Matematik kutish misollari. Matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimotidir. Forexda matematik kutishdan foydalanish
Diskret ehtimollik fazosida berilgan X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi (o'rtacha qiymati), agar qator mutlaq yaqinlashsa, m =M[X]=∑x i p i soni.
Xizmat topshirig'i. Onlayn xizmat bilan matematik kutish, dispersiya va standart og'ish hisoblanadi(misolga qarang). Bundan tashqari, F(X) taqsimot funksiyasining grafigi chiziladi.
Tasodifiy miqdorning matematik kutilishining xossalari
- Doimiy qiymatning matematik kutilishi o'ziga teng: M[C]=C , C doimiy;
- M=C M[X]
- Tasodifiy o‘zgaruvchilar yig‘indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig‘indisiga teng: M=M[X]+M[Y]
- Mustaqil tasodifiy miqdorlar ko‘paytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutilmalari ko‘paytmasiga teng: M=M[X] M[Y], agar X va Y mustaqil bo‘lsa.
Dispersiya xususiyatlari
- Doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng: D(c)=0.
- Doimiy koeffitsientni dispersiya belgisi ostidan uning kvadratiga aylantirib chiqarish mumkin: D(k*X)= k 2 D(X).
- Agar X va Y tasodifiy miqdorlar mustaqil bo‘lsa, yig‘indining dispersiyasi dispersiyalarning yig‘indisiga teng bo‘ladi: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Agar X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liq bo'lsa: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Dispersiya uchun hisoblash formulasi amal qiladi:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Misol. Ikki mustaqil X va Y tasodifiy miqdorlarning matematik taxminlari va dispersiyalari ma’lum: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Z=9X-8Y+7 tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini toping.
Yechim. Matematik kutilma xossalari asosida: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Dispersiya xususiyatlariga ko'ra: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Matematik kutishni hisoblash algoritmi
Diskret tasodifiy o'zgaruvchilarning xususiyatlari: ularning barcha qiymatlarini natural sonlar bilan qayta raqamlash mumkin; Har bir qiymatga nolga teng bo'lmagan ehtimollikni tayinlang.- Juftlarni birma-bir ko'paytiring: x i ni p i ga.
- Har bir juftlik mahsulotini qo'shamiz x i p i .
Masalan, n = 4 uchun: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
№1 misol.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Matematik kutilma m = ∑x i p i formula bilan topiladi.
Matematik kutish M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Dispersiya d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 formulasi bilan topiladi.
Dispersiya D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standart og'ish s(x).
s = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
№2 misol. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi quyidagi taqsimot qatoriga ega:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Yechim. Munosabatdan a qiymati topiladi: sp i = 1
Sp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 yoki 0,24=3 a , bundan a = 0,08
№3 misol. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini aniqlang, agar uning dispersiyasi ma'lum bo'lsa va x 1
p 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96
Yechim.
Bu erda siz d (x) dispersiyani topish uchun formulani yaratishingiz kerak:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
Bu yerda kutilma m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Bizning ma'lumotlarimiz uchun
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
yoki -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Shunga ko'ra, tenglamaning ildizlarini topish kerak va ulardan ikkitasi bo'ladi.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
X 1 shartni qanoatlantiradiganini tanlaymiz
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
Yechim:
6.1.2 Kutish xususiyatlari
1. Doimiy qiymatning matematik kutilishi doimiyning o'ziga teng.
2. Kutish belgisidan doimiy omilni olish mumkin. 
3. Ikkita mustaqil tasodifiy miqdor ko‘paytmasining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari ko‘paytmasiga teng.
Bu xususiyat tasodifiy o'zgaruvchilarning ixtiyoriy soni uchun amal qiladi.
4. Ikki tasodifiy miqdor yig‘indisining matematik kutilishi atamalarning matematik taxminlari yig‘indisiga teng.
Bu xususiyat tasodifiy o'zgaruvchilarning ixtiyoriy soniga ham tegishli.
Misol: M(X) = 5, M(Y)= 2. Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping Z, matematik kutish xususiyatlarini qo'llash, agar ma'lum bo'lsa Z=2X + 3Y.
Yechim: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) yig'indining matematik kutilishi matematik taxminlar yig'indisiga teng
2) doimiy koeffitsientni kutish belgisidan chiqarish mumkin
n ta mustaqil sinov o'tkazilsin, A hodisaning yuzaga kelish ehtimoli p ga teng. U holda quyidagi teorema amal qiladi:
Teorema. n ta mustaqil sinovda A hodisaning sodir bo‘lish sonining M(X) matematik kutilmasi sinovlar soni va har bir sinovda hodisaning ro‘y berish ehtimoli ko‘paytmasiga teng.
