Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari Kublarning farqi va qo'shilishi

Formulalar yoki qisqartirilgan ko'paytirish qoidalari arifmetikada, aniqrog'i algebrada katta algebraik ifodalarni hisoblashning tezroq jarayoni uchun ishlatiladi. Formulalarning o'zi bir nechta polinomlarni ko'paytirish uchun algebrada mavjud bo'lgan qoidalardan kelib chiqadi.

Ushbu formulalardan foydalanish turli xil matematik masalalarni tezkor echimini ta'minlaydi va iboralarni soddalashtirishga yordam beradi. Algebraik transformatsiya qoidalari iboralar bilan ba'zi bir manipulyatsiyalarni bajarishga imkon beradi, shundan so'ng siz o'ng tomonda tenglikning chap tomonidagi ifodani olishingiz yoki tenglikning o'ng tomonini o'zgartirishingiz mumkin (teng belgidan keyin chap tomonda ifodani olish uchun).

Xotirada kamaytirilgan ko'paytma uchun ishlatiladigan formulalarni bilish juda qulay, chunki ular ko'pincha masalalar va tenglamalarni echishda ishlatiladi. Quyida ushbu ro'yxatga kiritilgan asosiy formulalar va ularning nomi keltirilgan.

Sum kvadrati

Yig‘indining kvadratini hisoblash uchun birinchi had kvadratidan, ikkinchisiga birinchi qo‘shimcha ko‘paytmasining ikki baravariga va ikkinchisining kvadratidan iborat yig‘indini topish kerak. Ifoda sifatida ushbu qoida quyidagicha yoziladi: (a + c) ² \u003d a² + 2ac + c².

Farq to'rtburchak

Farq kvadratini hisoblash uchun birinchi sonning kvadratiga, ikkinchisiga birinchi raqamning ko'payishiga (qarama-qarshi belgisi bilan olingan) va ikkinchi sonning kvadratiga teng bo'lgan yig'indini hisoblash kerak. Ushbu qoida quyidagicha ifodalanadi: (a - c) ² \u003d a² - 2ac + c².

Kvadratlarning farqi

Ikkala kvadrat orasidagi farqning formulasi ushbu sonlarning yig'indisi ularning ayirmasi bilan ko'paytmasiga teng. Ushbu qoida ifoda sifatida quyidagicha ko'rinadi: a² - c² \u003d (a + c) · (a - c).

Sum kub

Ikki hadning yig'indisining kubini hisoblash uchun birinchi hadning kubidan, birinchi had kvadratining uch karra ko'paytmasi va ikkinchi, birinchi qo'shimchaning ko'paytmasi va ikkinchisining kvadratiga, ikkinchisining kubidan iborat yig'indini hisoblash kerak. Ushbu qoida quyidagicha ifodalanadi: (a + c) ³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Kublar yig'indisi

Formulaga binoan, bu ayirmachilar yig'indisi ko'paytmasiga ularning farqning to'liq bo'lmagan kvadrati bilan tenglashtiriladi. Ushbu qoida ifoda shaklida quyidagicha ko'rinadi: a³ + c³ \u003d (a + c) · (a² - ac + c²).

Misol. Ikkita kubni qo'shib hosil bo'lgan shaklning hajmini hisoblash kerak. Faqat ularning yon tomonlarining o'lchamlari ma'lum.

Agar yon qiymatlar kichik bo'lsa, unda hisob-kitoblar oson.

Agar tomonlarning uzunligi noqulay raqamlarda ifodalangan bo'lsa, unda bu holda hisob-kitoblarni ancha soddalashtiradigan "Kublar yig'indisi" formulasini qo'llash osonroq bo'ladi.

