Гдз по тих механіці. Основні закони і формули з теоретичної механіки. Рішення прикладів. Інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки, що знаходиться під дією змінних сил

зміст

кінематика

Кінематика матеріальної точки

Визначення швидкості та прискорення точки по заданим рівнянням її руху

Дано: Рівняння руху точки: x \u003d 12 sin (πt / 6), См; y \u003d 6 cos 2 (πt / 6), См.

Встановити вид її траєкторії і для моменту часу t \u003d 1 з визначити місце розташування точки на траєкторії, її швидкість, повне, дотичне і нормальне прискорення, а також радіус кривизни траєкторії.

Поступальний і обертальний рух твердого тіла

дано:
t \u003d 2 с; r 1 \u003d 2 см, R 1 \u003d 4 см; r 2 \u003d 6 см, R 2 \u003d 8 см; r 3 \u003d 12 см, R 3 \u003d 16 см; s 5 \u003d t 3 - 6t (см).

Визначити в момент часу t \u003d 2 швидкості точок A, C; кутове прискорення колеса 3; прискорення точки B і прискорення рейки 4.

Кінематичний аналіз плоского механізму

дано:
R 1, R 2, L, AB, ω 1.
Знайти: ω 2.

Плоский механізм складається зі стрижнів 1, 2, 3, 4 і повзуна E. Стрижні з'єднані за допомогою циліндричних шарнірів. Точка D розташована в середині стрижня AB.
Дано: ω 1, ε 1.
Знайти: швидкості V A, V B, V D і V E; кутові швидкості ω 2, ω 3 і ω 4; прискорення a B; кутове прискорення ε AB ланки AB; положення миттєвих центрів швидкостей P 2 і P 3 ланок 2 і 3 механізму.

Визначення абсолютної швидкості і абсолютного прискорення точки

Прямокутна пластина обертається навколо нерухомої осі за законом φ \u003d 6 t 2 - 3 t 3 . Позитивний напрямок відліку кута φ показано на малюнках дугового стрілкою. Вісь обертання OO 1 лежить в площині пластини (пластина обертається в просторі).

За пластині уздовж прямої BD рухається точка M. Заданий закон її відносного руху, т. Е. Залежність s \u003d AM \u003d 40 (t - 2 t 3) - 40 (S - в сантиметрах, t - в секундах). Відстань b \u003d 20 см. На малюнку точка M показана в положенні, при якому s \u003d AM > 0 (При s< 0 точка M знаходиться по іншу сторону від точки A).

Знайти абсолютну швидкість і абсолютне прискорення точки M в момент часу t 1 \u003d 1 з.

динаміка

Інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки, що знаходиться під дією змінних сил

Вантаж D масою m, отримавши в точці A початкову швидкість V 0, рухається в зігнутої трубі ABC, розташованої у вертикальній площині. На ділянці AB, довжина якого l, на вантаж діє постійна сила T (її напрямок показано на малюнку) і сила R опору середовища (модуль цієї сили R \u003d μV 2, вектор R спрямований протилежно швидкості V вантажу).

Вантаж, закінчивши рух на ділянці AB, в точці B труби, не змінюючи значення модуля своєї швидкості, переходить на ділянку BC. На ділянці BC на вантаж діє змінна сила F, проекція F x якої на вісь x задана.

Вважаючи вантаж матеріальною точкою, знайти закон його руху на ділянці BC, тобто x \u003d f (t), де x \u003d BD. Тертям вантажу про трубу знехтувати.

Завантажити рішення задачі

Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи

Механічна система складається з вантажів 1 і 2, циліндричного катка 3, двоступеневих шківів 4 і 5. Тіла системи з'єднані нитками, намотаних на шківи; ділянки ниток паралельні відповідним площинах. Каток (суцільний однорідний циліндр) котиться по опорній площині без ковзання. Радіуси ступенів шківів 4 і 5 рівні відповідно R 4 \u003d 0,3 м, r 4 \u003d 0,1 м, R 5 \u003d 0,2 м, r 5 \u003d 0,1 м. Масу кожного шківа вважати рівномірно розподіленим по його зовнішнім обода . Опорні площині вантажів 1 і 2 шорсткі, коефіцієнт тертя ковзання для кожного вантажу f \u003d 0.1.

