Yu. N. Makarichev va boshqalar. Dars mavzusi: Tenglama. Parchalanish tenglamalari Yechish uchun buzilgan tenglamalar usuli

(35.21), (35.23), (35.30), (35.31), (35.32), (47.7), (47.22) va (35.20) tenglamalar bilan berilgan to'plamlarni ko'rib chiqish qoladi.

Ta'rif 47.16.Ikkinchi tartibli sirt deyiladi parchalanishi agar u birinchi tartibdagi ikkita sirtdan iborat bo'lsa.

Masalan, tenglama bilan berilgan sirtni ko'rib chiqing

Tenglikning chap tomoni (35.21) omillarga bo'linishi mumkin

(47.36)

Shunday qilib, nuqta (35.21) tenglama bilan berilgan sirt ustida yotadi, agar uning koordinatalari quyidagi tenglamalardan birini qoniqtirsa yoki. Va bu 36-xatboshiga binoan (jadvalning 36.2-bandiga, 10-qatorga qarang) ikkita tekislikning tenglamalari OZ o'qidan o'tadi. Demak (35.21) tenglama parchalanuvchi yuzani, aniqrog'i, ikkita kesishgan tekislikni aniqlaydi.

Vazifa: Agar sirt bir vaqtning o'zida ikkala silindrsimon va konus shaklida bo'lsa va bir nechta to'g'ri chiziqlardan iborat bo'lsa, u parchalanadi, ya'ni. ma'lum bir tekislikni o'z ichiga oladi.

Endi tenglamani ko'rib chiqing (35.30)

Ikki chiziqli tenglamaga bo'linishi mumkin va. Shunday qilib, agar nuqta (35.30) tenglama bilan berilgan sirt ustida yotsa, uning koordinatalari quyidagi tenglamalardan biriga mos kelishi kerak: va. Va bu 36-bandga binoan (jadvalning 6.2-betiga qarang) tekislikka parallel bo'lgan tekisliklarning tenglamasi. Shunday qilib, tenglama (35.30) ikkita parallel tekislikni aniqlaydi va shuningdek, parchalanadigan sirtdir.

E'tibor bering, har qanday samolyot juftligi va quyidagi ikkinchi darajali tenglama bilan belgilanishi mumkin. (35.21) va (35.30) tenglamalar mavjud kanonik ikkita tekislikning tenglamalari, ya'ni ular (bu tenglamalar) eng sodda shaklga ega bo'lgan maxsus tanlangan koordinatalar tizimidagi tenglamalar.

Tenglama xuddi shu (35.31)

umuman olganda, u y \u003d 0 bitta chiziqli tenglamaga teng va bitta tekislikni ifodalaydi (jadvalning 36.2-bandining 12-qatoriga binoan, ushbu tenglama tekislikni aniqlaydi).

E'tibor bering, har qanday tekislikni quyidagi ikkinchi tartibli tenglama bilan belgilash mumkin.

(35.30) (at) tenglamasiga o'xshab, ba'zida (35.20) tenglik birlashtirilgan ikkita parallel tekislikni aniqlaydi, deyiladi.

Endi murojaat qilamiz buzilish holatlari.

1.Erkak (35.20)

E'tibor bering, M (x, y, z) nuqta (35.20) tenglama bilan berilgan to'plamga tegishli bo'lib, agar uning birinchi ikkita koordinatasi x \u003d y \u003d 0 bo'lsa (va uning uchinchi koordinatasi z har qanday narsa bo'lishi mumkin). Bu shuni anglatadiki (35.20) tenglama bitta to'g'ri chiziqni - OZ dasturining o'qini belgilaydi.

E'tibor bering, har qanday to'g'ri chiziqning tenglamasi (40-bandning 40.1-bandiga, shuningdek, 37-bandga, tizimga (37.3) qarang, quyidagi ikkinchi tartibli tenglama bilan aniqlanishi mumkin. Tenglik (35.20) bu kanonikto'g'ri chiziq uchun ikkinchi tartibli tenglama, ya'ni. maxsus tanlangan koordinatalar tizimida uning ikkinchi tartibli tenglamasi, bu erda u (bu tenglama) eng sodda.

