Складні похідні. Логарифмічна похідна.
Похідна статечно-показовою функції

Продовжуємо підвищувати свою техніку диференціювання. На даному уроці ми закріпимо пройдений матеріал, розглянемо більш складні похідні, а також познайомимося з новими прийомами і хитрощами знаходження похідної, зокрема, з логарифмічною похідною.

Тим читачам, у кого низький рівень підготовки, слід звернутися до статті Як знайти похідну? приклади рішень, Яка дозволить підняти свої навички практично з нуля. Далі необхідно уважно вивчити сторінку Похідна складної функції, Зрозуміти і прорешать усе наведені мною приклади. Даний урок логічно третій за рахунком, і після його освоєння Ви будете впевнено диференціювати досить складні функції. Небажано дотримуватися позиції «Куди ще? Та й так вистачить! », Оскільки всі приклади і прийоми рішення взяті з реальних контрольних робіт і часто зустрічаються на практиці.

Почнемо з повторення. На уроці Похідна складної функціїми розглянули ряд прикладів з докладними коментарями. В ході вивчення диференціального обчислення і інших розділів математичного аналізу - диференціювати доведеться дуже часто, і не завжди буває зручно (та й не завжди потрібно) розписувати приклади дуже докладно. Тому ми потренуємося в усному знаходженні похідних. Самим придатними «кандидатами» для цього є похідні найпростіших зі складних функцій, наприклад:

За правилом диференціювання складної функції :

При вивченні інших тем мату в майбутньому така докладна запис найчастіше не потрібно, передбачається, що студент вміє знаходити подібні похідні на автопілоті автоматі. Уявімо, що о 3 годині ночі пролунав телефонний дзвінок, і приємний голос запитав: «Чому дорівнює похідна тангенса двох ікс?». На це повинен послідувати майже миттєвий і ввічливий відповідь: .

Перший приклад буде одразу призначений для самостійного рішення.

приклад 1

Знайти такі похідні усно, в одну дію, наприклад:. Для виконання завдання потрібно використовувати тільки таблицю похідних елементарних функцій (Якщо вона ще не запам'яталася). Якщо виникнуть труднощі, рекомендую перечитати урок Похідна складної функції.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Відповіді в кінці уроку

складні похідні

Після попередньої артпідготовки будуть менш страшні приклади, з 3-4-5 вкладеннями функцій. Можливо, такі два приклади здадуться деяким складними, але якщо їх зрозуміти (хтось і помучиться), то майже все інше в диференціальному обчисленні буде здаватися дитячої жартом.

приклад 2

Знайти похідну функції

Як вже зазначалося, при знаходженні похідної складної функції, перш за все, необхідно правильноРОЗІБРАТИСЯ у вкладеннях. У тих випадках, коли є сумніви, нагадую корисний прийом: беремо піддослідна значення «ікс», наприклад, і пробуємо (подумки або на чернетці) підставити це значення в «страшне вираз».

1) Спочатку нам потрібно обчислити вираз, значить, сума - найглибше вкладення.

2) Потім необхідно обчислити логарифм:

4) Потім косинус звести в куб:

5) На п'ятому кроці різниця:

6) І, нарешті, сама зовнішня функція - це квадратний корінь:

Формула диференціювання складної функції застосуються в зворотному порядку, від самої зовнішньої функції, до самої внутрішньої. вирішуємо:

Начебто без помилок ....

(1) Беремо похідну від квадратного кореня.

(2) Беремо похідну від різниці, використовуючи правило

(3) Похідна трійки дорівнює нулю. У другому доданку беремо похідну від ступеня (куба).

(4) Беремо похідну від косинуса.

(5) Беремо похідну від логарифма.

(6) І, нарешті, беремо похідну від найглибшого вкладення.

Може здатися занадто важко, але це ще не самий звірячий приклад. Візьміть, наприклад, збірник Кузнєцова і ви оціните всю красу і простоту розібраної похідною. Я помітив, що схожу штуку люблять давати на іспиті, щоб перевірити, розуміє студент, як знаходити похідну складеної функції, або не розуміє.

Наступний приклад для самостійного рішення.

приклад 3

Знайти похідну функції

Підказка: Спочатку застосовуємо правила лінійності і правило диференціювання твори

Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Настав час перейти до чого-небудь більш компактному і симпатичному.
Чи не рідкісна ситуація, коли в прикладі дано твір не двох, а трьох функцій. Як знайти похідну від твору трьох множників?

приклад 4

Знайти похідну функції

Спочатку дивимося, а чи не можна твір трьох функцій перетворити на витвір двох функцій? Наприклад, якби у нас в творі було два многочлена, то можна було б розкрити дужки. Але в розглянутому прикладі всі функції різні: ступінь, експонента і логарифм.

У таких випадках необхідно послідовнозастосувати правило диференціювання твори два рази

Фокус полягає в тому, що за «у» ми позначимо твір двох функцій:, а за «ве» - логарифм:. Чому так можна зробити? А хіба - це не твір двох множників і правило не працює ?! Нічого складного немає:

Тепер залишилося вдруге застосувати правило до дужки:

Можна ще поізвращаться і винести що-небудь за дужки, але в даному випадку відповідь краще залишити саме в такому вигляді - легше буде перевіряти.

Розглянутий приклад можна вирішити другим способом:

Обидва способи вирішення абсолютно рівноцінні.