Під дією сили F, модуль якої змінюється за законом F \u003d F (s), де s - переміщення точки її застосування, система приходить в рух зі стану спокою. При русі системи на шків 5 діють сили опору, момент яких щодо осі обертання постійний і дорівнює M 5.

Визначити значення кутової швидкості шківа 4 в той момент часу, коли переміщення s точки прикладання сили F стане рівним s 1 \u003d 1,2 м.

Завантажити рішення задачі

Застосування загального рівняння динаміки до дослідження руху механічної системи

Для механічної системи визначити лінійне прискорення a 1. Вважати, що у блоків і ковзанок маси розподілені по зовнішньому радіусу. Троси і ремені вважати невагомими і нерозтяжними; прослизання відсутня. Тертям кочення і тертям ковзання знехтувати.

Завантажити рішення задачі

Застосування принципу Даламбера до визначення реакцій опор обертового тіла

Вертикальний вал AK, що обертається рівномірно з кутовою швидкістю ω \u003d 10 с -1, закріплений підп'ятником в точці A і циліндричним підшипником в точці D.

До валу жорстко прикріплені невагомий стержень 1 довжиною l 1 \u003d 0,3 м, на вільному кінці якого розташований вантаж масою m 1 \u003d 4 кг, і однорідний стрижень 2 довжиною l 2 \u003d 0,6 м, який має масу m 2 \u003d 8 кг. Обидва стрижня лежать в одній вертикальній площині. Точки прикріплення стрижнів до валу, а також кути α і β вказані в таблиці. Розміри AB \u003d BD \u003d DE \u003d EK \u003d b, де b \u003d 0,4 м. Вантаж прийняти за матеріальну точку.

Нехтуючи масою вала, визначити реакції підп'ятника і підшипника.

Теоретична механіка - це розділ механіки, в якому викладаються основні закони механічного руху і механічної взаємодії матеріальних тіл.

Теоретична механіка є наукою, в якій вивчаються переміщення тіл з плином часу (механічні рухи). Вона служить базою інших розділів механіки (теорія пружності, опір матеріалів, теорія пластичності, теорія механізмів і машин, гідроаеродинаміка) і багатьох технічних дисциплін.

механічний рух - це зміна з плином часу взаємного положення в просторі матеріальних тел.

механічне взаємодія - це така взаємодія, в результаті якого змінюється механічний рух або змінюється взаємне положення частин тіла.

Статика твердого тіла

статика - це розділ теоретичної механіки, в якому розглядаються завдання на рівновагу твердих тіл і перетворення однієї системи сил в іншу, їй еквівалентну.

