Og'irlik markazining koordinatalarini aniqlash usullari. Ba'zi bir jinsli jismlarning og'irlik markazining koordinatalari O'z-o'zini tekshirish uchun savollar

6.1. Umumiy ma'lumot

Parallel kuchlar markazi
Keling, bir yo'nalishda yo'naltirilgan ikkita parallel kuchlarni ko'rib chiqaylik va , nuqtalarda tanaga tatbiq etiladi A 1 va A 2 (6.1-rasm). Ushbu kuchlar tizimi natijaga ega bo'lib, uning ta'sir chizig'i ma'lum bir nuqtadan o'tadi BILAN. Nuqta pozitsiyasi BILAN Varignon teoremasi yordamida topish mumkin:

Agar siz kuchlarni aylantirsangiz va nuqtalar yaqinida A 1 va A 2 bir yo'nalishda va bir xil burchakda, keyin biz bir xil modullarga ega bo'lgan yangi parallel salas tizimini olamiz. Bunday holda, ularning natijasi ham nuqtadan o'tadi BILAN. Bu nuqta parallel kuchlar markazi deb ataladi.
Qattiq jismga nuqtalarda qo'llaniladigan parallel va bir xil yo'naltirilgan kuchlar tizimini ko'rib chiqaylik. Ushbu tizimning natijasi bor.
Agar tizimning har bir kuchi ularni qo'llash nuqtalari yaqinida bir xil yo'nalishda va bir xil burchakda aylantirilsa, u holda bir xil modullar va qo'llash nuqtalari bilan bir xil yo'naltirilgan parallel kuchlarning yangi tizimlari olinadi. Bunday tizimlarning natijasi bir xil modulga ega bo'ladi R, lekin har safar boshqa yo'nalish. Mening kuchimni yig'ib F 1 va F 2 ularning natijasi ekanligini topamiz R 1, har doim nuqtadan o'tadi BILAN 1, uning pozitsiyasi tenglik bilan belgilanadi. Keyinchalik katlama R 1 va F 3, biz ularning natijasini topamiz, u har doim nuqtadan o'tadi BILAN 2 to'g'ri chiziqda yotish A 3 BILAN 2. Kuchlarni oxirigacha qo'shish jarayonini tugatgandan so'ng, biz barcha kuchlarning natijasi har doim bir xil nuqtadan o'tadi degan xulosaga kelamiz. BILAN, ularning nuqtalarga nisbatan pozitsiyasi o'zgarmaydi.
Nuqta BILAN, Parallel kuchlarning natijaviy tizimining ta'sir chizig'i bir xil burchakda bir xil yo'nalishda ularni qo'llash nuqtalari yaqinida bu kuchlarning har qanday aylanishi uchun o'tadi parallel kuchlar markazi (6.2-rasm).

6.2-rasm

Parallel kuchlar markazining koordinatalarini aniqlaymiz. Nuqta pozitsiyasidan boshlab BILAN jismga nisbatan o'zgarmagan bo'lsa, u holda uning koordinatalari koordinatalar tizimini tanlashga bog'liq emas. Keling, barcha kuchlarni o'qga parallel bo'lishi uchun ularni qo'llash atrofida aylantiramiz OU va Varignon teoremasini aylantirilgan kuchlarga qo'llang. Chunki R" bu kuchlarning natijasi bo'lsa, Varignon teoremasiga ko'ra, bizda mavjud , chunki , , olamiz

Bu yerdan parallel kuchlar markazining koordinatasini topamiz zc:

Koordinatalarni aniqlash uchun xc O'qga nisbatan kuchlar momenti uchun ifoda hosil qilaylik Oz.

Koordinatalarni aniqlash uchun yc keling, barcha kuchlarni o'qga parallel bo'ladigan tarzda aylantiramiz Oz.

