Знайти значення похідної в точці х0 1. Знайти значення похідної функції в точці х0. Знаходження інтервалів зростання і спадання функції

У задачі B9 дається графік функції або похідної, за яким потрібно визначити одну з наступних величин:

1. Значення похідної в деякій точці x 0,
2. Точки максимуму або мінімуму (точки екстремуму),
3. Інтервали зростання і спадання функції (інтервали монотонності).

Функції та похідні, представлені в цьому завданні, завжди безперервні, що значно спрощує рішення. Не дивлячись на те, що завдання відноситься до розділу математичного аналізу, вона цілком під силу навіть самим слабким учням, оскільки ніяких глибоких теоретичних знань тут не потрібно.

Для знаходження значення похідної, точок екстремуму і інтервалів монотонності існують прості і універсальні алгоритми - всі вони будуть розглянуті нижче.

Уважно читайте умову задачі B9, щоб не допускати дурних помилок: іноді трапляються досить об'ємні тексти, але важливих умов, які впливають на хід рішення, там небагато.

Обчислення значення похідної. Метод двох точок

Якщо в задачі дано графік функції f (x), дотична до цього графіку в деякій точці x 0, і потрібно знайти значення похідної в цій точці, застосовується наступний алгоритм:

1. Знайти на графіку дотичній дві «адекватні» точки: їх координати повинні бути цілочисельними. Позначимо ці точки A (x 1; y 1) і B (x 2; y 2). Правильно виписуйте координати - це ключовий момент рішення, і будь-яка помилка тут призводить до неправильного відповіді.
2. Знаючи координати, легко обчислити приріст аргументу Δx \u003d x 2 - x 1 і приріст функції Δy \u003d y 2 - y 1.
3. Нарешті, знаходимо значення похідної D \u003d Δy / Δx. Іншими словами, треба розділити приріст функції на приріст аргументу - і це буде відповідь.

Ще раз відзначимо: точки A і B треба шукати саме на дотичній, а не на графіку функції f (x), як це часто трапляється. Дотична обов'язково буде містити хоча б дві таких точки - інакше завдання складена некоректно.

Розглянемо точки A (-3; 2) і B (-1; 6) і знайдемо збільшення:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Знайдемо значення похідної: D \u003d Δy / Δx \u003d 4/2 \u003d 2.

Завдання. На малюнку зображено графік функції y \u003d f (x) і дотична до нього в точці з абсцисою x 0. Знайдіть значення похідної функції f (x) в точці x 0.

Розглянемо точки A (0; 3) і B (3; 0), знайдемо збільшення:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Тепер знаходимо значення похідної: D \u003d Δy / Δx \u003d -3/3 \u003d -1.

Завдання. На малюнку зображено графік функції y \u003d f (x) і дотична до нього в точці з абсцисою x 0. Знайдіть значення похідної функції f (x) в точці x 0.

Розглянемо точки A (0; 2) і B (5; 2) і знайдемо збільшення:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 2 - 2 \u003d 0.

Залишилося знайти значення похідної: D \u003d Δy / Δx \u003d 0/5 \u003d 0.

З останнього прикладу можна сформулювати правило: якщо дотична паралельна осі OX, похідна функції в точці дотику дорівнює нулю. У цьому випадку навіть не треба нічого рахувати - досить поглянути на графік.

Обчислення точок максимуму і мінімуму

Іноді замість графіка функції в задачі B9 дається графік похідної і потрібно знайти точку максимуму або мінімуму функції. При такому розкладі метод двох точок марний, але існує інший, ще більш простий алгоритм. Для початку визначимося з термінологією:

1. Точка x 0 називається точкою максимуму функції f (x), якщо в деякій околиці цієї точки виконується нерівність: f (x 0) ≥ f (x).
2. Точка x 0 називається точкою мінімуму функції f (x), якщо в деякій околиці цієї точки виконується нерівність: f (x 0) ≤ f (x).

