Bir o'zgaruvchidagi ko'p nomlilar. Matematika Menga o'xshash atamalarni qisqartirish yoqadi

§ 13. Butun funksiyalar (ko‘pnomlar) va ularning asosiy xossalari. 165 kompleks sonlar to‘plamida algebraik tenglamalarni yechish

13.1. Asosiy ta'riflar 165

13.2. Butun sonli ko‘phadlarning asosiy xossalari 166

13.3. Algebraik tenglama ildizlarining asosiy xossalari 169

13.4. 173-kompleks sonlar to‘plamidagi asosiy algebraik tenglamalarni yechish

13.5. Mustaqil ish uchun mashqlar 176

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar 178

Lug'at 178

1. Asosiy ta'riflar

Butun algebraik funktsiya yoki algebraik polinom (polinom )dalil x quyidagi turdagi funksiya deb ataladi

Bu yerga n–polinom darajasi ( natural son yoki 0), x - o'zgaruvchan (haqiqiy yoki murakkab); a 0 , a 1 , …, a n –polinom koeffitsientlari (haqiqiy yoki murakkab raqamlar), a 0  0.

Masalan,

;
;
,
- kvadrat trinomial;

,
;.

Raqam X 0 shunday P n (x 0)0, chaqiriladi nol funktsiya P n (x) yoki tenglamaning ildizi
.

Masalan,

uning ildizlari
,
,
.

chunki
Va
.

Izoh (butun algebraik funktsiyaning nollarini aniqlash bo'yicha)

Adabiyotda funktsiya nollari ko'pincha mavjud
uning ildizlari deyiladi. Masalan, raqamlar
Va
kvadratik funktsiyaning ildizlari deyiladi
.

1. Butun sonli ko‘phadlarning asosiy xossalari

 Identifikatsiya (3)  uchun amal qiladi x 
(yoki x  ), shuning uchun u amal qiladi
; almashtirish
, olamiz A n = b n. Keling, (3) dagi shartlarni o'zaro bekor qilaylik. A n Va b n va ikkala qismni bo'linadi x:

Bu o‘ziga xoslik  uchun ham to‘g‘ri keladi x, shu jumladan qachon x= 0, shuning uchun faraz qiling x= 0, biz olamiz A n – 1 = b n – 1 .

Keling, (3") dagi shartlarni o'zaro bekor qilaylik. A n– 1 va b n– 1 va ikkala tomonni ga bo'ling x, natijada biz olamiz

Bahsni xuddi shunday davom ettirsak, biz bunga erishamiz A n – 2 = b n –2 , …, A 0 = b 0 .

Shunday qilib, ikkita butun sonli ko'phadning bir xil tengligi ularning bir xil darajalar uchun koeffitsientlarining mos kelishini bildirishi isbotlangan. x.

Qarama-qarshi bayonot juda aniq, ya'ni agar ikkita ko'phadning barcha koeffitsientlari bir xil bo'lsa, ular to'plamda aniqlangan bir xil funktsiyalardir.
, shuning uchun ularning qiymatlari argumentning barcha qiymatlari uchun mos keladi
, bu ularning bir xil tengligini bildiradi. 1-xususiyat butunlay isbotlangan.

Misol (polinomlarning bir xil tengligi)

.

 Qoldiqqa bo'lish formulasini yozamiz: P n (x) = (x – X 0)∙Q n – 1 (x) + A,

Qayerda Q n – 1 (x) - daraja polinomi ( n – 1), A- qoldiq, ya'ni ko'phadni binomialga "ustunga" bo'lishning taniqli algoritmi bilan bog'liq bo'lgan raqam.

Bu tenglik  uchun to'g'ri x, shu jumladan qachon x = X 0 ; ishonish
, olamiz

P n (x 0) = (x 0 – x 0)Q n – 1 (x 0) + A  A = P n (X 0) 

Tasdiqlangan xususiyatning natijasi - Bezout teoremasi deb nomlanuvchi ko'phadning binomiga qoldiqsiz bo'linishi haqidagi bayonot.