Parallel kuchlar markazining kelib chiqishiga nisbatan holatini (6.2-rasm) uning radius vektori bilan aniqlash mumkin:

6.2. Qattiq jismning og'irlik markazi

Og'irlik markazi qattiq jismning nuqtasi doimo shu jism bilan bog'langan nuqtadir BILAN, bu orqali ma'lum bir jismning tortishish kuchlarining natijaviy kuchlarining ta'sir chizig'i o'tadi, tananing kosmosdagi har qanday pozitsiyasi uchun.
Og'irlik markazi jismlar va uzluksiz muhitlarning tortishish kuchi ta'sirida muvozanat pozitsiyalarining barqarorligini o'rganishda va boshqa ba'zi hollarda, xususan: materiallarning mustahkamligi va struktura mexanikasida - Vereshchagin qoidasini qo'llashda qo'llaniladi.
Jismning og'irlik markazini aniqlashning ikki yo'li mavjud: analitik va eksperimental. Og'irlik markazini aniqlashning analitik usuli to'g'ridan-to'g'ri parallel kuchlar markazi tushunchasidan kelib chiqadi.
Parallel kuchlar markazi sifatida tortishish markazining koordinatalari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

Qayerda R- butun tana vazni; pk- tana zarralarining og'irligi; xk, yk, zk- tana zarralarining koordinatalari.
Bir hil tana uchun butun tananing va uning biron bir qismining og'irligi hajmga mutanosibdir P=Vg, pk =vk g, Qayerda γ - hajm birligi uchun og'irlik, V- tana hajmi. Ifodalarni almashtirish P, pk og'irlik markazining koordinatalarini aniqlash va umumiy omil bilan kamaytirish formulasiga γ , biz olamiz:

Nuqta BILAN, koordinatalari hosil bo'lgan formulalar bilan aniqlanadigan, deyiladi hajmning og'irlik markazi.
Agar tana nozik bir hil plastinka bo'lsa, unda tortishish markazi quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

Qayerda S- butun plastinkaning maydoni; sk- uning qismining maydoni; xk, yk- plastinka qismlarining og'irlik markazining koordinatalari.
Nuqta BILAN bu holda deyiladi hududning og'irlik markazi.
Tekis figuralarning og'irlik markazining koordinatalarini aniqlaydigan ifodalarning numeratorlari deyiladi. maydonning statik momentlari o'qlarga nisbatan da Va X:

Keyin maydonning og'irlik markazi quyidagi formulalar bilan aniqlanishi mumkin:

Uzunligi kesma o'lchamlaridan ko'p marta katta bo'lgan jismlar uchun chiziqning og'irlik markazi aniqlanadi. Chiziqning og'irlik markazining koordinatalari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

Qayerda L- chiziq uzunligi; lk- uning qismlari uzunligi; xk, yk, zk- chiziq qismlarining og'irlik markazining koordinatasi.

6.3. Jismlarning tortishish markazlarining koordinatalarini aniqlash usullari

Olingan formulalar asosida jismlarning og'irlik markazlarini aniqlashning amaliy usullarini taklif qilish mumkin.
1. Simmetriya. Agar tananing simmetriya markazi bo'lsa, unda tortishish markazi simmetriya markazida bo'ladi.
Agar tananing simmetriya tekisligi bo'lsa. Masalan, XOU tekisligi, keyin og'irlik markazi bu tekislikda yotadi.
2. Bo'linish. Oddiy shaklga ega bo'lgan jismlardan tashkil topgan jismlar uchun bo'linish usuli qo'llaniladi. Tana qismlarga bo'linadi, ularning og'irlik markazi simmetriya usuli bilan aniqlanadi. Butun tananing og'irlik markazi hajm (maydon) og'irlik markazi uchun formulalar bilan aniqlanadi.

Misol. Quyidagi rasmda ko'rsatilgan plastinkaning og'irlik markazini aniqlang (6.3-rasm). Plitani turli yo'llar bilan to'rtburchaklarga bo'lish va har bir to'rtburchakning og'irlik markazining koordinatalarini va ularning maydonini aniqlash mumkin.

6.3-rasm

Javob: xc=17,0 sm; yc=18,0 sm.

3. Qo'shish. Ushbu usul bo'linish usulining alohida holatidir. U tanada kesiklar, bo'laklar va boshqalar mavjud bo'lganda qo'llaniladi, agar kesiksiz tananing og'irlik markazining koordinatalari ma'lum bo'lsa.

Misol. Kesish radiusi bo'lgan dumaloq plastinkaning og'irlik markazini aniqlang r = 0,6 R(6.4-rasm).

