Ikkita qavs yordamida tenglamani qanday echish mumkin. Qavslarni kengaytirish: qoidalar va misollar (7-sinf). Oddiy chiziqli tenglamalarning hayotiy misollarini yechish
Qavslarni ochgandan keyin va shunga o'xshash atamalarni qisqartirgandan so'ng, noma'lum bo'lgan tenglama hosil bo'ladi
ax + b \u003d 0, bu erda a va b ixtiyoriy sonlar deyiladi chiziqli tenglama noma'lum bilan. Bugun biz ushbu chiziqli tenglamalarni qanday hal qilishni aniqlaymiz.
Masalan, barcha tenglamalar:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x \u003d 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - chiziqli.
Tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiradigan noma'lumning qiymati deyiladi qaror yoki tenglamaning ildizi .
Masalan, agar 2 raqamini almashtirish uchun noma'lum x ning o'rniga 3x + 7 \u003d 13 tenglamada to'g'ri tenglikni olsak, 3 · 2 +7 \u003d 13. Demak, x \u003d 2 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizidir.
Va x \u003d 3 qiymati 3x + 7 \u003d 13 tenglamani haqiqiy tenglikka aylantirmaydi, chunki 3 · 2 +7 ≠ 13. Demak, x \u003d 3 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizi emas.
Har qanday chiziqli tenglamalarni yechish formadagi tenglamalarni yechishga kamayadi
ax + b \u003d 0.
Bo'sh vaqtni tenglamaning chap tomonidan o'ngga siljitib, b oldidagi belgini teskari tomonga o'zgartirib,
Agar ≠ 0 bo'lsa, u holda x \u003d - b / a .
1-misol. 3x + 2 \u003d 11 tenglamani yeching.
2 ni tenglamaning chap tomonidan o'ngga siljiting, 2 oldidagi belgini teskari tomonga o'zgartirganda, biz olamiz
3x \u003d 11 - 2.
Keyin olib tashlang
3x \u003d 9.
X ni topish uchun mahsulotni ma'lum bir omilga bo'lish kerak, ya'ni
x \u003d 9: 3.
Demak, x \u003d 3 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizidir.
Javob: x \u003d 3.
Agar a \u003d 0 va b \u003d 0 bo'lsa, keyin 0x \u003d 0 tenglamani olamiz. Ushbu tenglamaning cheksiz ko'p echimlari bor, chunki har qanday sonni 0 ga ko'paytirganda 0 ga teng bo'lamiz, ammo b ham 0 ga teng. Har qanday raqam bu tenglamaga echim bo'ladi.
2-misol.5 (x - 3) + 2 \u003d 3 (x - 4) + 2x - 1 tenglamani yeching.
Qavslarni kengaytiramiz:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
O'xshash atamalar:
0x \u003d 0.
Javob: x har qanday raqam.
Agar a \u003d 0 va b ≠ 0 bo'lsa, keyin 0x \u003d - b tenglamani olamiz. Ushbu tenglamaning echimi yo'q, chunki har qanday sonni 0 ga ko'paytirsak, 0 ga teng bo'lamiz, ammo b ≠ 0.
3-misol.X + 8 \u003d x + 5 tenglamani yeching.
Chapda noma'lum bo'lgan a'zolarni va o'ng tomonda bepul a'zolarni guruhlashtiraylik:
x - x \u003d 5 - 8.
O'xshash atamalar:
0x \u003d - 3.
Javob: echimlar yo'q.
Ustida rasm 1 chiziqli tenglamani yechish sxemasini ko'rsatadi
Bitta o'zgaruvchili tenglamalarni yechishning umumiy sxemasini tuzamiz. 4-misol uchun echimni ko'rib chiqing.
4-misol. Tenglama yechilsin
1) Tenglamaning barcha shartlarini denominatorlarning eng kam tarqalgan 12 ga teng bo'lgan soniga ko'paytiring.