 Bezout teoremasini isbotlash butun sonli ko‘phadni bo‘lishning avval isbotlangan xususiyatidan foydalanmasdan ham amalga oshirilishi mumkin.
binomial orqali
. Haqiqatan ham, polinomni bo'lish formulasini yozamiz
binomial orqali
A=0 qoldiq bilan:

Endi buni hisobga olsak polinomning nolga teng
, va uchun oxirgi tenglikni yozing
:

Misollar (Bezout deb ataladigan ko'phadni ko'paytirish)

1) chunki P 3 (1)0;

2) chunki P 4 (–2)0;

3) chunki P 2 (–1/2)0.

Bu teoremaning isboti bizning kursimiz doirasidan tashqarida. Shuning uchun biz teoremani isbotsiz qabul qilamiz.

Keling, ushbu teorema va ko'phadli Bezout teoremasi ustida ishlaymiz P n (x):

keyin n-bu teoremalarni bir necha marta qo'llash orqali biz buni olamiz

Qayerda a 0 - bu koeffitsient x n polinom yozuvida P n (x).

Agar teng bo'lsa (6) k to'plamdagi raqamlar X 1 ,X 2 , …X n bir-biriga va  raqamiga to'g'ri keladi, keyin o'ngdagi mahsulotda biz ko'paytirgichni olamiz ( x–) k. Keyin raqam x= deyiladi polinomning k katlamli ildizi P n (x ) , yoki koʻplikning ildizi k . Agar k= 1, keyin raqam
chaqirdi polinomning oddiy ildizi P n (x ) .

Misollar (polinomli chiziqli faktorizatsiya)

1) P 4 (x) = (x – 2)(x – 4) 3  x 1 = 2 - oddiy ildiz, x 2 = 4 - uchta ildiz;

2) P 4 (x) = (x – i) 4  x = i- ko'plikning ildizi 4.

Ta'rifga ko'ra, ko'phad monomiylar yig'indisini ifodalovchi algebraik ifodadir.

Masalan: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 koʻphad, z/(x - x*y^2 + 4) ifodasi esa koʻphad emas, chunki u monomlar yigʻindisi emas. Ko'phadni ba'zan ko'phad deb ham atashadi va ko'phadning bir qismi bo'lgan monomlar ko'phad yoki monomlarning a'zolaridir.

Ko'phad haqida murakkab tushuncha

Agar ko'phad ikki a'zodan iborat bo'lsa, binomial, uchtadan iborat bo'lsa, uch a'zo deyiladi. To'rtnomli, beshnomli va boshqa nomlar ishlatilmaydi va bunday hollarda ular oddiygina ko'phadli deb aytiladi. Bunday nomlar, atamalar soniga qarab, hamma narsani o'z o'rniga qo'yadi.

Va monomial atamasi intuitiv bo'ladi. Matematik nuqtai nazardan monomial ko'phadning maxsus holatidir. Monomial - bir haddan iborat ko'phad.

Xuddi monom kabi, ko'phad ham o'zining standart shakliga ega. Ko'phadning standart shakli - ko'phadning shunday yozuvi bo'lib, unda hadlar sifatida kiritilgan barcha monomlar standart shaklda yoziladi va shunga o'xshash shartlar beriladi.

Polinomning standart shakli

Ko'phadni standart shaklga qisqartirish tartibi monomlarning har birini standart shaklga qisqartirish va keyin barcha o'xshash monomlarni qo'shishdir. Ko'phadning o'xshash hadlarini qo'shish o'xshashni qisqartirish deyiladi.
Masalan, 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b ko‘phadda o‘xshash shartlarni beraylik.

