Manovning ishi "imtihonda logarifmik tengsizliklar". Manovning ishi "imtihonda logarifmik tengsizliklar" 15-vazifa logarifmik tengsizlik imtihonini qanday hal qilish kerak
FOYDALANISHIDA LOGARITMIK TALABLAR
Sechin Mixail Aleksandrovich
Qozog'iston Respublikasi talabalari uchun kichik fanlar akademiyasi "Izlovchi"
MBOU "№1 Sovet maktabi", 11-sinf, shahar. Sovet Sovetskiy tumani
Gunko Lyudmila Dmitrievna, MBOU "1-sonli Sovet maktabi" o'qituvchisi
Sovet tumani
Ishning maqsadi: eritma mexanizmini o'rganish logarifmik tengsizliklar C3 nostandart usullar yordamida, aniqlash qiziqarli faktlar logarifm.
O'rganish mavzusi:
3) standart bo'lmagan usullardan foydalanib, C3 aniq logarifmik tengsizliklarni echishni o'rganing.
Natijalar:
Tarkibi
Kirish …………………………………………………… .4
1-bob. Umumiy ma'lumotlar ……………………………………………………………………………………………………
2-bob. Logarifmik tengsizliklarni yig'ish ................. 7
2.1. Ekvivalent o'tish va intervallarni umumlashtirish usuli ............... 7
2.2. Ratsionalizatsiyalash usuli ………………………………
2.3. Nostandart almashtirish. ..... 22
2.4. Tuzoq vakolatxonalar …………………………………………………………………………………………. 27
Xulosa ……………………………………………………………… 30
Adabiyot ………………………………………………. 31
Kirish
Men 11-sinf o'quvchisiman va u erda universitetga kirishni rejalashtirmoqdaman profil mavzusi matematik Shuning uchun, men C qismining muammolari bilan ko'p ishlayman, C3 vazifasida siz odatda nostandart tengsizlikni yoki odatda logarifmlar bilan bog'liq bo'lgan tengsizliklar tizimini hal qilishingiz kerak. Imtihonga tayyorgarlik ko'rayotganda C3-da taklif qilingan imtihon logaritmik tengsizliklarni hal qilish usullari va texnikasining etishmasligi muammosiga duch keldim. O'qitiladigan metodlar maktab o'quv dasturi ushbu mavzu bo'yicha C3 vazifalarini hal qilish uchun asos yaratmang. Matematik o'qituvchi meni uning rahbarligi ostida C3 topshiriqlari bilan mustaqil ravishda ishlashga taklif qildi. Bundan tashqari, meni savol qiziqtirdi: bizning hayotimizda logarifmlar bormi?
Shuni hisobga olib, mavzu tanlandi:
"Imtihonda logarifmik tengsizliklar"
Ishning maqsadi: n3 nostandart usullardan foydalangan holda C3 muammolarini echish mexanizmini o'rganish, logarifmaning qiziqarli faktlarini aniqlash.
O'rganish mavzusi:
1) Logarifmik tengsizliklarni yechishning nostandart usullari haqida kerakli ma'lumotlarni toping.
2) logarifmlar haqida ko'proq ma'lumot toping.
3) N3 nostandart usullardan foydalangan holda aniq C3 muammolarini hal qilishni o'rganing.
Natijalar:
Amaliy ahamiyat C3 muammolarini hal qilish uchun apparatni kengaytirishdan iborat. Ushbu material ba'zi darslarda, to'garaklar, matematikadan tashqari mashg'ulotlar uchun ishlatilishi mumkin.
Loyiha mahsuloti "echimlar bilan logaritmik C3 tengsizliklari" to'plami bo'ladi.