2) Kamaytirilgandan so'ng biz olamiz
4 (x - 4) + 32 (x + 1) - 12 \u003d 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Noma'lum va erkin a'zolardan iborat a'zolarni ajratish uchun biz qavslarni kengaytiramiz:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Bir qismga noma'lum bo'lgan a'zolarni, ikkinchisida esa - bepul a'zolarni guruhlarga ajrataylik:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Mana o'xshash atamalar:
- 22x \u003d - 154.
6) bo'ling - 22, olamiz
x \u003d 7.
Ko'rib turganingizdek, tenglamaning ildizi yetti.
Odatda bunday tenglamalarni quyidagi sxema bo'yicha echish mumkin:
a) tenglamani butun shakliga keltiring;
b) qavslarni oching;
c) tenglamaning bir qismida noma'lum bo'lgan atamalarni, ikkinchisida esa erkin so'zlarni guruhlang;
d) o'xshash a'zolarni olib kelish;
e) o'xshash atamalarni keltirgandan keyin olingan ax \u003d b shaklidagi tenglamani yeching.
Ammo har bir tenglama uchun ushbu sxema zarur emas. Ko'pgina sodda tenglamalarni yechishda birinchisini emas, ikkinchisidan boshlash kerak ( Misol. 2), uchinchi ( Misol. 13) va hatto 5-misolda bo'lgani kabi beshinchi bosqichdan boshlab.
5-misol.2x \u003d 1/4 tenglamani yeching.
Noma'lum x \u003d 1/4: 2, ni toping.
x \u003d 1/8 .
Asosiy davlat imtihonida topilgan ba'zi chiziqli tenglamalar echimini ko'rib chiqing.
6-misol.2 (x + 3) \u003d 5 - 6x tenglamani yeching.
2x + 6 \u003d 5 - 6x
2x + 6x \u003d 5 - 6
Javob: - 0, 125
7-misol.Tenglamani yeching - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
- 30 + 18x \u003d 8x - 7
18x - 8x \u003d - 7 +30
Javob: 2.3
8-misol. Tenglamani yeching
3 (3x - 4) \u003d 4.7x + 24
9x - 12 \u003d 28x + 24
9x - 28x \u003d 24 + 12
9-misol.Agar f (x + 2) \u003d 3 7-chi bo'lsa, f (6) ni toping
Qaror
F (6) ni topishimiz kerak va f (x + 2) ni bilamiz,
keyin x + 2 \u003d 6.
X + 2 \u003d 6 chiziqli tenglamani yeching,
biz x \u003d 6 - 2, x \u003d 4 ni olamiz.
Agar x \u003d 4 bo'lsa, unda
f (6) \u003d 3 7-4 \u003d 3 3 \u003d 27
Javob: 27.
Agar sizda biron bir savol bo'lsa, agar siz tenglamalar echimini yanada chuqurroq tushunishni istasangiz, Darslar jadvaliga yoziling. Men sizga yordam berishdan xursand bo'laman!
TutorOnline shuningdek, bizning o'qituvchimiz Olga Aleksandrovnaning yangi video darsligini tomosha qilishni maslahat beradi, bu sizga chiziqli tenglamalarni va boshqalarni tushunishga yordam beradi.
saytdan, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan manba ko'rsatilishi shart.
Chiziqli tenglamalar. Yechim, misollar.
Diqqat!
Qo'shimcha narsalar mavjud
ichidagi materiallar Maxsus bo'lim 555.
"Juda emas ..." bo'lganlar uchun.
Va "juda ham ..." bo'lganlar uchun)
Chiziqli tenglamalar.
Chiziqli tenglamalar maktab matematikasida eng qiyin mavzu emas. Ammo u erda hattoki o'qigan o'quvchini ham hayratga soladigan nayranglar mavjud. Buni aniqlaymizmi?)
Odatda, chiziqli tenglama quyidagi tenglama sifatida aniqlanadi:
bolta + b = 0 Qayerda a va b - har qanday raqamlar.