Bu erda 4*a*b^2*c^3 va 6*a*b^2*c^3 atamalari oʻxshash. Ushbu atamalarning yig'indisi monomial 10 * a * b ^ 2 * c ^ 3 bo'ladi. Shuning uchun 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b asl koʻphadni 10*a*b^2*c^3 - a* shaklida qayta yozish mumkin. b . Ushbu yozuv polinomning standart shakli bo'ladi.

Har qanday monomni standart shaklga keltirish mumkinligidan, har qanday ko'phadni standart shaklga keltirish mumkinligi ham kelib chiqadi.

Ko'phad standart shaklga keltirilsa, polinom darajasi kabi tushuncha haqida gapirish mumkin. Ko'phadning darajasi - berilgan ko'phadga kiritilgan monomning eng yuqori darajasi.
Shunday qilib, masalan, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 beshinchi darajali ko'phaddir, chunki ko'phadga kiritilgan monomialning maksimal darajasi (5*x^3*y^) 2) beshinchi.

Ta'rif 3.3. Monomial sonlar, oʻzgaruvchilar va darajalarning natural koʻrsatkichli koʻpaytmasi boʻlgan ifodadir.

Masalan, har bir ibora,
,
monomial hisoblanadi.

Aytishlaricha, monomial bor standart ko'rinish , agar u birinchi navbatda faqat bitta raqamli omilni o'z ichiga olsa va undagi bir xil o'zgaruvchilarning har bir mahsuloti daraja bilan ifodalangan bo'lsa. Standart shaklda yozilgan monomialning son koeffitsienti deyiladi monomial koeffitsienti . Monomialning kuchi bilan uning barcha o‘zgaruvchilari ko‘rsatkichlari yig‘indisi deyiladi.

Ta'rif 3.4. Polinom monomiyalar yig'indisi deyiladi. Ko'phad tuzilgan monomlar deyiladipolinomning a'zolari .

Shunga o'xshash atamalar - ko'phaddagi monomlar deyiladi polinomning o'xshash hadlari .

Ta'rif 3.5. Standart shakldagi polinom barcha atamalar standart shaklda yozilgan va shunga o'xshash shartlar berilgan ko'phad deyiladi.Standart shakldagi ko'phadning darajasi unga kiritilgan monomiallarning eng katta vakolatlari deb ataladi.

Masalan, to'rtinchi darajali standart shakldagi ko'phad.

Monomiylar va ko'phadlar ustida amallar

Ko'phadlarning yig'indisi va ayirmasi standart shakldagi ko'phadga aylantirilishi mumkin. Ikki ko'phad qo'shilganda ularning barcha hadlari yoziladi va shunga o'xshash hadlar beriladi. Ayirishda ayiriluvchi ko'phadning barcha hadlarining belgilari teskari bo'ladi.

Masalan:

Ko'phadning hadlarini guruhlarga bo'lish va qavs ichiga olish mumkin. Bu qavslar ochilishiga teskari o'xshash transformatsiya bo'lgani uchun, quyidagilar o'rnatiladi qavs qoidasi: agar qavslar oldiga ortiqcha belgisi qo'yilgan bo'lsa, qavs ichiga olingan barcha atamalar ularning belgilari bilan yoziladi; Qavslar oldiga minus belgisi qo'yilgan bo'lsa, qavs ichiga olingan barcha atamalar qarama-qarshi belgilar bilan yoziladi.

Masalan,

Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish qoidasi: Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish uchun bitta ko'phadning har bir hadini boshqa ko'phadning har bir a'zosiga ko'paytirish va hosil bo'lgan ko'paytmalarni qo'shish kifoya.

Masalan,

Ta'rif 3.6. Bir o'zgaruvchidagi polinom daraja shaklning ifodasi deyiladi

Qayerda
- chaqiriladigan har qanday raqamlar polinom koeffitsientlari , va
,- manfiy bo'lmagan butun son.

Agar
, keyin koeffitsient chaqirdi polinomning yetakchi koeffitsienti
, monomial
- uning katta a'zosi , koeffitsient – bepul a'zo .

