Perpendikulyar chiziqlar qanday turadi. Kosmosdagi chiziqlarning perpendikulyarligi. Vizual qo'llanma (2020). Boshqa lug'atlarda qanday "perpendikulyar chiziqlar" borligini ko'ring
Ikki to'g'ri chiziq, agar ular to'g'ri burchak ostida kesishgan bo'lsa, perpendikulyar deyiladi.
A chiziq b nuqtani A nuqtada to'g'ri burchak bilan kesib o'tadi. Perpendikulyarlik belgisidan foydalanib harakatlanishingiz mumkin: a ⊥ b. U shunday o'qiydi: a chiziq b chiziqqa perpendikulyar.
Shuni ta'kidlash kerakki, qo'shni burchak va to'g'ri burchakli vertikal burchak ham to'g'ri chiziqlardir.
To'g'ri chiziqning har bir nuqtasi orqali siz unga perpendikulyar va faqat bittasini to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin.
Dalillar.
B berilgan chiziq bo'lsin, A nuqta shu qatorga tegishli. Boshlang'ich nuqtasi A bo'lgan b chiziqda bir oz b1 nurini oling, b1 nuridan 90 ° ga teng burchak (a1b1) ni chetga suramiz. Ta'rifga ko'ra, a1 nurini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziq b to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'ladi.
Aytaylik, b to'g'ri chiziqqa perpendikulyar va A nuqtadan o'tuvchi yana bir to'g'ri chiziq mavjud, deylik, A nuqtadan chiqadigan va a1 nur bilan bir xil yarim tekislikda yotgan shu to'g'ri chiziqni c1 oling. Keyin ∠ (a1b1) \u003d ∠ (c1b1) \u003d 90 daraja. Ammo aksioma 8 ga binoan, bu yarim tekislikka 90 º ga teng bo'lgan bitta burchak joylashtirilishi mumkin. Shuning uchun A to`g`ri chiziqqa perpendikulyar ravishda yana bir to`g`ri chiziqni A nuqtasi orqali berilgan yarim tekislikka o`tkazish mumkin emas. Teorema isbotlangan. 
Berilgan chiziqqa perpendikulyar - bu vertikalga perpendikulyar bo'lgan, ularning kesishish nuqtasining uchlaridan biriga ega bo'lgan segmentning segmenti. Chiziqning bu uchi perpendikulyar asosi deb ataladi. AB - a chiziqqa perpendikulyar. A nuqta perpendikulyarning asosidir.
Perpendikulyar to'g'ri chiziqlar geometriyadagi raqamlar, konstruktsiyalar va hisob-kitoblarning butun qatlamini tashkil qiladi. Perpendikulyar chiziqlarni tushunmasdan, to'g'ri burchakli uchburchak, to'rtburchak, kvadrat yoki to'g'ri burchakli trapezoid kabi shakllarni echish mumkin bo'lmaydi. Shuning uchun ushbu tushunchalarga alohida e'tibor qaratish lozim.
Perpendikulyar chiziqlar nima?
Ikki to'g'ri chiziq kesishganda 4 ta burchak hosil bo'ladi. Perpendikulyar to'g'ri chiziqlarning ta'rifi quyidagicha ko'rinadi: bu to'g'ri chiziqlar, ularning orasidagi burchak 90 daraja. Faqatgina 4 burchak mavjud, to'liq burchak 360 daraja. Agar burchaklardan biri 90 daraja bo'lsa, unda yana 3 ta har biri 90 ga teng bo'ladi.
Segmentlarni perpendikulyar deb atash uchun ikkita shart ham bajarilishi kerak: segmentlar kesishishi kerak va ular orasidagi kesishish burchagi 90 daraja bo'lishi kerak.
Shakl: 1. Perpendikulyar chiziqlar.
Xususiyatlari
Perpendikulyar chiziqlar juda ko'p xususiyatlarga ega emas. Ularning barchasi dalilni talab qilmaydi, chunki ular perpendikulyarlik ta'rifidan kelib chiqadi.
