Funktsiya grafigida nechta asimptota bo'lishi mumkin? Funksiya grafigining asimptotalarini toping
- Asimptotalar haqida tushuncha
Funksiyalarning grafiklarini tuzishdagi muhim bosqichlardan biri asimptotalarni qidirishdir. Biz asimptotlar bilan bir necha marta uchrashdik: funktsiyalarni chizishda, y=tgx, y=ctgx. Biz ularni funktsiya grafigi "moyillik" qiladigan, lekin hech qachon kesib o'tmaydigan chiziqlar sifatida aniqladik. Asimptotalarning aniq ta'rifini berish vaqti keldi.
Asimptotalarning uch turi mavjud: vertikal, gorizontal va qiya. Chizmada asimptotlar odatda nuqtali chiziqlar bilan belgilanadi.
Quyidagi sun'iy chizilgan funksiya grafigini ko'rib chiqaylik (16.1-rasm), uning misolida barcha turdagi asimptotalar aniq ko'rinadi:
Biz har bir asimptota turiga ta'rif beramiz:
1. To'g'ridan-to'g'ri x=a chaqirdi vertikal asimptota funktsiyalari, agar.
2. To'g'ridan-to'g'ri y=s chaqirdi gorizontal asimptota funktsiyalari, agar.
3. To'g'ridan-to'g'ri y=kx+b chaqirdi qiya asimptota funktsiyalari, agar.
Geometrik nuqtai nazardan, qiya asimptotaning ta'rifi →∞ funksiya grafigi ixtiyoriy ravishda yaqin to'g'ri chiziqqa yaqinlashishini anglatadi. y=kx+b, ya'ni. ular amalda bir xil. Deyarli bir xil iboralarning farqi nolga intiladi.
E'tibor bering, gorizontal va qiya asimptotlar faqat →∞ shartida ko'rib chiqiladi. Ba'zan ular →+∞ va →-∞ kabi gorizontal va qiya asimptotalarga ajratiladi.
- Asimptotlarni qidirish algoritmi
Asimptotlarni topish uchun quyidagi algoritmdan foydalanish mumkin:
Bitta vertikal asimptota bo'lishi mumkin, bir nechta yoki umuman bo'lmasligi mumkin.
- Agar c raqam bo'lsa, u holda y=s gorizontal asimptota;
- Agar c cheksizlik bo'lsa, u holda gorizontal asimptotlar yo'q.
Agar funktsiya ikki polinomning nisbati bo'lsa, u holda funksiya gorizontal asimptotalarga ega bo'lsa, biz qiya asimptotalarni qidirmaymiz - ular mavjud emas.
Funktsiyaning asimptotalarini topish misollarini ko'rib chiqing:
16.1-misol. Egri chiziqning asimptotalarini toping.
Yechim X-1≠0; X≠1.
Keling, chiziq bor yoki yo'qligini tekshiramiz x= 1 vertikal asimptota. Buning uchun funksiyaning nuqtadagi chegarasini hisoblaymiz x= 1: .
x= 1 - vertikal asimptota.
Bilan= .
Bilan= =. Chunki Bilan=2 (raqam), keyin y=2 gorizontal asimptotadir.
Funktsiya polinomlarning nisbati bo'lganligi sababli, gorizontal asimptotlar mavjud bo'lganda, biz hech qanday qiya asimptotlar yo'qligini tasdiqlaymiz.
x= 1 va gorizontal asimptota y=2. Aniqlik uchun ushbu funktsiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 16.2.
16.2-misol. Egri chiziqning asimptotalarini toping.
Yechim. 1. Funktsiya sohasini toping: X-2≠0; X≠2.
Keling, chiziq bor yoki yo'qligini tekshiramiz x= 2 vertikal asimptota. Buning uchun funksiyaning nuqtadagi chegarasini hisoblaymiz x= 2: .
Biz buni oldik, shuning uchun x= 2 - vertikal asimptota.
2. Gorizontal asimptotalarni qidirish uchun biz quyidagilarni topamiz: Bilan= .
Limitda noaniqlik mavjudligi sababli biz L'Hopital qoidasidan foydalanamiz: Bilan= =. Chunki Bilan cheksizlik bo'lsa, u holda gorizontal asimptotlar bo'lmaydi.
3. Qiya asimptotalarni qidirish uchun biz quyidagilarni topamiz:
Biz shaklning noaniqligini oldik, biz L'Hopital qoidasidan foydalanamiz: = =1. b formula bo'yicha: .
b= = =
Tushundim b= 2. Keyin y=kx+b - qiya asimptota. Bizning holatlarimizda u quyidagicha ko'rinadi: y=x+2.
|
Nazorat savollari:
17-ma'ruza
Ushbu ma'ruzada biz ilgari o'rganilgan barcha materiallarni umumlashtiramiz. Bizning uzoq sayohatimizning yakuniy maqsadi har qanday analitik berilgan funktsiyani tekshirish va uning grafigini qurishdir. Ekstrema uchun funktsiyani o'rganish, grafikning monotonlik, qavariq va konkavlik oraliqlarini aniqlash, burilish nuqtalarini, funktsiya grafigining asimptotalarini izlash tadqiqotimizning muhim qismlari bo'ladi.
Yuqoridagi barcha jihatlarni hisobga olgan holda, biz taqdim etamiz funktsiyani o'rganish sxemasi va chizmasi .
1. Funksiya sohasini toping.
2. Juft-toq uchun funksiyani o‘rganing:
bo'lsa, u holda funksiya juft bo'ladi (juft funktsiyaning grafigi o'qga nisbatan simmetrikdir OU);
bo'lsa, u holda funksiya toq bo'ladi (toq funktsiyaning grafigi boshiga nisbatan simmetrik);
Aks holda, funksiya juft ham, toq ham emas.
3. Funksiyani davriylik uchun o‘rganing (biz o‘rganayotgan funksiyalar ichida faqat trigonometrik funksiyalar davriy bo‘lishi mumkin).
4. Funksiya grafigining koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini toping:
· Oh: da=0 (biz o'zimizga ma'lum bo'lgan usullardan foydalana olsak, tenglamani yechamiz);
· OU: X=0.