приклад 5

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення, в зразку воно вирішено першим способом.

Розглянемо аналогічні приклади з дробом.

приклад 6

Знайти похідну функції

Тут можна піти декількома шляхами:

Або так:

Але рішення запишеться більш компактно, якщо в першу чергу керуватися правилом диференціювання приватного , Прийнявши за весь чисельник:

В принципі, приклад вирішене, і якщо його залишити в такому вигляді, то це не буде помилкою. Але при наявності часу завжди бажано перевірити на чернетці, а чи не можна відповідь спростити? Наведемо вираз чисельника до спільного знаменника і позбудемося триповерховий дроби:

Мінус додаткових спрощень полягає в тому, що є ризик припуститися помилки вже не при знаходженні похідної, а при банальних шкільних перетвореннях. З іншого боку, викладачі нерідко бракують завдання і просять «довести до розуму» похідну.

Більш простий приклад для самостійного рішення:

приклад 7

Знайти похідну функції

Продовжуємо освоювати прийоми знаходження похідної, і зараз ми розглянемо типовий випадок, коли для диференціювання запропонований «страшний» логарифм

приклад 8

Знайти похідну функції

Тут можна піти довгим шляхом, використовуючи правило диференціювання складної функції:

Але перший же крок відразу засмучує - належить узяти неприємну похідну від дробу ступеня, а потім ще й від дробу.

Тому перед тим як брати похідну від «крутого» логарифма, його попередньо спрощують, використовуючи відомі шкільні властивості:

! Якщо під рукою є зошит з практикою, перепишіть ці формули прямо туди. Якщо зошити немає, перемалюють їх на листочок, оскільки залишилися приклади уроку буду обертатися навколо цих формул.

Саме рішення можна оформити приблизно так:

Перетворимо функцію:

Знаходимо похідну:

Попереднє перетворення самої функції значно спростило рішення. Таким чином, коли для диференціювання запропонований подібний логарифм, то його завжди доцільно «розвалити».

А зараз пара нескладних прикладів для самостійного рішення:

приклад 9

Знайти похідну функції

приклад 10

Знайти похідну функції

Всі перетворення і відповіді в кінці уроку.

логарифмічна похідна

Якщо похідна від логарифмів - це така солодка музика, то виникає питання, а чи не можна в деяких випадках організувати логарифм штучно? Можна, можливо! І навіть потрібно.

приклад 11

Знайти похідну функції

Схожі приклади ми недавно розглянули. Що робити? Можна послідовно застосувати правило диференціювання приватного, а потім правило диференціювання твори. Недолік методу полягає в тому, що вийде величезна триповерхова дріб, з якої зовсім не хочеться мати справи.

Але в теорії і практиці є така чудова річ, як логарифмічна похідна. Логарифми можна організувати штучно, «навісивши» їх на обидві частини:

Примітка : Тому що функція може приймати негативні значення, то, взагалі кажучи, потрібно використовувати модулі: , Які зникнуть в результаті диференціювання. Однак припустимо і поточне оформлення, де за замовчуванням беруться до уваги комплексні значення. Але якщо з усією строгістю, то і в тому і в іншому випадку слід зробити застереження, що.

Тепер потрібно максимально «розвалити» логарифм правій частині (формули перед очима?). Я розпишу цей процес дуже докладно:

Власне приступаємо до диференціювання.
Укладаємо під штрих обидві частини:

Похідна правій частині досить проста, її я коментувати не буду, оскільки якщо ви читаєте цей текст, то повинні впевнено впоратися з цим завданням.

Як бути з лівою частиною?

У лівій частині у нас складна функція. Передбачаю запитання: «Чому, там же одна буква« ігрек »під логарифмом?».

Справа в тому, що ця «одна буква ігрек» - САМА ПО СОБІ Є ФУНКЦІЄЮ (Якщо не дуже зрозуміло, зверніться до статті Похідна від функції, заданої неявно). Тому логарифм - це зовнішня функція, а «ігрек» - внутрішня функція. І ми використовуємо правило диференціювання складної функції :

У лівій частині як за помахом чарівної палички у нас «намалювалася» похідна. Далі за правилом пропорції перекидаємо «ігрек» з знаменника лівій частині наверх правій частині:

А тепер згадуємо, про який такий «ігрек» -функції ми міркували при диференціюванні? Дивимося на умова:

Остаточна відповідь:

приклад 12

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення. Зразок оформлення прикладу даного типу в кінці уроку.

За допомогою логарифмічною похідною можна було вирішити будь-яке із прикладів № 4-7, інша справа, що там функції простіше, і, може бути, використання логарифмічною похідною не дуже-то і виправдано.

Похідна статечно-показовою функції

Дану функцію ми ще не розглядали. Статечно-показова функція - це функція, у якій і ступінь і підстава залежать від «ікс». Класичний приклад, який вам приведуть в будь-якому підручнику або на будь-який лекції:

Як знайти похідну від статечно-показовою функції?

Необхідно використовувати тільки що розглянутий прийом - логарифмічну похідну. Навішуємо логарифми на обидві частини:

Як правило, в правій частині з-під логарифма виноситься ступінь:

В результаті в правій частині у нас вийшло твір двох функцій, яке буде диференціюватися за стандартною формулою .