Agar o'zgaruvchi o'rniga polinomga
haqiqiy sonni almashtiring , keyin natija haqiqiy son bo'ladi
qaysi deyiladi polinomning qiymati
da
.

Ta'rif 3.7. Raqam chaqirdipolinomning ildizi
, Agar
.

Ko'phadni ko'phadga bo'lishni ko'rib chiqaylik, bu erda
Va - butun sonlar. Agar ko'p nomli dividend darajasi bo'lsa, bo'linish mumkin
bo'linuvchi ko'phadning darajasidan kam bo'lmagan
, ya'ni
.

Polinomni ajrating
polinomga
,
, ikkita shunday ko'phadni topishni bildiradi
Va
, uchun

Bunday holda, polinom
daraja
chaqirdi ko'p nomli-qism ,
– qolgan ,
.

Izoh 3.2. Agar bo'luvchi bo'lsa
–nol polinom emas, keyin bo'linish
yoqilgan
,
, har doim amalga oshirish mumkin, va qism va qoldiq yagona aniqlanadi.

Izoh 3.3. Bo'lgan holatda
hammaning oldida , ya'ni

ular buni ko'phadli deb aytishadi
butunlay bo'lingan(yoki aktsiyalar)polinomga
.

Polinomlarning bo'linishi ko'p xonali sonlarning bo'linishiga o'xshash tarzda amalga oshiriladi: birinchi navbatda, dividendli ko'phadning bosh a'zosi bo'linuvchi ko'phadning bosh hadiga, so'ngra ushbu atamalar bo'linmasidan olingan qismga bo'linadi. bo'linuvchi ko'phadning bosh a'zosi bo'linuvchi ko'phadga ko'paytiriladi va natijada olingan ko'paytma dividendli ko'phaddan ayiriladi. Natijada, ko'phad olinadi - bo'linuvchi ko'phad tomonidan shunga o'xshash tarzda bo'linadigan birinchi qoldiq va bo'linuvchi ko'phadning ikkinchi hadi topiladi. Bu jarayon nol qoldiq olinmaguncha yoki qolgan ko'phadning darajasi bo'luvchi ko'phadning darajasidan kichik bo'lguncha davom ettiriladi.

Ko'phadni binomga bo'lishda Horner sxemasidan foydalanish mumkin.

Horner sxemasi

Aytaylik, biz ko'phadni bo'lmoqchimiz

binomial orqali
. Bo'linish bo'lagini ko'phad sifatida belgilaymiz

qolganlari esa . Ma'nosi , polinomlar koeffitsientlari
,
va qolganlari Keling, uni quyidagi shaklda yozamiz:

Ushbu sxemada koeffitsientlarning har biri
,
,
, …,pastki qatordagi oldingi raqamdan raqamga ko'paytirish orqali olingan va natijada olingan natijaga kerakli koeffitsientdan yuqori chiziqdagi mos keladigan raqamni qo'shing. Har qanday daraja bo'lsa polinomda yo'q, keyin mos keladigan koeffitsient nolga teng. Berilgan sxema bo'yicha koeffitsientlarni aniqlab, biz qismni yozamiz

va agar bo'linish natijasi
,

yoki,

Agar
,

3.1 teorema. Qaytib bo'lmaydigan kasr uchun (

,

)polinomning ildizi edi
butun son koeffitsientlari bilan, bu raqam bo'lishi kerak erkin atamaning bo'luvchisi edi , va raqam - etakchi koeffitsientning bo'luvchisi .

3.2 teorema. (Bezout teoremasi ) Qolgan polinomni bo'lishdan
binomial orqali
polinomning qiymatiga teng
da
, ya'ni
.

Ko'phadni bo'lishda
binomial orqali
bizda tenglik bor

Bu to'g'ri, xususan, qachon
, ya'ni
.

3.2-misol. ga bo'ling
.

