Bir xil o'zgarishlar. Ifodalarni o'zgartirish. Batafsil nazariya (2020) Ifodalar va ularning bir xil o'zgarishlari

Ifodaning qiymatini hisoblashda oxirgi marta bajarilgan arifmetik operatsiya "asosiy" dir.

Ya'ni, harflar o'rniga ba'zi (har qanday) raqamlarni almashtirsangiz va ifoda qiymatini hisoblashga harakat qilsangiz, agar oxirgi harakat ko'paytirilgan bo'lsa, unda bizda mahsulot bor (ifoda omillashtiriladi).

Agar oxirgi harakat qo'shimcha yoki ajratish bo'lsa, bu ibora faktorizatsiya qilinmaganligini anglatadi (shuning uchun bekor qilinmaydi).

Yechimni o'zingiz tuzatish uchun bir nechta misollarni keltiring.

Misollar:

Yechimlar:

1. Umid qilamanki, siz darhol uni kesishga shoshilmadingizmi? Bu kabi birliklarni "kesish" hali ham etarli emas edi:

Birinchi harakat faktoring bo'lishi kerak:

4. Kasrlarni qo'shish va ajratish. Fraktsiyalarni umumiy maxrajga keltirish.

Oddiy kasrlarni qo'shish va ayirish juda tanish operatsiya: biz umumiy denominatorni qidiramiz, har bir kasrni etishmayotgan omilga ko'paytiramiz va hisoblagichlarni qo'shamiz / aylantiramiz.

Yodda tutaylik:

Javoblar:

1. Denominatorlar va o'zaro kelishilgan, ya'ni ularda umumiy omillar yo'q. Shuning uchun ushbu raqamlarning LCM qiymati ularning mahsulotiga tengdir. Bu umumiy denominator bo'ladi:

2. Bu erda umumiy maxraj:

3. Bu erda, birinchi navbatda, aralash fraktsiyalarni noto'g'ri qismlarga aylantiramiz va keyin odatdagi sxema bo'yicha:

Agar kasrlarda harflar bo'lsa, u butunlay boshqacha, masalan:

Oddiy boshlaylik:

a) Denominatorlarda harflar mavjud emas

Bu erda hamma narsa oddiy raqamli kasrlar bilan bir xil: biz umumiy denominatorni topamiz, har bir kasrni etishmayotgan omilga ko'paytiramiz va hisoblagichlarni qo'shamiz / aylantiramiz:

endi hisoblagichda siz shunga o'xshashlarni olib kelishingiz mumkin va mavjud bo'lgan omillarga ajratishingiz mumkin:

O'zingizni sinab ko'ring:

Javoblar:

b) denominatorlarda harflar mavjud

Umumiy harfni harflarsiz topish tamoyilini eslaylik:

· Avvalo, biz umumiy omillarni aniqlaymiz;

· Keyin barcha umumiy omillarni bir marta yozing;

· Va ularni odatiy bo'lmagan boshqa barcha omillarga ko'paytiring.

Nomzodlarning umumiy omillarini aniqlash uchun avval ularni asosiy omillarga ajratamiz:

Umumiy omillarni ta'kidlaymiz:

Endi umumiy omillarni bir marotaba yozing va ularga barcha nomoddiy (ahamiyatsiz) omillarni qo'shamiz:

Bu umumiy denominator.

Xatlarga qaytaylik. Mahkumlar xuddi shu tarzda ko'rsatilgan:

Biz denominatorlarni omillarga ajratamiz;

Biz umumiy (bir xil) omillarni aniqlaymiz;

Barcha umumiy omillarni bir marta yozing;

· Biz ularni odatiy bo'lmagan boshqa barcha omillarga ko'paytiramiz.

Shunday qilib, tartibda:

1) denominatorlarni quyidagi omillarga ajratamiz:

2) umumiy (bir xil) omillarni aniqlaymiz:

3) biz barcha umumiy omillarni bir marotaba yozib tashlaymiz va ularni boshqa (o'tkazilmagan) omillarga ko'paytiramiz:

Shunday qilib, umumiy denominator bu erda. Birinchi kasr ko'paytirilishi kerak, ikkinchisi:

Aytgancha, bitta hiyla bor:

Misol uchun: .

Biz bir xil omillarni denominatorlarda ko'rmoqdamiz, bularning barchasi har xil ko'rsatkichlarga ega. Umumiy maxraj:

darajada

darajada

darajada

darajasida.

Vazifani murakkablashtiraylik:

Qanday qilib fraktsiyalarni bir xil denominator qilib qo'yasiz?

Keling, kasrning asosiy xususiyatini eslaylik:

Hech bir joyda bir xil sonni kasrning ioni va denominatoridan olib tashlash (yoki qo'shish) mumkinligi aytilmagan. Chunki bu to'g'ri emas!

O'zingiz ko'rib chiqing: masalan, biron bir kasrni oling va masalan, hisoblagich va maxrajga ba'zi raqamlarni qo'shing. Nimani bilib oldingiz?

Shunday qilib, yana bir o'zgarmas qoida:

Fraktsiyalarni umumiy denominatorga kamaytirishda faqat ko'payishdan foydalaning!

Ammo olish uchun nimaga ko'paytirish kerak?

Bu erda va ko'paying. Va ko'paytiring:

Faktorlarga ajratib bo'lmaydigan iboralar "elementar omillar" deb nomlanadi.

Masalan, elementar omil. - shuningdek. Ammo - yo'q: u omillangan.

Ifoda haqida nima deb o'ylaysiz? Bu boshlang'ichmi?

Yo'q, chunki bu omil bo'lishi mumkin:

(siz allaqachon "" mavzusida faktorizatsiya haqida o'qidingiz).

Shunday qilib, siz harflar bilan ifodani kengaytiradigan elementar omillar, siz raqamlarni ko'paytiradigan asosiy omillarga o'xshaydi. Va biz ular bilan xuddi shunday munosabatda bo'lamiz.

Ko'ramizki, ikkala denominator ham omilga ega. Bu hokimiyatdagi umumiy maxrajga o'tadi (esingizdami?).

Faktor elementar bo'lib, ular uchun odatiy emas, ya'ni birinchi kasr shunchaki ko'paytirilishi kerak bo'ladi:

Boshqa misol:

Qaror:

Ushbu denominatorlarni vahima ichida ko'paytirishdan oldin, ularni qanday omillarga aylantirish haqida o'ylashingiz kerakmi? Ularning ikkalasi:

Yaxshi! Keyin:

Boshqa misol:

Qaror:

Odatdagidek, denominatorlarni hisobga oling. Birinchi nominatorda biz shunchaki qavslardan tashqarida joylashtiramiz; ikkinchisida - maydonlar farqi:

Hech qanday umumiy omillar yo'qdek tuyuladi. Ammo agar siz diqqat bilan qarasangiz, unda ular juda o'xshash ... Va haqiqat:

Shunday qilib yozaylik:

Ya'ni, shunday bo'ldi: Qavs ichida biz shartlarni almashtirdik va shu bilan birga kasr oldidagi belgi aksincha o'zgargan. E'tibor bering, buni tez-tez bajarishga to'g'ri keladi.