2. Tenglama (47.7)

(47.7) tenglamani x \u003d y \u003d z \u003d 0 sonlarning faqat uchdan bir qismi qondirishi mumkin. Shunday qilib, tenglik (47,7) in kosmik to'plamlar faqat bitta nuqta O (0; 0; 0) - koordinatalarning kelib chiqishi; kosmosdagi boshqa har qanday nuqtaning koordinatalari tenglikni qondira olmaydi (47.7). Shuni ham unutmangki, bitta nuqtadan iborat to'plam quyidagi ikkinchi tartibli tenglama bilan belgilanishi mumkin:

3. Tenglama (35.23)

Va bu tenglamani kosmosdagi biron bir nuqtaning koordinatalari qondira olmaydi, ya'ni. u bo'sh to'plamni belgilaydi... Tenglama bilan o'xshashlik (33.4)

(47.5 bo'limiga, 47.8 ta'rifiga qarang), u xayoliy elliptik tsilindr deb ham ataladi.

4.Tenglama (35.32)

Kosmosdagi har qanday nuqtaning koordinatalari ham ushbu tenglamani qondira olmaydi, shuning uchun u bo'sh to'plamni belgilaydi. Shunga o'xshash tenglama (35.30) ga o'xshab, bu "sirt" xayoliy parallel tekisliklar ham deyiladi.

5. Tenglama (47.22)

Va bu tenglamani kosmosdagi biron bir nuqtaning koordinatalari qoniqtirmaydi va shuning uchun u bo'sh to'plamni belgilaydi... Tenglik tengligi bilan taqqoslanganda (47.17) (47.2 bo'limiga qarang), bu to'plam xayoliy ellipsoid deb ham ataladi.

Barcha ishlar ko'rib chiqiladi.

ILM AKADEMIYASI HISOBOTLARI, 2008 y., 420-son, № 6, p. 744-745

MATEMATIK FIZIKA

VESELOV-NOVIKOV ASBOB-USKUNALARINING HARAKATLANISHI

© 2008 O'zR FA muxbir a'zosi I. A. Taimanov, S. Tsarev S.

2008 yil 14 fevralda olingan

Veselov-Novikov tenglamasi

u, \u003d e3 u + E3 u + s E (vu) + zE (vu) \u003d o, E V \u003d E u,

bu erda E \u003d (Ex - ¿Ey), E \u003d 1 (Ex + ¿Ey), Korteweg-de Vries (KdV) tenglamasining ikki o'lchovli umumlashmasi.

va, \u003d 4 uhxx \u200b\u200b+ viih,

unga bir o'lchovli chegara kiradi: V \u003d u \u003d u (x). Tenglama (1) ikki o'lchovli Schrödinger operatorining deformatsiyalarini aniqlaydi

hf \u003d 0 tenglamaning φ eritmasining H b \u003d 0 tenglamaning b yechimiga o'tishini aniqlaydi, bu erda

H \u003d EE + u, u \u003d u + 2 EE 1n w.

Bir o'lchovli chegarada, Moutard transformatsiyasi taniqli Darboux transformatsiyasiga qadar kamayadi.

Moutard transformatsiyasi tizim echimlarini o'zgartirishga kengayadi

Hf \u003d 0, f (\u003d (E3 + E3 + 3 VE + 3 V * E) f, ^^^

bu erda E V \u003d Ei, EV * \u003d E va, o'zgaruvchan (o'zgargan Moutard o'zgarishi)

\u003d ~ | ((f Eyyu-Ef) dz- (f Eyu-u Ef) dz +

h1 \u003d HA + 5H shaklidagi, bu erda A, B differentsial operatorlardir. Bunday deformatsiyalar H operatorining "spektrini" nol energiya darajasida saqlab, tenglamaning echimlarini o'zgartiradi

Hf \u003d (EE + u) f \u003d 0 (3)

ko'ra (masalan + A) φ \u003d 0.

Ushbu tenglamaning eski echimlaridan (u, φ) yangi (u, φ) tenglamani (u,,) qurish usuli mavjud, u kvadratga tushiriladi - Moutard konversiyasi. U quyidagilardan iborat: potentsiali bo'lgan H operatoriga va (3) tenglamaning yechimiga ruxsat berilsin: Hw \u003d 0.

W | [(f Esh - w Ef) dz - (f Esh - w Ef) dz]

Matematika instituti. S.L. Sobolev, Rossiya Fanlar akademiyasining Sibir bo'limi, Novosibirsk

Krasnoyarsk davlat pedagogika universiteti

+ [f E u - u E f + u E f - f E u +

2 2 "2 _ ~ _2 + 2 (E f Esh - Ef E w) -2 (E f Esh - Ef E w) +

3V (f Esh - w Ef) + 3 V * (w Ef - f Esh)] dt),

u ^ u + 2EE lnm, V ^ V + 2E21nm

V * ^ u * + 2E21psh,

bu erda qanoatlantiruvchi (4).