Yechim. Keling, Horner sxemasini qo'llaymiz:

Demak,

3.3-misol. ga bo'ling
.

Yechim. Keling, Horner sxemasini qo'llaymiz:

Demak,

,

3.4-misol. ga bo'ling
.

Yechim.

Natijada biz olamiz

3.5-misol. Bo'lmoq
yoqilgan
.

Yechim. Polinomlarni ustunga ajratamiz:

Keyin olamiz

.

Baʼzan koʻphadni ikki yoki undan ortiq koʻphadning teng koʻpaytmasi sifatida koʻrsatish foydali boʻladi. Bunday identifikatsiya konvertatsiyasi deyiladi polinomni faktoringga ajratish . Keling, bunday parchalanishning asosiy usullarini ko'rib chiqaylik.

Qavslar ichidan umumiy omilni chiqarish. Qavslar ichidan umumiy ko'paytmani olib, ko'phadni faktorlarga ajratish uchun quyidagilar zarur:

1) umumiy omilni toping. Buning uchun polinomning barcha koeffitsientlari butun son bo'lsa, ko'phadning barcha koeffitsientlarining eng katta modulli umumiy bo'luvchisi umumiy omil koeffitsienti deb hisoblanadi va ko'phadning barcha shartlariga kiritilgan har bir o'zgaruvchi eng kattasi bilan olinadi. bu ko'phaddagi ko'rsatkichi;

2) berilgan ko‘phadni umumiy ko‘paytmaga bo‘lish qismini toping;

3) umumiy koeffitsient va hosil bo'lgan ko'paytmani yozing.

A'zolarni guruhlash. Ko'phadni guruhlash usuli yordamida faktorlarga ajratishda uning shartlari ikki yoki undan ortiq guruhga bo'linadi, shunda ularning har biri ko'paytmaga aylanadi va hosil bo'lgan ko'paytmalar umumiy koeffitsientga ega bo'ladi. Shundan so'ng, yangi o'zgartirilgan atamalarning umumiy omilini qavslash usuli qo'llaniladi.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash. Ko'phad kengaytirilishi kerak bo'lgan hollarda omillarga, har qanday qisqartirilgan ko'paytirish formulasining o'ng tomoni shakliga ega bo'lib, uni ko'paytirish boshqa tartibda yozilgan tegishli formuladan foydalangan holda amalga oshiriladi;

Mayli

, keyin quyidagi to'g'ri bo'ladi Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari:

Yangi yordamchi a'zolarning kiritilishi. Bu usul ko'phadni unga teng bo'lgan, lekin boshqa sonli hadlarni o'z ichiga olgan boshqa ko'phad bilan almashtirishdan iborat bo'lib, ikkita qarama-qarshi atama kiritish yoki istalgan atamani o'xshash monomlarning bir xil yig'indisi bilan almashtirish. Almashtirish shunday amalga oshiriladiki, natijada olingan ko'phadga atamalarni guruhlash usuli qo'llanilishi mumkin.

3.6-misol..

Yechim. Ko'phadning barcha shartlari umumiy omilni o'z ichiga oladi
. Demak,.

Javob: .

3.7-misol.

Yechim. Biz koeffitsientni o'z ichiga olgan atamalarni alohida guruhlaymiz , va o'z ichiga olgan atamalar . Guruhlarning umumiy omillarini qavslar ichidan chiqarib, biz quyidagilarni olamiz:

.

Javob:
.

3.8-misol. Ko‘phadni ko‘paytiring
.

Yechim. Tegishli qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Javob: .

3.9-misol. Ko‘phadni ko‘paytiring
.

Yechim. Guruhlash usuli va tegishli qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

.

Javob: .

3.10-misol. Ko‘phadni ko‘paytiring
.

Yechim. Biz almashtiramiz yoqilgan
, atamalarni guruhlang, qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llang:

.

Javob:
.