Endi biz umumiy bir belgini keltiramiz:

Tushundim? Keling, tekshirib ko'ramiz.

Mustaqil echim uchun topshiriqlar:

Javoblar:

Bu erda yana bir narsani eslashimiz kerak - kublar orasidagi farq:

E'tibor bering, ikkinchi kasrning mohiyati "summaning kvadrati" formulasi emas! Summaning kvadrati quyidagicha ko'rinardi:.

A bu yig'indining to'liq bo'lmagan kvadrati deb ataladi: unda ikkinchi atama ularning ko'paytirilgan mahsuloti emas, balki birinchi va oxirgi mahsulotdir. To'lovning to'liq bo'lmagan kvadrati kublar farqining kengayish omillaridan biridir:

Agar uchta kasr mavjud bo'lsa-chi?

Xuddi shu narsa! Birinchidan, denominatorlardagi omillarning maksimal soni bir xil bo'lishi uchun shunday qilamiz.

E'tibor bering: agar bitta qavs ichidagi belgilarni o'zgartirsangiz, kasr oldidagi belgi aksincha o'zgaradi. Ikkinchi qavs ichidagi belgilarni o'zgartirganda, kasr oldidagi belgi yana o'zgartiriladi. Natijada, u (kasr oldidagi belgi) o'zgarmadi.

Biz birinchi denominatorni to'liq umumiy denominatorga yozamiz va keyin unga hali yozilmagan barcha omillarni qo'shamiz, ikkinchisidan, keyin uchinchi omildan (va agar fraktsiyalar ko'p bo'lsa). Ya'ni, quyidagicha bo'ladi:

Hmm ... kasrlar bilan nima qilish kerakligi aniq. Ammo Dyus haqida nima deyish mumkin?

Bu juda oddiy: kasrlarni qanday qo'shishni bilasiz, shunday emasmi? Bu shuni anglatadiki, sulusni kasrga aylantirishimiz kerak! Esda tuting: kasr bu bo'linish jarayoni (agar siz birdan unutgan bo'lsangiz, hisoblagich maxrajga bo'linadi). Va raqamni bo'lgandan ko'ra hech narsa oson emas. Bunday holda, raqamning o'zi o'zgarmaydi, balki kasrga aylanadi:

Aynan nima kerak!

5. Fraktsiyalarni ko'paytirish va bo'lish.

Xo'sh, endi eng qiyin qismi tugadi. Va bizning oldimizda eng oddiy, ammo shu bilan birga eng muhimi:

Jarayon

Raqamli ifodani hisoblash tartibi qanday? Ushbu iboraning ma'nosini hisoblash bilan eslang:

Hisobladingizmi?

Bu ishlashi kerak.

Shunday qilib, men sizga eslataman.

Birinchi qadam - darajani hisoblash.

Ikkinchisi - ko'payish va bo'linish. Agar bir vaqtning o'zida bir nechta ko'payish va bo'linishlar bo'lsa, ularni har qanday tartibda bajarish mumkin.

Va nihoyat, biz qo'shimcha va ajratishni amalga oshiramiz. Yana, har qanday tartibda.

Ammo: Qavslardagi ifoda tartibsiz deb hisoblanadi!

Agar bir nechta qavslar ko'paytirilsa yoki bir-birlariga bo'linadigan bo'lsa, biz avval har bir qavs ichidagi ifodani hisoblaymiz va keyin ularni ko'paytiramiz yoki bo'lamiz.

Qavs ichida yana qavs bo'lsa nima bo'ladi? Xo'sh, o'ylab ko'raylik: qavs ichida ba'zi ifoda yozilgan. Va iborani baholashda birinchi navbatda nima qilish kerak? To'g'ri, qavslarni hisoblang. Xo'sh, biz buni aniqladik: avval ichki qavslarni, so'ngra hamma narsani hisoblaymiz.

Shunday qilib, yuqoridagi ifoda qilish tartibi quyidagicha (joriy amal qizil rangda ta'kidlangan, ya'ni men hozir bajarayotgan amal):

OK, bu juda oddiy.

Ammo bu harflar bilan ifodalanish bilan bir xil emasmi?

Yo'q, xuddi shunday! Faqatgina arifmetik amallar o'rniga algebraik amallarni bajarish kerak, ya'ni oldingi bo'limda tasvirlangan amallar: o'xshash olib, kasrlar qo'shilishi, kasrlar qisqarishi va boshqalar. Farq shundaki, faktoring ko'payishlarning ta'siri (fraksiyalar bilan ishlashda biz ko'pincha ulardan foydalanamiz). Ko'pincha, faktoring uchun siz i-ni ishlatishingiz yoki oddiy omilni qavsning tashqarisiga qo'yishingiz kerak.

Odatda bizning maqsadimiz ish yoki muayyan bir ko'rinish ko'rinishida ifoda etishdir.

Misol uchun:

Ifodani soddalashtiraylik.

1) Birinchidan, biz qavs ichidagi iborani soddalashtiramiz. U erda fraktsiyalarning farqi bor va bizning maqsadimiz uni mahsulot yoki kotirovka sifatida taqdim etishdir. Shunday qilib, fraktsiyalarni umumiy denominatorga keltiramiz va qo'shamiz:

Endi bu iborani soddalashtirish mumkin emas, bu erda barcha omillar elementar (bu nimani anglatishini hali ham eslaysizmi?).

2) Biz olamiz:

Kasrlarni ko'paytirish: nima osonroq bo'lishi mumkin.

3) Endi siz qisqartirishingiz mumkin:

Bo'ldi shu. Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi?

Boshqa misol:

Ifodani soddalashtiring.

Avval uni o'zingiz hal qilishga harakat qiling va shundan keyingina echimni ko'ring.

Qaror:

Avvalo, harakatlar tartibini aniqlaymiz.

Birinchidan, biz qavslarni qavslarga qo'shamiz, ikkita kasr o'rniga bittasini olamiz.

Keyin kasrlarni ajratamiz. Xo'sh, natijani oxirgi kasr bilan qo'shing.

Men harakatlarni sxematik ravishda keltiraman:

Endi men amaldagi harakatni qizil rangga bo'yab, butun jarayonni ko'rsataman.

1. Agar shunga o'xshashlar bo'lsa, ularni darhol olib kelish kerak. Bizda shunga o'xshash narsalar bo'lsa, ularni darhol olib borish tavsiya etiladi.

2. Bu xuddi shu tarzda kasrlarning qisqarishi uchun ham amal qiladi: qisqartirish imkoniyati paydo bo'lishi bilanoq, undan foydalanish kerak. Istisno bu qo'shadigan yoki ayirgan kasrlardir: agar ularda hozirda bir xil nomutanatorlar bo'lsa, demak, qisqartirish keyinchalik qoldirilishi kerak.

Siz o'zingiz hal qiladigan ba'zi vazifalar:

Va boshida va'da qilingan:

Javoblar:

Yechimlar (qisqa):

Agar siz hech bo'lmaganda dastlabki uchta misolni boshdan kechirgan bo'lsangiz, unda siz mavzuni o'zlashtirdingiz.