2x + 7 \u003d 0. Bu erda a \u003d 2, b \u003d 7
0.1x - 2.3 \u003d 0 Bu erda a \u003d 0,1, b \u003d -2.3
12x + 1/2 \u003d 0 Bu erda a \u003d 12, b \u003d 1/2
Hech narsa murakkab emas, to'g'rimi? Ayniqsa, agar siz so'zlarni sezmasangiz: "a va b har qanday raqamlar"... Agar sezsangiz, lekin beparvo o'ylaysiz?) Axir, agar bo'lsa a \u003d 0, b \u003d 0 (har qanday raqamlar mumkinmi?), keyin siz kulgili iborani olasiz:
Ammo bu hammasi emas! Agar, ayting a \u003d 0, va b \u003d 5, odatdagidan ancha farq qiladigan narsa paydo bo'ldi:
Qaysi narsa matematikaga bo'lgan ishonchni susaytiradi va yo'q qiladi, ha ...) Ayniqsa imtihonlarda. Ammo bu g'alati iboralardan X-ni ham topish kerak! Bu umuman yo'q. Va ajablanarli tomoni shundaki, ushbu X ni topish juda oson. Buni qanday qilishni bilib olamiz. Ushbu darslikda.
Tashqi ko'rinishi bo'yicha chiziqli tenglamani qanday bilasiz? Bu qanday ko'rinishga bog'liq.) Hiyla - bu chiziqli tenglamalar nafaqat shakl tenglamalari bolta + b = 0 , shuningdek, ushbu shaklga transformatsiyalar va soddalashtirishlar bilan qisqartirilgan har qanday tenglamalar. Va uni kamaytirish mumkinmi yoki yo'qligini kim biladi?)
Chiziqli tenglamani ba'zi hollarda aniq bilish mumkin. Aytaylik, agar bizda birinchi daraja va raqamlar noma'lum bo'lgan tenglama bo'lsa. Va tenglamada yo'q bo'lingan kasrlar noma'lum , bu muhim! Va bo'linish raqam, yoki sonli kasr - iltimos! Misol uchun:
Bu chiziqli tenglama. Bu erda fraksiyalar mavjud, ammo x ning kvadrati, kub va boshqalar yo'q, va denominatorlarda x yo'q, ya'ni. emas x ga bo'linish... Va bu erda tenglama
chiziqli deb atash mumkin emas. Bu erda x ning barchasi birinchi darajadadir, lekin bor x bilan ifoda bilan bo'linish... Soddalashtirish va o'zgartirishlardan so'ng siz chiziqli tenglamani, kvadratni va o'zingiz xohlagan narsani olishingiz mumkin.
Ma'lum bo'ladiki, biron bir qiyin misolda chiziqli tenglamani topish deyarli imkonsiz ekan. Bu xafa. Ammo topshiriqlar odatda tenglama turini so'ramaydilar, to'g'rimi? Vazifalarga tenglamalar berilgan hal qilmoq. Bu quvontiradi.)
Chiziqli tenglamalarni yechish. Misollar.
Chiziqli tenglamalarning butun yechimi quyidagilardan iborat tenglamalarning bir xil o'zgarishlari. Aytgancha, bu o'zgarishlar (ikkitadan ko'p!) Yechimlarni yotqizadi matematikaning barcha tenglamalari. Boshqacha aytganda, echim har qanday tenglama ana shu o'zgarishlardan boshlanadi. Agar chiziqli tenglamalar bo'lsa, u (echim) ushbu o'zgarishlarga asoslanadi va to'liq javob bilan tugaydi. Havolaga o'tish mantiqan to'g'ri, to'g'rimi?) Bundan tashqari, chiziqli tenglamalarni echish misollari ham mavjud.
Eng oddiy misoldan boshlaylik. Hech qanday muammo yo'q. Bu tenglamani yechishimiz kerak deylik.
x - 3 \u003d 2 - 4x
Bu chiziqli tenglama. X barchasi birinchi darajadadir, X ga bo'linish yo'q. Ammo, aslida, bu qanday tenglama ekanligi bizga ahamiyat bermaydi. Biz buni hal qilishimiz kerak. Sxema oddiy. Tenglamaning chap tomonidagi x bilan hamma narsani, o'ngdagi x (son) raqamisiz hamma narsani to'plang.