Для того щоб знайти точки максимуму і мінімуму за графіком похідної, досить виконати наступні кроки:

1. Перекреслити графік похідної, прибравши всю зайву інформацію. Як показує практика, зайві дані тільки заважають вирішенню. Тому відзначаємо на координатної осі нулі похідної - і все.
2. З'ясувати знаки похідної на проміжках між нулями. Якщо для деякої точки x 0 відомо, що f '(x 0) ≠ 0, то можливі лише два варіанти: f' (x 0) ≥ 0 або f '(x 0) ≤ 0. Знак похідної легко визначити по вихідній кресленням: якщо графік похідної лежить вище осі OX, значить f '(x) ≥ 0. І навпаки, якщо графік похідної проходить під віссю OX, то f' (x) ≤ 0.
3. Знову перевіряємо нулі і знаки похідної. Там, де знак змінюється з мінуса на плюс, знаходиться точка мінімуму. І навпаки, якщо знак похідної змінюється з плюса на мінус, це точка максимуму. Відлік завжди ведеться зліва направо.

Ця схема працює тільки для безперервних функцій - інших в завданні B9 не зустрічається.

Завдання. На малюнку зображений графік похідної функції f (x), визначеної на відрізку [-5; 5]. Знайдіть точку мінімуму функції f (x) на цьому відрізку.

Позбудемося зайвої інформації - залишимо тільки кордону [-5; 5] і нулі похідної x \u003d -3 і x \u003d 2,5. Також відзначимо знаки:

Очевидно, в точці x \u003d -3 знак похідної змінюється з мінуса на плюс. Це і є точка мінімуму.

Завдання. На малюнку зображений графік похідної функції f (x), визначеної на відрізку [-3; 7]. Знайдіть точку максимуму функції f (x) на цьому відрізку.

Перекреслити графік, залишивши на координатної осі тільки кордону [-3; 7] і нулі похідної x \u003d -1,7 і x \u003d 5. Відзначимо на отриманому графіку знаки похідної. маємо:

Очевидно, в точці x \u003d 5 знак похідної змінюється з плюса на мінус - це точка максимуму.

Завдання. На малюнку зображений графік похідної функції f (x), визначеної на відрізку [-6; 4]. Знайдіть кількість точок максимуму функції f (x), що належать відрізку [−4; 3].

З умови задачі випливає, що досить розглянути тільки частина графіка, обмежену відрізком [-4; 3]. Тому будуємо новий графік, на якому відзначаємо тільки кордону [-4; 3] і нулі похідної всередині нього. А саме, точки x \u003d -3,5 і x \u003d 2. Отримуємо:

На цьому графіку є лише одна точка максимуму x \u003d 2. Саме в ній знак похідної змінюється з плюса на мінус.

Невелике зауваження з приводу точок з нецілочисельне координатами. Наприклад, в останній завданню була розглянута точка x \u003d -3,5, але з тим же успіхом можна взяти x \u003d -3,4. Якщо завдання складена коректно, такі зміни не повинні впливати на відповідь, оскільки точки «без певного місця проживання" не беруть безпосередньої участі у вирішенні завдання. Зрозуміло, з цілочисельними точками такий фокус не пройде.

Знаходження інтервалів зростання і спадання функції

У такій задачі, подібно точкам максимуму і мінімуму, пропонується за графіком похідної відшукати області, в яких сама функція зростає або убуває. Для початку визначимо, що таке зростання і спадання:

1. Функція f (x) називається зростаючою на відрізку якщо для будь-яких двох точок x 1 і x 2 з цього відрізка вірне твердження: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). Іншими словами, чим більше значення аргументу, тим більше значення функції.
2. Функція f (x) називається спадною на відрізку якщо для будь-яких двох точок x 1 і x 2 з цього відрізка вірне твердження: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). Тобто більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Сформулюємо достатні умови зростання та спадання:

1. Для того щоб безперервна функція f (x) зростала на відрізку, досить, щоб її похідна всередині відрізка була позитивна, тобто f '(x) ≥ 0.
2. Для того щоб безперервна функція f (x) спадала на відрізку, досить, щоб її похідна всередині відрізка була негативна, тобто f '(x) ≤ 0.