5. Funksiyaning birinchi hosilasi va birinchi turdagi kritik nuqtalarni toping.
6. Funksiyaning monotonlik intervallari va ekstremallarini toping.
7. Funksiyaning ikkinchi hosilasi va ikkinchi turdagi kritik nuqtalarni toping.
8. Funksiya grafigining qavariqlik-qavariqlik oraliqlarini va burilish nuqtalarini toping.
9. Funksiya grafigining asimptotalarini toping.
10. Funksiyaning grafigini tuzing. Qurilayotganda, o'ylab ko'ring grafikning asimptotlar yaqinida joylashishi mumkin bo'lgan holatlar :
11. Agar kerak bo'lsa, aniqroq qurilish uchun nazorat nuqtalarini tanlang.
Muayyan misollar yordamida funktsiyani o'rganish va uning grafigini tuzish sxemasini ko'rib chiqing:
17.1-misol. Funktsiyani chizing.
Yechim. 1. Bu funksiya dan tashqari butun son qatorida aniqlanadi X=3, chunki bu vaqtda maxraj nolga tushadi.
2. Funksiyaning juft va toqligini aniqlash uchun quyidagilar topiladi:
Biz buni ko'ramiz va shuning uchun funktsiya juft ham, toq ham emas.
3. Funksiya davriy emas.
4. Koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini toping. O'q bilan kesishish nuqtasini topish uchun Oh qabul qilish da=0. Biz tenglamani olamiz: . Demak, (0; 0) nuqta koordinata o’qlari bilan kesishgan nuqtadir.
5. Kasrni differentsiallash qoidasiga ko ra funksiyaning hosilasini toping: = = = = .
Kritik nuqtalarni topish uchun funktsiyaning hosilasi 0 ga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalarni topamiz.
Agar =0 bo'lsa, demak, . Faktorlardan kamida bittasi 0 bo'lsa, mahsulot 0 bo'ladi: yoki .
X-3) 2 0 ga teng, ya'ni. da mavjud emas X=3.
Demak, funksiya birinchi turdagi uchta kritik nuqtaga ega: ; ; .
6. Haqiqiy o'qda biz birinchi turdagi tanqidiy nuqtalarni belgilaymiz va nuqtani teshilgan nuqta bilan belgilaymiz, chunki u funktsiyani belgilamaydi.
Har bir oraliqda hosila = belgilarini joylashtiring:
|
|
oraliqlarda asl funktsiya ortadi (-∞;0] da), bu erda - kamayadi (da).
Nuqta X=0 - funksiyaning maksimal nuqtasi. Funksiyaning maksimalini topish uchun funksiyaning 0 nuqtadagi qiymatini topamiz: .
Nuqta X=6 - funktsiyaning minimal nuqtasi. Funksiyaning minimumini topish uchun funksiyaning 6-nuqtadagi qiymatini topamiz: .
Tadqiqot natijalarini jadvalga kiritish mumkin. Jadvaldagi qatorlar soni qat'iy va to'rtga teng, ustunlar soni esa o'rganilayotgan funktsiyaga bog'liq. Birinchi qatorning kataklarida kritik nuqtalar funksiya ta'rifi sohasini bo'ladigan intervallar, shu jumladan kritik nuqtalarning o'zlari ketma-ket kiritiladi. Aniqlash sohasiga tegishli bo'lmagan nuqtalarni qurishda xatolikka yo'l qo'ymaslik uchun ularni jadvalga kiritmaslik mumkin.
Jadvalning ikkinchi qatorida ko'rib chiqilayotgan intervallarning har biri bo'yicha hosilaning belgilari va kritik nuqtalarda hosilaning qiymati mavjud. Funksiya hosilasining belgilariga muvofiq uchinchi qatorda funksiyaning ortish, kamayish va ekstremal oraliqlari belgilanadi.
Oxirgi satr funksiyaning maksimal va minimumini belgilash uchun ishlatiladi.
| X | (-∞;0) | (0;3) | (3;6) | (6;+ ∞) | |||
| + | - | - | + | ||||
| f(x) | |||||||
| xulosalar | maks | min |
7. Birinchi hosilaning hosilasi sifatida funksiyaning ikkinchi hosilasini toping: = =
Numeratorda chiqarib oling X-3 qavslar tashqarisida va qisqartirishni bajaring:
Numerator kabi atamalarni keltiramiz: .
Ikkinchi turdagi kritik nuqtalarni topamiz: funktsiyaning ikkinchi hosilasi nolga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar.
0, agar =0. Bu kasr nolga teng bo'lishi mumkin emas, shuning uchun funktsiyaning ikkinchi hosilasi nolga teng bo'lgan nuqtalar yo'q.
Agar maxraj ( bo'lsa) mavjud emas X-3) 3 - 0, ya'ni. da mavjud emas X=3. :Oh, OU, kelib chiqishi, har bir o'q uchun o'lchov birliklari.
Funktsiyani chizishdan oldin siz quyidagilarni bajarishingiz kerak:
nuqtali chiziqlar bilan asimptotalarni chizish;
koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini belgilang;
|
· Olingan ma'lumotlardan o'sish, pasayish, qavariqlik va bo'g'inlik oraliqlari bo'yicha funksiya grafigini tuzing. Grafik shoxlari asimptotalarga "moyil" bo'lishi kerak, lekin ularni kesib o'tmasligi kerak.
Funksiya grafigining o'rganishga mos kelishini tekshiring: agar funksiya juft yoki toq bo'lsa, u holda simmetriya kuzatiladimi; nazariy jihatdan topilgan ortish va pasayish intervallari, qavariq va botiqlik, burilish nuqtalari.
11. Aniqroq qurilish uchun siz bir nechta nazorat nuqtalarini tanlashingiz mumkin. Masalan, -2 va 7 nuqtalardagi funktsiya qiymatlarini topamiz:
Grafikni nazorat nuqtalarini hisobga olgan holda tuzatamiz.
Nazorat savollari:
- Funksiya grafigini tuzish algoritmi qanday?
- Funktsiya aniqlanish sohasiga tegishli bo'lmagan nuqtalarda ekstremumga ega bo'lishi mumkinmi?