Endi o'rganish uchun oldinga!

EHMONLARNING TARJIMAI. Xulosa va asosiy shakllar

Asosiy soddalashtirish operatsiyalari:

• Shunga o'xshash: bunday atamalarni qo'shish (olib kelish) uchun siz ularning koeffitsientlarini qo'shishingiz va harf qismini tayinlashingiz kerak.
• Faktorizatsiya:umumiy omilni faktoring, qo'llash va hk.
• Fraktsiyani kamaytirish: kasrning hisoblagichi va aniqlovchisini ko'paytirilishi yoki nolga teng bo'lmagan songa bo'lish mumkin, bu kasrning qiymatini o'zgartirmaydi.
  1) hisoblagich va maxraj omil omil
  2) agar hisoblagich va maxrajda umumiy omillar mavjud bo'lsa, ularni chetlab o'tish mumkin.

  MUHIM: Faqat ko'paytirgichlarni kamaytirish mumkin!

• Fraksiyalarni qo'shish va ajratish:
  ;
• Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish:
  ;

Identifikatsiyani konversiya qilish biz sonli va tom ma'nodagi iboralar bilan bir qatorda o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan iboralarni ham anglatadi. Muammoni hal qilish uchun qulay bo'lgan asl iborani shaklga keltirish uchun biz ushbu o'zgarishlarni amalga oshiramiz. Ushbu mavzudagi bir xil o'zgarishlarning asosiy turlarini ko'rib chiqamiz.

Ifodani bir xil o'zgartirish. Bu nima?

Birinchi marta bir xil o'zgargan kontseptsiya bilan tanishganimizda, biz 7-sinfda algebra darslarida qatnashmoqdamiz. Shu bilan birga, birinchi navbatda bir xil teng iboralar tushunchasi bilan tanishamiz. Mavzuni tushunishni osonlashtirish uchun tushunchalar va ta'riflarni tushunaylik.

1-ta'rif

Ifodani bir xil o'zgartirish - bu asl iborani asliga teng keladigan ifoda bilan almashtirish maqsadida bajariladigan harakatlar.

Ushbu ta'rif ko'pincha qisqartirilgan shaklda qo'llaniladi, unda "bir xil" so'zi qoldiriladi. Qanday bo'lmasin, biz iborani o'zgartiradigan tarzda asl nusxaga o'xshash iborani oladigan tarzda amalga oshiramiz deb taxmin qilinadi va buni alohida ta'kidlashning hojati yo'q.

Biz tasvirlaymiz bu ta'rif misollar.

1-misol

Agar biz ifoda o'rnini bossak x + 3 - 2 bir xil ifoda uchun x + 1, keyin biz ifodani bir xil o'zgartirishni amalga oshiramiz x + 3 - 2.

2-misol

2 a 6 ifodasini ifoda bilan almashtirish a 3 Ifodani almashtirish paytida bir xil o'zgarish x ifoda bo'yicha x 2 bir xil o'zgarish emas, chunki iboralar x va x 2 bir xil emas.

Sizning e'tiboringizni bir xil o'zgarishlarni amalga oshirayotganda yozma iboralar shakliga qaratamiz. Odatda, biz asl iborani va natijada paydo bo'lgan ifodani tenglik sifatida yozamiz. Shunday qilib, x + 1 + 2 \u003d x + 3 yozish x + 1 + 2 ifodasi x + 3 shakliga qisqartirilganligini anglatadi.

Harakatlarning ketma-ket bajarilishi bizni bir qatorda joylashgan bir xil o'zgarishlar bo'lgan tenglik zanjiriga olib keladi. Shunday qilib, biz x + 1 + 2 \u003d x + 3 \u003d 3 + x tushunchasini ikkita transformatsiyani ketma-ket amalga oshirish sifatida tushunamiz: birinchidan, x + 1 + 2 ifodasi x + 3 shakliga, va u - 3 + x shakliga keltirildi.

Bir xil o'zgarishlar va ODU

Biz 8-sinfda o'rganishni boshlagan bir qator iboralar o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun mantiqiy emas. Bunday holatlarda bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish bizdan o'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari (ADV) diapazoniga e'tibor berishni talab qiladi. Bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish ODZni o'zgarishsiz qoldirishi yoki toraytirishi mumkin.

3-misol

Ifodadan sakrashda a + (- b) ifoda uchun a - b o'zgaruvchan oraliq a va b bir xil bo'lib qoladi.

4-misol

X ifoda qilishdan ifodaga o'ting x 2 x x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari doirasini barcha haqiqiy sonlar to'plamidan nol chiqarib tashlangan barcha haqiqiy sonlar to'plamigacha torayishiga olib keladi.

5-misol

Ifodani bir xil o'zgartirish x 2 xifoda x o'zgaruvchini qabul qilinadigan qiymatlari diapazoni barcha haqiqiy sonlar to'plamidan noldan tashqari barcha haqiqiy sonlar to'plamigacha kengayishiga olib keladi.

Bir xil o'zgarishlarni amalga oshirayotganda o'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari doirasini toraytirish yoki kengaytirish muammolarni hal qilishda muhim ahamiyatga ega, chunki bu hisoblarning aniqligiga ta'sir qilishi va xatolarga olib kelishi mumkin.

Shaxsiy identifikatsion o'zgarishlar

Keling, bir xil o'zgarishlarni nima ekanligini va qanday amalga oshirilishini ko'rib chiqamiz. Keling, biz ko'pincha engishimiz kerak bo'lgan bir xil o'zgarishlarni asosiy guruhga ajratamiz.

Asosiy bir xil o'zgarishlarga qo'shimcha ravishda ma'lum bir turdagi iboralar bilan bog'liq bo'lgan bir qator o'zgarishlar ham mavjud. Fraksiyalar uchun bu kamaytirish va yangi denominatorga qaytarish usullari. Ildiz va kuchga ega bo'lgan iboralar uchun barcha harakatlar ildizlar va kuchlarning xususiyatlaridan kelib chiqqan holda amalga oshiriladi. Logarifmik ifodalar uchun, logarifmlarning xususiyatlariga qarab bajariladigan amallar. Uchun trigonometrik iboralar yordamida barcha harakatlar trigonometrik formulalar... Ushbu xususiy o'zgarishlarning barchasi bizning resursimizda topilishi mumkin bo'lgan alohida mavzularda batafsil yoritilgan. Shu munosabat bilan biz ushbu maqolada ularga to'xtalmaymiz.

Keling, asosiy bir xil o'zgarishlarni ko'rib chiqishga o'taylik.

Terminlarni, omillarni o'zgartirish

Keling, shartlarni qayta tartiblashni boshlaylik. Biz ushbu bir xil o'zgarishlarga ko'proq duch kelamiz. Va quyidagi iborani bu erda asosiy qoida deb hisoblash mumkin: har qanday summada, atamalarni joylarda o'zgartirish natijaga ta'sir qilmaydi.