Приймемо ці твердження без доказів. Таким чином, отримуємо схему для знаходження інтервалів зростання і зменшення, яка багато в чому схожа на алгоритм обчислення точок екстремуму:

1. Прибрати всю зайву інформацію. На початковому графіку похідною нас цікавлять в першу чергу нулі функції, тому залишимо тільки їх.
2. Відзначити знаки похідної на інтервалах між нулями. Там, де f '(x) ≥ 0, функція зростає, а де f' (x) ≤ 0 - убуває. Якщо в задачі встановлені обмеження на змінну x, додатково відзначаємо їх на новому графіку.
3. Тепер, коли ми знаємо поведінку функції і обмеження, залишається обчислити необхідну в завданні величину.

Завдання. На малюнку зображений графік похідної функції f (x), визначеної на відрізку [-3; 7,5]. Знайдіть проміжки спадання функції f (x). У відповіді вкажіть суму цілих чисел, що входять в ці проміжки.

Як завжди, перекреслити графік і відзначимо кордону [-3; 7,5], а також нулі похідної x \u003d -1,5 і x \u003d 5,3. Потім відзначимо знаки похідної. маємо:

Оскільки на інтервалі (- 1,5) похідна негативна, це і є інтервал спадання функції. Залишилося підсумувати всі цілі числа, які знаходяться всередині цього інтервалу:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Завдання. На малюнку зображений графік похідної функції f (x), визначеної на відрізку [10; 4]. Знайдіть проміжки зростання функції f (x). У відповіді вкажіть довжину найбільшого з них.

Позбудемося зайвої інформації. Залишимо тільки кордону [10; 4] і нулі похідної, яких цього разу виявилося чотири: x \u003d -8, x \u003d -6, x \u003d -3 і x \u003d 2. Відзначимо знаки похідної і отримаємо таку картинку:

Нас цікавлять проміжки зростання функції, тобто такі, де f '(x) ≥ 0. На графіку таких проміжків два: (-8; -6) і (-3; 2). Обчислимо їх довжини:
l 1 \u003d - 6 - (-8) \u003d 2;
l 2 \u003d 2 - (-3) \u003d 5.

Оскільки потрібно знайти довжину найбільшого з інтервалів, у відповідь записуємо значення l 2 \u003d 5.

приклад 1

Довідка: Наступні способи позначення функції еквівалентні: У деяких завданнях буває зручно позначити функцію «ігрек», а в деяких через «еф від ікс».

Спочатку знаходимо похідну:

приклад 2

Обчислити похідну функції в точці

, , повне дослідження функції та ін.

приклад 3

Обчислити похідну функції в точці. Спочатку знайдемо похідну:

Ну ось, зовсім інша справа. Обчислимо значення похідної в точці:

У тому випадку, якщо Ви не зрозуміло, як знайдена похідна, поверніться до перших двох уроків теми. Якщо виникли труднощі (нерозуміння) з арктангенсом і його значеннями, обов'язково вивчіть методичний матеріал Графіки і властивості елементарних функцій - найостанніший параграф. Тому-що арктангенса на студентський вік ще вистачить.

приклад 4

Обчислити похідну функції в точці.

Рівняння дотичної до графіка функції

Щоб закріпити попередній параграф, розглянемо задачу знаходження дотичної до графіка функції в даній точці. Це завдання зустрічалося нам в школі, і воно ж зустрічається в курсі вищої математики.

Розглянемо «демонстраційний» найпростіший приклад.

Скласти рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою. Я відразу наведу готове графічне рішення задачі (на практиці цього робити в більшості випадків не треба):

Суворе визначення дотичній дається за допомогою визначення похідної функції, Але поки ми освоїмо технічну частину питання. Напевно практично всім інтуїтивно зрозуміло, що таке дотична. Якщо пояснювати «на пальцях», то дотична до графіка функції - це пряма, Яка стосується графіка функції в єдиноюточці. При цьому всі прилеглі точки прямої розташовані максимально близько до графіка функції.

