Завдання щодо шкільного етапу всеросійської олімпіади школярів з математики. Математичні олімпіади та олімпіадні завдання Микола купив загальний зошит обсягом 96 аркушів

Завдання 16:

Чи можна розміняти 25 рублів за допомогою десяти купюр номіналом в 1, 3 і 5 рублів? Рішення:

Відповідь: Ні

Петя купив загальний зошит обсягом 96 аркушів і пронумерував усі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Вася вирвав із цього зошита 25 аркушів і склав усі 50 чисел, що на них написані. Чи могло в нього вийти 1990? Рішення:

На кожному аркуші сума номерів сторінок непарна, а сума 25 непарних чисел – непарна.

Добуток 22 цілих чисел дорівнює 1. Доведіть, що їхня сума не дорівнює нулю. Рішення:

Серед цих чисел – парне число «мінус одиниць», а для того, щоб сума дорівнювала нулю, їх має бути рівно 11.

Чи можна скласти магічний квадрат із перших 36 простих чисел? Рішення:

Серед цих чисел одне (2) – парне, а решта – непарні. Тому в тому рядку, де стоїть двійка, сума чисел непарна, а в інших – парна.

У рядок виписані числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки «+» і «-» так, щоб значення отриманого виразу дорівнювало нулю?

Примітка: врахуйте, що негативні числа також є парними і непарними. Рішення:

Справді, сума чисел від 1 до 10 дорівнює 55, і змінюючи у ній знаки, ми змінюємо все вираз на парне число.

Коник стрибає по прямій, причому вперше він стрибнув на 1 см в якусь сторону, вдруге - на 2 см і так далі. Доведіть, що після 1985 року стрибків він не може опинитися там, де починав. Рішення:

Вказівка: Сума 1+2+…+1985 непарна.

На дошці написані числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Дозволяється стерти з дошки будь-які два числа і замість них записати модуль їхньої різниці. Зрештою, на дошці залишиться одне число. Чи може воно дорівнювати нулю? Рішення:

Перевірте, що при зазначених операціях парність суми всіх написаних на дошці чисел не змінюється.

Чи можна покрити шахівницю доминошками 1 × 2 так, щоб вільними залишилися тільки клітини a1 і h8? Рішення:

Кожна доміношка покриває одне чорне та одне біле поле, а при викиданні полів a1 та h8 чорних полів залишається на 2 менше, ніж білих.

До 17-значного числа додали число, записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку. Доведіть, що хоча б одна цифра отриманої суми є парною. Рішення:

Розберіть два випадки: сума першої та останньої цифр числа менша за 10, і сума першої та останньої цифр числа не менша за 10. Якщо припустити, що всі цифри суми - непарні, то в першому випадку не повинно бути жодного перенесення в розрядах (що, очевидно , Приводить до суперечності), а в другому випадку наявність перенесення при русі справа наліво або зліва направо чергується з відсутністю перенесення, і в результаті ми отримаємо, що цифра суми в дев'ятому розряді обов'язково парна.

У народній дружині 100 чоловік і щовечора троє з них йдуть на чергування. Чи може через деякий час виявитися так, що кожен з кожним чергував рівно один раз? Рішення:

Так як на кожному чергуванні, в якому бере участь ця людина, він чергує з двома іншими, то решту можна розбити на пари. Проте 99 – непарне число.

На прямій зазначено 45 точок, що лежать поза відрізком AB. Доведіть, що сума відстаней від цих точок до точки A не дорівнює сумі відстаней від цих точок до точки B. Рішення:

Для будь-якої точки X, що лежить поза AB, маємо AX – BX = ±AB. Якщо припустити, що суми відстаней рівні, ми отримаємо, що вираз ± AB ± AB ± … ± AB, у якому бере участь 45 доданків, дорівнює нулю. Але це неможливо.

По колу розставлено 9 чисел – 4 одиниці та 5 нулів. Кожну секунду над числами роблять наступну операцію: між сусідніми числами ставлять нуль, якщо вони різні, і одиницю, якщо вони рівні; після цього старі числа стирають. Чи можуть через деякий час усі числа стати однаковими? Рішення:

Зрозуміло, що комбінація з дев'яти одиниць раніше ніж дев'ять нулів вийти не може. Якщо ж вийшло дев'ять нулів, то на попередньому ходу нулі та одиниці повинні були чергуватись, що неможливо, бо їх непарна кількість.