6.4-rasm

Dumaloq plastinka simmetriya markaziga ega. Koordinatalarning boshini plastinka markaziga joylashtiramiz. Chiqib ketishsiz plastinka maydoni, kesish maydoni. Kesilgan kvadrat plastinka; .
Kesilgan plastinka simmetriya o'qiga ega O1 x, shuning uchun, yc=0.

4. Integratsiya. Agar tanani og'irlik markazlarining pozitsiyalari ma'lum bo'lgan cheklangan miqdordagi qismlarga bo'linib bo'lmasa, tana o'zboshimchalik bilan kichik hajmlarga bo'linadi, buning uchun bo'linish usulidan foydalangan holda formula quyidagi shaklni oladi: .
Keyin ular elementar hajmlarni nolga yo'naltirib, chegaraga o'tadilar, ya'ni. shartnoma hajmlarini ballarga bo'lish. Yig'inmalar tananing butun hajmiga cho'zilgan integrallar bilan almashtiriladi, so'ngra hajmning og'irlik markazining koordinatalarini aniqlash uchun formulalar shaklni oladi:

Hududning og'irlik markazining koordinatalarini aniqlash uchun formulalar:

Plitalar muvozanatini o'rganishda, struktura mexanikasida Mohr integralini hisoblashda hududning og'irlik markazining koordinatalari aniqlanishi kerak.

Misol. Radiusli dumaloq yoyning og‘irlik markazini aniqlang R markaziy burchak bilan AOB= 2a (6.5-rasm).

Guruch. 6.5

Doira yoyi o'qiga simmetrikdir Oh, shuning uchun yoyning og'irlik markazi o'qda yotadi Oh, ys = 0.
Chiziqning og'irlik markazi formulasiga ko'ra:

6.Eksperimental usul. Murakkab konfiguratsiyadagi bir hil bo'lmagan jismlarning og'irlik markazlarini eksperimental ravishda aniqlash mumkin: osish va tortish usuli bilan. Birinchi usul - korpusni turli nuqtalarda kabelda to'xtatib turish. Tana to'xtatilgan kabelning yo'nalishi tortishish yo'nalishini beradi. Ushbu yo'nalishlarning kesishish nuqtasi tananing og'irlik markazini belgilaydi.
Taroziga solish usuli birinchi navbatda tananing, masalan, avtomobilning og'irligini aniqlashni o'z ichiga oladi. Keyin tarozida avtomobilning orqa o'qining tayanchga bosimi aniqlanadi. Nuqtaga, masalan, old g'ildiraklarning o'qiga nisbatan muvozanat tenglamasini tuzib, siz ushbu o'qdan avtomobilning og'irlik markazigacha bo'lgan masofani hisoblashingiz mumkin (6.6-rasm).

6.6-rasm

Ba'zan, muammolarni hal qilishda, tortishish markazining koordinatalarini aniqlashning turli usullarini bir vaqtning o'zida qo'llash kerak.

6.4. Ba'zi oddiy geometrik figuralarning og'irlik markazlari

Tez-tez uchraydigan shakllar (uchburchak, aylana yoy, sektor, segment) jismlarining og'irlik markazlarini aniqlash uchun mos yozuvlar ma'lumotlaridan foydalanish qulay (6.1-jadval).

6.1-jadval

Ba'zi bir jinsli jismlarning og'irlik markazining koordinatalari

№	Shaklning nomi	Chizma
	Doira yoyi: bir xil aylana yoyining ogʻirlik markazi simmetriya oʻqida (koordinata) uc=0). R- aylana radiusi.
	Bir hil aylana sektori uc=0). bu erda a - markaziy burchakning yarmi; R- aylana radiusi.
	Segment: og'irlik markazi simmetriya o'qida joylashgan (koordinata uc=0). bu erda a - markaziy burchakning yarmi; R- aylana radiusi.
	Yarim doira:
	Uchburchak: bir jinsli uchburchakning ogʻirlik markazi uning medianalarining kesishish nuqtasida. Qayerda x1, y1, x2, y2, x3, y3- uchburchak uchlari koordinatalari
	Konus: bir xil dumaloq konusning og'irlik markazi uning balandligida yotadi va konusning poydevoridan balandlikning 1/4 qismi masofada joylashgan.