3-BOB. 3. FUNKSIYANING INTEGRAL HISOBI
- (yunon tilidan salbiy qism va simptomlar bir-biriga to'g'ri keladi). Doimiy ravishda egri chiziqqa yaqinlashadigan va uni faqat cheksizlikda uchratgan to'g'ri chiziq. Rus tiliga kiritilgan xorijiy so'zlarning lug'ati. Chudinov A.N., 1910. ASYMPTOE from ... ... Rus tilidagi xorijiy so'zlar lug'ati
ASİMPTOTA- (yunoncha asymptotos tasodifiy bo'lmagan) to'g'ri chiziq, unga egri chiziqning cheksiz novdasi cheksiz yaqinlashadi, masalan, giperbolaning asimptotasi ... Zamonaviy entsiklopediya
ASİMPTOTA- (yunoncha asymptotos nomuvofiq) cheksiz novdali egri chiziq bu novda cheksiz yaqinlashadigan to'g'ri chiziqdir, masalan, giperbolaning asimptotasi ... Katta ensiklopedik lug'at
asimptota- asta-sekin egri chiziq bilan yaqinlashadigan to'g'ri chiziq. asimptota Ba'zi funksiyalarning cheksiz tarmog'iga ega bo'lgan egri chiziqqa yaqinlashadigan (uga hech qachon etib bormaydigan) to'g'ri chiziq, uning argumenti cheksiz yoki ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma
Asimptot- (yunoncha asymptotos mos kelmaydigan) to'g'ri chiziq, unga cheksiz novdasi cheksiz yaqinlashadi, masalan, giperbolaning asimptotasi. … Illustrated entsiklopedik lug'at
ASİMPTOTA- ayol, geom. to'g'ri chiziq, har doim egri chiziqqa (giperbola) yaqinlashadi, lekin u bilan hech qachon yaqinlashmaydi. Buni tushuntirish uchun bir misol: agar biron bir raqam yarmiga bo'lingan bo'lsa, u cheksizlikka kamayadi, lekin hech qachon nolga aylanmaydi. ... ... Dahlning tushuntirish lug'ati
asimptota- ot, sinonimlar soni: 1 qator (182) ASIS sinonim lug'ati. V.N. Trishin. 2013 yil ... Sinonim lug'at
Asimptot- (yunoncha so'zlardan: a, quyosh, piptw) mos kelmaydi. Asimptota deganda shunday chiziq tushuniladiki, u cheksiz davom etib, berilgan egri chiziqqa yoki uning bir qismiga yaqinlashadi, shunda umumiy chiziqlar orasidagi masofa kamroq bo'ladi ... ...
Asimptot Sirt - bu sirtni cheksizlikda kamida ikki nuqtada kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq ... Brokxaus va Efron entsiklopediyasi
ASİMPTOTA- (asimptota) Argument (argument) o'zgarganda, bu funktsiya moyil bo'lgan qiymat, lekin argumentning yakuniy qiymati bilan unga etib bormaydi. Misol uchun, agar x mahsulotining umumiy qiymati TC=a+bx funksiyasi bilan berilgan bo'lsa, bu erda a va b doimiy ... Iqtisodiy lug'at
Asimptot- argumenti noaniq ravishda ortib yoki kamayganda, qandaydir funktsiyaning egri chizig'ining cheksiz tarmog'iga ega bo'lgan to'g'ri chiziq. Masalan, funksiyada: y = c + 1/x, y qiymati ... bilan yaqinlashadi. Iqtisodiy va matematik lug'at
Funktsiya grafigida nechta asimptota bo'lishi mumkin?
Hech, bir, ikki, uch... yoki cheksiz son. Misollar uchun uzoqqa bormaymiz, biz elementar funktsiyalarni eslaymiz. Parabola, kub parabola, sinusoidlar umuman asimptotaga ega emas. Eksponensial, logarifmik funktsiyaning grafigi bitta asimptotaga ega. Arktangens, arkkotangentda ikkitasi bor, tangens, kotangens esa cheksiz songa ega. Grafikning gorizontal va vertikal asimptotalari bo'lishi odatiy hol emas. Giperbola, sizni doim sevadi.
Funksiya grafigining asimptotalarini topish nimani anglatadi?
Bu ularning tenglamalarini topish va agar masala sharti talab qilsa, to'g'ri chiziqlar chizishni anglatadi. Jarayon funksiya chegaralarini topishni o'z ichiga oladi.
Funksiya grafigining vertikal asimptotalari
Grafikning vertikal asimptoti, qoida tariqasida, funksiyaning cheksiz uzilish nuqtasida joylashgan. Hammasi oddiy: agar biror nuqtada funksiya cheksiz tanaffusga uchrasa, u holda tenglama orqali berilgan to‘g‘ri chiziq grafikning vertikal asimptotasidir.
Eslatma: Iltimos, eslatma ikkita mutlaqo boshqa tushunchaga murojaat qilish uchun ishlatilganligini unutmang. Nuqta nazarda tutilgan yoki to'g'ri chiziq tenglamasi - kontekstga bog'liq.
Shunday qilib, bir nuqtada vertikal asimptota mavjudligini aniqlash uchun bir tomonlama chegaralardan kamida bittasi cheksiz ekanligini ko'rsatish kifoya. Ko'pincha, bu funktsiyaning maxraji nolga teng bo'lgan nuqtadir. Darhaqiqat, funktsiyaning uzluksizligi haqidagi darsning oxirgi misollarida vertikal asimptotalarni allaqachon topdik. Ammo bir qator hollarda faqat bir tomonlama chegara mavjud va agar u cheksiz bo'lsa, unda yana - vertikal asimptotani seving va yoqing. Eng oddiy rasm: va y o'qi.
Aniq haqiqat ham yuqoridagilardan kelib chiqadi: agar funktsiya uzluksiz bo'lsa, u holda vertikal asimptotlar yo'q. Negadir xayolimga bir parabola keldi. Haqiqatan ham, bu erda to'g'ri chiziqni qayerga "yopishtirish" mumkin? ... ha ... tushunaman ... Freyd amakining izdoshlari jazavaga tushib qolishgan =)
Qarama-qarshi gap odatda to'g'ri emas: masalan, funktsiya butun real chiziqda aniqlanmagan, ammo u asimptotalardan butunlay mahrum.
Funksiya grafigining qiya asimptotalari
Agar funktsiya argumenti "plyus cheksizlik" yoki "minus cheksizlik" ga moyil bo'lsa, moyil (alohida holat sifatida - gorizontal) asimptotalarni chizish mumkin. Shuning uchun funksiya grafigida 2 dan ortiq qiya asimptota bo'lishi mumkin emas. Masalan, ko'rsatkichli funktsiya grafigida at bitta gorizontal asimptota, at arktangens grafigida esa ikkita shunday asimptota va har xil bo'ladi.
Bu erda va u erda grafik yagona qiya asimptotaga yaqinlashganda, "cheksizliklarni" bitta yozuv ostida birlashtirish odatiy holdir. Masalan, ... siz buni to'g'ri taxmin qildingiz: .
