Kvadrat tenglamaga ega bo'lganda. Kvadrat ildiz: hisoblash formulalari. Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi. Kvadrat tenglamalar. Diskriminant. Yechim, misollar

Shunchaki. Formulalar va aniq, oddiy qoidalar bo'yicha. Birinchi bosqichda

berilgan tenglamani standart shaklga keltirish kerak, ya'ni. qaramoq:

Agar ushbu tenglama allaqachon sizga ushbu shaklda berilgan bo'lsa, siz birinchi qadamni bajarishingiz shart emas. Eng muhimi to'g'ri

barcha koeffitsientlarni aniqlang, va, b va v.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish uchun formulalar.

Ildiz belgisi ostidagi ifoda deyiladi kamsituvchi ... Ko'rinib turibdiki, x ni topish uchun biz

foydalanish faqat a, b va c. Bular dan koeffitsientlar kvadrat tenglama... Faqat ehtiyotkorlik bilan almashtiring

ma'nosi a, b va c ushbu formulaga kiriting va hisoblang. Bilan almashtiring tomonidan alomatlar!

misol uchuntenglamada:

va =1; b = 3; v = -4.

Qiymatlarni almashtiring va yozing:

Misol deyarli hal qilindi:

Bu javob.

Eng ko'p uchraydigan xatolar - bu ma'no belgilari bilan chalkashlik. a, bva dan... Aksincha, almashtirish bilan

manfiy qiymatlarni ildizlarni hisoblash formulasiga kiriting. Bu erda formulaning batafsil belgilanishi saqlanadi

aniq raqamlar bilan. Agar sizda hisoblash muammolari bo'lsa, buni bajaring!

Aytaylik, siz ushbu misolni hal qilishingiz kerak:

Bu yerda a = -6; b = -5; v = -1

Biz hamma narsani batafsil va ehtiyotkorlik bilan, barcha belgilar va qavslarsiz qoldiramiz:

Kvadratlar tenglamalari ko'pincha bir-biridan farq qiladi. Masalan, quyidagicha:

Endi xatolarni sezilarli darajada kamaytiradigan eng yaxshi amaliyotlarga e'tibor bering.

Birinchi qabul... Oldin dangasa bo'lmang kvadrat tenglamani yechish uni standart shaklga keltiring.

Bu nimani anglatadi?

Aytaylik, har qanday o'zgarishlardan so'ng siz quyidagi tenglamani oldingiz:

Ildiz formulasini yozishga shoshilmang! Siz deyarli barcha imkoniyatlarni aralashtirib yuborasiz. a, b va c.

Namunani to'g'ri tuzing. Birinchidan, X kvadratchali, keyin kvadratisiz, keyin bepul muddat. Mana bunday:

Minuslardan xalos bo'ling. Qanday? Siz butun tenglamani -1 ga ko'paytirishingiz kerak. Biz olamiz:

Ammo endi siz ildizlarning formulasini ishonch bilan yozib, diskriminantni hisoblab, misolni to'ldirishingiz mumkin.

Buni o'zing qil. Sizda 2 va -1 darajadagi ildizlar bo'lishi kerak.

Ikkinchi qabul. Ildizlarini tekshiring! Muallif: vetnam teoremasi.

Berilgan kvadrat tenglamalarni yechish uchun, ya'ni. agar koeffitsient

x 2 + bx + c \u003d 0,

keyin x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d -b

To'liq kvadratik tenglama uchun a ≠ 1:

x 2 +bx +v=0,

butun tenglamani quyidagiga bo'ling va:

→ →

qayerda x 1 va x 2 - tenglamaning ildizlari.

Uchinchi qabul... Agar sizning tenglamangizda kasr koeffitsientlari bo'lsa, kasrlardan xalos bo'ling! Ko'paytiring

umumiy denominator tenglamasi.

Chiqish. Amaliy tavsiyalar:

1. Yechishdan oldin biz kvadrat tenglamani standart shaklga keltiramiz, uni quramiz to'g'ri.

2. Agar kvadratning oldida x ning oldida manfiy koeffitsient bo'lsa, uni jami ko'paytirib yo'q qilamiz

-1 ga tenglama.

3. Agar koeffitsientlar kasr bo'lsa, butun tenglamani mos keladiganlarga ko'paytirib kasrlarni yo'q qilamiz

omil.

4. Agar x kvadrati toza bo'lsa, koeffitsient tengga teng bo'lsa, eritmani oson tekshirish mumkin

Umid qilamanki, ushbu maqolani o'rganib chiqqandan so'ng, siz to'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini qanday topishni bilib olasiz.

Diskriminant yordamida faqat to'liq kvadratik tenglamalar echiladi, to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamalarni yechishda boshqa usullar qo'llaniladi, ularni siz "To'liq bo'lmagan kvadratik tenglamalarni echish" maqolasida topasiz.

Qanday kvadratik tenglamalar to'liq deyiladi? u ax 2 + b x + c \u003d 0 shaklidagi tenglamalara, b va c koeffitsientlari nolga teng emas. Shunday qilib, to'liq kvadratik tenglamani echish uchun siz diskriminant D ni hisoblashingiz kerak.

D \u003d b 2 - 4ac.

Diskriminant qanday ahamiyatga ega ekaniga qarab, biz javobni yozamiz.

Agar diskriminant salbiy bo'lsa (D< 0),то корней нет.

Agar diskriminant nolga teng bo'lsa, u holda x \u003d (-b) / 2a. Agar kamsituvchi musbat son bo'lsa (D\u003e 0),

keyin x 1 \u003d (-b - √D) / 2a va x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Misol uchun. Tenglamani yeching x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Javob: 2.

2-tenglamani yeching x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Javob: ildiz yo'q.

2-tenglamani yeching x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Javob: - 3,5; 1.

Shunday qilib, 1-rasmdagi sxema bo'yicha to'liq kvadratik tenglamalarning echimini ifodalaymiz.

Ushbu formulalar yordamida har qanday to'liq kvadratik tenglamani echish mumkin. Buni ta'minlash uchun faqat ehtiyot bo'lish kerak tenglama standart koʻphad sifatida yozilgan

va x 2 + bx + c, aks holda siz xato qilishingiz mumkin. Masalan, x + 3 + 2x 2 \u003d 0 tenglamani yozishda siz noto'g'ri qaror qabul qilishingiz mumkin

a \u003d 1, b \u003d 3 va c \u003d 2. Keyin

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 va keyin tenglama ikkita ildizga ega. Va bu haqiqat emas. (Yuqoridagi 2-misol echimiga qarang).

Shuning uchun, agar tenglama standart shaklning ko'paytirilgan qismi sifatida yozilmasa, avval to'liq kvadratik tenglama standart shaklning ko'paytmasi sifatida yozilishi kerak (birinchi navbatda eng katta eksponent bilan monomial bo'lishi kerak, ya'ni va x 2 , keyin kamroq bilan – bxkeyin erkin a'zo dan

Ikkinchi muddatda tenglashtirilgan koeffitsient bilan qisqartirilgan kvadrat tenglamani va kvadrat tenglamani echishda boshqa formulalardan ham foydalanish mumkin. Keling, ushbu formulalar bilan ham tanishaylik. Agar ikkinchi darajali to'liq kvadratik tenglamada koeffitsient teng bo'lsa (b \u003d 2k), unda tenglama 2-rasmdagi diagrammada ko'rsatilgan formulalar yordamida echilishi mumkin.

To'liq kvadratik tenglama deyiladi, agar koeffitsient bo'lsa x 2 biriga teng va tenglama formulani oladi x 2 + px + q \u003d 0... Bunday tenglamani yechish uchun berish mumkin yoki u tenglamaning barcha koeffitsientlarini koeffitsientga bo'lish orqali olinadi vaturgan x 2 .

3-rasmda qisqartirilgan kvadratni echish sxemasi ko'rsatilgan
tenglamalar. Ushbu maqolada muhokama qilingan formulalarni qo'llash misolini ko'rib chiqaylik.

Misol. Tenglamani yeching

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

1-rasmdagi diagrammada ko'rsatilgan formulalar yordamida ushbu tenglamani echamiz.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Javob: -1 - √3; –1 + √3

Shuni ta'kidlash mumkinki, ushbu tenglamadagi x koeffitsient juft son, ya'ni b \u003d 6 yoki b \u003d 2k, qayerdan k \u003d 3, keyin D 1 \u003d 3 2 - 3 shaklidagi diagrammada ko'rsatilgan formulalar bo'yicha tenglamani echishga harakat qilamiz. ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Javob: -1 - √3; –1 + √3... Ushbu kvadrat tenglamadagi barcha koeffitsientlar 3 ga bo'linganini payqab, bo'linishni amalga oshirganimizda, biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Bu tenglamani qisqartirilgan kvadrat uchun formulalar yordamida yeching.
tenglama 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Javob: -1 - √3; –1 + √3.

Ko'rib turganingizdek, ushbu tenglamani turli formulalar yordamida echishda biz bir xil javob oldik. Shuning uchun 1-rasmdagi diagrammada ko'rsatilgan formulalarni yaxshi o'zlashtirib, har doim har qanday to'liq kvadratik tenglamani echishingiz mumkin.

saytdan, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan manba ko'rsatilishi shart.

"Tenglamalarni yechish" mavzusini davom ettirib, ushbu maqoladagi material sizni kvadrat tenglamalar bilan tanishtiradi.

Keling, hamma narsani batafsil ko'rib chiqaylik: kvadrat tenglamaning mohiyati va yozilishi, biz tegishli atamalarni o'rnatamiz, to'liqsiz va to'liq tenglamalarni echish sxemasini tahlil qilamiz, ildizlar va diskriminantlar formulalari bilan tanishamiz, ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi aloqalarni o'rnatamiz va albatta amaliy misollarning vizual echimini beramiz.

Kvadrat tenglama, uning turlari

1-ta'rif

Kvadrat tenglama Quyidagicha yozilgan tenglama a x 2 + b x + c \u003d 0qayerda x - o'zgaruvchan, a, b va v - ba'zi raqamlar, shu bilan birga anolga teng emas.

Ko'pincha kvadratik tenglamalar ikkinchi darajali tenglamalar deb ham ataladi, chunki mohiyatiga ko'ra kvadrat tenglama ikkinchi darajali algebraik tenglama hisoblanadi.

Berilgan ta'rifni namoyish qilish uchun bir misol: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 \u003d 0 va boshqalar. Kvadratlar tenglamalari.

2-ta'rif

A, b va raqamlari v Kvadrat tenglamaning koeffitsientlari bormi? a x 2 + b x + c \u003d 0, koeffitsient esa a x 2 ga teng bo'lgan birinchi yoki katta yoki koeffitsient deyiladi, b - ikkinchi koeffitsient yoki x, va v erkin a'zo deb ataladi.

Masalan, kvadrat tenglamada 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0 eng yuqori koeffitsient - 6, ikkinchi koeffitsient − 2 va bepul muddatli − 11 ... Keling, koeffitsientlar qachon ekanligiga e'tibor beraylik bva / yoki c manfiy bo'lsa, unda formaning qisqa yozuvi qo'llaniladi 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0, lekin yo'q 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) \u003d 0.

Keling, ushbu tomonni ham aniqlaymiz: agar koeffitsientlar bo'lsa a va / yoki b teng 1 yoki − 1 , keyin ular kvadrat tenglamani yozishda aniq ishtirok etmasliklari mumkin, bu ko'rsatilgan son koeffitsientlarini qayd etishning o'ziga xos xususiyatlari bilan izohlanadi. Masalan, kvadrat tenglamada y 2 - y + 7 \u003d 0 eng yuqori koeffitsient - 1, ikkinchi koeffitsient esa − 1 .

Kamaytirilgan va qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar

Birinchi koeffitsientning qiymatiga ko'ra, kvadrat tenglamalar kamaytirilgan va qisqartirilmaydiganlarga bo'linadi.

3-ta'rif

Kamaytirilgan kvadrat tenglama Kvadrat tenglama, bu erda etakchi koeffitsient 1 ga teng. Etakchi koeffitsientning boshqa qiymatlari uchun kvadrat tenglama kamaymaydi.

Bunga misollar: x 2 - 4 x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 kvadratik tenglamalar kamayadi, ularning har birida etakchi koeffitsient 1 ga teng.

9 x 2 - x - 2 \u003d 0 - birinchi koeffitsienti boshqasidan farq qiladigan, qisqartirilmagan kvadrat tenglama 1 .

Har qanday tortib olinmagan kvadrat tenglamani ikki koeffitsientni birinchi koeffitsientga bo'lish orqali kamaytirilgan tenglamaga aylantirish mumkin (ekvivalent transformatsiya). O'zgartirilgan tenglama berilgan kamaymagan tenglama bilan bir xil bo'ladi yoki umuman ildizlarga ega bo'lmaydi.

Muayyan misolni ko'rib chiqish, biz aniqlanmagan kvadrat tenglamadan qisqartirilganga o'tishni aniq namoyish etishimizga imkon beradi.

1-misol

Tenglama 6 x 2 + 18 x - 7 \u003d 0 . Dastlabki tenglamani qisqartirilgan shaklga o'tkazish kerak.

Qaror

Yuqoridagi sxema bo'yicha asl tenglamaning ikkala tomonini etakchi koeffitsient 6 ga bo'lamiz. Keyin biz olamiz: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 \u003d 0: 3va bu bir xil: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 \u003d 0 va yana: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 \u003d 0. Shunday qilib: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0. Shunday qilib, berilgan tenglikka tenglama olinadi.

Javob: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0.

To'liq va to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar

Kvadrat tenglamaning ta'rifiga qaytaylik. Unda biz buni aniqladik a ≠ 0... Shunga o'xshash holat tenglama uchun zarurdir a x 2 + b x + c \u003d 0 aniq kvadrat edi, chunki, chunki a \u003d 0 u asosan aylanadi chiziqli tenglama b x + c \u003d 0.

Qachon koeffitsientlar b va vnolga teng (bu alohida va birgalikda bo'lishi mumkin), kvadrat tenglama to'liq bo'lmagan deb nomlanadi.

4-ta'rif

Tugallanmagan kvadrat tenglama Bunday kvadrat tenglama a x 2 + b x + c \u003d 0,bu erda hech bo'lmaganda koeffitsientlardan biri bva v(yoki ikkalasi ham) nolga teng.

To'liq kvadratik tenglama - barcha raqamli koeffitsientlar nolga teng bo'lmagan kvadrat tenglama.

Keling, nima uchun kvadrat tenglamalarning turlariga aynan shunday nom berilganligini ko'rib chiqamiz.

B \u003d 0 uchun kvadrat tenglama formulani oladi a x 2 + 0 x + c \u003d 0bilan bir xil a x 2 + c \u003d 0... Qachon c \u003d 0 kvadrat tenglama quyidagicha yoziladi a x 2 + b x + 0 \u003d 0ga teng a x 2 + b x \u003d 0... Qachon b \u003d 0 va c \u003d 0 tenglama bo'ladi a x 2 \u003d 0... Biz qo'lga kiritgan tenglamalar to'liq kvadratik tenglamadan farq qiladi, chunki chap tomonlarda x o'zgaruvchili atamalar, yoki erkin atamalar yoki ikkalasi ham mavjud emas. Aslida, bu fakt ushbu turdagi tenglamalarga nom berdi - to'liq emas.

Masalan, x 2 + 3 x + 4 \u003d 0 va - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 \u003d 0 to'liq kvadrat tenglamalar; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 x \u003d 0 - tugallanmagan kvadrat tenglamalar.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Yuqoridagi ta'rif to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamalarning quyidagi turlarini ajratish imkonini beradi:

• a x 2 \u003d 0, bunday tenglama koeffitsientlarga mos keladi b \u003d 0 va c \u003d 0;
• a x 2 + c \u003d 0 da b \u003d 0;
• a x 2 + b x \u003d 0 da c \u003d 0 da.

Har bir tugallanmagan kvadrat tenglamaning echimini ketma-ket ko'rib chiqamiz.

A x 2 \u003d 0 tenglamani yechish

Yuqorida aytib o'tilganidek, ushbu tenglama koeffitsientlarga mos keladi b va vnolga teng. Tenglama a x 2 \u003d 0 ekvivalent tenglamaga aylantirish mumkin x 2 \u003d 0, asl tenglamaning ikkala tomonini songa bo'lish orqali olamiz anolga teng emas. Tenglamaning ildizi ekanligi aniq haqiqatdir x 2 \u003d 0 chunki nol 0 2 = 0 ... Ushbu tenglamaning darajalari xususiyatlari bilan izohlanadigan boshqa hech qanday ildiz yo'q: har qanday raqam uchun p,nolga teng emas, tengsizlik to'g'ri p 2\u003e 0, bundan kelib chiqadi p ≠ 0 tenglik p 2 \u003d 0hech qachon erishilmaydi.

5-ta'rif

Shunday qilib, x 2 \u003d 0 tugallanmagan kvadrat tenglama uchun noyob ildiz mavjud x \u003d 0.

2-misol

Masalan, tugallanmagan kvadrat tenglamani yechaylik - 3 x 2 \u003d 0... Bu tenglamaga tengdir x 2 \u003d 0, uning yagona ildizi x \u003d 0, asl tenglama ham bitta ildizga ega - nol.

Qisqacha echim quyidagicha rasmiylashtirildi:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

A x 2 + c \u003d 0 tenglamani yechish

Keyingi bosqich tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish, bu erda b \u003d 0, c ≠ 0, ya'ni shakl tenglamalari a x 2 + c \u003d 0... Terminoni tenglamaning bir chetidan boshqasiga o'tkazish, belgini teskari tomonga o'zgartirish va tenglamaning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan songa bo'lish orqali ushbu tenglamani o'zgartiramiz:

• boshqa kunga qoldirilish v tenglamani keltiruvchi o'ng tomonga a x 2 \u003d - c;
• tenglamaning ikkala tomonini quyidagiga ajratamiz a, x \u003d - c a natijada olamiz.

Bizning transformatsiyalarimiz ekvivalentdir, natijada olingan tenglama ham asliga tengdir va bu tenglamaning ildizlari haqida xulosa chiqarishga imkon beradi. Qadriyatlar nimadan iborat a va vifoda qiymati - c a bog'liq: u minus belgiga ega bo'lishi mumkin (masalan, agar bo'lsa) a \u003d 1 va c \u003d 2, keyin - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) yoki ortiqcha belgisi (masalan, agar bo'lsa) a \u003d - 2 va c \u003d 6, keyin - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); nolga teng emas, chunki c ≠ 0... Keling, qanday vaziyatlarda batafsilroq to'xtalamiz - c a< 0 и - c a > 0 .

Qachon - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p tenglik p 2 \u003d - c a haqiqiy emas.

C a\u003e 0: kvadrat ildizni eslang va x 2 \u003d - c a tenglamaning ildizi - c a raqami ekanligi ayon bo'ladi, chunki - c a 2 \u003d - c a. - - c a soni x 2 \u003d - c a tenglamasining ham ildizi ekanligini tushunish oson, albatta: - - c a 2 \u003d - c a.

Tenglamaning boshqa ildizlari bo'lmaydi. Biz buni qarama-qarshi usul yordamida namoyish etishimiz mumkin. Boshlash uchun biz yuqorida joylashgan ildizlar uchun belgini belgilaymiz x 1 va - x 1... X 2 \u003d - c a tenglamaning ham ildizi bor deb faraz qilaylik x 2bu ildizlardan farq qiladi x 1 va - x 1... Bilamizki, o'rniga tenglamani almashtirish orqali x uning ildizlari tenglamani adolatli son tengligiga aylantiring.

Uchun x 1 va - x 1 biz yozamiz: x 1 2 \u003d - c a, va uchun x 2 - x 2 2 \u003d - c a. Raqam tengliklarining xususiyatlariga asoslanib, biz bitta haqiqiy tenglikni boshqa atamadan atamaga ajratamiz, bu bizga quyidagicha imkoniyat beradi: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0... Biz sonlar tengligini qayta yozish uchun raqamlardagi harakatlarning xususiyatlaridan foydalanamiz (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) \u003d 0... Ikkala sonning mahsuloti nolga teng ekanligi ma'lum va agar ularning kamida bittasi nolga teng bo'lsa. Aytilgan narsadan shunday bo'ladi x 1 - x 2 \u003d 0 va / yoki x 1 + x 2 \u003d 0bir xil x 2 \u003d x 1 va / yoki x 2 \u003d - x 1... Aniq qarama-qarshilik yuzaga keldi, chunki dastlab tenglamaning ildizi kelishilgan edi x 2 farq qiladi x 1 va - x 1... Shunday qilib, tenglamaning x \u003d - c a va x \u003d - - c a dan tashqari boshqa ildizlari yo'qligini isbotladik.

Biz yuqorida keltirilgan barcha dalillarni umumlashtiramiz.

6-ta'rif

Tugallanmagan kvadrat tenglama a x 2 + c \u003d 0 x 2 \u003d - c a tenglamaga teng keladi, bu:

• uchun hech qanday ildiz bo'lmaydi - c a< 0 ;
• ikkita ildiz bo'ladi x \u003d - c a va x \u003d - - c a for - c a\u003e 0.

Tenglamalarni yechishga misollar keltiraylik a x 2 + c \u003d 0.

3-misol

Berilgan kvadrat tenglama 9 x 2 + 7 \u003d 0.Uning echimini topish kerak.

Qaror

Bo'sh vaqtni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz, keyin tenglama shakllanadi 9 x 2 \u003d - 7.
Olingan tenglamaning ikkala tomonini quyidagicha ajratamiz 9 , x 2 \u003d - 7 9 ga yetamiz. O'ng tomonda biz minus belgisi bo'lgan raqamni ko'ramiz, bu degani: berilgan tenglama ildizlarga ega emas. Keyin asl tugallanmagan kvadrat tenglama 9 x 2 + 7 \u003d 0 ildizlari bo'lmaydi.

Javob: tenglamani 9 x 2 + 7 \u003d 0ildizlari yo'q.

4-misol

Tenglamani yechish kerak - x 2 + 36 \u003d 0.

Qaror

36 ni o'ng tomonga o'tkazing: - x 2 \u003d - 36.
Keling, ikkala qismni ikkiga bo'laylik − 1 , olamiz x 2 \u003d 36... O'ng tomonda bu ijobiy raqam, biz bundan xulosa qilishimiz mumkin x \u003d 36 yoki x \u003d - 36.
Ildizni ajratib oling va yakuniy natijani yozing: to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama - x 2 + 36 \u003d 0 ikkita ildizga ega x \u003d 6 yoki x \u003d - 6.

Javob: x \u003d 6 yoki x \u003d - 6.

A x 2 + b x \u003d 0 tenglamani yechish

Uchinchi turdagi tugallanmagan kvadrat tenglamalarni qachon, qachon tahlil qilamiz c \u003d 0... Tugallanmagan kvadrat tenglamaning yechimini topish a x 2 + b x \u003d 0, biz faktorizatsiya usulidan foydalanamiz. Tenglamaning chap tomonidagi ko'paytmani ajratamiz va qavslardan tashqarida umumiy omilni olamiz x... Ushbu qadam asl tugallanmagan kvadrat tenglamani uning ekvivalentiga aylantirishga imkon beradi x (a x + b) \u003d 0... Va bu tenglama, o'z navbatida, tenglamalar to'plamiga tengdir x \u003d 0 va a x + b \u003d 0... Tenglama a x + b \u003d 0 chiziqli va uning ildizi: x \u003d - b a.

7-ta'rif

Demak, tugallanmagan kvadrat tenglama a x 2 + b x \u003d 0 ikkita ildizga ega bo'ladi x \u003d 0 va x \u003d - b a.

Keling, misolni material bilan tuzatamiz.

5-misol

2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 tenglamaning yechimini topish kerak.

Qaror

Olib ketish x Qavslar va x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0 tenglamani oling. Ushbu tenglama tenglamalarga tengdir x \u003d 0 va 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0. Endi hosil bo'lgan chiziqli tenglamani echishingiz kerak: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Tenglamaning yechimini quyidagicha qisqacha yozamiz:

2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 x 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 yoki 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 yoki x \u003d 3 3 7

Javob: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Diskriminant, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formula

Kvadrat tenglamalarga yechimni topish uchun ildiz formulasi mavjud:

8-ta'rif

x \u003d - b ± D 2 a, qaerda D \u003d b 2 - 4 a c - kvadrat tenglamaning diskriminanti.

X \u003d - b ± D 2 · notasi aslida x 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a ekanligini anglatadi.

Ko'rsatilgan formulaning qanday olinganligini va uni qanday qo'llashni tushunish ortiqcha bo'lmaydi.

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulani chiqarish

Keling, kvadrat tenglamani yechish vazifasiga duch kelamiz a x 2 + b x + c \u003d 0... Bir qator ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

• tenglamaning ikkala tomonini songa bo'ling a, noldan tashqari, kamaytirilgan kvadrat tenglamani olamiz: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• olingan tenglamaning chap tomonidagi to'liq kvadratni tanlang:
  x 2 + ba x + ca \u003d x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  Shundan so'ng, tenglama quyidagi shaklni oladi: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
• endi belgini teskari tomonga o'zgartirib, oxirgi ikki atamani o'ng tomonga o'tkazish mumkin, shundan so'ng biz: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
• nihoyat, biz oxirgi tenglikning o'ng tomonida yozilgan iborani o'zgartiramiz:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Shunday qilib, x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 tenglamaga keldik, bu asl tenglamaga teng keladi. a x 2 + b x + c \u003d 0.

Oldingi paragraflarda bunday tenglamalarning echimini (to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamalarni yechimi) tahlil qildik. Olingan tajriba x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 tenglamasining ildizlari to'g'risida xulosa chiqarishga imkon beradi:

• b 2 - 4 a c 4 a 2 da< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d 0 uchun tenglama x + b 2 a 2 \u003d 0, so'ngra x + b 2 a \u003d 0 bo'ladi.

Demak, yagona x \u003d - b 2 · a ravshan;

• b 2 - 4 a c 4 a 2\u003e 0 uchun bu to'g'ri bo'ladi: x + b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 yoki x \u003d b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, bu x + - b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 yoki x \u003d - b 2 a - b 2 - 4 a bilan bir xil c 4 a 2, ya'ni. tenglama ikki ildizga ega.

X + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 (va shuning uchun asl tenglama) tenglamaning b 2 - 4 a c 4 ifodasi bilan bog'liq degan xulosaga kelish mumkin. · O'ng tomonda 2 yozilgan. Va bu iboraning belgisi hisoblovchining belgisi bilan belgilanadi, (denominator) 4 a 2 har doim ijobiy bo'ladi), ya'ni ifoda belgisi b 2 - 4 a c... Bu ibora b 2 - 4 a c nom berilgan - kvadrat tenglamaning diskriminanti va D harfi uning belgilanishi sifatida belgilanadi. Bu erda siz diskriminantning mohiyatini yozib qo'yishingiz mumkin - uning qiymati va belgisi bilan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'ladimi yoki yo'qmi, agar shunday bo'lsa, ildizlarning soni - bitta yoki ikkita.

X + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 tenglamaga qaytamiz. Biz diskriminant uchun yozuv yordamida yozamiz: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Keling, xulosani yana bir bor tuzaylik:

9-ta'rif

• da D< 0 tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q;
• da D \u003d 0 tenglamaning bitta ildizi bor x \u003d - b 2 · a;
• da D\u003e 0 tenglama ikki ildizga ega: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 yoki x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Radikallarning xususiyatlariga asoslanib, ushbu ildizlarni quyidagicha yozish mumkin: x \u003d - b 2 a + D 2 a yoki - b 2 a - D 2 a. Va modullarni ochib, kasrlarni umumiy denominatorga qisqartirganda, biz olamiz: x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a.

Shunday qilib, bizning mulohazamizning natijasi kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulani olish edi:

x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a, kamsituvchi D formula bo'yicha hisoblanadi D \u003d b 2 - 4 a c.

Ushbu formulalar diskriminant noldan katta bo'lganda ikkala haqiqiy ildizni aniqlashga imkon beradi. Agar diskriminant nolga teng bo'lsa, ikkala formulani ham qo'llash kvadrat tenglamaning yagona echimi bilan bir xil ildizni beradi. Agar kamsituvchi manfiy bo'lsa, kvadrat ildiz formulasini ishlatishga harakat qilganda, bizni haqiqiy sonlardan yuqori bo'lgan salbiy sonning kvadrat ildizini ajratib olish zarurati paydo bo'ladi. Salbiy diskriminant bilan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lmaydi, ammo biz olgan bir xil ildiz formulalari bilan aniqlanadigan bir-biriga murakkab konjugat ildizlar mumkin.

Ildiz formulalari yordamida kvadrat tenglamalarni yechish algoritmi

Kvadrat tenglamani darhol ildiz formulasi yordamida echish mumkin, ammo asosan bu murakkab ildizlarni topish kerak bo'lganda amalga oshiriladi.

Aksariyat hollarda odatda murakkab emas, balki kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlarini qidirish kerak. Keyin kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni ishlatishdan oldin, avvalo diskriminantni aniqlab, uning salbiy emasligiga ishonch hosil qiling (aks holda, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelamiz) va keyin ildizlarning qiymatlarini hisoblashni davom eting.

Yuqoridagi fikrlar kvadrat tenglamani yechish algoritmini tuzishga imkon beradi.

Ta'rif 10

Kvadrat tenglamani yechish uchun a x 2 + b x + c \u003d 0, bu zarur:

• formulaga muvofiq D \u003d b 2 - 4 a c diskriminantning qiymatini topish;
• d da< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• d \u003d 0 uchun x \u003d - b 2 · a formula bo'yicha tenglamaning yagona ildizini toping;
• d\u003e 0 uchun x \u003d - b ± D 2 · a formula bo'yicha kvadrat tenglamaning ikkita haqiqiy ildizini aniqlang.

E'tibor bering, diskriminant nolga teng bo'lsa, siz x \u003d - b ± D 2 · a formulasidan foydalanishingiz mumkin, u x \u003d - b 2 · a formulasi bilan bir xil natijani beradi.

Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.

Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar

Keling, diskriminantning turli qadriyatlari uchun misollar echimini keltiramiz.

6-misol

Tenglamaning ildizlarini topish kerak x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Qaror

Kvadrat tenglamaning sonli koeffitsientlarini yozamiz: a \u003d 1, b \u003d 2 va c \u003d - 6... Keyinchalik, biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz, ya'ni. diskriminantni hisoblashni boshlaylik, buning uchun a, b koeffitsientlarini almashtiramiz va v diskriminant formulaga: D \u003d b 2 - 4 a c \u003d 2 2 - 4 1 (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Demak, D\u003e 0 ga ega bo'ldik, bu tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega bo'lishini anglatadi.
Ularni topish uchun x \u003d - b ± D 2 · a ildiz formulasini ishlatamiz va tegishli qiymatlarni almashtirib, x \u003d - 2 ± 28 2 · 1 olamiz. Ildiz belgisidan tashqaridagi omilni olib, keyin kasrni qisqartirish orqali hosil bo'lgan ifodani soddalashtiramiz:

x \u003d - 2 ± 2 7 2

x \u003d - 2 + 2 7 2 yoki x \u003d - 2 - 2 7 2

x \u003d - 1 + 7 yoki x \u003d - 1 - 7

Javob: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

7-misol

Kvadrat tenglamani yechish kerak - 4 x 2 + 28 x - 49 \u003d 0.

Qaror

Diskriminantni aniqlaymiz: D \u003d 28 2 - 4 (- 4) (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0... Diskriminantning bu qiymati bilan asl tenglama x \u003d - b 2 · a formulasi bilan aniqlanadigan bitta ildizga ega bo'ladi.

x \u003d - 28 2 (- 4) x \u003d 3, 5

Javob: x \u003d 3, 5.

8-misol

Tenglamani yechish kerak 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0

Qaror

Ushbu tenglamaning raqamli koeffitsientlari quyidagicha bo'ladi: a \u003d 5, b \u003d 6 va c \u003d 2. Bu qiymatlarni diskriminantni topish uchun ishlatamiz: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Hisoblangan diskriminant manfiy, shuning uchun asl kvadratik tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas.

Agar vazifa murakkab ildizlarni ko'rsatish bo'lsa, kompleks sonlar bilan amallarni bajarib, ildizlar uchun formulani qo'llaymiz:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 yoki x \u003d - 6 - 2 i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 i yoki x \u003d - 3 5 - 1 5 i.

Javob: haqiqiy ildizlar yo'q; murakkab ildizlar quyidagicha: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Maktab o'quv dasturida murakkab ildizlarni qidirish uchun standart talablar mavjud emas, shuning uchun agar qaror paytida diskriminant salbiy deb aniqlansa, javob darhol haqiqiy ildizlar yo'qligi qayd etiladi.

Hatto ikkinchi koeffitsientlar uchun ham ildiz formulasi

Ildiz formulasi x \u003d - b ± D 2 a (D \u003d b 2 - 4 a c) kvadrat tenglamaning yechimini x ga teng bo'lgan (yoki 2 shaklning koeffitsienti bilan) echimini topishga imkon beradigan yanada ixcham boshqa formulani olish imkonini beradi. n, masalan, 2 3 yoki 14 ln 5 \u003d 2 7 ln 5). Ushbu formulaning qanday olinganligini ko'rsatamiz.

Masalan, a x 2 + 2 n x + c \u003d 0 kvadratik tenglamani yechish vazifasini oldimizga qo'yamiz. Biz algoritm bo'yicha harakat qilamiz: D \u003d (2 n) 2 - 4 a c \u003d 4 n 2 - 4 a c \u003d 4 (n 2 - a c) diskriminantini aniqlaymiz va keyin ildizlar uchun formuladan foydalanamiz:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - a.

N 2 - a · ifodani D 1 deb belgilasin (ba'zan u D bilan belgilanadi). Keyin ko'rib chiqilayotgan kvadrat tenglamaning ildizlari uchun ikkinchi n 2 koeffitsienti bilan formula quyidagi shaklni oladi:

x \u003d - n ± D 1 a, bu erda D 1 \u003d n 2 - a · c.

D \u003d 4 · D 1 yoki D 1 \u003d D 4 ekanligini ko'rish oson. Boshqacha aytganda, D 1 diskriminantning chorak qismidir. Ko'rinib turibdiki, D 1 belgisi D belgisi bilan bir xil, demak, D 1 belgisi kvadrat tenglamaning ildizlari bor yoki yo'qligini ham ko'rsatishi mumkin.

11-ta'rif

Shunday qilib, 2 n koeffitsienti bilan kvadrat tenglamaning yechimini topish uchun quyidagilar zarur:

• toping D 1 \u003d n 2 - a · c;
• d 1 da< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• d 1 \u003d 0 bo'lganda x \u003d - n a formula bo'yicha tenglamaning yagona ildizini aniqlang;
• d 1\u003e 0 uchun x \u003d - n ± D 1 a formula bo'yicha ikkita haqiqiy ildizni aniqlang.

9-misol

5 x 2 - 6 x - 32 \u003d 0 kvadratik tenglamani yechish kerak.

Qaror

Berilgan tenglamaning ikkinchi koeffitsientini 2 · (- 3) shaklida ko'rsatish mumkin. Keyin berilgan kvadratik tenglamani 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 \u003d 0 deb yozamiz, bu erda a \u003d 5, n \u003d - 3 va c \u003d - 32.

Biz diskriminantning to'rtinchi qismini hisoblaymiz: D 1 \u003d n 2 - a c \u003d (- 3) 2 - 5 (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Olingan qiymat musbatdir, bu tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega ekanligini anglatadi. Keling, ularni tegishli ildiz formulasi bo'yicha aniqlaymiz:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 yoki x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 yoki x \u003d - 2

Kvadratli tenglamaning ildizlari uchun odatiy formuladan foydalanib hisob-kitoblarni amalga oshirish mumkin edi, ammo bu holda echim qiyinroq bo'lar edi.

Javob: x \u003d 3 1 5 yoki x \u003d - 2.

Kvadrat tenglamalarni soddalashtirish

Ba'zida asl tenglamaning shaklini optimallashtirish mumkin, bu ildizlarni hisoblash jarayonini soddalashtiradi.

Masalan, 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 kvadratik tenglama 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0 ga qaraganda echish uchun qulayroqdir.

Ko'pincha kvadrat tenglama shaklini soddalashtirish uning ikkala qismini ham ma'lum songa ko'paytirish yoki bo'lish orqali amalga oshiriladi. Masalan, yuqorida biz ikkala qismini 100 ga bo'lish orqali olingan 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0 tenglamaning soddalashtirilgan tasvirini ko'rsatdik.

Kvadratlar tenglamasining koeffitsientlari koprim raqamlari bo'lmaganda, bunday o'zgarish mumkin. Keyin odatda tenglamaning ikkala tomonini eng katta umumiy bo'luvchiga bo'ling mutlaq qiymatlar uning koeffitsientlari.

Misol sifatida 12 x 2 - 42 x + 48 \u003d 0 kvadratik tenglamani ishlatamiz. Uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlarining GCD-ni aniqlaymiz: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Dastlabki kvadratik tenglamaning ikkala tomonini 6 ga ajratamiz va 2 x 2 - 7 x + 8 \u003d 0 teng kvadratik tenglamani olamiz.

Kvadrat tenglamaning ikkala tomonini ko'paytirib, odatda fraktsion omillardan xalos bo'lasiz. Bunday holda, uning koeffitsientlarini eng kichik umumiy ko'paytmasiga ko'paytiring. Masalan, agar kvadratik tenglamaning har bir qismi 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 LCM (6, 3, 1) \u003d 6 ga ko'paytirilsa, x 2 + 4 x - sodda shaklda yoziladi. 18 \u003d 0.

Va nihoyat, biz deyarli har doim kvadrat tenglamaning birinchi koeffitsientidagi minuslardan xalos bo'lamiz, har ikkala qismning belgilarini o'zgartiramiz, bu ikkala qismni - yoki 1 ga ko'paytirish (yoki bo'lish) orqali erishiladi. Masalan, kvadrat tenglamadan - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, siz uning soddalashtirilgan versiyasiga o'tishingiz mumkin 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi munosabatlar

Kvadratlar tenglamalari ildizlari uchun allaqachon ma'lum bo'lgan formula x \u003d - b ± D 2 · a tenglama ildizlarini uning son koeffitsientlari nuqtai nazaridan ifoda etadi. Ushbu formulaga asoslanib, ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi boshqa bog'liqlikni belgilashimiz mumkin.

Vyetnam teoremasi formulalari eng mashhur va qo'llanilishi:

x 1 + x 2 \u003d - b a va x 2 \u003d c a.

Xususan, berilgan kvadratik tenglama uchun ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan ikkinchi koeffitsient bo'lib, ildizlarning hosilasi erkin davrga tengdir. Masalan, 3 x 2 - 7 x + 22 \u003d 0 kvadratik tenglama shakli bilan darhol uning ildizlari yig'indisi 7 3 ga tengligini va ildizlarning hosilasi 22 3 ga tengligini darhol aniqlash mumkin.

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi bir qator boshqa aloqalarni ham topishingiz mumkin. Masalan, kvadrat tenglamaning ildizlari kvadratlarining yig'indisi koeffitsientlar bilan ifodalanishi mumkin:

x 1 2 + x 2 2 \u003d ((x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 \u003d - ba 2 - 2 ca \u003d b 2 a 2 - 2 ca \u003d b 2 - 2 a ca 2.

Agar siz matnda xato ko'rsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

Bu mavzu dastlab juda qiyin ko'rinishi mumkin, chunki ko'plab murakkab formulalar mavjud. Kvadrat tenglamalarning o'zlari nafaqat uzoq yozuvlarga ega, balki ildizlari diskriminant orqali topiladi. Hammasi bo'lib uchta yangi formulalar mavjud. Eslab qolish oson emas. Bu bunday tenglamalarni tez-tez hal qilgandan keyingina mumkin. Keyin barcha formulalar o'zlari tomonidan eslab qolinadi.

Kvadrat tenglamaning umumiy ko'rinishi

Bu erda, eng yuqori daraja birinchi, so'ngra pasayish bilan qayd etilganda, ularni aniq qayd etish taklif etiladi. Ko'pincha atamalar tartibsiz bo'lgan holatlar mavjud. Keyin tenglamani o'zgaruvchi darajasining pasayish tartibida qayta yozgan ma'qul.

Keling, notatsiyani tanishtiramiz. Ular quyidagi jadvalda keltirilgan.

Agar biz ushbu belgilarni qabul qilsak, barcha kvadrat tenglamalar quyidagi yozuvga tushiriladi.

Bundan tashqari, a ≠ 0 koeffitsienti. Ushbu formulani birinchi raqamli bilan belgilaylik.

Tenglama berilganida, javob necha ildizga ega bo'lishi noma'lum. Chunki uchta variantdan bittasi har doim ham mumkin:

• eritma ikkita ildizga ega bo'ladi;
• javob bitta raqam;
• tenglama umuman ildizga ega bo'lmaydi.

Va qaror oxiriga etkazilmaguncha, muayyan vaziyatda variantlardan qaysi biri tushishini tushunish qiyin.

Kvadratlar tenglamalarini yozuv turlari

Vazifalar turli xil yozuvlarni o'z ichiga olishi mumkin. Ular har doim ham umumiy kvadrat tenglamaga o'xshamaydi. Ba'zan unga ba'zi atamalar etishmaydi. Yuqorida yozilgan narsa to'liq tenglama. Agar siz ikkinchi yoki uchinchi muddatni olib tashlasangiz, siz boshqacha narsani olasiz. Ushbu yozuvlar kvadratik tenglamalar deb ham ataladi, faqat to'liq emas.

Bundan tashqari, faqat "b" va "c" koeffitsientlari yo'qolishi mumkin bo'lgan shartlar. Hech qanday holatda ham "a" raqami nolga teng bo'lishi mumkin emas. Chunki bu holda formula chiziqli tenglamaga aylanadi. Tugallanmagan tenglama uchun formulalar quyidagicha bo'ladi.

Demak, faqat ikkita turi bor, to'liqlardan tashqari, to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamalar ham mavjud. Birinchi formula ikkita raqam, ikkinchi raqami uchinchi raqam bo'lsin.

Diskriminant va ildiz sonining uning qiymatiga bog'liqligi

Tenglamaning ildizlarini hisoblash uchun siz ushbu raqamni bilishingiz kerak. Kvadrat tenglamaning formulasi qanday bo'lishidan qat'i nazar, uni har doim hisoblash mumkin. Diskriminatorni hisoblash uchun siz to'rtta raqamga ega bo'lgan quyida yozilgan tenglikni ishlatishingiz kerak.

Koeffitsientlarning qiymatlarini ushbu formulaga almashtirganingizdan so'ng, siz turli xil belgilarga ega bo'lgan raqamlarni olishingiz mumkin. Agar javob ha bo'lsa, unda tenglamaga javob ikki xil ildiz bo'ladi. Agar son manfiy bo'lsa, kvadrat ildizlar bo'lmaydi. Agar u nolga teng bo'lsa, javob bitta bo'ladi.

To'liq kvadratik tenglama qanday hal qilinadi?

Aslida, ushbu masalani ko'rib chiqish allaqachon boshlangan. Chunki avval siz diskriminantni topishingiz kerak. Kvadrat tenglamaning ildizlari borligi va ularning soni ma'lum bo'lganidan so'ng, o'zgaruvchilar uchun formuladan foydalanish kerak. Agar ikkita ildiz bo'lsa, unda siz ushbu formulani qo'llashingiz kerak.

U "±" belgisini o'z ichiga olganligi sababli ikkita qiymat bo'ladi. Kvadrat ildiz ifodasi kamsituvchi hisoblanadi. Shuning uchun formulani boshqa yo'l bilan qayta yozish mumkin.

Beshinchi formulalar. Xuddi shu yozuv shuni ko'rsatadiki, agar kamsituvchi nol bo'lsa, unda ikkala ildiz ham bir xil qiymatlarni oladi.

Agar kvadrat tenglamalarni yechimi hali ishlab chiqilmagan bo'lsa, unda kamsituvchi va o'zgaruvchan formulalarni qo'llashdan oldin barcha koeffitsientlarning qiymatlarini yozib qo'yish yaxshiroqdir. Keyinchalik, bu moment qiyinchiliklarga olib kelmaydi. Ammo boshida tartibsizlik mavjud.

Tugallanmagan kvadrat tenglama qanday hal qilinadi?

Bu erda hamma narsa ancha sodda. Hatto qo'shimcha formulalarga ham ehtiyoj qolmaydi. Va siz diskriminant va noma'lum uchun allaqachon yozilganlarga kerak bo'lmaydi.

Birinchidan, ikkinchi raqamning to'liqsiz tenglamasini ko'rib chiqing. Ushbu tenglikda, noma'lum qiymatni qavsdan olib, qavs ichida qolgan chiziqli tenglamani echish kerak. Javob ikkita ildizga ega bo'ladi. Birinchisi, albatta, nolga teng, chunki o'zgaruvchining o'zidan iborat bo'lgan omil mavjud. Ikkinchisi chiziqli tenglamani echishda olinadi.

Tugallanmagan uchinchi raqamli tenglama sonni tenglamaning chap tomonidan o'ngga o'tkazish yo'li bilan hal qilinadi. Keyin noma'lum tomonga qaragan koeffitsientga bo'lish kerak. Qolgan narsa bu kvadrat ildizni olish va uni qarama-qarshi belgilar bilan ikki marta yozishni unutmaslikdir.

Quyidagi kvadrat tenglamalarga aylanadigan barcha turdagi tengliklarni qanday echishni o'rganishga yordam beradigan ba'zi bir qadamlar. Ular talabaga beparvo xatolardan qochishga yordam beradi. Ushbu kamchiliklar keng mavzuni o'rganishda past baholarga sabab bo'ladi " Kvadrat tenglamalar (8-sinf) ". Keyinchalik, ushbu harakatlar doimiy ravishda bajarilishi shart emas. Chunki barqaror mahorat paydo bo'ladi.

• Birinchidan, siz tenglamani standart shaklda yozishingiz kerak. Ya'ni, avval o'zgaruvchining eng yuqori darajasiga ega bo'lgan atama, so'ngra - darajasiz va oxirgi - shunchaki raqam.

• Agar "a" koeffitsienti oldida minus paydo bo'lsa, u boshlang'ich uchun kvadrat tenglamalarni o'rganishni qiyinlashtirishi mumkin. Undan qutulish yaxshiroqdir. Buning uchun barcha tenglik "-1" ga ko'paytirilishi kerak. Bu degani, barcha atamalar o'zlarining belgisini aksincha o'zgartiradi.

• Xuddi shu tarzda, fraktsiyalardan xalos bo'lish tavsiya etiladi. Denominatorlarni bekor qilish uchun tenglamani tegishli omil bilan shunchaki ko'paytiring.

Misollar

Quyidagi kvadrat tenglamalarni yechish talab etiladi:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x \u003d 0;

12x + x 2 + 36 \u003d 0;

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2).

Birinchi tenglama: x 2 - 7x \u003d 0. To'liq emas, shuning uchun u ikkinchi raqamli formulada aytilganidek echiladi.

Qavslardan chiqib ketgandan so'ng, shunday bo'ladi: x (x - 7) \u003d 0.

Birinchi ildiz qiymatni oladi: x 1 \u003d 0. Ikkinchisini chiziqli tenglamadan topamiz: x - 7 \u003d 0. x 2 \u003d 7 ni ko'rish oson.

Ikkinchi tenglama: 5x 2 + 30 \u003d 0. Yana to'liq emas. Faqatgina uchinchi formulada aytilganidek hal qilinadi.

30 ni tenglikning o'ng tomoniga o'tkazgandan so'ng: 5x 2 \u003d 30. Endi siz 5 ga bo'lishingiz kerak bo'ladi. Bu chiqadi: x 2 \u003d 6. Javoblar raqamlar bo'ladi: x 1 \u003d √6, x 2 \u003d - √6.

Uchinchi tenglama: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Keyinchalik kvadrat tenglamalarni echish ularni qayta yozishdan boshlanadi. standart ko'rinish: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Endi soniyani ishlatish vaqti keldi foydali maslahatlar va hamma narsani minusga ko'paytiring. Bu x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ga aylanadi. To'rtinchi formulaga ko'ra, siz diskriminantni hisoblashingiz kerak: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Bu ijobiy son. Yuqorida aytilganlardan kelib chiqadiki, tenglama ikki ildizga ega. Beshinchi formula yordamida ularni hisoblash kerak. Aniqlanishicha, x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Keyin x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

To'rtinchi tenglama x 2 + 8 + 3x \u003d 0 quyidagicha o'zgartiriladi: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Uning diskriminanti bu qiymatga teng: -23. Bu raqam salbiy bo'lganligi sababli, ushbu vazifaga javob quyidagi yozuv bo'ladi: "Ildizlar yo'q."

Beshinchi tenglama 12x + x 2 + 36 \u003d 0 quyidagicha yozilishi kerak: x 2 + 12x + 36 \u003d 0. Diskriminant uchun formulani qo'llaganidan so'ng, nol soni olinadi. Bu shuni anglatadiki, u bitta ildizga ega, ya'ni: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Oltinchi tenglama (x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2) o'zgarishlarni talab qiladi, bu qavslarni ochishdan oldin shunga o'xshash atamalarni olib kelish kerakligini anglatadi. Birinchisining o‘rnida shunday ifoda bo‘ladi: x 2 + 2x + 1. Tenglikdan keyin bu yozuv paydo bo‘ladi: x 2 + 3x + 2. Bunday atamalar sanab chiqilgandan so‘ng, tenglama quyidagi ko‘rinishga keladi: x 2 - x \u003d 0. U to‘liq bo‘lmadi. ... Unga o'xshash narsa allaqachon biroz yuqori deb hisoblangan. Buning ildizlari 0 va 1 raqamlari bo'ladi.

Biz mavzuni o'rganishda davom etamiz tenglamalarni yechish". Biz allaqachon chiziqli tenglamalar bilan tanishdik va tanishish uchun harakat qilamiz kvadrat tenglamalar.

Birinchidan, kvadrat tenglama nima ekanligini, qanday qilib umumiy shaklda yozilishini tahlil qilamiz va tegishli ta'riflarni beramiz. Shundan so'ng, misollardan foydalanib, to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamalar qanday hal qilinganligini batafsil tahlil qilamiz. Keyin biz to'liq tenglamalarni echishga o'tamiz, ildizlar formulasini olamiz, kvadrat tenglamaning diskriminanti bilan tanishamiz va odatiy misollarning echimlarini ko'rib chiqamiz. Va nihoyat, ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi munosabatni ko'rib chiqaylik.

Sahifalarni navigatsiya qilish.

Kvadrat tenglama nima? Ularning turlari

Avval siz kvadrat tenglama nima ekanligini aniq tushunishingiz kerak. Shuning uchun kvadrat tenglama haqida gapirishni kvadrat tenglama, shuningdek unga bog'liq ta'riflar bilan boshlash mantiqan to'g'ri keladi. Shundan so'ng siz kvadrat tenglamalarning asosiy turlarini ko'rib chiqishingiz mumkin: qisqartirilgan va qisqartirilmagan, shuningdek to'liq va to'liq bo'lmagan tenglamalar.

Kvadratlar tenglamalariga ta'rif va misollar

Ta'rif.

Kvadrat tenglama Shakl tenglamasi a x 2 + b x + c \u003d 0 , bu erda x o'zgaruvchi, a, b va c ba'zi sonlar, va a nolga teng.

Darhol aytaylik, kvadrat tenglamalar ko'pincha ikkinchi darajali tenglamalar deyiladi. Buning sababi, kvadrat tenglama algebraik tenglama ikkinchi daraja.

Tayyorlangan ta'rif kvadrat tenglamalarga misollar keltirishga imkon beradi. Shunday qilib, 2 x 2 + 6 x + 1 \u003d 0, 0.2 x 2 + 2.5 x + 0.03 \u003d 0 va boshqalar. Kvadratlar tenglamalari.

Ta'rif.

Raqamlar a, b va c deyiladi kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a x 2 + b x + c \u003d 0, va a koeffitsienti birinchi yoki eng yuqori deb aytiladi yoki x 2, b koeffitsienti ikkinchi koeffitsient yoki x da koeffitsient, va c esa erkin muddatli.

Masalan, 5x2 −2x3 \u003d 0 shaklidagi kvadrat tenglamani olamiz, bu erda etakchi koeffitsient 5, ikkinchi koeffitsient −2, kesishish esa −3. Shunga e'tibor beringki, b va / yoki c koeffitsientlari, yuqorida keltirilgan misolda bo'lgani kabi, manfiy bo'lsa, kvadrat tenglamaning qisqa shakli 5 x 2 x2 x - 3 \u003d 0, 5 x 2 + emas (- 2) ) X + (- 3) \u003d 0.

Shuni ta'kidlash kerakki, a va / yoki b koeffitsientlari 1 yoki −1 ga teng bo'lsa, ular odatda kvadrat tenglamada aniq ko'rinmaydi, bu bunday yozishning o'ziga xos xususiyatlaridan kelib chiqadi. Masalan, y 2 kvadrat tenglamada y 2 −y + 3 \u003d 0, etakchi koeffitsient bitta, y da koeffitsient −1.

Kamaytirilgan va qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar

Kamaytirilgan va qisqartirilmaydigan kvadrat tenglamalar etakchi koeffitsient qiymatiga qarab ajratiladi. Keling, tegishli ta'riflarni beraylik.

Ta'rif.

Etakchi koeffitsient 1 ga teng bo'lgan kvadrat tenglama deyiladi kamaytirilgan kvadrat tenglama... Aks holda kvadrat tenglama bo'ladi o'qimagan.

Ga ko'ra bu ta'rif, kvadrat tenglamalar x 2 −3 x + 1 \u003d 0, x 2 −x - 2/3 \u003d 0, va hokazo. - berilgan, ularning har birida birinchi koeffitsient bittaga teng. Va 5 x 2 −x - 1 \u003d 0, va hokazo. - aniqlanmagan kvadrat tenglamalar, ularning etakchi koeffitsientlari 1 dan farq qiladi.

Har qanday qisqartirilmagan kvadrat tenglamadan uning ikkala qismini etakchi koeffitsientga bo'lish orqali siz qisqartirilganga o'tishingiz mumkin. Bu harakat ekvivalent transformatsiya hisoblanadi, ya'ni shu tarzda olingan qisqartirilgan kvadrat tenglama asl qisqartirilmagan kvadrat tenglama bilan bir xil ildizlarga ega yoki shunga o'xshash ildizlarga ega emas.

Keltirilmagan kvadrat tenglamadan qisqartirilganga o'tish qanday amalga oshirilishini misol yordamida tahlil qilamiz.

Misol.

3 x 2 + 12 x - 7 \u003d 0 tenglamadan mos keladigan qisqartirilgan kvadrat tenglamaga o'ting.

Qaror.

Asl tenglamaning ikkala tomonini etakchi 3-omilga bo'lish kifoya, bu nolga teng, shuning uchun biz ushbu harakatni amalga oshirishimiz mumkin. Bizda (3 x 2 + 12 x - 7): 3 \u003d 0: 3, bu bir xil, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 \u003d 0, va yana (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 \u003d 0, qayerdan. Shunday qilib, biz asliga teng bo'lgan qisqartirilgan kvadrat tenglamani oldik.

Javob:

To'liq va to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar

Kvadrat tenglamaning ta'rifi a ≠ 0 shartini o'z ichiga oladi. Bu shart a x 2 + b x + c \u003d 0 tenglamaning to'liq kvadratik bo'lishi uchun kerak, chunki a \u003d 0 holatida u b x + c \u003d 0 shaklidagi chiziqli tenglamaga aylanadi.

B va c koeffitsientlariga kelsak, ular alohida va birgalikda nolga teng bo'lishi mumkin. Bunday hollarda kvadrat tenglama tugallanmagan deb nomlanadi.

Ta'rif.

A x 2 + b x + c \u003d 0 kvadratik tenglama deyiladi tugallanmaganb, c koeffitsientlaridan kamida bittasi nolga teng bo'lsa.

O'z navbatida

Ta'rif.

To'liq kvadratik tenglama Barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lgan tenglama.

Bunday nomlar tasodifan berilmaydi. Bu quyidagi mulohazalardan aniq bo'ladi.

Agar b koeffitsient nolga teng bo'lsa, u holda kvadrat tenglama x 2 + 0 x + c \u003d 0 shaklini oladi va u x 2 + c \u003d 0 tenglamaga teng bo'ladi. Agar c \u003d 0, ya'ni kvadratik tenglama x 2 + b x + 0 \u003d 0 shakliga ega bo'lsa, u x 2 + b x \u003d 0 sifatida qayta yozilishi mumkin. Va b \u003d 0 va c \u003d 0 uchun, a · x 2 \u003d 0 kvadrat tenglamani olamiz. Olingan tenglamalar to'liq kvadratik tenglamadan farq qiladi, chunki chap tomonlarda x o'zgaruvchili atamalar, yoki erkin atamalar yoki ikkalasi ham mavjud emas. Demak, ularning nomi - to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamalar.

Shunday qilib, x 2 + x + 1 \u003d 0 va −2 x 2 −5 x + 0.2 \u003d 0 tenglamalar to'liq kvadratik tenglamalarga misol bo'ladi va x 2 \u003d 0, −2 x 2 \u003d 0.5 x 2 + 3 \u003d 0, −x 2 −5 · x \u003d 0 to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Oldingi paragrafdagi ma'lumotlardan shuni ko'rish mumkinki uch xil tugallanmagan kvadrat tenglamalar:

• a · x 2 \u003d 0, u b \u003d 0 va c \u003d 0 koeffitsientlariga mos keladi;
• b \u003d 0 bo'lganda a x 2 + c \u003d 0.
• va x 2 + b x \u003d 0 bo'lsa, c \u003d 0.

Ushbu turlarning har birining to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamalari qanday hal qilinishini tahlil qilaylik.

a x 2 \u003d 0

B va c koeffitsientlari nolga teng bo'lgan, ya'ni a · x 2 \u003d 0 shaklidagi tenglamalar bilan to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamalarni yechishdan boshlaylik. A · x 2 \u003d 0 tenglama aslidan ikkala qismini nol bo'lmagan songa bo'lish orqali olingan x 2 \u003d 0 tenglamaga tengdir. Shubhasiz, x 2 \u003d 0 tenglamaning ildizi nolga teng, chunki 0 2 \u003d 0. Ushbu tenglamaning boshqa hech qanday ildizi yo'q, bu tushunarli, har qanday nolga teng bo'lmagan p uchun, p 2\u003e 0 tengsizligi, p when 0 uchun p 2 \u003d 0 tenglikka hech qachon erishilmaydi.

Shunday qilib, a · x 2 \u003d 0 tugallanmagan kvadrat tenglama bitta ildizga ega x \u003d 0.

Misol tariqasida −4 · x 2 \u003d 0 tugallanmagan kvadrat tenglamaga echimni beramiz. X 2 \u003d 0 tenglama unga tengdir, uning yagona ildizi x \u003d 0, shuning uchun asl tenglama noyob ildiz noliga ega.

Bu holda qisqa echimni quyidagicha shakllantirish mumkin:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

a x 2 + c \u003d 0

Endi to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamalar qanday echilganini ko'rib chiqamiz, bunda b koeffitsient nolga teng, va c ≠ 0, ya'ni a · x 2 + c \u003d 0 shaklidagi tenglamalar. Terminni tenglamaning bir tomonidan boshqasiga qarama-qarshi belgi bilan uzatish, shuningdek tenglamaning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan songa bo'lish ekvivalent tenglama berishini bilamiz. Shuning uchun a x 2 + c \u003d 0 tugallanmagan kvadratik tenglamaning quyidagi ekvivalent o'zgarishlarini amalga oshirishimiz mumkin:

• c 2 ni o'ng tomonga siljiting, bu x 2 \u003d movec tenglamani beradi,
• va ikkala qismni a ga bo'ling, biz olamiz.

Olingan tenglama bizga uning ildizlari haqida xulosa chiqarishga imkon beradi. A va c qiymatlariga qarab, ifoda qiymati salbiy bo'lishi mumkin (masalan, a \u003d 1 va c \u003d 2 bo'lsa, u holda) yoki ijobiy, (masalan, agar a \u003d −2 va c \u003d 6 bo'lsa, u holda), u nolga teng emas. , chunki c ≠ 0 shart bilan. Keling, ishlarni alohida ko'rib chiqamiz.

Agar bo'lsa, unda tenglamaning ildizi yo'q. Ushbu bayon har qanday raqamning kvadrat manfiy bo'lmagan son ekanligidan kelib chiqadi. Bundan kelib chiqadiki, qachondir, har qanday p raqami uchun tenglik haqiqiy bo'lolmaydi.

Agar bo'lsa, tenglamaning ildizlari bilan vaziyat boshqacha bo'ladi. Bunday holda, agar siz eslasangiz, tenglamaning ildizi darhol aniq bo'ladi, chunki bu raqam. Haqiqatan ham son tenglamaning ham ildizi ekanligini taxmin qilish oson. Ushbu tenglamaning boshqa ildizlari yo'q, masalan, qarama-qarshilik orqali ko'rsatilishi mumkin. Qani buni bajaraylik.

Keling, x 1 va −x 1 shaklida yozilgan tenglamaning ildizlarini belgilaymiz. Aytaylik, tenglamada x 1 va −x 1 ko'rsatilgan ildizlardan farq qiladigan yana bitta x 2 ildiz mavjud. Ma'lumki, uning ildizini x tenglamaga almashtirish bu tenglamani haqiqiy son tengligiga aylantiradi. X 1 va 1x 1 uchun va x 2 uchun bizda. Raqam tengliklarining xossalari bizga haqiqiy raqamli tengliklarni davriy ravishda ajratishni amalga oshirishga imkon beradi, shuning uchun tengliklarning tegishli qismlarini olib tashlash x 1 2 −x 2 2 \u003d 0 ni beradi. Raqamlar bilan harakatlarning xossalari (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0 sifatida olingan tenglikni qayta yozishga imkon beradi. Ikkala sonning mahsuloti nolga teng ekanligini va agar ulardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa, bilamiz. Demak, olingan tenglikdan x 1 - x 2 \u003d 0 va / yoki x 1 + x 2 \u003d 0, x 2 \u003d x 1 va / yoki x 2 \u003d −x 1 bo'ladi. Shunday qilib, biz qarama-qarshilikka duch keldik, chunki boshida x 2 tenglamasining ildizi x 1 va −x 1 dan farq qilishi mumkinligini aytdik. Bu tenglamaning va dan boshqa ildizlari yo'qligini isbotlaydi.

Keling, ushbu element haqida ma'lumotni umumlashtiramiz. Tugallanmagan kvadrat tenglama a x 2 + c \u003d 0 bu tenglamaga tengdir

• agar ildiz bo'lmasa,
• ikkita ildizga ega va agar bo'lsa.

A · x 2 + c \u003d 0 shaklidagi to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamalarni yechish misollarini ko'rib chiqing.

9 x 2 + 7 \u003d 0 kvadratik tenglamadan boshlaylik. Bo'sh vaqtni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazgandan so'ng, u 9 · x 2 \u003d −7 shaklni oladi. Olingan tenglamaning ikkala tomonini 9 ga bo'lish, biz erishamiz. O'ng tomonda manfiy son mavjud bo'lganligi sababli, bu tenglamaning ildizi yo'q, shuning uchun asl to'liqsiz kvadratik tenglamaning 9 · x 2 + 7 \u003d 0 ildizlari yo'q.

Anotherx 2 + 9 \u003d 0 tugallanmagan kvadrat tenglamani yeching. To'qqiztasini o'ng tomonga o'tkazing: −x 2 \u003d −9. Endi ikkala tomonni −1 ga bo'lamiz, x 2 \u003d 9 ni olamiz. O'ng tomonda ijobiy raqam mavjud, undan biz shunday xulosaga kelamiz. Keyin yakuniy javobni yozamiz: to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama −x 2 + 9 \u003d 0 ikkita ildiz x \u003d 3 yoki x \u003d −3 ga ega.

a x 2 + b x \u003d 0

C \u003d 0 uchun tugallanmagan kvadratik tenglamalarning oxirgi turini echish bilan shug'ullanish qoladi. A x 2 + b x \u003d 0 shaklidagi to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamalarni yechishga imkon beradi faktorizatsiya usuli... Shubhasiz, tenglamaning chap tomonida bo'lishimiz mumkin, buning uchun x umumiy omilni aniqlash kifoya qiladi. Bu bizga asl tugallanmagan kvadrat tenglamadan x · (a · x + b) \u003d 0 shaklidagi ekvivalent tenglamaga o'tishga imkon beradi. Va bu tenglama x \u003d 0 va x + b \u003d 0 ikkita tenglama yig'indisiga tengdir, ularning oxirgisi chiziqli va ildizi x \u003d −b / a.

Demak, a x 2 + b x \u003d 0 tugallanmagan kvadrat tenglama x \u003d 0 va x \u003d −b / a ikkita ildizga ega.

Materialni birlashtirish uchun biz aniq bir misolning echimini tahlil qilamiz.

Misol.

Tenglamani yeching.

Qaror.

Q qavslardan tashqariga siljitish tenglamani beradi. Bu x \u003d 0 va ikkita ikkita tenglamaga tengdir. Olingan chiziqli tenglamani yechamiz: va aralash raqamni oddiy kasrga bo'lgandan keyin topamiz. Shuning uchun asl tenglamaning ildizlari x \u003d 0 va.

Kerakli amaliyotni olgandan so'ng, bunday tenglamalarning echimlari qisqacha yozilishi mumkin:

Javob:

x \u003d 0,.

Diskriminant, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formula

Kvadrat tenglamalarni yechishning ildiz formulasi mavjud. Keling, yozaylik kvadratik formula:, qayerda D \u003d b 2 −4 a c - deb nomlangan kvadrat diskriminant... Notation aslida buni anglatadi.

Ildiz formulasi qanday olinganligi va kvadrat tenglamalarning ildizlarini topishda qanday qo'llanilishini bilish foydalidir. Keling, buni aniqlaymiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulani chiqarish

A x 2 + b x + c \u003d 0 kvadratik tenglamani yechishimiz kerak deylik. Keling, ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiraylik:

• Ushbu tenglamaning ikkala tomonini nol bo'lmagan songa bo'lishimiz mumkin, natijada kamaytirilgan kvadrat tenglama olinadi.
• Endi to'liq kvadratni tanlang chap tomonida:. Shundan so'ng, tenglama shakllanadi.
• Ushbu bosqichda, oxirgi ikki atamani o'ng tomonga qarama-qarshi belgi bilan uzatishni amalga oshirishimiz mumkin.
• Va biz shuningdek iborani o'ng tomonga o'zgartiramiz:.

Natijada, a x 2 + b x + c \u003d 0 bo'lgan asl kvadrat tenglamaga teng keladigan tenglamaga kelamiz.

Oldingi paragraflarda o'xshash o'xshash tenglamalarni biz ularni tahlil qilganimizda hal qildik. Bu tenglamaning ildizlari to'g'risida quyidagi xulosalarni chiqarishga imkon beradi:

• agar, agar bu tenglamada haqiqiy echimlar bo'lmasa;
• agar, agar tenglama shaklga ega bo'lsa, demak uning yagona ildizi qayerdan ko'rinadi;
• agar, u holda, yoki bir xil bo'lsa, yoki tenglama ikkita ildizga ega bo'lsa.

Shunday qilib, tenglama ildizlarining mavjudligi yoki yo'qligi va shuning uchun asl kvadratik tenglama o'ng tomonda ifodaning belgisiga bog'liq. O'z navbatida, bu ifodaning belgisi hisoblagichning belgisi bilan belgilanadi, chunki denominator 4 · a 2 har doim ijobiy bo'ladi, ya'ni b 2 −4 · a · c ifodasining belgisi. Bu b 2 −4 a c ifodaga aytildi kvadrat tenglamaning diskriminanti va harf bilan belgilangan D... Bundan, diskriminantning mohiyati aniq - uning qiymati va belgisidan kelib chiqib, kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari bor yoki yo'qmi, agar shunday bo'lsa, ularning soni bir-ikkitami degan xulosaga kelish mumkin.

Tenglamaga qaytib, diskriminant notasi yordamida yozing:. Va biz xulosa qilamiz:

• agar D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• agar D \u003d 0 bo'lsa, unda bu tenglama bitta ildizga ega;
• nihoyat, agar D\u003e 0 bo'lsa, unda tenglama ikki ildizga ega yoki ular asosida qayta yozilishi mumkin va fraktsiyalarni kengaytirib va \u200b\u200bumumiy denominatorga aylantirgandan so'ng biz olamiz.

Shunday qilib, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni oldik, ularda D diskriminant D \u003d b 2 −4 · a · c formulasi bilan hisoblanadigan shakl mavjud.

Ularning yordami bilan musbat diskriminant yordamida siz kvadrat tenglamaning ikkala haqiqiy ildizini ham hisoblashingiz mumkin. Diskriminant nolga teng bo'lganda, ikkala formulalar kvadrat tenglamaning noyob echimiga mos keladigan bir xil ildiz qiymatini beradi. Va manfiy kamsituvchi bilan, kvadrat tenglama ildizlari uchun formuladan foydalanishga harakat qilganda, bizni qutidan olib chiqadigan va manfiy sonning kvadrat ildizini ajratib olishga duch kelamiz. maktab o'quv dasturi... Salbiy diskriminant bilan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas, lekin juftlikka ega murakkab konjugat Biz olgan ildiz formulalari yordamida topish mumkin bo'lgan ildizlar.

Ildiz formulalari yordamida kvadrat tenglamalarni yechish algoritmi

Amalda, kvadrat tenglamalarni echishda siz darhol ildiz formulasidan foydalanishingiz mumkin, ular yordamida ularning qiymatlarini hisoblashingiz mumkin. Ammo bu murakkab ildizlarni topish haqida ko'proq.

Ammo, maktab algebra kursida, odatda murakkab emas, balki kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari haqida gap boradi. Bunday holda, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni ishlatishdan oldin diskriminatorni topish tavsiya etiladi, uning manfiy emasligiga ishonch hosil qiling (aks holda, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelishimiz mumkin) va shundan keyingina ildizlarning qiymatlarini hisoblash kerak.

Yuqoridagi fikrlar bizga yozishga imkon beradi kvadrat tenglamani yechuvchi... A x 2 + b x + c \u003d 0 kvadrat tenglamani yechish uchun sizga kerak:

• diskriminant formula bo'yicha D \u003d b 2 24 · a · c uning qiymatini hisoblang;
• agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelish;
• agar D \u003d 0 bo'lsa, formula bo'yicha tenglamaning yagona ildizini hisoblang.
• agar diskriminant ijobiy bo'lsa, ildiz formulasidan foydalanib, kvadrat tenglamaning ikkita haqiqiy ildizini toping.

Bu erda biz shuni ta'kidlaymizki, diskriminant nolga teng bo'lganda, formuladan ham foydalanish mumkin, u xuddi shunday qiymatni beradi.

Kvadrat tenglamalarni yechishda algoritmdan foydalanish misollariga o'tishingiz mumkin.

Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar

Musbat, manfiy va nol diskriminantlari bo'lgan uch kvadrat tenglamaning echimlarini ko'rib chiqing. Ularning echimini ko'rib chiqib, analogiya yordamida har qanday boshqa kvadrat tenglamani echish mumkin bo'ladi. Boshlaymiz.

Misol.

X 2 + 2 x - 6 \u003d 0 tenglamaning ildizlarini toping.

Qaror.

Bunday holda biz kvadrat tenglamaning quyidagi koeffitsientlariga egamiz: a \u003d 1, b \u003d 2 va c \u003d −6. Algoritmga ko'ra, avval siz diskriminantni hisoblashingiz kerak, buning uchun biz ko'rsatilgan a, b va c ni diskriminant formulaga almashtiramiz, D \u003d b 2 −4 a c \u003d 2 2 −4 1 (−6) \u003d 4 + 24 \u003d 28... 28\u003e 0 bo'lgani uchun, ya'ni diskriminant noldan katta bo'lsa, kvadrat tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Biz ularni ildiz formulasi bo'yicha topamiz, bu erda bajarilgan iboralarni soddalashtirish mumkin ildiz belgisini faktoring keyingi kasrning kamayishi bilan:

Javob:

Keyingi odatiy misolga o'taylik.

Misol.

−4x2 + 28x - 49 \u003d 0 kvadratik tenglamani yeching.

Qaror.

Biz diskriminantni topishdan boshlaymiz: D \u003d 28 2 −4 (−4) (−49) \u003d 784−784 \u003d 0... Shuning uchun bu kvadrat tenglama bitta ildizga ega, uni biz topamiz, ya'ni

Javob:

x \u003d 3,5.

Kvadrat tenglamalarni manfiy diskriminant bilan echishni ko'rib chiqish kerak.

Misol.

5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0 tenglamani yeching.

Qaror.

Kvadrat tenglamaning koeffitsientlari quyidagicha: a \u003d 5, b \u003d 6 va c \u003d 2. Ushbu qadriyatlarni kamsituvchi formulaga almashtirib, bizda mavjud D \u003d b 2 −4 a c \u003d 6 2 −4 5 2 \u003d 36−40 \u003d −4... Diskriminant manfiy, shuning uchun bu kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas.

Agar siz murakkab ildizlarni ko'rsatishingiz kerak bo'lsa, unda kvadrat tenglama ildizlari uchun taniqli formulani qo'llaymiz va bajaramiz. murakkab sonli operatsiyalar:

Javob:

haqiqiy ildizlar yo'q, murakkab ildizlar quyidagicha:.

Yana bir bor ta'kidlaymizki, agar kvadrat tenglamaning diskriminanti manfiy bo'lsa, u holda maktabda ular darhol javob yozadilar, unda haqiqiy ildizlar yo'qligi va murakkab ildizlar topilmagani ko'rsatiladi.

Hatto ikkinchi koeffitsientlar uchun ham ildiz formulasi

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formula, bu erda D \u003d b 2 −4 a ln5 \u003d 2 7 ln5). Keling, olib tashlaymiz.

A x 2 + 2 n x + c \u003d 0 shaklining kvadratik tenglamasini yechishimiz kerak deylik. Keling, uning ildizlarini biz bilgan formuladan foydalanib topamiz. Buning uchun diskriminantni hisoblang D \u003d (2 n) 2 −4 a c \u003d 4 n 2 −4 a c \u003d 4 (n 2 −a c)va keyin ildiz formulasidan foydalaning:

N 2 - a · c ifodani D 1 deb belgilaymiz (ba'zan u D bilan belgilanadi) Keyin ikkinchi koeffitsient 2 bilan ko'rib chiqilayotgan kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulani hosil qilamiz. , bu erda D 1 \u003d n 2 - a · c.

D \u003d 4 · D 1 yoki D 1 \u003d D / 4 ekanligini ko'rish oson. Boshqacha aytganda, D 1 diskriminantning to'rtinchi qismidir. D 1 belgisi D belgisi bilan bir xil ekanligi aniq. Ya'ni D 1 belgisi kvadrat tenglamaning ildizlari bor yoki yo'qligini ham ko'rsatadi.

Shunday qilib, kvadrat tenglamani 2 n ikkinchi koeffitsient bilan echish uchun sizga kerak

• Hisoblang D 1 \u003d n 2 −a · c;
• Agar D 1 bo'lsa<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Agar D 1 \u003d 0 bo'lsa, unda tenglamaning yagona ildizini formuladan hisoblang;
• Agar D 1\u003e 0 bo'lsa, unda formula bo'yicha ikkita haqiqiy ildizni toping.

Keling, ushbu xatboshida olingan ildiz formulasidan foydalanib, misol echimini ko'rib chiqamiz.

Misol.

5x2 −6x - 32 \u003d 0 kvadrat tenglamani yeching.

Qaror.

Ushbu tenglamaning ikkinchi koeffitsientini 2 · (−3) shaklida ko'rsatish mumkin. Ya'ni, siz 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 \u003d 0 shaklida asl kvadrat tenglamani qayta yozishingiz mumkin, bu erda a \u003d 5, n \u003d −3 va c \u003d −32 va diskriminantning to'rtinchi qismini hisoblashingiz mumkin: D 1 \u003d n 2 −a c \u003d (- 3) 2 −5 (−32) \u003d 9 + 160 \u003d 169... Uning qiymati musbat bo'lganligi sababli, tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Keling, ularni tegishli ildiz formulasidan foydalanib topamiz:

E'tibor bering, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun odatiy formuladan foydalanish mumkin edi, ammo bu holda ko'proq hisoblash ishlarini bajarish kerak edi.

Javob:

Kvadrat tenglamalarni soddalashtirish

Ba'zan, kvadrat tenglamaning ildizlarini formulalar yordamida hisoblashdan oldin, savol tug'dirmaydi: "Ushbu tenglamaning shaklini soddalashtirish mumkinmi?" Hisoblashlar bo'yicha 11 x 2 −4 x - 6 \u003d 0 kvadratik tenglamani 1100 x 2 x400 x - 600 \u003d 0 dan hal qilish osonroq bo'lishiga rozi bo'ling.

Odatda, kvadrat tenglama shaklini soddalashtirish, uning ikkala qismini ham ba'zi sonlarga ko'paytirish yoki bo'lish orqali erishiladi. Masalan, oldingi paragrafda ikkala tomonni 100 ga bo'lish orqali 1100 x 2 −400 x - 600 \u003d 0 tenglamani soddalashtirishga muvaffaq bo'ldik.

Shunga o'xshash transformatsiya kvadratik tenglamalar yordamida amalga oshiriladi, ularning koeffitsientlari yo'q. Bunday holda, tenglamaning har ikki tomoni odatda uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlariga bo'linadi. Masalan, 12 x 2 −42 x + 48 \u003d 0 kvadratik tenglamani olaylik. uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlari: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Dastlabki kvadratik tenglamaning ikkala tomonini 6 ga bo'lish, biz 2 x 2 −7 x + 8 \u003d 0 teng kvadrat tenglamani olamiz.

Kvadrat tenglamaning ikkala tomonini ko'paytirish odatda kasr koeffitsientlaridan xalos bo'lish uchun amalga oshiriladi. Bunday holda, ko'paytirish uning koeffitsientlarini aniqlovchi tomonidan amalga oshiriladi. Masalan, agar kvadrat tenglamaning ikkala tomoni LCM (6, 3, 1) \u003d 6 ga ko'paytirilsa, u x 2 + 4 x - 18 \u003d 0 sodda shaklni oladi.

Shu nuqtai nazardan, kvadrat tenglamaning etakchi koeffitsientida deyarli har doim minuslardan xalos bo'lamiz, har ikkala qismning belgilarini −1 ga ko'paytirish (yoki bo'lish) ga to'g'ri keladigan barcha belgilarning belgilari o'zgaradi. Masalan, odatda −2 · x 2 −3 · x + 7 \u003d 0 kvadrat tenglamadan biz 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0 echimga o'tamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi bog'liqlik

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalar tenglama ildizlarini koeffitsientlari nuqtai nazaridan ifoda etadi. Ildiz formulasiga asoslanib, siz ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi boshqa bog'liqlikni olishingiz mumkin.

Eng taniqli va eng mos keladigan formulalar forma teoremasidan va. Xususan, berilgan kvadratik tenglama uchun ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan ikkinchi koeffitsientga, ildizlarning hosilasi esa erkin davrga tengdir. Masalan, 3 x 2 −7 x + 22 \u003d 0 kvadrat tenglama shakli bilan darhol uning ildizlari yig'indisi 7/3, ildizlarning hosilasi esa 22/3 bo'ladi, deyishingiz mumkin.

Siz allaqachon yozilgan formulalardan foydalanib, kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi bir qator boshqa aloqalarni olishingiz mumkin. Masalan, kvadrat tenglamaning ildizlari kvadratlarining yig'indisini uning koeffitsientlari orqali ifodalash mumkin:.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: o'rganish. 8 kl uchun umumiy ta'lim. muassasalari / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008 .-- 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Algebra. 8-sinf. Soat 14.00 da 1-qism. Ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-chi nashr, o'chirildi. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 p .: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.