1-bob. Umumiy ma'lumotlar
XVI asrda taxminiy hisob-kitoblar soni, birinchi navbatda, astronomiyada tez o'sdi. Asboblarni takomillashtirish, sayyoralar harakatini va boshqa ishlarni o'rganish ulkan, ba'zan ko'p yillar hisob-kitoblarni talab qildi. Astronomiya bajarilmagan hisob-kitoblarda cho'kib ketish xavfi ostida edi. Boshqa sohalarda qiyinchiliklar paydo bo'ldi, masalan, sug'urta biznesida turli xil qiziqish qiymatlari uchun aralash qiziqish jadvallari kerak edi. Asosiy qiyinchilik ko'paytmali sonlarni, ayniqsa trigonometrik miqdorlarni ko'paytirish, bo'lish bilan ifodalandi.
Logarifmlarning kashfiyoti 16-asrning oxiriga kelib taniqli progressiv xususiyatlarga asoslandi. Arximed q, q2, q3, ... geometrik progressiya a'zolari va Zaburda ularning ko'rsatkichlarining 1, 2, 3, ... arifmetik progressiyalari o'rtasidagi bog'liqlik haqida gapirdi. Yana bir shart - daraja kontseptsiyasini salbiy va kasr ko'rsatkichlarigacha kengaytirish. Ko'pgina mualliflar ko'paytirish, bo'lish, eksponentlash va ildizni ajratib olish arifmetikaga mos ravishda - qo'shib qo'yish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish uchun bir xil tartibda bo'lishini ta'kidladilar.
Bu eksponent sifatida logarifm g'oyasi edi.
Logarifmlar nazariyasining rivojlanishi tarixida bir necha bosqichlar o'tdi.
1-bosqich
Logarifmlar 1594 yildan kechiktirmasdan Shotlandiya baroni Napier (1550-1617) tomonidan va o'n yildan so'ng Shveytsariya mexanigi Burghi (1552-1632) tomonidan ixtiro qilindi. Ikkalasi ham arifmetik hisoblarning yangi qulay vositalarini taqdim etishni xohlashdi, garchi ular bu vazifaga turli xil yondashgan bo'lsalar ham. Neper kinematik ravishda logarifmik funktsiyani ifoda etdi va shu bilan funktsiyalar nazariyasining yangi sohasiga kirdi. Burghi aniq progressivlarni hisobga olgan holda qoldi. Biroq, ikkalasi uchun logarifmaning ta'rifi zamonaviyga o'xshamaydi. "Logaritm" (logarithmus) atamasi Napierga tegishli. Bu yunoncha so'zlarning birikmasidan kelib chiqqan: logos - "munosabatlar" va ariqmo - "raqamlar", bu "munosabatlar soni" degan ma'noni anglatadi. Dastlab, Napier boshqa atamani ishlatgan: numeri sun'iylar - "sun'iy sonlar", numeri naturaltsdan farqli o'laroq - "natural sonlar".
1615 yilda Londondagi Gresch kolleji matematik professori Genrix Briggs (1561-1631) bilan suhbatda Napier birliklarning logarifmi uchun nolni, o'ntasining logarifmi uchun 100 ni olishni taklif qildi yoki xuddi shu narsaga to'g'ri keladi. birinchi logarifmik jadvallar chop etildi. Keyinchalik Briggs jadvallarini gollandiyalik kitob sotuvchisi va matematikani sevuvchi Andrian Flakk (1600-1667) to'ldirdi. Napier va Briggs, garchi ular logarifmlarga hammadan ancha oldin kelishgan bo'lsa-da, jadvallarini boshqalarga qaraganda kechroq nashr etishdi - 1620 yilda. Kundalik va log belgilari 1624 yilda I. Kepler tomonidan kiritilgan. "Tabiiy logarifm" atamasini 1659 yilda Mengoli tomonidan kiritgan, undan keyin 1668 yilda N.Merkator, Londonlik o'qituvchi Jon Speydel "Yangi logarifmlar" nomi ostida 1 dan 1000 gacha raqamlarning tabiiy logarifmlari jadvallarini nashr etgan.