Farq kubi

Kubik farqning ifodasi quyidagicha: birinchi hadning uchinchi kuchi yig'indisi sifatida birinchi hadning kvadratining salbiy ko'paytmasini ikkinchisiga, birinchi hadining hosilasini ikkinchisining kvadratiga va ikkinchi hadining manfiy kubiga uch marta ko'paytiring. Matematik ifoda shaklida farqning kubigi quyidagicha ko'rinadi: (a - c) ³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Farq kublari

Kublar farqi formulasi kublar yig'indisidan faqat bitta belgida farq qiladi. Shunday qilib, kublar orasidagi farq bu sonlarning ayirmasining yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytmasiga teng bo'lgan formuladir. Formada kublarning farqi quyidagicha: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Misol. Sariq hajmli figurani ko'k kub hajmidan chiqargandan keyin qoladigan figuraning hajmini hisoblash kerak, u ham kub. Faqat kichik va katta kub tomonining kattaligi ma'lum.

Agar yon qiymatlar kichik bo'lsa, hisob-kitoblar juda sodda. Agar tomonlarning uzunliklari sezilarli raqamlarda ifodalangan bo'lsa, unda hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtiradigan "Farq kublari" (yoki "Farq kubigi") formulasidan foydalanishga arziydi.

Oldingi darslarda biz polinomni omillarga ajratishning ikki usulini ko'rib chiqdik: qavslar va guruhlarga ajratish.

Ushbu darsda biz polinomni faktorizatsiya qilishning yana bir usulini ko'rib chiqamiz qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalangan holda.

Har bir formulani kamida 12 marta buyurishni tavsiya etamiz. Yaxshilab yodlash uchun o'zingiz uchun qisqartirilgan ko'paytirishning barcha formulalarini kichik cheat varag'iga yozing.

Kublarning farqi formulasi qanday ko'rinishini eslaylik.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Kublar orasidagi farq formulasini yodlash juda oson emas, shuning uchun uni yodlashning maxsus usulidan foydalanishni tavsiya etamiz.

Qisqartirilgan ko'paytirishning har qanday formulasi ishlayotganini tushunish muhimdir orqa tomon.

(a - b) (a 2 + ab + b 2) \u003d a 3 - b 3

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Kublar orasidagi farqni omil qilish kerak.

E'tibor bering, "27a 3" "(3a) 3" dir, ya'ni kublar orasidagi farq formulasi uchun "a" o'rniga "3a" ishlatamiz.

Biz kublar farqi uchun formuladan foydalanamiz. "A 3" o'rnida bizda "27a 3", formulada bo'lgani kabi "b 3" o'rnida "b 3" mavjud.

Kublarning farqini teskari yo'nalishda qo'llash

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Qisqartirilgan ko'paytirish formulasi yordamida polinomlar hosilasini kublar farqiga o'tkazmoqchisiz.

Iltimos, "(x - 1) (x 2 + x + 1)" polinomlari ko'paytmasi kublar orasidagi farq formulasining o'ng tomoniga o'xshaydi "", faqat "a" o'rniga "x", "b" o'rniga "1" mavjud ...

Biz "(x - 1) (x 2 + x + 1)" uchun teskari yo'nalishda kublar farqi formulasidan foydalanamiz.

Keling, yanada murakkab bir misolni ko'rib chiqaylik. Polinomlar ko'paytmasini soddalashtirish talab qilinadi.

Agar "(y 2 - 1) (y 4 + y 2 + 1)" ni kublar farqi formulasining o'ng tomoni bilan taqqoslasak.
« a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)", Shunda siz" a "o'rnida birinchi qavsdan" y 2, "b" o'rnida "1" ekanligini tushunishingiz mumkin.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari (FSF) raqamlar va ifodalarni darajalash va ko'paytirish uchun ishlatiladi. Ko'pincha ushbu formulalar sizga hisob-kitoblarni yanada ixcham va tezroq bajarishga imkon beradi.

Ushbu maqolada qisqartirilgan ko'paytirishning asosiy formulalarini sanab o'tamiz, ularni jadvalga to'playmiz, ushbu formulalardan foydalanish misollarini ko'rib chiqamiz va qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini isbotlash tamoyillariga to'xtalamiz.