(1) Veselov-Novikov tenglamasi

tizimning (4) muvofiqligi sharti V * \u003d V.

Agar eritma haqiqiy bo'lsa, u \u003d u u shartlari

V * \u003d V saqlanib qoladi va kengaytirilgan Moutard transformatsiyasi haqiqiy echimlarni tarjima qiladi va

(1) tenglamani boshqa haqiqiy echimlarga va ushbu tenglamaga kiriting.

KdV tenglamasining barcha ratsional solitonlari Darboux o'zgarishini u \u003d 0 potentsialidan qaytarish orqali olinadi. Bundan tashqari, barcha potentsiallar yakka.

Ikki o'lchovli holatda, shunga o'xshash qurilish ikki iteratsiyadan keyin nonsingular va hatto tezda pasayadigan potentsialga olib kelishi mumkin.

ASOSIY EKOZLARNI BOSHLASh

yurish-turishlar. Ya'ni, u0 \u003d 0 va ω1 ω2 tizimning (4) haqiqiy echimi bo'lsin:

u, \u003d r (z, z) + f (z, z), \u003d i (z, z) + i (z, z), (5)

bu erda / va π r holomorfikdir va tenglamalarni qondiradi

fg \u003d Yyyy "yag \u003d yyyy"

Uj u2 funktsiyalarining har biri u \u003d 0 potentsialining (kengaytirilgan) Moutard o'zgarishini va tizimning tegishli echimlarini (4) belgilaydi. Keling, ularni Mu va Ma deb belgilaymiz. Olingan potentsial biz

u1 \u003d Myu (u0), u2 \u003d Myu (u0) bilan belgilaymiz.

E1 e Mening (ω2) ga, ya'ni. b1 ω2 dan M ω ni aylantirish orqali olinadi. E'tibor bering, Moutardning o'zgarishi φ uchun integratsiyaning doimiyligiga bog'liq. B1 haqiqiy funktsiya bo'lgan doimiyni tanlaymiz. Doimiyni tanlash bizga iteratsiyalangan potentsialning bema'niligini tez-tez nazorat qilishimizga imkon beradi (biz buni aniq misollarda ishlatamiz).

Oddiy tekshiruv shuni ko'rsatadiki, b2 \u003d - b1 f

e mu (yuh). Taniqli lemma ushlab turadi, bu o'zboshimchalik bilan mumkin bo'lgan u0 uchun to'g'ri keladi.

Lemma 1. u12 \u003d M01 (u2) va u21 \u003d M02 (u2) ga ruxsat bering. Keyin u12 \u003d u21.

U0 \u003d 0 holati uchun bizda Lemma 2 bo'ladi va ω1 va ω2 shakllar bo'lsin (5). U holda u \u003d Mb (My (u0)) potentsial, bu erda u0 \u003d 0 va b1 e My (u2) formulalar yordamida beriladi.

u \u003d 2EE 1nI ((/ I - fya) +) ((f "I - fya") dr + + (GY - G I) - GZ) + + GY "" - G "" z + 2 (zi - zi ")) dz)

Shuni yodda tutingki, (4) tizimning ω1, ω2 statsionar boshlang'ich echimlari uchun ham r ning nitrivial dinamikasi bilan Veselov-Novikov tenglamasining echimini olishimiz mumkin.

Teorem 1. U (z, z) M1 \u003d iz2 - i ~ z, ffl2 \u003d z2 + (1 +) dan Moutardning ikki marta o'zgarishi natijasida olingan ratsional potentsial bo'lsin.

I) z + ~ z + (1 - i) z. Potentsial U nonsing bo'lib, r-3 uchun r-3 sifatida kamayadi va Veselov-Novikov tenglamasini (1) dastlabki ma'lumotlar bilan echish

U \\ t \u003d 0 \u003d U cheksiz vaqt ichida yaxlit holga keladi va shaklning o'ziga xos xususiyatiga ega

(3 x4 + 4 x3 + 6 x2 y2 + 3 y4 + 4 y3 + 30 - 12 t)

Izoh. Veselov-Novikov tenglamasi t ^ -t, z ^ -z o'zgarishi ostida o'zgarmasdir. Bunga yechim topish oson

boshlang'ich ma'lumotlar bilan tenglama U (z, z, 0) \u003d U (-z, - z) barcha t\u003e 0 uchun doimiydir.

