Bissektrisa ta'rifi nima. Uchburchakning bissektrisasi - bu nima? Bissektrisaning ayrim xossalari

Burchakning yon tomonlaridan teng masofada joylashgan burchak ichida.

Mnemonik qoida

Bissektrisa - bu burchaklarni aylanib yuradigan va burchakni ikkiga bo'lgan kalamush.

Matnni eslab qolishni osonlashtiradi. Ko'pincha bolalar tomonidan qo'llaniladi.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Sinonimlar:

• Planimetriya atamalarining lug'ati
• Chizilgan doira

Boshqa lug'atlarda "Bissektor" nima ekanligini ko'ring:

bissektrisa- y, w. bissekrice f. matematika. Burchakning cho'qqisidan o'tuvchi va uni yarmiga bo'luvchi to'g'ri chiziq. BAS 2. Bissektrisa chizing. Vasyukova 1999. Bissektrisa - burchaklar bo'ylab yugurib, burchakni yarmiga bo'ladigan kalamush. 1994 yil. Belyanin. Lex. Brokg...... Rus tilining gallitizmlarining tarixiy lug'ati

bissektrisa- matematika, chiziq, ruscha sinonimlarning to'g'ridan-to'g'ri lug'ati. bissektrisa nomi, sinonimlar soni: 3-qator (182) ... Sinonim lug'at

BISEKTOR- (lotincha bis ikki marta va seco kesaman) burchak - bu burchakning tepasidan chiqadigan va uni yarmiga bo'luvchi yarim to'g'ri chiziq (nur) ... Katta ensiklopedik lug'at

BISEKTOR- [ise], bissektrisalar, ayol. (lot. bissectrix sekant boʻylab) (mat.). 1. Burchakda burchakni yarmiga bo'luvchi to'g'ri chiziq mavjud. 2. Uchburchakda qaysidir burchakdan qarama-qarshi tomonga o'tkazilgan va bu tomonni qismlarga ajratuvchi to'g'ri chiziq ... ... Ushakovning izohli lug'ati

BISEKTOR- BISEXECTRISE, s, ayol. Matematikada: burchak tepasidan chiqadigan va uni yarmiga bo'luvchi nur (3 ta raqamda). Ozhegovning tushuntirish lug'ati. S.I. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949-1992… Ozhegovning izohli lug'ati

bissektrisa- BISEXTER, s, f. Maktabda matematika o'qituvchisi. Maktabdan... Rus argot lug'ati

bissektrisa- - [A.S.Goldberg. Inglizcha-ruscha energiya lug'ati. 2006] Umumiy energiya mavzulari EN o'rtacha chiziq ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

BISEKTOR- burchakning yuqori qismidan chiqadigan va uni yarmiga bo'ladigan nur; har qanday nuqta B. burchak tomonlaridan bir xil masofada joylashgan. Uchburchakning uchta B. burchagi uchburchak ichiga chizilgan aylananing markazida bir nuqtada kesishadi... Katta politexnika entsiklopediyasi

bissektrisa- (fransuzcha bissectrice lat. bis sectrix (bissectricis) ikkiga kesish) geom. burchakning uchidan oʻtuvchi va uni yarmiga boʻluvchi nur. Chet so'zlarning yangi lug'ati. Edvart tomonidan, 2009. bissektrisa [ise], bissektrisa, w. [lotin tilidan. bissektrix -…… Rus tilidagi xorijiy so'zlar lug'ati

bissektrisa- s; va. [frantsuz lat dan bissekrice. bis ikki marta va secare dissect] Mat. Burchakning tepasidan chiqadigan va uni yarmiga bo'lgan nur. * * * burchakning bissektrisasi (lotincha bis ikki marta va seco men kesaman) burchak cho‘qqisidan chiqadigan va uni bo‘luvchi yarim chiziq (nur)... ensiklopedik lug'at

Kitoblar

• Bissektrisa shunday kalamush..., Natalya Tsitronova. Yozuvchining birinchi kitobi to‘qsoninchi yillar haqidagi hikoya va ocherklardan iborat... Oson, hazil bilan, qonli va jinsiy sahnalarsiz yozilgan...