3.11-misol. Ko‘phadni ko‘paytiring

Yechim. Chunki,
,
, Bu

- polinomlar. Ushbu maqolada biz ko'phadlar haqidagi barcha boshlang'ich va kerakli ma'lumotlarni ko'rib chiqamiz. Bularga, birinchidan, ko'phadning atamalari, xususan, erkin atama va shunga o'xshash atamalarning ta'riflari bilan ko'phadning ta'rifi kiradi. Ikkinchidan, biz standart shakldagi ko'phadlarga to'xtalib, tegishli ta'rifni beramiz va ularga misollar keltiramiz. Nihoyat, ko'phadning daraja ta'rifi bilan tanishamiz, uni qanday topishni aniqlaymiz va ko'phadning hadlari koeffitsientlari haqida gapiramiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Polinom va uning atamalari - ta'riflar va misollar

7-sinfda polinomlar monomlardan keyin darhol o'rganiladi, chunki bu tushunarli polinom ta'rifi monomiylar orqali beriladi. Polinom nima ekanligini tushuntirish uchun ushbu ta'rifni beramiz.

Ta'rif.

Polinom monomlarning yig'indisidir; Monomiy ko'phadning maxsus holi hisoblanadi.

Yozma ta'rif ko'pnomlarga o'zingiz xohlagancha misollar keltirish imkonini beradi. 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12 va hokazo monomlarning har qandayi. polinom hisoblanadi. Bundan tashqari, ta'rifiga ko'ra, 1+x, a 2 +b 2 va polinomlardir.

Ko'phadlarni tavsiflash qulayligi uchun ko'phadli atamaning ta'rifi kiritilgan.

Ta'rif.

Polinomli atamalar polinomning tarkibiy monomlari.

Masalan, 3 x 4 −2 x y+3−y 3 ko‘phad to‘rtta haddan iborat: 3 x 4 , −2 x y , 3 va −y 3 . Monomial bir haddan iborat ko'phad hisoblanadi.

Ta'rif.

Ikki va uch haddan iborat bo'lgan ko'pnomlar maxsus nomlarga ega - binom Va trinomial mos ravishda.

Demak, x+y binomi, 2 x 3 q−q x x x+7 b esa trinomiyadir.

Maktabda ko'pincha biz bilan ishlashimiz kerak chiziqli binom a x+b , bu yerda a va b ba'zi sonlar, x esa o'zgaruvchi, shuningdek c kvadratik trinomial a·x 2 +b·x+c, bu yerda a, b va c ba'zi sonlar, x esa o'zgaruvchidir. Chiziqli binomiallarga misollar: x+1, x 7,2−4 va kvadrat trinomiyalarga misollar: x 2 +3 x−5 va .

Ko'p nomli belgilar o'xshash atamalarga ega bo'lishi mumkin. Masalan, 1+5 x−3+y+2 x ko‘phadda o‘xshash hadlar 1 va −3, shuningdek, 5 x va 2 x. Ularning o'ziga xos nomi bor - ko'phadning o'xshash atamalari.

Ta'rif.

Ko‘phadning o‘xshash shartlari ko'phaddagi o'xshash atamalar deyiladi.

Oldingi misolda 1 va -3, shuningdek, 5 x va 2 x juftligi ko'phadning o'xshash hadlari hisoblanadi. O'xshash atamalarga ega bo'lgan polinomlarda siz ularning shaklini soddalashtirish uchun o'xshash atamalarni qisqartirishingiz mumkin.

Standart shakldagi polinom

Polinomlar uchun, xuddi monomlar uchun, standart shakl deb ataladigan narsa mavjud. Keling, tegishli ta'rifni aytaylik.