Основні поняття і закони статики
• Абсолютно тверде тіло (Тверде тіло, тіло) - це матеріальне тіло, відстань між будь-якими точками в якому не змінюється.
• Матеріальна точка - це тіло, розмірами якого за умовами завдання можна знехтувати.
• вільне тіло - це тіло, на переміщення якого не накладено ніяких обмежень.
• Невільний (пов'язане) тіло - це тіло, на переміщення якого накладено обмеження.
• зв'язки - це тіла, що перешкоджають переміщенню даного об'єкту (тіла або системи тіл).
• реакція зв'язку - це сила, яка характеризує зв'язку на тверде тіло. Якщо вважати силу, з якою тверде тіло діє на зв'язок, дією, то реакція зв'язку є протидією. При цьому сила - дія прикладена до зв'язку, а реакція зв'язку прикладена до твердого тіла.
• механічна система - це сукупність взаємопов'язаних між собою тіл або матеріальних точок.
• Тверде тіло можна розглядати як механічну систему, положення і відстань між точками якої не змінюються.
• сила - це векторна величина, що характеризує механічна дія одного матеріального тіла на інше.
  Сила як вектор характеризується точкою докладання, напрямком дії і абсолютним значенням. Одиниця виміру модуля сили - Ньютон.
• Лінія дії сили - це пряма, уздовж якої спрямований вектор сили.
• зосереджена сила - сила, прикладена в одній точці.
• Розподілені сили (розподілене навантаження) - це сили, що діють на всі точки обсягу, поверхні або довжини тіла.
  Розподілена навантаження задається силою, що діє на одиницю об'єму (поверхні, довжини).
  Розмірність розподіленої навантаження - Н / м 3 (Н / м 2, Н / м).
• зовнішня сила - це сила, що діє з боку тіла, що не належить розглянутої механічної системі.
• Внутрішня сила - це сила, що діє на матеріальну точку механічної системи з боку іншої матеріальної точки, що належить даній системі.
• система сил - це сукупність сил, що діють на механічну систему.
• Плоска система сил - це система сил, лінії дії яких лежать в одній площині.
• Просторова система сил - це система сил, лінії дії яких не лежать в одній площині.
• Система сходяться сил - це система сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці.
• Довільна система сил - це система сил, лінії дії яких не перетинаються в одній точці.
• Еквівалентні системи сил - це такі системи сил, заміна яких одна на іншу не змінює механічного стану тіла.
  Прийняте позначення:.
• рівновага - це стан, при якому тіло при дії сил залишається нерухомим або рухається рівномірно прямолінійно.
• Врівноважена система сил - це система сил, яка будучи прикладена до вільного твердого тіла не змінює його механічного стану (не виводить з рівноваги).
  .
• рівнодіюча сила - це сила, дія якої на тіло еквівалентно дії системи сил.
  .
• момент сили - це величина, що характеризує обертає здатність сили.
• пара сил - це система двох паралельних рівних по модулю протилежно спрямованих сил.
  Прийняте позначення:.
  Під дією пари сил тіло буде здійснювати обертальний рух.
• Проекція сили на вісь - це відрізок, укладений між перпендикулярами, проведеними з початку і кінця вектора сили до цієї осі.
  Проекція позитивна, якщо напрямок відрізка збігається з позитивним напрямком осі.
• Проекція сили на площину - це вектор на площині, укладений між перпендикулярами, проведеними з початку і кінця вектора сили до цієї площини.
• Закон 1 (закон інерції). Ізольована матеріальна точка знаходиться в спокої або рухається рівномірно і прямолінійно.
  Рівномірний і прямолінійний рух матеріальної точки є рухом по інерції. Під станом рівноваги матеріальної точки і твердого тіла розуміють не лише стан спокою, а й рух за інерцією. Для твердого тіла існують різні види руху за інерцією, наприклад рівномірне обертання твердого тіла навколо нерухомої осі.
• Закон 2. Тверде тіло знаходиться в рівновазі під дією двох сил тільки в тому випадку, якщо ці сили рівні за модулем і спрямовані в протилежні сторони по загальній лінії дії.
  Ці дві сили називаються врівноважується.
  Взагалі сили називаються врівноважує, якщо тверде тіло, до якого прикладені ці сили, знаходиться в спокої.
• Закон 3. Не порушуючи стану (слово «стан» тут означає стан руху або спокою) твердого тіла, можна додавати і відкидати урівноважуючі сили.
  Слідство. Не порушуючи стану твердого тіла, силу можна переносити по її лінії дії в будь-яку точку тіла.
  Дві системи сил називаються еквівалентними, якщо одну з них можна замінити іншою, не порушуючи стану твердого тіла.
• Закон 4. Рівнодіюча двох сил, прикладених в одній точці, прикладена в тій же точці, дорівнює по модулю діагоналі паралелограма, побудованого на цих силах, і спрямована уздовж цієї
  діагоналі.
  За модулю рівнодіюча дорівнює:
  
• Закон 5 (закон рівності дії і протидії). Сили, з якими два тіла діють один на одного, рівні за модулем і спрямовані в протилежні сторони по одній прямій.
  Слід мати на увазі, що дія - сила, прикладена до тіла Б, і протидія - сила, прикладена до тіла А, Що не врівноважуються, так як вони прикладені до різних тіл.
• Закон 6 (закон затвердіння). Рівновага нетвердого тіла не порушується при його затвердінні.
  Не слід при цьому забувати, що умови рівноваги, що є необхідними і достатніми для твердого тіла, є необхідними, але недостатніми для відповідного нетвердого тіла.
• Закон 7 (закон освобождаемості від зв'язків). Невільний тверде тіло можна розглядати як вільне, якщо його подумки звільнити від зв'язків, замінивши дію зв'язків відповідними реакціями зв'язків.