Uchburchakning bissektrisasi uchburchakning burchagini ikkita teng burchakka ajratuvchi segmentdir. Misol uchun, agar uchburchakning burchagi 120 0 bo'lsa, bissektrisa chizib, har biri 60 0 bo'lgan ikkita burchakni quramiz.

Va uchburchakda uchta burchak borligi sababli, uchta bissektrisa chizish mumkin. Ularning barchasida bitta chegara nuqtasi bor. Bu nuqta uchburchak ichiga chizilgan aylananing markazidir. Boshqacha qilib aytganda, bu kesishish nuqtasi uchburchakning markazi deb ataladi.

Ichki va tashqi burchakning ikkita bissektrisalari kesishganda 90 0 burchak olinadi. Uchburchakning tashqi burchagi - bu uchburchakning ichki burchagiga qo'shni burchak.

Guruch. 1. 3 ta bissektrisadan iborat uchburchak

Bissektrisa qarama-qarshi tomonni tomonlar bilan bog'langan ikkita segmentga ajratadi:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Bissektrisa nuqtalari burchakning yon tomonlaridan bir xil masofada joylashgan, ya'ni ular burchak tomonlaridan bir xil masofada joylashgan. Ya'ni, agar biz bissektrisaning istalgan nuqtasidan uchburchak burchagining har bir tomoniga perpendikulyarlarni tushirsak, u holda bu perpendikulyarlar teng bo'ladi.

Agar bitta cho'qqidan mediana, bissektrisa va balandlik chizilsa, mediana eng uzun segment, balandligi esa eng qisqa bo'ladi.

Bissektrisaning ayrim xossalari

Uchburchaklarning ayrim turlarida bissektrisa maxsus xususiyatlarga ega. Bu birinchi navbatda teng yonli uchburchak uchun amal qiladi. Bu raqamning ikkita bir xil tomoni bor, uchinchisi esa asos deb ataladi.

Agar teng yon burchakli uchburchakning uchidan asosiga bissektrisa chizilsa, u ham balandlik, ham mediana xossalariga ega bo‘ladi. Shunga ko'ra, bissektrisa uzunligi mediana va balandlikning uzunligiga to'g'ri keladi.

Ta'riflar:

• Balandligi- uchburchakning cho'qqisidan qarama-qarshi tomoniga chizilgan perpendikulyar.
• Median- uchburchakning uchini va qarama-qarshi tomonning o'rtasini bog'laydigan segment.

Guruch. 2. Teng yonli uchburchakdagi bissektrisa

Bu teng tomonli uchburchak, ya'ni uch tomoni teng bo'lgan uchburchak uchun ham amal qiladi.

Misol topshiriq

ABC uchburchakda: BR bissektrisa, AB = 6 sm, BC = 4 sm va RC = 2 sm.Uchinchi tomonning uzunligini olib tashlang.

Guruch. 3. Uchburchakdagi bissektrisa

Yechim:

Bissektrisa uchburchak tomonini ma'lum nisbatda ajratadi. Keling, ushbu nisbatdan foydalanamiz va ARni ifodalaymiz. Keyin uchinchi tomonning uzunligini bu tomon bissektrisa bilan bo'lingan segmentlar yig'indisi sifatida topamiz.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 sm$

Keyin butun segment AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 sm.

Teng yonli uchburchakda asosga chizilgan bissektrisa uchburchakni ikkita teng to‘g‘ri burchakli uchburchakka ajratadi.

Biz nimani o'rgandik?

Bissektrisa mavzusini o'rganib chiqib, u burchakni ikkita teng burchakka bo'lishini bilib oldik. Va agar siz uni asosga teng yonli yoki teng qirrali uchburchakda chizsangiz, u bir vaqtning o'zida medianalar va balandliklarning xususiyatlariga ega bo'ladi.