Ishda berilgan ratsional potentsial (1) r-6 ga kamayadi va Veselov-Novikov tenglamasining statsionar nonsingulyar echimini beradi. F (z) \u003d a3z3 + a2z2 + a1z2 + a0 + 6a3t, g (z) \u003d b3z3 + b2z2 + b1z2 + b0 + 6b3t ni tanlab, cheksizlikda kamayadigan, t \u003d 0 ga teng bo'lmagan va Veselov-Novikov tenglamasining echimini topish oson. T\u003e t0 sonli sonlardagi o'ziga xosliklar.

Shuni esda tutingki, Korteweg-de Vry tenglamasining silliq, tez pasayadigan boshlang'ich ma'lumotlari t\u003e 0 uchun nomuvofiq bo'lib qoladi (masalan, qarang).

Ushbu ish Rossiya fundamental tadqiqotlar fondining qisman moliyaviy ko'magi bilan amalga oshirildi (loyihaning kodlari I.A.T. uchun 06-01-00094 va S.P.T. uchun 06-01-00814).

ADABIYOTLAR RO'YXATI

1. Veseloe AP, Novikov SP // DAN. 1984. T. 279, № 1. S. 20-24.

2. Dubrovin B A., Krichever I. M., Novikov SP. // DAN. 1976. T. 229. № 1. S. 15-19.

O'qituvchi talabalarga salom beradi va e'lon qiladi:

Bugun biz siz bilan mavzu bo'yicha ishlashni davom ettiramiz: butun tenglamalar

Ikkinchi darajadan yuqori darajadagi tenglamalarni yechish ko'nikmalarini birlashtirishimiz kerak; butun tenglamalarning uchta asosiy klassi haqida bilib oling, ularni hal qilish usullarini o'rganing

Doskaning orqa tomonida ikkita talaba allaqachon № 273 echimni tayyorlagan va talabalarning savollariga javob berishga tayyor

Bolalar, men oldingi darsda o'rgangan nazariy ma'lumotlarni biroz eslashni taklif qilaman. Sizdan savollarga javob berishingizni so'rayman

Qaysi bitta o'zgaruvchan tenglama butun son deb ataladi? Misollar keltiring

Butun tenglamaning darajasini qanday topasiz?

Birinchi darajali tenglamani qaysi shaklga kamaytirish mumkin?

Bunday tenglamani yechimi qanday bo'ladi

Ikkinchi darajali tenglamani qaysi shaklga kamaytirish mumkin?

Bunday tenglamani qanday echish kerak?

Uning nechta ildizi bo'ladi?

Uchinchi darajali tenglamani qaysi shaklga kamaytirish mumkin?

To'rtinchi darajali tenglama?

Ular nechta ildizlarga ega bo'lishi mumkin?

Bugun, yigitlar, biz butun tenglamalar haqida ko'proq bilib olamiz: tenglamalarning uchta asosiy sinfini echish usullarini o'rganamiz:

1) Bik kvadratik tenglamalar

Bular shakl tenglamalari
, bu erda x o'zgaruvchi, a, b, c ba'zi sonlar va ≠ 0.

2) A (x) * B (x) \u003d 0 shakliga qisqartirilgan parchalanuvchi tenglamalar, bu erda A (x) va B (x) X ga nisbatan ko'paytmalardir.

Siz avvalgi darsda parchalanuvchi tenglamalarni qisman hal qilgansiz.

3) O'zgaruvchini o'zgartirish orqali echiladigan tenglamalar.

Ko'rsatmalar

Endi har bir guruhga hal qilish usulini batafsil tavsiflovchi kartalar beriladi, siz ushbu tenglamalarni birgalikda tahlil qilishingiz va ushbu mavzu bo'yicha topshiriqlarni bajarishingiz kerak. Guruhingizda javoblarni o'rtoqlaringiz bilan tekshiring, xatolarni toping va umumiy javobga keling.

Har bir guruh tenglamalarni ishlab chiqqandan so'ng, ularni boshqa guruhlarga taxtada tushuntirish kerak. Guruhdan kimni vakil qilganingiz haqida o'ylang.

Guruhlarda ishlash

Guruhli ish paytida o'qituvchi bolalar qanday qilib fikrlashayotganini, jamoalar tashkil etilganmi yoki yo'qmi, bolalarda etakchilar bor-yo'qligini kuzatadi.

Agar kerak bo'lsa, yordam beradi. Agar guruh topshiriqni boshqalarga qaraganda oldinroq bajargan bo'lsa, unda o'qituvchi hali ham ushbu kartadagi murakkablik darajasidagi tenglamalarga ega.