25 хлопчиків та 25 дівчаток сидять за круглим столом. Доведіть, що у когось із сусідів, що сидять за столом, - хлопчики. Рішення:

Проведемо наш доказ протилежного. Занумеруємо всіх, хто сидить за столом по порядку, починаючи з якогось місця. Якщо на k-му місці сидить хлопчик, то ясно, що на (k – 2)-му та на (k+2)-му місці сидять дівчатка. Але оскільки хлопчиків і дівчаток порівну, то і для будь-якої дівчинки, що сидить на n-му місці, вірно, що на (n - 2)-му і на (n + 2)-му місці сидять хлопчики. Якщо ми тепер розглянемо лише тих 25 людей, які сидять на «парних» місцях, то отримаємо, що серед них хлопчики та дівчатка чергуються, якщо оминати стіл у якомусь напрямку. Але 25 – непарне число.

Равлик повзе по площині з постійною швидкістю, кожні 15 хвилин повертаючи під прямим кутом. Доведіть, що повернутись у вихідну точку вона зможе лише через ціле число годин. Рішення:

Зрозуміло, що кількість a ділянок, на яких равлик повзла вгору або вниз, дорівнює кількості ділянок, на яких вона повзла праворуч або ліворуч. Залишилося тільки помітити, що a – парно.

Три коники грають на прямій у чехарду. Щоразу один із них стрибає через іншого (але не через двох одразу!). Чи можуть вони після 1991 року стрибка опинитися на колишніх місцях? Рішення:

Позначимо коників A, B і C. Назвемо розстановки коників ABC, BCA і CAB (зліва направо) – правильними, а ACB, BAC та CBA – неправильними. Легко бачити, що за будь-якого стрибка тип розстановки змінюється.

Є 101 монета, з яких 50 фальшивих, що відрізняються за вагою на 1 грам від справжніх. Петя взяв одну монету і за одне зважування на терезах зі стрілкою, що показує різницю терезів на чашках, хоче визначити чи вона фальшива. Чи зможе він це зробити? Рішення:

Потрібно відкласти цю монету убік, а потім розділити решту 100 монет на дві купки по 50 монет, і порівняти ваги цих купок. Якщо вони відрізняються на парне число грам, то справжня монета справжня. Якщо ж різниця терезів непарна, то монета фальшива.

Чи можна виписати в ряд по одному разу цифри від 1 до 9 так, щоб між одиницею та двійкою, двійкою та трійкою, …, вісімкою та дев'яткою було непарне число цифр? Рішення:

В іншому випадку всі цифри в ряду стояли б на місцях однієї і тієї ж парності.

Дана робота Петя купив загальний зошит обсягом 96 аркушів і пронумерував усі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Вася вирвав (Контрольна) по предмету (АХД та фінансовий аналіз), була виконана за індивідуальним замовленням фахівцями нашої компанії та пройшла свій успішний захист. Робота - Петя купив загальний зошит об'ємом 96 аркушів і пронумерував усі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. цієї теми.
Робота - Петя купив загальний зошит об'ємом 96 аркушів і пронумерував усі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. об'ємом 96 аркушів і пронумерував усі її сторінки по порядку числами від 1 до 192. та фінансовий аналіз розглянуто всебічно об'єкт аналізу та його питання, як з теоретичної, так і практичної сторони, формулюється мета та конкретні завдання аналізованої теми, присутня логіка викладу матеріалу та його послідовність.

Розділи: Математика

Шановний учасник олімпіади!

Шкільна олімпіада з математики проводиться в один тур.
Пропонується 5 завдань різного рівня складності.
Жодних особливих вимог щодо оформлення роботи Вам не пред'являється. Форма викладу розв'язання завдань, і навіть способи розв'язання може бути будь-якими. Якщо у Вас є якісь окремі міркування щодо того чи іншого завдання, але до кінця рішення Ви довести не можете, не соромлячись, викладайте всі свої думки. Навіть частково вирішені завдання будуть оцінені відповідною кількістю балів.
Починайте вирішувати легші на Вашу думку завдання, а потім переходьте до інших. Так Ви заощадите час роботи.

Бажаємо Вам успіхів!

Шкільний етап Всеросійської олімпіади школярів з математики

5 клас.

Завдання 1. У виразі 1*2*3*4*5 замініть «*» знаками дій та розставте дужки так. Щоб вийшло вираз, значення якого дорівнює 100.

Завдання 2. Потрібно розшифрувати запис арифметичної рівності, у якому цифри замінені літерами, причому різні цифри замінені різними літерами, однакові – однаковими.

П'ЯТЬ - ТРИ = ДВАВідомо, що замість літери Анеобхідно підставити цифру 2.

Завдання 3. Як за допомогою чашкових ваг без гир розділити 80 кг цвяхів на дві частини – 15 кг та 65 кг?

Завдання 4. Фігуру, зображену на малюнку, розріжте на дві рівні частини так, щоб у кожній частині було по одній зірочці. Розрізати можна лише по лініях сітки.