Mavzu bo'yicha test

Maqola reytingi

O'rtacha reyting: 4.2. Qabul qilingan umumiy baholar: 157.

Uchburchak burchagining bissektrisasi nimaga teng? Bu savolga mashhur kalamush burchaklarni aylanib yurib, burchakni ikkiga bo'lish bilan ba'zilarning og'zidan chiqadi". Agar javob "hazil" bo'lishi kerak bo'lsa, unda bu to'g'ridir. Ammo ilmiy nuqtai nazardan. nuqtai nazarga ko'ra, bu savolga javob bo'lishi kerak: shunga o'xshash narsa: burchakning tepasidan boshlab, ikkinchisini ikkita teng qismga bo'lish. Geometriyada bu raqam uchburchakning qarama-qarshi tomoni bilan kesishmaguncha bissektrisa segmenti sifatida ham qabul qilinadi. Bu noto'g'ri tushuncha emas. Burchakning bissektori haqida uning ta'rifidan tashqari yana nima ma'lum?

Nuqtalarning har qanday geometrik joylashuvi singari, u ham o'ziga xos xususiyatlarga ega. Ulardan birinchisi, toʻgʻrirogʻi, hatto belgi emas, balki teorema boʻlib, uni qisqacha quyidagicha ifodalash mumkin: “Agar unga qarama-qarshi tomon bissektrisa bilan ikki qismga boʻlingan boʻlsa, ularning nisbati teng boʻladi. katta uchburchakning tomonlari."

Unga ega bo'lgan ikkinchi xususiyat: barcha burchaklarning bissektrisalarining kesishish nuqtasi markaz deyiladi.

Uchinchi belgi: uchburchakning bir ichki va ikkita tashqi burchaklarining bissektrisalari chizilgan uchta doiradan birining markazida kesishadi.

Uchburchak burchak bissektrisasining to'rtinchi xususiyati shundan iboratki, agar har biri teng bo'lsa, ikkinchisi teng yon tomonli bo'ladi.

Beshinchi belgi, shuningdek, teng yonli uchburchakka ham tegishli va uni bissektrisalar bo'yicha chizishda tanib olish uchun asosiy ko'rsatma hisoblanadi, ya'ni: teng yonli uchburchakda u bir vaqtning o'zida mediana va balandlik bo'lib xizmat qiladi.

Burchak bissektrisasini kompas va o'lchagich yordamida qurish mumkin:

Oltinchi qoidada aytilishicha, faqat mavjud bissektrisalar yordamida ikkinchisidan foydalanib uchburchak qurish mumkin emas, xuddi bu tarzda kubni ikki barobarga oshirish, aylananing kvadrati va burchak trisektsiyasini qurish mumkin emas. To'g'ri aytganda, bularning barchasi uchburchak burchak bissektrisasining xususiyatlari.

Agar siz avvalgi xatboshini diqqat bilan o'qib chiqsangiz, ehtimol sizni bitta ibora qiziqtirgandir. "Burchakning trisektsiyasi nima?" — deb soʻrarsiz, ehtimol. Trisektor bissektrisaga biroz o'xshaydi, lekin agar siz ikkinchisini chizsangiz, burchak ikkita teng qismga bo'linadi va trisektsiyani qurishda u uchga bo'linadi. Tabiiyki, burchakning bissektrisasini eslab qolish osonroq, chunki trisektsiya maktabda o'qitilmaydi. Ammo to'liqlik uchun men sizga bu haqda ham aytib beraman.

Yuqorida aytib o'tganimdek, trisektorni faqat kompas va o'lchagich yordamida qurish mumkin emas, lekin uni Fujita qoidalari va ba'zi egri chiziqlar yordamida yaratish mumkin: Paskal salyangozlari, kvadratrixlar, Nikomed konkoidlari, konus kesimlari,

Burchakning trisektsiyasi bilan bog'liq muammolar nevsis yordamida juda oddiy hal qilinadi.