Ushbu qoida qo'shilishning o'zgarishi va kombinatsion xususiyatlariga asoslanadi. Ushbu xususiyatlar bizga atamalarni joylarni o'zgartirishga va bir xil asliga o'xshash iboralarni olishga imkon beradi. Shuning uchun summadagi joylarda atamalarni o'zgartirish - bu shaxsni o'zgartirish.

6-misol

Bizda uchta shartning yig'indisi 3 + 5 + 7. Agar biz 3 va 5 atamalarni almashtirsak, unda 5 + 3 + 7 shakli ifodalanadi. Bunday holda shartlarni qayta o'zgartirishning bir nechta variantlari mavjud. Ularning barchasi asliga o'xshash iboralarni olishga olib keladi.

Faqat sonlar emas, balki iboralar ham summaning shartlari sifatida harakat qilishi mumkin. Sonlar singari, ularni hisob-kitoblarning yakuniy natijasiga ta'sir qilmasdan o'zgartirish mumkin.

7-misol

1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 va - uchta shartlarning yig'indisiga 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + (12 a) - 12) · shartlarni, masalan, quyidagicha o'zgartirish mumkin (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3. O'z navbatida, siz 1 a + b fraktsiyasining shartlarini o'zgartirishingiz mumkin va kasr 1 b + a shaklini oladi. Va ildiz belgisi ostida ifoda a 2 + 2 a + 5 shuningdek, shartlarni almashtirish mumkin bo'lgan summa.

Atamalar bilan bir xil tarzda, asl iboralarda siz omillarning joylarini o'zgartirishingiz va bir xil to'g'ri tenglamalarni olishingiz mumkin. Ushbu harakat quyidagi qoida bo'yicha boshqariladi:

2-ta'rif

Mahsulotda omillarni joylarga qarab qayta hisoblash hisob-kitob natijalariga ta'sir qilmaydi.

Ushbu qoida ko'payishning o'zgarishi va kombinatsion xususiyatlariga asoslangan bo'lib, ular bir xil o'zgarishlarning to'g'riligini tasdiqlaydi.

8-misol

Tarkibi 3 5 7 omillarning o'zgarishini quyidagi shakllardan biri bilan ifodalash mumkin: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 yoki 3 7 5.

9-misol

X + 1 x 2 - x + 1 x mahsulotdagi omillarni permütasyon qilish x 2 - x + 1 x x + 1

Qavslarni kengaytirish

Qavslar ichida sonli va o'zgaruvchan iboralar bo'lishi mumkin. Ushbu iboralar bir xil tenglashtirilgan iboralarga aylantirilishi mumkin, bunda hech qanday qavs bo'lmaydi yoki asl iboralardagidan kamroq bo'ladi. Ifodalarni o'zgartirishning bu usuli Qavslar kengayishi deb ataladi.

10-misol

Shakl ifodasida qavslar yordamida amallarni bajaramiz 3 + x - 1 x bir xil to'g'ri ifoda olish uchun 3 + x - 1 x.

3 x - 1 + - 1 + x 1 - x ifodasini teng qavsli qavslarsiz 3 x - 3 - 1 + x 1 - x ga aylantirish mumkin.

Bizning manbamizda joylashtirilgan "Qavslarni kengaytirish" mavzusida biz iboralarni qavslar bilan almashtirish qoidalarini batafsil bayon qildik.

Terminlar, omillar guruhlanishi

Uch yoki undan ortiq atamalar bilan ishlashda, atamalarni guruhlash kabi bir xil o'zgarishlarga murojaat qilishimiz mumkin. O'zgartirishning bu usuli bir necha atamalarni guruhlarga ajratib, ularni qayta tartiblash va qavs ichiga yopishtirishni anglatadi.

Guruhlash paytida, atamalar bir-biriga o'zgartirilib, guruhlangan atamalar iborada yonma-yon paydo bo'ladi. Keyin ularni qavslar ichiga qo'yish mumkin.

11-misol

Ifodani olaylik 5 + 7 + 1 ... Agar birinchi atamani uchinchisi bilan guruhlasak, olamiz (5 + 1) + 7 .

Faktorlarni guruhlash atamalarni guruhlash kabi amalga oshiriladi.

12-misol

Ishda 2 3 4 5 birinchi omilni uchinchisi bilan, ikkinchisini to'rtinchisi bilan guruhlashimiz mumkin va biz ifodaga kelamiz (2 4) (3 5)... Va agar biz birinchi, ikkinchi va to'rtinchi omillarni guruhlasak, ifodani olishimiz mumkin (2 3 5) 4.

Guruhlarga ajratilgan atamalar va omillarni ikkala asosiy raqamlar va iboralar bilan ifodalash mumkin. Guruhlash qoidalari "Terminlar va omillarni guruhlash" mavzusida batafsil muhokama qilindi.

Farqlarni summalar, qisman mahsulotlar va aksincha almashtirish

Qarama-qarshi raqamlar bilan tanishganimiz tufayli farqlarni summalarga almashtirish mumkin bo'ldi. Endi raqamdan ajratish a raqamlar b raqamga qo'shimcha sifatida qarash mumkin a raqamlar - b... Tenglik a - b \u003d a + (- b)farqlarni summalarga almashtirish uchun adolatli deb hisoblash mumkin.

13-misol

Ifodani olaylik 4 + 3 − 2 , bu raqamlarning farqi 3 − 2 summa sifatida yozishimiz mumkin 3 + (− 2) ... Biz olamiz 4 + 3 + (− 2) .

14-misol

Ifodadagi barcha farqlar 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 kabi summalar bilan almashtirilishi mumkin 5 + 2 x + (- x 2) + (- 3 x 3) + (- 0, 2).

Biz har qanday farqlardan kelib chiqqan holda summaga o'tamiz. Xuddi shunday, biz teskari almashtirishni amalga oshirishimiz mumkin.

Bo'linishni o'zaro ajratish bilan ko'paytirish bilan almashtirish o'zaro raqamlar tushunchasi asosida mumkin. Ushbu o'zgarish tenglik bilan yozilishi mumkin a: b \u003d a (b - 1).

Ushbu qoida oddiy kasrlarni ajratish qoidasi uchun asos edi.

15-misol

Xususiy 1 2: 3 5 shaklning mahsuloti bilan almashtirilishi mumkin 1 2 5 3.

Xuddi shunday, taqqoslash orqali bo'linish ko'paytirish bilan almashtirilishi mumkin.

16-misol

Ifoda holatida 1 + 5: x: (x + 3)bilan bo'linishni almashtiring x bilan ko'paytirilishi mumkin 1 x... Bo'linish: x + 3 ni ko'paytirish orqali almashtirishimiz mumkin 1 x + 3... O'zgarish asliga o'xshash iborani olishimizga imkon beradi: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

Ko'paytirishni bo'linish bilan almashtirish sxema bo'yicha amalga oshiriladi a b \u003d a: (b - 1).

17-misol

5 x x 2 + 1 - 3 ifodasida ko'paytmani 5: x 2 + 1 x - 3 kabi bo'linish bilan almashtirish mumkin.