Завдання 5. Чашка та блюдце разом коштують 25 рублів, а 4 чашки та 3 блюдця коштують 88 рублів. Знайдіть ціну чашки та ціну блюдця.

6 клас.

Завдання 1. Порівняйте дроби, не приводячи їх до спільного знаменника.

Завдання 2. Потрібно розшифрувати запис арифметичної рівності, у якому цифри замінені літерами, причому різні цифри замінені різними літерами, однакові – однаковими. Передбачається, що початкова рівність вірна і записана за звичайними правилами математики.

ПРАЦЯ
+ВОЛЯ
УДАЧА

Завдання 3. У літній табір приїхали відпочивати троє друзів: Мишко, Володя та Петя. Відомо, що з них має одне з наступних прізвищ: Іванов, Семенов, Герасимов. Мишко – не Герасимов. Батько Володі – інженер. Володя навчається у 6 класі. Герасимов навчається у 5 класі. Батько Іванова – вчитель. Яке прізвище у кожного із трьох друзів?

Завдання 4. Розділіть фігуру по лініях сітки на чотири однакові частини так, щоб у кожній частині виявилося по одній точці.

Завдання 5. Стрибка бабка половину часу кожної доби червоного літа спала, третину часу кожної доби танцювала, шосту частину - співала. Решту часу вона вирішила присвятити підготовці до зими. Скільки годин на добу Бабка готувалася до зими?

7 клас.

Завдання 1. Вирішіть ребус, якщо відомо, що найбільша цифра в числі СИЛЕН дорівнює 5:

РЕШИ
ЯКЩО
СИЛЕН

Завдання 2. Розв'яжіть рівняння│7 - х│ = 9,3

Завдання 3. Після семи прань довжина, ширина та товщина мила зменшилися вдвічі. На скільки таких же прань вистачить мила, що залишилося?

Завдання 4 . Прямокутник 4 × 9 клітин розділіть по боках клітин на дві рівні частини так, щоб їх потім можна було скласти квадрат.

Завдання 5. Дерев'яний куб пофарбували білою фарбою з усіх боків, а потім розпилили на 64 однакових кубики. Скільки кубиків виявилося забарвленими з трьох сторін? З двох боків?
З одного боку? Скільки кубиків не забарвлено?

8 клас.

Завдання 1. Якими двома цифрами закінчується число 13!

Завдання 2. Скоротіть дріб:

Завдання 3. Шкільний драмгурток, готуючись до постановки уривка казки А.С. Пушкіна про царя Салтана, вирішив розподілити ролі між учасниками.
– Я буду Чорномором, – сказав Юра.
- Ні, Чорномором буду я, - заявив Коля.
- Гаразд, - поступився йому Юра, - я можу зіграти Гвідона.
- Ну, я можу стати Салтаном, - теж виявив поступливість Коля.
- Я ж згоден бути тільки Гвідоном! - промовив Мишко.
Бажання хлопчиків були задоволені. Як розподілилися ролі?

Завдання 4. У рівнобедреному трикутнику АВС із основою АВ = 8м проведена медіана АD. Периметр трикутника АСD більший за периметр трикутника АВD на 2м. Знайти АС.

Завдання 5. Микола купив загальний зошит у 96 аркушів та пронумерував сторінки від 1 до 192. Племінник Артур вирвав із цього зошита 35 аркушів та склав усі 70 чисел, які на них написані. Чи могло в нього вийти 2010 рік.

9 клас.

Завдання 1. Знайдіть останню цифру числа 1989 1989 .

Завдання 2. Сума коренів деякого квадратного рівняння дорівнює 1, а сума їх квадратів дорівнює 2. Чому дорівнює сума їх кубів?

Завдання 3. За трьома медіанами m a , m b і m c ∆ АВС знайти довжину сторони АС = b.

Завдання 4. Скоротіть дріб .

Завдання 5. Скільки способами можна вибрати голосну та приголосну літери у слові «камзол»?

10 клас.

Завдання 1. В даний час є монети 1, 2, 5, 10 рублів. Вкажіть усі грошові суми, які можна сплатити як парним, і непарним числом монет.

Завдання 2. Доведіть, що 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 ділиться на 6.

Завдання 3. У чотирикутнику ABCDдіагоналі перетинаються у точці М. Відомо що АМ = 1,
ВМ = 2, СМ = 4. При яких значеннях DMчотирикутник ABCDє трапецією?

Завдання 4. Розв'яжіть систему рівнянь

Завдання 5. Тридцять школярів – десятикласників та одинадцятикласників – обмінялися рукостисканнями. При цьому виявилося, що кожен десятикласник потис руку восьми одинадцятикласникам, а кожен одинадцятикласник подав руку семи десятикласникам. Скільки було десятикласників та скільки одинадцятикласників?