Знаходимо похідну, для цього робимо висновок обидві частини під штрихи:

Подальші дії нескладні:

остаточно:

Якщо якесь перетворення не зовсім зрозуміло, будь ласка, уважно перечитайте пояснення Прімера № 11.

У практичних завданнях статечно-показова функція завжди буде складніше, ніж розглянутий лекційний приклад.

приклад 13

Знайти похідну функції

Використовуємо логарифмічну похідну.

У правій частині у нас константа і твір двох множників - «ікси» і «логарифма логарифма ікс» (під логарифм вкладений ще один логарифм). При диференціюванні константу, як ми пам'ятаємо, краще відразу винести за знак похідної, щоб вона не заважала під ногами; і, звичайно, застосовуємо знайоме правило :

якщо g(x) і f(u) - диференційовані функції своїх аргументів відповідно в точках x і u= g(x), то складна функція також диференційована в точці xі знаходиться за формулою

Типова помилка при вирішенні задач на похідні - несвідоме перенесення правил диференціювання простих функцій на складні функції. Будемо вчитися уникати цієї помилки.

Приклад 2.Знайти похідну функції

Неправильне рішення: обчислювати натуральний логарифм кожного доданка в дужках і шукати суму похідних:

Правильне рішення: знову визначаємо, де "яблуко", а де "фарш". Тут натуральний логарифм від виразу в дужках - це "яблуко", тобто функція по проміжному аргументу u, А вираз в дужках - "фарш", тобто проміжний аргумент u по незалежній змінній x.

Тоді (застосовуючи формулу 14 з таблиці похідних)

У багатьох реальних задачах вираз з логарифмом буває трохи складніше, тому і є урок

Приклад 3.Знайти похідну функції

Неправильне рішення:

Правильне рішення. В черговий раз визначаємо, де "яблуко", а де "фарш". Тут косинус від виразу в дужках (формула 7 в таблиці похідних) - це "яблуко", воно готується в режимі 1, що впливає тільки на нього, а вираз в дужках (похідна ступеня - номер 3 в таблиці похідних) - це "фарш", він готується при режимі 2, що впливає тільки на нього. І як завжди з'єднуємо дві похідні знаком твори. результат:

Похідна складної логарифмічною функції - часте завдання на контрольних роботах, тому настійно рекомендуємо відвідати урок "Похідна логарифмічної функції".

Перші приклади були на складні функції, в яких проміжний аргумент по незалежній змінній був простий функцією. Але в практичних завданнях нерідко потрібно знайти похідну складної функції, де проміжний аргумент або сам є складною функцією або містить таку функцію. Що робити в таких випадках? Знаходити похідні таких функцій за таблицями і правилам диференціювання. Коли знайдена похідна проміжного аргументу, вона просто підставляється в потрібне місце формули. Нижче - два приклади, як це робиться.

Крім того, корисно знати наступне. Якщо складна функція може бути представлена \u200b\u200bу вигляді ланцюжка з трьох функцій

то її похідну слід шукати як твір похідних кожної з цих функцій:

Для вирішення багатьох ваших домашніх завдань може знадобитися відкрити в нових вікнах посібники Дії зі ступенями і корінням і Дії з дробами .

Приклад 4.Знайти похідну функції

Застосовуємо правило диференціювання складної функції, не забуваючи, що в отриманому творі похідних проміжний аргумент по незалежній змінній x не змінюється:

Готуємо другий співмножник твори і застосовуємо правило диференціювання суми:

Другий доданок - корінь, тому

Таким чином отримали, що проміжний аргумент, який є сумою, в якості одного з доданків містить складну функцію: піднесення до степеня - складна функція, а то, що зводиться до степеня - проміжний аргумент по незалежній змінній x.

Тому знову застосуємо правило диференціювання складної функції:

Ступінь першого співмножники перетворимо в корінь, а диференціюючи другий співмножник, не забуваємо, що похідна константи дорівнює нулю:

Тепер можемо знайти похідну проміжного аргументу, потрібного для обчислення необхідної в умові завдання похідною складної функції y:

Приклад 5.Знайти похідну функції

Спочатку скористаємося правилом диференціювання суми:

Отримали суму похідних двох складних функцій. Знаходимо першу з них:

Тут зведення синуса в ступінь - складна функція, а сам синус - проміжний аргумент по незалежній змінній x. Тому скористаємося правилом диференціювання складної функції, попутно виносячи множник за дужки :

Тепер знаходимо другий доданок з утворюють похідну функції y:

Тут зведення косинуса в ступінь - складна функція f, А сам косинус - проміжний аргумент по незалежній змінній x. Знову скористаємося правилом диференціювання складної функції:

Результат - необхідна похідна:

Таблиця похідних деяких складних функцій

Для складних функцій на підставі правила диференціювання складної функції формула похідною простий функції приймає інший вигляд.

1. Похідна складної статечної функції, де u x
2. Похідна кореня від виразу
3. Похідна показовою функції
4. Окремий випадок показовою функції
5. Похідна логарифмічної функції з довільним позитивним підставою а
6. Похідна складної логарифмічною функції, де u - диференційована функція аргументу x
7. Похідна синуса
8. Похідна косинуса
9. Похідна тангенса
10. Похідна котангенс
11. Похідна арксинуса
12. Похідна арккосинуса
13. Похідна арктангенса
14. Похідна арккотангенса

Якщо йти за визначенням, то похідна функції в точці - це границя відношення приросту функції Δ y до приросту аргументу Δ x:

Начебто все зрозуміло. Але спробуйте порахувати за цією формулою, скажімо, похідну функції f(x) = x 2 + (2x + 3) · e x · sin x. Якщо все робити за визначенням, то через пару сторінок обчислень ви просто заснете. Тому існують простіші й ефективніші способи.