Зв'язки і їх реакції
• Гладка поверхня обмежує переміщення по нормалі до поверхні опори. Реакція спрямована перпендикулярно поверхні.
• Шарнирная рухома опора обмежує переміщення тіла по нормалі до опорної площини. Реакція спрямована по нормалі до поверхні опори.
• Шарнирная нерухома опора протидіє будь-якому переміщенню в площині, перпендикулярній осі обертання.
• Шарнірний невагомий стрижень протидіє переміщенню тіла уздовж лінії стержня. Реакція буде спрямована вздовж лінії стержня.
• глухе закладання протидіє будь-якому переміщенню і обертанню в площині. Її дію можна замінити силою, представленою у вигляді двох складових і парою сил з моментом.

кінематика

кінематика - розділ теоретичної механіки, в якому розглядаються загальні геометричні властивості механічного руху, як процесу, що відбувається в просторі і в часі. Рухомі об'єкти розглядають як геометричні точки або геометричні тіла.

Основні поняття кінематики
• Закон руху точки (тіла) - це залежність положення точки (тіла) в просторі від часу.
• траєкторія точки - це геометричне місце положень точки в просторі при її русі.
• Швидкість точки (тіла) - це характеристика зміни в часі положення точки (тіла) в просторі.
• Прискорення точки (тіла) - це характеристика зміни в часі швидкості точки (тіла).

Визначення кінематичних характеристик точки
• траєкторія точки
  У векторній системі відліку траєкторія описується виразом:.
  У системі координат відліку траєкторія визначається за законом руху точки і описується виразами z \u003d f (x, y) - в просторі, або y \u003d f (x) - в площині.
  У природній системі відліку траєкторія задається заздалегідь.
• Визначення швидкості точки у векторній системі координат
  При завданні руху точки у векторній системі координат ставлення переміщення до інтервалу часу називають середнім значенням швидкості на цьому інтервалі часу:.
  Беручи інтервал часу нескінченно малою величиною, отримують значення швидкості в даний момент часу (миттєве значення швидкості): .
  Вектор середньої швидкості спрямований уздовж вектора в бік руху точки, вектор миттєвої швидкості спрямований по дотичній до траєкторії в сторону руху точки.
  висновок: швидкість точки - векторна величина, що дорівнює похідною від закону руху за часом.
  Властивість похідною: похідна від будь-якої величини за часом визначає швидкість зміни цієї величини.
• Визначення швидкості точки в системі координат відліку
  Швидкості зміни координат точки:
  .
  Модуль повній швидкості точки при прямокутній системі координат буде дорівнює:
  .
  Напрямок вектора швидкості визначається косинусами напрямних кутів:
  ,
  де - кути між вектором швидкості і осями координат.
• Визначення швидкості точки в природній системі відліку
  Швидкість точки в природній системі відліку визначається як похідна від закону руху точки:.
  Згідно з попередніми висновками вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії в сторону руху точки і в осях визначається тільки однією проекцією.

Кінематика твердого тіла
• У кінематиці твердих тіл вирішуються дві основні задачі:
  1) завдання руху і визначення кінематичних характеристик тіла в цілому;
  2) визначення кінематичних характеристик точок тіла.
• Поступальний рух твердого тіла
  Поступальний рух - це рух, при якому пряма, проведена через дві точки тіла, залишається паралельною її початкового стану.
  теорема: при поступальному русі всі точки тіла рухаються по однаковим траєкторіях і мають в кожній момент часу однакові по модулю і напрямку швидкості і прискорення.
  висновок: поступальний рух твердого тіла визначається рухом будь-якої його точки, в зв'язку з чим, завдання та вивчення його руху зводиться до кінематики точки.
• Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі
  Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі - це рух твердого тіла, при якому дві точки, що належать тілу, залишаються нерухомими протягом усього часу руху.
  Положення тіла визначається кутом повороту. Одиниця виміру кута - радіан. (Радіан - центральний кут кола, довжина дуги якого дорівнює радіусу, повний кут кола містить 2π радіана.)
  Закон обертального руху тіла навколо нерухомої осі.
  Кутову швидкість і кутове прискорення тіла визначимо методом диференціювання:
  - кутова швидкість, рад / с;
  - кутове прискорення, рад / с ².
  Якщо розсікти тіло площиною перпендикулярній осі, вибрати на осі обертання точку З і довільну точку М, То точка М буде описувати навколо точки З окружність радіуса R. За час dt відбувається елементарний поворот на кут, при цьому точка М зробить переміщення уздовж траєкторії на відстань .
  Модуль лінійної швидкості:
  .
  прискорення точки М при відомій траєкторії визначається по його складовими:
  ,
  де .
  У підсумку, отримуємо формули
  тангенціальне прискорення: ;
  нормальне прискорення: .