Raqamlar ustida amallarni bajarish

Harakatlarni raqamlar bilan bajarish harakatlar tartibining qoidalariga rioya qiladi. Birinchidan, harakatlar sonlarning kuchlari va sonlarning ildizlari bilan amalga oshiriladi. Shundan so'ng biz logarifmlarni, trigonometrik va boshqa funktsiyalarni ularning qiymatlari bilan almashtiramiz. Keyin qavslardagi harakatlar bajariladi. Va keyin barcha boshqa harakatlar chapdan o'ngga amalga oshirilishi mumkin. Qo'shish va ayirishdan oldin ko'payish va bo'linish amalga oshirilishini yodda tutish kerak.

Raqamlar bilan ishlash asl iborani unga teng bo'lgan qiymatga aylantirishga imkon beradi.

18-misol

3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x ifodalarini qayta yozing, barcha mumkin bo'lgan amallarni raqamlar bilan bajaring.

Qaror

Avvalo, darajaga e'tibor beraylik 2 3 va 4-ildizni hisoblang va ularning qiymatlarini hisoblang: 2 3 = 8 va 4 \u003d 2 2 \u003d 2.

Olingan qiymatlarni asl ibora bilan almashtiring va quyidagini oling: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x).

Endi amallarni qavs ichida bajaramiz: 8 − 1 = 7 ... Va 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) ifodasiga o'ting.

Raqamlarni ko'paytirish biz uchun qoladi 3 va 7 ... Biz olamiz: 21 a + 2 (x 2 + 5 x).

Javob: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x \u003d 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Raqamlar bo'yicha harakatlar boshqa o'xshash turlarni, masalan raqamlarni guruhlash yoki qavslarni kengaytirish kabi amalga oshirishi mumkin.

19-misol

Ifodani olaylik 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11.

Qaror

Birinchi qadam - qavs ichida kotirovkani almashtirish 6: 3 uning qiymati bo'yicha 2 ... Biz olamiz: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11.

Qavslarni kengaytiramiz: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11 \u003d 3 + 2 2 x y 3 4 - 2 + 11.

Keling, mahsulotdagi son omillarini, shuningdek raqamlar bo'lgan atamalarni guruhlashtiraylik: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Keling, harakatlarni qavs ichida bajaraylik: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 \u003d 12 + 16 x y 3

Javob: 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11 \u003d 12 + 16 x y 3

Agar biz sonli ifoda bilan ishlasak, unda bizning maqsadimiz ifoda ma'nosini topishdir. Agar biz ifoda parametrlarini o'zgaruvchilar bilan o'zgartirsak, unda bizning harakatlarimizning maqsadi iborani soddalashtirishdir.

Umumiy omillar omili

Agar iboradagi atamalar bir xil omilga ega bo'lsa, biz ushbu umumiy omilni qavslardan tashqarida olishimiz mumkin. Buning uchun avvalo umumiy ifoda va umumiy omil bo'lmagan holda asl atamalardan tashkil topgan iboralarni umumiy omil va braketlarda ifodalashimiz kerak.

20-misol

Raqam bilan 2 7 + 2 3 umumiy omilni olib tashlashimiz mumkin 2 qavslar va shaklning aniq bir to'g'ri ifoda olish 2 (7 + 3).

Siz bizning resursimizning tegishli qismida umumiy omilni qavslardan tashqarida qo'yish qoidalari haqidagi xotirangizni yangilashingiz mumkin. Materialda umumiy omilni qavslardan tashqarida qo'yish qoidalari batafsil muhokama qilinadi va ko'plab misollar keltiriladi.

O'xshash atamalarni qisqartirish

Endi shunga o'xshash atamalarni o'z ichiga olgan yig'indilarga o'tamiz. Ikkala variant mavjud: bir xil shartlarni o'z ichiga olgan yig'indilar va shartlari sonli koeffitsient bilan farqlanadigan summalar. Bunday shartlarni o'z ichiga olgan summalar bilan bajariladigan amallar bunday muddatlarni qisqartirish deyiladi. U quyidagicha amalga oshiriladi: biz qavslardan tashqarida umumiy harf qismini chiqaramiz va qavslardagi sonli koeffitsientlarning yig'indisini hisoblaymiz.

21-misol

Ifodani ko'rib chiqing 1 + 4 x - 2 x... Biz x ning tom ma'nodagi qismini qavsning tashqarisiga qo'yamiz va ifodani olamiz 1 + x (4 - 2)... Qavslardagi ifoda qiymatini hisoblab, 1 + x · 2 shakllarining yig'indisini olamiz.

Raqamlar va iboralarni teng teng iboralar bilan almashtirish

Dastlabki ifoda hosil bo'lgan raqamlar va iboralarni teng teng keladigan iboralar bilan almashtirish mumkin. Dastlabki iboraning bunday o'zgarishi unga teng keladigan iboraga olib keladi.

22-misol 23-misol

Ifodani ko'rib chiqing 1 + a 5, bunda biz 5 darajani bir xil teng mahsulotga, masalan, shaklga almashtira olamiz a 4... Bu bizga ifodani beradi 1 + a a 4.

Amalga oshirilgan o'zgartirish sun'iydir. Bu faqat boshqa o'zgarishlarga tayyorgarlik ko'rishning ma'nosi.

24-misol

Sumning o'zgarishini ko'rib chiqing 4 x 3 + 2 x 2... Bu erda atama 4 x 3 biz ish sifatida ifodalashimiz mumkin 2 x 2 2 x... Natijada asl ibora shaklni oladi 2 x 2 2 x + 2 x 2... Endi biz umumiy omilni tanlashimiz mumkin 2 x 2 va qavsning tashqarisiga qo'ying: 2 x 2 (2 x + 1).

Xuddi shu sonni qo'shing va aylantiring

Bir vaqtning o'zida bir xil sonlarni yoki ifodalarni qo'shish va ayirish - bu iboralarni o'zgartirish uchun sun'iy usul.

25-misol

Ifodani ko'rib chiqing x 2 + 2 x... Kelajakda yana bir xil o'zgarishlarni amalga oshirishimiz mumkin bo'lgan binomiyning kvadratini tanlash uchun biz ulardan birini qo'shib olamiz yoki olamiz. x 2 + 2 x \u003d x 2 + 2 x + 1 - 1 \u003d (x + 1) 2 - 1.

Agar siz matnda xato ko'rsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

“Shaxsiyat. Ifodalarning bir xil o'zgarishi ”.

Darsning maqsadlari

Ta'lim:

birinchi navbatda "bir xil teng iboralar", "shaxsiyat", "bir xil o'zgarish" tushunchalarini tanishtirish va birlashtirish;

shaxsni tasdiqlash usullarini ko'rib chiqish, shaxsni tasdiqlash ko'nikmalarini rivojlantirishga hissa qo'shish;

talabalar tomonidan o'tgan materialning o'zlashtirilishini tekshirish, o'rganilgan ma'lumotni yangisini idrok etishda qo'llash ko'nikmalarini shakllantirish.

Rivojlanmoqda : talabalarning fikrlash, nutqini rivojlantirish.