Rus tilidagi birinchi logarifmik jadvallar 1703 yilda nashr etilgan. Ammo barcha logarifmik jadvallarda hisoblashda xatolarga yo'l qo'yilgan. Birinchi xatosiz jadvallar 1857 yilda Berlinda nemis matematiki K. Bremiker (1804-1877) tomonidan qayta ishlangan.
2-bosqich
Logarifmlar nazariyasining yanada rivojlanishi analitik geometriya va cheksiz hisoblarning keng qo'llanilishi bilan bog'liq. Teng tomonli giperbola kvadraturasi va tabiiy logarifm o'rtasida bog'liqlik shu davrga to'g'ri keladi. Ushbu davrning logarifmlari nazariyasi bir qator matematiklarning ismlari bilan bog'liq.
Tarkibida nemis matematiki, astronomi va muhandisi Nikolaus Mercator
"Logaritmologiya" (1668) ln (x + 1) ning kengayishini ta'minlaydigan qatorni beradi
kuchlar x:
Bu ibora uning fikrlash yo'nalishiga to'liq mos keladi, garchi u, albatta, d, ... belgilarini ishlatmagan bo'lsa-da, lekin ko'proq noqulay belgilarda. Logarifmik seriyalarning kashf qilinishi bilan logarifmlarni hisoblash texnikasi o'zgara boshladi: ular cheksiz qatorlar yordamida aniqlana boshladi. 1907-1908 yillarda o'qilgan "Elementar matematikaga eng yuqori nuqtai nazardan" ma'ruzalarida F. Klein formuladan logaritmlar nazariyasini qurish uchun boshlang'ich nuqta sifatida foydalanishni taklif qildi.
3-bosqich
Ta'rif logarifmik funktsiya teskari funksiya sifatida
eksponensial, logarifm berilgan bazaning darajasining ko'rsatkichi sifatida
darhol shakllantirilmagan. Leonard Eylerning kompozitsiyasi (1707-1783)
Infinitesimal (1748) tahlili uchun kirish bu qo'shimcha xizmat qildi
logaritmik funktsiya nazariyasini rivojlantirish. Shunday qilib,
logarifmlar birinchi marta kiritilishidan 134 yil o'tdi
(1614 yildan boshlab hisoblash) matematiklar aniqlanishdan oldin
hozirda maktab kursining asosi bo'lgan logarifm tushunchasi.
2-bob. Logarifmik tengsizliklarni yig'ish
2.1. Ekvivalent o'tish va umumlashtirilgan interval usuli.
Ekvivalent o'tish
agar a\u003e 1
agar 0 bo'lsa <
а <
1
Umumiy interval usuli
Ushbu usul deyarli har qanday turdagi tengsizliklarni hal qilish uchun eng ko'p qirrali hisoblanadi. Yechish sxemasi quyidagicha ko'rinadi.
1. Tengsizlikni funktsiya mavjud bo'lgan shaklga kamaytiring 
va o'ng tomonda 0.
2. Funktsiya domenini toping .
3. Funksiyaning nollarini toping , ya'ni tenglamani echish uchun 
(va tenglamani echish odatda tengsizlikni hal qilishdan osonroqdir).
4. Raqam qatorida funktsiyaning domeni va nollarini chizish.
5. Funksiya belgilarini aniqlang olingan vaqt oralig'ida.
6. Funktsiya kerakli qiymatlarni oladigan intervallarni tanlang va javobni yozing.
1-misol.
Qaror:
Aralash usulini qo'llaylik
qayerdan
Ushbu qiymatlar uchun logarifmlar belgisi ostidagi barcha iboralar ijobiydir.
Javob:
2-misol.
Qaror:
1- yo'l . ODZ tengsizlik bilan aniqlanadi x \u003e 3. Bundaylarga logarifmni olish x baza 10, biz olamiz
So'nggi tengsizlikni dekompozitsiya qoidalarini qo'llash orqali hal qilish mumkin, ya'ni. omillarni nolga solishtirish. Ammo, bu holda, funktsiyaning doimiyligi intervallarini aniqlash oson
shuning uchun oraliq usul qo'llanilishi mumkin.