6.1.3 Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi
Matematik kutish tasodifiy jarayonni to'liq tavsiflay olmaydi. Matematik kutishga qo'shimcha ravishda, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining matematik kutishdan chetlanishini tavsiflovchi qiymatni kiritish kerak.
Bu og'ish tasodifiy o'zgaruvchi va uning matematik kutilishi o'rtasidagi farqga teng. Bunday holda, og'ishning matematik kutilishi nolga teng. Bu ba'zi mumkin bo'lgan og'ishlar ijobiy, boshqalari salbiy bo'lishi va ularning o'zaro bekor qilinishi natijasida nolga erishilishi bilan izohlanadi.
Tarqalish (tarqalish) Diskret tasodifiy miqdor tasodifiy miqdorning matematik kutilganidan kvadrat og'ishning matematik kutilishi deb ataladi.
Amalda dispersiyani hisoblashning bu usuli noqulay, chunki tasodifiy o'zgaruvchining ko'p sonli qiymatlari uchun noqulay hisob-kitoblarga olib keladi.
Shuning uchun boshqa usul qo'llaniladi.
Teorema. Dispersiya X tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining matematik kutilishi va uning matematik kutilmasining kvadrati o'rtasidagi farqga teng..
Isbot. Matematik kutilma M (X) va M 2 (X) matematik kutish kvadrati doimiy qiymatlar ekanligini hisobga olib, yozishimiz mumkin:
Misol. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni bilan berilgan dispersiyasini toping.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Yechim: .
6.1.4 Dispersiya xossalari
1. Doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng. .
2. Dispersiya belgisidan doimiy koeffitsientni kvadratga ajratib olish mumkin. 
.
3. Ikki mustaqil tasodifiy miqdorlar yig‘indisining dispersiyasi bu o‘zgaruvchilarning dispersiyalari yig‘indisiga teng. .
4. Ikki mustaqil tasodifiy miqdorlar ayirmasining dispersiyasi bu o‘zgaruvchilarning dispersiyalari yig‘indisiga teng. .
Teorema. Har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli p o‘zgarmas bo‘lgan n ta mustaqil sinovda A hodisasining sodir bo‘lish sonining dispersiyasi sinovlar soni va yuzaga kelish va sodir bo‘lmaslik ehtimoli ko‘paytmasiga teng. har bir sud jarayonidagi voqea.
Misol: DSV X dispersiyasini toping - A hodisaning 2 ta mustaqil sinovda sodir bo'lish soni, agar bu sinovlarda hodisaning yuzaga kelish ehtimoli bir xil bo'lsa va M(X) = 1,2 ekanligi ma'lum bo'lsa.
Biz 6.1.2-bo'limdagi teoremani qo'llaymiz:
M(X) = np
M(X) = 1,2; n= 2. Toping p:
1,2 = 2∙p
p = 1,2/2
q = 1 – p = 1 – 0,6 = 0,4
Dispersiyani formula bo'yicha topamiz:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Diskret tasodifiy miqdorning standart og'ishi
Standart og'ish X tasodifiy o'zgaruvchiga dispersiyaning kvadrat ildizi deyiladi.
(25)
Teorema. O'zaro mustaqil tasodifiy miqdorlarning cheklangan soni yig'indisining standart og'ishi bu o'zgaruvchilarning kvadratik standart og'ishlari yig'indisining kvadrat ildiziga teng.
6.1.6 Diskret tasodifiy miqdorning rejimi va medianasi
Moda M yoki DSV tasodifiy o'zgaruvchining eng ehtimolli qiymati deyiladi (ya'ni, eng katta ehtimolga ega bo'lgan qiymat)
Median M e DSW taqsimot qatorini yarmiga bo'luvchi tasodifiy o'zgaruvchining qiymati. Agar tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari soni juft bo'lsa, mediana ikki o'rtacha qiymatning o'rtacha arifmetik qiymati sifatida topiladi.
Misol: DSW rejimi va medianasini toping X:
| X | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Men = = 5,5
Taraqqiyot
1. Ushbu ishning nazariy qismi (ma'ruza, darslik) bilan tanishing.
2. O'zingiz tanlaganingizga ko'ra topshiriqni bajaring.
3. Ish yuzasidan hisobot tuzing.
4. Ishingizni himoya qiling.
2. Ishning maqsadi.
3. Ishning borishi.
4. Variantingizning qarori.
6.4 Mustaqil ish uchun topshiriqlar variantlari
Variant raqami 1
1. DSV X ning taqsimot qonuni bilan berilgan matematik kutilishi, dispersiyasi, standart og‘ishi, rejimi va medianasini toping.
| X | ||||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. X va Y ning matematik kutilmalari ma’lum bo‘lsa, Z tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. DSV X dispersiyasini toping - ikkita mustaqil sinovda A hodisaning sodir bo'lish soni, agar bu sinovlarda hodisalarning yuzaga kelish ehtimoli bir xil bo'lsa va M (X) = 1 ekanligi ma'lum bo'lsa.
4. Diskret tasodifiy miqdorning mumkin bo'lgan qiymatlari ro'yxati berilgan X: x 1 = 1, x2 = 2, x 3= 5 va bu miqdor va uning kvadratining matematik taxminlari ham ma'lum: , . Mumkin qiymatlarga mos keladigan , , , ehtimolliklarini toping va DSW ning taqsimot qonunini tuzing.
Variant raqami 2
| X | ||||
| P | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. Agar X va Y ning matematik kutilmalari ma’lum bo‘lsa, Z tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. DSV X dispersiyasini toping - uchta mustaqil sinovda A hodisaning sodir bo'lish soni, agar bu sinovlarda hodisalarning yuzaga kelish ehtimoli bir xil bo'lsa va M (X) = 0,9 ekanligi ma'lum bo'lsa.
4. X diskret tasodifiy miqdorning mumkin bo'lgan qiymatlari ro'yxati berilgan: x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = 4, x4= 10 va bu miqdor va uning kvadratining matematik taxminlari ham ma'lum: , . Mumkin qiymatlarga mos keladigan , , , ehtimolliklarini toping va DSW ning taqsimot qonunini tuzing.
Variant raqami 3
1. DSV X ning taqsimot qonuni bo‘yicha berilgan matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og‘ishini toping.
| X | ||||
| P | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. X va Y ning matematik kutilmalari ma’lum bo‘lsa, Z tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. DSV X dispersiyasini toping - to'rtta mustaqil sinovda A hodisaning sodir bo'lish soni, agar bu sinovlarda hodisalarning yuzaga kelish ehtimoli bir xil bo'lsa va M (x) = 1,2 ekanligi ma'lum bo'lsa.
- 10 ta yangi tug'ilgan chaqaloqlar orasida o'g'il bolalar soni.
Bu raqam oldindan ma'lum emasligi aniq va keyingi o'nta bolada quyidagilar bo'lishi mumkin:
Yoki o'g'il bolalar - bitta va yagona sanab o'tilgan variantlardan.
Va shaklni saqlab qolish uchun ozgina jismoniy tarbiya:
- uzunlikka sakrash masofasi (ba'zi birliklarda).
Hatto sport ustasi ham buni bashorat qila olmaydi :)
Biroq, sizning farazlaringiz qanday?
2) Uzluksiz tasodifiy miqdor - oladi Hammasi chekli yoki cheksiz diapazondagi raqamli qiymatlar.
Eslatma : DSV va NSV qisqartmalari o'quv adabiyotlarida mashhur
Birinchidan, diskret tasodifiy o'zgaruvchini tahlil qilaylik, keyin - davomiy.
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
- Bu yozishmalar bu miqdorning mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari o'rtasida. Ko'pincha qonun jadvalda yoziladi: 
Bu atama juda keng tarqalgan qator
tarqatish, lekin ba'zi hollarda bu noaniq ko'rinadi va shuning uchun men "qonun" ga rioya qilaman.
Endi esa juda muhim nuqta: tasodifiy o'zgaruvchidan beri Majburiy qabul qiladi qadriyatlardan biri, keyin tegishli hodisalar hosil bo'ladi to'liq guruh va ularning paydo bo'lish ehtimoli yig'indisi bittaga teng:
yoki, agar buklangan bo'lsa:
Shunday qilib, masalan, matritsadagi nuqtalarning ehtimolliklarini taqsimlash qonuni quyidagi shaklga ega: 
Sharxsiz.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchi faqat "yaxshi" butun qiymatlarni qabul qilishi mumkin degan taassurot paydo bo'lishi mumkin. Keling, illyuziyani yo'q qilaylik - ular hamma narsa bo'lishi mumkin:
1-misol
Ba'zi o'yinlarda quyidagi to'lovlarni taqsimlash qonuni mavjud: 
…ehtimol, siz uzoq vaqtdan beri bunday vazifalarni orzu qilgandirsiz :) Men sizga bir sirni aytaman - men ham. Ayniqsa, ishni tugatgandan keyin maydon nazariyasi.
Yechim: tasodifiy o'zgaruvchi uchta qiymatdan faqat bittasini olishi mumkinligi sababli, tegishli hodisalar hosil bo'ladi to'liq guruh, ya'ni ularning ehtimolliklari yig'indisi birga teng: 
Biz "partizan" ni fosh qilamiz: 
- Shunday qilib, an'anaviy birliklarni yutish ehtimoli 0,4 ga teng.
Nazorat: nimaga ishonch hosil qilishingiz kerak.
Javob:
Tarqatish qonunini mustaqil ravishda tuzish kerak bo'lganda, odatiy hol emas. Ushbu foydalanish uchun ehtimollikning klassik ta'rifi, hodisa ehtimoli uchun ko'paytirish / qo'shish teoremalari va boshqa chiplar tervera:
2-misol
Qutida 50 ta lotereya chiptasi bor, ulardan 12 tasi yutuq, 2 tasi 1000 rubldan, qolganlari esa 100 rubldan yutadi. Tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunini tuzing - agar bitta chipta qutidan tasodifiy olingan bo'lsa, yutuq hajmi.
Yechim: siz sezganingizdek, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini joylashtirish odatiy holdir ortib borayotgan tartib. Shuning uchun biz eng kichik yutuqlardan, ya'ni rubllardan boshlaymiz.
Hammasi bo'lib 50 - 12 = 38 ta chipta bor va shunga ko'ra klassik ta'rif:
tasodifiy chizilgan chipta yutib chiqmaslik ehtimoli.
Qolgan holatlar oddiy. Rublni yutish ehtimoli:
Tekshirish: - va bu bunday vazifalarning ayniqsa yoqimli daqiqasi!
Javob: talab qilinadigan to'lovni taqsimlash qonuni: 
Mustaqil qaror qabul qilish uchun quyidagi vazifa:
3-misol
Otuvchining nishonga tegish ehtimoli. Tasodifiy o'zgaruvchi uchun taqsimlash qonunini tuzing - 2 zarbadan keyin urishlar soni.
... Uni sog'inganingizni bilardim :) Eslaymiz ko'paytirish va qo'shish teoremalari. Dars oxirida yechim va javob.
Tarqatish qonuni tasodifiy o'zgaruvchini to'liq tavsiflaydi, lekin amalda uning faqat bir qismini bilish foydalidir (va ba'zan foydaliroq). raqamli xususiyatlar .
Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
Oddiy qilib aytganda, bu o'rtacha kutilgan qiymat takroriy sinov bilan. Tasodifiy o'zgaruvchi ehtimollik bilan qiymatlarni qabul qilsin 
mos ravishda. Keyin bu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi teng bo'ladi mahsulotlar yig'indisi uning barcha qiymatlari mos keladigan ehtimollar bo'yicha:
yoki katlanmış shaklda: 
Masalan, tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi - zarga tushgan ballar sonini hisoblaylik:
Endi faraziy o'yinimizni eslaylik: 
Savol tug'iladi: bu o'yinni o'ynash ham foydalimi? ... kimning taassurotlari bor? Shunday qilib, siz "o'z-o'zidan" deb ayta olmaysiz! Ammo bu savolga matematik kutishni hisoblash orqali osongina javob berish mumkin, aslida - vaznli o'rtacha g'alaba qozonish ehtimoli:
Shunday qilib, bu o'yinning matematik kutish yo'qotish.
Taassurotlarga ishonmang - raqamlarga ishoning!
Ha, bu yerda siz ketma-ket 10 yoki hatto 20-30 marta g'alaba qozonishingiz mumkin, ammo uzoq muddatda biz muqarrar ravishda vayron bo'lamiz. Va men sizga bunday o'yinlarni o'ynashni maslahat bermayman :) Xo'sh, ehtimol faqat o'yin-kulgi uchun.
Yuqorida aytilganlarning barchasidan kelib chiqadiki, matematik kutish TASOSODIY qiymat EMAS.
Mustaqil tadqiqot uchun ijodiy vazifa:
4-misol
Janob X Evropa ruletini quyidagi tizim bo'yicha o'ynaydi: u doimiy ravishda qizil rangga 100 rubl tikadi. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonunini tuzing - uning to'lovi. Yutuqlarning matematik kutilishini hisoblang va uni tiyingacha yaxlitlang. Necha o'rtacha futbolchi har yuz tikish uchun yutqazadi?
Malumot : Yevropa ruletida 18 qizil, 18 qora va 1 yashil sektor ("nol") mavjud. Agar "qizil" tushib qolsa, o'yinchiga ikki baravar pul tikish to'lanadi, aks holda u kazino daromadiga o'tadi.
O'zingizning ehtimollik jadvallarini yaratishingiz mumkin bo'lgan boshqa ko'plab rulet tizimlari mavjud. Ammo bu bizga taqsimlash qonunlari va jadvallari kerak bo'lmaganda, chunki o'yinchining matematik kutishlari aynan bir xil bo'lishi aniq belgilangan. Faqat tizimdan tizimga o'zgaradi
Taqsimot qonuni tasodifiy miqdorni to'liq tavsiflaydi. Biroq, tarqatish qonuni ko'pincha noma'lum va o'zini kamroq ma'lumot bilan cheklash kerak. Ba'zan tasodifiy o'zgaruvchini jami tasvirlaydigan raqamlardan foydalanish yanada foydali bo'ladi, bunday raqamlar chaqiriladi raqamli xususiyatlar tasodifiy o'zgaruvchi. Matematik kutish muhim raqamli xususiyatlardan biridir.
Matematik kutish, quyida ko'rsatilganidek, tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatiga teng. Ko'p muammolarni hal qilish uchun matematik kutishni bilish kifoya. Masalan, agar birinchi otuvchining to'plagan ochkolar sonining matematik kutilishi ikkinchisidan ko'proq ekanligi ma'lum bo'lsa, birinchi otishma ikkinchisidan o'rtacha ko'proq ochkoni nokaut qiladi va shuning uchun u o'qqa qaraganda yaxshiroq otadi. ikkinchisi.
Ta'rif 4.1: matematik kutish Diskret tasodifiy o'zgaruvchiga uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklarining mahsuloti yig'indisi deyiladi.
Tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin X faqat qiymatlarni qabul qilishi mumkin x 1, x 2, … x n, ularning ehtimolliklari mos ravishda teng p 1, p 2, … p n. Keyin matematik kutish M(X) tasodifiy o'zgaruvchi X tengligi bilan belgilanadi
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa X keyin mumkin bo'lgan qiymatlar to'plamini oladi
,
bundan tashqari, tenglikning o'ng tomonidagi qatorlar mutlaqo yaqinlashsa, matematik kutish mavjud bo'ladi.
Misol. Hodisa sodir bo'lish sonining matematik taxminini toping A bir sinovda, agar hodisa ehtimoli bo'lsa A ga teng p.
Yechim: Tasodifiy qiymat X- voqea sodir bo'lgan holatlar soni A Bernoulli taqsimotiga ega, shuning uchun
Shunday qilib, Bir sinovda hodisaning sodir bo'lish sonining matematik kutilishi ushbu hodisaning ehtimoliga teng.
Matematik kutishning ehtimollik ma'nosi
Ishlab chiqarsin n tasodifiy o'zgarmaydigan testlar X qabul qilingan m 1 marta qiymati x 1, m2 marta qiymati x2 ,…, m k marta qiymati x k, va m 1 + m 2 + …+ m k = n. Keyin olingan barcha qiymatlarning yig'indisi X, ga teng x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .
Tasodifiy o'zgaruvchi tomonidan qabul qilingan barcha qiymatlarning o'rtacha arifmetik qiymati bo'ladi
Munosabat m i / n- nisbiy chastota Wi qiymatlar x i hodisaning sodir bo'lish ehtimoliga taxminan teng pi, Qayerda , Shunung uchun
Olingan natijaning ehtimollik ma'nosi quyidagicha: matematik kutish taxminan teng(qanchalik aniq bo'lsa, sinovlar soni shunchalik ko'p) tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati.
Kutish xususiyatlari
Mulk 1:Doimiy qiymatning matematik kutilishi doimiyning o'ziga teng
Mulk 2:Doimiy omil kutish belgisidan chiqarilishi mumkin
Ta'rif 4.2: Ikki tasodifiy o'zgaruvchi chaqirdi mustaqil, agar ulardan birining taqsimot qonuni boshqa qiymat qanday mumkin bo'lgan qiymatlarga bog'liq bo'lmasa. Aks holda tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liq.
Ta'rif 4.3: Bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilar chaqirdi o'zaro mustaqil, agar ularning har qanday sonining taqsimot qonunlari boshqa miqdorlar qanday mumkin bo'lgan qiymatlarga bog'liq bo'lmasa.
Mulk 3:Ikki mustaqil tasodifiy o'zgaruvchining ko'paytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng.
Natija:Bir nechta o'zaro mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng.
Mulk 4:Ikki tasodifiy o'zgaruvchining yig'indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig'indisiga teng.
Natija:Bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig'indisiga teng.
Misol. Binom tasodifiy miqdorning matematik kutilishini hisoblang X- voqea sodir bo'lgan sana A V n tajribalar.
Yechim: Umumiy soni X hodisa hodisalari A bu sinovlarda - individual sinovlarda hodisaning sodir bo'lish sonining yig'indisi. Biz tasodifiy o'zgaruvchilarni kiritamiz X i yilda hodisaning sodir bo'lish soni i th test, qaysi Bernoulli tasodifiy o'zgaruvchilar matematik kutish bilan , qaerda . Matematik kutish xususiyatiga ko'ra, biz bor
Shunday qilib, n va p parametrli binomial taqsimotning o'rtacha qiymati np ko'paytmasiga teng.
Misol. Quroldan otish paytida nishonga tegish ehtimoli p = 0,6. Agar 10 ta o'q otilgan bo'lsa, umumiy urishlar sonining matematik taxminini toping.
Yechim: Har bir zarbaning zarbasi boshqa tortishishlarning natijalariga bog'liq emas, shuning uchun ko'rib chiqilayotgan voqealar mustaqil va shuning uchun kerakli matematik kutishdir.
Mustaqil hal qilish uchun vazifalar ham bo'ladi, siz javoblarni ko'rishingiz mumkin.
Matematik kutish va dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining eng ko'p qo'llaniladigan raqamli xarakteristikalaridir. Ular taqsimotning eng muhim xususiyatlarini tavsiflaydi: uning joylashuvi va tarqalish darajasi. Matematik kutish ko'pincha oddiygina o'rtacha deb ataladi. tasodifiy o'zgaruvchi. Tasodifiy miqdorning dispersiyasi - tasodifiy miqdorning dispersiya, dispersiya xususiyati uning matematik taxmini atrofida.
Amaliyotning ko'pgina muammolarida tasodifiy o'zgaruvchining to'liq, to'liq tavsifi - taqsimot qonuni - yoki olinmaydi, yoki umuman kerak emas. Bunday hollarda, ular raqamli xarakteristikalar yordamida tasodifiy o'zgaruvchining taxminiy tavsifi bilan cheklanadi.
Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
Keling, matematik kutish tushunchasiga kelaylik. Qandaydir moddaning massasi x o'qi nuqtalari orasida taqsimlansin x1 , x 2 , ..., x n. Bundan tashqari, har bir moddiy nuqta, ehtimollik bilan mos keladigan massaga ega p1 , p 2 , ..., p n. X o'qida ularning massalarini hisobga olgan holda butun moddiy nuqtalar tizimining holatini tavsiflovchi bitta nuqtani tanlash talab qilinadi. Bunday nuqta sifatida moddiy nuqtalar sistemasining massa markazini olish tabiiydir. Bu tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha og'irligi X, unda har bir nuqtaning abssissasi xi mos keladigan ehtimolga teng "og'irlik" bilan kiradi. Shu tarzda olingan tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati X uning matematik kutilishi deyiladi.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning ehtimolliklari mahsulotining yig'indisidir:
1-misol Yutuqli lotereya uyushtirdi. 1000 ta yutuq bor, ulardan 400 tasi har biri 10 rubldan. Har biri 300-20 rubl Har biri 200-100 rubl. va har biri 100 - 200 rubl. Bitta chipta sotib olgan odamning o'rtacha yutug'i qancha?
Yechim. 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rublga teng bo'lgan yutuqning umumiy miqdori 1000 ga (yutuqning umumiy miqdori) bo'linsa, o'rtacha yutuqni topamiz. Keyin biz 50000/1000 = 50 rubl olamiz. Ammo o'rtacha daromadni hisoblash uchun ifoda quyidagi shaklda ham ifodalanishi mumkin:
Boshqa tomondan, ushbu shartlar ostida, yutuq miqdori 10, 20, 100 va 200 rubl qiymatlarini olishi mumkin bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchidir. mos ravishda 0,4 ga teng ehtimollar bilan; 0,3; 0,2; 0.1. Shuning uchun kutilayotgan o'rtacha daromad to'lovlar hajmi va ularni olish ehtimoli mahsulotlari yig'indisiga teng.
2-misol Nashriyot yangi kitob chiqarishga qaror qildi. U kitobni 280 rublga sotmoqchi, shundan 200 tasi unga, 50 tasi kitob do‘koniga, 30 tasi muallifga beriladi. Jadvalda kitobni nashr qilish narxi va kitobning ma'lum miqdordagi nusxalarini sotish ehtimoli haqida ma'lumot berilgan.
Nashriyotning kutilayotgan foydasini toping.
Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchi "foyda" sotishdan olingan daromad va xarajatlar qiymati o'rtasidagi farqga teng. Misol uchun, agar kitobning 500 nusxasi sotilgan bo'lsa, u holda sotishdan tushgan daromad 200 * 500 = 100 000, nashr qilish narxi esa 225 000 rublni tashkil qiladi. Shunday qilib, nashriyot 125 000 rubl zararga duch keladi. Quyidagi jadval tasodifiy o'zgaruvchining kutilayotgan qiymatlarini umumlashtiradi - foyda:
| Raqam | Foyda xi | Ehtimollik pi | xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Jami: | 1,00 | 25000 |
Shunday qilib, biz nashriyot foydasining matematik taxminini olamiz:
.
3-misol Bir zarba bilan zarba berish imkoniyati p= 0,2. 5 ga teng bo'lgan urishlar sonining matematik taxminini ta'minlaydigan qobiqlarning iste'molini aniqlang.
Yechim. Biz hozirgacha ishlatgan bir xil kutish formulasidan biz ifodalaymiz x- qobiqlarni iste'mol qilish:
.
4-misol Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini aniqlang x uchta zarba bilan urishlar soni, agar har bir zarba bilan urish ehtimoli bo'lsa p = 0,4 .
Maslahat: tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining ehtimolligini toping Bernoulli formulasi .
Kutish xususiyatlari
Matematik kutishning xususiyatlarini ko'rib chiqing.
Mulk 1. Doimiy qiymatning matematik kutilishi ushbu doimiyga teng:
Mulk 2. Doimiy omil kutish belgisidan chiqarilishi mumkin:
Mulk 3. Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining (farqining) matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig'indisiga (farqiga) teng:
Mulk 4. Tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng:
Mulk 5. Agar tasodifiy o'zgaruvchining barcha qiymatlari bo'lsa X bir xil songa kamayishi (ortishi). BILAN, keyin uning matematik kutilishi bir xil songa kamayadi (ko'payadi):
Qachonki siz faqat matematik kutish bilan cheklanib bo'lmaydi
Ko'pgina hollarda, faqat matematik taxmin tasodifiy o'zgaruvchini etarli darajada tavsiflay olmaydi.
Tasodifiy o'zgaruvchilarga ruxsat bering X Va Y Quyidagi taqsimot qonunlari bilan belgilanadi:
| Ma'nosi X | Ehtimollik |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Ma'nosi Y | Ehtimollik |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Ushbu miqdorlarning matematik taxminlari bir xil - nolga teng:
Biroq, ularning taqsimlanishi boshqacha. Tasodifiy qiymat X faqat matematik kutilganidan unchalik farq qilmaydigan qiymatlarni va tasodifiy o'zgaruvchini qabul qilishi mumkin Y matematik kutilganidan sezilarli darajada chetga chiqadigan qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Shunga o'xshash misol: o'rtacha ish haqi yuqori va kam maosh oladigan ishchilar ulushini baholashga imkon bermaydi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, hech bo'lmaganda o'rtacha hisobda undan qanday og'ishlar mumkinligini matematik kutish orqali hukm qilish mumkin emas. Buning uchun tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasini topish kerak.
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi
dispersiya diskret tasodifiy o'zgaruvchi X uning matematik kutishdan chetlanish kvadratining matematik kutilishi deyiladi:
Tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi X uning dispersiyasi kvadrat ildizining arifmetik qiymati:
.
5-misol Tasodifiy o'zgaruvchilarning dispersiyalari va standart og'ishlarini hisoblang X Va Y, ularning taqsimot qonunlari yuqoridagi jadvallarda keltirilgan.
Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik taxminlari X Va Y, yuqorida topilganidek, nolga teng. uchun dispersiya formulasiga ko'ra E(X)=E(y)=0 biz olamiz:
Keyin tasodifiy o'zgaruvchilarning standart og'ishlari X Va Y tashkil qiladi
.
Shunday qilib, bir xil matematik taxminlar bilan, tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi X juda kichik va tasodifiy Y- muhim. Bu ularning taqsimlanishidagi farqning natijasidir.
6-misol Investorda 4 ta muqobil investitsiya loyihasi mavjud. Jadvalda ushbu loyihalarda kutilayotgan foyda to'g'risidagi ma'lumotlar tegishli ehtimollik bilan umumlashtiriladi.
| Loyiha 1 | Loyiha 2 | Loyiha 3 | Loyiha 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Har bir muqobil uchun matematik kutish, dispersiya va standart og'ish toping.
Yechim. Keling, ushbu miqdorlar 3-variant uchun qanday hisoblanganligini ko'rsatamiz:
Jadvalda barcha alternativlar uchun topilgan qiymatlar jamlangan.
Barcha muqobil variantlar bir xil matematik taxminlarga ega. Bu shuni anglatadiki, uzoq muddatda hamma bir xil daromadga ega. Standart og'ish xavf o'lchovi sifatida talqin qilinishi mumkin - u qanchalik katta bo'lsa, investitsiya xavfi shunchalik yuqori bo'ladi. Ko'p tavakkal qilishni xohlamaydigan investor 1-loyihani tanlaydi, chunki u eng kichik standart og'ish (0) ga ega. Agar investor qisqa vaqt ichida tavakkalchilik va yuqori daromad olishni afzal ko'rsa, u eng katta standart og'ish bilan loyihani tanlaydi - 4-loyiha.
Dispersiya xususiyatlari
Dispersiyaning xossalarini keltiramiz.
Mulk 1. Doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng:
Mulk 2. Doimiy koeffitsientni dispersiya belgisidan kvadratga ajratib olish mumkin:
.
Mulk 3. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi ushbu qiymat kvadratining matematik kutilishiga teng bo'lib, undan qiymatning matematik kutish kvadrati ayiriladi:
,
Qayerda 
.
Mulk 4. Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining (farqining) dispersiyasi ularning dispersiyalarining yig'indisiga (farqiga) teng:
7-misol Ma'lumki, diskret tasodifiy miqdor X faqat ikkita qiymatni oladi: −3 va 7. Bundan tashqari, matematik taxmin ma'lum: E(X) = 4. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.
Yechim. tomonidan belgilang p tasodifiy o'zgaruvchining qiymat olish ehtimoli x1 = −3 . Keyin qiymatning ehtimolligi x2 = 7 1 - bo'ladi p. Matematik kutish uchun tenglamani chiqaramiz:
E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
ehtimollarni qaerdan olamiz: p= 0,3 va 1 - p = 0,7 .
Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonuni:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Ushbu tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasini dispersiyaning 3-xususiyatidan formuladan foydalanib hisoblaymiz:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Tasodifiy o'zgaruvchining matematik taxminini o'zingiz toping va keyin yechimni ko'ring
8-misol Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X faqat ikkita qiymatni oladi. U 0,4 ehtimollik bilan 3 ning kattaroq qiymatini oladi. Bundan tashqari, tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi ma'lum D(X) = 6. Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.
9-misol Bir urnada 6 ta oq va 4 ta qora shar bor. Urundan 3 ta shar olinadi. Chizilgan to'plar orasidagi oq sharlar soni diskret tasodifiy o'zgaruvchidir X. Ushbu tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini toping.
Yechim. Tasodifiy qiymat X 0, 1, 2, 3 qiymatlarini qabul qilishi mumkin. Tegishli ehtimollarni dan hisoblash mumkin. ehtimollarni ko'paytirish qoidasi. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonuni:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Shunday qilib, bu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Berilgan tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasi
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun matematik kutishning mexanik talqini bir xil ma'noni saqlab qoladi: zichlik bilan x o'qi bo'ylab doimiy ravishda taqsimlangan birlik massasi uchun massa markazi. f(x). Diskret tasodifiy o'zgaruvchidan farqli o'laroq, funktsiya argumenti uchun xi to'satdan o'zgaradi, doimiy tasodifiy o'zgaruvchi uchun argument doimiy ravishda o'zgaradi. Lekin uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi ham uning o'rtacha qiymati bilan bog'liq.
Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini topish uchun aniq integrallarni topish kerak. . Agar uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funktsiyasi berilgan bo'lsa, u to'g'ridan-to'g'ri integratsiyaga kiradi. Agar ehtimollikni taqsimlash funktsiyasi berilgan bo'lsa, uni farqlash orqali siz zichlik funktsiyasini topishingiz kerak.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati deyiladi matematik kutish, yoki bilan belgilanadi.