Geometriyada burchak trisektorlari haqida bir teorema mavjud. U Morli teoremasi deb ataladi. Uning ta'kidlashicha, o'rtada joylashgan har bir burchak trisektorlarining kesishish nuqtalari uchlari bo'ladi.

Katta uchburchak ichidagi kichik qora uchburchak har doim teng tomonli bo'ladi. Bu teorema 1904 yilda ingliz olimi Frenk Morli tomonidan kashf etilgan.

Burchakni bo'lish haqida qancha ma'lumotga ega bo'lishingiz mumkin: burchakning trisektori va bissektrisasi har doim batafsil tushuntirishlarni talab qiladi. Ammo bu erda men hali oshkor qilmagan ko'plab ta'riflar berildi: Paskal salyangozi, Nikomedning konxoidi va boshqalar. Ishonchim komilki, ular haqida yozish uchun ko'p narsa bor.

Bugun juda oson dars bo'ladi. Biz faqat bitta ob'ektni - burchak bissektrisasini ko'rib chiqamiz va uning kelajakda biz uchun juda foydali bo'lgan eng muhim xususiyatini isbotlaymiz.

Faqat tinchlanmang: ba'zida bir xil Davlat imtihonida yoki Yagona davlat imtihonida yuqori ball olishni istagan talabalar birinchi darsda bissektrisa ta'rifini ham aniq shakllantira olmaydi.

Va haqiqatan ham qiziqarli vazifalarni bajarish o'rniga, biz bunday oddiy narsalarga vaqt sarflaymiz. Shunday qilib, o'qing, tomosha qiling va qabul qiling. :)

Boshlash uchun biroz g'alati savol: burchak nima? To'g'ri: burchak - bu bir xil nuqtadan chiqadigan ikkita nur. Masalan:

Burchaklarga misollar: o'tkir, o'tkir va to'g'ri

Rasmdan ko'rinib turibdiki, burchaklar o'tkir, o'tkir, to'g'ri bo'lishi mumkin - bu hozir muhim emas. Ko'pincha, qulaylik uchun har bir nurda qo'shimcha nuqta belgilanadi va ular bizning oldimizda $ AOB $ ($\ burchak AOB $ deb yozilgan) burchak ekanligini aytishadi.

Kapitan Obviousness $OA$ va $OB$ nurlaridan tashqari, har doim $O$ nuqtasidan yana bir qancha nurlarni chizish mumkinligiga ishora qilayotgandek tuyuladi. Ammo ular orasida bitta o'ziga xos narsa bo'ladi - u bissektrisa deb ataladi.

Ta'rif. Burchakning bissektrisasi - bu burchakning tepasidan chiqadigan va burchakni ikkiga bo'lgan nur.

Yuqoridagi burchaklar uchun bissektrisalar quyidagicha ko'rinadi:

O'tkir, o'tkir va to'g'ri burchaklar uchun bissektrisalarga misollar

Haqiqiy chizmalarda ma'lum bir nur (bizning holatda bu $OM$ nuri) asl burchakni ikkita tengga bo'lishi har doim ham aniq emasligi sababli, geometriyada bir xil miqdordagi yoylar bilan teng burchaklarni belgilash odatiy holdir ( bizning chizamizda bu o'tkir burchak uchun 1 ta yoy, o'tkir burchak uchun ikkita, to'g'ri uchun uchta).

OK, biz ta'rifni ajratdik. Endi bissektrisa qanday xususiyatlarga ega ekanligini tushunishingiz kerak.

Burchak bissektrisasining asosiy xossasi

Aslida, bissektrisa juda ko'p xususiyatlarga ega. Va biz ularni keyingi darsda albatta ko'rib chiqamiz. Ammo hozir tushunishingiz kerak bo'lgan bitta hiyla bor:

Teorema. Burchakning bissektrisasi - berilgan burchak tomonlaridan teng masofada joylashgan nuqtalarning joylashuvi.