Kartani himoya qilish

O'qituvchi, agar bolalar hali buni qilmagan bo'lsa, kartani kim taxtada himoya qilishini hal qilishni taklif qiladi.

O'qituvchi, rahbarlar ish paytida, agar ular xato qilsa, nutqlarini to'g'rilashlari mumkin.

Shunday qilib, yigitlar, siz bir-biringizni tingladingiz, o'z echimingiz uchun tenglamalar doskaga yozildi. Ishga tushing

Ur. Igr.

IIgr.

IIIgr.

Sizda yo'q bo'lgan tenglamalarni echishingiz kerak.

№ 276 (b, d), 278 (b, d), 283 (a)

Shunday qilib, bolalar, bugun biz yangi tenglamalar echimini guruhlarda o'rgandik. Sizningcha, bizning ishlarimiz yaxshi yakunlandi?

Biz maqsadimizga erishdikmi?

Sizni ishingizda nima to'xtatdi?

O'qituvchi eng faol bolalarni baholaydi.

Dars uchun rahmat !!!

Yaqin kelajakda ushbu darsda tahlil qilingan tenglamalarni o'z ichiga olgan mustaqil ishni bajarish tavsiya etiladi.

"Yuqori darajadagi tenglamalarni yechish" - Tenglamani echish nimani anglatadi? Birinchi bosqichning vazifalari. WARM-UP (d / soatni tekshiring). Yuqori darajadagi tenglamalarni yechish. Doskada qanday tenglamalar yozilgan? Jismoniy ta'lim. II bosqich Mustaqil ish varianti 1 variant 2. Tenglamaning ildizi deb nimaga aytiladi? Eritma sxemasi chiziqli tenglama kvadratik tenglama bik kvadratik tenglama.

"Tenglamalar va tengsizliklarni hal qilish usullari" - Qadimgi Misr. Kub tenglamalari. Tenglamalar va tengsizliklarni echishning nostandart usullari. Bir xillik g'oyasi. Modulni o'z ichiga olgan tenglamalarni echishning grafik usuli. Modul bilan tengsizlik. Koeffitsientlar uchun tenglamalarni yechish. Asl tengsizlik hech qanday echimni o'z ichiga olmaydi. Maydon yig'indisi.

"Tenglamalar va tengsizliklar" - almashtirish. Funktsional grafiklarning kesishish nuqtasining abssissasini toping. A qiymatining qaysi qiymati tenglamaning ildizlari soniga teng. "Grafik usul. U quyidagilardan iborat: bitta koordinatali tizimda ikkita funktsiyaning grafigini chizish. Tenglamalar va tengsizliklarni echish." Tengsizlikning eng kichik tabiiy echimini toping.

"Fraksiyonel tenglamalar" - Olingan tenglamani yeching. Kvadrat tenglama Agar ikkita tenglamaga ega bo'lsa, agar…. Tenglama kasrlarining ruxsat etilgan qiymatlariga qo'shilmagan ildizlarni chiqarib oling. ... Sizning xatingiz. Yuqori jon ”. Fraksiyonel ratsional tenglamalarni yechish algoritmi. Va esda tuting - odamda asosiy narsa nima? Fraksiyonel ratsional tenglamalar. Ushbu tenglama nechta ildizga ega? 4. Ushbu tenglamaning nomi nima?

"Logaritmik tenglamalarni yechish" - Agar tenglama turli asoslarga ega logarifmlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, unda birinchi navbatda, o'tish formulalari yordamida barcha logarifmlarni bitta bazaga kamaytirish kerak. Ifodaning qiymatlarini hisoblang. Ta'rif: logarifmlarning xususiyatlari bo'yicha materialni umumlashtirish, logarifmik funktsiya; logarifmik tenglamalarni yechishning asosiy usullarini ko'rib chiqing; og'zaki qobiliyatlarni rivojlantirish.

"Logarifmik tenglamalarni yechish usullari" - toping. Logarifmik tenglamalarni yechish. Logarifm deb nomlangan narsa. Talaba bilimlarini tizimlashtirish. Ijodiy ish... Xatoni toping. Tenglamalar tizimi. Logarifmik tenglamalarni turli usullar bilan echish. I variant II. Berilgan funktsiya. Yangi o'zgaruvchini kiritish usuli. Taqqoslang. Logarifmik tenglamalarni yechish usullari.

Hammasi bo'lib 49 ta taqdimot