Ta'limiy : mashqlar echimini to'g'ri yozishga, tirishqoqlikka, aniqlikka, to'g'ri tuzishga o'rgatish.

Dars turi: yangi materialni o'rganish

Uskunalar : Multimedia doskasi, doska, darslik, ishchi daftar.

P lahn dars

Tashkiliy lahzalar (o'quvchilarni darsga yo'naltirish)

Uy vazifasini tekshirish (xatoni tuzatish)

Og'zaki mashqlar

Yangi materialni o'rganish ("shaxsiyat", "bir xil o'zgarish" tushunchalarini tanishish va birlashtirish).

O'quv mashqlari ("shaxsiyat", "bir xil o'zgarish" tushunchalarini shakllantirish).

Darsni yakunlash (darsda olingan nazariy ma'lumotlarni umumlashtirish).

Uy vazifasi xabari (Uy vazifasi mazmunini tushuntiring)

Mashg'ulotlar paytida

I. Tashkiliy moment.

Uy vazifasini tekshirish.

Uy vazifasi savollari.

Qora taxtada eritmani tahlil qilish.

Matematikaga ehtiyoj bor
Siz onasiz yashay olmaysiz
Biz o'rgatamiz, o'rgatamiz, do'stlar,
Ertalab nimani eslaymiz?

II ... Og'zaki mashqlar.

Keling, isinishni qilaylik.

Qo'shish natijasi. (Miqdor)

Qancha raqamlarni bilasiz? (O‘n)

Raqamning yuzdan bir qismi. (Foiz)

Bo'lim natijasi? (Shaxsiy)

Eng kichik natural sonmi? (1)

Ajratishda mumkinmi natural sonlar nolga ega bo'lasizmi? (emas)

-200 dan 200 gacha bo'lgan raqamlarning yig'indisi qancha? (0)

Eng katta salbiy butun son. (-1)

Qaysi raqamni ajratish mumkin emas? (0)

Ko'paytirishning natijasi? (Tarkibi)

Katta ikki xonali sonmi? (99)

-200 dan 200 gacha mahsulot qanday? (0)

Ajratish natijasi. (Farq)

Bir kilogrammda qancha gramm bor? (1000)

Qo'shimchaning joy almashtirish xususiyati. (Terminlar joylarini qayta taqsimlash natijasida ularning miqdori o'zgarmaydi)

Ko'paytmaning sayohat xususiyati. (Mahsulot ko'paytirgichlarni almashtirishdan o'zgarmaydi)

Qo'shishning qo'shma xususiyati. (Ikki raqamning yig'indisiga raqam qo'shish uchun, birinchi raqamga ikkinchi va uchinchi raqamlarni qo'shishingiz mumkin)

Ko'paytirishning kombinatsion xususiyati. (uchta raqamga ikkitadan ko'paytirish uchun siz birinchi raqamni ikkinchi va uchinchi raqamlar soniga ko'paytirasiz)

Tarqatish xususiyati. (Bir raqamni ikkita sonning yig'indisiga ko'paytirish uchun siz har bir songa ko'paytiring va natijalarni qo'shing)

III ... Yangi materialni o'rganish .

O'qituvchi. X \u003d 5 va y \u003d 4 uchun ifodalarning qiymatini toping

3 (x + y) \u003d 3 (5 + 4) \u003d 3 * 9 \u003d 27

3x + 3y \u003d 3 * 5 + 3 * 4 \u003d 27

Xuddi shunday natijaga erishdik. Tarqatish xususiyatidan kelib chiqadiki, umuman olganda o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun 3 (x + y) va 3x + 3y ifoda qiymatlari tengdir.

Endi 2x + y va 2xy ifodalarini ko'rib chiqing. X \u003d 1 va y \u003d 2 uchun ular teng qiymatlarni oladi:

2x + y \u003d 2 * 1 + 2 \u003d 4

2xy \u003d 2 * 1 * 2 \u003d 4

Shu bilan birga, x va y qiymatlarini ushbu ifoda qiymatlari teng kelmasligi uchun belgilashingiz mumkin. Masalan, x \u003d 3, y \u003d 4 bo'lsa, unda

2x + y \u003d 2 * 3 + 4 \u003d 10

2xy \u003d 2 * 3 * 4 \u003d 24

Ta'rif: O'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun qiymatlari teng bo'lgan ikkita ifoda bir xil teng deyiladi.

3 (x + y) va 3x + 3y ifodalari bir xil, ammo 2x + y va 2xy ifodalari bir xil emas.

3 (x + y) va 3x + 3y tenglik x va y ning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri keladi. Bunday tengliklarga identifikatsiya deyiladi.

Ta'rif: O'zgaruvchilarning har qanday qiymatiga to'g'ri keladigan tenglik identifikatsiya deb ataladi.

Haqiqiy raqamli tengliklar ham hisobga olinadi. Biz allaqachon kimlik bilan uchrashdik. Identifikatsiya bu raqamlardagi harakatlarning asosiy xususiyatlarini ifoda etadigan tenglikdir (o'quvchilar har bir mulk haqida sharh berishadi, uni talqin qilishadi).

a + b \u003d b + a ab \u003d ba (a + b) + c \u003d a + (b + c) (ab) c \u003d a (bc) a (b + c) \u003d ab + ac

Shaxsiyatning boshqa namunalari (Talabalar har bir mulk haqida gapirish orqali sharhlaydilar.)

a + 0 \u003d a

a * 1 \u003d a

a + (-a) \u003d 0

va * (- b ) = - ab

a - b = a + (- b )

(- a ) * (- b ) = ab

Ta'rif: Bitta iborani boshqasiga, bir xil teng ifoda bilan almashtirish, shaxsni o'zgartirish yoki shunchaki ifoda transformatsiyasi deb nomlanadi.

O'qituvchi:

O'zgaruvchilar bilan ifodalarning bir xil o'zgarishi raqamlardagi harakatlarning xususiyatlariga qarab amalga oshiriladi.

Ifodalarning bir xil o'zgarishlari iboralarning qiymatlarini hisoblashda va boshqa muammolarni hal qilishda keng qo'llaniladi. Siz allaqachon bir xil o'zgarishlarni amalga oshirgansiz, masalan, o'xshash atamalarni quyish, qavslarni kengaytirish. Ushbu o'zgarishlar uchun qoidalarni eslaylik:

Talabalar:

Bunday atamalarni keltirish uchun siz ularning koeffitsientlarini qo'shishingiz va natijani harflarning umumiy qismiga ko'paytirishingiz kerak;

Agar qavslar oldida ortiqcha belgisi bo'lsa, qavs ichida har bir atamaning belgisini ushlab turgan holda qavs qoldirilishi mumkin;

Agar qavslar oldida minus belgisi bo'lsa, qavs ichiga o'rnatilgan har bir atamaning belgisini o'zgartirish orqali qoldirilishi mumkin.

O'qituvchi:

Misol 1. Keling, shunga o'xshash atamalarni keltiraylik

5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x

Qaysi qoidani qo'lladik?

O'quvchi:

Biz bunday atamalarni qisqartirish uchun qoidadan foydalandik. Ushbu transformatsiya ko'payishning taqsimot xususiyatiga asoslanadi.

