 з другої частини профільного ЄДІ з математики, щоб отримати більше балів на іспиті.
Розбір завдань 15 з профільного ЄДІ з математики
| Приклад 1. Вирішіть нерівність: |
У завданнях 15 ЄДІ з математики (профіль) часто зустрічаються логарифмічні нерівності. Рішення логарифмічних нерівностей починається з визначення області допустимих значень. В даному випадку в основі обох логарифмів немає змінної, є тільки число 11, що істотно спрощує завдання. Тому єдине обмеження, яке у нас тут є, полягає в тому, що обидва вирази, які стоять під знаком логарифма, позитивні:
Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Перше нерівність в системі - це квадратне нерівність. Щоб його вирішити, нам би дуже не завадило розкласти ліву частину на множники. Я думаю, ви знаєте, що будь-який квадратний тричлен виду 
розкладається на множники таким чином:
де і - корені рівняння. В даному випадку коефіцієнт дорівнює 1 (це числовий коефіцієнт, що стоїть перед). Коефіцієнт теж дорівнює 1, а коефіцієнт - це вільний член, він дорівнює -20. Коріння тричлена найпростіше визначити за теоремою Вієта. Рівняння у нас наведене, значить сума коренів і буде дорівнює коефіцієнту з протилежним знаком, тобто -1, а твір цих коренів дорівнюватиме коефіцієнту, тобто -20. Легко здогадатися, що коріння будуть -5 і 4.
Тепер ліву частину нерівності можна розкласти на множники: title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X в точках -5 і 4. Значить, дані рішення нерівності - це проміжок. Для тих, кому не зрозуміло, що тут написано, подробиці ви можете подивитися у відеоролику, починаючи з цього моменту. Там же ви знайдете докладне пояснення, як вирішується друга нерівність системи. Воно вирішується. Причому відповідь виходить точно таким же, як і для першого нерівності системи. Тобто записане вище безліч - це і є область допустимих значень нерівності.
Отже, з урахуванням розкладання на множники, вихідне нерівність набуває вигляду:
Використовуючи формулу, внесемо 11 в ступінь виразу, що стоїть під знаком першого логарифма, і перенесемо другий логарифм в ліву сторону нерівності, змінивши при цьому його знак на протилежний:
Після скорочення отримуємо:
Остання нерівність, в силу зростання функції, еквівалентно нерівності 
, Рішенням якого є проміжок 
. Залишилося перетнути його з областю допустимих значень нерівності, і це вийде відповідь до всього завданням.
Отже, шуканий відповідь до завдання має вигляд:
З цим завданням ми розібралися, тепер переходимо до наступного прикладу завдання 15 ЄДІ з математики (профіль).
| Приклад 2. Вирішіть нерівність:
|
Рішення починаємо з визначення області допустимих значень даного нерівності. В основі кожного логарифма повинно знаходитися позитивне число, яке не дорівнює 1. Всі висловлювання, які стоять під знаком логарифма повинні бути позитивними. У знаменнику дробу не повинно виявитися нуля. Остання умова еквівалентно тому, що, оскільки лише в іншому випадку обидва логарифма в знаменнику звертаються в нуль. Всі ці умови визначають область допустимих значень цієї нерівності, задано наступне системою нерівностей:
Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}
В області допустимих значень ми можемо використовувати формули перетворення логарифмів для того, щоб спростити ліву частину нерівності. За допомогою формули 
позбавляємося від знаменника:
Тепер у нас вийшли тільки логарифми з основою. Це вже зручніше. Далі використовуємо формулу, в також формулу для того, щоб привести вираз, що стоїть слава, до наступного вигляду:
При обчисленнях ми використовували те, що в області допустимих значень. Використовуючи заміну, приходимо до виразу:
Використовуємо ще одну заміну:. В результаті чого приходимо до наступного результату:
Отже, поступово повертаємося до вихідних змінним. Спершу до змінної:
«РІШЕННЯ логарифмічна НЕРІВНОСТЕЙ (ЗАВДАННЯ №15 ПРОФІЛЬНОГО ЄДІ). ЗАСТОСУВАННЯ логарифм В РІЗНИХ СФЕРАХ ЖИТТЄДІЯЛЬНОСТІ ЛЮДИНИ »
Епіграфом уроку буду слова Моріса Клайна «Музика може піднімати або умиротворяти душу, живопис - радувати око, поезія - пробуджувати почуття, філософія - задовольняти потреби розуму, інженерна справа - удосконалювати матеріальну сторону життя людей, аматематика здатна досягти всіх цих цілей »
Зараз створимо настрій успіху!
Відповімо на наступні питання:
Практика перевірки екзаменаційних робіт, а я є експертом ЄДІ з математики з 2005 року показує, що найбільшу складність для школярів представляє рішення трансцендентних нерівностей, особливо логарифмічних нерівностей зі змінним підставою.
Тому пропоную розглянути по-перше, метод раціоналізації (метод декомпозиції Моденова) або інакше званим, метод заміни множників Голубєва, який дозволяє привести складні, зокрема, логарифмічні нерівності, до системи більш простих раціональних нерівностей.
Так, наприклад, при вирішенні нерівності
в оціночному варіанті, пропонованим експертам ЄДІ було дано ось таке рішення:
Пропоную скористатися методом раціоналізації:
Вирішуючи методом інтервалів перша нерівність і з огляду на те, що отримаємо
Рішення наступного нерівності
я побачила ось в такому вигляді:
А я учням пояснила, що іноді простіше графічне рішення.
І в результаті рішення даної нерівності має вигляд:
Розглянемо нерівність
Вирішуючи це нерівність, можна скористатися формулою
але переходити до основи - число, причому абсолютно будь-який:
і вирішувати отримане нерівність методом інтервалів:
ОДЗ: 
і вирішити отримане нерівність методом інтервалів
і з огляду на ОДЗ отримаємо:
І, вирішуючи нерівність наступного типу, учні при запису відповіді, зазвичай втрачають одне з рішень. Обов'язково слід на це звернути увагу.
Знайдемо ОПЗ:
і виконаємо заміну: одержимо:
Звертаю увагу на те, що найчастіше учні вирішуючи це, отримане нерівність, відкидають знаменник, тим самим втрачають одне з рішень:
З огляду на ОДЗ отримаємо: і
І закінчуючи урок, я пропоную учням цікаві факти про застосування логарифмів в різних сферах.
Скрізь, де є процеси, що змінюються в часі, використовують логарифми.
Логарифми - це математичне поняття, яке застосовується у всіх галузях науки: хімії, біології, фізики, географії, інформатики та багатьох інших, але найширше застосування логарифмів знайшли в економіці.