Buning uchun siz o'tkazishingiz kerak - 4x chapga, belgi o'zgarishi bilan, albatta, lekin - 3 - O'ngga. Aytgancha, bu tenglamalarning birinchi o'xshash o'zgarishi. Siz ajablanasizmi? Shunday qilib, biz havolaga amal qilmadik, ammo behuda ...) Biz olamiz:
x + 4x \u003d 2 + 3
Biz shunga o'xshashlarni beramiz, biz ishonamiz:
To'liq baxt uchun bizda nima etishmaydi? Ha, shunda chap tomonda toza X bor edi! Beshtasi yo'lda. Eng yaxshi beshlikdan xalos bo'lish tenglamalarning ikkinchi bir xil o'zgarishi. Ya'ni, tenglamaning ikkala tomonini 5 ga ajratamiz. Tayyor javob olamiz:
Albatta, oddiy misol. Bu isitish uchun.) Nega men bu erda bir xil o'zgarishlarni eslaganim aniq emas? Xa mayli. Biz buqani shoxidan ushlab olamiz.) Keling, yanada ta'sirchan narsani hal qilaylik.
Masalan, bu erda tenglama:
Nimadan boshlaymiz? X bilan - chapga, x holda - o'ngga? Shunday bo'lishi ham mumkin edi. Uzoq yo'l bo'ylab kichik qadamlar. Yoki siz darhol, universal va kuchli tarzda mumkin. Agar, albatta, sizning arsenalingizda bo'lsa tenglamalarning bir xil o'zgarishlari.
Men sizga asosiy savolni beraman: sizga ushbu tenglama nimani yoqtirmaydi?
100 kishidan 95 kishi javob beradi: kasrlar ! Javob to'g'ri. Shunday qilib, ulardan xalos bo'laylik. Shuning uchun biz darhol shu bilan boshlaymiz ikkinchi shaxsni o'zgartirish... Tarkibni to'liq kamaytirish uchun chapdagi kasrni ko'paytirish uchun nima qilish kerak? To'g'ri, 3. Va o'ng tomonda? 4. Ammo matematika bizga ikkala tomonni ham ko'paytirishga imkon beradi bir xil raqam... Qanday chiqamiz? Va ikkala tomonni 12 ga ko'paytiraylik! Bular umumiy maxraj tomonidan Keyin uchtasi va to'rttasi kamayadi. Har bir qismni ko'paytirish kerakligini unutmang butunlay... Birinchi bosqich quyidagicha:
Qavslarni kengaytirish:
Eslatma! Raqam (x + 2) Men qavs qildim! Buning sababi, kasrlarni ko'paytirganda, hisoblagich butunlay, butunlay ko'paytiriladi! Va endi kasrlarni qisqartirish mumkin:
Qolgan qavslarni kengaytirish:
Namuna emas, balki zavq!) Endi biz boshlang'ich sinflardagi afsunni eslaymiz: x bilan - chapga, x holda - o'ngga! Va bu o'zgarishni qo'llang:
Mana shunga o'xshashlar:
Va ikkala qismni 25 ga ajratamiz, ya'ni. ikkinchi transformatsiyani yana qo'llang:
Hammasi shu. Javob: x=0,16
Izoh: asl murakkab tenglamani yoqimli shaklga keltirish uchun biz ikkitadan (faqat ikkitasi!) Foydalandik. bir xil o'zgarishlar - belgini o'zgartirgan holda chapdan o'ngga uzatish va bir xil songa tenglamani ko'paytirish-bo'lish. Bu universal usul! Biz bu bilan ishlaymiz har qanday tenglamalar! Albatta har qanday. Shuning uchun men doimo bir xil o'zgarishlarni takrorlayman.)
Ko'rinib turibdiki, chiziqli tenglamalarni yechish printsipi oddiy. Tenglamani oling va uni soddalashtiring bir xil o'zgarishlar javob olinmaguncha. Bu erda asosiy muammolar echishda emas, balki hisoblashda.
Ammo ... Eng oddiy chiziqli tenglamalarni echish jarayonida bunday kutilmagan hodisalar mavjud, ular sizni kuchli qoqinishga olib keladi ...) Yaxshiyamki, bunday ikkita kutilmagan hodisalar bo'lishi mumkin. Ularni maxsus holatlar deb ataymiz.