Для початку зауважимо, що з усього різноманіття функцій можна виділити так звані елементарні функції. Це відносно прості вирази, похідні яких давно обчислені і занесені в таблицю. Такі функції досить просто запам'ятати - разом з їх похідними.

Похідні елементарних функцій

Елементарні функції - це все, що перераховано нижче. Похідні цих функцій треба знати напам'ять. Тим більше що завчити їх зовсім нескладно - на те вони і елементарні.

Отже, похідні елементарних функцій:

Назва	функція	похідна
Константа	f(x) = C, C ∈ R	0 (так-так, нуль!)
Ступінь з раціональним показником	f(x) = x n	n · x n − 1
синус	f(x) \u003d Sin x	cos x
косинус	f(x) \u003d Cos x	- sin x (Мінус синус)
тангенс	f(x) \u003d Tg x	1 / cos 2 x
котангенс	f(x) \u003d Ctg x	- 1 / sin 2 x
натуральний логарифм	f(x) \u003d Ln x	1/x
довільний логарифм	f(x) \u003d Log a x	1/(x · ln a)
показова функція	f(x) = e x	e x (нічого не змінилось)

Якщо елементарну функцію помножити на довільну постійну, то похідна нової функції теж легко вважається:

(C · f)’ = C · f ’.

Загалом, константи можна виносити за знак похідної. наприклад:

(2x 3) '\u003d 2 · ( x 3) '\u003d 2 · 3 x 2 = 6x 2 .

Очевидно, елементарні функції можна складати один з одним, множити, ділити - і багато іншого. Так з'являться нові функції, вже не особливо елементарні, але теж диференціюються за певними правилами. Ці правила розглянуті нижче.

Похідна суми і різниці

Нехай дано функції f(x) і g(x), Похідні яких нам відомі. Наприклад, можна взяти елементарні функції, які розглянуті вище. Тоді можна знайти похідну суми і різниці цих функцій:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Отже, похідна суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) похідних. Доданків може бути більше. Наприклад, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго кажучи, в алгебрі не існує поняття «віднімання». Є поняття «негативний елемент». Тому різниця f − g можна переписати як суму f + (-1) · g, І тоді залишиться лише одна формула - похідна суми.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

функція f(x) - це сума двох елементарних функцій, тому:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2) '+ (sin x)’ = 2x + Cos x;

Аналогічно міркуємо для функції g(x). Тільки там вже три доданків (з точки зору алгебри):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

відповідь:
f ’(x) = 2x + Cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

похідна твори

Математика - наука логічна, тому багато хто вважає, що якщо похідна суми дорівнює сумі похідних, то похідна твори strike"\u003e Дорівнює добутку похідних. А ось фіг вам! Похідна твори вважається зовсім за іншою формулою. А саме:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула нескладна, але її часто забувають. І не тільки школярі, а й студенти. Результат - неправильно вирішені завдання.

Завдання. Знайти похідні функцій: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x - 7) · e x .

функція f(x) Являє собою добуток двох елементарних функцій, тому все просто:

f ’(x) = (x 3 · cos x)’ = (x 3) '· cos x + x 3 · (cos x)’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (- sin x) = x 2 · (3cos x − x · sin x)

У функції g(x) Перший множник трохи складніша, але загальна схема від цього не змінюється. Очевидно, перший множник функції g(x) Являє собою многочлен, і його похідна - це похідна суми. маємо:

g ’(x) = ((x 2 + 7x - 7) · e x)’ = (x 2 + 7x - 7) '· e x + (x 2 + 7x - 7) · ( e x)’ = (2x + 7) · e x + (x 2 + 7x - 7) · e x = e x · (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x + 9) · e x .

відповідь:
f ’(x) = x 2 · (3cos x − x · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) · e x .

Зверніть увагу, що на останньому кроці похідна розкладається на множники. Формально цього робити не потрібно, однак більшість похідних обчислюються не самі по собі, а щоб дослідити функцію. А значить, далі похідна буде прирівнюватися до нуля, будуть з'ясовуватися її знаки і так далі. Для такої справи краще мати вираз, розкладене на множники.

Якщо є дві функції f(x) і g(x), Причому g(x) ≠ 0 на який нас цікавить безлічі, можна визначити нову функцію h(x) = f(x)/g(x). Для такої функції теж можна знайти похідну:

Неслабо, так? Звідки взявся мінус? чому g 2? А ось так! Це одна з найскладніших формул - без пляшки не розберешся. Тому краще вивчати її на конкретних прикладах.

Завдання. Знайти похідні функцій:

У чисельнику і знаменнику кожного дробу стоять елементарні функції, тому все, що нам потрібно - це формула похідної приватного:

За традицією, розкладемо чисельник на множники - це значно спростить відповідь:

Складна функція - це не обов'язково формула довжиною в півкілометра. Наприклад, досить взяти функцію f(x) \u003d Sin x і замінити змінну x, Скажімо, на x 2 + ln x. вийде f(x) \u003d Sin ( x 2 + ln x) - це і є складна функція. У неї теж є похідна, однак знайти її за правилами, розглянутими вище, не вийде.