Hisob-kitoblarning natijasi nafaqat tasavvurlar maydoniga bog'liq, shuning uchun materiallarning mustahkamligi bo'yicha muammolarni hal qilishda aniqlanmasdan turib bo'lmaydi. figuralarning geometrik xarakteristikalari: statik, eksenel, qutbli va markazdan qochma inersiya momentlari. Bo'limning og'irlik markazining o'rnini aniqlay olish juda muhim (ro'yxatdagi geometrik xususiyatlar og'irlik markazining holatiga bog'liq). Ga qo'shimcha sifatida Oddiy figuralarning geometrik xarakteristikalari: to'rtburchaklar, kvadrat, teng va to'g'ri burchakli uchburchaklar, doira, yarim doira. Og'irlik markazi va asosiy markaziy o'qlarning joylashuvi ko'rsatiladi va ularga nisbatan geometrik xarakteristikalar, agar nur materiali bir hil bo'lsa, aniqlanadi.

To'rtburchak va kvadratning geometrik xarakteristikasi

To'rtburchakning eksenel inersiya momentlari (kvadrat)

To'g'ri burchakli uchburchakning geometrik xarakteristikalari

To'g'ri burchakli uchburchakning eksenel inersiya momentlari

Teng yonli uchburchakning geometrik xarakteristikasi

Teng yonli uchburchakning eksenel inersiya momentlari

Uchburchakning og'irlik markazi. Keling, bo'linish usulidan foydalanamiz va uchburchakni ajratamiz ABC yon tomonga parallel chiziqlar chizish orqali elementar chiziqlarga AC uchburchak. Har bir bunday chiziq to'rtburchak sifatida olinishi mumkin; bu to'rtburchaklarning og'irlik markazlari ularning o'rtalarida, ya'ni. medianada BD uchburchak. Shuning uchun uchburchakning og'irlik markazi bir xil medianada yotishi kerak BD.

Endi uchburchakni yon tomonga parallel chiziqlar bilan elementar chiziqlarga bo'lish AB, biz uchburchakning og'irlik markazi medianada joylashgan bo'lishi kerak degan xulosaga kelamiz EI.

Demak, uchburchakning og'irlik markazi uning medianalarining kesishish nuqtasida . Bu nuqta, ma'lumki, medianalarning har birini nisbatda segmentlarga ajratadi, ya'ni. .

Trapetsiyaning og'irlik markazi. Avvalgisiga o'xshab, trapezoidni ajratamiz A B C D asoslarga parallel ravishda elementar chiziqlarga Quyosh Va AD. Chiziqlarning og'irlik markazlari to'g'ri chiziqda joylashgan bo'ladi KL trapetsiya asoslarining o'rta nuqtalarini bog'lash. Demak, trapetsiyaning og'irlik markazi shu to'g'ri chiziqda yotadi. Uning pastki asosdan masofasini topish uchun trapetsiyani uchburchaklarga ajratamiz ABC Va ACD. Bu uchburchaklar uchun bizda mos ravishda, , , , .

(8.20) formuladan foydalanib, biz olamiz

.

Dumaloq yoyning og'irlik markazi. Arkni ko'rib chiqing ADV markaziy burchakli radiusli doiralar. Koordinatalar boshini aylananing markaziga qo'ying va o'qni akkordga perpendikulyar yo'naltiring AB.

Shaklning o'qga nisbatan simmetriyasi tufayli og'irlik markazi bu o'qda yotadi, ya'ni. , keyin faqat og'irlik markazining abscissasini topish qoladi; buning uchun (8.18) formuladan foydalanamiz.

Rasmga ko'ra. bizda, , va, shuning uchun,

, (8.22) bu yerda markaziy burchakning yarmi radianlarda.

Xususan, yarim doira yoy uchun bizda bo'ladi

Dumaloq sektorning og'irlik markazi. Dumaloq sektorning og'irlik markazining o'rnini aniqlash uchun uni rasmda ko'rsatilganidek, elementar sektorlarga ajratamiz. Har bir elementar sektor balandligi ga teng bo'lgan teng yonli uchburchak sifatida qabul qilinishi mumkin. Ammo teng yonli uchburchakdagi balandlik ham uning medianasidir; shuning uchun har bir elementar uchburchakning tortishish markazi koordinata boshidan uzoqda joylashgan HAQIDA. Shunga ko'ra, barcha elementar uchburchaklar og'irlik markazlarining geometrik joylashuvi radiusli aylana yoyidir.