Ushbu ta'rifga asoslanib, standart shakldagi ko'phadlarga misollar keltirishimiz mumkin. Demak, 3 x 2 −x y+1 ko‘phadlari va standart shaklda yozilgan. 5+3 x 2 −x 2 +2 x z va x+x y 3 x z 2 +3 z ifodalari esa standart ko‘rinishdagi ko‘phadlar emas, chunki ularning birinchisida 3 x 2 va −x 2 o‘xshash atamalar mavjud va ichida ikkinchisi - monomial x·y 3 ·x·z 2, shakli standartdan farq qiladi.

E'tibor bering, agar kerak bo'lsa, siz har doim polinomni standart shaklga qisqartirishingiz mumkin.

Standart shakldagi ko'phadlarga tegishli yana bir tushuncha ko'phadning erkin hadi tushunchasidir.

Ta'rif.

Polinomning erkin hadi standart shakldagi koʻphadning harf qismisiz aʼzosi.

Boshqacha qilib aytganda, agar standart shakldagi ko'phadda son bo'lsa, u holda erkin a'zo deyiladi. Masalan, 5 - x 2 z+5 ko'phadning erkin hadi, lekin 7 a+4 a b+b 3 ko'phadning erkin hadi yo'q.

Polinom darajasi - uni qanday topish mumkin?

Yana bir muhim bog'liq ta'rif - bu ko'phad darajasining ta'rifi. Birinchidan, standart shakldagi ko'phadning darajasini aniqlaymiz, bu ta'rif uning tarkibidagi monomlarning darajalariga asoslanadi.

Ta'rif.

Standart shakldagi ko'phadning darajasi uning yozuviga kiritilgan monomiallarning vakolatlarining eng kattasi.

Keling, misollar keltiraylik. 5 x 3 −4 ko‘phadning darajasi 3 ga teng, chunki unga kiritilgan 5 x 3 va −4 monomlari mos ravishda 3 va 0 darajaga ega, bu sonlarning eng kattasi 3 ga teng, bu ko‘phadning darajasidir. ta'rifi bo'yicha. Va polinomning darajasi 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x 2+3=5, 4+1=5 va 1 sonlarning eng kattasiga, ya’ni 5 ga teng.

Endi har qanday shakldagi ko‘phadning darajasini qanday topish mumkinligini aniqlaymiz.

Ta'rif.

Ixtiyoriy shakldagi ko'phadning darajasi standart ko'rinishdagi mos ko'phadning darajasini chaqiramiz.

Shunday qilib, agar ko'phad standart shaklda yozilmagan bo'lsa va siz uning darajasini topishingiz kerak bo'lsa, unda siz asl ko'phadni standart shaklga keltirishingiz va olingan ko'phadning darajasini topishingiz kerak - bu talab qilinadigan ko'phad bo'ladi. Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Polinomning darajasini toping 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Yechim.

Avval polinomni standart shaklda ifodalashingiz kerak:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Hosil boʻlgan standart koʻrinishdagi koʻphadga ikkita monom −2 · a 2 · b 2 · c 2 va y 2 · z 2 kiradi. Ularning darajalarini topamiz: 2+2+2=6 va 2+2=4. Shubhasiz, bu kuchlarning eng kattasi 6 dir, bu ta'rifi bo'yicha standart shakldagi ko'phadning kuchidir. −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, va shuning uchun asl ko'phadning darajasi., 2 x−0,5 x y+3 x+7 ko‘phadning 3 tasi va 7 tasi.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 7-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 17-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 240 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7-sinf. 2 soat ichida 1-qism. Umumta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 17-nashr, qo'shimcha. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 b.: kasal. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. 10-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar: asosiy va profil. darajalari / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; tomonidan tahrirlangan A. B. Jijchenko. - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 2010.- 368 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