динаміка

динаміка - це розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються механічні рух матеріальних тіл в залежності від причин, що їх викликають.

Основні поняття динаміки
• інерційність - це властивість матеріальних тіл зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, поки зовнішні сили не змінять цього стану.
• маса - це кількісна міра інерційності тіла. Одиниця виміру маси - кілограм (кг).
• Матеріальна точка - це тіло, що володіє масою, розмірами якого при вирішенні даного завдання нехтують.
• Центр мас механічної системи - геометрична точка, координати якої визначаються формулами:
  
  де m k, x k, y k, z k - маса і координати k-тої точки механічної системи, m - маса системи.
  В однорідному полі тяжіння положення центру мас збігається з положенням центра ваги.
• Момент інерції матеріального тіла щодо осі - це кількісна міра інертності при обертальному русі.
  Момент інерції матеріальної точки відносно осі дорівнює добутку маси точки на квадрат відстані точки від осі:
  .
  Момент інерції системи (тіла) щодо осі дорівнює арифметичній сумі моментів інерції всіх точок:
  
• Сила інерції матеріальної точки - це векторна величина, що дорівнює по модулю добутку маси точки на модуль прискорення і спрямована протилежно вектору прискорення:
• Сила інерції матеріального тіла - це векторна величина, що дорівнює по модулю добутку маси тіла на модуль прискорення центру мас тіла і спрямована протилежно вектору прискорення центру мас:,
  де - прискорення центра мас тіла.
• Елементарний імпульс сили - це векторна величина, що дорівнює добутку вектора сили на нескінченно малий проміжок часу dt:
  .
  Повний імпульс сили за Δt дорівнює інтегралу від елементарних імпульсів:
  .
• Елементарна робота сили - це скалярна величина dA, Що дорівнює скалярному виро

Багато студентів вузів стикаються з певними труднощами, коли в їх курсі навчання починають викладати базові технічні дисципліни, такі як опір матеріалів та теоретичну механіку. У цій статті буде розглянуто один з таких предметів - так звана технічна механіка.

Технічна механіка - це наука, що вивчає різні механізми, їх синтез і аналіз. На практиці ж це означає поєднання трьох дисциплін - опору матеріалів, теоретичної механіки і деталей машин. Вона зручна тим, що кожен навчальний заклад обирає, в якій пропорції викладати ці курси.

Відповідно, в більшості контрольних робіт завдання розбиті на три блоки, які необхідно вирішувати окремо або разом. Розглянемо найбільш часто зустрічаються завдання.

Розділ перший. Теоретична механіка

З усього різноманіття завдань по теормех найчастіше можна зустріти завдання з розділу кінематики і статики. Це завдання на рівновагу плоскої рами, визначення законів руху тіл і кінематичний аналіз важільного механізму.

Для вирішення завдань на рівновагу плоскої рами необхідно скористатися рівнянням рівноваги плоскої системи сил:

Сума проекцій всіх сил на координатні осі дорівнює нулю і сума моментів всіх сил щодо будь-якої точки дорівнює нулю. Вирішуючи спільно ці рівняння, визначаємо величину реакцій всіх опор плоскої рами.