Bu shuni anglatadiki, dumaloq sektor maydonining og'irlik markazini ushbu sektorning og'irligi doimiy va bir xil taqsimlanadigan material chizig'ining og'irlik markazi sifatida izlash mumkin. Formuladan (8.22) foydalanib, biz sektor maydonining og'irlik markazining koordinatasini olamiz

, (8.23) bu yerda markaziy burchakning yarmi radianlarda. Xususan, yarim doira shaklidagi sektor uchun biz olamiz

Muammo 8.3. Plastinka tomoni teng bo'lgan kvadratdan olinadi, undan tepada markazlashtirilgan radiusli doiraning chorak qismini tashkil etuvchi qismni kesib tashlagandan so'ng. A kvadrat. Plitaning og'irlik markazini aniqlang.

yoki tegishli qiymatlarni almashtirib,

.

Keling, ba'zi oddiy bir jinsli jismlarning og'irlik markazlarining o'rnini aniqlaydigan formulalarni hosilasiz keltiramiz.

Og'irlik markazi - bu elementar tortishish kuchlari natijasida hosil bo'lgan ta'sir chizig'i o'tadigan nuqta. U parallel kuchlar markazining xususiyatiga ega (E.M. Nikitin, § 42). Shunung uchun turli jismlarning og'irlik markazining holatini aniqlash uchun formulalar shaklga ega:
x c = (∑ G i x i) / ∑ G i ;
(1) y c = (∑ G i y i) / ∑ G i ;
z c = (∑ G i z i) / ∑ G i .

Agar og'irlik markazi aniqlanishi kerak bo'lgan jismni chiziqlardan tashkil topgan figura bilan aniqlash mumkin bo'lsa (masalan, simdan yasalgan yopiq yoki ochiq kontur, 173-rasm), u holda har bir segmentning og'irligi G i l i. mahsulot sifatida ifodalanishi mumkin
G i = l i d,
Bu erda d - butun rasm uchun materialning birlik uzunligining doimiy og'irligi.

Formulalarda G i oʻrniga (1) l i d ni qoʻygandan soʻng, pay va maxrajning har bir aʼzosidagi doimiy koʻrsatkich d qavs ichidan (yigʻindi belgisidan tashqari) olib tashlanishi va kamaytirilishi mumkin. Shunday qilib, chiziq segmentlaridan tashkil topgan figuraning og'irlik markazining koordinatalarini aniqlash uchun formulalar, shaklni oladi:
x c = (∑ l i x i) / ∑ l i;
(2) y c = (∑ l i y i) / ∑ l i;
z c = (∑ l i z i) / ∑ l i.

Agar tananing turli yo'llar bilan joylashtirilgan tekisliklardan yoki egri sirtlardan tashkil topgan shakl shakli bo'lsa (174-rasm), unda har bir tekislikning (sirtning) og'irligini quyidagicha ifodalash mumkin:
G i = F i p,
Bu erda F i - har bir sirtning maydoni va p - rasmning birlik maydoniga to'g'ri keladigan og'irlik.

G i ning ushbu qiymatini formulalar (1) ga almashtirgandan so'ng, biz olamiz maydonlardan tashkil topgan figuraning og'irlik markazining koordinatalari formulalari:
x c = (∑ F i x i) / ∑ F i ;
(3) y c = (∑ F i y i) / ∑ F i;
z c = (∑ F i z i) / ∑ F i.

Agar bir hil jismni ma'lum bir geometrik shakldagi oddiy qismlarga bo'lish mumkin bo'lsa (175-rasm), unda har bir qismning og'irligi
G i = V i g,
Bu erda V i - har bir qismning hajmi, g - tananing hajmi birligiga to'g'ri keladigan og'irlik.

G i qiymatlarini formulalarga (1) almashtirgandan so'ng, biz olamiz bir jinsli hajmlardan tashkil topgan jismning ogʻirlik markazining koordinatalarini aniqlash formulalari:
x c = (∑ V i x i) / ∑ V i;
(4) y c = (∑ V i y i) / ∑ V i;
z c = (∑ V i z i) / ∑ V i.