Chiziqli tenglamalarni yechishda maxsus holatlar.
Birinchi ajablanib.
Aytaylik, siz elementar tenglamani uchratasiz, masalan:
2x + 3 \u003d 5x + 5 - 3x - 2
Biroz zerikib, uni chap tomonga x bilan, chapga x bilan almashtiramiz ... Belgining o'zgarishi bilan hamma narsa chin-chin ... Bizga quyidagilar keladi:
2x-5x + 3x \u003d 5-2-3
Biz ko'rib chiqamiz va ... oh bokira !!! Biz olamiz:
O'z-o'zidan bu tenglik e'tirozga loyiq emas. Nol, albatta, nolga teng. Ammo X ketdi! Va biz javobda yozishimiz kerak x nima. Aks holda, qaror qabul qilinmaydi, ha ...) O'likmi?
Sokin! Bunday shubhali holatlarda eng umumiy qoidalar saqlanib qoladi. Tenglamalarni qanday hal qilish kerak? Tenglamani yechish nimani anglatadi? Bu degani, agar birinchi tenglamaga almashtirilsa, bizga to'g'ri tenglikni beradigan barcha x qiymatlarni toping.
Ammo bizda haqiqiy tenglik bor allaqachon sodir bo'ldi! 0 \u003d 0, qanchalik aniqroq ?! Bu xx qachon paydo bo'lishini aniqlash uchun qoladi. X ning qanday qiymatlarini almashtirish mumkin boshlang'ich agar bu x lar bo'lsa, tenglama baribir nolgacha pasayadimi? Kel?)
Ha !!! X ni almashtirish mumkin har qanday! Senga nima kerak. Kamida 5, kamida 0,05, kamida -220. Ular baribir qisqaradi. Agar siz bunga ishonmasangiz, uni tekshirishingiz mumkin.) Har qanday x qiymatni almashtiring boshlang'ich tenglama va hisoblash. Har doim toza haqiqat olinadi: 0 \u003d 0, 2 \u003d 2, -7.1 \u003d -7.1 va boshqalar.
Javob: x - har qanday raqam.
Javob turli xil matematik belgilarda yozilishi mumkin, mohiyati o'zgarmaydi. Bu mutlaqo to'g'ri va to'liq javob.
Ikkinchi ajablanib.
Xuddi shu elementar chiziqli tenglamani olamiz va undagi bitta sonni o'zgartiramiz. Biz quyidagilarni hal qilamiz:
2x + 1 \u003d 5x + 5 - 3x - 2
Xuddi shu bir xil o'zgarishlardan so'ng bizda qiziqarli narsa paydo bo'ladi:
Mana bunday. Chiziqli tenglamani echdi, g'alati tenglikni oldi. Matematik tarzda aytganda, biz oldik noto'g'ri tenglik. Va gapirish oddiy til, bu to'g'ri emas. Rave. Ammo, shunga qaramay, bu bema'nilik bu tenglamani to'g'ri echish uchun juda yaxshi sababdir.)
Yana, biz umumiy qoidalar asosida o'ylaymiz. Dastlabki tenglamaga almashtirilganda nima x beradi rost tenglikmi? Ha, yo'q! Bunday xlar yo'q. Siz nimani almashtirsangiz, hamma narsa kamayadi, deliryum qoladi.)
Javob: echimlar yo'q.
Bu ham to'liq javob. Matematikada bunday javoblar keng tarqalgan.
Mana bunday. Endi, umid qilamanki, har qanday (nafaqat chiziqli) tenglamani yechish jarayonida x ning yo'qolishi sizni umuman chalkashtirmaydi. Bu masala allaqachon tanish.)
Endi biz barcha noaniqliklar chiziqli tenglamalarni aniqladik, ularni hal qilish mantiqiy.
Agar sizga ushbu sayt yoqsa ...
Aytgancha, siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlarim bor.)
Siz misollar yordamida mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Darhol tekshirish sinovlari. O'rganish - qiziqish bilan!)
funktsiyalari va hosilalari bilan tanishishingiz mumkin.