Як бути? У таких випадках допомагає заміна змінної та формула похідної складної функції:

f ’(x) = f ’(t) · t ', Якщо x замінюється на t(x).

Як правило, з розумінням цієї формули справи ще більш сумно, ніж з похідною приватного. Тому її теж краще пояснити на конкретних прикладах, з докладним описом кожного кроку.

Завдання. Знайти похідні функцій: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) \u003d Sin ( x 2 + ln x)

Зауважимо, що якщо в функції f(x) Замість виразу 2 x + 3 буде просто x, То вийде елементарна функція f(x) = e x . Тому робимо заміну: нехай 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t . Шукаємо похідну складної функції за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

А тепер - увага! Виконуємо зворотну заміну: t = 2x + 3. Отримаємо:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x + 3 · (2 x + 3)’ = e 2x + 3 · 2 \u003d 2 · e 2x + 3

Тепер розберемося з функцією g(x). Очевидно, треба замінити x 2 + ln x = t. маємо:

g ’(x) = g ’(t) · t '\u003d (Sin t)’ · t '\u003d Cos t · t ’

Зворотній заміна: t = x 2 + ln x. тоді:

g ’(x) \u003d Cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x) '\u003d Cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

От і все! Як видно з останнього виразу, вся задача звелася до обчислення похідної суми.

відповідь:
f ’(x) \u003d 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) · Cos ( x 2 + ln x).

Дуже часто на своїх уроках замість терміна «похідна» я використовую слово «штрих». Наприклад, штрих від суми дорівнює сумі штрихів. Так зрозуміліше? Ну от і добре.

Таким чином, обчислення похідної зводиться до позбавлення від цих самих штрихів за правилами, розглянутим вище. Як останній приклад повернемося до похідної ступеня з раціональним показником:

(x n)’ = n · x n − 1

Мало хто знає, що в ролі n цілком може виступати дробове число. Наприклад, корінь - це x 0,5. А що, якщо під коренем буде стояти щось неймовірне? Знову вийде складна функція - такі конструкції люблять давати на контрольних роботах та іспитах.

Завдання. Знайти похідну функції:

Для початку перепишемо корінь у вигляді ступеня з раціональним показником:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Тепер робимо заміну: нехай x 2 + 8x − 7 = t. Знаходимо похідну за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5) '· t '\u003d 0,5 · t -0,5 · t ’.

Робимо зворотну заміну: t = x 2 + 8x - 7. Маємо:

f ’(x) \u003d 0,5 · ( x 2 + 8x - 7) -0,5 · ( x 2 + 8x - 7) '\u003d 0,5 · (2 x + 8) · ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Нарешті, повертаємося до коренів:

Функції складного виду не завжди підходять під визначення складної функції. Якщо є функція виду y \u003d sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, то її не можна вважати складною на відміну від y \u003d sin 2 x.

Дана стаття покаже поняття складної функції і її виявлення. Попрацюємо з формулами знаходження похідної з прикладами рішень в ув'язненні. Застосування таблиці похідних та правила диференціювання помітно зменшують час для знаходження похідної.

Основні визначення

визначення 1

Складною функцією вважається така функція, у якій аргумент також є функцією.

Позначається це таким чином: f (g (x)). Маємо, що функція g (x) вважається аргументом f (g (x)).

визначення 2

Якщо є функція f і є функцією котангенс, тоді g (x) \u003d ln x - це функція натурального логарифма. Отримуємо, що складна функція f (g (x)) запишеться як arctg (lnx). Або функція f, що є функцією зведеної в 4 ступінь, де g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 вважається цілої раціональної функцією, отримуємо, що f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Очевидно, що g (x) може бути складною. З прикладу y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 видно, що значення g має кубічний корінь з дробом. Цей вираз дозволено позначати як y \u003d f (f 1 (f 2 (x))). Звідки маємо, що f - це функція синуса, а f 1 - функція, що розташовується під квадратним коренем, F 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 - дрібна раціональна функція.

визначення 3

Ступінь вкладеності визначено будь-яким натуральним числом і записується як y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))).

визначення 4

Поняття композиція функції відноситься до кількості вкладених функцій за умовою задачі. Для вирішення використовується формула знаходження похідної складної функції виду

(F (g (x))) "\u003d f" (g (x)) · g "(x)

приклади

приклад 1

Знайти похідну складної функції виду y \u003d (2 x + 1) 2.

Рішення

За умовою видно, що f є функцією зведення в квадрат, а g (x) \u003d 2 x + 1 вважається лінійною функцією.

Застосуємо формулу похідної для складної функції і запишемо:

f "(g (x)) \u003d ((g (x)) 2)" \u003d 2 · (g (x)) 2 - 1 \u003d 2 · g (x) \u003d 2 · (2 \u200b\u200bx + 1); g "(x) \u003d (2 x + 1)" \u003d (2 x) "+ 1" \u003d 2 · x "+ 0 \u003d 2 · 1 · x 1 - 1 \u003d 2 ⇒ (f (g (x))) "\u003d f" (g (x)) · g "(x) \u003d 2 · (2 \u200b\u200bx + 1) · 2 \u003d 8 x + 4

Необхідно знайти похідну зі спрощеним вихідним видом функції. отримуємо:

y \u003d (2 x + 1) 2 \u003d 4 x 2 + 4 x + 1

Звідси маємо, що

y "\u003d (4 x 2 + 4 x + 1)" \u003d (4 x 2) "+ (4 x)" + 1 "\u003d 4 · (x 2)" + 4 · (x) "+ 0 \u003d \u003d 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 \u003d 8 x + 4

Результати збіглися.