Matematikdan rus tiliga tarjima qilinganda, bu bir vaqtning o'zida ikkita faktni anglatadi:

1. Muayyan burchakning bissektrisasida yotgan har qanday nuqta bu burchakning yon tomonlaridan bir xil masofada joylashgan.
2. Va aksincha: agar nuqta berilgan burchakning yon tomonlaridan bir xil masofada joylashgan bo'lsa, u holda bu burchakning bissektrisasida yotishi kafolatlanadi.

Bu gaplarni isbotlashdan oldin bir nuqtaga oydinlik kiritaylik: nuqtadan burchak tomonigacha bo'lgan masofa aynan nima deyiladi? Bu erda nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani yaxshi aniqlash bizga yordam beradi:

Ta'rif. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa - berilgan nuqtadan ushbu chiziqqa o'tkazilgan perpendikulyar uzunligi.

Misol uchun, $l$ chizig'ini va bu to'g'rida yotmaydigan $A$ nuqtasini ko'rib chiqing. $AH$ ga perpendikulyar chizamiz, bu yerda $H\ in l$. U holda bu perpendikulyarning uzunligi $A$ nuqtadan $l$ to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa bo'ladi.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofaning grafik tasviri

Burchak oddiygina ikkita nur bo'lgani uchun va har bir nur to'g'ri chiziqning bir qismi bo'lganligi sababli, nuqtadan burchakning tomonlarigacha bo'lgan masofani aniqlash oson. Bu faqat ikkita perpendikulyar:

Nuqtadan burchakning yon tomonlarigacha bo'lgan masofani aniqlang

Ana xolos! Endi biz masofa nima ekanligini va bissektrisa nima ekanligini bilamiz. Shunday qilib, biz asosiy mulkni isbotlashimiz mumkin.

Va'da qilinganidek, biz dalilni ikki qismga ajratamiz:

1. Bissektrisadagi nuqtadan burchakning yon tomonlarigacha bo'lgan masofalar bir xil

Cho'qqisi $O$ va bissektrisa $OM$ bo'lgan ixtiyoriy burchakni ko'rib chiqing:

Aynan shu $M$ nuqta burchak tomonlaridan bir xil masofada joylashganligini isbotlaylik.

Isbot. $M$ nuqtadan burchak tomonlariga perpendikulyar o'tkazamiz. Keling, ularni $M((H)_(1))$ va $M((H)_(2))$ deb ataymiz:

Burchakning yon tomonlariga perpendikulyarlarni chizing

Biz ikkita to'g'ri burchakli uchburchak oldik: $\vartriangle OM((H)_(1))$ va $\vartriangle OM((H)_(2))$. Ular umumiy gipotenuza $OM$ va teng burchaklarga ega:

1. $\burchak MO((H)_(1))=\burchak MO((H)_(2))$ shart boʻyicha (chunki $OM$ bissektrisa);
2. $\angle M((H)_(1))O=\burchak M((H)_(2))O=90()^\circ $ qurilishi boʻyicha;
3. $\burchak OM((H)_(1))=\burchak OM((H)_(2))=90()^\circ -\burchak MO((H)_(1))$, chunki yig'indisi To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklari har doim 90 daraja.

Shunday qilib, uchburchaklar yon va ikkita qo'shni burchakda tengdir (uchburchaklarning tenglik belgilariga qarang). Shuning uchun, xususan, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, yaʼni. $O$ nuqtadan burchak tomonlarigacha bo'lgan masofalar haqiqatda tengdir. Q.E.D. :)

2. Agar masofalar teng bo'lsa, u holda nuqta bissektrisada yotadi

Endi vaziyat teskari. $O$ burchak va shu burchak tomonlaridan teng masofada $M$ nuqta berilsin:

$OM$ nurining bissektrisa ekanligini isbotlaylik, ya'ni. $\burchak MO((H)_(1))=\burchak MO((H)_(2))$.