Birinchi marta FSU mavzusi 7-sinf uchun "Algebra" kursi doirasida ko'rib chiqilmoqda. Quyida 7 ta asosiy formulalar keltirilgan.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari

1. yig'indisi kvadratining formulasi: a + b 2 \u003d a 2 + 2 a b + b 2
2. farq kvadratining formulasi: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. sum kub formulasi: a + b 3 \u003d a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. farq kub formulasi: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. kvadratlar farqi formulasi: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. kublar yig'indisi formulasi: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. kublar farqi formulasi: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Ushbu ifodalardagi a, b, c harflari har qanday raqamlar, o'zgaruvchilar yoki ifodalar bo'lishi mumkin. Qulay foydalanish uchun ettita asosiy formulani yoddan o'rganish yaxshidir. Keling, ularni jadvalda umumlashtiramiz va ularni ramka bilan o'rab, quyida taqdim etamiz.

Dastlabki to'rtta formulalar, mos ravishda, ikkita iboraning yig'indisi yoki farqining kvadratini yoki kubini hisoblashga imkon beradi.

Beshinchi formula ifodalar kvadratlarining farqini ularning yig'indisi va ayirmasi ko'paytmasi bo'yicha hisoblab chiqadi.

Oltinchi va ettinchi formulalar, mos ravishda, yig'indining ko'payishi va ifodalarning farqini ayirmaning to'liq bo'lmagan kvadrati va yig'indining to'liq bo'lmagan kvadrati.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulasi ba'zan qisqartirilgan ko'paytirish identifikatorlari deb ham ataladi. Buning ajablanarli joyi yo'q, chunki har qanday tenglik o'ziga xoslikdir.

Amaliy misollarni echishda ko'pincha chap va o'ng tomonlari qayta tartibga solingan qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalaniladi. Bu, ayniqsa, polinomni faktorizatsiya qilishda foydalidir.

Qo'shimcha qisqartirilgan ko'paytirish formulalari

Biz algebra bo'yicha 7-sinf kursi bilan cheklanib qolmaymiz va FSU jadvalimizga yana bir nechta formulalarni qo'shamiz.

Birinchidan, Nyuton binomial formulasini ko'rib chiqing.

a + b n \u003d C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 +. ... + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Bu erda C n k - binomial koeffitsientlar, ular paskal uchburchagida n qatorda joylashgan. Binomial koeffitsientlar quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

C n k \u003d n! k! (N - k)! \u003d n (n - 1) (n - 2). ... (n - (k - 1)) k!

Ko'rib turganingizdek, kvadrat va yig'indining kubi va yig'indisi uchun FSE mos ravishda n \u003d 2 va n \u003d 3 uchun Nyuton binomial formulasining maxsus holi hisoblanadi.

Agar hokimiyatga ko'tariladigan summada ikkitadan ortiq muddat bo'lsa nima bo'ladi? Uch, to'rt yoki undan ortiq atama yig'indisi kvadratining formulasi foydali bo'ladi.

a 1 + a 2 +. ... + a n 2 \u003d a 1 2 + a 2 2 +. ... + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. ... + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. ... + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Yana bir foydali bo'lishi mumkin bo'lgan formula - bu ikkita hadning n-chi kuchlari orasidagi farqning formulasi.

a n - b n \u003d a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. ... + a 2 b n - 2 + b n - 1

Ushbu formula odatda ikkita formulaga bo'linadi - navbati bilan juft va toq darajalar uchun.

Ikki metrli ko'rsatkichlar uchun:

a 2 m - b 2 m \u003d a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. ... + b 2 m - 2

Toq eksponentlar uchun 2m + 1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 \u003d a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. ... + b 2 m

Kvadratlar va kublar orasidagi farqning formulalari, siz taxmin qilganingizdek, mos ravishda n \u003d 2 va n \u003d 3 uchun ushbu formulaning maxsus holatlari. Kublarning farqi uchun b ham - b bilan almashtiriladi.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qanday o'qish mumkin?