Funktsiya f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ doimiy x \u003e 3 va nuqtalarda yo'qoladi x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 \u003d 4. Shunday qilib, funktsiyaning doimiyligi intervallarini aniqlaymiz f(x):
Javob:
2-usul . Intervallar usuli g'oyalarini to'g'ridan-to'g'ri asl tengsizlikka qo'llaylik.
Buning uchun iboralarni eslang a b - a c va ( a - 1)(b - 1) bitta belgi bor. Keyin bizning tengsizligimiz x \u003e 3 tengsizlikka tengdir
yoki
Oxirgi tengsizlik intervallar usuli bilan hal qilinadi
Javob:
3-misol.
Qaror:
Aralash usulini qo'llaylik
Javob:
4-misol.
Qaror:
2 yildan beri x 2 - 3x + 3\u003e 0 barcha real uchun xkeyin
Ikkinchi tengsizlikni hal qilish uchun biz intervallar usulidan foydalanamiz
Birinchi tengsizlikda biz almashtirishni amalga oshiramiz
keyin tengsizlikka kelamiz 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те ytengsizlikni qondiradiganlar -0.5< y < 1.
Qayerdan, beri
tengsizlikka erishamiz
ular bilan amalga oshiriladi xbuning uchun 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Endi tizimning ikkinchi tengsizligini hal qilishni hisobga olib, biz nihoyat olamiz
Javob:
5-misol.
Qaror:
Tengsizlik tizimlar to'plamiga tengdir
yoki
Keling, intervallar usulini yoki
Javob bering:
6-misol.
Qaror:
Tengsizlik tizimga tengdir
Bo'lsin
keyin y > 0,
va birinchi tengsizlik
tizim shaklni oladi
yoki kengaytirish orqali
kvadrat trinomial omillar,
Intervallar usulini oxirgi tengsizlikka qo'llash,
uning echimlari shartni qondirishini ko'ramiz y \u003e 0 hammasi bo'ladi y > 4.
Shunday qilib, asl tengsizlik sistemaga tengdir:
Shunday qilib, tengsizlikka echimlar - barchasi
2.2. Ratsionalizatsiya usuli.
Ilgari tengsizlikni ratsionalizatsiya qilish usuli hal qilinmagan, u ma'lum emas edi. Bu "eksponensial va logaritmik tengsizliklarni echishning yangi zamonaviy samarali usuli" (S. I. Kolesnikova kitobidan iqtibos)
Va agar o'qituvchi uni bilsa ham, qo'rquv bor - imtihon beruvchi uni taniydimi va nega u maktabda berilmaydi? O'qituvchi talabaga: "Siz uni qaerdan oldingiz? O'tiring - 2.", degan holatlar bo'lgan.
Endi usul keng targ'ib qilinadi. Va mutaxassislar uchun ushbu usul bilan bog'liq ko'rsatmalar mavjud va C3 eritmasida "standart variantlarning eng to'liq nashrlarida ..." bu usul qo'llaniladi.
Ajoyib METOD!
"Sehrli stol"
Boshqa manbalarda
agar a a\u003e 1 va b\u003e 1, so'ngra b\u003e 0 va (a -1) (b -1)\u003e 0 yozing;
agar a a\u003e 1 va 0 agar 0 bo'lsa<a<1 и b
>1, keyin b jurnalini kiriting<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
agar 0 bo'lsa<a<1 и 00 va (a -1) (b -1)\u003e 0. Yuqoridagi asos oddiy, ammo sezilarli ravishda logarifmik tengsizliklarni echishni soddalashtiradi. 4-misol.
log x (x 2 -3)<0
Qaror:
5-misol.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤log 2 x (x 2 + x) Qaror: 6-misol.