Ko'phad va ko'phad o'rtasida tenglik hosil bo'lishi g'alati. Garchi esimda, bular boshqa narsalar. Polinom - bu ular haqida yozadigan narsa. Ko'phad - bu 2 ta ko'phadning nisbati. Lug‘atdan polinom so‘zining inglizcha tarjimasini ko‘rib chiqdim va u polinom deb tarjima qilinganini ko‘rdim, bu meni hayratda qoldirdi... Ma'lum bo'lishicha, ular hatto farqni ham ko'rmaydilar. 1-misolga kelsak... Bu hammasi yaxshi, lekin noma'lum koeffitsientlarni kiritmasdan to'g'ridan-to'g'ri konvertatsiya qilishning yo'li bormi? Bu usul juda dabdabali... Polinomlar haqida ko‘p gapirish mumkin. Bu o'rta maktab doirasidan tashqariga chiqadi. Tadqiqot hali ham davom etmoqda! Bular. Polinomlar mavzusi tugallanmagan. Men radikallarning ildizlari haqidagi savolga javob bera olaman. Umuman olganda, 4 dan yuqori darajali ko'phadlar radikallarda yechimga ega emasligi isbotlangan. Va ularni umuman analitik tarzda hal qilib bo'lmaydi. Garchi ba'zi turlari juda echilishi mumkin. Lekin hammasi emas... 3-darajali tenglama Kardano yechimiga ega. 4-darajali tenglamada 2 turdagi formulalar mavjud. Ular juda murakkab va umuman olganda, ularning barchasi murakkab bo'lishi mumkin bo'lgan haqiqiy echimlar mavjudligi aniq emas; Toq darajali polinom har doim kamida 1 haqiqiy ildizga ega. Nazariy jihatdan, hatto 3 yoki 4-darajali tenglamalarni echish uchun formulalar murakkabligi tufayli unchalik keng tarqalmagan. Va qaysi ildizlarni hisobga olish kerakligi haqida savol tug'iladi. Axir, n-darajali tenglama, ularning ko'pligini hisobga olgan holda, aniq n ta ildizga ega. Masalan, Nyuton usuli yordamida tenglamani sonli yechishingiz mumkin. U erda hamma narsa oddiy. Takrorlash formulasi yozilgan va hech qanday muammo yo'q. Chiziqli yaqinlashish. To'g'ri chiziq OX o'qi bilan faqat 1-nuqtada kesishadi. Kesishmasligi mumkin, keyin ildiz murakkab. Lekin, shuningdek, 1. Ma'lumki, agar haqiqiy koeffitsientli polinom murakkab ildizga ega bo'lsa, unda u ham murakkab konjugatga ega. Biroq, allaqachon kvadratik yaqinlashishda (bu usul parabola usuli deb ataladi va oldingi 2 ta nuqtaga asoslangan ushbu Myuller usulining boshqa variantlari va boshqalar) muammolar paydo bo'ladi. Birinchidan, ikkita ildiz bor (agar diskriminant > 0 bo'lsa MB) qaysi birini tanlash kerak? Garchi tenglama kvadrat bo'lsa ham. Siz oldinga o'tishingiz mumkin, kubik yaqinlashuvni (Teylor seriyasining 4-chi hadi, q uchun biz 3 ni olamiz) va hatto Teylor seriyasining 5 ta shartini olib, 4-darajali yaqinlashuvni olishingiz mumkin. Konvergentsiya juda tez bo'ladi. Hamma narsani analitik tarzda hal qilish mumkin! Ammo men matematika adabiyotida bunday usullarni hech qachon ko'rmaganman. Qoidaga ko'ra, ular Nyuton usulidan foydalanadilar, chunki u muammosiz! Va nazariy jihatdan kub yoki to'rtinchi darajali tenglamalar qaerda bo'lsa, bu sodir bo'ladi. Agar xohlasangiz, o'zingiz sinab ko'ring! Siz xursand bo'lasiz deb o'ylamayman. Garchi takror aytsam ham, hamma narsa analitik tarzda hal qilinadi. Formulalar juda murakkab bo'ladi. Lekin gap bu emas. Murakkablik bilan bog'liq bo'lmagan ko'plab boshqa muammolar paydo bo'ladi.