Funksiya grafigining asimptotalari
Asimptota sharpasi nihoyat bitta maqolada ro'yobga chiqish va o'quvchilarni hayratda qoldiradigan zavq bag'ishlash uchun uzoq vaqt davomida sayt bo'ylab kezib yurdi. to'liq funktsiyani o'rganish. Grafikning asimptotalarini topish belgilangan vazifaning bir nechta qismlaridan biri bo'lib, u maktab kursida faqat umumiy ko'rib chiqish tartibida yoritiladi, chunki voqealar hisoblash atrofida aylanadi. funksiya chegaralari, lekin ular hali ham oliy matematikaga tegishli. Matematik tahlilni yaxshi bilmaydigan mehmonlar, menimcha, maslahat tushunarli ;-) ... stop-stop, qaerga ketyapsiz? chegaralar- bu oson!
Asimptotlarning misollari haqida birinchi darsda darhol uchrashdi elementar funksiyalarning grafiklari, va hozir mavzu batafsil ko'rib chiqilmoqda.
Xo'sh, asimptota nima?
Tasavvur qiling o'zgaruvchan nuqta, bu funksiya grafigi bo'ylab "sayohat qiladi". Asimptot - bu Streyt, kimga cheksiz yaqin funktsiya grafigi uning o'zgaruvchan nuqtasi cheksizlikka yaqinlashganda yaqinlashadi.
Eslatma : ta'rif mazmunli, agar sizga matematik tahlil yozuvida formula kerak bo'lsa, darslikka murojaat qiling.
Samolyotda asimptotlar tabiiy joylashuviga ko'ra tasniflanadi:
1) Vertikal asimptotlar, ular shakldagi tenglama bilan berilgan, bu erda "alfa" haqiqiy sondir. Ommabop vakil y o'qini o'zi belgilaydi,
engil ko'ngil aynish hujumi bilan biz giperbolani eslaymiz.
2) Egri asimptotlar an'anaviy tarzda yozilgan to'g'ri chiziq tenglamasi qiyalik omili bilan. Ba'zida alohida holat alohida guruh sifatida ajratiladi - gorizontal asimptotlar. Masalan, asimptota bilan bir xil giperbola .
Tezlik bilan ketamiz, keling, qisqa avtomatik portlash bilan mavzuni ochamiz:
Funktsiya grafigida nechta asimptota bo'lishi mumkin?
Hech, bir, ikki, uch... yoki cheksiz son. Misollar uchun uzoqqa bormaymiz, eslaymiz elementar funktsiyalar. Parabola, kub parabola, sinusoidlar umuman asimptotaga ega emas. Eksponensial, logarifmik funktsiyaning grafigi bitta asimptotaga ega. Arktangens, arkkotangentda ikkitasi bor, tangens, kotangens esa cheksiz songa ega. Grafikning gorizontal va vertikal asimptotalari bo'lishi odatiy hol emas. Giperbola, sizni doim sevadi.
Nimani anglatadi ?
Funksiya grafigining vertikal asimptotalari
Grafikning vertikal asimptoti odatda cheksizlik nuqtasida funktsiyalari. Hammasi oddiy: agar biror nuqtada funksiya cheksiz tanaffusga uchrasa, u holda tenglama orqali berilgan to‘g‘ri chiziq grafikning vertikal asimptotasidir.
Eslatma : eslatma ikki butunlay boshqa tushunchaga murojaat qilish uchun ishlatiladi. Nuqta nazarda tutilgan yoki to'g'ri chiziq tenglamasi - kontekstga bog'liq.
Shunday qilib, bir nuqtada vertikal asimptota mavjudligini aniqlash uchun shuni ko'rsatish kifoya. kamida bitta bir tomonlama chegaralardan 
cheksiz. Ko'pincha, bu funktsiyaning maxraji nolga teng bo'lgan nuqtadir. Darhaqiqat, biz darsning oxirgi misollarida allaqachon vertikal asimptotalarni topdik. funksiyaning uzluksizligi haqida. Ammo ba'zi hollarda faqat bir tomonlama chegara mavjud va agar u cheksiz bo'lsa, unda yana - vertikal asimptotani seving va yoqing. Eng oddiy rasm: va y o'qi (qarang. Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari).
Yuqoridagilardan aniq bir haqiqat ham quyidagicha: agar funksiya uzluksiz bo'lsa, keyin vertikal asimptotlar yo'q. Negadir xayolimga bir parabola keldi. Haqiqatan ham, bu erda to'g'ri chiziqni qayerga "yopishtirish" mumkin? ... ha ... tushunaman ... Freyd amakining izdoshlari jazavaga tushib qolishgan =)
Qarama-qarshi gap odatda to'g'ri emas: masalan, funktsiya butun real chiziqda aniqlanmagan, ammo u asimptotalardan butunlay mahrum.
Funksiya grafigining qiya asimptotalari
Agar funktsiya argumenti "plyus cheksizlik" yoki "minus cheksizlik" ga moyil bo'lsa, oblik (maxsus holat sifatida - gorizontal) asimptotalarni chizish mumkin. Shunung uchun funktsiya grafigida ikkitadan ortiq qiya asimptota bo'lishi mumkin emas. Misol uchun, ko'rsatkichli funktsiya grafigida bitta gorizontal asimptota mavjud va yoy tangensining grafigida ikkita bunday asimptota va har xil.
Bu erda va u erda grafik yagona qiya asimptotaga yaqinlashganda, "cheksizliklarni" bitta yozuv ostida birlashtirish odatiy holdir. Masalan, ... siz buni to'g'ri taxmin qildingiz: .
Umumiy qoida:
Agar ikkita bo'lsa final chegara 
, u holda to'g'ri chiziq funksiya grafigining qiya asimptotasidir. Agar kamida bitta yuqoridagi chegaralar cheksiz bo'lsa, u holda qiya asimptota yo'q.
Eslatma : "x" faqat "ortiqcha cheksizlik" ga yoki faqat "minus cheksizlik" ga moyil bo'lsa, formulalar haqiqiy bo'lib qoladi.
Parabolaning qiya asimptotalari yo'qligini ko'rsataylik: 
Chegara cheksiz, shuning uchun qiya asimptota yo'q. Limitni topishda e'tibor bering 
endi kerak emas, chunki javob allaqachon olingan.
Eslatma
: agar siz ortiqcha-minus, minus-plyus belgilarini tushunishda qiynalayotgan bo'lsangiz (yoki bo'ladigan bo'lsa), dars boshida yordamga qarang.
cheksiz kichik funksiyalar haqida, bu erda men ushbu belgilarni qanday qilib to'g'ri talqin qilishni aytdim.
Ko'rinib turibdiki, har qanday kvadrat, kub funksiya, 4 va undan yuqori darajali ko'phad ham qiya asimptotalarga ega emas.