При вирішенні завдань такого виду важливо розуміти, де буде розташовуватися функція виду f і g (x).

приклад 2

Слід знайти похідні складних функцій виду y \u003d sin 2 x і y \u003d sin x 2.

Рішення

Перший запис функції говорить про те, що f є функцією зведення в квадрат, а g (x) - функцією синуса. Тоді отримаємо, що

y "\u003d (sin 2 x)" \u003d 2 · sin 2 - 1 x · (sin x) "\u003d 2 · sin x · cos x

Другий запис показує, що f є функцією синуса, а g (x) \u003d x 2 позначаємо ступеневу функцію. Звідси випливає, що твір складної функції запишемо як

y "\u003d (sin x 2)" \u003d cos (x 2) · (x 2) "\u003d cos (x 2) · 2 · x 2 - 1 \u003d 2 · x · cos (x 2)

Формула для похідної y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (Fn (x)))))) запишеться як y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (... ( fn (x)))))) · f 1 "(f 2 (f 3 (... (fn (x))))) · f 2" (f 3 (... (fn (x)) )) ·. . . · F n "(x)

приклад 3

Знайти похідну функції y \u003d sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Рішення

Даний приклад показує складність запису і вкажіть місце функцій. Тоді y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) позначимо, де f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) є функцією синуса, функцією зведення в 3 ступінь, функцією з логарифмом і підставою е, функцією арктангенса і лінійної.

З формули визначення складної функції маємо, що

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) · f 2" (f 3 (f 4 (x))) · f 3 "(f 4 (x)) · f 4" (x)

Отримуємо, що слід знайти

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) в якості похідної синуса по таблиці похідних, тоді f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ) \u003d cos (ln 3 arctg (2 x)).
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) в якості похідної степеневої функції, тоді f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) \u003d 3 · ln 3 - 1 arctg (2 x) \u003d 3 · ln 2 arctg (2 x).
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) в якості похідної логарифмічної, тоді f 2" (f 3 (f 4 (x))) \u003d 1 a r c t g (2 x).
4. f 3 "(f 4 (x)) в якості похідної арктангенса, тоді f 3" (f 4 (x)) \u003d 1 + 1 + (2 x) 2 \u003d 1 + 1 + 4 x 2.
5. При знаходженні похідної f 4 (x) \u003d 2 x зробити винесення 2 за знак похідної із застосуванням формули похідної степеневої функції з показником, який дорівнює 1, тоді f 4 "(x) \u003d (2 x)" \u003d 2 · x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 \u003d 2.

Виробляємо об'єднання проміжних результатів і отримуємо, що

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) · f 2" (f 3 (f 4 (x))) · f 3 "(f 4 (x)) · f 4" (x) \u003d \u003d cos (ln 3 arctg (2 x)) · 3 · ln 2 arctg (2 x) · 1 arctg (2 x) · 1 1 + 4 x 2 · 2 \u003d \u003d 6 · cos (ln 3 arctg (2 x)) · ln 2 arctg (2 x) arctg (2 x) · (1 + 4 x 2)

Розбір таких функцій нагадує матрьошки. Правила диференціювання не завжди можуть бути застосовані в явному вигляді за допомогою таблиці похідних. Найчастіше потрібно застосовувати формулу знаходження похідних складних функцій.

Існують деякі відмінності складного виду від складних функцій. При явному умінні це розрізняти, знаходження похідних даватиме особливо легко.

приклад 4

Необхідно розглянути на приведення подібного прикладу. Якщо є функція виду y \u003d t g 2 x + 3 t g x + 1, тоді її можна розглянути в якості складної виду g (x) \u003d t g x, f (g) \u003d g 2 + 3 g + 1. Очевидно, що необхідно застосування формули для складної похідною:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" \u003d (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 "\u003d \u003d 2 · g 2 - 1 (x) + 3 · g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 · 1 · g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 tgx + 3; g "(x) \u003d (tgx)" \u003d 1 cos 2 x ⇒ y "\u003d (f (g (x)))" \u003d f "(g (x)) · g" (x) \u003d (2 tgx + 3 ) · 1 cos 2 x \u003d 2 tgx + 3 cos 2 x

Функція виду y \u003d t g x 2 + 3 t g x +1 не вважається складною, так як має суму t g x 2, 3 t g x і 1. Однак, t g x 2 вважається складною функцією, то отримуємо ступеневу функцію виду g (x) \u003d x 2 і f, що є функцією тангенса. Для цього слід продифференцировать за сумою. Отримуємо, що

y "\u003d (tgx 2 + 3 tgx + 1)" \u003d (tgx 2) "+ (3 tgx)" + 1 "\u003d \u003d (tgx 2)" + 3 · (tgx) "+ 0 \u003d (tgx 2)" + 3 cos 2 x

Переходимо до знаходження похідної складної функції (t g x 2) ":

f "(g (x)) \u003d (tg (g (x)))" \u003d 1 cos 2 g (x) \u003d 1 cos 2 (x 2) g "(x) \u003d (x 2)" \u003d 2 · x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (tgx 2) "\u003d f" (g (x)) · g "(x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Отримуємо, що y "\u003d (t g x 2 + 3 t g x + 1)" \u003d (t g x 2) "+ 3 cos 2 x \u003d 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Функції складного виду можуть бути включені до складу складних функцій, причому самі складні функції можуть бути складовими функції складного виду.