У завданнях на визначення основних кінематичних параметрів руху тіл необхідно, виходячи із заданої траєкторії або закони руху матеріальної точки, визначити її швидкість, прискорення (повне, дотичне і нормальне) і радіус кривизни траєкторії. Закони руху точки задані рівняннями траєкторії:

Проекції швидкості точки на координатні осі знаходяться шляхом диференціювання відповідних рівнянь:

Диференціюючи рівняння швидкості, знаходимо проекції прискорення точки. Дотичне і нормальне прискорення, радіус кривизни траєкторії знаходимо графічним або аналітичним шляхом:

Кінематичний аналіз важільного механізму проводиться за наступною схемою:

1. Розбиття механізму на групи Ассура
2. Побудова для кожної з груп планів швидкостей і прискорень
3. Визначення швидкостей і прискорень всіх ланок і точок механізму.

Розділ другий. Опір матеріалів

Опір матеріалів - досить складний для розуміння розділ, з безліччю всіляких завдань, більшість з яких вирішується за своєю методикою. З метою спростити студентам їх рішення, найбільш часто в курсі прикладної механіки дають елементарні завдання на просте опір конструкцій - причому вид і матеріал конструкції, як правило, залежить від профілю вузу.

Найпоширенішими є завдання на розтягнення-стиснення, на вигин і на кручення.

У завданнях на розтягнення-стиснення необхідно побудувати епюри поздовжніх зусиль і нормальних напружень, а іноді ще й переміщень ділянок конструкції.

Для цього необхідно розбити конструкцію на ділянки, межами яких будуть місця, в яких прикладена навантаження або змінюється площа поперечного перерізу. Далі, застосовуючи формули рівноваги твердого тіла, визначаємо величини внутрішніх зусиль на кордонах ділянок, і, з урахуванням площі поперечного перерізу, внутрішня напруга.

За отриманими даними будуємо графіки - епюри, приймаючи за вісь графіка вісь симетрії конструкції.

Завдання на кручення подібні завданням на вигин, за винятком того, що замість розтягуючих зусиль до тіла прикладені крутний момент. З огляду на це необхідно повторити етапи розрахунку - розбиття на ділянки, визначення закручують моментів і кутів закручування і побудова епюр.

У завданнях на вигин необхідно розрахувати і визначити поперечні сили і згинальних моментів для навантаженого бруса.
Спочатку визначаються реакції опор, в яких закріплений брус. Для цього потрібно записати рівняння рівноваги конструкції, з урахуванням всіх діючих зусиль.

Після цього брус розбивається на ділянки, межами яких будуть точи додатки зовнішніх сил. Шляхом розгляду рівноваги кожної ділянки окремо визначаються поперечні сили і згинальних моментів на кордонах ділянок. За отриманими даними будуються епюри.

Перевірка поперечного перерізу на міцність проводиться наступним чином:

1. Визначається місце розташування небезпечногоперетину - перетину, де будуть діяти найбільші згинальні моменти.
2. З умови міцності при вигині визначається момент опору поперечного перерізу бруса.
3. Визначається характерний розмір перетину - діаметр, довжина сторони або номер профілю.

Розділ третій. Деталі машин

Розділ «Деталі машин» об'єднує в собі всі завдання на розрахунок механізмів, що працюють в реальних умовах - це може бути привод конвеєра або левередж. Істотно полегшує завдання те, що всі формули і методи розрахунку наведені в довідниках, і студенту необхідно лише вибрати ті з них, які підходять для заданого механізму.

література

1. Теоретична механіка: Методичні вказівки і контрольні завдання для студентів-заочників машинобудівних, будівельних, транспортних, приладобудівних спеціальностей вищих навчальних закладів / За ред. проф. С.М.Тарга, - М .: Вища школа, 1989 г. Видання четверте;
2. А. В. Дарков, Г. С. Шпіра. "Опір матеріалів";
3. Чернавський С.А. Курсове проектування деталей машин: Учеб. посібник для учнів машинобудівних спеціальностей технікумів / С. А. Чернавський, К. Н. Боков, І. М. Чернін і ін. - 2-е изд., перераб. і доп. - М. Машинобудування, 1988. - 416 с .: іл.

Рішення технічної механіки на замовлення

Наша компанія також пропонує послуги по вирішенню завдань і контрольних робіт з механіки. Якщо у вас є труднощі з розумінням цього предмета, ви завжди можете замовити докладний рішення у нас. Ми беремося за складні завдання!
можна безкоштовно.