Jismlarning og'irlik markazining o'rnini aniqlashning ba'zi muammolarini hal qilishda, ba'zan aylana yoyi, aylana sektori yoki uchburchakning og'irlik markazi qayerda joylashganligini bilish kerak.

Agar yoyning radiusi r va yoyga bo'lingan va radianlarda ifodalangan markaziy burchak 2a ma'lum bo'lsa, u holda og'irlik markazining C (176-rasm, a) yoyning markaziga nisbatan o'rni O bilan aniqlanadi. formula:
(5) x c = (r sin a)/a.

Agar yoyning AB=b akkordi berilgan bo'lsa, (5) formulada almashtirishni amalga oshirish mumkin
sin a = b/(2r)
undan keyin
(5a) x c = b/(2a).

Yarim doira uchun alohida holatda, ikkala formula ham shaklni oladi (176-rasm, b):
(5b) x c = OC = 2r/p = d/p.

Dumaloq sektorning og'irlik markazining holati, agar uning radiusi r berilgan bo'lsa (176-rasm, c), quyidagi formula yordamida aniqlanadi:
(6) x c = (2r sin a)/(3a).

Agar sektor akkordi berilgan bo'lsa, unda:
(6a) x c = b/(3a).

Yarim doira uchun maxsus holatda oxirgi ikkala formula ham shaklni oladi (176-rasm, d)
(6b) x c = OC = 4r/(3p) = 2d/(3p).

Har qanday uchburchak maydonining og'irlik markazi istalgan tomondan tegishli balandlikning uchdan biriga teng masofada joylashgan.

To'g'ri burchakli uchburchakda og'irlik markazi to'g'ri burchakning cho'qqisidan hisoblab, oyoqlar uzunligining uchdan bir qismi masofasida joylashgan nuqtalardan oyoqlarga ko'tarilgan perpendikulyarlarning kesishmasida joylashgan (177-rasm).

Yupqa novdalar (chiziqlar) yoki plitalar (maydonlar) yoki hajmlardan tashkil topgan har qanday bir hil jismning og'irlik markazining o'rnini aniqlash masalalarini hal qilishda quyidagi tartibga rioya qilish tavsiya etiladi:

1) og'irlik markazining holati aniqlanishi kerak bo'lgan jismni chizish. Barcha tana o'lchamlari odatda ma'lum bo'lganligi sababli, o'lchovni kuzatish kerak;

2) tanani tarkibiy qismlarga (chiziq segmentlari yoki maydonlari yoki hajmlari) ajratish, og'irlik markazlarining holati tananing o'lchamiga qarab belgilanadi;

3) tarkibiy qismlarning uzunligini yoki maydonlarini yoki hajmlarini aniqlash;

4) koordinata o'qlarining joylashishini tanlash;

5) tarkibiy qismlarning og'irlik markazlarining koordinatalarini aniqlash;

6) alohida qismlarning uzunliklari yoki maydonlari yoki hajmlarining topilgan qiymatlarini, shuningdek ularning og'irlik markazlarining koordinatalarini tegishli formulalarga almashtiring va butun tananing og'irlik markazining koordinatalarini hisoblang;

7) topilgan koordinatalardan foydalanib, rasmda tananing og'irlik markazining holatini ko'rsating.

§ 23. Yupqa bir jinsli tayoqchalardan tashkil topgan tananing og'irlik markazining holatini aniqlash.

§ 24. Plitalardan tashkil topgan figuralarning og'irlik markazining o'rnini aniqlash

Oxirgi masalada, shuningdek, oldingi bandda keltirilgan masalalarda raqamlarni tarkibiy qismlarga bo'lish alohida qiyinchiliklarga olib kelmaydi. Ammo ba'zida bu raqam uning tarkibiy qismlariga bir necha usulda bo'linishiga imkon beruvchi shaklga ega, masalan, uchburchak kesimli ingichka to'rtburchaklar plastinka (183-rasm). Bunday plastinkaning og'irlik markazining o'rnini aniqlashda uning maydoni to'rtta to'rtburchaklar (1, 2, 3 va 4) va bitta to'g'ri burchakli uchburchak 5 - bir necha usul bilan bo'linishi mumkin. Ikkita variant rasmda ko'rsatilgan. 183, a va b.