приклад 5

Для прикладу розглянемо складну функцію виду y \u003d log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · (x 2 + 1)

Ця функція може бути представлена \u200b\u200bу вигляді y \u003d f (g (x)), де значення f є функцією логарифма за основою 3, а g (x) вважається сумою двох функцій виду h (x) \u003d x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 і k (x) \u003d ln 2 x · (x 2 + 1). Очевидно, що y \u003d f (h (x) + k (x)).

Розглянемо функцію h (x). Це відношення l (x) \u003d x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 до m (x) \u003d e x 2 + 3 3

Маємо, що l (x) \u003d x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 \u003d n (x) + p (x) є сумою двох функцій n (x) \u003d x 2 + 7 та p (x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1), де p (x) \u003d 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) є складною функцією з числовим коефіцієнтом 3, а p 1 - функцією зведення в куб, p 2 функцією косинуса, p 3 (x) \u003d 2 x + 1 - лінійною функцією.

Отримали, що m (x) \u003d ex 2 + 3 3 \u003d q (x) + r (x) є сумою двох функцій q (x) \u003d ex 2 і r (x) \u003d 3 3, де q (x) \u003d q 1 (q 2 (x)) - складна функція, q 1 - функція з експонентою, q 2 (x) \u003d x 2 - статечна функція.

Звідси видно, що h (x) \u003d l (x) m (x) \u003d n (x) + p (x) q (x) + r (x) \u003d n (x) + 3 · p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

При переході до вираження виду k (x) \u003d ln 2 x · (x 2 + 1) \u003d s (x) · t (x) видно, що функція представлена \u200b\u200bу вигляді складної s (x) \u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) з цілої раціональної t (x) \u003d x 2 + 1, де s 1 є функцією зведення в квадрат, а s 2 (x) \u003d ln x - логарифмічною з основою е.

Звідси випливає, що вираз набуде вигляду k (x) \u003d s (x) · t (x) \u003d s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Тоді отримаємо, що

y \u003d log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 + ln 2 x · (x 2 + 1) \u003d \u003d fn (x) + 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) \u003d r (x) + s 1 (s 2 (x)) · t (x)

За структурам функції стало явно, як і будь формули необхідно застосовувати для спрощення виразу при його диференціюванні. Для ознайомлення подібних завдань і і для поняття їх вирішення необхідно звернутися до пункту диференціювання функції, тобто знаходження її похідної.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

На якому ми розібрали найпростіші похідні, а також познайомилися з правилами диференціювання і деякими технічними прийомами знаходження похідних. Таким чином, якщо з похідними функцій у Вас не дуже або якісь моменти даної статті будуть не зовсім зрозумілі, то спочатку ознайомтеся з вищевказаним уроком. Будь ласка, налаштуйтеся на серйозний лад - матеріал не з простих, але я все-таки спробую викласти його просто і доступно.

На практиці з похідною складної функції доводиться стикатися дуже часто, я б навіть сказав, майже завжди, коли Вам дано завдання на знаходження похідних.

Дивимося в таблицю на правило (№5) диференціювання складної функції:

Розбираємося. Перш за все, звернемо увагу на запис. Тут у нас дві функції - і, причому функція, образно кажучи, вкладена в функцію. Функція такого виду (коли одна функція вкладена в іншу) і називається складною функцією.

Функцію я буду називати зовнішньої функцією, А функцію - внутрішньої (або вкладеної) функцією.

! Дані визначення не є теоретичними і не повинні фігурувати в чистовому оформленні завдань. Я застосовую неформальні вирази «зовнішня функція», «внутрішня» функція тільки для того, щоб Вам легше було зрозуміти матеріал.

Для того, щоб прояснити ситуацію, розглянемо:

приклад 1

Знайти похідну функції

Під синусом у нас знаходиться не просто буква «ікс», а ціле вираз, тому знайти похідну відразу по таблиці не вийде. Також ми помічаємо, що тут неможливо застосувати перші чотири правила, начебто є різниця, але справа в тому, що «розривати на частини» синус не можна:

В даному прикладі вже з моїх пояснень інтуїтивно зрозуміло, що функція - це складна функція, причому многочлен є внутрішньою функцією (вкладенням), а - зовнішньої функцією.

Перший крок, Який потрібно виконати при знаходженні похідної складної функції полягає в тому, щоб розібратися, яка функція є внутрішньою, а яка - зовнішньої.

В разі простих прикладів начебто зрозуміло, що під синус вкладений многочлен. А як же бути, якщо все не очевидно? Як точно визначити, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньої? Для цього я пропоную використовувати наступний прийом, який можна проводити в думках або на чернетці.

Уявімо, що нам потрібно обчислити на калькуляторі значення виразу при (замість одиниці може бути будь-яке число).