Keling, grafikda ham qiya asimptota yo'qligiga ishonch hosil qilaylik. Noaniqlikni ochish uchun biz foydalanamiz L'Hopital qoidasi:
, bu tekshirilishi kerak edi.
Funktsiya cheksiz o'sganda, uning grafigi yaqinlashadigan bunday to'g'ri chiziq yo'q cheksiz yaqin.
Keling, darsning amaliy qismiga o'tamiz:
Funksiya grafigining asimptotalarini qanday topish mumkin?
Oddiy vazifa shunday tuzilgan va u grafikning HAMMA asimptotalarini (vertikal, qiya / gorizontal) topishni o'z ichiga oladi. Garchi, savolni shakllantirishda aniqroq bo'lsa-da, biz asimptotalarning mavjudligini o'rganish haqida gapiramiz (oxir-oqibat, umuman bo'lmasligi mumkin). Keling, oddiy narsadan boshlaylik:
1-misol
Funksiya grafigining asimptotalarini toping
Yechim Uni ikki nuqtaga bo'lish qulay:
1) Avval vertikal asimptotlar mavjudligini tekshiramiz. maxraj da yo'qoladi va bu nuqtada funktsiya zarar ko'rishi darhol ayon bo'ladi cheksiz bo'shliq, va tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziq funksiya grafigining vertikal asimptotasidir. Ammo bunday xulosa chiqarishdan oldin, bir tomonlama chegaralarni topish kerak: 
Men sizga maqolada ham to'xtalgan hisob-kitob texnikasini eslataman Funktsiyaning uzluksizligi. tanaffus nuqtalari. Chegara belgisi ostidagi ifodada "x" o'rniga biz ni almashtiramiz. Numeratorda qiziq narsa yo'q:
.
Ammo denominatorda bu chiqadi cheksiz kichik manfiy son:
, u chegaraning taqdirini belgilaydi.
Chap qo'l chegarasi cheksizdir va, qoida tariqasida, vertikal asimptota mavjudligi to'g'risida allaqachon hukm chiqarish mumkin. Ammo bir tomonlama chegaralar nafaqat buning uchun kerak - ular TUSHUNGA YORDAM BERADI, QANAQASIGA funksiyaning grafigi joylashgan va uni chizing TO'G'RI. Shuning uchun biz o'ng chegarani ham hisoblashimiz kerak: 
Xulosa: bir tomonlama chegaralar cheksizdir, bu chiziq funksiya grafigining vertikal asimptoti ekanligini bildiradi.
Birinchi chegara cheklangan, bu "suhbatni davom ettirish" va ikkinchi chegarani topish kerakligini anglatadi:
Ikkinchi chegara ham cheklangan.
Shunday qilib, bizning asimptotimiz:
Xulosa: tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziq funksiya grafigining gorizontal asimptotasidir.
Gorizontal asimptotani topish uchun
Siz soddalashtirilgan formuladan foydalanishingiz mumkin:
Agar mavjud bo'lsa cheklangan chegarasi, u holda chiziq funksiya grafigining gorizontal asimptotasidir.
Funktsiyaning pay va maxraji ekanligini ko'rish oson o'sishning bitta tartibi, ya'ni kerakli chegara chekli bo'ladi: 
Javob:
Shartga ko'ra, chizmani bajarish kerak emas, lekin to'liq tezlikda bo'lsa funktsional tadqiqotlar, keyin qoralama ustida biz darhol eskiz qilamiz: 
Topilgan uchta chegaraga asoslanib, funktsiya grafigini qanday joylashtirish mumkinligini mustaqil ravishda aniqlashga harakat qiling. Juda qiyinmi? 5-6-7-8 nuqtalarni toping va ularni chizmaga belgilang. Biroq, ushbu funktsiyaning grafigi yordamida tuziladi elementar funksiya grafigini o'zgartirishlar, va ushbu maqolaning 21-misolini diqqat bilan o'rganib chiqqan o'quvchilar bu qanday egri chiziq ekanligini osongina taxmin qilishadi.
2-misol
Funksiya grafigining asimptotalarini toping
Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Men sizga eslatib o'taman, jarayon qulay tarzda ikki nuqtaga bo'linadi - vertikal asimptota va qiya asimptota. Namuna yechimida gorizontal asimptota soddalashtirilgan sxema yordamida topiladi.
Amalda kasr-ratsional funktsiyalar ko'pincha uchraydi va giperbolalar bo'yicha mashg'ulotlardan so'ng biz vazifani murakkablashtiramiz:
3-misol
Funksiya grafigining asimptotalarini toping 
Yechim: Bir, ikkita va bajarildi:
1) Vertikal asimptotlar topiladi cheksiz uzilish nuqtalarida, shuning uchun siz maxrajning nolga tushishini tekshirishingiz kerak. Biz qaror qilamiz kvadrat tenglama:
Diskriminant musbat, shuning uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega va ish sezilarli darajada qo'shiladi =) 
Keyinchalik bir tomonlama chegaralarni topish uchun kvadrat trinomialni faktorlarga ajratish qulay:
(ixcham yozuv uchun "minus" birinchi qavsga kiritilgan). Xavfsizlik tarmog'i uchun biz qavslarni ochib, aqliy yoki qoralama bo'yicha tekshirishni amalga oshiramiz.
Funksiyani formada qayta yozamiz 
Nuqtada bir tomonlama chegaralarni toping: 
Va shu nuqtada: 
Shunday qilib, to'g'ri chiziqlar ko'rib chiqilayotgan funksiya grafigining vertikal asimptotalari hisoblanadi.
2) Agar funktsiyaga qarasangiz 
, u holda chegara chekli bo'lishi aniq va biz gorizontal asimptotaga ega bo'lamiz. Keling, buni qisqacha ko'rsatamiz: 
Shunday qilib, to'g'ri chiziq (abtsissa) bu funktsiya grafigining gorizontal asimptotasidir.
Javob:
Topilgan chegaralar va asimptotlar funksiya grafigi haqida juda ko'p ma'lumot beradi. Quyidagi faktlarni hisobga olgan holda rasmni aqliy tasavvur qilishga harakat qiling: 
Grafikning o'z versiyasini qoralamaga chizing.
Albatta, topilgan chegaralar grafik turini aniq belgilamaydi va siz xato qilishingiz mumkin, ammo mashqning o'zi mashq paytida bebaho yordam beradi. to'liq funktsiyani o'rganish. To'g'ri rasm dars oxirida.