Стосовно до нашого випадку: при дотична (стандартне позначення) стосується графіка функції в єдиній точці.

І наше завдання полягає в тому, щоб знайти рівняння прямої.

Похідна функції в точці

Як знайти похідну функції в точці? З формулювання слідують два очевидних пункту цього завдання:

1) Необхідно знайти похідну.

2) Необхідно обчислити значення похідної в заданій точці.

приклад 1

Обчислити похідну функції в точці

Довідка: Наступні способи позначення функції еквівалентні:


У деяких завданнях буває зручно позначити функцію «ігрек», а в деяких через «еф від ікс».

Спочатку знаходимо похідну:

Сподіваюся, багато хто вже пристосувалися знаходити такі похідні усно.

На другому кроці обчислимо значення похідної в точці:

Невеликий розминку приклад для самостійного рішення:

приклад 2

Обчислити похідну функції в точці

Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Необхідність знаходити похідну в точці виникає в таких завданнях: побудова дотичної до графіка функції (наступний параграф), дослідження функції на екстремум , дослідження функції на перегин графіка , повне дослідження функції та ін.

Але що розглядається завдання зустрічається в контрольних роботах і саме по собі. І, як правило, в таких випадках функцію дають досить складну. У зв'язку з цим розглянемо ще два приклади.

приклад 3

Обчислити похідну функції в точці.
Спочатку знайдемо похідну:

Похідна, в принципі, знайдена, і можна підставляти потрібну установку. Але щось робити це не сильно хочеться. Вираз дуже довге, та й значення «ікс» у нас дробове. Тому намагаємося максимально спростити нашу похідну. В даному випадку спробуємо привести до спільного знаменника три останніх доданків: в точці.

Це приклад для самостійного рішення.

Як знайти значення похідної функції F (x) в точці Хо? Як взагалі це вирішувати?

Якщо формула задана, то знайти похідну і замість Х підставити Х-нульове. порахувати
Якщо мова йде про б-8 ЄДІ, графік, то треба знайти тангенс кута (гострий або тупий), який утворює дотична з віссю Х (за допомогою уявного побудови прямокутного трикутника і визначення тангенса кута)

Тимур адільходжаев

По-перше, треба визначитися зі знаком. Якщо точка х0 знаходиться в нижній частині координатної площині, то знак у відповіді буде мінус, а якщо вище, то +.
По-друге, треба знати що таке тангес в прямокутному прямокутнику. А це співвідношення противолежащей боку (катета) до прилеглої стороні (теж катета). На картині зазвичай є кілька чорних відміток. З ці відміток складаєш прямокутний трикутник і знаходиш тангес.

Як знайти значення похідної функції f x в точці x0?

немає конкретно поставленого питання - 3 роки тому

У загальному випадку, що б знайти значення похідної будь-якої функції з деякої змінної в будь-якій точці, потрібно продифференцировать задану функцію по цій змінній. У вашому випадку по змінної Х. В отриманий вираз замість Х поставити значення ікси в тій точці, для якої треба знайти значення похідної, тобто у Вашому випадку підставити нульовий Х і обчислити отриманий вираз.

Ну а ваше прагнення розібратися в цьому питанні, на мій погляд, безперечно заслуговує +, який ставлю з чистою совістю.

Така постановка завдання на знаходження похідної часто ставиться для закріплення матеріалу на геометричний зміст похідної. Пропонується графік якоїсь функції, абсолютно довільної і не заданої рівнянням і потрібно знайти значення похідної (не саму похідну зауважте!) В зазначеній точці Х0. Для цього будується дотична до заданої функції і знаходиться точки її перетину з осями координат. Потім складається рівняння цієї дотичної у вигляді y \u003d кx + b.

У цьому рівнянні коефіцієнт до і буде значенням похідною. залишається лише знайти значення коефіцієнта b. Для цього знаходимо значення у при х \u003d о, нехай воно дорівнює 3 - це і є значення коефіцієнта b. Підставляємо у вихідне рівняння значення Х0 і У0 і знаходимо до - нашу значення похідної в цій точці.