Isbot. Birinchidan, keling, $OM$ nurini chizamiz, aks holda isbotlash uchun hech narsa bo'lmaydi:

Burchak ichida $OM$ nur o'tkazdi

Yana ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni olamiz: $\vartriangle OM((H)_(1))$ va $\vartriangle OM((H)_(2))$. Shubhasiz, ular teng, chunki:

1. Gipotenuza $OM$ - umumiy;
2. Oyoqlar $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ shart boʻyicha (axir, $M$ nuqta burchak tomonlaridan teng masofada joylashgan);
3. Qolgan oyoqlari ham teng, chunki Pifagor teoremasi bo'yicha $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Demak, uch tomondan $\vartriangle OM((H)_(1))$ va $\vartriangle OM((H)_(2))$ uchburchaklar. Xususan, ularning burchaklari teng: $\angle MO((H)_(1))=\burchak MO((H)_(2))$. Va bu shunchaki $OM$ bissektrisa ekanligini anglatadi.

Dalilni yakunlash uchun biz hosil bo'lgan teng burchaklarni qizil yoylar bilan belgilaymiz:

Bissektrisa $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ burchakni ikkita teng burchakka ajratadi.

Ko'rib turganingizdek, hech qanday murakkab narsa yo'q. Biz burchakning bissektrisasi bu burchak tomonlariga teng masofada joylashgan nuqtalar joylashuvi ekanligini isbotladik. :)

Endi biz terminologiya haqida ko'proq yoki kamroq qaror qildik, keyingi bosqichga o'tish vaqti keldi. Keyingi darsda biz bissektrisaning murakkabroq xossalarini ko'rib chiqamiz va ularni haqiqiy masalalarni yechishda qo'llashni o'rganamiz.

"Bissektrisa" so'zi frantsuz tilidan "ikkiga bo'lish" deb tarjima qilingan. Burchakning bissektrisasi "teng bo'linuvchi" burchakdir, ya'ni. burchakni ikkiga bo'lish.

Burchak bissektrisasi - yon tomonlari orasidagi burchakning tepasidan chizilgan va burchakni yarmiga bo'lgan nur.

Burchakning bissektrisasini burchakning gradus o'lchovi yordamida transportyor yordamida qurish mumkin. Buning uchun berilgan burchakning gradus o'lchovi yarmiga bo'linadi va yarim burchakning daraja o'lchovi cho'qqining bir tomoniga yotqiziladi. Bunday burchakning ikkinchi tomoni berilgan burchakning bissektrisasi bo'ladi.

Agar berilgan burchakning daraja o'lchovi 60 ° bo'lsa, bissektrisa yordamida tuzilgan ikkita burchakning har biri 30 ° ga teng, chunki 60 °: 2 = 30 °.

To'g'ri burchak bissektrisa bilan ikkita to'g'ri burchakka (180°:2=90°) bo'linadi, har qanday o'tmas burchak bissektrisa bilan ikkita o'tkir burchakka bo'linadi.

Sirkul va chizg‘ich yordamida burchak bissektrisasini qurish

Burchakning bissektrisasini faqat sirkul va o'lchagich yordamida o'tkazgichsiz qurish uchun quyidagi amallarni bajarish kerak (yuqoridagi rasmga qarang).

• Har qanday radiusli burchakning tepasidan aylana yoyini burchak tomonlarini kesib o'tadigan qilib chizish kerak.
• Yoy va burchakning kesishgan joyining har bir nuqtasidan (ikkitasi bor) yana aylananing ruhini (boshqa radius bilan) torting.
• Qo'shimcha ravishda qurilgan doiralar yoylarining kesishish nuqtalarining istalgan nuqtasi orqali burchakning cho'qqisidan bu burchakning bissektrisasi bo'ladigan nurni torting.

Uchburchakning burchak bissektrisasi

Uchburchakning burchak bissektrisasi burchak uchidan uning qarama-qarshi tomoni bilan kesishishigacha chizilgan burchak bissektrisasining segmenti.

Uchburchakning uchta bissektrisasi bor, uning har bir uchidan chizilgan.

Uchburchak burchagi bissektrisasi alohida maqolada tasvirlangan juda ko'p maxsus xususiyatlarga ega.