Ushbu tengsizlikni hal qilish uchun, denominator o'rniga biz (x-1-1) (x-1) va hisoblagich o'rniga mahsulot (x-1) (x-3-9 + x) yozamiz. 7-misol.
8-misol.
2.3. Nostandart almashtirish. 1-misol.
2-misol.
3-misol.
4-misol.
5-misol.
6-misol.
7-misol.
log 4 (3 x -1) log 0,25 O'zgarishni y \u003d 3 x -1; keyin bu tengsizlik shakllanadi 4-jurnal 0,25 Sifatida jurnal 0,25 O'zgarishlarni t \u003d log 4 y qilamiz va t 2 -2t + ≥0 tengsizlikni olamiz, uning echimi interval bilan bo'ladi - Shunday qilib, y qiymatlarini topish uchun ikkita eng sodda tengsizliklar to'plamiga egamiz Shunday qilib, asl tengsizlik ikki eksponent tengsizlik yig'indisiga teng, Ushbu to'plamning birinchi tengsizligi yechimi 0 oralig'i<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ 8-misol.
Qaror:
Tengsizlik tizimga tengdir Ikki tengsizlikning echimi DHS ni belgilaydi x,
kimdan x > 0.
Birinchi tengsizlikni hal qilish uchun biz o'zgarishlarni amalga oshiramiz Keyin tengsizlikka erishamiz yoki Oxirgi tengsizlikka echimlar to'plami usul bilan topiladi intervallar: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, olamiz yoki Ulardan ko'pi xbu oxirgi tengsizlikni qondiradi tegishli ODZ ( x \u003e 0), shuning uchun tizim uchun echimdir va shuning uchun asl tengsizlik. Javob: 2.4. Tuzoqli topshiriqlar. 1-misol.
Qaror. ODZ tengsizliklari barcha 0 shartini qondiradigan x dir 2-misol.
log 2 (2 x + 1-x 2)\u003e log 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
Javob bering... (0; 0,5) U.
Javob bering :
(3;6)
.
\u003d -log 4 \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2-log 4 y, so'ngra tengsizlikni 2log 4 y -log 4 2 y ≤ deb yozing.
Ushbu to'plamning echimi 0 intervallari<у≤2 и 8≤у<+.
ya'ni jami 
... Shunday qilib, asl tengsizlik 0 ning intervallaridan x ning barcha qiymatlari uchun saqlanadi<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Shuning uchun 0 intervalidan barcha x
Xulosa
Turli xil ta'lim manbalarining ko'pligi sababli C3 muammolarini hal qilish uchun maxsus usullarni topish oson bo'lmadi. Bajarilgan ish jarayonida men murakkab logaritmik tengsizliklarni hal qilish uchun nostandart usullarni o'rganishga muvaffaq bo'ldim. Bular: ekvivalent o'tish va intervallarning umumlashtirilgan usuli, ratsionalizatsiya usuli , nostandart almashtirish , oDZ tuzoqlari bo'lgan vazifalar. Ushbu usullar maktab o'quv dasturida mavjud emas.
Turli xil usullardan foydalanib, men imtihonda C qismidagi 27 ta tengsizlikni, ya'ni C3 ni hal qildim. Usullar bo'yicha echimlar bilan tengsizlik "Mening echimlarim bilan C3 tengsizlari" to'plamining asosini tashkil etdi, bu mening ishimning loyihasi bo'ldi. Men loyihaning boshida ilgari surgan gipoteza tasdiqlandi: C3 vazifalarini ushbu usullarni bilgan holda samarali echish mumkin.
Bundan tashqari, logarifmlar haqida qiziqarli faktlarni topdim. Buni qilish men uchun qiziq edi. Mening dizayn mahsulotlarim ham talabalar, ham o'qituvchilar uchun foydali bo'ladi.
Xulosa:
Shunday qilib, loyihaning belgilangan maqsadiga erishildi, muammo hal qilindi. Va men ishning barcha bosqichlarida loyiha faoliyatida eng to'liq va ko'p qirrali tajribaga ega bo'ldim. Loyihada ishlash jarayonida mening asosiy rivojlanish ta'sirim aqliy barkamollik, mantiqiy aqliy operatsiyalar bilan bog'liq faoliyat, ijodiy kompetensiyani rivojlantirish, shaxsiy tashabbuskorlik, mas'uliyat, qat'iyatlilik, faollik edi.
Izlanish loyihasini yaratishda muvaffaqiyat garovi Men aylandim: muhim maktab tajribasi, turli manbalardan ma'lumot olish, uning ishonchliligini tekshirish, ahamiyatiga qarab tartiblash.
Matematikadan to'g'ridan-to'g'ri fan bilimlaridan tashqari, u informatika sohasidagi amaliy ko'nikmalarini kengaytirdi, psixologiya sohasida yangi bilim va tajribaga ega bo'ldi, sinfdoshlar bilan aloqalarni o'rnatdi va kattalar bilan hamkorlik qilishni o'rgandi. Loyiha faoliyati davomida tashkilotchilik, intellektual va kommunikativ umumiy ta'lim ko'nikmalari va qobiliyatlari rivojlantirildi.
Adabiyot
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Bir o'zgaruvchili tengsizliklar tizimlari (C3 tipik vazifalari).
2. Malkova AG Matematikadan imtihonga tayyorgarlik.
3. Samarova SS logarifmik tengsizliklarni yechish.
4. Matematika. A.L. tahrirlagan o'quv ishlari to'plami. Semyonov va I.V. Yashchenko. -M .: MTsNMO, 2009 .-- 72 p. -
Maqolada 2017 yil uchun matematikadan USE profilidan olingan 15 ta vazifani tahlil qilishga bag'ishlangan. Ushbu vazifada o'quvchilarga tengsizliklarni, ko'pincha logarifmiklarni echish taklif etiladi. Garchi indikativ bo'lishi mumkin. Ushbu maqolada logaritmik tengsizliklarga oid misollar, shu jumladan logaritm asosidagi o'zgaruvchini o'z ichiga olgan misollar tahlil qilinadi. Barcha misollar USE-ning ochiq matematikadan matematikadan (profildan) olingan topshiriqlaridan olingan, shuning uchun bunday tengsizliklar sizni imtihonda 15-vazifa sifatida uchratishi mumkin, chunki 15-vazifani qisqa vaqt ichida USE profilining ikkinchi qismidan qanday hal qilishni o'rganmoqchi bo'lganlar uchun juda mos keladi. imtihonda ko'proq ball olish uchun matematikadan.
Matematikadan profil imtihonidan 15 ta topshiriqni tahlil qilish
| 1-misol. Tengsizlikni yeching: |
15 USE ning matematikada (profilda) vazifalarida ko'pincha logarifmik tengsizliklar uchraydi. Logarifmik tengsizliklarni hal qilish haqiqiy qiymatlar oralig'ini aniqlash bilan boshlanadi. Bunday holda, ikkala logarifmning bazasida hech qanday o'zgaruvchi yo'q, faqat 11 raqami mavjud, bu vazifani ancha soddalashtiradi. Shuning uchun, bizda yagona cheklash shundaki, logarifm belgisi ostidagi ikkala iboralar ham ijobiydir:
Sarlavha \u003d "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan taqdim etilgan">!}
Tizimdagi birinchi tengsizlik kvadrat tengsizligi. Buni hal qilish uchun chap tomonni omillar ta'siriga aylantirmasligimiz kerak. Menimcha, siz har qanday kvadrat trinomialni bilasiz 
quyidagicha aniqlanadi:
bu tenglamaning ildizlari qayerda va qandaydir. Bunday holda, koeffitsient 1 ga teng (bu oldidagi raqamli koeffitsient). Bu koeffitsient 1 ga teng, koeffitsient esa kesishuvdir, u -20. Trinomialning ildizlari Vetnam teoremasi bilan eng oson aniqlanadi. Biz bergan tenglama, shuning uchun ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan koeffitsientga, ya'ni -1 ga teng bo'ladi va bu ildizlarning mahsuloti koeffitsientga, ya'ni -20 ga teng bo'ladi. Ildizlar -5 va 4 bo'ladi deb taxmin qilish oson.
Endi tengsizlikning chap tomoni omilga aylanishi mumkin: nom \u003d "(! LANG: tomonidan berilgan: QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X -5 va 4. nuqtalarda Shunday qilib, tengsizlikni istalgan yechimi - bu vaqt oralig'i. Bu erda nima yozilganini tushunmaydiganlar uchun ushbu daqiqadan boshlab videodagi tafsilotlarni ko'rishingiz mumkin. U erda siz tizimning ikkinchi tengsizligi qanday hal qilinishi haqida batafsil tushuntirish topasiz. Bu hal qilinmoqda. Bundan tashqari, javob tizimning birinchi tengsizligi bilan bir xil. Ya'ni yuqorida yozilgan to'siq tengliklarning qabul qilinadigan qiymatlari diapazoni.
Demak, faktorizatsiyani hisobga olgan holda asl tengsizlik quyidagi shaklni oladi:
Formuladan foydalanib, 11ni birinchi logarifm belgisi ostida ifoda kuchiga keltiramiz va ikkinchi logarifmani o'z belgisini teskari tomonga o'zgartirib, tengsizlikning chap tomoniga o'tkazamiz:
Kamaytirilgandan so'ng biz quyidagilarni olamiz:
Funktsiyaning kuchayishi sababli oxirgi tengsizlik tengsizlikka tengdir 
, uning yechimi intervaldir 
... U tengsizlikning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni bilan kesishishda qoladi va bu butun vazifaga javob bo'ladi.
Shunday qilib, vazifaga kerakli javob:
Biz ushbu vazifani hal qildik, endi matematikadan (profil) 15 USE vazifasining navbatdagi misoliga o'tamiz.
| 2-misol. Tengsizlikni yeching:
|
Biz ushbu tengsizlikning yo'l qo'yiladigan qiymatlari diapazonini aniqlash bilan echishni boshlaymiz. Har bir logarifmaning tagida 1 ga teng bo'lmagan musbat son bo'lishi kerak. Logaritm belgisi ostidagi barcha iboralar ijobiy bo'lishi kerak. Parchaning aniqlovchisida nol bo'lmasligi kerak. Oxirgi shart shunga o'xshashdir, chunki aks holda denominatorda ikkala logarifm ham yo'qoladi. Bularning barchasi ushbu tengsizlikning yo'l qo'yiladigan qiymatlari oralig'ini belgilaydi, bu quyidagi tengsizliklar tizimi bilan belgilanadi:
Sarlavha \u003d "(! LANG: QuickLaTeX.com tomonidan taqdim etilgan">!}
To'g'ri qiymatlar oralig'ida tengsizlikning chap tomonini soddalashtirish uchun loglarni o'zgartirish formulalaridan foydalanishimiz mumkin. Formuladan foydalanish 
denominatordan qutulish:
Endi bizda faqat asosiy logarifmlar mavjud. Bu allaqachon qulayroq. Keyinchalik, formulani, shuningdek, formulani sharafga loyiq ifodani quyidagi shaklga keltirish uchun ishlatamiz:
Hisob-kitoblarda biz maqbul qiymatlar oralig'ida bo'lgan narsalarni ishlatdik. O'zgartirishdan foydalanib, biz quyidagi iboraga kelamiz:
Biz yana bitta almashtirishni ishlatamiz:. Natijada, biz quyidagi natijaga kelamiz:
Shunday qilib, biz asta-sekin asl parametrlarga qaytamiz. Birinchi o'zgarmaydiganga:
"LOGARITMIY TEXNIKAVIY YO'NALIShNING YO'NALIShI (MAQSAD №15. FOYDALANISHI) LOGARITMANING INSON HAYoTINING turli xil sohalarida qo'llanilishi "
Darsning epigrafi Maurice Kline so'zlari bo'ladi "Musiqa jonni tinchlantirishi yoki tinchlantirishi mumkin, rasm ko'zni quvontirishi, she'r tuyg'ularni uyg'otishi, falsafa ong ehtiyojlarini qondirishi, muhandislik odamlar hayotining moddiy tomonini yaxshilashi mumkin.matematikada ushbu maqsadlarning barchasiga erishish mumkin »
Endi muvaffaqiyat kayfiyatini yarataylik!
Biz quyidagi savollarga javob beramiz:
Imtihon varaqalarini tekshirish amaliyoti va men 2005 yildan beri matematikadan imtihon topshirdim, shuni ko'rsatadiki, maktab o'quvchilari uchun eng katta qiyinchilik transansendental tengsizliklarni, ayniqsa o'zgaruvchan bazaga ega logaritmik tengsizliklarni hal qilishdir.
Shuning uchun, birinchi navbatda, ratsionalizatsiya usulini (Modenov parchalanish usuli) yoki boshqacha deb nomlangan Golubev ko'paytirgichlarini almashtirish usulini ko'rib chiqishni taklif qilaman, bu sizga murakkab, xususan, logaritmik tengsizliklarni oddiy ratsional tengsizliklar tizimiga kamaytirish imkonini beradi.
Shunday qilib, masalan, tengsizlikni echishda
imtihon mutaxassislariga taqdim etilgan baholash versiyasida quyidagi yechim berilgan:
Men ratsionalizatsiya usulidan foydalanishni taklif qilaman:
Birinchi tengsizlikni intervallar usuli bilan hal qilish va biz olgan ma'lumotni hisobga olgan holda
Quyidagi tengsizlikni hal qilish
men buni shunday ko'rdim:
Va men talabalarga ba'zan grafik echim sodda ekanligini tushuntirdim.
Natijada, ushbu tengsizlikning yechimi quyidagi shaklga ega:
Tengsizlikni ko'rib chiqing
Ushbu tengsizlikni echishda formuladan foydalanish mumkin
bazaga borish - bu raqam va mutlaqo har qanday:
va hosil bo'lgan tengsizlikni vaqt oralig'i bilan hal qiling:
ODZ: 
va hosil bo'lgan tengsizlikni intervallar usuli bilan eching
va ODZ ni hisobga olgan holda biz quyidagilarni olamiz:
Va tengsizlikning quyidagi turini hal qilganda, talabalar javobni yozishda odatda echimlardan birini yo'qotadilar. Siz albatta bunga e'tibor berishingiz kerak.
ODZ-ni qidirib toping:
va almashtirishni amalga oshiring: biz olamiz:
Men sizning e'tiboringizni ko'pincha o'quvchilar buni hal qiladilar, natijada tengsizlik, denominatorni tashlab yuboradilar va shu bilan echimlardan birini yo'qotadilar:
ODZni hisobga olgan holda, biz olamiz: va
Va dars oxirida men talabalarga logarifmlarni turli sohalarda qo'llash haqida qiziqarli faktlarni taqdim etaman.
Vaqt o'tishi bilan o'zgaradigan jarayonlar mavjud bo'lgan joyda logarifmlar qo'llaniladi.
Logarifmlar matematik tushunchadir, u fanning barcha sohalarida qo'llaniladi: kimyo, biologiya, fizika, geografiya, informatika va boshqa ko'plab sohalarda, ammo logarifmlarning eng keng qo'llanilishi iqtisodiyotda mavjud.