Що ми обчислимо в першу чергу? В першу чергу потрібно буде виконати наступну дію:, тому многочлен і буде внутрішньою функцією:

У другу чергу потрібно буде знайти, тому синус - буде зовнішньої функцією:

Після того, як ми РОЗІБРАЛИСЯ з внутрішньої і зовнішньої функціями саме час застосувати правило диференціювання складної функції .

Починаємо вирішувати. з уроку Як знайти похідну? ми пам'ятаємо, що оформлення рішення будь-якої похідної завжди починається так - робимо висновок вираз в дужки і ставимо справа вгорі штрих:

спочатку знаходимо похідну зовнішньої функції (синуса), дивимося на таблицю похідних елементарних функцій і помічаємо, що. Всі табличні формули застосовні і в тому, випадку, якщо «ікс» замінити складним виразом, в даному випадку:

Зверніть увагу, що внутрішня функція не змінилася, її ми не чіпаємо.

Ну і зовсім очевидно, що

Результат застосування формули в чистовому оформленні виглядає так:

Постійний множник зазвичай виносять в початок вирази:

Якщо залишилося якесь непорозуміння, перепишіть рішення на папір і ще раз прочитайте пояснення.

приклад 2

Знайти похідну функції

приклад 3

Знайти похідну функції

Як завжди записуємо:

Розбираємося, де у нас зовнішня функція, а де внутрішня. Для цього пробуємо (подумки або на чернетці) обчислити значення виразу при. Що потрібно виконати в першу чергу? В першу чергу потрібно порахувати чому дорівнює підставу:, значить, многочлен - і є внутрішня функція:

І, тільки потім виконується зведення в ступінь, отже, статечна функція - це зовнішня функція:

Відповідно до формули , Спочатку потрібно знайти похідну від зовнішньої функції, в даному випадку, від ступеня. Розшукуємо в таблиці потрібну формулу:. Повторюємо ще раз: будь-яка табличная формула справедлива не тільки для «ікс», а й для складного виразу. Таким чином, результат застосування правила диференціювання складної функції наступний:

Знову наголошую, що коли ми беремо похідну від зовнішньої функції, внутрішня функція у нас не змінюється:

Тепер залишилося знайти зовсім просту похідну від внутрішньої функції і трохи «причесати» результат:

приклад 4

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення (відповідь в кінці уроку).

Для закріплення розуміння похідною складної функції приведу приклад без коментарів, спробуйте самостійно розібратися, поміркувати, де зовнішня і де внутрішня функція, чому завдання вирішені саме так?

приклад 5

а) Знайти похідну функції

б) Знайти похідну функції

приклад 6

Знайти похідну функції

Тут у нас корінь, а для того, щоб продифференцировать корінь, його потрібно представити у вигляді ступеня. Таким чином, спочатку наводимо функцію в належний для диференціювання вид:

Аналізуючи функцію, приходимо до висновку, що сума трьох доданків - це внутрішня функція, а спорудження до рівня - зовнішня функція. Застосовуємо правило диференціювання складної функції :

Ступінь знову представляємо у вигляді радикала (кореня), а для похідної внутрішньої функції застосовуємо просте правило диференціювання суми:

Готово. Можна ще в дужках привести вираз до спільного знаменника і записати все однієї дробом. Красиво, звичайно, але коли виходять громіздкі довгі похідні - краще цього не робити (легко заплутатися, допустити непотрібну помилку, та й викладачеві буде незручно перевіряти).

приклад 7

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення (відповідь в кінці уроку).

Цікаво відзначити, що іноді замість правила диференціювання складної функції можна використовувати правило диференціювання приватного , Але таке рішення буде виглядати як перекручення незвично. Ось характерний приклад:

приклад 8

Знайти похідну функції

Тут можна використовувати правило диференціювання приватного , Але набагато вигідніше знайти похідну через правило диференціювання складної функції:

Готуємо функцію для диференціювання - виносимо мінус за знак похідної, а косинус піднімаємо в чисельник:

Косинус - внутрішня функція, зведення в ступінь - зовнішня функція.
Використовуємо наше правило :

Знаходимо похідну внутрішньої функції, косинус скидаємо назад вниз:

Готово. У розглянутому прикладі важливо не заплутатися в знаках. До речі, спробуйте вирішити його за допомогою правила , Відповіді повинні співпасти.

приклад 9

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення (відповідь в кінці уроку).

До сих пір ми розглядали випадки, коли у нас в складній функції було тільки одне вкладення. У практичних же завданнях часто можна зустріти похідні, де, як матрьошки, одна в іншу, вкладені відразу 3, а то і 4-5 функцій.

приклад 10

Знайти похідну функції

Розбираємося у вкладеннях цієї функції. Пробуємо обчислити вираз за допомогою піддослідного значення. Як би ми вважали на калькуляторі?

Спочатку потрібно знайти, значить, арксинус - найглибше вкладення:

Потім цей арксинус одиниці слід звести в квадрат:

І, нарешті, сімку зводимо в ступінь:

Тобто, в даному прикладі у нас три різні функції і два вкладення, при цьому, самої внутрішньою функцією є арксинус, а самої зовнішньої функцією - показова функція.

починаємо вирішувати

згідно з правилом спочатку потрібно взяти похідну від зовнішньої функції. Дивимося в таблицю похідних і знаходимо похідну показовою функції: Єдина відмінність - замість «ікс» у нас складний вираз, що не скасовує справедливість цієї формули. Отже, результат застосування правила диференціювання складної функції Наступного.