4-misol
Funksiya grafigining asimptotalarini toping
5-misol
Funksiya grafigining asimptotalarini toping 
Bu mustaqil qaror qabul qilish uchun vazifalar. Ikkala grafik ham gorizontal asimptotalarga ega bo'lib, ular darhol quyidagi xususiyatlar bilan aniqlanadi: 4-misolda o'sish tartibi maxraj Ko'proq hisoblagichning o'sish tartibiga qaraganda va 5-misolda hisoblagich va maxraj o'sishning bitta tartibi. Namuna yechimida birinchi funktsiya qiya asimptotalarning mavjudligi uchun to'liq, ikkinchisi - chegara orqali tekshiriladi.
Gorizontal asimptotlar, mening sub'ektiv taassurotimga ko'ra, "haqiqatan ham egilgan" ga qaraganda sezilarli darajada keng tarqalgan. Uzoq kutilgan umumiy holat:
6-misol
Funksiya grafigining asimptotalarini toping 
Yechim: janr klassikasi:
1) maxraj musbat bo‘lgani uchun funksiya davomiy butun son chizig'ida va vertikal asimptotlar yo'q. …Bu yaxshimi? To'g'ri so'z emas - ajoyib! №1 band yopiq.
2) qiya asimptotalarning mavjudligini tekshiring:
Birinchi chegara cheklangan, keling, davom etaylik. Yo'q qilish uchun ikkinchi chegarani hisoblash paytida noaniqlik "cheksizlik minus cheksizlik" ifodani umumiy maxrajga keltiramiz: 
Ikkinchi chegara ham cheklangan, shuning uchun ko'rib chiqilayotgan funksiya grafigi qiya asimptotaga ega:
Xulosa:
Shunday qilib, funktsiya grafigi uchun 
cheksiz yaqin to'g'ri chiziqqa yaqinlashadi: 
E'tibor bering, u o'zining qiya asimptotasini boshida kesib o'tadi va bunday kesishish nuqtalari juda maqbuldir - cheksizlikda "hamma narsa normal" bo'lishi muhim (aslida, biz aynan o'sha erda asimptotlar haqida gapiramiz).
7-misol
Funksiya grafigining asimptotalarini toping
Yechim: izoh beradigan hech narsa yo'q, shuning uchun men yakuniy yechimning taxminiy namunasini tuzaman:
1) Vertikal asimptotlar. Keling, nuqtani o'rganamiz. 
To'g'ri chiziq - da uchastkaning vertikal asimptotasi.
2) qiyshiq asimptotlar: 
To'g'ri chiziq - dagi grafik uchun qiya asimptota.
Javob: 
Topilgan bir tomonlama chegaralar va asimptotalar ushbu funktsiya grafigi qanday ko'rinishini yuqori aniqlik bilan taxmin qilish imkonini beradi. Dars oxirida to'g'ri chizish.
8-misol
Funksiya grafigining asimptotalarini toping
Bu mustaqil yechim uchun misoldir, ba'zi chegaralarni hisoblash qulayligi uchun siz hisoblagichni maxraj atamasi bo'yicha muddatga bo'lishingiz mumkin. Va yana, natijalarni tahlil qilib, ushbu funktsiyaning grafigini chizishga harakat qiling.
Shubhasiz, "haqiqiy" qiya asimptotalarning egalari hisoblagichning eng yuqori darajasi bo'lgan kasr-ratsional funktsiyalarning grafiklaridir. yana bir bor maxrajning eng yuqori darajasi. Agar ko'proq bo'lsa, qiya asimptota bo'lmaydi (masalan, ).
Ammo hayotda boshqa mo''jizalar sodir bo'ladi:
9-misol
11-misol
Asimptotlar uchun funksiya grafigini ko‘rib chiqing
Yechim: Bu aniq 
, shuning uchun biz faqat o'ng yarim tekislikni ko'rib chiqamiz, bu erda funktsiyaning grafigi mavjud.
Shunday qilib, to'g'ri chiziq (y o'qi) funksiya grafigi uchun vertikal asimptota hisoblanadi.
2) Qiya asimptotani o'rganish to'liq sxema bo'yicha amalga oshirilishi mumkin, ammo maqolada L'Hospital qoidalari Biz chiziqli funktsiya logarifmikdan yuqori o'sish tartibini aniqladik, shuning uchun: 
(xuddi shu darsning 1-misoliga qarang).
Xulosa: abscissa o'qi funksiya grafigining gorizontal asimptotasidir.
Javob:
, Agar;
, Agar .
Aniqlik uchun chizish: 
Qizig'i shundaki, ko'rinishidan o'xshash funktsiyaning asimptotalari umuman yo'q (xohlaganlar buni tekshirishlari mumkin).
Ikki yakuniy o'z-o'zini o'rganish misollari:
12-misol
Asimptotlar uchun funksiya grafigini ko‘rib chiqing 
Oddiy vazifa shunday tuzilgan va u grafikning HAMMA asimptotalarini (vertikal, qiya / gorizontal) topishni o'z ichiga oladi. Garchi, savolni shakllantirishda aniqroq bo'lsa-da, biz asimptotalarning mavjudligini o'rganish haqida gapiramiz (oxir-oqibat, umuman bo'lmasligi mumkin).
Keling, oddiy narsadan boshlaylik:
1-misol
Yechim Uni ikki nuqtaga bo'lish qulay:
1) Avval vertikal asimptotlar mavjudligini tekshiramiz. maxraj da yo'qoladi va bu nuqtada funktsiya zarar ko'rishi darhol ayon bo'ladi cheksiz bo'shliq, va tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziq funksiya grafigining vertikal asimptotasidir. Ammo bunday xulosa chiqarishdan oldin, bir tomonlama chegaralarni topish kerak: 
Men sizga maqolada ham to'xtalgan hisob-kitob texnikasini eslataman funksiya uzluksizligi. tanaffus nuqtalari. Chegara belgisi ostidagi ifodada "x" o'rniga biz ni almashtiramiz. Numeratorda qiziq narsa yo'q:
.
Ammo denominatorda bu chiqadi cheksiz kichik manfiy son:
, u chegaraning taqdirini belgilaydi.
Chap qo'l chegarasi cheksizdir va, qoida tariqasida, vertikal asimptota mavjudligi to'g'risida allaqachon hukm chiqarish mumkin. Ammo bir tomonlama chegaralar nafaqat buning uchun kerak - ular TUSHUNISHGA YORDAM BERADI QANAQASIGA funksiyaning grafigi joylashgan va uni chizing TO'G'RI. Shuning uchun biz o'ng chegarani ham hisoblashimiz kerak: 
Xulosa: bir tomonlama chegaralar cheksizdir, bu chiziq funksiya grafigining vertikal asimptoti ekanligini bildiradi.