Biz har bir formulaga tegishli formulalarni beramiz, lekin avval biz formulalarni o'qish printsipini tushunamiz. Buning eng qulay usuli - bu misol. Ikkala son yig'indisi kvadratining birinchi formulasini olaylik.

a + b 2 \u003d a 2 + 2 a b + b 2.

Ular aytadiki: a va b ikkita iboralar yig'indisining kvadrati birinchi ifoda kvadratining yig'indisiga, ifodalarning ikki barobar ko'paytmasi va ikkinchi ifoda kvadratiga teng.

Boshqa barcha formulalar xuddi shu tarzda o'qiladi. A - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 farq kvadratiga quyidagilarni yozamiz:

a va b ikkita ifodalar orasidagi farqning kvadrati bu ifodalar kvadratlari yig'indisidan minus birinchi va ikkinchi ifodalar ko'paytmasidan ikki baravar ko'p.

A + b 3 \u003d a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 formulasini o'qing. Ikkala a va b ifodalar yig'indisining kubi bu iboralar kublarining yig'indisiga teng, birinchi ifoda kvadratidan uch karra ikkinchisiga va ikkinchi ifoda kvadratidan uch karra birinchi ifoda.

A - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 kubiklar farqi formulasini o'qishga kirishamiz. Ikki ifoda a va b tafovutining kubi birinchi ifodaning kubiga minus birinchi ifoda kvadratidan uch baravariga, ikkinchisiga, ikkinchi ifodaning kubidan minus ikkinchi ifoda va birinchi ifodaning uch baravariga teng.

Beshinchi formulada a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (kvadratlarning farqi) quyidagicha o'qiladi: ikki ifoda kvadratlarining ayirmasi ayirma va ikkala ifodaning yig'indisiga teng.

Qulaylik uchun 2 + a b + b 2 va 2 - a b + b 2 kabi iboralar, mos ravishda, yig'indining to'liq bo'lmagan kvadrati va farqning to'liq bo'lmagan kvadrati deb nomlanadi.

Shuni yodda tutgan holda, kublarning yig'indisi va farqi formulalari quyidagicha o'qiladi:

Ikki ifodaning kublari yig'indisi ushbu ifodalar yig'indisining ularning farqining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytmasiga teng.

Ikki ifodaning kublari orasidagi farq bu ifodalar va ularning yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadrati ayirmasining ko'paytmasiga teng.

FSU isboti

FSOni isbotlash juda oson. Ko'paytirish xususiyatlariga asoslanib, formulalar qismlarini qavs ichida ko'paytiramiz.

Masalan, farq kvadratining formulasini ko'rib chiqing.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Ikkinchi kuchga ifodani ko'tarish uchun ushbu ifodani o'zi ko'paytirishi kerak.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Qavslarni kengaytiramiz:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Formulasi tasdiqlangan. Qolgan FSOlar ham xuddi shunday isbotlangan.

FSU dasturining namunalari

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish maqsadi iboralarni tez va qisqa tarzda ko'paytirish va darajalashdir. Biroq, bu FSOning to'liq doirasi emas. Ular iboralarni kamaytirishda, kasrlarni kamaytirishda, polinomlarni faktoring qilishda keng qo'llaniladi. Mana ba'zi bir misollar.

Misol 1. FSO

9 y - (1 + 3 y) 2 ifodasini soddalashtiring.

Kvadratchalar yig'indisi uchun formulani qo'llaymiz va quyidagilarni olamiz:

9 y - (1 + 3 y) 2 \u003d 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) \u003d 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 \u003d 3 y - 1 - 9 y 2

Misol 2. FSO

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 qismni kamaytiring.

E'tibor bering, numeratordagi ifoda kublar orasidagi farq, maxraj esa kvadratlarning farqidir.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Biz qisqartiramiz va olamiz:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Shuningdek, FSOlar ifodalarning qiymatlarini hisoblashda yordam beradi. Asosiysi, formulani qayerda qo'llashni payqash. Keling, buni bir misol bilan ko'rsatamiz.