O'qituvchi:

2-misol. 2a + () iborasidagi qavslarni kengaytiraylik.b-3 v) = 2 a + b – 3 v

Qavslarni kengaytirish uchun qoidani oldingi plyus belgisidan oldik.

O'quvchi:

Amalga oshirilgan o'zgartirish qo'shishning kombinatsion xususiyatiga asoslanadi.

O'qituvchi:

Misol 3. a - (4) ifodasidagi qavslarni kengaytiramizb - s) \u003da – 4 b + v

Biz minus belgisidan oldin qavslarni ochish qoidasidan foydalandik.

Ushbu aylantirish nimaga asoslangan?

O'quvchi:

Amalga oshirilgan transformatsiya ko'payishning taqsimot xususiyati va qo'shilishning kombinatsion xususiyatiga asoslangan.

IV ... O'quv mashqlari

(Boshlashdan oldin biz jismoniy tarbiya o'tkazamiz

Biz tezda turdik va tabassum qildik.

Ular balandroq va balandroq cho'zilishdi.

Xo'sh, elkangizni to'g'rilang,

Ko'tarish, tushirish.

O'ngga, chapga,

Ular o'tirishdi, o'rnidan turishdi. Ular o'tirishdi, o'rnidan turishdi.

Va ular o'sha joyda yugurishdi.

(Yaxshi, joy bering).

Mini mustaqil ishlarni olib boramiz - yozishmalar va mavzu yaxshi o'zlashtirilganiga ishonganlar - Internet-testni o'tkazishga qaror qilishadi.

1) 5 (3x -2) - (4x + 9) A) 5-10: x

2) 5x-4 (2x-5) +5 B) 11x -19

3) (5x-10): x B) 3x + 25

4) 11x-4 (x - 3) + 5x D) -3x + 25

D) 12x +12

V ... Dars xulosasi .

O'qituvchi savollar beradi va talabalar ularga xohlagancha javob berishadi.

Qaysi ikkita ibora bir xil teng deyiladi? Misollar keltiring.

Qanday tenglik shaxsiyat deyiladi? Misol keltiring.

Qanday bir xil o'zgarishlarni bilasiz?

VI ... Uy vazifasi ... 5-bet, Internet yordamida eski o'xshash iboralarni toping

Taqdimotlarni oldindan ko'rib chiqish uchun o'zingizda Google hisob qaydnomasini yarating va unga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

Shaxsiyatlar. Ifodalarning bir xil o'zgarishi. 7-sinf.

X \u003d 5 va y \u003d 4 3 (x + y) \u003d 3 (5 + 4) \u003d 3 * 9 \u003d 27 3x + 3y \u003d 3 * 5 + 3 * 4 \u003d 27 qiymatidagi ifodalarning qiymatini toping, x \u003d 6 qiymatidagi ifodalarning qiymatini toping. va y \u003d 5 3 (x + y) \u003d 3 (6 + 5) \u003d 3 * 11 \u003d 33 3x + 3y \u003d 3 * 6 + 3 * 5 \u003d 33

Natija: Biz ham xuddi shunday natijaga erishdik. Tarqatish xususiyatidan kelib chiqadiki, umuman olganda o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun 3 (x + y) va 3x + 3y ifoda qiymatlari tengdir. 3 (x + y) \u003d 3x + 3y

Endi 2x + y va 2xy ifodalarini ko'rib chiqing. x \u003d 1 va y \u003d 2 uchun ular teng qiymatlarni oladi: 2x + y \u003d 2 * 1 + 2 \u003d 4 2xy \u003d 2 * 1 * 2 \u003d 4 x \u003d 3, y \u003d 4 uchun ifoda qiymatlari har xil 2x + y \u003d 2 * 3 + 4 \u003d 10 2xy \u003d 2 * 3 * 4 \u003d 24

Natija: 3 (x + y) va 3x + 3y ifodalari bir xil, 2x + y va 2xy ifodalari bir xil emas. Ta'rif: O'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun qiymatlari teng bo'lgan ikkita ifoda bir xil teng deyiladi.

Identifikatsiya 3 (x + y) va 3x + 3y tenglik x va y ning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri keladi. Bunday tengliklarga identifikatsiya deyiladi. Ta'rif: O'zgaruvchilarning har qanday qiymatiga to'g'ri keladigan tenglik identifikatsiya deb ataladi. Haqiqiy raqamli tengliklar ham hisobga olinadi. Biz allaqachon kimlik bilan uchrashdik.

Identifikatsiya bu raqamlardagi harakatlarning asosiy xususiyatlarini ifoda etadigan tenglikdir. a + b \u003d b + a ab \u003d ba (a + b) + c \u003d a + (b + c) (ab) c \u003d a (bc) a (b + c) \u003d ab + ac

Shaxsiyatning boshqa namunalarini keltirish mumkin: a + 0 \u003d a a * 1 \u003d a a + (-a) \u003d 0 a * (- b) \u003d - ab a- b \u003d a + (- b) (-a) * ( -b) \u003d ab Bitta iborani boshqasiga, unga teng ravishda almashtirish, shaxsni o'zgartirish yoki shunchaki iborani o'zgartirish deb nomlanadi.

Bunday atamalarni keltirish uchun siz ularning koeffitsientlarini qo'shishingiz va natijani harflarning umumiy qismiga ko'paytirishingiz kerak. Misol 1. 5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x shunga o'xshash atamalarni beraylik

Agar qavslar oldida ortiqcha belgisi bo'lsa, qavs ichida har bir atama belgisini qavs ichiga olgan holda qoldirilishi mumkin. 2-misol. 2a + (b -3 c) \u003d 2 a + b - 3 c ifodasida qavslarni kengaytiring

Agar qavslar oldida minus belgisi bo'lsa, qavs ichiga o'rnatilgan har bir atamaning belgisini o'zgartirish orqali qoldirilishi mumkin. Misol 3. a - (4 b - c) \u003d a - 4 b + c ifodasida qavslarni ochamiz

Uy vazifasi: 5-bet, 91, 97, 99 Darsingiz uchun tashakkur!

Mavzu bo'yicha: uslubiy ishlanmalar, taqdimotlar va eslatmalar

"Ifodalar va ifoda o'zgarishi" bo'limida talabalarni imtihonga tayyorlash metodikasi

Ushbu loyiha o'quvchilarni 9-sinfda davlat imtihoniga tayyorlash va keyinchalik 11-sinfda yagona davlat imtihoniga tayyorlash maqsadida ishlab chiqilgan.

Algebrani o'rganish jarayonida biz ko'pxolislik tushunchalariga duch keldik (masalan ($ yx $, $ \\ 2x ^ 2-2x $ va boshqalar) va algebraik kasr (masalan $ \\ frac (x + 5) (x) $, $ \\ frac (2x) ^ 2) (2x ^ 2-2x) $, $ \\ \\ frac (xy) (yx) $ va hk.) Ushbu tushunchalarning o'xshashligi shundaki, ko'pliklarda ham, algebraik kasrlarda ham o'zgaruvchilar va sonli qiymatlar mavjud, arifmetik harakatlar: qo'shish, ayirish, ko'paytirish, kuchga ko'tarish. Ushbu tushunchalar orasidagi farq shundaki, ko'pburchaklarda o'zgaruvchiga bo'linish bo'lmaydi, lekin algebraik kasrlarda o'zgaruvchiga bo'linish mumkin.

Matematikadagi ikkala polinomiya va algebraik kasrlar ratsional algebraik ifoda deyiladi. Ammo polinomiyalar butun ratsional iboralar va algebraik kasrlardir fraksiyonel ratsional iboralar.

Bir xil o'zgarishni ishlatib, kasr-ratsional ifodadan butun algebraik ifodani olishingiz mumkin, bu holda kasrning asosiy xususiyati - kasrlarning kamayishi bo'ladi. Buni amalda tekshirib ko'ramiz:

1-misol

O'zgarishlarni amalga oshiring: $ \\ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $

Qaror: Bu kasr-ratsional tenglamani kasr-qaytarilishning asosiy xossasi yordamida o'zgartirilishi mumkin, ya'ni. $ 0 $ dan boshqa raqam va ifodani bir xil son yoki ifodaga bo'lish.

Ushbu kasrni darhol bekor qilish mumkin emas, hisoblagichni o'zgartirish kerak.

Ifodani kasrning ulyatorida o'zgartiramiz, buning uchun farqning kvadratiga formuladan foydalanamiz: $ a ^ 2-2ab + b ^ 2 \u003d ((a-b)) ^ 2 $

Parcha o'xshaydi

\\ [\\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (((x-2)) ^ 2) ( x-2) \u003d \\ frac (\\ chap (x-2 \\ o'ng) (x-2)) (x-2) \\]

Endi biz hisoblagichda va maxrajda umumiy omil borligini ko'ramiz - bu $ x-2 $ ifodasi, shu bilan biz kasrni bekor qilamiz.

\\ [\\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (((x-2)) ^ 2) ( x-2) \u003d \\ frac (\\ chap (x-2 \\ o'ng) (x-2)) (x-2) \u003d x-2 \\]

Kamaytirilgandan so'ng biz $ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ fraktsiyali ratsional ifodasining $ x-2 $, ya'ni polinomga aylanganligini aniqladik. butun ratsional.

Endi $ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ va $ x-2 \\ $ ifodalari o'zgaruvchining barcha qiymatlari uchun bir xil emas deb qaralishi mumkinligiga e'tibor qaratsak. Fraktsiyaviy ratsional ifoda mavjud bo'lishi uchun va $ x-2 $ ko'pxolin bilan qisqartirish mumkin bo'lganida, kasrning qiymati $ 0 $ ga teng bo'lmasligi kerak (shuningdek, biz kamaytiradigan omil bilan. Bu misolda, denominator va omil bir-biriga to'g'ri keladi, lekin bu har doim ham shunday emas).

Algebraik kasr mavjud bo'lgan o'zgaruvchining qiymatlari o'zgaruvchining qabul qilinadigan qiymatlari deb nomlanadi.

Keling, kasrning denominatoriga shart qo'yamiz: $ x-2 ≠ 0 $, keyin $ x ≠ 2 $.

Demak, $ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ va $ x-2 $ ifodalari $ 2 $ dan tashqari o'zgaruvchining barcha qiymatlari uchun bir xil bo'ladi.

1-ta'rif

Aniq teng ifodalar o'zgaruvchining barcha qabul qilingan qiymatlari uchun teng bo'lgan qiymatlardir.

Bir xil o'zgarish - bu asl iborani unga teng ravishda har qanday almashtirish.Bu o'zgartishlar quyidagilarni o'z ichiga oladi: qo'shish, ayirish, ko'paytirish, umumiy omilni qavsdan chiqarish, algebraik kasrlarni umumiy denominatorga kamaytirish, algebraik kasrlarni kamaytirish, o'xshash atamalarni qisqartirish va boshqalar. Shuni yodda tutish kerakki, shunga o'xshash atamalarni qisqartirish, kamaytirish kabi bir qator o'zgarishlar o'zgaruvchining ruxsat etilgan qiymatlarini o'zgartirishi mumkin.

Identifikatsiyani isbotlash uchun ishlatiladigan usullar

Shaxsni chap tomonini o'ngga yoki aksincha, shaxsni o'zgartirish orqali foydalaning

Xuddi shu o'zgarishlardan foydalanib, ikkala tomonni ham bitta iboraga qisqartiring

Ifodaning bir qismidagi iboralarni boshqasiga o'tkazing va natijada farq $ 0 $ ekanligini isbotlang

Berilgan identifikatsiyani isbotlash uchun yuqoridagi usullardan qaysi biri asl identifikatorga bog'liq.

2-misol

$ ((A + b + c)) ^ 2 - 2 (ab + ac + bc) \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $ kimligini isbotlang

Qaror: Ushbu identifikatsiyani isbotlash uchun biz yuqorida ko'rsatilgan usullardan birinchisini qo'llaymiz, ya'ni biz identifikatorning chap tomonini uning o'ng tomoniga tenglashtiramiz.

Shaxsiyatning chap tomonini ko'rib chiqing: $ \\ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) $ - bu ikki polinomning farqi. Birinchi ko'paytma uchta termin yig'indisining kvadratidir va bir nechta atamalarning yig'indisini kvadratga qo'shish uchun quyidagi formuladan foydalanamiz.

\\ [((a + b + c)) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc \\]

Buning uchun sonni ko'paytirilgan ko'paytiruvchiga ko'paytirishimiz kerak.Eslatib o'tamizki, qavs ichidagi umumiy koeffitsientni qavs ichidagi ko'pburchakning har bir atamasiga ko'paytirish kerak.

$ 2 (ab + ac + bc) \u003d 2ab + 2ac + 2bc $

Endi asl polinomga qaytib, u quyidagi shaklni oladi:

$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) $

Qavslar oldida "-" belgisi bor, bu qavslar ochilganda, Qavslar ichidagi barcha belgilar aks ettirilishini anglatadi.

$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc-2ab-2ac-2bc $

Shunga o'xshash shartlarni hisobga olgan holda, biz $ 2ab $, $ 2ac $, $ \\ 2bc $ va $ -2ab $, $ - 2ac $, $ -2bc $ monomiallarning o'zaro bekor qilinganligini bilib olamiz, ya'ni. ularning yig'indisi $ 0.

$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc-2ab-2ac-2bc \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $

Shunday qilib, bir xil o'zgarish orqali biz asl identifikatorning chap tomonida bir xil ifodani oldik

$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $

E'tibor bering, natijada paydo bo'lgan ibora asl identifikatsiya to'g'ri ekanligini ko'rsatadi.

Shuni esda tutingki, asl identifikatorda o'zgaruvchining barcha qiymatlari qabul qilinishi mumkin, ya'ni biz bir xil o'zgarishlardan foydalanib identifikatsiyani isbotladik va o'zgaruvchining barcha qabul qilingan qiymatlari uchun to'g'ri keladi.