Qavslar yordamida sonlar, so'zma-so'z va o'zgaruvchan ifodalarda harakatlar bajarilish tartibini ko'rsatish uchun foydalaniladi. Qavslar bilan ifodadan teng qavsli iboraga qavslarsiz o'tish qulay. Ushbu usul Qavslar kengayishi deb nomlanadi.
Qavslarni kengaytirish bu qavs ichidagi iboradan xalos bo'lish demakdir.
Qavslarni ochishda qarorlarni yozib olishning o'ziga xos xususiyatlariga tegishli yana bir nuqta. Qavslar bilan boshlang'ich iborani va tenglikni kengaytirgandan so'ng olingan natijani yozishimiz mumkin. Masalan, iboralar o'rniga qavslarni kengaytirgandan so'ng
3− (5−7) biz 3−5 + 7 ifodasini olamiz. Ushbu ikkala iborani ham 3− (5−7) \u003d 3−5 + 7 tenglik sifatida yozishimiz mumkin.
Yana bir muhim jihat. Yozuvlarni qisqartirish uchun matematikada, agar u birinchi marta ifodada yoki qavs ichida paydo bo'lsa, ortiqcha belgisini yozmaslik odatiy holdir. Masalan, agar ikkita ijobiy raqamni qo'shsak, masalan, ettinchi va uchta bo'lsa, unda + 7 + 3 emas, balki 7 + 3 ni yozamiz, garchi etti ijobiy raqam bo'lsa ham. Shunga o'xshab, agar siz, masalan, (5 + x) iborani ko'rsangiz - bilingki, qavs oldida, yozilmagan yozuv bor, va beshning oldida ortiqcha + (+ 5 + x) bor.
Qavslarni qo'shimcha ravishda kengaytirish qoidasi
Qavslarni kengaytirishda, qavslar oldida ortiqcha narsa bo'lsa, bu ortiqcha qavslar bilan birga olib tashlanadi.
Misol. Qavslar oldida 2 + (7 + 3) qavsini kattalashtiring. Qavslar oldidagi raqamlar oldidagi belgilar o'zgarmaydi.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Ajratish uchun qavsni kengaytirish qoidasi
Agar qavslar oldida minus bo'lsa, bu minuslar qavslar bilan birga olib tashlanadi, ammo qavs ichida bo'lgan atamalar o'z belgilarini aksincha o'zgartiradi. Qavslar ichida birinchi davr oldida belgi bo'lmasligi + belgisini bildiradi.
Misol. Qavslar 2-ifoda ichida kengaytiring - (7 + 3)
Qavslar oldida minus bor, ya'ni qavsdagi raqamlardan oldin belgilarni o'zgartirish kerak. 7 raqamidan oldin qavs ichida hech qanday belgi yo'q, bu ettitaning musbat ekanligini anglatadi, uning oldida + belgisi bor deb hisoblanadi.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Qavslarni kengaytirishda biz qavs oldida turgan minuslarni va qavslarni o'zlari 2 - (+ 7 + 3) ni olib tashlaymiz va qavs ichida bo'lgan belgilar bekor qilinadi.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Ko'paytirish jarayonida qavslarni kengaytirish
Agar qavslar oldida ko'payish belgisi bo'lsa, qavs ichidagi har bir raqam qavs oldidagi omilga ko'paytiriladi. Bu holda minusni minusga ko'paytirish ortiqcha beradi va minusni plyusga ko'paytiradi, shuningdek minusga ko'paytirganda minusni beradi.
Shunday qilib, asarlardagi qavslar ko'payishning taqsimot xususiyatiga muvofiq kengaytiriladi.
Misol. 2 (9 - 7) \u003d 2 9 - 2 7
Qavsli qavsga ko'paytirganda, birinchi qavsning har bir a'zosi ikkinchi qavsning har bir a'zosiga ko'paytiriladi.