Shaklni tarkibiy qismlarga bo'lishning eng oqilona usuli - bu eng kam sonli qismlarni ishlab chiqarishdir. Agar rasmda kesiklar mavjud bo'lsa, ular ham shaklning tarkibiy qismlariga kiritilishi mumkin, ammo kesilgan qismning maydoni salbiy hisoblanadi. Shuning uchun bu bo'linish salbiy hududlar usuli deb ataladi.

Rasmdagi plastinka. 183, bu usul yordamida faqat ikkita qismga bo'linadi: to'rtburchak 1 butun plastinkaning maydoni bilan, go'yo butun bo'lib, va biz salbiy deb hisoblagan maydon bilan 2 uchburchak.

§ 26. Oddiy geometrik shaklga ega bo'lgan qismlardan tashkil topgan tananing og'irlik markazining holatini aniqlash.

Oddiy geometrik shaklga ega bo'lgan qismlardan tashkil topgan jismning og'irlik markazining o'rnini aniqlash masalalarini hal qilish uchun siz chiziqlar yoki maydonlardan tashkil topgan figuralarning og'irlik markazining koordinatalarini aniqlash ko'nikmalariga ega bo'lishingiz kerak.

Dumaloq yoyning og'irlik markazi

Yoy simmetriya o'qiga ega. Og'irlik markazi bu o'qda yotadi, ya'ni. y C = 0 .

dl- yoy elementi, dl = Rdph, R- aylana radiusi, x = Rcosph, L= 2aR,

Demak:

x C = R(sina/a).

Dumaloq sektorning og'irlik markazi

Radius sektori R markaziy burchak bilan 2 α simmetriya o'qiga ega ho'kiz, og'irlik markazi joylashgan joyda.

Biz sektorni uchburchaklar deb hisoblash mumkin bo'lgan elementar sektorlarga ajratamiz. Elementar sektorlarning tortishish markazlari radiusli (2/3) aylana yoyda joylashgan. R.

Sektorning og'irlik markazi yoyning og'irlik markaziga to'g'ri keladi AB:

Yarim doira:

37. Kinematika. Nuqta kinematikasi. Nuqtaning harakatini belgilash usullari.

Kinematika– mexanikaning moddiy jismlarning harakati massa va ularga ta’sir etuvchi kuchlarni hisobga olmagan holda geometrik nuqtai nazardan o‘rganiladigan bo‘limi. Nuqta harakatini belgilash usullari: 1) natural, 2) koordinata, 3) vektor.

Nuqta kinematikasi- kinematikaning moddiy nuqtalar harakatining matematik tavsifini o'rganuvchi bo'limi. Kinematikaning asosiy vazifasi - bu harakatni keltirib chiqaradigan sabablarni aniqlamasdan, matematik apparat yordamida harakatni tasvirlashdir.

Tabiiy sp. nuqtaning traektoriyasi, uning shu traektoriya bo‘ylab harakatlanish qonuni, yoy koordinatasining boshlanishi va yo‘nalishi ko‘rsatilgan: s=f(t) – nuqtaning harakat qonuni. Chiziqli harakat uchun: x=f(t).

Koordinata sp. nuqtaning fazodagi o‘rni uchta koordinata bilan aniqlanadi, ulardagi o‘zgarishlar nuqtaning harakat qonunini aniqlaydi: x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Agar harakat tekislikda bo'lsa, unda ikkita harakat tenglamasi mavjud. Harakat tenglamalari traektoriya tenglamasini parametrik shaklda tasvirlaydi. Tenglamalardan t parametrini chiqarib tashlab, traektoriya tenglamasini odatiy ko‘rinishda olamiz: f(x,y)=0 (tekislik uchun).

Vector sp. nuqtaning joylashuvi uning qaysidir markazdan chizilgan radius vektori bilan aniqlanadi. Vektorning oxirigacha chizilgan egri chiziq deyiladi. godograf bu vektor. Bular. traektoriya - radius vektor godografi.

38. Koordinata va vektor o'rtasidagi bog'liqlik, nuqta harakatini ko'rsatishning koordinata va natural usullari.

VEKTOR USULNING KOORDINAT VA NATURAL USUL BILAN ALOQASI. nisbatlar bilan ifodalanadi:

bu erda ma'lum bir nuqtada traektoriyaga teginishning masofaviy mos yozuvlar tomon yo'naltirilgan birlik birligi va egrilik markaziga yo'naltirilgan ma'lum bir nuqtadagi traektoriyaning normal birligi (3-rasmga qarang). .