- Agar ikkala chiziqning har biri uchinchisiga perpendikulyar bo'lsa, u holda bu chiziqlar parallel bo'ladi. Va natijada paydo bo'lgan bir tomonlama burchaklar 180 darajaga qo'shilishi sababli ular parallel. Demak, to'g'ri chiziqlar 3 parallellik mezoniga muvofiq parallel. Ushbu xususiyatni parallellikning uchta mezonidan biri bilan isbotlash mumkin.
- Nuqtadan to chiziqqa yoki chiziq bo'lagiga perpendikulyar chiziq bo'lagi nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa deb ataladi.
- To'g'ri chiziqdan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa, shuningdek, bitta to'g'ri chiziqning istalgan nuqtasidan boshqasiga to'g'ri tushgan perpendikulyar.
- Agar ikkita to'g'ri chiziqning butun uzunligi bo'ylab ularning orasidagi masofa o'zgarmasa, u holda to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi.
Perpendikulyar chiziqlar bilan shakllar
Inson biladigan birinchi raqamlardan biri bu kvadrat va to'rtburchak.
To'g'ri burchaklar inson ko'ziga yoqadi, shuning uchun ko'pincha to'rtburchaklar yoki to'rtburchaklar stol usti, stullar, komidin va boshqa narsalar uchun shakl sifatida ishlatiladi. Insonni o'rab turgan butun dunyo parallel va perpendikulyar chiziqlardan iborat.
Shakl: 2. Kvadrat.
Qadimgi Yunoniston davridan boshlab to'g'ri burchakli uchburchak ma'lum bo'lgan. Navigatsiya uchun turli xil asboblar to'rtburchaklar uchburchak shaklini oldi; bundan tashqari, Pifagoralar ko'p vaqtni to'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatlarini o'rganishga bag'ishladilar. Aynan uning muallifligi muammolarni hal qilishda katta talabga ega bo'lgan Pifagor teoremasiga tegishli.
Ikkala poydevor bilan yon tomonlaridan biri to'rtburchaklar bilan to'rtburchaklar trapezoid mavjud. Va planometriya kosmosdagi perpendikular bilan to'la: muntazam prizma, to'rtburchaklar piramida va eng oddiy kub.
Bundan tashqari, har qanday uchburchakda siz raqamning maydonini topish uchun zarur bo'lgan balandlikni chizishingiz mumkin. Parallelogrammada maydonni topish uchun perpendikulyar ham foydalidir va to'rtburchaklar va to'rtburchak to'rtburchaklar tomonlarining tarkibida balandlikka ega, bu esa bu raqamlarning maydonini topishni ancha osonlashtiradi.
Anaz. o'zaro perpendikulyar, agar l a ustida yotgan har qanday chiziqqa perpendikulyar bo'lsa. Perpendikulyarlik tushunchasini umumlashtirish uchun San'atga qarang. Ortogonallik.
Matematika entsiklopediyasi. - M.: Sovet entsiklopediyasi... I. M. Vinogradov. 1977-1985 yillar.
"MUQADDAS LINE" nima ekanligini boshqa lug'atlarda ko'ring:
Evklid fazosidagi turli xil ob'ektlar (vektorlar, chiziqlar, pastki bo'shliqlar va boshqalar) o'rtasidagi o'zaro bog'liqlik. Ortogonallikning alohida holati. Mundarija 1 Samolyotda 1.1 Perpendikulyar ... Vikipediya
Matematikaning turli shakllarning (nuqta, chiziq, burchak, ikki o'lchovli va uch o'lchovli narsalar) xususiyatlarini, ularning o'lchamlari va nisbiy holatini o'rganish bilan shug'ullanadigan bo'limi. O'qitish qulayligi uchun geometriya planimetriya va stereometriyaga bo'linadi. DA… … Collier ensiklopediyasi
DEKARTIAN KOORDINAT TIZIMI, tekislikdagi yoki kosmosdagi to'g'ri chiziqli koordinatalar tizimi (odatda o'zaro perpendikulyar o'qlar va o'qlar bo'ylab bir xil shkalalar bilan). R. Dekart uchun nomlangan (qarang Rene DECART). Dekart birinchi marta tanishtirdi ... ... entsiklopedik lug'at
Koordinatalar usuli asosida elementar algebra yordamida eng oddiy geometrik jismlarni o'rganadigan geometriya bo'limi. Analitik geometriyaning yaratilishi odatda R. Dekartga tegishli bo'lib, uning asoslarini o'zining so'nggi bobida yaratgan ... ... Collier ensiklopediyasi
Uchdan ortiq o'lchamlarga ega bo'lgan bo'shliq (o'lchov). Haqiqiy bo'shliq uch o'lchovli. Uning har bir nuqtasi orqali uchta o'zaro perpendikulyar chiziqlar o'tkazilishi mumkin, ammo to'rttasi endi o'tkazilmaydi. Agar biz ushbu uchta to'g'ri chiziqni o'qlar sifatida olsak ... ... entsiklopedik lug'at
Atrofimizdagi dunyo dinamik va xilma-xil bo'lib, har qanday ob'ektni shunchaki o'lchagich bilan o'lchash mumkin emas. Ushbu transfer uchun triangulyatsiya kabi maxsus usullardan foydalaniladi. Murakkab tozalashga ehtiyoj odatda ... ... Vikipediya
Evklid geometriyasiga o'xshash geometriya, u figuralarning harakatini belgilaydi, lekin evklid geometriyasidan farq qiladi, chunki uning beshta postulatidan biri (ikkinchi yoki beshinchi) inkor bilan almashtiriladi. Evklid postulatlaridan birini rad etish ... ... Collier ensiklopediyasi
- (tarix) K.ning boshlang'ich tushunchasini hatto vahshiylar orasida, ayniqsa, qirg'oq bo'yida va siz haqingizda yashaydigan va o'z hududlarini o'rab turgan joylar to'g'risida ozroq yoki aniq tasavvurga ega bo'lganlar orasida topish mumkin. Shimoliy Amerika eskimoslarini so'roq qilgan sayohatchilar va ... F.A.ning ensiklopedik lug'ati. Brokhaus va I.A. Efron
Geometriya bo'limi. A. g ning asosiy tushunchalari.Eng sodda geometrik tasvirlar (nuqta, chiziqlar, tekisliklar, egri chiziqlar va ikkinchi darajadagi sirtlar). A. g-dagi asosiy tadqiqot vositalari koordinatalar usuli (quyida ko'rib chiqing) va usullar ... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi
Geometriya bo'limi. Algebraik geometriyaning asosiy tushunchalari eng sodda geometrikdir. tasvirlar (ikkinchi darajali nuqtalar, chiziqlar, tekisliklar, egri chiziqlar va yuzalar). Arxeologiyaning asosiy tadqiqot vositalari bu koordinatalar usuli va elementar algebra usullari ... ... Matematika entsiklopediyasi
Kitoblar
- Jadvallar to'plami. Geometriya. 7-sinf. 14 jadval + metodika. Jadvallar 680 x 980 mm o'lchamdagi qalin poligrafiya kartoniga bosilgan. Ushbu to'plam o'qituvchilar uchun ko'rsatmalar bilan risolani o'z ichiga oladi. 14 varaqdan iborat o'quv albomi. Nur va burchak. ...
To'g'ridan-to'g'ri haqida dastlabki ma'lumotlar
To'g'ri chiziq tushunchasi, shuningdek nuqta tushunchasi geometriyaning asosiy tushunchasidir. Ma'lumki, asosiy tushunchalar aniqlanmagan. Bu to'g'ri chiziq tushunchasi uchun istisno emas. Shuning uchun biz ushbu kontseptsiyaning mohiyatini uni qurish orqali ko'rib chiqamiz.
Bir o'lchagichni oling va qalamni yirtmasdan, o'zboshimchalik bilan uzunlik chizig'ini torting. Olingan chiziqni to'g'ri chiziq deb ataymiz. Biroq, bu erda ta'kidlash kerakki, bu butun to'g'ri chiziq emas, balki uning faqat bir qismi. To'g'ri chiziqning o'zi ikkala uchida ham cheksizdir.
To'g'ri chiziqlar kichik lotin harfi bilan yoki qavs ichida joylashgan ikkita nuqta bilan belgilanadi (1-rasm).
Chiziq va nuqta tushunchalari geometriyaning uchta aksiomasi bilan bog'liq:
Aksioma 1: Har bir ixtiyoriy to'g'ri chiziq uchun kamida ikkita nuqta yotadi.
Aksioma 2: Siz bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan kamida uchta nuqtani topishingiz mumkin.
Aksioma 3: To'g'ri chiziq har doim o'zboshimchalik bilan 2 nuqtadan o'tadi va bu to'g'ri chiziq noyobdir.
Ikki to'g'ri chiziq uchun ularning nisbiy holati dolzarbdir. Uchta holat bo'lishi mumkin:
- Ikki satr bir-biriga to'g'ri keladi. Bunday holda, bittaning har bir nuqtasi boshqa chiziqning nuqtasi ham bo'ladi.
- Ikki chiziq kesib o'tadi. Bunday holda, bitta satrdan faqat bitta nuqta boshqa qatorga tegishli bo'ladi.
- Ikki to'g'ri chiziq parallel. Bunday holda, ushbu satrlarning har biri bir-biridan farq qiladigan o'ziga xos nuqtalarga ega.
Chiziqlarning perpendikulyarligi
Ikkita o'zboshimchalik bilan kesishgan chiziqlarni ko'rib chiqing. Ularning kesishish nuqtasida 4 ta burchak hosil bo'lishi aniq. Keyin
Ta'rif 1
Kesishgan to'g'ri chiziqlar perpendikulyar deb ataladi, agar ularning kesishishi natijasida hosil bo'lgan kamida bitta burchak $ 90 ^ 0 $ ga teng bo'lsa (2-rasm).
Belgilanish: $ a⊥b $.
Quyidagi muammoni ko'rib chiqing:
1-misol
Quyidagi rasmdan 1, 2 va 3 burchaklarni toping
Burchak 2 berilgan burchak uchun vertikal, shuning uchun
1-burchak 2-burchakka qo'shni, shuning uchun
$∠1=180^0-∠2=180^0-90^0=90^0$
3-burchak 1-burchakka vertikal, shuning uchun
$∠3=∠1=90^0$
Ushbu muammodan biz quyidagi fikrni aytishimiz mumkin
Izoh 1
Perpendikulyar chiziqlar orasidagi barcha burchaklar $ 90 ^ 0 $ ga teng.
Perpendikulyar chiziqlarning asosiy teoremasi
Quyidagi teoremani keltiramiz:
Teorema 1
Uchinchisiga perpendikulyar bo'lgan ikkita to'g'ri chiziq ajratilgan bo'ladi.
Dalillar.
Muammoga ko'ra 3-rasmni ko'rib chiqing.
Keling, ushbu rasmni $ (ZP) $ to'g'ri chiziqning ikki qismiga aqliy ravishda ajratamiz. Biz chap tomonni o'ng qismini qoplaymiz. Shunday qilib, $ (NM) $ va $ (XY) $ to'g'ri chiziqlar $ (PZ) $ to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lganligi sababli, ular orasidagi burchaklar to'g'ri, $ NP $ nurlari butunlay $ PM $ nuriga va $ XZ nurlariga ta'sir qiladi. $ butunlay $ YZ $ rayida o'rnatiladi.
Endi buning teskarisini faraz qiling: ushbu chiziqlar kesib o'tilsin. Umumiylikni yo'qotmasdan, ular chap tomonda kesishadi, ya'ni $ NP $ nurlari $ YZ $ nurini $ O $ nuqtada kesib o'tishiga yo'l qo'yamiz. Keyin yuqorida tavsiflangan qurilish bo'yicha $ PM $ nurlari $ YZ $ nurini $ O "$ nuqtasida ham kesib o'tishini aniqlaymiz. Ammo keyin $ O $ va $ O" $ ikki nuqtasi orqali olamiz. $ (NM) $ va $ (XY) $ qatorlari, bu 3 satr aksiomasiga zid keladi.
Shuning uchun $ (NM) $ va $ (XY) $ chiziqlari kesishmaydi.
Teorema isbotlangan.
Misol vazifasi
2-misol
Kesishish nuqtasi bo'lgan ikkita to'g'ri chiziq berilgan. Ikkisiga ham tegishli bo'lmagan nuqta orqali ikkita to'g'ri chiziq o'tkaziladi, ulardan biri yuqoridagi chiziqlardan biriga perpendikulyar, ikkinchisi boshqasiga perpendikulyar. Ularning mos kelmasligini isbotlang.
Muammoning shartiga binoan rasm chizamiz (4-rasm).
Muammoning shartidan $ m⊥k, n⊥l $ bo'ladi.
Buning aksi deylik, $ k $ va $ l $ satrlari mos tushsin. $ L $ to'g'ri chiziq bo'lsin. Keyin $ m⊥l $ va $ n⊥l $ gipotezalari bo'yicha. Shuning uchun 1-teorema bo'yicha $ m $ va $ n $ chiziqlari kesishmaydi. Qarama-qarshilik paydo bo'ldi, ya'ni $ k $ va $ l $ satrlari mos kelmaydi.
To'g'ri chiziq (to'g'ri chiziqning bir qismi) lotin alifbosidagi ikkita katta harf yoki bitta kichik harf bilan ko'rsatiladi. Nuqta faqat katta lotin harfi bilan ko'rsatilgan.
Chiziqlar kesishmasligi, kesishmasligi yoki bir-biriga to'g'ri kelmasligi mumkin. Kesishgan to`g`ri chiziqlar faqat bitta umumiy nuqtaga ega, kesishmaydigan to`g`ri chiziqlar - umumiy nuqta yo`q, bir-biriga to`g`ri keladigan to`g`ri chiziqlar umumiy nuqtalarga ega.
Ta'rif. To'g'ri burchak ostida kesishgan ikkita to'g'ri chiziq perpendikulyar deyiladi. To'g'ri chiziqlarning (yoki ularning segmentlarining) perpendikulyarligi "" "perpendikulyarlik belgisi bilan ko'rsatiladi.
Masalan:
Sizning AB va CD (1-rasm) nuqtada kesishadi HAQIDA va ∠ AOC = ∠VOS = ∠AOD = ∠BOD \u003d 90 °, keyin AB ⊥ CD.
Agar AB ⊥ CD (2-rasm) va nuqtada kesishadi DA, keyin ∠ ABC = ∠ABD \u003d 90 °
Perpendikulyar chiziqlarning xususiyatlari
1. Nuqta orqali VA (3-rasm) faqat bitta perpendikulyar chiziq chizish mumkin AB to'g'ri CD; nuqta orqali o'tadigan qolgan chiziqlar VA va o'tish CD, egri chiziqlar deyiladi (3-rasm, to'g'ri chiziqlar) AE va AF).
2. Nuqtadan A perpendikulyarni to'g'ri chiziqqa tushirishingiz mumkin CD; perpendikulyar uzunlik (segment uzunligi) AB) nuqtadan chizilgan VA to'g'ri chiziqda CD, dan eng qisqa masofa A oldin CD (3-rasm).