(2 + 3) (4 + 5) \u003d 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
Aslida, barcha qoidalarni yodlashning hojati yo'q, faqat bitta narsani eslab qolish kifoya, bu: c (a-b) \u003d ca-cb. Nima uchun? Agar siz c ning o'rniga bittasini almashtirsangiz, (a - b) \u003d a - b qoidani olasiz. Agar minusni almashtirsak, - (a - b) \u003d - a + b qoidaga erishamiz. Xo'sh, agar c o'rniga boshqa qavs o'rnini bossangiz, oxirgi qoidaga ega bo'lishingiz mumkin.
Qavslarni bo'linishda kengaytirish
Agar qavslardan keyin bo'linish belgisi bo'lsa, qavs ichidagi har bir raqam qavsdan keyin bo'linuvchi bilan bo'linadi va aksincha.
Misol. (9 + 6): 3 \u003d 9: 3 + 6: 3
Ichki qavslarni qanday kengaytirish mumkin
Agar iborada ichki qavslar bo'lsa, ular tashqi yoki ichki qismdan boshlab tartibda kengaytiriladi.
Shu bilan birga, qavslardan birini ochayotganda, boshqa qavslarga tegmaslik juda muhim, ularni shunchaki ularni qayta yozish.
Misol. 12 - (a + (6 - b) - 3) \u003d 12 - a - (6 - b) + 3 \u003d 12 - a - 6 + b + 3 \u003d 9 - a + b
Qavslarni ochgandan keyin va shunga o'xshash atamalarni qisqartirgandan so'ng, noma'lum bo'lgan tenglama hosil bo'ladi
ax + b \u003d 0, bu erda a va b ixtiyoriy sonlar deyiladi chiziqli tenglama noma'lum bilan. Bugun biz ushbu chiziqli tenglamalarni qanday hal qilishni aniqlaymiz.
Masalan, barcha tenglamalar:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x \u003d 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - chiziqli.
Tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiradigan noma'lumning qiymati deyiladi qaror yoki tenglamaning ildizi .
Masalan, agar 2 raqamini almashtirish uchun noma'lum x ning o'rniga 3x + 7 \u003d 13 tenglamada to'g'ri tenglikni olsak, 3 · 2 +7 \u003d 13. Demak, x \u003d 2 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizidir.
Va x \u003d 3 qiymati 3x + 7 \u003d 13 tenglamani haqiqiy tenglikka aylantirmaydi, chunki 3 · 2 +7 ≠ 13. Demak, x \u003d 3 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizi emas.
Har qanday chiziqli tenglamalarni yechish formadagi tenglamalarni yechishga kamayadi
ax + b \u003d 0.
Bo'sh vaqtni tenglamaning chap tomonidan o'ngga siljitib, b oldidagi belgini teskari tomonga o'zgartirib,
Agar ≠ 0 bo'lsa, u holda x \u003d - b / a .
1-misol. 3x + 2 \u003d 11 tenglamani yeching.
2 ni tenglamaning chap tomonidan o'ngga siljiting, 2 oldidagi belgini teskari tomonga o'zgartirganda, biz olamiz
3x \u003d 11 - 2.
Keyin olib tashlang
3x \u003d 9.
X ni topish uchun mahsulotni ma'lum bir omilga bo'lish kerak, ya'ni
x \u003d 9: 3.
Demak, x \u003d 3 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizidir.
Javob: x \u003d 3.
Agar a \u003d 0 va b \u003d 0 bo'lsa, keyin 0x \u003d 0 tenglamani olamiz. Ushbu tenglamaning cheksiz ko'p echimlari bor, chunki har qanday sonni 0 ga ko'paytirganda 0 ga teng bo'lamiz, ammo b ham 0 ga teng. Har qanday raqam bu tenglamaga echim bo'ladi.
2-misol.5 (x - 3) + 2 \u003d 3 (x - 4) + 2x - 1 tenglamani yeching.
Qavslarni kengaytiramiz:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
O'xshash atamalar:
0x \u003d 0.
Javob: x har qanday raqam.
Agar a \u003d 0 va b ≠ 0 bo'lsa, keyin 0x \u003d - b tenglamani olamiz. Ushbu tenglamaning echimi yo'q, chunki har qanday sonni 0 ga ko'paytirsak, 0 ga teng bo'lamiz, ammo b ≠ 0.