Birinchi chegara cheklangan, bu "suhbatni davom ettirish" va ikkinchi chegarani topish kerakligini anglatadi:
Ikkinchi chegara ham cheklangan.
Shunday qilib, bizning asimptotimiz:
Xulosa: tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziq funksiya grafigining gorizontal asimptotasidir.
Gorizontal asimptotani topish uchun Siz soddalashtirilgan formuladan foydalanishingiz mumkin:
Agar chekli chegara mavjud bo'lsa, u holda chiziq funktsiya grafigining gorizontal asimptotasidir.
Funktsiyaning pay va maxraji ekanligini ko'rish oson o'sishning bitta tartibi, ya'ni kerakli chegara chekli bo'ladi: 
Javob:
Shartga ko'ra, chizmani bajarish kerak emas, lekin to'liq tezlikda bo'lsa funktsional tadqiqotlar, keyin qoralama ustida biz darhol eskiz qilamiz: 
Topilgan uchta chegaraga asoslanib, funktsiya grafigini qanday joylashtirish mumkinligini mustaqil ravishda aniqlashga harakat qiling. Juda qiyinmi? 5-6-7-8 nuqtalarni toping va ularni chizmaga belgilang. Biroq, ushbu funktsiyaning grafigi yordamida tuziladi elementar funksiya grafigini o'zgartirishlar, va ushbu maqolaning 21-misolini diqqat bilan o'rganib chiqqan o'quvchilar bu qanday egri chiziq ekanligini osongina taxmin qilishadi.
2-misol
Funksiya grafigining asimptotalarini toping
Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Men sizga eslatib o'taman, jarayon qulay tarzda ikki nuqtaga bo'linadi - vertikal asimptota va qiya asimptota. Namuna yechimida gorizontal asimptota soddalashtirilgan sxema yordamida topiladi.
Amalda kasr-ratsional funktsiyalar ko'pincha uchraydi va giperbolalar bo'yicha mashg'ulotlardan so'ng biz vazifani murakkablashtiramiz:
3-misol
Funksiya grafigining asimptotalarini toping 
Yechim: Bir, ikkita va bajarildi:
1) Vertikal asimptotlar topiladi cheksiz uzilish nuqtalarida, shuning uchun siz maxrajning nolga tushishini tekshirishingiz kerak. Biz qaror qilamiz kvadrat tenglama :
Diskriminant musbat, shuning uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega va ish sezilarli darajada qo'shiladi =) 
Keyinchalik bir tomonlama chegaralarni topish uchun kvadrat trinomialni faktorlarga ajratish qulay:
(ixcham yozuv uchun "minus" birinchi qavsga kiritilgan). Xavfsizlik tarmog'i uchun biz qavslarni ochib, aqliy yoki qoralama bo'yicha tekshirishni amalga oshiramiz.
Funksiyani formada qayta yozamiz 
Nuqtada bir tomonlama chegaralarni toping: 
Va shu nuqtada: 
Shunday qilib, to'g'ri chiziqlar ko'rib chiqilayotgan funksiya grafigining vertikal asimptotalari hisoblanadi.
2) Agar funktsiyaga qarasangiz 
, u holda chegara chekli bo'lishi aniq va biz gorizontal asimptotaga ega bo'lamiz. Keling, buni qisqacha ko'rsatamiz: 
Shunday qilib, to'g'ri chiziq (abtsissa) bu funktsiya grafigining gorizontal asimptotasidir.
Javob:
Topilgan chegaralar va asimptotlar funksiya grafigi haqida juda ko'p ma'lumot beradi. Quyidagi faktlarni hisobga olgan holda rasmni aqliy tasavvur qilishga harakat qiling: 
Grafikning o'z versiyasini qoralamaga chizing.
Albatta, topilgan chegaralar grafik turini aniq belgilamaydi va siz xato qilishingiz mumkin, ammo mashqning o'zi mashq paytida bebaho yordam beradi. to'liq funktsiyani o'rganish. To'g'ri rasm dars oxirida.
4-misol
Funksiya grafigining asimptotalarini toping
5-misol
Funksiya grafigining asimptotalarini toping 
Bu mustaqil qaror qabul qilish uchun vazifalar. Ikkala grafik ham gorizontal asimptotalarga ega bo'lib, ular darhol quyidagi xususiyatlar bilan aniqlanadi: 4-misolda o'sish tartibi maxraj sonning o'sish tartibidan katta, 5-misolda esa pay va maxraj o'sishning bitta tartibi. Namuna yechimida birinchi funktsiya qiya asimptotalarning mavjudligi uchun to'liq, ikkinchisi - chegara orqali tekshiriladi.
Gorizontal asimptotlar, mening sub'ektiv taassurotimga ko'ra, "haqiqatan ham egilgan" ga qaraganda sezilarli darajada keng tarqalgan. Uzoq kutilgan umumiy holat:
6-misol
Funksiya grafigining asimptotalarini toping 
Yechim: janr klassikasi:
1) maxraj musbat bo‘lgani uchun funksiya davomiy butun son chizig'ida va vertikal asimptotlar yo'q. …Bu yaxshimi? To'g'ri so'z emas - ajoyib! №1 band yopiq.
2) qiya asimptotalarning mavjudligini tekshiring:
Birinchi chegara cheklangan, keling, davom etaylik. Yo'q qilish uchun ikkinchi chegarani hisoblash paytida noaniqlik "cheksizlik minus cheksizlik" ifodani umumiy maxrajga keltiramiz: 
Ikkinchi chegara ham cheklangan, shuning uchun ko'rib chiqilayotgan funksiya grafigi qiya asimptotaga ega:
Xulosa:
Shunday qilib, funktsiya grafigi uchun cheksiz yaqin to'g'ri chiziqqa yaqinlashadi: 
E'tibor bering, u o'zining qiya asimptotasini boshidan kesib o'tadi va bunday kesishish nuqtalari juda maqbuldir - cheksizlikda "hamma narsa normal" bo'lishi muhim (aslida, asimptotalarning muhokamasi o'sha erda paydo bo'ladi).
7-misol
Funksiya grafigining asimptotalarini toping
Yechim: izoh beradigan hech narsa yo'q, shuning uchun men yakuniy yechimning taxminiy namunasini tuzaman:
1) Vertikal asimptotlar. Keling, nuqtani o'rganamiz. 
To'g'ri chiziq - da uchastkaning vertikal asimptotasi.