Keling, 79 raqamini kvadratga keltiramiz. Noqulay hisob-kitoblar o'rniga biz quyidagilarni yozamiz:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Ko'rinib turibdiki, qisqartirilgan ko'paytirish formulalari va ko'paytirish jadvalidan foydalangan holda murakkab hisoblash tezda amalga oshirildi.

Yana bir muhim nuqta - binomiya kvadratini tanlash. 4 x 2 + 4 x - 3 ifodani 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 \u003d 2 x + 1 2 - 4 ga aylantirish mumkin. Bunday transformatsiyalar integratsiyalashishda keng qo'llaniladi.

Agar matnda xatolikni ko'rsangiz, iltimos, uni tanlang va Ctrl + Enter tugmachalarini bosing

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini o'rganish: yig'indining kvadrati va ikkita ifodaning farqi kvadrati; ikki ifoda kvadratlarining farqi; yig‘indagi kub va ikkita ifodaning ayirma kubi; ikki ifoda kublarining yig’indisi va ayirmasi.

Misollarni echishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.

Ifodalarni soddalashtirish, polinomlarni faktorizatsiya qilish va polinomlarni standart shaklga keltirish uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalaniladi. Ko'paytirishning qisqartirilgan formulalari yoddan bililishi kerak.

A, b R. bo'lsin Keyin:

1. Ikki ifoda yig'indisining kvadrati quyidagicha birinchi ifodaning kvadrati, birinchi ifodaning ko'paytmasidan ikkinchisiga va ikkinchi ifodaning kvadratiga ikki baravar ko'paytiriladi.

(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2

2. Ikki ifodaning kvadrat farqi quyidagicha birinchi ifodaning kvadrati birinchi ifodaning ko'paytmasidan ikki baravariga, ikkinchisiga va ikkinchi ifodaning kvadratiga teng.

(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

3. Kvadratlarning farqiikkita ifoda ushbu ifodalar va ularning yig'indisi o'rtasidagi farqning ko'paytmasiga tengdir.

a 2 - b 2 \u003d (a -b) (a + b)

4. Sum kubikkita ifoda birinchi ifodaning kubiga ortiqcha birinchi ifodaning kvadratiga uch baravar, ikkinchisiga esa birinchi ifodaning uch baravariga va ikkinchisining kvadratiga va ikkinchi ifodaning kubiga teng.

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Farq kubiikkita ifoda birinchi ifodaning kvadratiga uch baravar, ikkinchisiga esa birinchi ifodaning ko'paytmasidan uch baravar ko'pi va ikkinchi kvadratning ikkinchi ifoda kubiga minusiga teng.

(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Kublar yig'indisiikkita ibora birinchi va ikkinchi ifodalar yig'indisining ushbu ifodalar ayirmasining to'liq bo'lmagan kvadrati bilan ko'paytmasiga teng.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Farq kublari ikkita ibora birinchi va ikkinchi ifodalar ayirmasining ushbu ifodalar yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadrati bilan ko'paytmasiga teng.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Misollarni echishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.

1-misol.

Hisoblang

a) Ikki ifoda yig'indisi kvadratining formulasidan foydalanib, bizda

(40 + 1) 2 \u003d 40 2 + 2 40 1 + 1 2 \u003d 1600 + 80 + 1 \u003d 1681

b) Ikki ibora orasidagi farq kvadratining formulasidan foydalanib, biz olamiz

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

2-misol.

Hisoblang

Ikki ifodaning kvadratlari orasidagi farqning formulasidan foydalanib, biz olamiz

3-misol.

Ifodani soddalashtiring

(x - y) 2 + (x + y) 2

Ikki ifodaning yig'indisi va ayirmasi kvadrati uchun formulalardan foydalanamiz

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Bir jadvalda qisqartirilgan ko'paytirish formulalari:

(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)