3-misol.X + 8 \u003d x + 5 tenglamani yeching.
Chapda noma'lum bo'lgan a'zolarni va o'ng tomonda bepul a'zolarni guruhlashtiraylik:
x - x \u003d 5 - 8.
O'xshash atamalar:
0x \u003d - 3.
Javob: echimlar yo'q.
Ustida rasm 1 chiziqli tenglamani yechish sxemasini ko'rsatadi
Bitta o'zgaruvchili tenglamalarni yechishning umumiy sxemasini tuzamiz. 4-misol uchun echimni ko'rib chiqing.
4-misol. Tenglama yechilsin
1) Tenglamaning barcha shartlarini denominatorlarning eng kam tarqalgan 12 ga teng bo'lgan soniga ko'paytiring.
2) Kamaytirilgandan so'ng biz olamiz
4 (x - 4) + 32 (x + 1) - 12 \u003d 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Noma'lum va erkin a'zolardan iborat a'zolarni ajratish uchun biz qavslarni kengaytiramiz:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Bir qismga noma'lum bo'lgan a'zolarni, ikkinchisida esa - bepul a'zolarni guruhlarga ajrataylik:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Mana o'xshash atamalar:
- 22x \u003d - 154.
6) bo'ling - 22, olamiz
x \u003d 7.
Ko'rib turganingizdek, tenglamaning ildizi yetti.
Odatda bunday tenglamalarni quyidagi sxema bo'yicha echish mumkin:
a) tenglamani butun shakliga keltiring;
b) qavslarni oching;
c) tenglamaning bir qismida noma'lum bo'lgan atamalarni, ikkinchisida esa erkin so'zlarni guruhlang;
d) o'xshash a'zolarni olib kelish;
e) o'xshash atamalarni keltirgandan keyin olingan ax \u003d b shaklidagi tenglamani yeching.
Ammo har bir tenglama uchun ushbu sxema zarur emas. Ko'pgina sodda tenglamalarni yechishda birinchisini emas, ikkinchisidan boshlash kerak ( Misol. 2), uchinchi ( Misol. 13) va hatto 5-misolda bo'lgani kabi beshinchi bosqichdan boshlab.
5-misol.2x \u003d 1/4 tenglamani yeching.
Noma'lum x \u003d 1/4: 2, ni toping.
x \u003d 1/8 .
Asosiy davlat imtihonida topilgan ba'zi chiziqli tenglamalar echimini ko'rib chiqing.
6-misol.2 (x + 3) \u003d 5 - 6x tenglamani yeching.
2x + 6 \u003d 5 - 6x
2x + 6x \u003d 5 - 6
Javob: - 0, 125
7-misol.Tenglamani yeching - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
- 30 + 18x \u003d 8x - 7
18x - 8x \u003d - 7 +30
Javob: 2.3
8-misol. Tenglamani yeching
3 (3x - 4) \u003d 4.7x + 24
9x - 12 \u003d 28x + 24
9x - 28x \u003d 24 + 12
9-misol.Agar f (x + 2) \u003d 3 7-chi bo'lsa, f (6) ni toping
Qaror
F (6) ni topishimiz kerak va f (x + 2) ni bilamiz,
keyin x + 2 \u003d 6.
X + 2 \u003d 6 chiziqli tenglamani yeching,
biz x \u003d 6 - 2, x \u003d 4 ni olamiz.
Agar x \u003d 4 bo'lsa, unda
f (6) \u003d 3 7-4 \u003d 3 3 \u003d 27
Javob: 27.
Agar sizda hali ham savollar bo'lsa, tenglamalar echimini chuqurroq tushunish istagi paydo bo'ladi. Men sizga yordam berishdan xursand bo'laman!
TutorOnline shuningdek, bizning o'qituvchimiz Olga Aleksandrovnaning yangi video darsligini tomosha qilishni maslahat beradi, bu sizga chiziqli tenglamalarni va boshqalarni tushunishga yordam beradi.
blog. sayti, to'liq yoki qisman nusxa ko'chirilganda, manba ko'rsatilishi shart.