2) qiyshiq asimptotlar: 
To'g'ri chiziq - dagi grafik uchun qiya asimptota.
Javob: 
Topilgan bir tomonlama chegaralar va asimptotalar ushbu funktsiya grafigi qanday ko'rinishini yuqori aniqlik bilan taxmin qilish imkonini beradi. Dars oxirida to'g'ri chizish.
8-misol
Funksiya grafigining asimptotalarini toping
Bu mustaqil yechim uchun misoldir, ba'zi chegaralarni hisoblash qulayligi uchun siz hisoblagichni maxraj atamasi bo'yicha muddatga bo'lishingiz mumkin. Va yana, natijalarni tahlil qilib, ushbu funktsiyaning grafigini chizishga harakat qiling.
Shubhasiz, "haqiqiy" qiya asimptotalarning egalari hisoblagichning eng yuqori darajasi bo'lgan kasr-ratsional funktsiyalarning grafiklaridir. yana bir bor maxrajning eng yuqori darajasi. Agar ko'proq bo'lsa, qiya asimptota bo'lmaydi (masalan, ).
Ammo hayotda boshqa mo''jizalar sodir bo'ladi:
9-misol
Yechim: funktsiya davomiy butun son chizig'ida, ya'ni vertikal asimptotlar yo'q. Ammo qiyaliklar bo'lishi mumkin. Biz tekshiramiz:
Universitetda shunga o'xshash funktsiyaga qanday duch kelganimni eslayman va uning qiya asimptotaga ega ekanligiga ishonolmadim. Ikkinchi chegarani hisoblamagunimcha:
To'g'ridan-to'g'ri aytganda, bu erda ikkita noaniqlik mavjud: va , lekin u yoki bu tarzda, siz maqolaning 5-6-misollarida muhokama qilingan yechim usulidan foydalanishingiz kerak. ortib borayotgan murakkablik chegaralari haqida. Formuladan foydalanish uchun konjugat ifodaga ko'paytiring va bo'ling:
Javob:
Ehtimol, eng mashhur oblique asimptote.
Hozirgacha abadiylikni "bir xil cho'tka bilan kesish" mumkin edi, ammo funksiya grafigi shunday bo'ladi. ikki xil uchun va uchun qiya asimptotlar:
10-misol
Asimptotlar uchun funksiya grafigini ko‘rib chiqing 
Yechim: ildiz ifodasi ijobiy, ya'ni domen- har qanday haqiqiy raqam va vertikal tayoqchalar bo'lishi mumkin emas.
Keling, qiya asimptotlar mavjudligini tekshiramiz.
Agar "x" "minus cheksizlik" ga moyil bo'lsa, unda:
(kvadrat ildiz ostida "x" ni kiritishda salbiy maxrajni yo'qotmaslik uchun "minus" belgisini qo'shishingiz kerak)
Bu g'ayrioddiy ko'rinadi, lekin bu erda noaniqlik "cheksizlik minus cheksizlik" dir. Numerator va maxrajni qo‘shma iboraga ko‘paytiring:
Shunday qilib, to'g'ri chiziq - da grafikning qiya asimptotu.
"Plyus cheksizlik" bilan hamma narsa ahamiyatsizroq: 
Va to'g'ri chiziq - at .
Javob:
Agar ;
, Agar .
Men grafik tasvirga qarshi tura olmayman: 
Bu filiallardan biri giperbola .
Asimptotalarning potentsial mavjudligi dastlab cheklangan bo'lsa, bu odatiy hol emas funksiya doirasi:
11-misol
Asimptotlar uchun funksiya grafigini ko‘rib chiqing
Yechim: Bu aniq 
, shuning uchun biz faqat o'ng yarim tekislikni ko'rib chiqamiz, bu erda funktsiyaning grafigi mavjud.
1) Funktsiya davomiy oralig'ida, ya'ni vertikal asimptota mavjud bo'lsa, u faqat y o'qi bo'lishi mumkin. Biz nuqta yaqinidagi funktsiyaning harakatini o'rganamiz o'ngda:
Eslatma, bu erda hech qanday noaniqlik yo'q(Maqolaning boshida bunday holatlarga e'tibor qaratildi Yechim usullarini cheklash).
Shunday qilib, to'g'ri chiziq (y o'qi) funksiya grafigi uchun vertikal asimptota hisoblanadi.
2) Qiya asimptotani o'rganish to'liq sxema bo'yicha amalga oshirilishi mumkin, ammo maqolada Mahalliy qoidalar Biz chiziqli funktsiya logarifmikdan yuqori o'sish tartibini aniqladik, shuning uchun: 
(xuddi shu darsning 1-misoliga qarang).
Xulosa: abscissa o'qi funksiya grafigining gorizontal asimptotasidir.
Javob:
Agar ;
, Agar .
Aniqlik uchun chizish: 
Qizig'i shundaki, ko'rinishidan o'xshash funktsiyaning asimptotalari umuman yo'q (xohlaganlar buni tekshirishlari mumkin).
Ikki yakuniy o'z-o'zini o'rganish misollari:
12-misol
Asimptotlar uchun funksiya grafigini ko‘rib chiqing 
Vertikal asimptotalarni sinab ko'rish uchun biz birinchi navbatda topishimiz kerak funksiya doirasi, va keyin "shubhali" nuqtalarda bir tomonlama chegaralar juftligini hisoblang. Oblik asimptotlar ham bundan mustasno emas, chunki funktsiya "ortiqcha" va "minus" cheksizlik bilan belgilanadi.
13-misol
Asimptotlar uchun funksiya grafigini ko‘rib chiqing
Va bu erda faqat oblik asimptotlar bo'lishi mumkin va yo'nalishlar , alohida ko'rib chiqilishi kerak.
Umid qilamanki, siz to'g'ri asimptotni topdingiz =)
Omad tilayman!
Yechimlar va javoblar:
2-misol:Yechim
:
. Keling, bir tomonlama chegaralarni topaylik:
Streyt da funksiya grafigining vertikal asimptotasidir .
2) qiya asimptotlar.
Streyt .
Javob:
Chizma
3-misolga:
4-misol:Yechim
:
1) Vertikal asimptotlar. Funktsiya bir nuqtada cheksiz tanaffusga duchor bo'ladi . Keling, bir tomonlama chegaralarni hisoblaylik:
Eslatma: juft darajali cheksiz kichik manfiy son cheksiz kichik musbat songa teng: .
Streyt funksiya grafigining vertikal asimptotasidir.
2) qiya asimptotlar.
Streyt (abscissa) funksiya grafigining gorizontal asimptotasi .
Javob:
