Tasodifiy miqdorning tarqalish zichligi nimaga teng. Uzluksiz tasodifiy miqdor, taqsimot funksiyasi va ehtimollik zichligi. Diskret ikki o'lchovli tasodifiy miqdor uchun ehtimollik taqsimoti qonuni

Uzluksiz s. V. taqsimlash zichligi yoki ehtimollik zichligi yoki differentsial taqsimot funktsiyasi deb ataladigan funksiya yordamida aniqlanishi mumkin.

Tarqatish zichligi uzluksiz s ning ehtimolliklari. V. X f(x) funksiya deyiladi - F(x) taqsimot funksiyasining birinchi hosilasi:

Bu ta’rifdan kelib chiqadiki, taqsimot funksiyasi taqsimot zichligiga antiderivativ hisoblanadi.

Diskret s ning ehtimollik taqsimotini tavsiflash. V. zichlik taqsimoti qo'llanilmaydi.

Tarqatish zichligining ehtimollik ma'nosi.

Shunday qilib, uzluksiz s bo'lgan ehtimollik nisbati chegarasi. V. (x, x +∆x) oralig'iga tegishli qiymatni, bu oraliq uzunligiga (∆x → 0 uchun) x nuqtadagi tarqalish zichligi qiymatiga teng qiymatni oladi.

Zichlik funksiyasi taqsimot funksiyasidagi kabi butun diapazonni emas, balki uzluksiz tasodifiy miqdorning har bir qiymatini alohida tavsiflaydi.

Uzluksiz s ga tegish ehtimoli. V. berilgan oraliqda.

Nyuton-Leybnits formulasiga ko'ra:

P(a< X  b}= F(b) – F(a),

Shunday qilib

Ma’lum zichlik funksiyasidan taqsimot funksiyasini topish.

Oldingi formulada a = -∞, b = x deb faraz qilib, x integrasiya o‘zgaruvchisini t bilan almashtirsak, bizda:

F(x) = P(X  x)=P(-∞< X  х},

shuning uchun

Tarqatish zichligi xossalari

Mulk 1. Tarqatish zichligi manfiy bo'lmagan funktsiyadir: f(x)0 (chunki integral taqsimot funksiyasi kamaymaydigan funksiya, taqsimot zichligi esa uning birinchi hosilasidir).

Mulk 2:

Isbot. Noto'g'ri integral
tasodifiy o‘zgaruvchining (-∞, ∞) intervalga tegishli qiymat olishi hodisasining ehtimolini ifodalaydi. Shubhasiz, bunday hodisa aniq, shuning uchun uning ehtimoli birga teng.

Geometrik jihatdan, bu 0x o'qi va taqsimlash egri chizig'i bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning butun maydoni birga teng ekanligini anglatadi.

IN Xususan, agar tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari (a,b) oraliqlariga tegishli bo'lsa, u holda
.

Mumkin bo'lgan taqsimot zichligi grafigi (misol)

f 1 (x) - 1-o'yinda yutuq hajmini taqsimlash zichligi

f 2 (x) - 2-o'yinda yutuq hajmini taqsimlash zichligi

Qaysi o'yin afzalroq?

Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari. .

Bu xususiyatlar tasodifiy miqdorlarning taqsimot qonunini bilmasdan ko'p muammolarni hal qilish imkonini beradi.

Tasodifiy o'zgaruvchining raqamli o'qdagi o'rni xususiyatlari.

Kutilgan qiymat bu X tasodifiy o'zgaruvchisi qiymatlarining o'rtacha og'irligi bo'lib, unga har bir x i nuqtaning abssissasi mos keladigan ehtimolga teng "og'irlik" bilan kiradi.

Matematik kutish ba'zan oddiygina r.v.ning o'rtacha qiymati deb ataladi.

Belgilash: m x yoki M [X].

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun

M [X] =

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun

Moda- bu tasodifiy o'zgaruvchining eng ehtimolli qiymati (p i ehtimolligi yoki f(x) taqsimot zichligi maksimal darajaga etgani).

Belgilanishi: 

Unimodal taqsimotlar (bitta rejimga ega), polimodal taqsimotlar (bir nechta rejimga ega) va animodal (rejim yo'q) mavjud.

unimodal

Median– bu x m tasodifiy o‘zgaruvchining qiymati bo‘lib, u uchun quyidagi tenglik amal qiladi:

P(X< х m }= P{X >x m)

Mediana f(x) bilan chegaralangan maydonni yarmiga bo'ladi

Agar tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligi simmetrik va unimodal bo'lsa, M[X],  va x m mos keladi.

M[X], , x m – tasodifiy bo'lmagan miqdorlar

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchini faqat taqsimlash funktsiyasi yordamida emas, balki ko'rsatish mumkin. Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi tushunchasini kiritamiz.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining [ intervaliga tushishi ehtimolini ko'rib chiqing. X, X + Δ X]. Bunday hodisaning ehtimoli

P(X ≤ X ≤ X + Δ X) = F(X+ Δ X) – F(X),

bular. taqsimot funksiyasining o'sishiga teng F(X) bu sohada. Keyin birlik uzunlikdagi ehtimollik, ya'ni. dan hududdagi o'rtacha ehtimollik zichligi X oldin X+ Δ X, teng

D chegarasiga o'tish X→ 0, biz nuqtadagi ehtimollik zichligini olamiz X:

taqsimot funksiyasining hosilasini ifodalaydi F(X). Buni doimiy tasodifiy o'zgaruvchi uchun eslang F(X) differensiallanuvchi funksiyadir.

Ta'rif. Ehtimollik zichligi (tarqatish zichligi ) f(x) uzluksiz tasodifiy miqdor X ning taqsimot funksiyasining hosilasidir

f(x) = F′( x).

(4.8)

Tasodifiy o'zgaruvchi haqida X zichligi bilan taqsimlanishi borligini aytishadi f(x) x o'qining ma'lum bir qismida.

Ehtimollik zichligi f(x), shuningdek, taqsimlash funktsiyasi F(x) taqsimot qonunining shakllaridan biri hisoblanadi. Ammo taqsimot funktsiyasidan farqli o'laroq, u faqat doimiy tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mavjud.

Ehtimollik zichligi ba'zan deyiladi differentsial funktsiya yoki differensial taqsimot qonuni. Ehtimollik zichligi grafigi deyiladi taqsimot egri chizig'i.

4.4-misol. 4.3-misoldagi ma’lumotlarga asoslanib, tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligini toping. X.

Yechim. Tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligini uning taqsimot funksiyasining hosilasi sifatida topamiz f(x) = F"(x).

◄

Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi xossalarini qayd qilaylik.

1. Ehtimollik zichligi manfiy bo'lmagan funktsiyadir, ya'ni.

Geometrik jihatdan oraliqda tushish ehtimoli [ α , β ,] yuqoridan taqsimlash egri chizig'i bilan chegaralangan va [ segmentiga asoslangan rasmning maydoniga teng. α , β ,] (4.4-rasm).

Guruch. 4.4-rasm. 4.5

3. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi formula bo'yicha ehtimollik zichligi bilan ifodalanishi mumkin.:

Geometrik xususiyatlar 1 Va 4 ehtimollik zichligi uning grafigi - taqsimot egri chizig'i abscissa o'qi ostida emasligini va taqsimlash egri chizig'i va abscissa o'qi bilan chegaralangan rasmning umumiy maydoni birga teng ekanligini anglatadi.

4.5-misol. Funktsiya f(x) shaklda berilgan:

Toping: a) qiymat A; b) taqsimot funksiyasining ifodasi F(X); c) tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli X oraliqda qiymat oladi.

Yechim. a) Buning uchun f(x) ba'zi tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi edi X, u salbiy bo'lmasligi kerak, shuning uchun qiymat salbiy bo'lmasligi kerak A. Mulkni hisobga olgan holda 4 topamiz:

, qayerda A = .

b) xossa yordamida taqsimot funksiyasini topamiz 3 :

Agar x≤ 0, keyin f(x) = 0 va shuning uchun F(x) = 0.

Agar 0< x≤ 2, keyin f(x) = X/2 va shuning uchun

Agar X> 2, keyin f(x) = 0 va shuning uchun

c) tasodifiy o'zgaruvchining bo'lish ehtimoli X segmentda qiymat oladi, biz uni xususiyat yordamida topamiz 2 .

Kutilgan qiymat

Dispersiya Mumkin qiymatlari butun Ox o'qiga tegishli bo'lgan doimiy X tasodifiy o'zgaruvchisi tenglik bilan aniqlanadi:

Xizmat maqsadi. Onlayn kalkulyator muammolarni hal qilish uchun mo'ljallangan tarqatish zichligi f(x) yoki taqsimlash funksiyasi F(x) (misolga qarang). Odatda bunday vazifalarda siz topishingiz kerak matematik kutish, standart og'ish, f(x) va F(x) chizma funktsiyalari.

Ko'rsatmalar. Manba ma'lumotlarining turini tanlang: tarqatish zichligi f(x) yoki tarqatish funksiyasi F(x).

Tarqatish zichligi f(x) berilgan:

F(x) taqsimot funksiyasi berilgan:

Uzluksiz tasodifiy miqdor ehtimollik zichligi bilan belgilanadi
(Rayleigh taqsimot qonuni - radiotexnikada qo'llaniladi). M(x) , D(x) ni toping.

X tasodifiy o'zgaruvchisi deyiladi davomiy , agar uning taqsimot funksiyasi F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir intervalga tushish ehtimolini hisoblash uchun ishlatiladi:
P(a< X < β)=F(β) - F(α)
Bundan tashqari, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun uning chegaralari ushbu intervalga kiritilganmi yoki yo'qligi muhim emas:
P(a< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Tarqatish zichligi uzluksiz tasodifiy miqdorga funksiya deyiladi
f(x)=F’(x) , taqsimot funksiyasining hosilasi.

Tarqatish zichligi xossalari

1. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish zichligi x ning barcha qiymatlari uchun manfiy emas (f(x) ≥ 0).
2. Normalizatsiya sharti:

Normalizatsiya shartining geometrik ma'nosi: taqsimlanish zichligi egri chizig'i ostidagi maydon birlikka teng.
3. Tasodifiy X ning a dan b gacha bo'lgan oraliqga tushish ehtimolini formula yordamida hisoblash mumkin.

Geometrik jihatdan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X ning intervalga (a, b) tushish ehtimoli ushbu intervalga asoslangan taqsimot zichligi egri chizig'i ostidagi egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng.
4. Tarqatish funksiyasi zichlik bilan quyidagicha ifodalanadi:

X nuqtadagi taqsimot zichligi qiymati bu qiymatni qabul qilish ehtimoliga teng emas; uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun biz faqat berilgan oraliqga tushish ehtimoli haqida gapirishimiz mumkin. Mayli)