KOORDINATLAR USULINING TABIY BILAN BOG'LANISHI. Traektoriya tenglamasi f(x, y)=z; f 1 (x, z)=y harakat tenglamalaridan koordinata ko‘rinishidagi t vaqtni yo‘q qilib olinadi. Nuqta koordinatalari olishi mumkin bo'lgan qiymatlarning qo'shimcha tahlili egri chiziqning traektoriya bo'lgan qismini aniqlaydi. Masalan, nuqta harakati tenglamalar bilan berilgan bo'lsa: x=sin t; y=sin 2 t=x 2, u holda nuqtaning traektoriyasi y=x 2 parabolaning -1≤x≤+1, 0≤x≤1 bo‘lgan kesimidir. Masofani hisoblashning boshlanishi va yo'nalishi o'zboshimchalik bilan tanlanadi, bu qo'shimcha tezlikning belgisini va boshlang'ich masofaning kattaligi va belgisini aniqlaydi s 0 .

Harakat qonuni quyidagi bog'liqlik bilan belgilanadi:

+ yoki - belgisi masofani o'lchashning qabul qilingan yo'nalishiga qarab belgilanadi.

Nuqta tezligi ko'rib chiqilayotgan mos yozuvlar tizimidagi ushbu nuqtaning radius vektorining vaqt hosilasiga teng bo'lgan uning harakatining kinematik o'lchovidir. Tezlik vektori harakat yo'nalishi bo'yicha nuqtaning traektoriyasiga tegib yo'naltiriladi

Tezlik vektori (v) jismning vaqt birligida ma'lum bir yo'nalishda bosib o'tgan masofasi. Iltimos, ta'rifga e'tibor bering tezlik vektori tezlik ta'rifiga juda o'xshaydi, bir muhim farqdan tashqari: jismning tezligi harakat yo'nalishini ko'rsatmaydi, lekin jismning tezlik vektori harakat tezligini ham, harakat yo'nalishini ham ko'rsatadi. Shuning uchun tananing tezlik vektorini tavsiflovchi ikkita o'zgaruvchiga ehtiyoj bor: tezlik va yo'nalish. Qiymati va yo'nalishi bo'lgan fizik kattaliklar vektor kattaliklar deyiladi.

Tezlik vektori tana vaqti-vaqti bilan o'zgarishi mumkin. Agar uning tezligi yoki yo'nalishi o'zgarsa, tananing tezligi ham o'zgaradi. Doimiy tezlik vektori doimiy tezlik va doimiy yo'nalishni nazarda tutadi, doimiy tezlik atamasi esa yo'nalishni hisobga olmagan holda faqat doimiy qiymatni bildiradi. "Tezlik vektori" atamasi ko'pincha "tezlik" atamasi bilan almashtiriladi. Ularning ikkalasi ham tananing vaqt birligida bosib o'tgan masofasini ifodalaydi

Tezlashtirish nuqtasi- bu nuqta tezligining vaqtga nisbatan hosilasiga yoki nuqta radius vektorining vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasiga teng bo'lgan uning tezligi o'zgarishining o'lchovidir. Tezlanish tezlik vektorining kattalik va yo'nalish bo'yicha o'zgarishini tavsiflaydi va traektoriyaning bo'g'ozligi tomon yo'naltiriladi.

Tezlanish vektori

Bu tezlik o'zgarishining ushbu o'zgarish sodir bo'lgan vaqt davriga nisbati. O'rtacha tezlanishni quyidagi formula bilan aniqlash mumkin:

Qaerda - tezlanish vektori.

Tezlanish vektorining yo'nalishi tezlikni D = - 0 o'zgarish yo'nalishiga to'g'ri keladi (bu erda 0 - boshlang'ich tezlik, ya'ni tananing tezlasha boshlagan tezligi).

t1 vaqtida (1.8-rasmga qarang) tananing tezligi 0 ga teng. t2 vaqtida tananing tezligi bor. Vektorni ayirish qoidasiga ko‘ra, tezlik o‘zgarishi vektorini D = - 0 topamiz. Keyin tezlashuvni quyidagicha aniqlashingiz mumkin: